CAPÍTULO 1 LOS SISTEMAS DE PEARSON COMO GENERADORES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. APLICACIONES ESTADÍSTICAS Y ECONÓMICAS

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1 CAPÍTULO 1 LOS SISTEMAS DE PEARSON COMO GENERADORES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. APLICACIONES ESTADÍSTICAS Y ECONÓMICAS RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Departamento de Métodos Cuanttatvos para la Economía y la Empresa Facultad de Cencas Económcas y Empresarales Unversdad de Granada Una forma de abordar el estudo global y conjunto de un gran número de dstrbucones de probabldades, se consgue con la formulacón de sstemas de dstrbucones que verfcan una determnada ecuacón funconal, ben dferencal para las dstrbucones de tpo contnuo, o ben en dferencas fntas para las dstrbucones de tpo dscreto. Son varos los objetvos que se consguen con esta formulacón, a saber: a) Aplcacón sstemátca de dversas metodologías en la generacón de famlas de dstrbucones b) La obtencón sstemátca de característcas comunes a cada famla: relacones de recurrencas entre momentos, clasfcacón de dstrbucones etc. Los sstemas de dstrbucones contnuos unvarantes más estudados por sus aplcacones son el de Pearson, y la famla exponencal, Loève (1963) Zacks, (1971). La relacón entre ambas famlas puede verse, con todo detalle, en Herrerías (1975) El sstema de Pearson responde a la ecuacón dferencal lneal de prmer orden y homogénea, Cansado(1950), Elderton,(1969) y Jonhson-Kotz, (1970): f '( x a (1) + b1 x + bx Es sobradamente conocdo que la mayoría de las dstrbucones contnuas unvarantes satsfacen la anteror ecuacón dferencal (1) y que el conocmento de los cuatro prmeros momentos muestrales es sufccente para estmar los cuatro

2 10 RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES parámetgros que aparecen en la expresón (1) y de esta forma se dspone de una densdad, aunque por tratarse de una estmacón realzada por el método de los momentos, se conoce que tales estmacones, en general, no son efcentes. Obsérvese que el prmer membro de (1) puede expresarse por d ln y Dx y Dx ln y dx y donde D x representa el operador lneal dervada. En la lteratura especalzada se encuentran otros sstemas que extenden y generalzan las dstrbucones de (1); dos ejemplos sgnfcatvos son la extensón de L.K. Roy, (1971), y la generalzacón de Herrerías, (1975). La extensón de Roy se obtene cambando el segundo membro de (1), que pasa a ser, f '( a0 + a1x + ax () x( + b1 x + bx ) Como se observa, la dea es complcar el segundo membro de (1), de manera que se consdera una fraccón en la que el numerador es un polnomo de segundo grado, en vez de prmero, y el denomnador es un polnomo de tercer grado sn térmno ndependente, en vez de un polnomo de segundo grado como en (1). Con esta nueva formulacón se dan cabda a cnco tpos de dstrbucones de probabldad que no satsfacen a (1) pero que, por verfcar (), tenen un tratamento análogo a las dstrbucones que cumplen (1). En partcular se obtene una relacón de recurrenca entre momentos y, conocdos los sete prmeros momentos muestrales, pueden estmarse los parámetros a y b de (). La generalzacón de Herrerías se obtene cambando el prmer membro, al utlzar el operador aleph 1, en vez del operador dervada ordnara. Los sstemas obtendos a partr de la generalzacón de Herrerías responden a la ecuacón dferencal que se puede escrbr f '( x a + ϕ( (3) + b1 x + b x que es un caso partcular del sstema de Pearson generalzado, defndo medante 1 Dervada generalzada, Aldanondo (1969), [ y( ] operador dervada ordnara D, es a 0 1. a g f y' ( g( y(. Obsérvese que el En Herrerías (1975) se hace notar que s ϕ( 1/x entonces (3) se transforma en (), por lo que las nuevas dstrbucones de (), que no son de (1), son un caso partcular de (3).

3 LOS SISTEMAS DE PEARSON COMO GENERADORES DE DISTRIBUCIONES...11 a f ( F( a y b + donde F ( x f ( t) dt ϕ [ F( x ] 0 + b1 F( b ) El sguente paso consste en extender el sstema de Pearson a dos dmensones; esto se consgue con la famla pearsonana bvarante, defnda por van Uven, (1947), L1 ln f x Q1 (4) L (, ) x y ln f y Q donde L 1 y L son formas lneales y Q 1 y Q son formas cuadrátcas, y donde además se ha de verfcar la gualdad de Schwartz para la ntegrabldad del sstema L1 L y Q1 x Q Fnalmente, Steyn (1960), realza la extensón del caso bvarante al multvarante, a través de un sstema de gual número de ecuacones que de varables componen el vector aleatoro. Por otra parte, Fernández (1979), extende el sstema de van Uven, utlzando funcones cuadrátcas y cúbcas para el numerador y el denomnador, respectvamente, del segundo membro de las ecuacones que defnen el sstema, a la manera de lo hecho por Roy en el caso unvarante. En estudos posterores, Herrerías, Palacos y Callejón, (1998), sguendo la metodología pearsonana, establecen los conceptos de funcón generadora de una dstrbucón de probabldad, y de sstema de funcones generadoras para dstrbucones multvarantes. La expresón (3) sugere el concepto de funcón generadora de una dstrbucón unvarante contnua. Mantenendo el prmer membro de la ecuacón (3), se susttuye el segundo por una funcón g( a la que sólo se le exgen las condcones necesaras y sufcentes para que f( sea una funcón de densdad de una varable aleatora, sobre un recnto determnado. Aparece de esta forma el concepto de funcón generadora de una dstrbucón unvarante contnua. S f( es la funcón de densdad de una varable aleatora y [a,b] es su domno de defncón, se puede calcular la correspondente funcón generadora, que vene dada por: f '( g (

4 1 RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Las propedades de estas funcones generadoras permten su utlzacón drecta, como herramenta, en dstntas aplcacones estadístcas: estudo de la ndependenca entre varables aleatoras a partr de la observacón drecta del sstema de funcones generadoras, Herrerías, Palacos y Callejon (1997), (1998) y (1999); cantdad de nformacón, Herrerías, Palacos, Pérez y Callejon (1998); estudo de la relacón entre los métodos de estmacón de los momentos y de la máxma verosmltud, Callejon y Santos (1994), etc. Palacos, Herrerías y Callejón (000), realzan una generalzacón del sstema de Pearson medante splnes, dejando patente la flexbldad que permte la utlzacón de los elementos de la famla a la hora de la modelzacón de los datos muestrales. La famla generalzada medante splnes vene defnda por la ecuacón donde y f ' ( x a k 1 d x k 1 c d ( x x ) ( x x ) + a < x1 < x <... < xk < b, 0 < p 1 <... < pk < 1 ( x x ) r + 0 ( x x ) r s s x > x x x Del msmo modo que la ecuacón que defne la famla de Pearson sugró la dea de funcón generadora de una dstrbucón contnua unvarante de probabldad, las extensones de van Uven y Steyn permten establecer el concepto de sstema de funcones generadoras de una dstrbucón contnua multvarante de probabldad, que resulta estar formado por las funcones generadoras de cada una de las dstrbucones condconadas, lo que permte obtener la funcón de densdad conjunta como solucón de una ecuacón dferencal, sn el concurso de las dstrbucones margnales En el caso dscreto unvarante, J.K. Ord (1967), ntrodujo una ecuacón en dferencas fntas, lneal de prmer orden y homogénea, para generar funcones de cuantía de manera análoga al sstema de Pearson, que responde a la expresón: pr 1 a r (5) pr 1 + b1r + br( r 1) de la cual se deduce una relacón recurrente entre los momentos factorales recurrentes y puede comprobarse fáclmente que la mayoría de las dstrbucones

5 LOS SISTEMAS DE PEARSON COMO GENERADORES DE DISTRIBUCIONES...13 unvarantes dscretas que se estudan en los dstntos textos de Estadístca, satsfacen la ecuacón (5). Este sstema fue amplado por Herrerías (1976), mantenendo el paralelsmo con la extensón de Roy en el caso contnuo; la ecuacón que defne la extensón de Herrerías en el caso dscreto es: pr 1 a0 + a1r + ar( r 1) (6) pr 1 + b1r + br( r 1) + b3r ( r 1)( r ) El concepto de funcón generadora de una dstrbucón unvarante dscreta de probabldad supone que el segundo membro de (5) es una funcón a la que sólo se le exgrán las condcones necesaras para que al resolver la ecuacón en dferencas se obtenga una dstrbucón de probabldad. Evdentemente, no se modfca el concepto de funcón generadora, con respecto al caso contnuo, en el sentdo de que se defne gual al prmer membro de la ecuacón funconal correspondente, Callejón (1995). El sstema de dstrbucones bvarantes dscretas de tpo Pearson, análogo al estudado por van Uven en el caso contnuo, es estudado por Herrerías - Cobos (1984) y Herrerías Calvete (1985) y (1986), planteando el sstema de ecuacones en dferencas fntas que lo defne, mostrando dstrbucones que pertenecen a él, y encontrando una solucón general basada en las relacones de recurrenca de los momentos factorales descendentes. Fajardo (1985), realza la generalzacón del sstema de Pearson dscreto unvarante; parte de una ecuacón en dferencas fntas y obtene la solucón general, caracterzando las funcones generatrces de probabldad asocadas a las solucones de la menconada ecuacón y estuda algunas famlas de dstrbucones dscretas pertenecentes a este sstema. Parece oportuno resaltar en este prmer capítulo de la monografía algunas de las propedades que se pueden estudar, a partr de los sstemas de funcones generadoras de probabldad, en Estadístca Matemátca, tales como la dependenca o ndependenca estocástca, la regresón en dstrbucones con condconadas smétrcas, la cantdad de nformacón de Fsher o la relacón entre los métodos de estmacón de la máxma verosmltud y de los momentos. En cuanto al estudo de la dependenca o ndependenca estocástca, esta metodología prescnde de las dstrbucones margnales y de las dfcultades de cálculo para obtenerlas y resulta mucho más corta y senclla que la habtual. Se pone de manfesto que la ndependenca estocástca se puede observar a partr de la dependenca analítca de las funcones generadoras de las dstntas varables, (Herrerías, Palacos y Callejón, 1998). Medante un smple análss de la dervada del logartmo de la funcón de densdad (caso contnuo) o de la razón entre dos valores de la funcón de cuantía (caso dscreto), pueden extraerse todas las relacones de nterdependenca

6 14 RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES estocástca entre las componentes de un vector aleatoro. Como consecuenca de la smplcdad del método se tene un nstrumento valoso, desde el punto de vsta ddáctco, para enseñar al alumno a chequear la ndependenca estocástca de varables aleatoras. Consderamos nteresante que los enseñantes de la Estadístca tengan conocmento de estos resultados para el aprovechamento ddáctco de los msmos en su quehacer daro. La utlzacón como herramenta de las funcones generadoras permten conclur que, s una dstrbucón contnua bvarante tene las dstrbucones de y condconadas a x smétrcas, entonces, la funcón de regresón de y sobre x se obtene al gualar a cero la segunda funcón generadora de la dstrbucón conjunta. Es decr al resolver en y la ecuacón que resulta de gualar a cero la dervada parcal con respecto a y, del logartmo de la densdad conjunta. Análogo razonamento se puede realzar para la funcón de regresón de x sobre y, Herrerías, Palacos y Callejón, (1997). La utlzacón de la metodología propa del sstema de Pearson y, por tanto, de las funcones generadoras, permte ajustar varos modelos probablístcos para la dstrbucón de la renta, empleando dos procedmentos dferentes aunque relaconados, Herrerías, Palacos y Callejon (1996) y (1997). (a) Medante el sstema de Pearson de dstrbucones contnuas unvarantes, se estman los parámetros a través del método de los momentos, para lo cual se utlzan los cuatro prmeros momentos muestrales respecto al orgen. (b) Utlzando una funcón generadora polnómca, cuyos parámetros se estman de forma análoga al apartado anteror. El grado se seleccona medante comparacón con la funcón de dstrbucón empírca, Herrerías, Palacos y Ramos (1996) y Herrerías, Palacos y Pérez (1997). Además, la generacón permte la formulacón de las meddas de concentracón, basada en la estructura probablístca subyacente de las varables que permten la cuantfcacón de la desgualdad económca y de otros conceptos afnes, como lo son la pobreza, la gualdad o el benestar socal, etc. Tanto la curva de Lorenz como el índce de Gn son meddas habtuales en el estudo de la desgualdad socal y en la medda de la pobreza de una poblacón, como ndca Sen (1973), entre otros. Por otra parte, la relacón entre ambas herramentas es muy fuerte como ponen de manfesto Calot (1967), Kendall y Stuart (1977), Casas y Núñez (1987), entre otros, s ben parece que el índce de Gn es más apto como medda sntétca de tpo cuanttatvo, mentras que la curva de Lorenz es más descrptva puesto que permte el estudo detallado del reparto efectuado de los recursos de un modo más pormenorzado. Resulta nteresante la dea de caracterzar la curva de Lorenz a partr de una sere de propedades que permtan obtener una gama coherente de formas funconales para estmarlas a partr de una dstrbucón de frecuencas observada. En este

7 LOS SISTEMAS DE PEARSON COMO GENERADORES DE DISTRIBUCIONES...15 sentdo se puede reseñar el trabajo de Casas-Núñez (1987) en el que se obtene una condcón necesara para las curvas de Lorenz, que satsfacen las curvas exponencal y potencal. Así pues, exsten dos posbles líneas de nvestgacón: la prmera trataría de obtener una condcón sufcente que encauce el estudo de una posble caracterzacón de las curvas de Lorenz, y la segunda avanzar en la búsqueda de formas dstrbuconales coherentes con la condcón necesara allí desarrollada, para dsponer de un conjunto de ellas que permtan estmar razonablemente las curvas de Lorenz. Casas, Herrrerías y Núñez, (1990) proponen dos formas de obtencón de funcones que modelzan la curva de Lorenz, una medante combnacones lneales convexas de formas funconales, utlzadas en la estmacón de dcha curva por otros autores y otra, utlzando la ecuacón dferencal de Pearson, que genera la famla de dstrbucones contnuas unvarantes clásca, Lafuente, M. (1994). Posterormente se establecen las condcones necesaras y sufcentes para que una funcón que que verfca la ecuacón dferencal de Pearson, (1), sea generadora de una curva de Lorenz, Herrerías, Palacos y Callejon (001). El método de los momentos, utlzado para estmar la funcón de densdad de una dstrbucón contnua unvarante que pertenece a la famla de Pearson, tambén puede utlzarse para, obtener la correspondente curva de Lorenz. Por otra parte, García, R. M y Herrerías, J.M. (001) han logrado nclur curvas de Lorenz en las funcones generadoras, lo que prueba que las aplcacones económcas de las funcones generadoras no han hecho nada más que empezar. BIBLIOGRAFÍA 3 ALDANONDO, I. (1969). Ecuacones dferencales lneales de coefcentes constantes en dervadas parcales en el operador "aleph". Publcacones del Semnaro de Matemátcas García de Galdeano, Vol. 10, pág Unversdad de Zaragoza. CALLEJÓN, J. (1995). Un nuevo método para generar dstrbucones de probabldad. Problemas asocados y Aplcacones. Tess Doctoral. Unversdad de Granada. ETD Mcropublcacones S.L. CALOT, G. (1967). Cours de Calcul des Probabltés. Dunot. Pars. CANSADO, E. (1950). Exposcón sstemátca de las dstrbucones de Pearson. Trab. de Estadístca. Vol 1. Cuad. III, pág Todas las referencas bblográfcas señaladas con astersco se encuentran recogdas en el texto: Aplcacones Estadístcas y Económcas de los Sstemas de Funcones Generadoras. Edtores Herrerías, R; Palacos, F y Callejón, J (001). Edtoral Unversdad de Granada

8 16 RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES * CASAS, J.M., y NÚÑEZ, J.J. (1987). Algunas consderacones sobre las meddas de concentracón. Aplcacones. Actas del I Congreso ASEPELT-ESPAÑA. Barcelona, pp * CASAS, J.M., HERRERÍAS, R. y NÚÑEZ, J.J. (1990). Famlas de formas funconales para estmar la curva de Lorenz. IV Reunón Anual ASEPELT-ESPAÑA. Murca. ELDERTON, W.P. y JOHNSON N.L.(1969), System of frequency curves. Cambrdge Unversty Press. FAJARDO, M.A. (1985). Generalzacones de los sstemas pearsonanos dscretos. Tess doctoral. Unversdad de Extremadura. FERNÁNDEZ, F. (1979). Una extensón del sstema de Pearson bvarante o sstema de van Uven. Publcacones de la Facultad de Cencas de Granada. * GARCÍA R.M y HERRERÍAS J.M. (001). Inclusón de curvas de Lorenz en el sstema de Pearson. Modelos de generacón de dstrbucones: propedades y aplcacones. Granada. HERRERÍAS, R.(1975). Sobre las estructuras estadístcas de Pearson y exponencales, problemas asocados. Publcacones de la Facultad de Cencas de Granada. * HERRERÍAS R. (1976). Extensón del sstema de dstrbucones dscretas de Pearson. Cuadernos de Estadístca Matemátca, vol 4, pp * HERRERÍAS, R. y CALVETE, H. (1986). Un sstema de dstrbucones dscretas bvarantes. Estadístca Española, nº 109, P pp * HERRERÍAS, R. y CALVETE, H. (1986). Estudo del sstema de dstrbucones de probabldad bvarantes dscretas del tpo Pearson-Ord. Cuadernos Aragoneses de Economía, nº 10, pp * HERRERÍAS, R. y COBOS, J. (1984). Solucón General para un tpo de sstemas de dstrbucones de probabldad bvarantes dscretas. Cuadernos Aragoneses de Economía, nº 8, pp * HERRERÍAS, R., PALACIOS, F. y CALLEJÓN, J. (1996) Dstrbucón de la renta en la provnca de Valladold: dos métodos de estmacón. Valladold; Hoy y Mañana. Pendente de publcacón. * HERRERÍAS, R., PALACIOS, F. y CALLEJÓN, J. (1996) Dstrbucón de la renta en la Comundad de Castlla y León: dos métodos de estmacón. 5º Congreso de Economía Regonal de Castlla y León. Comuncacones, pp HERRERÍAS, R., PALACIOS, F. y CALLEJÓN, J.(1997) A new condton to check the ndependence of random varable. Communcatons n Statstcs. Theory and Methods, vol 6-, pp * HERRERÍAS, R., PALACIOS, F. y CALLEJÓN, J. (1997) Aproxmacón a la regresón en dstrbucones con condconadas smétrcas. XI Reunón Anual de la Asocacón Centífca Europea de Economía Aplcada, ASEPELT-ESPAÑA. CD ROM HERRERÍAS, R., PALACIOS, F. y CALLEJÓN, J. (1998) Usng generator functon system to check ndependence of random varables. Communcatons n Statstcs. Theory and Methods, 7-, pp * HERRERÍAS, R., PALACIOS, F. y CALLEJÓN, J. (1999). Un método sencllo para enseñar la dependenca o ndependenca estocástca entre varables aleatoras

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