UNIDAD Nº 3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Transcripción

1 UNIDAD Nº 3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD DISTRIBUCION BINOMIAL: Se busca generalmente, determnar la probabldad de que un suceso ocurra un determnado número (n ) de veces en n repetcones de pruebas ndependentes; en cada una de las cuales la probabldad de que ocurra dcho suceso es p. n n nn P zn n Cn * p * q S n y nn y n n n * n * * E z n p Dsp z n p q / m z z ; y; n * p q z n * p p; y; z N o n o o o - De la práctca rescatemos el ejercco nº 5 y realcemos sobre el msmo la modfcacón pertnente para obtener el sguente enuncado:- Para un empleo -publctarose buscan personas que cumplan con una certa cantdad de requstos; se sabe que dentro de la poblacón el 6% cumple con la totaldad de los requstos. S se elgen aleatoramente a 4 personas; defnr la varable aleatora cantdad de personas que cumplen con la totaldad de requstos que se genera, su ley de probabldad; calcular su valor esperado y su dspersón utlzando las dstntas fórmulas dsponbles. X P(X) X*P(X) X^*P(X) E(X)= VAR(X)=.96 DISP(X)= E(X)=np.4 VAR(X)=npq.96 6

2 P(X) C antdad de personas que cumplen con totaldad de requstos - En una empresa, se sabe que la probabldad de que sus clentes abonen con retraso sus deudas es de.5. Se toman aleatoramente 5 facturas no aún no canceladas - correspondentes a clentes dstntos-. Defna la varable cantdad de facturas que se cancelarán con retraso; su ley de probabldad, su valor esperado, su dspersón y su valor modal. X P(X) E(X) DISP(X) MODA

3 3 - Realce el msmo ejercco, pero en el caso que se tomen facturas y en el caso que se tomen facturas. Para el alumno: tome n=5 y n=; compare!. 3.- Se toman dez facturas, n= X P(X) E E-7 E(X) DISP(X) MODA Observe que * * y que pertenece a los enteros. 63

4 64

5 3. Se toman facturas, n= X P(X) 3.7E-3.69E-.764E- 3.98E E E E E E E-5 9.4E

6 E E E E E E E E E E E E E E E E E E-3 6.4E E E E E E E E E E E E E E E-4 66

7 75.787E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-6 E(X) DISP(X) MODA Nuevamente, observe que *(.5) *(.5) +.5 y 5Z. 67

8 68

9 4 - En el ngreso de datos de un sstema, la probabldad de que se cometa un error no detectado por los procesos de valdacón es de.. S se realza 5 veces el proceso -para dstntas oportundades- hallar a probabldad que el suceso -que se cometa un error no detectado por los procesos de valdacón- ocurra no menos de 3 veces. Obtenga el valor esperado y la dspersón para esta varable aleatora, explque qué ndca el valor obtendo y qué ndcaría en la práctca. Solucón: Defnamos la varable aleatora, su ley de probabldad y su ley de probabldad acumulada: X P(X) P(X<=x) E E-8 5 E- E(X) DISP(X) MODA P x 3 P x 3 P x 4 P x 5 = 9.8E E-8 + E- =9.856E-6 O sea el suceso tene una posbldad muy pequeña que se presente; stuacón totalmente lógca, ya que al exstr procesos de valdacón la nformacón es controlada antes de ngresar al sstema. Lo cual tambén se evdenca en el valor esperado de la varable aleatora. 5- En el ngreso de datos de un sstema, la probabldad de que se cometa un error es de.. S se realza 5 veces el proceso -para dstntas oportundades- hallar a probabldad que el suceso -que se cometa un error - ocurra no menos de 3 veces. Obtenga el valor esperado y la dspersón para esta varable aleatora, explque qué ndca el valor obtendo y qué ndcaría en la práctca. Solucón: Vea ahora, que el valor de probabldad asocado al suceso es mayor que en el del ejercco anteror. S defnmos la varable aleatora, su ley de probabldad y de dstrbucón obtenemos: X P(X) P(X<=x)

10 P(X>=3).856 E(X) DISP(X) MODA Observe que ahora los valores de probabldad hallados son mayores, ya que el suceso favorable - de que se cometa un error - tene una probabldad mayor de aparecer. 6 - La asgnacón de tareas -dentro de una seccón- a un grupo de empleados se hace daramente en forma aleatora. El grupo cuenta con 6 empleados y las tareas posbles a ser realzadas peródcamente son 3; T ; T y T 3. Defnr la varable aleatora cantdad de veces que en una semana -de 5 días- le toque la T ; al empleado con número de legajo menor. Asmsmo calcular las sguentes probabldades: 6. - Que le toque a lo sumo días Que le toque por lo menos 3 días Que le toque entre y 4 días Que le toque no más de 3 días Que le toque más de 5 días Que le toque a lo sumo días; s se sabe que le ha tocado menos de 4 días Que le toque más de 4 días, s se sabe que le ha tocado menos de 4 días. Solucón: Debemos hallar prmeramente la probabldad del suceso favorable; o sea la probabldad que la tarea le sea asgnada al empleado con numero de legajo menor; a la cual denotaremos con p. Para ellos debemos tener presente que: los casos posbles son 6! ; y los casos favorables son: *5! Por lo tanto: p = ( * 5!)/6! = /3 Y s tenemos presente que la probabldad del suceso desfavorable -probabldad de que al empleado con legajo menor no se le asgne la tarea - es /3 y que la denotaremos con q; y que ambas probabldades permanecen constante para cada asgnacón dara, se tene entonces la sguente varable: 7

11 X P(X) Que le toque a lo sumo días. Px Px Px Px = Que le toque por lo menos 3 días. Px 3 Px 3 Px 4 Px = = Observe que ambos sucesos son ncompatbles y que la unón de los msmos da el espaco muestral Que le toque entre y 4 días. P x 4 P x P x 3 P x = Que le toque no más de 3 días Px 3 Px Px = = Que le toque más de 5 días. Px 5 Debdo a que estamos ante el suceso mposble Que le toque a lo sumo días; s se sabe que le ha tocado menos de 4 días. P( x ) P( x ) P( x ) P x / x4 P x / P x4 P( x 3) P( x ) P( x 3) =.79346/ = Que le toque más de 4 días, s se sabe que le ha tocado menos de 4 días 7

12 4 / / 4 P x x P x x P x 3 P( )) P( x Observe que estamos esperando el suceso mposble. Trate usted de nterpretar todos los resultados dados. 7- Para realzar usted. Una máquna está compuesta por tres elementos que trabajan ndependentemente. La probabldad de que cada elemento falle en una operacón es.3. Determne la ley de dstrbucón del número de elementos que fallan en una operacón. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA: Sea N el número total de elementos en una poblacón fnta, de manera tal, que k de estos elementos presenta una certa característca en la modaldad A y N-k presenta una certa característca en la modaldad noa; s se seleccona una muestra aleatora de la poblacón consttuda por n elementos, la probabldad de que x presenten la característca en la modaldad A y n-x presenten la característca en la modaldad noa es: P X n x x Ck C C nx N k n N E X n n * k n * p N Dsp X n * p * q * n / N n N 8- Una empresa tene codfcados a sus artículos en forma numérca del número al número. Se toman aleatoramente y en condcones de equposbldad 4 fchas técncas correspondentes a 4 de sus artículos; a los efectos de realzar un trabajo admnstratvo. Se sabe que los artículos codfcados del a 6 nsumen -para dcho trabajo - hora cada uno; y el resto horas. Defnr la varable aleatora: cantdad de fchas extraídas cuyo trabajo admnstratvo nsume hora. Solucón: Observe que la probabldad del suceso favorable no permanece constante ; o sea no son ndependentes los eventos que surgen en cada repetcón del expermento. 7

13 Y por lo tanto: n * k E X n n * p N Dsp X n * p * q * n / N n N X P(X) X*P(X) X^*P(X) (X-E(X))^*P(X) DISP(X)= cantdad de artículos que nsumen hora en 4 extraccones Realce el msmo ejercco, extrayendo 5 artículos; extrayendo 6 y extrayendo 7 artículos. Realce las comparacones pertnentes y justfque sus resultados. DISTRIBUCION DE POISSON: Cuando la cantdad de veces que se repte el expermento es en forma ndependente para cada repetcón, lo sufcentemente grande, la probabldad asocada al suceso favorable es lo sufcentemente pequeña; y la cantdad de veces de que se presente el suceso tambén es pequeña, se utlza esta dstrbucón. Donde: 73

14 x * e P( X n x) x! E( X n) Dsp( X ) n -Una máquna produce artículos por hora; y la probabldad que un artículo resulte calfcado de º es.. Hallar la probabldad de que en la produccón de una hora se generen 4 artículos de º. = *. = P (4) * e 4! Una empresa en su depósto tene una probabldad de rotura para sus productos de.. Hay en depósto de artículos. Hallar las sguentes probabldades:. - Que se produzca la rotura en un artículo.. - Que se produzca la rotura en dos artículos..3 - Que se produzca la rotura en 3 artículos..4 - Que se produzca la rotura en no más de 3 artículos.. - Que se produzca la rotura en más de 3 artículos. X P(X).3839E E E E-8 P(X<=3).8735E-8 P(X>3) - Para que lo realce usted. En una empresa, la cantdad de facturas es de en un período t de tempo; y la probabldad que las msmas sean por un monto mayor a u.m. es.3. Hallar la probabldad que al tomar tres resulten por una monto mayor a. Hallar la probabldad que no más de tres resulten por un monto no mayor a 3 - El número de avones que llegan por mnuto a un aeropuerto tene una dstrbucón de Possson con =3. Hay 4 operadores y cada uno atene a un avón, s más de 4 avones llegan en un mnuto, el exceso se desvía a otro aeropuerto. 74

15 A- En un mnuto cuál es la probabldad de tener que desvar avones? B- Cuál es el número esperado de avones atenddos por mnuto 3 x p(x) > A- P(x>4) =.847 -aproxmadamente este es el valor- B - E(x)= = 3 y Var(x)= = 3 y Dsp(x) = = El 3% de las latas de arvejas no son presentables para su comercalzacón. Hallar la probabldad que en una muestra de latas hayan: a- nnguna no presentable b- dos no presentables c- más de tres no presentables. Vamos a defnr la ley de dstrbucón de probabldad de la varable; =3, pues n=, p=.3 x p(x) > a- La probabldad de que nnguna sean no presentable es: P(x=) = b- La probabldad de que dos sean no presentable es: P(x=) =

16 c- La probabldad de que más de tres sean no presentables es: P(x>3)= Un fabrcante sabe que el 5% de su produccón es defectuosa. Se venden en cajas de, y garantza que en cada una no hay más de defectuosas. Hallar la probabldad de que una caja no cumpla lo garantzado. P=.5, n= =5 P( X ) P( X ) x p(x) >

17 6- La probabldad de accdentes fatales en una mna de carbón es de /4. Calcular la probabldad de que en una mna 35 obreros, haya por los menos una accdente fatal. P(AF)= /4 = 35* /4=.5. 5 P( X 35 ) e * Interprete todos los resultados. SOBRE LA COVARIANZA ASISTIDA CON PLANILLA DE CALCULO INTRODUCCIÓN: Donde antes se medía la caldad por la cantdad de partes defectuosas por ml, nuestro objetvo Ses Sgma se traduce a un índce de defectos de 3,4 partes por mllón en cada paso de nuestros procesos...en Motorola aplcamos a daro métodos estadístcos, en todas nuestras dscplnas, para sntetzar una abundanca de datos con objeto de mpulsar accones concretas... Robert Galvn Drector del Comté Ejecutvo de Motorola, Inc. Ford Argentna comenzó con los proyectos Ses Sgma en juno de, lo que la converte en una de las poneras en el país; explca Carlos Del Pno, Master Black Belt Deployment Manager de Ford. Del Peródco Clarín de fecha 3/8/3. Los métodos utlzados actualmente, en el análss de la caldad ndustral, como se puede constatar, se basan prortaramente en el concepto de dspersón y en el de covaranza. Dchos métodos, por lo general, necestan de una cantdad tedosa de operacones, por lo que resulta de nvalorable ayuda la posbldad de trabajar con una planlla de cálculo. Atento a ello, me he abocado al desarrollo de este trabajo, que no es más que una breve descrpcón, referda a la medcón de la varacón conjunta de dos varables y a la de resultantes de las msmas, como por ejemplo su suma. Se han tendo en cuenta en dcho desarrollo ddáctco varables ndependentes o dependentes estocástcamente, a los efectos de observar numércamente las propedades exstentes sobre el tema partcular y con vstas a la utlzacón de dchos parámetros en el coefcente de correlacón lneal. El menú de grafcacón que brnda la planlla da cálculo es otro soporte fundamental en el cual me he basado para esta produccón. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS: º CASO VARIABLES DISCRETAS INDEPENDIENTES: 77

18 Sea la varable edad promedo en que se producen actos volentos con su funcón de probabldad, y sea la varable salaro promedo con su correspondente funcón de probabldad Edad promedo en que se producen actos volentos (X) P robabldad Salaro promedo (Y) P robabldad 5,4,45,3 4,3 5,5 7, 3,5,5 Los valores esperados son 9,75 y 4 respectvamente y sus varanzas son,875 y 54 Dstrbucón Edad Promedo /Actos de Volenca Dstrbucón Salaro Promedo,45,4,35,3,5,,5,, ,5,45,4,35,3,5,,5,,5 4 7 Que son los hstogramas correspondentes S se toma la dstrbucón conjunta que surge de dchas varables dstrbuídas ndependentemente se tene: Probabldades Conjuntas 4 7 5,8,,8,,4,35,9,6,5,3 5,5,75,5,5,5 3,5,5,,5,5,45,3,,5 78

19 S se grafca dcha dstrbucón tenendo en cuenta dstntas vsones (en este caso han sdo elegdas 8 posbldades), se tene: Edad Promedo Dado Salaro Salaro Dado Edad Promedo,8,6,4,,,8,6,4, ,8,6,4,,,8,6,4, Edad Promedo Dado Salaro Con gro de 9º Salaro Dado Edad Promedo Con Gro de 3º,8,,6,4,,,8,6,4, ,5,,

20 Salaro Dado Edad Promedo Desde Arrba Edad Promedo Dado Salaro Desde Arrba Altura Semejante 5 5, 3 5, 5,5 5 3,5 4 3,, 7,5 5, Edad Promedo Dado Salaro con Perspectva Dstnta Salaro Dado Edad Promedo con Perspetva dstnta,8,8,6,6,4,4,,,8,6, ,,,8,6, ,, S se toma la varable suma y se calcula su valor esperado y su varanza se tene que: 8

21 Pares Ordenados Probabldades Con el sguente hstograma Covaranza Varable Suma E(X+Y) VAR(X+Y) 5, ,7 7546,63,35-6,75 9,7 5386,584 5,5-8,5 5 5,35 466,858 3,5-46,5 3 5,75 8,39 5 4, 45 49,8,775 4,9 4 37,8, , ,875, ,5 43 6,45, , , 6973,85 7,6 4,5 7 43, 549,38 5 7,5 78, ,5 4658, , 3, ,3 96,5563 5, -57 5,3 786,453,5,5 5,3 544,59 5,5 39,375 5, ,945 3,5 5,375 3,575 93,66 49,75 54,88 Suma de Varables,,8,6,4,,,8,6,4, De donde surge que el valor esperado de la suma de estas varables concde con la suma de los valores esperados de cada una de ellas y que su varanza es concdente con la suma de las varanzas de aquéllas º CASO VARIABLES DISCRETAS DEPENDIENTES CON COVARIANZA NULA: 5 8

22 Cantdad de Ausencas Daras en Montaje (X) Probabldad Cantdad de Ausencas Daras en Pntado (Y) Probabldad,3,,4,,3,4 3, 4, Como se puede observar las dstrbucones presentan una dstrbucón no lneal en cada caso, y el valor esperado de cada una de ellas es y respectvamente y sus varanzas:,6 y,44. Dstrbucón Conjunta Dstrbucón Conjunta,8,6,4,,,8,6,4, ,8,6,4,,,8,6,4, Cantdad de Ausencas Daras en Montaje Cantdad de Ausencas Daras en Pntado,45,45,4,4,35,35,3,3,5,5,,5,,5 3,,5,,

23 Hay dependenca no lneal a partr de la grafca y se puede constatar que la probabldad conjunta del par (;) no es gual al producto de las probabldades margnales. Pares Ordenados Probabldades Covaranza Varable Suma Probabldades E(X+Y) VAR(X+Y),,,,,7,7,7,7 -,4,36,7,44,5,5 3,3,69,7, 4,,8 3,,4 -,4 5,6,3,5,8 6,7,4,5,4 3,8,8 Var(X+Y)=,8 3,5 -,5 Dp(X+Y)=, , 3,4,4 4, -, 4, 4,7,4 De donde se puede deducr que le valor esperado de la suma concde con la suma de los valores esperados; pero la varanza de la suma es menor que la suma de las varanzas. Suma de Varables,4,3,, LA VARIABLE MULTINOMIAL (n dmensonal) 83

24 Supongamos que al hacer una prueba se pueden presentar los sucesos A, A,...A k, que forman un sstema exhaustvo de sucesos que se excluyen mutuamente, es decr: k k P A PA A... Ak PA PA... PAk PA Supongamos que PA p ; k y que cumple la condcón de estaconaredad para cada p. Supongamos que al realzar n pruebas ndependentes deseemos calcular la probabldad que se presente: n veces el suceso A, n veces el suceso A, y por últmo n k veces el suceso A k, sendo k n n n... n k n () Prmeramente, una secuenca de resultados posbles será: A, A,...A n; A, A,...A n;..., A k, A k,...a k nk y donde A j ndca la j-ésma presentacón del suceso A. La probabldad de dcha secuenca, por ser ndependentes las realzacones y permanecer constante (estaconara) cada una de las p, será: k p... n n n n p. p p k k por la regla de la multplcacón de probabldades. S contamos todas las secuencas posbles de ntercalacones entre las A, podremos aplcar la regla de la adcón de las probabldad, ya que cada una de estas secuencas es excluyente respecto del resto. Ahora ben, la cantdad de secuencas concdrá con el número de permutacones de n elementos formado por grupos de los que n son guales para todo, esto últmo, dcho de otra manera, n son guales, n son guales,..., n k son guales: n n n n n n... nk n! npn... n... n k n n n k n! n!... nk! Por lo tanto la probabldad de obtener en cualquer orden n A, n A,... n k A k, será: n! n n nk P x n; x n;... xk nk p p... pk n! n!... n! k 84

25 Se comprueba que esta Ley llamada Multnomal verfca la ley de cerre, ya que: n! n n nk n n p p pk p p pk n! n!... n! n n... nk n k como consecuenca de la fórmula de Lebntz para la potenca de un polnomo. Ahora ben como: k x n x k n k x pone de manfesto, que se trata de k- varables, y la ley de dstrbucón puede escrbrse: n n n! n n nk P x n; x n;... xk nk p p... pk q nk n! n!... nk! n n! Es oportuno puntualzar que todas las varables toman valores enteros, como mínmo al valor cero y como máxmo al valor n. El valor esperado para cada una de las varables es: E x np ; x k Y s analzamos conjuntamente la stuacón, se tene: E x ; x ;...; x np ; np ;...; np donde np n k k ; k El desvío esperado para cada una de las varables es: x x np np p ; k E Y s analzamos conjuntamente la stuacón, se tene: Var k k k k x ; x ;...; x np p ; np p ;...; np p ; donde np p Var x La covaranza para dos cualesquera dstntas varables, por ejemplo x y x j es: x np x np np p ; j k E, ;, j j j j y se deduce que es menor a cero, stuacón lógca que devene de la condcón ctada en (); para que esta condcón se mantenga es necesaro que cuando una de las varables aumenta, por ejemplo x, la otra, en este caso x j, debe dsmnur tanto como es el valor del aumento de aquélla. Cuando k = ; tenemos la ley correspondente a la Ley Bnomal; o sea esta Dstrbucón que se ha presentado anterormente es una partculardad de la Ley Multnomal. EJEMPLO: nk k 85

26 7º) Supongamos que en un proceso de produccón se rechazan aquellas pezas que tenen dámetro mayor a 5 mm., con una probabldad.5 y las que tenen dámetro menor a.5 mm, con una probabldad.4. 7º.) Obtener la probabldad que en pezas haya rechazables por dámetro grande y 3 rechazables por dámetro pequeño. 7º.) Obtener las cantdades esperadas de cada una de las stuacones, sus desvíos esperados y por últmo las covaranzas 7º.) q n ; n 3 3 5! P!.3!.5! 7º.) E x *.5.5 E E E 3 5 x ; x 3.5 *.4 *.9.56 x *.4.4 x3 *.9 9. x Ex Ex Var Var Var Cov Var Var 3 x *.5* x *.4* x3 *.9* x; x *.5*.4. x; x3 *.5* x ; x *.9* º) Supongamos que en los embarques que la empresa destna a Brasl, el 4% de los contaners tenen destno fnal San Pablo, el 5% tenen destno fnal Brasla, y el resto su destno fnal es Curtba. Se audtan 5 contaners de un embarque destnado a Brasl. 8º.) Defnr la ley de dstrbucón y grafcar x x x3 p 5, 4, 4,5 3,6 3,5 3,4 3,64 5,4 3,5 86

27 4,8,4,3 5,35 4,35 3,64 4,64 3,, 4,5 3,6 3, Dstrbucón Multnomal p =.4 p =.5 p 3 =. n=5,,8,6,4, p(x;x;x3),,8,6,4, C3 C5 x x C Sere,,,6,64,8,4 Sere,5,4,4,64,64 Sere3,5,3,,6 Sere4,5,, Sere5,35,5 Sere6,35 87

28 Dstrbucón Multnomal p =.4 p =.5 p 3 =. n=5,,5, p(x;x;x3),5 x 4 C C C3 C4 x C5 C Sere,,,6,64,8,4 Sere,5,4,4,64,64 Sere3,5,3,,6 Sere4,5,, Sere5,35,5 Sere6,35 8º.) Cuál es la probabldad que al menos un contaner tenga destno fnal San Pablo. P x P x P x P x 3 P x 4 P x º) Una empresa tene cuatro modaldades de venta. La dstrbucón correspondente es la que se detalla en el gráfco: 88

29 PARTICIPACION DE LA MODALIDAD DE VENTA D % A % C 35% B 5% 9º.) Calcular las probabldades que surgen de tomar aleatoramente tres facturas: 9º..) Que las tres sean de la modaldad A 9º..) Que dos sean de la modaldad A y la otra sea de la modaldad B o ben de la modaldad D 9º..3) Que dos sean de la modaldad A y la otra sea de la modaldad B o ben de la modaldad C 9º..4) Que dos sean de la modaldad A y la otra sea de la modaldad D o ben de la modaldad C. 9º..5) Que todas sean de modaldades dstntas 9º..6) Cuántas se esperan de cada modaldad y con qué desvío esperado? 9º.) Calcular las probabldades que surgen de tomar aleatoramente cuatro facturas: 9º..) Que tres sean de la modaldad A 9º.) Que tres sean de la modaldad A y la restante de la modaldad B 9º..) Que tres sean de la modaldad A y la restante de la modaldad B o C 9º.3) Que solo tres sean de la modaldad A y la restante no sea de la modaldad B n de la modaldad C 9º..4) Que al menos tres sean de la modaldad A y la restante no sea de la modaldad B n de la modaldad C 9º..5) Que dos sean de la modaldad A y las otras sean de la modaldad B o ben de la modaldad D º) Una empresa posee 3 plantas de elaboracón. En la prmera realza el % de los productos, en la segunda el % y en la últma el resto de la produccón. Llamaremos P s el orgen es la planta ésma. S se elgen aleatoramente 4 productos de la empresa y se analza la planta de orgen. 89

30 º.)Cuál es la probabldad de que de los productos provengan de la P, 3 de la P y de la P3? º.) Cuál es la probabldad de que de los productos provengan de la P, de la P y de la P3? º.3) Cuál es la probabldad de que de los productos provengan de la P, de la P y de la P3? 9