METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES A UN CONJUNTO DE VARIABLES DEPENDIENTES

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1 Ingenería Técnca Industral Mecánca METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES A UN CONJUNTO DE VARIABLES DEPENDIENTES UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA Ingenería Técnca Industral: Mecánca Julo 010 Autor: Jesús González García. Tutora: Isabel Marna González Faras. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd.

2 ÍNDICE ÍNDICE Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 1

3 ÍNDICE Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd.

4 1. CAPÍTULO PRIMERO: INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN Y ALCANCE DEL PROYECTO. La asgnacón de tolerancas ha evoluconado hasta convertrse en un factor de vtal mportanca dentro de la fabrcacón mecánca. En la actualdad esta asgnacón depende de varos factores entre los que se puede destacar el proceso de fabrcacón empleado. A partr de la ntroduccón de la estadístca en el control de los procesos de fabrcacón, se comenzó a relaconar la varabldad de dchos procesos con la asgnacón de tolerancas con el objetvo de adecuar la fabrcacón de una peza a un determnado proceso, mejorando consderadamente el rato coste-caldad en la asgnacón de tolerancas. Las tolerancas pueden ser dferencadas en dos grupos, las tolerancas geométrcas que hacen referenca a las cualdades eternas, centrándose, como su propo nombre ndca en las desvacones geométrcas de la peza respecto de las que dealmente se esperan y las tolerancas dmensonales que hacen referenca a los límtes dados para los valores de las dstntas dmensones de las que se compone una peza o conjunto. Ambos tpos de tolerancas son necesaras para la correcta funconaldad de las pezas o conjuntos mecáncos y sus valores dependerán de los procesos productvos y de los requermentos de caldad que se establezcan prevamente. La asgnacón de tolerancas está estrechamente relaconada con el proceso de fabrcacón y el control de caldad del producto. La asgnacón de unas tolerancas muy pequeñas repercutrá drectamente en la necesdad de trabajar con procesos productvos costosos, de baja varabldad que aumentan de manera consderable los costes de produccón. Por el contraro, la asgnacón de tolerancas muy amplas producrá el aumento de elementos que no cumplen con las especfcacones establecdas, aumentando la proporcón de defectuosos y repercutendo en los costes de caldad. En este proyecto nos centraremos en la asgnacón óptma de tolerancas dmensonales. Se consdera que unas tolerancas son óptmas cuando son las mámas tolerancas posbles que permten cumplr las restrccones de la peza. Para el cumplmento de las restrccones de la peza, se consderará el enfoque estadístco. Es decr, no se espera que todas las pezas cumplan las restrccones, s no que se tenga una proporcón de defectuosos muy pequeña. Los métodos tradconales para la asgnacón de tolerancas dmensonales están basados en la ndependenca entre varables. Además, consderan que las tolerancas son smétrcas con respecto a un valor nomnal que es fjo. En la asgnacón de las tolerancas estos métodos usan la varabldad del proceso de fabrcacón, epresada como varanza de las varables, sn embargo esta varabldad es fctca ya que no se basa en datos tomados del proceso de fabrcacón. Un método nnovador para la asgnacón de tolerancas dmensonales óptmas consderando correlacón entre varables correladas (debdo al proceso de fabrcacón) ha sdo propuesto por González y Sánchez (008). Este método se basa en obtener unas varables ndependentes a partr de las varables correladas orgnales, y resolver el problema de asgnacón óptma de las tolerancas usando estas varables ndependentes. El método hace uso de la matrz de covaranzas del proceso de fabrcacón que debe ser estmada con datos de dcho proceso. Al gual que en los métodos tradconales en este caso se consdera de los límtes de tolerancas son smétrcos respecto a un valor nomnal que es fjo. En este proyecto, se propondrá una metodología basada en la propuesta de González y Sánchez (008). El procedmento para la asgnacón óptma de tolerancas consderará correlacón entre varables, pero nclurá la posbldad de asgnar valores nomnales de las varables, dentro de un rango fjo, de forma que se mamcen las tolerancas. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 3

5 CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN. Debdo al elevado número de varables a optmzar que se pueden presentar a la hora de resolver esta metodología, se planteará su resolucón medante la aplcacón de algortmos genétcos. Este método de optmzacón basado en las técncas evolutvas postuladas por Charles Darwn en 1859, permte soluconar problemas complejos de optmzacón de forma rápda y senclla sn la necesdad de tener conocmentos específcos prevos del problema. La aplcacón de algortmos genétcos como algortmo de optmzacón se llevará a cabo medante la toolbo Gatool de MATLAB. 1.. OBJETIVOS DEL PROYECTO. El objetvo prncpal de este proyecto es presentar de manera detallada pero senclla, una nueva metodología para la asgnacón óptma de valores nomnales y tolerancas a un conjunto de varables correladas. Esta asgnacón óptma busca mamzar las tolerancas de manera que se obtenga una proporcón de pezas defectuosas pequeña. Se pretende que cualquer persona, ncluso aquéllas que no poseen nngún conocmento sobre este tema pueda comprender las bases de la metodología propuesta así como aplcarla a problemas reales. Se realzará una descrpcón de la aplcacón de Algortmos Genétcos como método de optmzacón así como una guía rápda de utlzacón dentro del programa matemátco de cálculo computaconal MATLAB, que permta a cualquer persona, aunque no haya tendo contacto con este método de optmzacón, la resolucón de problemas sencllos. Por últmo se mostrarán varos ejemplos de aplcacón para una mayor comprensón de la metodología y se darán a conocer las ventajas y desventajas de la aplcacón de esta nueva metodología con respecto a las dferentes metodologías propuestas con anterordad y las futuras líneas de nvestgacón que se podrían plantear para mejorarla ESTRUCTURA DEL PROYECTO. En el capítulo II, se descrben los conceptos más mportantes relaconados con la asgnacón de tolerancas y valores nomnales, así como, las metodologías actuales utlzadas para la asgnacón de éstas. En el capítulo III, se descrbe brevemente la técnca de optmzacón medante algortmos genétcos, que será usada para la resolucón del problema de asgnacón de tolerancas y valores nomnales. Tambén se presenta el uso de algortmos genétcos en Matlab y un ejemplo práctco de optmzacón. En el capítulo IV se desarrolla la metodología propuesta de forma detallada, defnendo las etapas de las que se compone paso por paso. En el capítulo V, se muestra la aplcacón completa de la metodología y los resultados obtendos sobre tres ejemplos práctcos. En el capítulo VI, se eponen las conclusones y las futuras líneas de trabajo que se podrían emplear para la mejora de la metodología. Por últmo, se ncluye la bblografía y los enlaces web consultados así como una sere de aneos con nformacón útl para el lector. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 4

6 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE. CAPÍTULO SEGUNDO: ESTADO DEL ARTE En este capítulo se tratarán conceptos teórcos mportantes relaconados con la metodología que será propuesta en este proyecto. El capítulo está estructurado en los sguentes apartados. El prmero ncluye la defncón de una sere de conceptos estadístcos mportantes. En el segundo apartado se defne el problema de la asgnacón de tolerancas y valores nomnales, objeto de este proyecto. Por últmo, en el tercero, se presentan brevemente los procedmentos que esten actualmente para resolver este problema..1. CONCEPTOS ESTADÍSTICOS IMPORTANTES Meda. Dado un conjunto de n datos numércos 1,,..., n, se defne la meda artmétca como: Donde el sumatoro se etende al número total de datos n. n (.1).1.. Desvacón estándar. La desvacón estándar o desvacón típca es una medda de centralzacón o dspersón. Es de gran utldad en la estadístca descrptva. Junto a la varanza con la que está estrechamente relaconada, es una medda (cuadrátca) que nforma de la meda de dstancas que tenen los datos respecto de su meda artmétca, epresada en las msmas undades que la varable. Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las meddas de tendenca central, sno que necestamos conocer tambén la desvacón que representan los datos en su dstrbucón respecto de la meda artmétca de dcha dstrbucón, con objeto de tener una vsón de los msmos más acorde con la realdad a la hora de descrbrlos e nterpretarlos para la toma de decsones. La desvacón típca muestral es gual a:.1.3. Varanza. n (.) La varanza es una medda de la dspersón de una varable aleatora respecto a su esperanza. Está relaconada con la desvacón estándar o desvacón típca, que se suele denotar por la letra grega (sgma) y que es la raíz cuadrada de la varanza. La varanza es gual a: (.3) n Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 5

7 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE.1.4. Covaranza. En el conjunto de n -varables contnuas, la covaranza es la medda de la relacón lneal entre cada par de varables, defnda por: Cov(, y) y y n, (.4) Donde el sumatoro está etenddo a las n parejas de valores, y Índce de capacdad. El índce de capacdad del proceso, denotado como C p es un cálculo estadístco sobre la capacdad de un proceso (proporcón de defectuosos) para producr una peza dentro de unos límtes predefndos ( TS, toleranca superor y TI, toleranca nferor). Este índce juega un papel fundamental en las plantas de produccón a la hora de demostrar que un proceso (ej. de produccón de tornllos) es fable y está bajo control. Se defne como: Cp TS 6 TI (.5) Bajo normaldad, y s el proceso está centrado en la meda, un valor del índce de capacdad gual a la undad, Cp 1, ndca que la proporcón de defectuosos esperada es gual a p Como regla general, un índce mayor a la undad, ndca que el proceso es capaz p Un índce menor a la undad, ndca que el proceso no es capaz p Matrz de covaranzas. En estadístca y teoría de la probabldad, la matrz de covaranza es una medda multvarante compuesta por una matrz cuadrada smétrca que tene en la dagonal prncpal las varanzas de las observacones, y fuera de ellas las covaranzas entre varables. La matrz de covaranza es una herramenta muy útl en varos campos. A partr de ella se puede dervar una transformacón lneal que puede de-correlaconar los datos o, desde otro punto de vsta, encontrar una base óptma para representar los datos de forma óptma, esto es denomnado como análss de componentes prncpales (ACP). Σ 1 Cov 1 Cov 1k 1 k 1 Cov k k Cov 1 Cov Cov k 1 k k (.6) Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 6

8 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE.1.7. Análss de datos multvarantes. El análss de datos multvarantes comprende el estudo estadístco de varas varables meddas en elementos de una poblacón. Algunos de los objetvos de un análss multvarante pueden ser, por ejemplo, los sguentes: 1. Resumr los datos medante un pequeño conjunto de nuevas varables, construdas como transformacones de las orgnales, con la mínma pérdda de nformacón, que nos permtrán: - Comparar dstntos conjuntos de datos medante su representacón gráfca. - Mejorar nuestro conocmento de la realdad estudada.. Identfcar posbles grupos que puedan estr dentro de las observacones. En muchas stuacones los grupos son desconocdos a pror y queremos dsponer de un procedmento objetvo para obtenerlos. 3. Clasfcar nuevas observacones dentro de los grupos defndos a pror. 4. Estudar la relacón entre dos conjuntos de varables, ya sean guales meddas en dos momentos dferentes o dstntos, y conocer cuantas dmensones tene esta relacón. El análss multvarante de datos proporcona métodos objetvos para conocer cuantas varables ndcadoras o factores, son necesaras para descrbr adecuadamente una realdad compleja y determnar las propedades de estas varables Dstrbucón normal unvarante y multvarante. Cuando se trabaja en la vda real, la suposcón más habtual es que una varable sgue una dstrbucón normal o gaussana unvarante. La justfcacón matemátca de esta dstrbucón se encuentra en el Teorema Central del Límte que demuestra que la suma de varables ndependentes se dstrbuye en el límte como una normal. Muchas característcas que se mden son la conjuncón de muchas causas que actúan conjuntamente sobre el suceso. Por ejemplo, la altura de las personas se consdera que se dstrbuye como una normal ya que su valor es debdo a múltples causas ambentales, almentaras y genétcas. La dstrbucón normal unvarante es el modelo de dstrbucón de probabldad para varables contnuas más mportante y está defndo por su funcón de densdad. f() 1 1 ep 1 (.7) y su representacón gráfca se puede ver en la fgura.1. Fgura.1: Dstrbucón normal unvarante. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 7

9 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE La dstrbucón normal multvarante, tambén llamada dstrbucón gaussana multvarante, es una generalzacón de la dstrbucón normal unvarante a dmensones superores. En este caso, un conjunto de k varables 1,,..., k, sgue una dstrbucón normal k -dmensonal, N k μ, Σ, s su funcón de densdad conjunta obedece a la epresón. f f,..., 1, 3 e 1 1 k (.8) det Donde, μ es el vector de medas μ 1,,..., 3 defnda por la matrz (.6). y Σ es la matrz de covaranzas Bajo la hpótess de normaldad multvarante, se tene que las observacones de las varables defnen un hperelpsode de dmensón k. Por ejemplo, para el caso de k, la regón defnda es una elpse como la que se representa en la fgura.. Fgura.: Representacón de la dspersón de los datos bajo normaldad multvarante. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 8

10 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Propedades de la dstrbucón normal multvarante. 1. S un conjunto de varables sgue una dstrbucón normal multvarante, puede demostrarse que todas las dstrbucones margnales son normales, de forma que cada varable es una normal N,. Igualmente el resultado recíproco se cumple N tambén: dadas k varables aleatoras normales, su dstrbucón conjunta es una normal k -dmensonal.. Puede demostrarse que las dstrbucones condconadas de cualquer dmensón son tambén normales y que, en partcular, las de dmensón uno son normales undmensonales que tenen por meda el valor esperado por la regresón lneal, y por varanza la varanza resdual, de esa regresón. 3. Un caso mportante de dstrbucón normal k -dmensonal es aquél, en el que todas las varables son ncorreladas. En este caso todas las covaranzas, serán nulas y la matrz de covaranzas será dagonal. Σ k k (.9) 4. Un resultado aún más mportante es que bajo normaldad, la no correlacón (covaranzas guales a 0) mplca ndependenca de las varables. Esto no es necesaramente certo s las varables no sguen una dstrbucón normal. 5. Dadas k varables,,..., 1 k, dstrbudas como una normal k -dmensonal, N k μ, Σ, y dada la matrz de transformacón A, defnda por: A a 11 a 1 a k 1 a 1 a a k a a a 1m m a m a km (.10) el nuevo conjunto de varables m -dmensonal, Y A segurá una dstrbucón: Y AμAΣA, (.11) N m Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 9

11 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE.1.9. Intervalos de confanza unvarantes bajo normaldad. Se llama ntervalo de confanza a un par de números entre los cuales se estma que estará certo valor desconocdo con una determnada probabldad de acerto. Formalmente, estos números determnan un ntervalo que se calcula a partr de datos de una muestra y el valor desconocdo es un parámetro poblaconal, por ejemplo la meda. La probabldad de éto en la estmacón se representa por 1 y se denomna nvel de confanza. En estas crcunstancas, es llamada nvel de sgnfcacón y representa la probabldad de fallar en la estmacón medante tal ntervalo. El nvel de confanza y la ampltud del ntervalo varían conjuntamente, de forma que un ntervalo más amplo tendrá más posbldades de acerto (mayor nvel de confanza), mentras que para un ntervalo más pequeño, que ofrece una estmacón más precsa, aumentan sus posbldades de error. Por ejemplo, el ntervalo para la meda se puede construr de la sguente manera. Conocda la varanza de la poblacón, sabemos que el error relatvo de estmacón de la meda, medante la meda muestral es una varable normal estándar z. z n (.1) Esta varable z, permte construr el ntervalo de confanza: P z z n Donde z, es un valor normal estándar tal que: z 1 P z z 1 z Sendo, la funcón de dstrbucón normal estándar. Entonces el ntervalo será: z z n z z n que tendrá por confanza 1 al ntervalo más corto posble.. Los valores se han escogdo smétrcos para que conduzcan La dstrbucón de confanza en este caso resulta al despejar obtener:, en la ecuacón (.1) para z n (.13) Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 10

12 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Al varar, como se supone constante, la únca varable aleatora es z ; por lo tanto, la dstrbucón generada es normal, con meda y varanza n. Esta dstrbucón resume la ncertdumbre estente respecto al valor desconocdo. Ver fgura.3. n n Fgura.3: Dstrbucón de ntervalos unvarantes bajo normaldad Regón de confanza multvarante bajo normaldad. Es la generalzacón de ntervalo de confanza al espaco mult-dmensonal, es decr, al análss conjunto de varas varables. S manejamos dos varables ndependentes, analzadas de forma ndependente, la regón de confanza tendría la forma de la fgura.4. Fgura.4: Regón de confanza para dos varables ndependentes analzadas ndvdualmente.. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 11

13 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE S la representacón de la regón de confanza se realza de forma conjunta (análss multvarante) la regón tendrá forma de elpse, cuya nclnacón dependerá de la correlacón estente entre las varables. S las varables son ndependentes la regón de confanza tomará la forma de la fgura.5. Fgura.5: Regón de confanza para dos varables ndependentes analzadas de forma conjunta. S, por el contraro las varables son dependentes, la forma de la regón de confanza dependerá de la cuantía de la correlacón y de su sgno. Por ejemplo, para dos varables postvamente correlaconadas, la elpse que defne la regón de confanza se puede ver en la fgura.6. Fgura.6: Regón de confanza para dos varables dependentes analzadas de forma conjunta. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 1

14 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Obtencón de ntervalos de confanza ndependentes a partr de una regón de confanza multvarante bajo normaldad. Para obtener los ntervalos de confanza ndependentes de cada una de las dmensones 1,,..., a partr de una regón de confanza multvarante bajo normaldad, k aplcaremos la defncón de Nckerson (1994), basada en los trabajos de Workng y Hotellng (199) y Scheffe (1959), en la que, como se puede ver en la fgura.7, se estuda la proyeccón del hperelpsode que contene la regón de confanza multvarante bajo la asuncón de normaldad, correspondente a un hperrectangulo centrado en la meda y tangente al hperelpsode. Fgura.7: Proyeccón del hperelposode en un hperrectangulo según Nckerson (1994). Por lo tanto, medante la aplcacón de la defncón de Nckerson (1994), tenemos un hperrectangulo, tangente al hperelpsode cuyas sem-longtudes de sus caras, l pueden ser obtendas como: j l 1 j jj m,1 (.14) Donde el subíndce jj denota el j esmo elemento de la dagonal nversa de Σ y m,1 m es el valor correspondente a la proporcón deseada en la dstrbucón Ch-cuadrado con k grados de lbertad. Las caras de este hperrectangulo, están defndas por los límtes LI, j LS j y serán obtendas como: LI LS l j j j l j j j Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 13

15 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE La fgura.8 muestra un ejemplo de este procedmento en dos dmensones. La regón A representa la elpse con la concentracón de datos correspondente y la regón B representa el rectángulo obtendo de la proyeccón de la elpse utlzando Nckerson (1994). Fgura.8: Modelo de proyeccón de Nckerson para k. Este hperrectangulo defndo por Nckerson será utlzado en la metodología para defnr el hperrectangulo de tolerancas y la apromacón a la proporcón de no conformdad. La regón de tolerancas estará defnda por los ntervalos LTI, correspondentes al hperrectangulo de dmensón k, que será relaconado al hperelpsode defndo por la matrz de covaranzas. LTS Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 14

16 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE.1.1. Análss de componentes prncpales. El análss de componentes prncpales, desde ahora (ACP), es una técnca estadístca de síntess de la nformacón que fue ncalmente desarrollada por Pearson a fnales del sglo I y que posterormente fue estudada por Hotellng en los años 30 del sglo. Sn embargo hasta la aparcón de los ordenadores, no se empezaron a popularzar. Este análss se utlza prncpalmente para pasar de varables dependentes a ndependentes (bajo la hpótess de normaldad multvarante) y tambén, para reducr la dmensón de un problema, pasando de un número mayor de varables a un número menor, perdendo la menor cantdad de nformacón. Consderemos una sere de k varables,,..., 1, que defnen certas k magntudes de un conjunto mecánco. Estas varables, pueden consderarse como una combnacón lneal de k factores ndependentes Z Z 1, Z,..., Zk relaconados con el proceso de fabrcacón, conocdos dentro del análss multvarante como factores latentes. Para encontrar estos k factores ndependentes Z, es posble aplcar ACP. Para ello, la matrz de covaranzas denomnada por Σ, se descompone en valores sngulares como: Σ CDC (.15) Donde C es la matrz de autovectores k k, y D es la matrz dagonal de autovalores 1,,..., k. Estos autovalores son las varanzas de los factores ndependentes Z, los cuales son guales a: Z C (.16) Dentro del análss multvarante, Los autovectores representan las dreccones de los ejes del hperelpsode defndo por la matrz de covaranzas Σ y los autovalores representan el tamaño de estos ejes. Por tanto, un cambo en los autovalores producrá un hperelpsode más grande o más pequeño en cualquera de sus dreccones, mentras que un cambo en los autovectores producrá un cambo en la dreccón de los ejes. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 15

17 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE.. INTRODUCCIÓN AL DISEÑO O ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES...1. Defncón de tolerancas de fabrcacón. Según la Real Academa Española, la defncón de toleranca es: Máma dferenca que se tolera o admte entre el valor nomnal y el valor real o efectvo en las característcas físcas y químcas de un materal, peza o producto. A la hora de realzar una peza dentro de un proceso de fabrcacón, observaremos necesaramente dferencas entre las dmensones reales obtendas tras su fabrcacón y el valor nomnal que se había ndcado ncalmente, s este valor real se encuentra comprenddo entre unos límtes (mámo y mínmo), establecdo con anterordad, la medcón podrá consderarse como válda. A este error admtdo se le denomna toleranca y está estrechamente relaconado con las varables de coste del producto y caldad, de esta forma cuanto más se ajusten los límtes de toleranca, mayor será la caldad del producto y mayor será el coste de éste. Estas tolerancas permten cumplr con el objetvo de ntercambabldad y correcto montaje de pezas realzadas en sere. Dentro de la defncón de tolerancas podemos dferencar dos tpos: Las tolerancas geométrcas, que hacen referenca a las cualdades eternas de las pezas y, como su propo nombre ndca, se centran en las desvacones geométrcas de la peza respecto de las que dealmente se esperan y se pueden dvdr en tolerancas de forma, orentacón, poscón y osclacón, como se puede ver en la fgura.9. Fgura.9a: Toleranca de recttud. Fgura.9b: Toleranca de nclnacón. Fgura.9c: Toleranca de concentrcdad. Fgura.9d: Toleranca de crcular radal. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 16

18 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Las tolerancas dmensonales, que hacen referenca a los límtes dados para los valores de las dstntas dmensones de las que se compone una peza o conjunto mecánco se pueden ver en la fgura.10. Algunas de estas tolerancas están normalzadas dentro la normatva española UNE , equvalente a la normalzacón ISO-R-86. Fgura.10: Tolerancas dmensonales. La UNE (ISO 8015) "Prncpo de tolerancas fundamentales" establece el prncpo de relacón entre tolerancas dmensonales y geométrcas. En este proyecto nos centraremos en las tolerancas dmensonales y más concretamente en la asgnacón estadístca de los lmtes de toleranca superor e nferor de las dmensones que conforman una peza o conjunto mecánco.... Defncón del problema de asgnacón estadístca optma de tolerancas dmensonales y valores nomnales. Los cambos producdos en la ndustra de la manufactura, debdos a la tendenca haca la globalzacón, provocaron la búsqueda de la mejora contnua de los productos, de su caldad y sobre todo, de la reduccón de tempos de produccón así como la necesdad de ntroducr una sere de nuevas tecnologías acordes a las necesdades. El dseño robusto de tolerancas es una metodología mportante para mejorar la manufactura y la vda útl del producto. Las prmeras metodologías para la aplcacón de estadístca para mejorar la caldad de los productos manufacturados fueron propuestas por el ngenero y estadsta Gench Taguch, en 1950, dándose a conocer como el Método Taguch. La contrbucón más mportante del Dr. Taguch, fue la aplcacón de la estadístca y la ngenería para la reduccón de costes y mejora de la caldad en el dseño de productos y los procesos de fabrcacón. En sus métodos emplean la epermentacón a pequeña escala con la fnaldad de reducr la varacón y descubrr dseños robustos y baratos para la fabrcacón en sere. Las aplcacones más avanzadas de los Métodos Taguch, permten desarrollar tecnología fleble para el dseño y fabrcacón de famlas de productos de alta caldad, reducendo los tempos de nvestgacón, desarrollo y entrega del dseño. Desde la ntroduccón del dseño robusto a la ndustra de EE. UU. en los años 80, el acercamento de los métodos de Taguch a la Ingenería de Caldad y el dseño robusto ha recbdo la atencón de dseñadores, fabrcantes, estadístcos y profesonales de la caldad. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 17

19 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE El problema de asgnacón de tolerancas dmensonales y valores nomnales a un conjunto de varables se defne a contnuacón. Por smplcdad en adelante se hablará de tolerancas, dando por sentado que se trata de tolerancas dmensonales. Y 1, Y,...,..., Y m Consderemos que una sere de m varables 1, son unas característcas de las que depende el correcto funconamento de una peza o conjunto mecánco. Podemos consderar entonces que esta peza o conjunto funconara correctamente s estas varables Y, son conformes, es decr, están dentro de unos límtes de especfcacón marcados, esto es: Y LEI, LES, j j j Y Sendo, LEI j y cada una de las varables Y. LES j, los límtes de especfcacón nferor y superor, respectvamente, de Se asume, que bajo condcones óptmas de fabrcacón, la proporcón de pezas defectuosas (pezas cuyas varables Y están fuera de las especfcacones), denotada por p, no debe ser mayor que un pequeño valor. Por otro lado, las varables Y dependen de k varables 1,,.., k, es decr: Y f, 1,... k Estas varables son característcas de la peza y pueden consderarse ndependentes o podrían consderarse varables correladas. Esta correlacón podría ser producto del proceso de fabrcacón de las pezas. En el caso de las varables Y, dado que dependen de las msmas varables, es muy probable que esta tambén dependenca entre ellas. El problema consste en encontrar las tolerancas óptmas t t, t,..., 1 t k y los valores nomnales óptmos VN VN 1, VN,..., VNk, de cada una de las k varables. Los valores óptmos serán aquellos que permtan mamzar las tolerancas obtenendo una proporcón de defectuosos menor que. Dadas las tolerancas y valores nomnales óptmos, los límtes de toleranca de las varables serán los sguentes: LTI VN t LTS VN t, 1,,... k Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 18

20 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE En la fgura.11 podemos ver un ejemplo. Se trata de un ensamblaje mecánco compuesto por dos pezas defndas por las varables 1,,...,. 8 Fgura.11: Ensamble prsmátco. En este caso, es muy probable que las varables 1,, 3, 4, estén correladas 5 debdo al proceso de fabrcacón. Lo msmo sucede con las varables 6, 7,. 8 La relacón entre las varables Y con las varables se establece medante la sguente relacón lneal: Y Y Y Y Las restrccones de este conjunto corresponden a las sguentes especfcacones de las varables Y Y 1, Y, Y 3, Y4 : Y Y Y Y El problema consste en encontrar las tolerancas y los valores nomnales de las varables, de manera que se mamcen las tolerancas t t 1, t,..., t8 de y se cumplan las especfcacones de las varables Y con una proporcón de defectuosos menor o gual que. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 19

21 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Resumendo, las varables a optmzar son los valores nomnales y las tolerancas de t, t,..., t cada varable. La funcón objetvo es mamzar el conjunto de tolerancas 1 8 de. La restrccón es obtener una proporcón de defectuosos menor o gual que. Y, se añadrán restrccones de tolerancas mínmas y límtes superor e nferor para los valores nomnales, de modo que se pueda resolver adecuadamente el problema. En el sguente apartado se descrbrán brevemente algunos procedmentos ya estentes para la asgnacón óptma de tolerancas. Estos procedmentos servrán de base para la metodología que se propondrá en este proyecto. t.3. ASIGNACIÓN ESTADÍSTICA DE TOLERANCIAS CONSIDERANDO VARIABLES INDEPENDIENTES. MÉTODOS ACTUALES. Las metodologías propuestas por, Chen (1996), Wu et al. (1998), Feng and Balusu (1999), Lee and Tang (000), Ye and Salustr (003) y Huang et al. (005) para el dseño de tolerancas asumendo la ndependenca de varables, comparten aspectos en común y nos servrán como punto de referenca para posterormente entender mejor la asgnacón de tolerancas asumendo dependenca de varables Metodología utlzada bajo ndependenca. En las metodologías propuestas para este tpo de dseño se asume la normaldad de las varables 1,,...,, k ', por lo que se puede decr que cada varable sgue una dstrbucón: N, Sendo el valor medo y la varanza. N Asmsmo, los procedmentos que optmzan las tolerancas, asumen que el proceso de fabrcacón está centrado en el valor nomnal, es decr, los valores nomnales son guales a los valores medos,, de cada varable y se consderan constantes. En cuanto a las tolerancas de cada varable, éstas se epresan como una funcón de las desvacones estándar, medante el uso del índce de capacdad del proceso. Este método se conoce como la apromacón ses-sgma, propuesto por (Harry and Stewart, 1988; y Hong and Chang, 00). Bajo esta suposcón y asumendo tolerancas smétrcas con respecto al valor nomnal, los límtes de tolerancas de las varables pueden ser epresados en térmnos de un número de desvacones estándar de la meda. Asumendo que el índce de capacdad de la varable es gual a la undad, Cp 1, entonces las tolerancas se pueden calcular como t 3, sendo por tanto los límtes de tolerancas los sguentes: LTI, LTS t ; t 3 ; 3 (.17) Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 0

22 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Luego, bajo la hpótess de ndependenca de, la asgnacón óptma de las tolerancas consste en mamzar los valores de t, en la ecuacón (.17), sujeta a la restrccón de producr una proporcón de defectuosos determnada, es decr sujeto a que p, donde es un valor pequeño, habtualmente Esta proporcón de defectuosos es calculada, para el caso en el que sólo tengamos una varable Y, como: p P Y LEI, LES, (.18) Dado que t 3, el problema de asgnacón óptma de tolerancas es epresado como la optmzacón de las k desvacones estándar. Nótese que las desvacones estándar óptmas no serán necesaramente los valores de varabldad del proceso de fabrcacón, por lo tanto, s los valores óptmos de las desvacones estándar son mayores que la varabldad del proceso de fabrcacón, entonces se podrá tener un índce de capacdad mayor que uno Cp 1. De manera opuesta, s el valor óptmo de las desvacones estándar es menor que la varabldad del proceso de fabrcacón, se podrá tener un índce de capacdad menor que uno Cp 1, por lo que el proceso sería no apto y debería ser mejorado. Para verfcar la proporcón de defectuosos de la ecuacón (.18), se estmará la Y f 1,,..., k dstrbucón de la varable medante la relacón 1. S esta relacón es lneal, de la forma, Y a a... dstrbucón de la varable Y será a k Y a a k ó 0 Y N Y,, donde: Y Y a donde a a 1, a,..., ak, la Y a0 a... a K (.19) Y 1 1 a K y, por la ndependenca de : a1 a... a K a (.0) Y 1 a K S la relacón entre e Y no es lneal, se puede aplcar una apromacón medante la epansón de Taylor. Para este caso, los coefcentes a 1, a,..., ak, pasarían a ser gual a la prmera dervada de la varable Y respecto a cada varable, esto es: a Y Estas dervadas son evaluadas para. Cuando la relacón sea altamente no lneal, se podrá aplcar seres de epansón de Taylor (Evans 1975). Una vez calculada la dstrbucón de la varable Y, podrá ser calculada la proporcón de defectuosos p, de acuerdo a la ecuacón (.18). Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 1

23 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Este problema se puede etender a un caso multvarante, donde Y es un vector de varables, tal que, Y Y, Y 1,..., Yj, con sus correspondentes límtes de especfcacón. Y LEI, LES, j j j Como se puede ver en Cheng (1996) y Lee and Wood (1990). En este caso, en la mayoría de los métodos menconados antes, cada varable Y j es tratada como ndependente, por lo que la proporcón de no conformdad p será aplcada ndvdualmente a cada una de ellas. En el caso de la metodología propuesta por Lee and Wood (1990) se aplca una correccón para ajustar la proporcón de no conformdad deseada usando una proporcón ndvdual j para cada varable Y j, esto es: j 1 J 1 1 Como se menconó en el apartado anteror, la suposcón de ndependenca de las varables Y puede no ser válda puesto que estas dependen de las msmas varables, esto es: Y A (.1) Resumendo, los pasos para la asgnacón óptma de tolerancas bajo la hpótess de ndependenca son los sguentes. Para smplfcar, se asumrá que 0 ; 1,,..., k, tambén que sólo tenemos una varable Y, y por tanto Y 0. r 1. Incalzacón, teracón r 0. Defncón del valor ncal de. 1,,..., k. r r. Calculo de Y medante el remplazo de los valores en la ecuacón (.0). 3. Calculo de la proporcón de pezas no conformes p, según la ecuacón (.18). p P Y LEI, LES Y 0,. r Y 4. S p, donde es un pequeño valor, se pasa a la sguente teracón, r r 1 r, asgnando un nuevo valor a cada y volvendo al paso. De lo contraro, r al paso Calcular t 3 r. Entonces los límtes de tolerancas son: 3 LTI t y LTS t Para resolver este problema de optmzacón se pueden utlzar dferentes métodos, como por ejemplo, los basados en el gradente, como los multplcadores de Lagrange, o métodos evolutvos, como las redes neuronales o los algortmos genétcos, estos últmos serán presentados y utlzados más adelante en el proyecto. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd.

24 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE.4. ASIGNACIÓN ESTADÍSTICA DE VALORES NOMINALES CONSIDERANDO VARIABLES INDEPENDIENTES. METODOS ACTUALES. La asgnacón estadístca de valores nomnales es tambén un problema en el dseño de pezas, por ejemplo, en el dseño de crcutos ntegrados, elementos mecáncos, etc. Autores como por ejemplo Perluss y Rocco, (ver aneo [A.3]), L y Wu, entre otros, han propuesto algunas metodologías para resolver este problema. Algunas de las metodologías consderan la asgnacón de valores nomnales junto con la asgnacón de tolerancas, y otras consderan sólo el problema de asgnacón de valores nomnales, mantenendo constante las tolerancas. Es decr los valores t t, t,..., 1 t k son conocdos y constantes. Lo que se quere asgnar son los valores nomnales y en consecuenca los límtes de toleranca correspondentes: LTS VN t LTI VN t A contnuacón se descrbe brevemente la metodología propuesta por L y Wu, que sgue los msmos prncpos que el procedmento para la asgnacón de tolerancas descrto en el apartado anteror Metodología utlzada bajo ndependenca. Al gual que en el caso anteror, la varable Y es una característca que asegura el correcto funconamento de una peza o conjunto mecánco. Esta peza o conjunto, se podrá consderar correcta o conforme s la varable Y está dentro de unos límtes de especfcacón defndos. Y LEI, LES Sendo LEI y LES los límtes de especfcacón nferor y superor respectvamente. Se asume que bajo condcones óptmas, la proporcón de pezas no conformes p no es mayor que un pequeño valor que es: p P Y LEI, LES La varable Y dependerá de una sere de k varables, tales que,, 1,..., k que defnen la peza o conjunto mecánco, es decr: Y f 1,,... k El problema consste en encontrar los valores nomnales óptmos de cada varable ndependente de, representados por: VN VN 1, VN,..., VNk Estos valores nomnales son asgnados a cada varable cumplmento de la proporcón de pezas defectuosas. tenendo en cuenta el Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 3

25 CAPÍTULO II: ESTADO DEL ARTE Al gual que en el caso anteror, se asume normaldad de las varables, con la sguente dstrbucón: N VN, N VN sendo t / 3, es decr se hace uso tambén del índce de capacdad. La resolucón del problema es por tanto, smlar a la asgnacón de tolerancas descrto en el apartado anteror. En cada teracón se asgnan unos valores nomnales, se encuentra la dstrbucón de Y según.19 y.0 y se calcula la proporcón de defectuosos según (.18). En este caso se defne una funcón objetvo que representa un coste y se busca mnmzar dcho coste. La solucón, por tanto, son los valores nomnales que permten obtener el mínmo coste, cumplendo una proporcón de defectuosos gual o menor que..5. ASIGNACIÓN ESTADÍSTICA DE TOLERANCIAS CONSIDERANDO VARIABLES DEPENDIENTES. METODOS ACTUALES. González y Sánchez (008), (ver aneo [A.1]), proponen una metodología para asgnar tolerancas a un conjunto de varables dependentes. En esta metodología, se asume tambén la posble dependenca de las varables Y. Sn embargo, no se consdera la asgnacón de valores nomnales, éstos se asumen como valores constantes, especfcados a pror. La metodología que se presentará en este proyecto es una etensón de la metodología propuesta por González y Sánchez (008). Por este motvo, se descrbrá con detalle en el capítulo IV, dedcado a la descrpcón de la metodología que se propone aquí. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 4

26 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB 3. CAPÍTULO TERCERO: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Este capítulo se dvde en dos apartados. En el prmero se descrbrán de forma breve los fundamentos teórcos de los algortmos genétcos y su utlzacón. En el segundo apartado, se darán las pautas báscas sobre su aplcacón como herramenta de optmzacón usando la toolbo de Matlab gatool y se lustrará con un ejemplo INTRODUCCIÓN A LOS ALGORITMOS GENÉTICOS (AG). Los Algortmos Genétcos, desde ahora AG, son métodos adaptatvos que pueden usarse para resolver problemas de búsqueda y optmzacón basados en el proceso genétco de los organsmos vvos. A lo largo de las generacones, las poblacones evoluconan en la naturaleza de acorde con los prncpos de la seleccón natural y la supervvenca de los más fuertes, postulados por Darwn (1859). Por mtacón de este proceso, los AG son capaces de r creando solucones para problemas del mundo real. La evolucón de dchas solucones haca valores óptmos del problema depende en buena medda de una adecuada codfcacón de las msmas. En la naturaleza los ndvduos de una poblacón compten entre sí en la búsqueda de recursos tales como comda, agua y refugo. Incluso los membros de una msma espece compten a menudo en la búsqueda de un compañero. Aquellos ndvduos que tenen más éto en sobrevvr y en atraer compañeros tenen mayor probabldad de generar un gran número de descendentes. Por el contraro ndvduos poco dotados producrán un menor número de descendentes. Esto sgnfca que los genes de los ndvduos mejor adaptados se propagaran en sucesvas generacones haca un número de ndvduos crecente. La combnacón de buenas característcas provenentes de dferentes ancestros, puede a veces producr descendentes "superndvduos", cuya adaptacón es mucho mayor que la de cualquera de sus ancestros. De esta manera, las especes evoluconan logrando unas característcas cada vez mejor adaptadas al entorno en el que vven. El poder de los AG provene del hecho de que se trata de una técnca robusta, y pueden tratar con éto una gran varedad de problemas provenentes de dferentes áreas, ncluyendo aquellos en los que otros métodos encuentran dfcultades. S ben no se garantza que el AG encuentre la solucón optma del problema, este evdenca empírca de que se encuentran solucones de un nvel aceptable, en un tempo compettvo con el resto de algortmos de optmzacón combnatora. En el caso de que estan técncas especalzadas para resolver un determnado problema, lo más probable es que superen al AG, tanto en rapdez como en efcaca. El gran campo de aplcacón de los AG se relacona con aquellos problemas para los cuales no esten técncas especalzadas. Incluso en el caso en que dchas técncas estan, y funconen ben, pueden efectuarse mejoras de las msmas combnándolas con los AG. Un nvestgador de la Unversdad de Mchgan llamado John Holland era conscente de la mportanca de la seleccón natural, y a fnes de los 60s desarrolló una técnca que permtó ncorporarla a un programa. Su objetvo era lograr que las computadoras aprenderan por sí msmas. A la técnca que nventó Holland se le llamó orgnalmente "planes reproductvos", pero se hzo popular bajo el nombre "algortmo genétco" tras la publcacón de su lbro, Adaptacón en sstemas naturales y artfcales publcado en Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 5

27 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Una defncón bastante completa de un algortmo genétco puede ser: Es un algortmo matemátco altamente paralelo que transforma un conjunto de objetos matemátcos ndvduales con respecto al tempo usando operacones modeladas de acuerdo al prncpo Darwnano de reproduccón y supervvenca del más apto, y tras haberse presentado de forma natural una sere de operacones genétcas de entre las que destaca la recombnacón seual. Cada uno de estos objetos matemátcos suele ser una cadena de caracteres (letras o números) de longtud fja que se ajusta al modelo de las cadenas de cromosomas, y se les asoca con una certa funcón matemátca que refleja su apttud. Introduccón a los Algortmos Genétcos: Carlos A. Coello Breve reseña hstórca. Como hemos vsto antes, los algortmos genétcos (AG), fueron nventados en 1975 por John Holland, de la Unversdad de Mchgan. Los AG son, smplfcando, algortmos de optmzacón, es decr, tratan de encontrar la mejor solucón a un problema dado entre un conjunto de solucones posbles. Los mecansmos de los que se valen los AG para llevar a cabo esta búsqueda pueden verse como una metáfora de los procesos de evolucón bológca propuestos por Charles Darwn en su obra, El orgen de las especes. John Holland desde pequeño, se preguntaba cómo logra la naturaleza crear seres cada vez más perfectos. No sabía la respuesta, pero tenía una certa dea de cómo hallarla, tratando de hacer pequeños modelos de la naturaleza que tuveran alguna de sus característcas y ver cómo funconaban, para luego etrapolar sus conclusones a la totaldad. Fue a prncpos de los 60, en la Unversdad de Mchgan en Ann Arbor, donde, dentro del grupo Logc of Computers, sus deas comenzaron a desarrollarse y a dar frutos. Y fue, además, leyendo un lbro escrto por un bólogo evoluconsta, R. A. Fsher, ttulado La teoría genétca de la seleccón natural, como comenzó a descubrr los medos de llevar a cabo sus propóstos de comprensón de la naturaleza. De ese lbro aprendó que la evolucón era una forma de adaptacón más potente que el smple aprendzaje, y tomó la decsón de aplcar estas deas para desarrollar programas ben adaptados para un fn determnado. En esta unversdad, Holland mpartía un curso ttulado teoría de sstemas adaptatvos. Dentro de este curso, y con una partcpacón actva por parte de sus estudantes, fue donde se crearon las deas que más tarde se convertrían en los AG. Por tanto, cuando Holland se enfrentó a los AG, los objetvos de su nvestgacón fueron dos: mtar los procesos adaptatvos de los sstemas naturales y dseñar sstemas artfcales (normalmente programas) que retengan los mecansmos mportantes de los sstemas naturales. En lugar de envdar la naturaleza debemos emularla Unos 15 años más adelante, Davd Goldberg, conocó a Holland, y se convrtó en su estudante. Goldberg era un ngenero ndustral trabajando en dseño de ppelnes, y fue uno de los prmeros que trató de aplcar los AG a problemas ndustrales. Aunque Holland trató de dsuadrle, porque pensaba que el problema era ecesvamente complcado como para aplcarle AG, Goldberg consguó lo que quería, escrbendo un AG en un ordenador personal Apple II. Estas y otras aplcacones creadas por estudantes de Holland convrteron a los AG en un campo con bases sufcentemente aceptables como para celebrar la prmera conferenca en 1985, ICGA 85. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 6

28 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Descrpcón del algortmo de optmzacón. Un algortmo genétco consste en una funcón matemátca o una rutna de software que toma como entradas a los ejemplares y retorna como saldas cuáles de ellos deben generar descendenca para la nueva generacón. Versones más complejas de algortmos genétcos generan un cclo teratvo que drectamente toma a la espece (el total de los ejemplares) y crea una nueva generacón que reemplaza a la antgua una cantdad de veces determnada por su propo dseño. Una de sus característcas prncpales es la de r perfecconando su propa heurístca en el proceso de ejecucón, por lo que no requere largos períodos de entrenamento especalzado por parte del ser humano, prncpal defecto de otros métodos para soluconar problemas, como los Sstemas Epertos. Los algortmos genétcos son métodos estocástcos de búsqueda cega. En ellos se mantene una poblacón que representa a un conjunto de posbles solucones la cual es sometda a certas transformacones con las que se trata de obtener nuevos canddatos y a un proceso de seleccón sesgado a favor de los mejores canddatos. Los algortmos genétcos se pueden defnr como métodos de búsqueda: - Cega: No necesta tener conocmentos específcos prevos del problema, la búsqueda de la solucón optmzada se basa eclusvamente en los valores que toma la funcón objetvo. - Codfcada: Nos permte trabajar con cadenas de códgos que representan a los elementos sobre los que vamos a trabajar. Sendo la codfcacón bnara (0 y 1) la más utlzada. - Múltple: Permten la búsqueda smultánea entre un conjunto de canddatos. - Estocástca: Esta combnacón aleatora está relaconada con las fases de seleccón y transformacón. Los AG trabajan con una poblacón defnda que nos permte reducr la posbldad de alcanzar un falso óptmo local durante su ejecucón. Además estos algortmos se centran úncamente en los resultados de su funcón objetvo gnorando la nformacón nnecesara. Los AG nos muestran como se procesan eternamente cadenas de códgos, sn embargo, basándonos en el Teorema fundamental de los algortmos genétcos o Teorema de Holland podemos ver como lo que procesan nternamente son smltudes entre cadenas, de manera que al procesar cada una de las cadenas de la poblacón se procesan a la vez todos los patrones de smltud que contenen, que son muchos más. Es por esta propedad por la que los AG son mucho más efcaces que otros métodos de búsqueda cega. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 7

29 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Estructura de los algortmos genétcos. Basándose en las teorías evolutvas, los algortmos genétcos sguen un esquema básco de seleccón y búsqueda. Partendo de una poblacón ncal, normalmente aleatora, de n ndvduos, se selecconan aquellos cuyas propedades les otorguen una mayor probabldad de ser selecconados como ndvduo mejor valorado, formándose una nueva poblacón ntermeda de n ndvduos. De esta nueva poblacón se etraerán a m n ndvduos que formaran el grupo de los progentores. Sobre estos progentores se aplcarán transformacones medante los operadores genétcos de cruce y mutacón para generar m nuevos ndvduos que consttuyen la descendenca. Para formar la nueva poblacón de n ndvduos se realzará la fase de reemplazo, por la cual se elgen ndvduos de la poblacón ntermeda y de la descendenca. Este bucle de seleccón-cruce-mutacón-reemplazo se repte un número determnado de generacones, hasta alcanzar la solucón óptma. Ver fgura 3.1. Fgura 3.1: Bucle seleccón-cruce-mutacón-reemplazo. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 8

30 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Codfcacón. Los algortmos genétcos requeren que cada número entero o decmal, se codfque en un cromosoma. Cada cromosoma tene varos genes, que corresponden a sendos parámetros del problema. Para poder trabajar con estos genes en el ordenador, es necesaro codfcarlos en una cadena, es decr, una rstra de símbolos (números o letras) que generalmente va a estar compuesta de ceros y unos, que son los componentes de la codfcacón bnara. Codfcacón bnara Hay otras codfcacones posbles, usando números naturales o letras del alfabeto; sn embargo, uno de los resultados fundamentales en la teoría de algortmos genétcos, El teorema de los esquemas, afrma que la codfcacón óptma es aquella que tene un alfabeto de cardnaldad dos, sendo este el caso de la codfcacón bnara. Es mportante una adecuada representacón bnara de todas las posbles solucones, cada solucón debe tener una únca representacón bnara y será necesaro especfcar el procedmento con el que se hace corresponder cada punto del domno del problema con un códgo, o utlzando termnología de algortmos evolutvos, se debe especfcar el mecansmo de paso del genotpo (códgo) a los fenotpos (Valor real) y vceversa. La fgura 3. muestra un ejemplo de codfcacón para un problema de dos varables 1 y. Fgura 3.: Codfcacón bnara de dos varables. En este caso las varables han sdo representadas medante 6 bts, por tanto, cada una puede tomar 6 valores dstntos. Codfcacón bnara de números enteros Cuando, por ejemplo, el domno de un problema pueda representarse medante números enteros, cada varable representada por una longtud L=5 bts puede tomar un total de 5 =3 valores dstntos. De esta forma, la representacón bnara se realzara como se puede ver en la fgura 3.3. Fgura 3.3: Codfcacón bnara de un número entero. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 9

31 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Codfcacón bnara de números decmales Cuando el domno del problema ha de representarse medante números decmales, la longtud L, se calcula, transformando el ntervalo de solucones a un ntervalo dscreto y tenendo en cuenta la precsón que se quere tener. De esta forma, la dstanca entre puntos consecutvos del ntervalo, debe ser menor o gual que el valor de la precsón especfcada m., m mn ma Para ver claramente como calcular la longtud L de las varables, planteamos un ejemplo en el que para solucones comprenddas en el ntervalo [0,1] con precsón, la longtud L de la representacón bnara es calculada como: m m ma mn L log mn L 1 ma m 1 (3.1) En este caso obtenemos un valor de 8 L, sendo: y mn 0 ma Por lo que podremos representar 8 56 valores de la varable comprenddos en el ntervalo mn, ma, obtenendo una precsón mayor a la especfcada: ma L 1 mn m La forma de decodfcar los números decmales se realzará según se ndca en este ejemplo: Dado el valor decmal , cuya representacón bnara es el valor de se ha obtendo medante: v, bn dec v mn ma L L 1 mn (3.) Donde bn dec. sgnfca pasar del valor bnaro v, al valor decmal. En este caso: bn dec , por lo tanto; Una buena codfcacón debe mplcar que pequeños cambos en el valor real, sgnfquen pequeños cambos en el códgo que lo representa. El códgo bnaro, puede en algunos casos no cumplr estrctamente esta propedad, pero es lo sufcentemente aceptable para la resolucón de este proyecto. Para una mayor precsón en el uso de AG se recomenda el estudo del códgo gray que se ajusta mejor a esta propedad. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 30

32 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Creacón de la poblacón ncal. La ncalzacón de la poblacón determna el proceso de creacón de los ndvduos para el prmer cclo del algortmo. Normalmente, la poblacón ncal se forma a partr de ndvduos creados aleatoramente. En el caso de dsponer de conocmento específco del problema se podría elegr, por ejemplo, una poblacón ncal próma al óptmo. Convene que la poblacón ncal contenga la mayor cantdad posble de puntos factbles. En ocasones es dfícl obtener puntos factbles y se deberá comenzar a terar con algortmos genétcos una cantdad muy reducda de ellos. En este caso no es convenente usar un tamaño de poblacón muy pequeño, dado que perjudca gravemente al requsto de dversdad, n tampoco ntroducr una gran cantdad de puntos no factbles, ya que se reduce la efcenca del AG. El tamaño de la poblacón suele estar comprenddo entre ndvduos, aunque un tamaño pequeño de poblacón puede concentrar la búsqueda en zonas pequeñas del espaco de solucones Funcón de evaluacón y funcón de apttud. Se deben defnr las funcones de evaluacón y apttud más apropadas para el problema, tenendo en cuenta que para evaluar estas funcones, será necesaro decodfcar los puntos. Generalmente, se suele defnr como funcón de evaluacón la msma funcón objetvo, pero puede ser que la funcón objetvo sea muy compleja, o que no proporcone un valor numérco y, por lo tanto, en esos casos es necesaro defnr una funcón de evaluacón dferente. La funcón de apttud (ftness), no es más que la funcón objetvo de nuestro problema de optmzacón. Una característca que debe tener esta funcón de apttud es la de castgar las malas solucones y premar las buenas, para valorar qué tan buenos son los ndvduos. Se deben tomar sempre valores postvos ya que los AG mamzan sempre la funcón de apttud, por tanto, se admte por defecto que se mamza el objetvo. En ocasones resulta más apropado plantear el problema como uno de mnmzacón, en ese caso es nmedato transformar estos problemas en otros de mamzacón sn más que cambarle el sgno a la funcón. Una forma de construr la funcón de apttud es desplazando y escalando convenentemente la funcón de evaluacón. El desplazamento tene como fnaldad prncpal hacer que la funcón de apttud devuelva valores postvos. El procedmento más usado para hacer postvas las evaluacones es el de la ventana de desplazamento que consste en desplazar las evaluacones como sgue: Ftness v F Evaluacón v donde F es una cota superor para las evaluacones, esto es, Ftness v t F. No es habtual conocer a pror el rango de valores que va a tomar la funcón de evaluacón, por lo que es preferble r adaptando dnámcamente el valor de F del sguente modo: Ftness v t F ma t Evaluacón v t Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 31

33 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB donde Fmaes la máma apttud de cualquer ndvduo evaluado hasta la teracón nmedatamente anteror, t 1. Es convenente r actualzando el valor de F ma t cada certo número de generacones con el fn de evtar una posble pérdda de dversdad. Una forma de controlar la dversdad de las apttudes es obtenendo la funcón de apttud medante el escalonado de la funcón de evaluacón Seleccón. El proceso de seleccón en los algortmos genétcos escoge ndvduos para la reproduccón. La seleccón está basada en la apttud de los ndvduos: ndvduos más aptos tenen mayor probabldad de ser escogdos para la reproduccón. Este prmer operador genétco consste en selecconar de la poblacón ncal los ndvduos con mejores apttudes, por lo que no supondrá la aparcón de nuevos ndvduos, sno que formara una poblacón ntermeda de ndvduos que poseen las mejores apttudes para que produzcan mayor número de descendentes tras aplcar, posterormente, los operadores de cruce y mutacón. Los métodos de seleccón pueden ser estocástcos o determnstas, los prmeros son los más usados en la práctca y los segundos están en desuso, entre otros motvos porque van en contra de la flosofía de los AG. Procedmentos de seleccón. Métodos drectos: Estos métodos no son estocástcos y no dan la oportundad de que los peores ndvduos sean selecconados. Se seleccona un subconjunto de ndvduos de la poblacón sguendo un crtero fjo. Métodos aleatoros smples o equprobable: Medante estos métodos se asgnan a todos los elementos de la poblacón base las msmas probabldades de ser selecconados. Métodos estocástcos: Estos métodos asgnan probabldades de seleccón o puntuacones a los elementos de la poblacón base en funcón de su apttud. Esten muchos mecansmos de muestreo estocástcos los más utlzados son los sguentes. - Método por sorteo. - Método unversal o por ruleta. - Método jerárquco. - Método por torneos Cruce. Es el operador genétco fundamental de los algortmos genétcos. Realza la funcón de eplotacón de las solucones, es decr, ntenta potencar los mejores ndvduos de la poblacón. Los operadores de cruce son el arquetpo de operadores de recombnacón: actúan sobre parejas de ndvduos y normalmente orgnan otro par de ndvduos que combnan característcas de los progentores. El cruce no modfca los valores de los bts de la pareja de ndvduos que se cruzan, no es posble por tanto, obtener nuevos bts. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 3

34 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Dado que en los AG los ndvduos están representados a través de cadenas bnaras, el cruce se lleva a cabo por ntercambo de segmentos. Para realzar el cruce de ndvduos se defne una probabldad de cruce p. Luego, se asgna aleatoramente a cada ndvduo un valor b comprenddo en el ntervalo 0,1 de manera que s ese ndvduo. c b p se realza un cruce con Por ejemplo: s tenemos una probabldad de cruce p 0. 6 y el tamaño de la poblacón es 100, el valor medo de ndvduos que se cruzarán es 60. Normalmente se asgnan valores de p entre 0.6 y La eleccón del ndvduo que se cruzará con otro tambén es aleatora. c Procedmentos de cruce. Cruce monopunto: El cruce entre una pareja de ndvduos se realza cortando las cadenas en un punto. La seleccón del punto de cruce se elge de forma aleatora. Cruce multpunto: Se generan aleatoramente varos puntos de corte en la cadena y se cruzan dos ndvduos. Este cruce mejora la capacdad de procesado de esquemas, pero acosta de perder velocdad de convergenca. Cruzamento unforme: Para cada bt del prmer hjo se decde, con certa probabldad, de que progentor heredará el valor para esa poscón. El segundo hjo recbe el correspondente valor para esa poscón del otro progentor. Dado que el cruce unforme ntercamba bts (alelos) en lugar de segmentos de la cadena, se usa para combnar atrbutos específcos, con ndependenca de la poscón en que han sdo codfcados. En algunos problemas esta capacdad compensa el resgo adconal que se ntroduce al descomponer bloques constructvos. No obstante se recomenda utlzar el cruce unforme sólo en casos concretos en los que haya motvos fundados para hacerlos Mutacón. La mutacón es un operador genétco de mportanca teórca secundara, lo que se manfesta en su baja probabldad de aplcacón en comparacón con el cruce. Esto no sgnfca que en la práctca sea un operador mprescndble, de hecho se ha comprobado que un AG puede funconar sn realzar cruces, pero no sn realzar mutacones. El cruce puede orgnar pérdda de alelos (ncesto). La mutacón evta este problema. Los operadores de mutacón son operadores de eploracón, ya que permten mover el espaco de solucones a nuevas zonas de búsqueda. La mutacón genera alteracón en los bts de un ndvduo, es decr, consste en modfcar alguno de los bts de un ndvduo o el total de ellos. Por tanto, la mutacón sí permte obtener nuevos bts o alelos. Incalmente es mportante eplorar dstntas zonas del espaco de solucones, para ello la probabldad de mutacón debe de ser alta. Esto hace aleatora la búsqueda. Luego, es mportante eplotar las mejores solucones, esto sgnfca probabldad de cruce alto y probabldad de mutacón baja. Es mportante tener en cuenta que probabldades de mutacón muy bajas pueden llevar a óptmos locales. c c Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 33

35 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Para realzar la mutacón se defne, para cada bt, una probabldad de mutacón p m. c p, Luego, se asgna aleatoramente un número c entre 0, 1 a cada gen y s m entonces se aplca mutacón, es decr el bt cambo de valor. En la fgura 3.4 se muestra un ejemplo. Fgura 3.4: Mutacón Reemplazo. Es el proceso por el cual se elgen los ndvduos de la poblacón ntermeda y de la poblacón de descendentes (después del cruce y mutacón), que formarán la nueva poblacón por susttucón de la ncal. Hay que recordar que s se parte de n ndvduos en la poblacón ncal, se selecconan para la poblacón ntermeda n ndvduos y de ésta se generan m descendentes. De manera que se tenen en total n+m ndvduos, de los cuales sólo n formarán parte de la nueva poblacón. Ver fgura 3.5. El reemplazo puede llevarse acabo de dferentes maneras: Reemplazo al vuelo o nmedato: Los m descendentes susttuyen drectamente a sus m progentores sn nnguna consderacón preva. Reemplazo por factor de llenado: Los m descendentes susttuyen a aquellos ndvduos de la poblacón ntermeda a los que más se asemejan. Reemplazo por nsercón: Este reemplazo se puede realzar de dos maneras: - En la prmera, se tene un número de descendentes mayor que el tamaño de la nueva poblacón, por lo que, se selecconan úncamente descendentes para formar la nueva poblacón. Esto provoca que un ndvduo no pueda subsstr más de una generacón. - En la segunda opcón, el número de descendentes es nferor al tamaño de la nueva poblacón, por tanto, todos los descendentes pasan a formar parte de la nueva poblacón junto con los mejores ndvduos de la poblacón ntermeda. Fgura 3.5: Reemplazo. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 34

36 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Crtero de parada. El crtero de parada más habtual es utlzando un número mámo de teracones. Este crtero no sempre garantza buenos resultados, ya que podría no haberse alcanzado el óptmo. Otro crtero de parada está basado en el grado de homogenzacón de la poblacón, el cual se puede verfcar medante la cantdad de genes que han convergdo. Por ejemplo, se puede parar el algortmo s converge el 95% del total de genes. Un gen ha convergdo cuando certo porcentaje de la poblacón (por ejemplo el 90%) tene los msmos alelos en dcho gen. Otro crtero de parada es tambén defnr un valor T, de manera que s en certo número de teracones no se mejora la solucón, un valor menor que T, entonces se termna Ejemplo de mplementacón de un algortmo genétco. Para una mejor comprensón de lo que es y para lo que srve un algortmo genétco vamos a realzar un ejercco muy sencllo que nos servrá para famlarzarnos con esta metodología. Con este ejercco se pretende mostrar que la aplcacón de algortmos genétcos está al alcance de todos y no es precso tener grandes conocmentos matemátcos. Ejercco: Funconamento de un algortmo. Vamos a partr de la funcón: f Objetvo: El objetvo de este ejercco es encontrar el valor de que haga que la funcón alcance su valor mámo, tenendo en cuenta las sguentes restrccones. - 0, Z, sendo Z el conjunto de los números enteros. f Es evdente que para la resolucón de este ejercco no haría falta la aplcacón de algortmos genétcos, ya que, obvamente el mámo se tene para 31, donde f entender Pero la sencllez del ejercco permtrá que el algortmo sea más fácl de Codfcacón: Lo prmero que tenemos que hacer es codfcar las posbles solucones, valores de, que podemos tener. Para ello aplcando la codfcacón bnara para números enteros que vmos anterormente, sendo la longtud del códgo de 5 bts, ya que son los necesaros para defnr el mámo valor posble que puede tomar, por lo que un posble valor de es: Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 35

37 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Donde, decodfcando el códgo podemos decr que: Poblacón ncal: A cada valor de en codfcacón bnara se le denomnará ndvduo, por lo que a una coleccón de estos ndvduos se le denomnará poblacón y al número de ndvduos, tamaño de la poblacón. Una vez codfcada las posbles solucones necestamos escoger un tamaño de poblacón, en este caso de 6 ndvduos, y crear una poblacón ncal. Ver tabla 3.1. Esta poblacón ncal va ser creada al azar entre las posbles solucones, obtenendo: Nº INDIVIDUO Tabla 3.1: Poblacón ncal. CODIFICACIÓN BINARIA VALOR VALOR f() Observamos que el mejor ndvduo en la poblacón ncal es el número 5 con f 676. Seleccón: Una vez defnda la poblacón ncal, este prmer operador genétco consste en selecconar de dcha poblacón los ndvduos con mejores apttudes. Para ello, como se ve en la tabla 3., se hará competr a los ndvduos entres sí de manera aleatora medante un torneo entre dos, el mejor generará dos copas y el peor se desechará. Nº INDIVIDUO CODIFICACIÓN BINARIA Tabla 3.: Seleccón. VALOR VALOR f() PAREJA DE TORNEO Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 36

38 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Tras realzar el proceso de seleccón, en la tabla 3.3, podemos ver la poblacón ntermeda. Tabla 3.3: Poblacón ntermeda. Nº CODIFICACIÓN INDIVIDUO BINARIA Cruce: Tras realzar la seleccón y defnr la poblacón ntermeda, este operador genétco realza la funcón de eplotacón de las solucones, es decr, ntenta potencar los mejores ndvduos de la poblacón ntermeda. Para ello como se puede ver en la tabla 3.4, se realzará un cruce monopunto, que consstrá en, dados dos ndvduos pareja se establece un punto de corte aleatoro comprenddo entre 1 y 4, (que es el ntervalo que queda al qutarle la undad a la longtud del ndvduo), y se repartrán los bts formando dos nuevos ndvduos denomnados hjos. Nº INDIVIDUO Tabla 3.4: Cruce. CODIFICACIÓN BINARIA PAREJA DE CRUCE PUNTO DE CRUCE Para una mayor comprensón realzaremos, a modo de ejemplo, el cruce monopunto de los ndvduos y 3, en este caso el punto de corte obtendo de forma aleatora ha sdo el 3 por lo que tenemos que: Punto de corte 3. Padre 1 Indvduo Padre Indvduo Hjo Hjo Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 37

39 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Por lo que la poblacón que queda tras realzar el cruce se puede ver en la tabla 3.5. Nº INDIVIDUO Tabla 3.5: Poblacón tras el cruce. CODIFICACIÓN BINARIA VALOR DE VALOR DE F() Tras aplcar los operadores genétcos de seleccón y cruce podemos ver como el mejor ndvduo en la poblacón tras el cruce es el número con f 784. Comparando este valor con el obtendo en la poblacón ncal f 676, podemos ver como los ndvduos después s de la seleccón y el cruce son mejores. Por otro lado, s realzamos la meda f 34.3 de la poblacón ncal y la comparamos con la meda f med med de la poblacón tras el cruce, vemos como el conjunto de los ndvduos tras la seleccón y el cruce es mejor que antes de la aplcacón de estos operadores genétcos. Mutacón: Para aplcar este operador genétco, defnmos para cada bt de nuestra poblacón, una probabldad de mutacón p 5%. Luego, se asgna aleatoramente un número c entre m 0,1 a cada bt, esto sgnfca, que en promedo, sendo que mutaran es de bts es decr el bt cambara de valor. 30, el número total de bts 1.5. Por lo tanto, los bts que verfquen c p m mutarán, Para smplfcar los resultados, como se puede ver en la tabla 3.6, dremos que los bts de cambo se producen en el cuarto bt del ndvduo 1, en el tercer bt del ndvduo 5 y el tercer y qunto bt del ndvduo 6. Nº INDIVIDUO Tabla 3.6: Proceso de mutacón. CODIFICACIÓN BINARIA MUTACIÓN CODIFICACIÓN NUEVA Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 38

40 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB En la tabla 3.7 vemos los resultados tras la mutacón. Nº INDIVIDUO Tabla 3.7: Poblacón tras la mutacón. CODIFICACIÓN BINARIA VALOR DE VALOR DE F() Comparando los valores obtendos con el valor tras el cruce vemos como ha mejorado consderablemente sendo tras la mutacón, el mejor ndvduo el número 5 con f 900, y una meda de f med Los algortmos genétcos no nos garantzan la obtencón del valor óptmo, pero vendo los resultados que tenemos podemos afrmar que estamos muy cerca del óptmo por lo que podemos consderar al ndvduo número 5 como óptmo. Esta decsón se puede tomar ya que en este ejercco no hemos tendo en cuenta nnguna restrccón en el crtero de parada. Remplazo: Por últmo tras realzar tantas veces como sea necesaro, o como ndque el crtero de parada, el bucle de, seleccón, cruce y mutacón, remplazamos medante el método de remplazo nmedato, como se puede ver en la fgura 3.8, la poblacón ncal por la nueva poblacón que contene el valor óptmo obtendo, Nº INDIVIDUO CODIFICACIÓN BINARIA INICIAL Tabla 3.8: Nueva poblacón. VALOR VALOR f() CODIFICACIÓN BINARIA FINAL VALOR VALOR F() Crtero de parada: En este ejercco no se ha consderado nngún crtero de parada especfco, pero, s el resultado obtendo tras la mutacón no hubera sdo consderado como valdo, repetríamos el bucle de seleccón, cruce y mutacón durante tantas teracones como ndcara el crtero de parada, o hasta que los resultados alcancen una homogenedad defnda con anterordad. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 39

41 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB 3.. ALGORITMOS GENÉTICOS CON MATLAB. En este apartado, se pretende dar una vsón general de las posbldades que ofrece el entorno de trabajo MATLAB para la resolucón de algortmos genétcos. Se recomenda consultar un manual especalzado o la autoayuda help del entorno, tantas veces como sea precso para su mayor comprensón Toolbo de algortmos genétcos en MATLAB. Para el prmer contacto con MATLAB, como ya comentamos anterormente, una posble forma de conocer todas las posbldades que nos ofrece el programa respecto a la resolucón de algortmos genétcos es, acudr al comando de autoayuda help del entorno desde su págna de nco. Desde la pantalla prncpal de MATLAB, normalmente dvdda en tres ventanas, escrbmos help en la ventana Comand Wndows. Ver fgura 3.6. Fgura 3.6: Comando help en Comand Wndows. Una vez ejecutado este comando, nos aparecerán todas las posbles aplcacones de MATLAB con su correspondente comando de aplcacón, como se muestra en la fgura 3.7. Fgura 3.7: Aplcacones de MATLAB. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 40

42 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB En la fgura 3.7 podemos ver que el comando gads/gads hace referenca a Genetc Algorthm and Drect Search Toolbo, dentro de este, nos centraremos en el comando gatool, que se encarga de la optmzacón de funcones medante algortmos genétcos. Al gual que antes, para acceder drectamente a la toolbo de algortmos genétcos desde la págna prncpal de MATLAB, escrbmos el comando gatool en la ventana Comand Wndows como podemos ver en la fgura 3.8. Otra forma más drecta de llegar a esta herramenta de optmzacón desde la pantalla ncal de MATLAB, es como se puede ver en la fgura 3.9, medante la secuenca: Start > Toolboes > Genetc Algorthm and Drect Search Toolbo > Genetc Algorthm Tool Fgura 3.8: Comando gatool en Comand Wndow.. Fgura 3.9: Secuenca drecta para acceder al comando gatool. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 41

43 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Ejecutamos el comando y nos aparece la ventana Optmzaton Toll, como se puede ver en la fgura 3.10, donde ntroducremos los parámetros necesaros para la resolucón del algortmo. Fgura 3.10: Pantalla Optmzatón Tool. En esta pantalla se defnrán las característcas del problema que queremos optmzar medante la aplcacón de algortmos genétcos en MATLAB. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 4

44 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB 3... Ejemplo de mplementacón. Para una mayor comprensón del uso de la herramenta, se va a realzar paso por paso un ejemplo de mplementacón de algortmos genétcos en MATLAB. Supongamos, que la funcón que queremos optmzar es: f, Los algortmos genétcos aplcados en MATLAB, como proceso de optmzacón, mnmzan la funcón hasta consegur un valor óptmo. En prmer lugar creamos un archvo nuevo, al que llamaremos Ejemplo para poder llamar a la funcón cuando se aplque la toolbo de MATLAB, para ello procedemos como sgue: 1. En la pantalla prncpal de MATLAB, selecconamos Fle-New.. Selecconamos M-Fle y se nos abre un edtor, como podemos ver en la fgura Fgura 3.11: Creacón de un nuevo archvo. 3. En este edtor ntroducmos la funcón medante líneas de códgo. Ver fgura 3.1. Fgura 3.1: Edtor de MATLAB. 4. Salvamos el fchero M-Fle en un drectoro de MATLAB, como Ejemplo. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 43

45 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Tras realzar estos pasos abrmos la toolbo correspondente a algortmos genétcos, para ello, desde la pantalla prncpal de MATLAB, procedemos como se vo en la fgura 3.4. Start > Toolboes > Genetc Algorthm and Drect Search Toolbo > Genetc Algorth Tool. Una vez en la ventana Optmzaton Tool de MATLAB, se escrbe el nombre de la funcón que queremos optmzar en el espaco Ftness funcón y el numero de varables, en este caso dos, en el espaco Number of varables, como se muestra en la fgura Fgura 3.13: Introduccón de la funcón. Por otro lado, en Plot functons se defne el gráfco para modelzar el proceso, para ello, selecconaremos un Plot nterval de valor undad y un gráfco Best Ftness, como se muestra en la fgura Fgura 3.14: Defncón del gráfco. Del msmo modo, se debería de selecconar las opcones correspondentes a: tpo de poblacón, tamaño de la poblacón, seleccón, cruce, et. Pero al tratarse de un smple ejemplo de mplementacón, se trabaja con una poblacón real, sn codfcacón, por lo que no se han varado estos factores. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 44

46 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Una vez mplementado el problema en la toolbo de MATLAB, procedemos a su ejecucón, para ello pulsamos en Run solver and vew results el botón Start, para que el programa comence a optmzar la funcón. Ver fgura Fgura 3.15: Resolucón del problema. Los resultados obtendos pueden verse en Run solver and vew results, donde se da el valor de apttud del mejor ndvduo de la últma generacón, motvo de la parada del algortmo. En este caso, esto ha sdo debdo a que no se ha realzado mejora del Best ftness en un número de generacones defndas en Stoppng crtera, que se ha dejado con su valor por defecto correspondente a 50 generacones. En esta msma pantalla, podemos ver como en Fnal pont, el programa tambén nos da el valor de las varables en el punto fnal de la teracón. Ver fgura Fgura 3.16: Puntos fnales. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 45

47 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Por otro lado, como defnmos el gráfco Best ftness podemos ver gráfcamente como ha sdo la evolucón de la funcón, medante el mejor valor de una generacón Best ftness (Negro) y la meda de toda la generacón Mean ftness (Azul). Ver fgura Fgura 3.17: Gráfco Best ftness. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 46

48 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Ejemplo práctco de aplcacón. A contnuacón se desarrolla un ejemplo práctco de aplcacón de algortmos genétcos medante la herramenta de cálculo Matlab Descrpcón del problema. En este ejemplo, estudaremos el dseño de tolerancas de un embrague de un sólo sentdo que consta de, un soporte central (Hub), un anllo eteror (Cage) y cuatro rodllos (Roller). El contacto de los rodllos con el soporte central y el anllo eteror permte la transmsón de potenca del eje central a dcho anllo eteror, como se ve en la fgura Fgura 3.18: Esquema del problema. Ej. Embrague. Para el correcto funconamento del embrague, será necesaro conocer el ángulo de contacto y las dmensones que afectan al ensamblado del conjunto. Este problema fue descrto por A. Noorul en el artículo: Tolerance desng optmzaton of machne elements usng genetc algorthm. Noorul, H. et al (005). Int. Journal Adv. Manuf. Technology, 5, , (Ver aneo [A.]), y fue desarrollado en el proyecto fn de carreara: Aplcacón de algortmos genétcos a problemas de dseño en ngenería mecánca utlzando Matlab por Javer Paz Fernández, en el curso Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 47

49 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Asgnacón de las varables y límtes. Como se ha menconado anterormente, y se puede ver en la fgura 3.19, el embrague consta de tres partes dferencadas de las que obtenemos tres varables ndependentes denomnadas 1 3,,. Por otro lado, para su correcto funconamento, se defne una varable Y correspondente al ángulo de contacto, dependente de las varables. Fgura 3.19: Asgnacón de varables. Ej. Embrague. De manera que la varable Y se puede escrbr como: Y f 1,, 3 a cos 1 3 Donde a es una constante. El valor de la varable Y deberá encontrarse dentro de unos límtes de especfcacón tales que, LEI, LES. Y Dada la dependenca de Y, el problema se basará en la optmzacón de las tolerancas de las varables, mnmzando los costes. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 48

50 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Los límtes de tolerancas, LTI LTS de las varables 1,, 3, serán: n 0, n 3 4, n Sendo los valores mínmos para las tolerancas de t 0, 0001 n Los costes de fabrcacón se asgnarán medante las funcones: M t t M t t M t t 3 Donde t1, t, t 3 son los valores de las tolerancas de las varables, respectvamente. El coste total de fabrcacón se puede epresar como: M t T M t 1 M t M t3 La funcón del coste asocado a la pérdda de caldad se puede epresar como: Q t k k 1 A T k k Donde : A es un coefcente de pérdda de caldad medo en funcón de la varabldad obtenda en Y. T Y es la toleranca de la varable Y, que será funcón de las tolerancas de las varables, es decr de las varables t1, t, t 3 Unendo ambos costes, la funcón a mnmzar será:, y será calculada aplcando la ley de las varanzas. Y t 3 1 M t Q t Y t A t t t t t t Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 49

51 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Las restrccones del problema serán los límtes de las tolerancas t1, t, t 3, y la restrccón para la toleranca T Y de la varable Y pude ser escrta en funcón de las tolerancas t1, t, t 3, aplcando la ley de varanzas y tenendo en cuenta que la toleranca de Y está establecda como 0, t t t Planteamento del problema para la aplcacón de AG. Para resolver el problema con algortmos genétcos, será necesaro: - Buscar una adecuada codfcacón de las posbles solucones del problema. Dado que los valores de las varables son reales, se usará la epresón (3.): mn bndec v ma L 1 mn Por lo tanto, será necesaro defnr el grado de precsón, los valores mámo y mínmo ya los da el artículo como límtes de toleranca para cada varable. - Escrbr una funcón objetvo que ncluya las restrccones, ya que se usará el método de la penalzacón. Codfcacón bnara. Para saber la longtud de cada varable recordaremos la formula (3.1): L log 1 ma m mn En el artículo se da una longtud de 19 bts a cada varable, pero para este caso, el programa no puede trabajar con más de 5 bts por lo que se ha decddo recalcular la longtud. Los valores mámos y mínmo de cada varable se toman drectamente del artículo en forma de límtes de toleranca y se utlzará una precsón de para todas las varables. Se han tomado como valores mámos y mínmos 0.01 y respectvamente, los t, t, t cuales han sdo sacados de los límtes de toleranca 1 3 es de , por lo que susttuyendo tenemos:. La precsón que se ha usado L ma mn log 1 log 1 7 m Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 50

52 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB Es decr, , por lo que esta longtud puede representar las varables. Por lo tanto, cada varable será de 7 bts y la longtud total de la cadena será de 1 bts Construccón de la funcón objetvo. Se usará la funcón objetvo: Y t A t t t t t t pero se le agrega una penalzacón correspondente a la restrccón: t t t Programacón en MATLAB. La funcón creada en el archvo *.m con codfcacón bnara será: funcon y=fortn() %a=coefcente estmado de pérdda de caldad. %y=coste total de fabrcacón y pérdda de la caldad. %t1=sngle sde tolerance value para dmensón 1. %t=sngle sde tolerance value para dmensón. %t3=sngle sde tolerance value para dmensón 3. A=5; long=7; t1mn=0.0001; tmn=0.0001; t3mn=0.0001; t1ma=0.01; tma=0.0005; t3ma=0.01; mn=[t1mn tmn t3mn]; ma=[t1ma tma t3ma]; b=(1:long); c=(long+1:*long); d=(*long+1:3*long); 1=numstr(b); =numstr(c); 3=numstr(d); t1=mn(1)+bndec(1)*((ma(1)-mn(1))/(^long-1)); t=mn()+bndec()*((ma()-mn())/(^long-1)); t3=mn(3)+bndec(3)*((ma(3)-mn(3))/( long-1)); Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 51

53 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB r= *t *t *t3; p=0; f r>1 p=100000; end y=(0.058/(t1^0.688))+(3.18/(t^0.0784))+(0.0018/(t3))+a*(90.709*(t1^) *(t^) *(t3^)) p; r es la restrccón que penalza la funcón objetvo s no se cumple. En este caso como lo que se pde es mnmzar, la funcón objetvo no se pone negatvo, ya que el programa por defecto lo que hace es mnmzar al mámo la funcón. El problema se resolverá para dferentes valores del coefcente de pérdda de carga A para comparar los resultados con los del artículo. Por lo tanto este valor se modfcará en el programa, en este caso de ejemplo toma el valor A= Parámetros de AGs usados. Parámetros del algortmo genétco. Los parámetros del algortmo genétco son: Populaton sze = 140. Cros-over probablty = 0.6 Mutaton probablty = Estos datos se sacan drectamente de los dados en el artículo. Las otras opcones usadas en AG son las sguentes: 1. Ftness funcón Que es el nombre de la funcón.. Number of varables = 1. Se tene tres varables que da el problema y cada una con 7bts. 3. Plots = Best ftness. Para que se vea cómo evolucona la funcón objetvo. 4. Populaton type = Bt strng. Se va a trabajar con números bnaros en todos los problemas, por lo que esta opcón será la msma en todos. 5. Populaton sze = 140. Dato del problema. 6. Selecton o unform: Se usa la que obtenga mejores resultados, aunque muchas veces no varíe práctcamente nada de una a otra. 7. Reproducton: crossover fracton = 0.6. Dato que se da en el problema. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 5

54 CAPÍTULO III: ALGORITMOS GENÉTICOS Y SU USO EN MATLAB 8. Mutatón funcón: unform. Rate = Valor de la probabldad que tene cada bt de mutar, esta dado por el problema. 9. Crossover: sngle pont. 10. Stoppng crtera: generatons: 00, stall generaton: 100, stall tme lmt: Run solver Conclusón. En la tabla 3.9 podemos ver los resultados dados en el artculo Tolerance desng optmzaton of machne elements usng genetc algorthm. Noorul, H. et al (005), para dferentes valores de A y compararlos con los resultados de la tabla 3.10, obtendos medante la aplcacón de algortmos genétcos con Matlab, Genetc Algorthm and Drect Search Toolbo con codfcacón bnara. Tabla 3.9: Resultados dados en el artículo. Ej. Embrague. A t 1 t t 3 F. Objetvo 0 0, ,0005 0, , , ,0005 0, , , ,0005 0,005 11, , ,0005 0, , , ,0005 0,0067 1, ,0045 0,0005 0, ,047 Tabla 3.10: Resultados obtendos con Matlab. Ej. Embrague. A t 1 t t 3 F. Objetvo 0 0,0053 0,0005 0,000 11, ,0051 0,0005 0,003 11, ,0050 0,0005 0,003 11, ,0045 0,0005 0,008 11, ,0046 0,0005 0,007 1, ,004 0,0005 0,006 13,0481 Tras realzar varas ejecucones del problema se puede conclur con que los resultados obtendos para dferentes valores del coefcente estmado de pérdda de carga, A, medante la aplcacón de algortmos genétcos en Matlab, son bastante apromados a los obtendos en el artículo propuesto, por lo tanto, utlzaremos esta programacón para la resolucón de la metodología en el tema IV. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 53

55 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. 4. CAPÍTULO CUARTO: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES A UN CONJUNTO DE VARIABLES DEPENDIENTES En este capítulo se descrbe detalladamente la metodología propuesta. En un prmer apartado se defne el problema de la asgnacón de tolerancas y valores nomnales a un conjunto de varables dependentes. En un segundo apartado se descrbe paso a paso la metodología propuesta. En el capítulo sguente se lustrará la metodología propuesta con varos ejemplos y aplcando como herramenta de optmzacón los algortmos genétcos DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. El problema que se va a tratar fue defndo prevamente en el apartado.. del capítulo II. Se trata de asgnar las tolerancas y los valores nomnales a un conjunto de varables correladas, de manera que se mamcen las tolerancas y se obtenga una proporcón de pezas defectuosas menor que certo valor. Para facltar la lectura y comprensón de la metodología que se propone, se defne aquí nuevamente el problema. Consderemos que una sere de m varables Y Y Y Y,,..., m 1, son unas característcas de las que depende el correcto funconamento de una peza o conjunto mecánco. Podemos consderar entonces que esta peza o conjunto funconará correctamente s estas varables Y, son conformes, es decr, están dentro de unos límtes de especfcacón marcados, esto es: Sendo, LEI j y cada una de las varables Y. Yj LEI j, LES j, j 1,..., m LES j, los límtes de especfcacón nferor y superor, respectvamente, de Se asume, que bajo condcones óptmas de fabrcacón, la proporcón de pezas defectuosas, denotada por p, no debe ser mayor que un pequeño valor, es decr: p P Y S (4.1) donde S es la regón rectangular defnda por las especfcacones de la peza, por lo que: m S R :( LES Y LEI ), j 1,..., m Y (4.) j j j Por otro lado, las varables Y dependen de un conjunto de k varables correladas o 1,,..,, es decr: k dependentes Y f 1,,... k Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 54

56 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Estas varables son característcas de la peza y están correladas debdo al proceso de fabrcacón de las pezas. En el caso de las varables Y, dado que dependen de las msmas varables se consderará tambén que este correlacón entre ellas. t 1,,..., k y los valores nomnales óptmos VN VN VN VN, de cada una de las k varables. Los El problema consste en encontrar las tolerancas óptmas t t t 1,,..., k valores óptmos serán aquellos que permtan mamzar las tolerancas cumplendo la restrccón de la ecuacón 4.1, es decr, obtenendo una proporcón de defectuosos menor que certo valor. Dadas las tolerancas y valores nomnales óptmos, los límtes de toleranca de las varables serán los sguentes: LTI VN t LTS VN t, 1,,... k Para encontrar los valores nomnales óptmos, se restrngrán sus valores a un ntervalo determnado, del tpo: sendo VN VNI, VNS, 1,,..., k. VNI y VNS el valor nomnal nferor y valor nomnal superor, respectvamente. Del msmo modo, se establecerán unas tolerancas mínmas T _ mn, para evtar que las tolerancas tomen valor gual a cero o prómo a cero., a cada varable Por otro lado, se asume gual coste de fabrcacón y caldad para todas las varables. Es decr, nnguna de ellas tene mayor coste de caldad n este dstnto coste para obtener la msma toleranca en cualquera de las varables. Luego, el problema quedaría planteado como: _ mn ma t t, t,..., t ma t sujeto a p 1 VN VNI, VNS, 1,,..., k. t T k k 1 (4.3) Para resolver este problema se asumrán muchas de las condcones vstas en las metodologías propuestas para el caso de ndependenca de, descrtas es el apartado.3. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 55

57 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. que: Se asume la normaldad multvarante de las varables, por lo que se puede decr 0 N K μ, Σ donde μ es el vector de medas y proceso de fabrcacón. 0 Σ es la matrz de covaranzas, ambos dependentes del Se asume tambén una relacón lneal entre las varables e Y, por lo que cada varable Y, puede ser epresada como: j Y a0 a... a j j j k k Cuando la relacón lneal sea sólo apromadamente certa, se podrá aplcar un desarrollo de Taylor, en este caso los componentes a j, podrán ser defndos como: a j Yj j y el coefcente a 0 j se obtene a partr del desarrollo de Taylor. Bajo la suposcón de lnealdad, se tene que, N ; 0 m y y de medas verfca que: donde a a01, a0,..., a0 j y Y, por lo que el vector a A (4.4), y A es la matrz de relacón. a a a a A a a a a a 11 1 k 1 1 a k 1m m akm y la matrz de covaranzas 0 Σ y, verfca que: Σ AΣ A (4.5) 0 0 y Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 56

58 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Al gual que en el caso de ndependenca de, donde la mamzacón de dependía de la varanza de las varables, ahora bajo dependenca de el valor de las tolerancas t dependerá de la matrz de covaranzas Σ. En este caso, sn embargo, los valores nomnales alrededor de los cuales se establecerán las tolerancas son tambén varables de dseño. Luego, asumendo que el proceso estará centrado en los valores nomnales, el problema de asgnacón de tolerancas dependerá tambén de los valores del vector de medas μ. De este modo, obtendremos una generalzacón mayor donde la mamzacón de las tolerancas mplcará Σ y μ. t 4.. METODOLOGÍA PROPUESTA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. La metodología que se propone en este proyecto está dvdda en dos etapas que se descrbrán a contnuacón. El problema que se plantea en esta metodología consste en asgnar las tolerancas y los valores nomnales de, de manera que se mamcen las tolerancas obtenendo una proporcón de defectuosos p. Por tanto, es necesaro establecer un procedmento para calcular dcha proporcón p en cada teracón del proceso de optmzacón. Puesto que este cálculo de p se realzará para cada teracón del proceso de optmzacón y puede requerr complcadas ntegracones numércas o smulacones de Monte Carlo, en esta metodología se propone establecer dos procedmentos para la evaluacón de dcha restrccón, lo que nos llevará a dvdr la metodología en dos etapas. En la Etapa I, se realzará un procedmento smplfcado para obtener una evaluacón rápda de p sn necesdad de calcular el valor eacto de p, Como resultado de esta etapa obtendremos unos valores nomnales y unas tolerancas de. Estas tolerancas, serán ajustadas en la etapa II, en la que se hará un cálculo más precso de la proporcón p. En la Etapa II se calculará la proporcón p medante un procedmento basado en smulacones de Monte Carlo. Dado que este procedmento es más costoso computaconalmente se realzará como últmo paso en la resolucón del problema. Como resultado de esta etapa obtendremos las tolerancas óptmas de. Antes de descrbr detalladamente los pasos a segur en la metodología, se eplcará a grandes rasgos en qué consste. Partremos de una matrz de covaranzas Σ y un vector de medas μ, obtendos con datos del proceso de fabrcacón trabajando en condcones normales. Dada la dependenca establecda entre las varables e Y, calcularemos los valores de las varables Y medante (4.4) y (4.5). Una vez obtendos los valores calculará la proporcón de artículos defectuosos que producría esta dstrbucón. η Y y Σ Y se En la Etapa I, este cálculo se hará utlzando la proyeccón de una regón elíptca a una rectangular, eplcada en el capítulo II. S la proporcón de defectuosos no es la que buscamos, entonces se modfcará la matrz de covaranzas y el vector de medas de, * * * * obtenendo unos nuevos valores, Σ y μ, y unos nuevos valores η y Σ. Y Y Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 57

59 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Este proceso será repetdo tantas veces como sea necesaro hasta cumplr con la proporcón deseada, es decr, p. Una vez termnada esta Etapa I, se realzará un proceso basado en smulacones de Monte Carlo donde se ajustará de una forma más precsa la proporcón de no conformdad * * * * deseada p. Para ello, partremos de los datos Σ y μ, η y Σ obtendos en la últma teracón de la Etapa I. Se smularán observacones de una dstrbucón normal * * multvarante de parámetros η y Σ y con estas observacones se calculará la proporcón Y Y que están fuera de las especfcacones, es decr la proporcón de defectuosos. A contnuacón se eplca detalladamente casa paso de la metodología propuesta. Y Y Etapa I. Para el desarrollo de esta prmera etapa es necesaro resolver los sguentes aspectos: - Procedmento para calcular el porcentaje de defectuosos. - Procedmento para modfcar la matrz de covaranzas Σ. - Procedmento para modfcar el vector de medas μ Procedmento para calcular el porcentaje de defectuosos En esta prmera etapa se calculará la proporcón de defectuosos p de manera apromada. Para ello se aplcará la metodología descrta en el apartado.1.11 del capítulo II, que permte obtener una regón de confanza rectangular a partr de un hperelpsode de varabldad 1. En este caso el hperelpsode corresponderá a la dstrbucón de las varables Y, es decr al defndo por una matrz de covaranzas Σ y un vector de medas. Como se puede observar en la fgura 4.1, para el caso de dmensón k, es la proporcón de valores que se encuentran fuera de la elpse de varabldad 1. Sn embargo, el rectángulo proyectado tangente a la elpse abarca, claramente, una regón más grande que la propa elpse por lo que la proporcón fuera de este rectángulo será menor que. Lo que se buscará es que este rectángulo sea gual a un rectángulo formado por las especfcacones de Y. Pero, ncluso cuando estos dos rectángulos sean guales, se tendrá una proporcón de defectuosos p. Luego, en esta prmera etapa obtendremos una solucón conservadora que podrá ser ajustada en la segunda etapa. Es mportante menconar que las especfcacones del problema se consderan, unlaterales, Y 17.3 o blaterales, 16.7 Y 17.3, dependendo de los requermentos establecdos por el problema que se vaya a realzar y y Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 58

60 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Fgura 4.1: Etapa I, apromacón p. Procedmento para modfcar la matrz de covaranzas Σ. Como vmos en el caso de ndependenca de, donde las varables a optmzar eran las desvacones típcas, las cuales eran tratadas como ndependentes unas de otras, ahora la dependenca de provene de la matrz de covaranzas una de las varables de optmzacón. Para cada teracón del proceso de optmzacón será necesaro cambar mplcara un nuevo conjunto de límtes de toleranca y una nueva proporcón de defectuosos. Σ, que se convertrá en Σ, lo que Σ y que llevará a una nueva Para modfcar la matrz de covaranzas Σ, se aplcará la metodología propuesta por González y Sánchez (008) basada en el análss de componentes prncpales (ACP) descrto en el apartado.1.1 del capítulo II. Los autores justfcan la aplcacón de esta metodología del sguente modo. Las varables no son ndependentes pero pueden ser consderadas como una Z Z1, Z,..., Z K denomnados factores latentes. combnacón de factores ndependentes Estos factores ndependentes o latentes estarán relaconados drectamente con el proceso de fabrcacón y pueden ser nterpretados como la fuente prmara de la estructura dependente de. Por tanto, los cambos en Σ serán provocados por cambos en la varanza de estos factores ndependentes Z, sendo estas modfcacones compatbles con las característcas del proceso de fabrcacón. La obtencón de estos factores ndependentes Z se hará medante el análss de componentes prncpales. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 59

61 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Como vmos en el capítulo II el ACP permte pasar de un conjunto de varables dependentes a un conjunto de varables ndependentes medante la descomposcón de la matrz de covaranzas. Así, suponendo que las varables tenen unas covaranzas Σ, y aplcando ACP, se obtendría: Σ CDC (4.6) 0 0 donde C es la matrz de autovectores de dmensón k k y autovalores ,,..., k 0 0 D, es la matrz dagonal de que representan las varanzas de los factores ndependentes Z. Luego, modfcando los autovalores modfcaremos la varabldad de los factores ndependentes y con ello modfcaremos la matrz de covaranzas de. Geométrcamente, los autovectores representaran las dreccones de los ejes del hperelpsode defndo por Σ y los autovalores el tamaño de estos, por lo tanto, un cambo en 0 los autovalores producrá un cambo de longtud de los ejes y un cambo en los autovectores un cambo en la dreccón de estos. La metodología empleada en este proyecto respeta la relacón de dependenca entre varables, por tanto, se varará la magntud de las varanzas y las covaranzas pero se mantendrá la msma estructura. Esto se consegurá modfcando sólo los autovalores y mantenendo constante los autovectores. 0 Es mportante menconar aquí que la matrz de covaranzas Σ depende del proceso de fabrcacón de la peza. Debe ser estmada con una muestra sufcentemente grande de datos obtenda del proceso de fabrcacón funconando en condcones normales, sn fallos y con una varabldad normal, es decr, estando el proceso bajo control Una vez obtendos los autovalores 1,..., que representan las varanzas de, k Z, modfcaremos su valor multplcándolos por una sere de k coefcentes * * * 1,,..., k, obtenendo los nuevos valores 1,...,, esto es:, k b, sendo * b1 * 0 b (4.7) donde b es un coefcente postvo. Dado que los autovalores representan geométrcamente el tamaño de los ejes del hperelpsode, el uso de dferentes valores b mplcará el cambo de la forma del hperelpsode, mentras que, la aplcacón del msmo valor b a todos los autovalores provocara que el hperelpsode aumente o dsmnuya su tamaño respetando su forma ncal. En ambos casos, la dreccón orgnal de los ejes no camba. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 60

62 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. En esta prmera etapa de la metodología se usarán dstntos valores de b de manera que la modfcacón de covaranzas 0 Σ es más general. * * * Una vez obtendos los nuevos valores calculamos la nueva matrz de * Σ sendo: 1,,..., k donde Σ CDC (4.8) * * * D, es la nueva matrz dagonal de autovalores * * * 1,,..., k. Medante este procedmento podemos ver que los cambos producdos en la matrz de 0 covaranzas ncal Σ dependen del valor de los k coefcentes b y por tanto la optmzacón de dcha matrz puede ser tratada como la optmzacón de estos coefcentes ndependentes, convrtendo este procedmento en un problema de optmzacón smlar al caso bajo ndependenca de, vsto en el capítulo II, donde las varables a optmzar eran las k desvacones estándar ndependentes. * Una vez calculada la nueva matrz Σ es posble calcular la nueva matrz de * * * covaranzas de Y cómo Σ y AΣA. Esta matrz Σy será utlzada en cada teracón para calcular la proporcón de defectuosos según el procedmento descrto arrba. Procedmento para modfcar el vector de medas μ. La mamzacón de tolerancas mplca tambén selecconar los valores nomnales de las varables. Estos valores nomnales se suponen guales a las medas de las varables y por tanto, modfcar sus valores mplca modfcar los valores del vector de medas. Medante el análss de componentes prncpales, la sere de k varables dependentes, que defnen las meddas del conjunto mecánco pueden consderarse, como vmos anterormente, como una combnacón lneal de k factores ndependentes. S consderamos que tenemos una matrz de datos de las varables, de dmensón n p, que denotaremos como, entonces los factores ndependentes pueden ser calculados como: Z = C (4.9) 0 Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 61

63 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. donde, es la matrz de dmensón n p que podemos defnr como: 0' = -1μ (4.10) Sendo, 0 ' μ la transpuesta del vector de medas y 1 un vector 1 n. El desajuste o cambo del vector de medas de Z, se realzará sumando a cada varable un valor g, sendo 1,,..., k, que podrá ser tanto postvo como negatvo. Z* Z 1G ' donde, G ' es la transpuesta del vector de valores n 1. vector de unos g, es decr, G g1, g,..., g k y 1 un El valor esperado, o meda, de las nuevas varables Z *, será: E Z * E Z E 1G ' Como E 0 Z, tenemos que el valor esperado o meda de * E E Z * Z * 0 E 1G ' G Z es: El cambo producdo en el valor de la meda en las varables Z se trasladará a las varables, es decr, partendo de las ecuacones (4.9) y (4.10), tenemos que: 0' Z C ZC ZC -1μ -1μ 0'. ZC 1μ 0' Por lo tanto, para obtener un nuevo vector de medas de se debe usar la sguente epresón: 0' * Z * C 1μ * 0 E μ CG μ (4.11) * Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 6

64 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Una vez obtendo este nuevo vector de medas de valores nomnales de, la hperelpse ya no está centrada en desplazado y está centrada en * μ. * μ, que representa un nuevo vector 0 μ, s no que se ha Por tanto, en el problema de mamzacón de tolerancas se tendrán como varables de optmzacón, además de los k coefcentes b, los k coefcentes g. A contnuacón se resumen brevemente los pasos a segur en esta Etapa I: 1. Incalzamos la teracón medante r 0, Estmamos la matrz de covaranzas y el vector de medas ncales trabajando bajo control.. Medante el ACP, usando 0 Σ y 0 μ, con datos obtendos del proceso de fabrcacón 0 Σ en (4.6), obtenemos la matrz de autovectores C y la matrz dagonal ncal D, de autovalores 1,,..., k. 3. Obtenemos el vector de medas de y medante el reemplazo de 4. Obtenemos la matrz de covaranzas 0 Σ y medante el reemplazo de 5. Obtenemos las longtudes l j y calculamos sus límtes LI, Nckerson (1994). 0 μ en (4.4). 0 Σ en (4.5). j LS j, medante 6. S se cumple, p, es decr, LI j, LS j LEI j, LEI j ; j 1,,..., m, pasamos a la etapa II. Por el contraro contnuamos con el paso Poner r r 1. Generamos una sere de k coefcentes b y, aplcando el procedmento vsto en esta seccón, obtenemos una nueva matrz de covaranzas medante (4.8). Segudamente, generamos un vector G y obtenemos un nuevo vector de medas * μ, medante (4.11). Una vez obtendas para contnuar con la teracón. * Σ y * Σ * μ, volvemos al paso 3 Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 63

65 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES Etapa II. En esta segunda etapa se ajustarán los resultados obtendos en la prmera etapa, calculando de manera más precsa la proporcón de defectuosos. En este caso el cálculo de esta proporcón se hará medante smulacones de Monte Carlo. El método de Monte Carlo es un método estadístco numérco usado para apromar epresones matemátcas complejas y costosas de evaluar con eacttud. Se llamó así en referenca al Casno de Monte Carlo (Prncpado de Mónaco) por ser la captal del juego de azar, al ser la ruleta un generador smple de números aleatoros. El nombre y el desarrollo sstemátco de los métodos de Monte Carlo datan apromadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. Este método numérco permte resolver problemas físcos y matemátcos medante la smulacón de varables aleatoras. La mportanca actual del método Monte Carlo se basa en la estenca de problemas que tenen dfícl solucón por métodos eclusvamente analítcos o numércos, pero que dependen de factores aleatoros o se pueden asocar a un modelo probablístco artfcal (resolucón de ntegrales de muchas varables, mnmzacón de funcones, etc.). Gracas al avance en dseño de los ordenadores, los cálculos necesaros para la aplcacón del método de Monte Carlo, que en otro tempo huberan sdo nconcebbles, hoy en día se presentan como asequbles para la resolucón de certos problemas. En esta segunda etapa se partrá de la matrz de covaranzas y el vector de medas obtendos en la últma teracón de la Etapa I y se modfcará úncamente la matrz de covaranzas consderando fjo el valor del vector de medas obtendo en la etapa I. Dado que el coste computaconal de las smulacones de Monte Carlo es elevado, en esta etapa la modfcacón de la matrz de covaranzas se hará utlzando el msmo factor b en la ecuacón (4.7). Esto sgnfca que la longtud de los ejes de la elpse camba de forma proporconal, es decr, el hperelpsode mantene la msma forma (obtenda en la Etapa I) pero aumenta o dsmnuye de tamaño. Por tanto, s denotamos la matrz de covaranzas de, I obtenda en la etapa I, como Σ, en cada teracón se obtendrá una nueva matrz como: II I Σ bσ (4.1) Luego, en esta etapa, la varable a optmzar es el factor b. Contnuando con la metodología, una vez determnada la nueva matrz de II covaranzas Σ, se usarán smulacones de Monte Carlo para calcular el porcentaje de defectuosos p. N ( I ) k, En cada teracón se generan M observacones aleatoras de una normal multvarante II * μ Σ, sendo M un número sufcentemente grande. Se selecconan de esas observacones aquéllas que estén dentro de la regón rectangular de tolerancas T, que será obtenda como se descrbe a contnuacón. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 64

66 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Obtencón de la regón de tolerancas T. Al gual que en el caso de ndependenca, donde los límtes de tolerancas eran epresados como una dstanca desde la meda, en este caso la regón de toleranca T será un hperrectángulo de dmensón k, centrado en la meda y con caras paralelas a. Para obtener esta regón rectangular de tolerancas T, dada una matrz de II ( ) covaranzas Σ y un vector de medas μ I, se usará la msma metodología de proyeccón de un hperelpsode en un hperrectángulo, descrta en el capítulo II. Aplcando esta metodología las tolerancas t quedarán defndas como: t II 1,1. Σ (4.13) k donde el subíndce denota el -ésmo elemento de la dagonal de la nversa de la matrz II Σ y lbertad. el punto k,1 Los límtes de toleranca para cada varable % de la dstrbucón Ch-cuadrado con k grados de serán defndos como. ( ) ( ), I I, LTI LTS t t (4.14) La fgura 4. muestra un ejemplo en dos dmensones que representa una elpse II ( ) defnda por Σ y μ I, y la regón de toleranca T obtenda medante (4.13) y (4.14). Fgura 4.: Regón de toleranca T para una matrz II ( ) Σ y un vector μ I. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 65

67 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. Con las observacones de selecconadas, que denotaremos como T se calculan las correspondentes varables Y, aplcando la relacón YT A T. Con estas observacones Y T se calcula la proporcón de defectuosos p : T p P Y S Y f ( ) (4.15) T T T S la proporcón de defectuosos p es gual al valor, entonces se detene la búsqueda y la regón de tolerancas de esa teracón será la solucón del problema. En caso contraro, se sgue terando. Es mportante menconar aquí, que en esta segunda etapa, la proporcón de defectuosos se calcula contando el número de observacones que no cumplen las especfcacones de la peza. Al gual que en la etapa I, en esta segunda etapa se podrá calcular la proporcón de defectuosos consderando las especfcacones unlaterales, en los casos que sea así. De esta forma, se realzará un cálculo más precso de la proporcón de defectuosos y por consguente la asgnacón de tolerancas será más precsa. Tambén en esta etapa hay que tener en cuenta que se usará la relacón real entre las varables Y y. Es decr, en el caso en el que ésta relacón fuese no lneal, y haya sdo lnealzada para obtener la matrz A usada en la Etapa I, en esta etapa se usará la funcón no lneal entre las varables. Fnalzada la Etapa II obtendremos como resultado una nueva matrz de covaranzas II * I Σ, centrada en μ, y el valor de las tolerancas óptmas de, tales que, LTI y LTS, objetvo de esta metodología. Como se ve, en esta segunda etapa el problema de mamzacón de tolerancas se traduce en un problema de optmzacón unvarante donde la varable de optmzacón es el coefcente b. Este problema puede ser resuelto con algortmos sencllos como por ejemplo el método de la secante y el método de bseccón, que son los que se han utlzado en este proyecto. (Ver aneos [A.4] y [A.5]). Es mportante recordar, que en esta Etapa II, ya no se optmzan los valores nomnales. Estos valores son los obtendos en la Etapa I. La razón de ello es que al utlzar smulacones de Monte Carlo, el tempo de ejecucón de cada teracón es alto y resolver un problema de optmzacón multvarante (más de 1 varable a optmzar) con AG no resulta factble. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 66

68 CAPÍTULO IV: METODOLOGÍA PARA LA ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES. A contnuacón se resumen brevemente los pasos a segur en esta Etapa II: 1. Incalzamos la teracón medante r 0. I. Partmos de la matrz de covaranzas Σ, y del vector de medas la últma teracón de la Etapa I. μ, obtendos en ( I ) 3. Aplcamos Monte Carlo, generando M observacones aleatoras de una normal multvarante II ( I ) k, N μ Σ y selecconando los valores T dentro de la regón de tolerancas T, defnda por (4.13) y (4.14). T T que se encuentren 4. Dada la relacón establecda entre e Y, obtenemos los valores de Y T, medante Y A y calculamos la proporcón de defectuosos p establecda en (4.15). 5. S p, se detene la búsqueda y la regón de tolerancas obtenda como ( ) ( ), I I, LTI LTS t t, será la solucón del problema. En caso contraro pasamos al paso Ponemos r r 1, defnmos un coefcente b y modfcamos la matrz de covaranzas según el procedmento vsto en la seccón, para encontrar unos nuevos valores, tales * II que, Σ y volvemos al paso 3 para contnuar con la teracón. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 67

69 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 5. CAPÍTULO QUINTO: EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA En este capítulo se presentan tres ejemplos que permten entender mejor la metodología propuesta en el capítulo IV. Para resolver el problema de optmzacón se usarán los algortmos genétcos vstos en el capítulo III. La utlzacón de algortmos genétcos en el dseño de tolerancas y valores nomnales se debe a que es un método global y robusto de búsqueda de solucones cuya ventaja prncpal es el equlbro entre efcenca y efcaca para resolver problemas complejos de grandes dmensones. La resolucón del problema de optmzacón aplcando la metodología propuesta en el capítulo IV puede ser compleja debdo al alto número de varables que puede nvolucrar. En cada etapa de la metodología será necesaro resolver un problema de optmzacón. En la Etapa I, por cada varable tendremos varables a optmzar, los factores b y g. En la Etapa II, se tendrá que optmzar un únco factor b, que será el msmo para todas las varables del problema. Los problemas serán resueltos tambén consderando úncamente la asgnacón de tolerancas pero mantenendo constantes los valores nomnales establecdos en la etapa de dseño. Esto nos permtrá comparar los resultados de ambas estrategas ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES EN UNA PIEZA: DEPÓSITO CILÍNDRICO. El problema que se va a desarrollar fue propuesto en Yang y Nakan (003). Estos autores resolveron el problema de asgnacón de tolerancas tenendo en cuenta los requermentos funconales y los costes de fabrcacón asocados a los procesos productvos empleados, y consderando ndependenca entre varables. En nuestro caso se usará este ejemplo para asgnar tolerancas y valores nomnales suponendo correlacón entre varables. Por este motvo, se modfcarán y/o nclurán algunos datos, con el objetvo de adecuarlos al problema que se pretende resolver. En la fgura 5.1, se muestra el depósto clíndrco compuesto por dos volúmenes nternos. Fgura 5.1: Depósto clíndrco. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 68

70 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. En este prmer ejemplo de aplcacón se desarrollarán los pasos más mportantes para la aplcacón de la metodología sobre una peza ndependente, correspondente a un depósto clíndrco, se mostrará la lnealzacón de las varables medante el desarrollo de Taylor, la aplcacón de algortmos genétcos como herramenta de optmzacón y se nclurá la programacón, realzada en Matlab, utlzada para la resolucón del problema, dando una defncón breve de las funcones empleadas. R, R, R, R, L, L, L En la fgura 5., se representan las varables el problema., que defnen Fgura 5.: Varables. Para la aplcacón de la metodología se consdera que en la etapa de dseño de la peza se han defndo valores nomnales de las varables, que denotaremos como VN. VN 140,190,150, 00,100, 00,95 d Las varables Y V, T 1, T, T3 de la fgura 5.3, defnen las especfcacones funconales de la peza. d Fgura 5.3: Varables Y. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 69

71 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. La varable V defne el volumen nteror total del depósto y las varables T1, T, T 3 defnen el espesor de las paredes del msmo en cada una de sus seccones. Estas varables son combnacón de las varables de la forma que sgue a contnuacón. V R L R L 1 1 T R R 1 4 T R R 3 1 T L L Como se puede ver, la relacón entre la varable V con las varables no es lneal por lo que será necesaro aplcar un desarrollo de Taylor de prmer orden que nos permta lnealzar la relacón (ver Capítulo II). Para ello usaremos los valores nomnales establecdos en la etapa de dseño de la peza, es decr: R1 140 mm, L1 100 mm, R 190 mm, L 00mm Por tanto el punto alrededor del cual realzaremos el desarrollo de Taylor es: 140,190,100,00 Aplcando el desarrollo de Taylor de prmer orden a la relacón V R L R L 1 1 Tenemos que: V V V R 140 V L 100 V R 190 V L R L R L Resolvendo: R V , mm V R L 8, R 1 V R 6, L 1 V R L, R V R 1, L Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 70

72 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Tras realzar las dervadas parcales obtenemos la sguente relacón lneal: V 8, R1 6, L1, R 1, L 5, Luego, las varables Y son fnalmente: V 8,79 10 R 6,16 10 L,39 10 R 1,13 10 L 5,77 10 T R R 1 4 T R R 3 1 T L L a, a,..., a ' a 01 0 Por tanto, el vector a j, y la matrz de relacón A son las sguentes: a 6 5,77 10, 0, 0, 0 ' A 8, , , , Los límtes de especfcacón para las varables Y son:,8 10 mm V 3,0 10 mm 9mm T 1 11 mm 9 mm T 11 mm 4.5mm T mm Funcón objetvo y restrccones del problema 1. La funcón objetvo es mamzar la suma de las tolerancas t, 1,,...,7 de las varables. Como en AG resolveremos el problema de mnmzacón equvalente, la funcón objetvo queda defnda como: 7 FO : mn z = - t 1. Se establecen unos valores mínmos para las tolerancas, t _ mn, de las varables, tal que: T _ mn T _ mn Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 71

73 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 3. Los valores nomnales de las varables, estarán comprenddos en un ntervalo VNI, VNS, 1,,...,7, donde: Sendo f 5% VNI (1 f )*VN d d ( ) VNS (1 f )*VN d 4. La proporcón de defectuosos deseada será: p, sendo 0,007 d ( ) Programacón en Matlab 7.0. Ver aneo [B.1]. Programa de Matlab para resolver la Etapa I: DepostoEtapa1.m. Para resolver el problema partremos de una matrz de covaranzas Σ generada al azar. En la práctca estos valores deben ser obtendos del proceso de fabrcacón trabajando bajo control. Esta matrz será el punto de partda de la metodología y se guardará dentro del fchero CovIncales.mat para su ejecucón en Matlab. La matrz generada para este ejemplo quedaría como: En Matlab, esta matrz se defne en las sguentes líneas del programa DepostoEtapa1.m: Se consderará como valores nomnales ncales VN, los valores establecdos en la etapa de dseño VNd, de manera que a partr de ahora denotaremos: VN VN d 140,190,150, 00,100, 00,95 d Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 7

74 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Como se vo en el capítulo IV, para realzar la asgnacón optma de tolerancas y valores nomnales se modfcaran los valores de la matrz de covaranzas y el vector de valores nomnales ncales VN. Para ello, en esta prmera etapa, se optmzaran medante la aplcacón de algortmos genétcos los valores de los factores denomnados factor y factor correspondentes a los vectores B b 1, b b 8 y G g 1, g g 8, respectvamente. Aplcacón de Algortmos Genétcos en la Etapa 1. La aplcacón de algortmos genétcos se realzará medante el programa de Matlab denomnado DepostoEtapa1AG.m, donde se optmzara el valor de los factores b y g de cada varable. Dado que los valores que manejaremos serán decmales, la codfcacón de las varables del problema se realzará, como se vo en el capítulo III, medante: 1 m ma mn L log mn L ma m 1 Para los valores del vector B emplearemos: ma 8,1 mn 0.5 L ma mn log 1 8 m m 0,08 Para los valores del vector G emplearemos: y ma 5 y mn 5 L y ma mn log 1 8 m m 0,038 Para ambos vectores mantendremos una longtud de cadena de ocho bts, es decr, el y ma Por lo que podremos ntervalo estará defndo por mn representar 8 56,. 56 valores de cada varable comprenddos en el ntervalo mn ma Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 73

75 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Parámetros empleados para la resolucón medante algortmos genétcos 1. Ftness funcón Que es el nombre de la funcón.. Number of varables = 11. Correspondentes a vectores de 7 varables con 8bts. 3. Plots = Best ftness. Para que se vea cómo evolucona la funcón objetvo. 4. Populaton type = Bt strng. Se va a trabajar con números bnaros. 5. Populaton sze = 100. Utlzamos una poblacón de entre 50 y 100 ndvduos. 6. Selecton= Roulette. 7. Reproducton: crossover fracton = Mutatón funcón: unform. Rate = 0.9 a Valor de probabldad de mutacón de cada bt. Este rato se rá modfcando durante la ejecucón del algortmo según su evolucón. En prncpo se desgnará un valor alto de 0,9 y se dsmnurá según nos acerquemos a un valor pequeño hasta llegar a Crossover: Two pont. 10. Stoppng crtera: Generatons: 00. Stall generaton: 100. Stall tme lmt: Run solver. Tras resolver el problema, obtendremos el mejor valor de la funcón ftness o funcón objetvo, que podemos ver representado en la fgura 5.4, y la cadena de 11 bts correspondente a los valores óptmos de los vectores B y G en códgo bnaro. z = -3,43 Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 74

76 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Fgura 5.4: Plot Best ftness. En la fgura 5.4 se puede aprecar como en este caso, el algortmo comenza la optmzacón penalzando a la funcón, estas penalzacones serán mpuestas para el cumplmento de las restrccones del problema. Segudamente, tras varas generacones el algortmo obtene un valor que cumple con las restrccones establecdas, elmnando la penalzacón. La optmzacón contnúa basándose en este valor y descartando las solucones anterores, contnuando la optmzacón de forma correcta. Los resultados obtendos tras la prmera etapa son la nueva matrz de covaranzas y el nuevo vector de medas de (o nuevo vector de valores nomnales) necesaros para pasar a la Etapa de la metodología. La nueva matrz de covaranzas es gual a: Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 75

77 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. El nuevo vector de valores nomnales o medas es gual a: Una vez obtendos estos valores pasamos a la segunda etapa en la que, como se vo en el capítulo IV, se ajustará la proporcón de defectuosos medante una smulacón del método de Monte Carlo, vsto en el capítulo IV. Programa de Matlab para resolver la Etapa II: DepostoEtapa.m. En esta segunda etapa se aplcará el método de Monte Carlo, para ello partendo de los resultados obtendos en la prmera etapa, se generarán 10^5 dstrbucones normales multvarantes que serán comparadas con la regón de tolerancas establecda por T. De las dstrbucones que cumplan con los límtes establecdos por dcha regón se comprobarán las que cumplen con las especfcacones establecdas por las varables Y, obtenendo como objetvo la proporcón de defectuosos fnal. Es este ejemplo de aplcacón y tras realzar la Etapa II, los resultados fnales que se han obtendo son: Proporcón de defectuosos: p = 0,007 Suma de las tolerancas de : 7 1 t = 4,53 Tolerancas y valores nomnales de : R 1 = ± 0.53mm R = ± 0.89 mm R 3 = ± 0.58 mm Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 76

78 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. R 4 = ± 0.53mm L 1 = ± 0.60 mm L = 03.8 ± 0.64 mm L 3 = 95.9 ±0.79mm Comparacón de asgnacón de tolerancas y valores nomnales vs asgnacón de tolerancas Se compararán los resultados obtendos arrba con los que se obtenen a partr de la asgnacón de tolerancas mantenendo constante el valor de los valores nomnales de las varables. Estos valores nomnales serán los establecdos en la etapa de dseño: VN VN d 140,190,150, 00,100, 00,95 Los resultados obtendos son en este caso: d Proporcón de defectuosos: p = 0,007 Suma de tolerancas de : 7 1 t = 3.75 Tolerancas de : R 1 = 140 ± 0.39 mm R = 190 ± 0.7 mm R 3 = 150 ± 0.58 mm R 4 = 00 ±0.39 mm L 1 = 100 ± 0.57 mm L = 00 ±0.46 mm L 3 = 95 ± 0.66 mm Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 77

79 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Conclusón. En este prmer ejemplo podemos ver como la aplcacón de la metodología propuesta en este proyecto, donde se consdera la asgnacón de tolerancas y valores nomnales, obtene una suma de tolerancas mayor, es decr, la mamzacón de la funcón objetvo es mejor que la obtenda úncamente con la asgnacón de tolerancas donde los valores nomnales son consderados fjos. Tambén podemos ver como mejora la toleranca ndvdual de cada varable y como el valor medo de éstas vara dentro de los límtes establecdos con anterordad de manera aceptable. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 78

80 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 5.. ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES EN UN ENSAMBLE DE BLOQUES. El problema que se va a desarrollar fue propuesto en los trabajos de Lee y Wood (1990), y Lee y Johnson (1993). Estos autores resolveron el problema de asgnacón de tolerancas bajo la suposcón de ndependenca. En González y Sánchez (008), este ejemplo fue utlzado para resolver el problema de asgnacón de tolerancas bajo la suposcón de correlacón entre varables. Aquí se usará este ejemplo para asgnar tolerancas y valores nomnales suponendo correlacón entre varables. Por este motvo, se modfcarán e nclurán algunos de los datos dados en los artículos, con el objetvo de adecuarlos al problema que se pretende resolver. La fgura 5.5, muestra el ensamblaje compuesto por pezas ndependentes. Fgura 5.5: Ensamblaje de Bloques. En este ejemplo de aplcacón se desarrollarán los pasos más mportantes para la aplcacón de la metodología en un ensamble mecánco, se mostrará la aplcacón de algortmos genétcos como herramenta de optmzacón y se nclurá la programacón, realzada en Matlab, utlzada para la resolucón del problema, dando una defncón breve de las funcones empleadas.,,...,, que defnen el problema. En la fgura 5.6, se representan las varables = 1 8 En este caso, las dos pezas ndependentes suman un total de ocho varables. Fgura 5.6: Asgnacón de varables. Bloques. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 79

81 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Para la aplcacón de la metodología se consdera que en la etapa de dseño de la peza se han defndo los valores nomnales de las varables, que denotaremos como VNd. VNd 5.4,50.8,76.,101.6, 5.4, 5.3,50.8,76.1 Y Las varables 1 Y, Y,..., 1 Yj, son combnacón lneal de las varables sendo: Y Y Y Y Estas varables Y defnen las característcas funconales del ensamblaje mecánco, la varable Y 1 defne la longtud total del conjunto y las varables Y, Y3, Y 4 las dmensones de holgura necesaras para un correcto ensamblaje. Los límtes de especfcacón para estas varables son: Y mm. Y mm. Y mm. Y mm. El vector a es un vector nulo y la matrz de relacón A queda entonces defnda como: A La funcón objetvo y las restrccones del problema son guales a las usadas en el problema anteror. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 80

82 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Programacón en Matlab 7.0. Ver aneo [B.]. Programa de Matlab para resolver la Etapa I: BloquesEtapa1.m. Para resolver el problema partremos de una matrz de covaranzas Σ generada al azar. En la práctca estos valores deben ser obtendos del proceso de fabrcacón trabajando bajo control. En el caso de este ejemplo, cada una de las pezas que forman el conjunto tene su correspondente matrz de covaranzas. Una vez generadas por separado, las unmos en 0 una únca matrz de covaranzas ncal Σ dvdda en dos partes, la prmera parte contendrá los valores correspondentes a la peza uno, cuyas varables son 1,, 3, 4, 5 y la segunda parte recogerá los valores de las varables correspondentes a la segunda peza,,, formando la matrz completa Esta matrz será el punto de partda de la metodología y se guardará dentro del fchero CovIncales.mat para su ejecucón en Matlab. La matrz obtenda a partr de las matrces aleatoras generadas quedaría como: En Matlab, esta matrz se defne en las sguentes líneas del programa BloquesEtapa1.m: Se consderará como valores nomnales ncales VN, los valores establecdos en la etapa de dseño VNd, de manera que a partr de ahora denotaremos: VN VN d 5.4,50.8,76.,101.6, 5.4, 5.3,50.8,76.1 d Como se vo en el capítulo IV, para realzar la asgnacón optma de tolerancas y valores nomnales se modfcaran los valores de la matrz de covaranzas y el vector de valores nomnales ncales VN. Para ello, en esta prmera etapa, se optmzarán medante la aplcacón de algortmos genétcos los valores de los factores denomnados factor y factor correspondentes a los vectores B b 1, b b 8 y G g 1, g g 8, respectvamente. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 81

83 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Aplcacón de Algortmos Genétcos en la Etapa 1. La aplcacón de algortmos genétcos se realzará medante el programa de Matlab denomnado BloquesEtapa1AG.m, donde se empleara la toolbo gatool. Codfcacón de las varables: Dado que los valores que manejaremos serán decmales, la codfcacón de las varables del problema se realzará, como se vo en el capítulo III, medante: 1 m ma mn L log mn L ma m 1 Para los valores del vector B emplearemos: ma 17 mn 0.3 L ma mn log 1 8 m m 0,07 Para los valores del vector G emplearemos: y ma y mn 5 L y ma mn log 1 8 m m 0,08 Para ambos vectores mantendremos una longtud de cadena de ocho bts, es decr, el y ma Por lo que podremos ntervalo estará defndo por mn representar 8 56,, 56 valores de cada varable comprenddos en el ntervalo mn ma obtenendo una precsón mayor a la especfcada. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 8

84 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Parámetros empleados para la resolucón medante algortmos genétcos 1. Ftness funcón Que es el nombre de la funcón.. Number of varables = 18. Correspondentes a vectores de 8 varables con 8bts. 3. Plots = Best ftness. Para que se vea cómo evolucona la funcón objetvo. 4. Populaton type = Bt strng. Se va a trabajar con números bnaros. 5. Populaton sze = 100. Utlzamos una poblacón de entre 50 y 100 ndvduos. 6. Selecton= Roulette. 7. Reproducton: crossover fracton = Mutatón funcón: unform. Rate = 0.9 a Valor de probabldad de mutacón de cada bt. Este rato se rá modfcando durante la ejecucón del algortmo según su evolucón. En prncpo se desgnará un valor alto de 0,9 y se dsmnurá según nos acerquemos a un valor pequeño hasta llegar a Crossover: sngle pont. 10. Stoppng crtera: generatons: 00, stall generaton: 100, stall tme lmt: Run solver. Tras resolver el problema, obtendremos el mejor valor de la funcón ftness o funcón objetvo, que podemos ver representado en la fgura 5.7, y la cadena de 18 bts correspondente a los valores óptmos de los vectores B y G en códgo bnaro. z = -10,47 Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 83

85 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Fgura 5.7: Plot Best ftness. En la fgura 5.7 se puede aprecar como en este caso, el algortmo comenza con una penalzacón breve, es decr, encuentra de forma rápda una cadena de 18 bts que cumple con las restrccones de la funcón. En este caso, la optmzacón contnúa optmzando la funcón objetvo basándose en este valor y descartando posbles solucones eternas a este camno. Los resultados obtendos tras la prmera etapa son la nueva matrz de covaranzas y el nuevo vector de medas de (o nuevo vector de valores nomnales) necesaros para pasar a la Etapa de la metodología. La nueva matrz de covaranzas es gual a: Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 84

86 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. El vector de valores nomnales o medas de es gual a: Una vez obtendos estos valores pasamos a la segunda etapa en la que, como se vo en el capítulo IV, se ajustará la proporcón de defectuosos medante una smulacón del método de Monte Carlo. Programa de Matlab para resolver la Etapa II : BloquesEtapa.m. En esta segunda etapa se aplcará el método de Monte Carlo, para ello partendo de los resultados obtendos en la prmera etapa, se generarán 10^5 dstrbucones normales multvarantes que serán comparadas con la regón de tolerancas establecda por T. De las dstrbucones que cumplan con los límtes establecdos por dcha regón se comprobarán las que cumplen con las especfcacones establecdas por las varables Y, obtenendo como objetvo la proporcón de defectuosos fnal. Es este ejemplo de aplcacón y tras realzar la Etapa II, los resultados fnales que se han obtendo son: Proporcón de defectuosos: p = 0,007 Suma de las tolerancas de : 8 1 t 14,6 Tolerancas y valores nomnales de : 1 = 4.0 ± 1.3mm = 49 ± 0.80 mm Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 85

87 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 3 =7.51± 0.60 mm 4 = 97.81± 1.58 mm 5= 4.3±7.73mm 6 = 4.10 ± 0.94 mm 7 = ± 0.60 mm 8 =73.10 ± 0.79 mm Comparacón de asgnacón de tolerancas y valores nomnales vs asgnacón de tolerancas Se compararán los resultados obtendos arrba con los que se obtenen a partr de la asgnacón de tolerancas mantenendo constante el valor de los valores nomnales de las varables. Estos valores nomnales son los establecdos en la etapa de dseño: Proporcón de defectuosos: Suma de las tolerancas de : p = 0, t 0,74 Tolerancas de : 1 = 5.4 ± mm = 50.8 ± mm 3 =76. ± mm 4 = ± mm 5= 5.4 ±0.1455mm 6 = 5.3 ± mm 7 = 50.8 ± 0.063mm 8 =76.1± mm Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 86

88 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. Conclusón. En este segundo ejemplo, al gual que en el prmero, podemos ver como la aplcacón de la metodología propuesta mejora los valores de mamzacón de tolerancas en comparacón con los obtendos úncamente con la asgnacón de tolerancas donde los valores nomnales consderados fjos. Tambén podemos ver como mejora la toleranca ndvdual de cada varable y como el valor medo de éstas vara dentro de los límtes establecdos con anterordad de manera aceptable. Es mportante resaltar en este ejemplo la dferenca de valores obtendos en la suma de tolerancas de las dos metodologías. Esta gran varacón es debda a la falta de límtes blaterales, es decr, en este ejemplo, a dferenca del ejemplo anteror, sólo se han consderado restrccones unlaterales a las varables Y, lo cual provoca que se puedan dar altos valores de toleranca en varables de baja repercusón en el ensamblaje como es el caso de la varable, la cual sólo toma parte en la varable que restrnge la longtud total del ensamblaje. 5 Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 87

89 CAPÍTULO V: EJEMPLOS DE APLICACIÓN. 5.3 ASIGNACIÓN DE TOLERANCIAS Y VALORES NOMINALES EN UN ENSAMBLE DE CILINDROS. El problema de la fgura 5.8, fue propuesto en el modelo de Wel basado en los métodos productvos y costes (We,1988; Zha,199). En sus artículos estos autores asgnan las tolerancas del ensamblaje en funcón de los métodos productvos y los costes. Aquí se usará este ejemplo para asgnar tolerancas y valores nomnales suponendo correlacón entre varables. Por este motvo, se modfcarán e nclurán algunos de los datos dados en los artículos, con el objetvo de adecuarlos al problema que se pretende resolver. Fgura 5.8: Ensamblaje mecánco. Clndros. Una vez desarrollados, en el ejemplo anteror, los pasos más mportantes para la aplcacón de la metodología, en este ejemplo se hará un desarrollo más reducdo de la msma.,,...,, que defnen el En la fgura 5.9, se representan las varables = 1 7 problema. En este caso, las dos pezas ndependentes suman un total de sete varables. Fgura 5.9: Asgnacón de varables. Clndros. Ing. Técnca Industral Mecánca. Unversdad Carlos III de Madrd. 88