HANDEL ANDRÉS MARTÍNEZ SARACHE CARLOS ARTURO PORRAS ABAUNZA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTADER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-MECÁNICAS

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1 DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN SISTEMA DE CONTROL PARA LA REALIZACIÓN DE TAREAS PROGRAMADAS DE UN ROBOT MANIPULADOR ARM MR 999 DE CINCO GRADOS DE LIBERTAD. HANDEL ANDRÉS MARTÍNEZ SARACHE CARLOS ARTURO PORRAS ABAUNZA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTADER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-MECÁNICAS ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA BUCARAMANGA 202

2 DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UN SISTEMA DE CONTROL PARA LA REALIZACIÓN DE TAREAS PROGRAMADAS DE UN ROBOT MANIPULADOR ARM MR 999 DE CINCO GRADOS DE LIBERTAD. HANDEL ANDRÉS MARTÍNEZ SARACHE CARLOS ARTURO PORRAS ABAUNZA Trabajo de Grado para optar al título de Ingenero Mecánco Drector JAVIER RUGELES PÉREZ Ingenero Mecánco UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-MECÁNICAS ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA BUCARAMANGA 202 2

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7 DEDICATORIA A m famla por su apoyo ncondconal, por ser esos seres tan maravllosos que creyeron en mí y me deron ese voto de confanza de que s lo podía lograr. A Yuddy Andrea Hernández, nova y amga, porque en ella sempre encontré un apoyo y una palabra de alento cada vez que lo neceste. Carlos Arturo Porras Abaunza 7

8 DEDICATORIA A la únca persona que con su esfuerzo, sacrfco y pacenca hace valer la pena contnuar esta lucha a la que llamamos vda. Gracas por todo madre Handel Andrés Martínez Sarache 8

9 AGRADECIMIENTOS A Dos por darme la sabduría para poder culmnar esta meta de m vda. A Javer Rúgeles Pérez, Ingenero Mecánco, Drector del Proyecto por su colaboracón en ncondconal. A Handel Andrés Martínez Sarache, compañero de proyecto y amgo, por su trabajo arduo y responsabldad en la realzacón del proyecto. Carlos Arturo Porras Abaunza 9

10 AGRADECIMIENTOS A ms querdos amgos a los que puedo llamar hermanos. Al grupo Halley de Astronomía y Cencas Aeroespacales. El celo nunca fue tan despejado como durante estos años en que estuve entre tan maravlloso grupo de personas. A ms compañeros y profesores de la escuela de ngenería mecánca por los momentos de rsa y raba por los que me hceron pasar. Y, en especal, a muchas las personas que se cruzaron en m vda durante estos años de pregrado, amgos y enemgos. Cada una de ellas, de alguna forma contrbuyó en la realzacón de este proyecto, así sea en forma ndrecta. Handel Andrés Martínez Sarache 0

11 TABLA DE CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN FUNDAMENTOS DE ROBOTICA BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LOS ROBOTS MANIPULADORES DESCRIPCION DEL POSICIONAMIENTO Y ORIENTACION DEL EFECTOR FINAL DESCRIPCION DE LA POSICION DESCRIPCION DE LA ORIENTACION POSICIÓN Y ORIENTACIÓN POR MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA DESCRIPCION DE LA ORIENTACION POR MATRICES DE ANGULOS DE EULER MODELOS CINEMATICOS CINEMATICA DIRECTA PROPAGACION DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES CINEMATICA INVERSA VOLUMEN DE TRABAJO CONSIDERACIONES DE ESTUDIO MODELOS DINAMICOS DINAMICA DIRECTA DINAMICA INVERSA FORMULACION LAGRANGE EULER (L E)... 64

12 3.4 MODELO DINAMICO EN VARIABLES DE ESTADO FORMULACION NEWTON EULER (N- E) GENERACION DE TRAYECTORIAS GENERACION DE TRAYECTORIAS POR MEDIO DE OPERACIONES PUNTO A PUNTO SUAVIZADO DE CURVAS EN EL ESPACIO DE JUNTAS METODOS DE INTERPOLACION GENERACION DE TRAYECTORIAS POR MEDIO DE OPERACIONES DE CAMINOS CONTINUOS METODO DE INTERPOLACION LINEAL INTERPOLACION CIRCULAR REINGENIERIA Y SISTEMA DE CONTROL APLICADOS AL ARM MR SELECCIÓN Y CAMBIO DE MOTORES CONTROL DE LOS MOTORES SUMINITRO DE CORRIENTE DESARROLLO DEL ALGORITMO DE CONTROL SIMULACIÓN DE LAS TAREAS SIMULINK Y SIMMECHANICS CONCLUSIONES RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA ENLACES... 3 ANEXO A ANEXO B

13 LISTA DE TABLAS Pág. Tabla. Parámetros (Denavt Hartenberg) Tabla 2. Informacón de los motores de la base y muñeca Tabla 3. Informacón del motor en el efector (pnza) Tabla 4: Informacón del motor del codo Tabla 5: Informacón del motor del hombro Tabla 6. Informacón de la Board Tabla 7. Sstema de nomenclatura de ASCII de los caracteres usados en la programacón del mcro Tabla 8. Banderas de asgnacón para dentfcacón del eslabón a mover... 7 Tabla 9. Informacón de la Batería

14 LISTA DE FIGURAS Pág. Fgura. Robot PUMA 500 SPECS de la empresa prsrobots Fgura 2. Robot Júpter tpo SCARA de la empresa Worldwde Techncal Solutons Fgura 3. Sstemas de coordenadas base, herramenta y efector Fgura 4. Marcos de referenca de cada uno de los eslabones del manpulador Fgura 5. Sstema de coordenadas cartesanas espacales Fgura 6. Poscón y orentacón de un manpulador en el espaco Fgura 7. Desplazamento espacal de un cuerpo Fgura 8. Ángulos de Euler Fgura 9. Relacón de la cnemátca drecta e nversa Fgura 0. Prototpo Geométrco de un Manpulador Fgura. Notacón Denavt - Hartenberg Fgura 2. Dagrama de (D H) para la obtencon de la cnematca Fgura 3. Determnacón de la cnemátca nversa por el método geométrco Fgura 4. Volumen de trabajo del Manpulador ARM MR Fgura 5. Esfera Fgura 6. Estudo Dnámco en Manpuladores Fgura 7. Pasos para la dnámca de un robot en varables de estado Fgura 8. Segmentos de trayectoras con suavzado... 8 Fgura 9. Intervalos de Tempo en el Suavzado de Trayectoras Fgura 20. Trayectora con puntos ntermedos nalcanzables Fgura 2. Altas velocdades de los actuadores de junta Fgura 22. Puntos alcanzables con algunas confguracones del efector fnal Fgura 23. Interpolacón lneal en el espaco cartesano Fgura 24. Interpolacón crcular en el espaco cartesano

15 Fgura 25. Brazo robótco de enseñanza ARM MR 999 (ANTES) Fgura 26. Despece de un servomotor donde se puede aprecar las partes que lo componen Fgura 27. Cambo de motores realzado. Vsta comparatva del elemento Fgura 28. Tarjeta de desarrollo Mega 200 de la empresa DF ROBOT Fgura 29. Vsta de la plataforma de programacón del mcrocontrolador ATMEGA Fgura 30. Detalle del puerto de comuncacón seral de la tarjeta de control Fgura 3. Detalle de los pnes PWM de donde se envían las señales de control al robot manpulador... 5 Fgura 32 Batería usada como fuente de sumnstro de energía del crcuto... 8 Fgura 33. Crcuto smplfcado usado en el proyecto... 9 Fgura 34. Modelo del brazo robótco usado en la smulacón de las tareas asgnadas Fgura 35. Comparacón del modelo del robot en el ambente de Smulnk sn hacer uso de la aplcacón de Soldworks (derecha) y hacendo uso de ella (zquerda) Fgura 36.Dagrama de bloques de la estructura del modelo del robot manpulador

16 LISTA DE ANEXOS pág. ANEXO A. USO DE LA INTERFAZ ANEXO B. IMAGENES DE LA INTERFAZ Y ANIMACION DEL ARM MR

17 RESUMEN TÍTULO: DISEÑO Y CONSTRUCCION DE UN SISTEMA DE CONTROL PARA LA REALIZACION DE TAREAS PROGRAMADAS DE UN ROBOT MANIPULADOR ARM MR 999 DE CINCO GRADOS DE LIBERTAD *. AUTORES: Carlos Arturo Porras Abaunza, Handel Andrés Martínez Sarache** PALABRAS CLAVES: Robótca, manpulador, morfología, sstema de control, trayectoras, programacón, pre evaluacón, autómata. CONTENIDO La robótca es la cenca encamnada a dseñar y construr aparatos y sstemas capaces de realzar tareas propas del ser humano. Un claro ejemplo de estos dspostvos son los manpuladores que tenen como objetvo emular las accones propas del brazo humano, específcamente de la mano. Para poder cumplr estas accones, los dseños de robots manpuladores se basan en la morfología de las extremdades de las especes vvas, de modo que se obtengan resultados satsfactoros optmzando tempos entre tarea con el menor gasto energétco. Pero la estructura físca necesta de un cerebro que controle cada uno de sus movmentos, es por esto que se mplementan métodos de control que permtan reducr al máxmo los errores que se puedan generar durante la ejecucón del movmento programado los errores típcos son consecuenca de las cargas generadas y aplcadas durante el movmento. El presente documento expone el proceso por el que atravesó el manpulador ARM-MR 999 para convertrse de un dspostvo ddáctco a un nstrumento con propóstos académcos en el campo del control y dseño de trayectoras y tareas. Hacéndose énfass en la seleccón como parte fundamental del dseño, el uso de hardware lbre y la aplcacón del software Matlab como herramenta para la asgnacón, montoreo y pre evaluacón de las tareas programadas por el usuaro para que sean ejecutadas por el autómata. *Proyecto de grado **Facultad de ngenerías Físco-mecáncas. Escuela de Ingenería Mecánca. Drector Javer Rugeles Pérez. 7

18 SUMMARY TITLE: DESING AND CONSTRUCTION OF A CONTROL SYSTEM FOR MAKING SCHEDULES TASKS OF A ROBOT MANIPULATOR ARM MR 999 OF FIVE DEGREES OF FREEDOM*. AUTHORS: Carlos Arturo Porras Abaunza, Handel Andrés Martínez Sarache**. KEY WORDS: Robotcs, Manpulator, Morphology, Trajectory, Control System, programmng, pre assessment, PLC. DESCRIPTION Robotcs s the scence amed at desgnng and buldng equpment and systems capable of performng tasks of human bengs. Clear examples of these devces are manpulators that am to emulate the actons of ths human arm, specfcally hand. To meet these actons, the desgns of robot manpulators based on the morphology of the lmbs of lvng speces; so that satsfactory results are obtaned by optmzng tasks tme between the lowest energy expendture. But the physcal structure needs a "bran" that control search of ther movements, whch s why control method share mplemented to reduce the maxmum errors that may a the executon of programmed moton standard errors result from generated and appled loads durng movement. Ths document descrbes the process undergone by the manpulator ARM MR 999 to become a teachng devce to a tool for academc purposes n the feld of desgn and control paths and jobs. Emphass on makng the selecton as part of the desgn, use of free hardware and software mplementaton of Matlab as a tool for mappng, montorng and evaluaton of pre programmed user tasks to be executed by the PLC. *Degree Work **Physcal Mechancal Engneerng Faculty. Engneerng Mechancal school. Drector Javer Rugeles Pérez. 8

19 INTRODUCCIÓN Un robot manpulador es un emulador mecánco del brazo humano. Está consttudo por una secuenca aberta de eslabones rígdos o elementos conectados medante artculacones o juntas y en cada una de estas lleva ncorporado un actuador, lneal o rotaconal, dependendo de la aplcacón deseada; así como sensores que permten sensar poscón, velocdad, e nclusve torque, con el fn de mantener control sobre los movmentos de la máquna. La mplementacón en la ndustra de manpuladores en dversos procesos se ha dado e ncrementado gracas a la versatldad propa de este tpo de máqunas, pues su adaptacón a un entorno cambante y al cumplmento de tareas dferentes a las ncalmente prevstas, le otorga una gran ventaja con relacón a las máqunas empleadas tradconalmente. No solo se emplean en líneas de montaje y fabrcacón, los manpuladores desempeñan mportantes tareas en otras áreas dferentes a la de produccón: Se cuenta con brazos teleoperados para la realzacón de crugías que requeren de precsón extrema, en labores de manpulacón de sustancas tóxcas y de explosvos, y hasta prototpos para ejecucón de trabajos de mantenmento en la estacón espacal nternaconal, capaces de utlzar un gran número de herramentas para uso humano. Un componente muy mportante de los manpuladores es el sstema de control utlzado para el posconamento y segumento de las trayectoras del efector fnal. La unón manpulador-sstema computarzado de control permte la programacón y realzacón de los movmentos a efectuar y la memorzacón de las dversas secuencas de trabajo, dotando al manpulador de una gran flexbldad o capacdad de adaptacón a dversas tareas y medos de trabajo. 9

20 Un sstema básco de control se mplementa en tres etapas: Programacón de la Tarea: el prmer nvel de programacón se realza por enseñanza. El manpulador es movdo por el usuaro que controla a través del teclado de una caja de enseñanza, las juntas, poses (poscones y orentacones) y trayectoras del efector fnal. La programacón por enseñanza tambén puede mplementarse desde un software CAD para colocar los modelos de las pezas a manpular en las poscones y orentacones deseadas y planfcar las trayectoras cartesanas del efector fnal. En la actualdad la programacón se realza utlzando lenguajes especalzados con nstruccones al nvel de movmento del manpulador o al nvel de tareas. Control Cnemátco: desarrollado en dos etapas: I. Realzar un muestreo de puntos que reproduzca la mejor aproxmacón de las trayectoras cartesanas, especfcadas por el programa de la tarea, y utlzando el modelo cnemátco del manpulador, soluconar el problema de la cnemátca nversa: Dada la poscón del efector al fnal, determnar los valores de las varables de junta correspondente (valores de rotacón, desplazamento en cada junta). II. Medante la nterpolacón de las confguracones de junta obtendas, generar las funcones temporales de las varables de junta cuyo segumento se transforme en trayectoras cartesanas del efector fnal lo más próxmas a las especfcacones de movmento dadas en el programa de la tarea. El muestreo de la trayectora artcular genera los valores de referenca al control dnámco: 20

21 Control Dnámco de lazo cerrado: cuyo objetvo es el de mnmzar el error entre las trayectoras o poscones de referenca y las reales. Es práctca frecuente utlzar, para estos módulos del control, controladores de realmentacón PID o smlares los cuales presentan leyes fundamentales smples y son robustos. Un sstema de modelamento y smulacón cnemátca de manpuladores es una herramenta, fundamental en la fase de dseño, para determnar la localzacón de la base, estructura y dmensones óptmas del manpulador en la celda de trabajo. Tambén se utlza como herramenta de enseñanza y de nvestgacón de nuevas técncas de operacón y control en el campo de la robótca. A través de este documento el lector podrá aprecar cómo, hacendo uso de las bases físco-matemátcas de la mecánca clásca, así como de los conceptos de programacón de computadores y electrónca, se logra realzar una plataforma de nteraccón usuaro-máquna donde el prmero puede asgnar labores o tareas al segundo de una forma cómoda y comprensble. A su vez, el operaro tene la opcón de evaluar la tarea ejecutada por el manpulador a pror para que de esta forma estme la vabldad de la msma. En el CAPITULO presenta unas nocones que hacen referenca a la hstora de la robótca y los manpuladores, como fueron hacendo su aparcón en la ndustra, su mplementacón en la msma, así como tambén la representacón del posconamento y orentacones dentro de un marco de referenca además de las notacones y smbología que se mplementara a lo largo del desarrollo del proyecto. 2

22 El CAPITULO 2 se enfoca haca el planteamento del modelo cnemátco en el manpulador ARM MR 999, realzando una descrpcón analítca del desplazamento espacal del robot. Se darán a conocer las relacones entre las varables espacales para poder determnar, la poscón, velocdad y aceleracón del efector fnal en el brazo. Este capítulo será de gran aporte en cuanto al conocmento en el movmento del manpulador, ya que se plantean aspectos de gran nterés teórco como la cnemátca nversa y drecta. El CAPITULO 3 trata el problema dnámco en el brazo robótco, en este capítulo se presenta los aspectos que tenen que ver con las fuerzas y momentos aplcables al brazo, ya sean fuerzas efectuadas por los servomotores o fuerzas externas aplcables a él. Estas fuerzas y momentos serán plasmados en una sere de ecuacones, que estarán ntrínsecas en el planteamento de métodos de solucón para la dnámca en manpuladores. El CAPITULO 4 se enfoca a lo que es la generacón de las trayectoras, que pueden ser descrtas por los manpuladores. Para el caso del manpulador ARM MR 999, se tendrá en cuenta solo trayectoras punto a punto, la cual consste en la ejecucón de una cadena de movmentos que descrba el manpulador para poder llevar un objeto esférco desde un punto ndcado a otro. Por últmo el CAPITULO 5, muestra el trabajo de rengenería y la parte de control que se le realzo al manpulador ARM MR 999 para pasar de ser un juguete a un robot ndustral. Esta rengenería que se le aplco al manpulador, comenza con el cambo de los motores DC que orgnalmente traía, hasta la generacón del espaco de trabajo en donde este va a efectuar los movmentos. 22

23 En la parte de control se mostrara la recreacón de la tarea que posterormente este descrbrá, así como la vsualzacón de cálculos de poscones, velocdades y aceleracones en cada una de las juntas del brazo robótco, mentras este va efectuando cada movmento. 23

24 . FUNDAMENTOS DE ROBOTICA Hoy en día el térmno robot es muy ben conocdo por la gran mayoría de los habtantes del planeta, esto debdo a la los medos de comuncacón como la televsón y cne donde recrean fabulosas hstoras de fccón sendo la guerra hombre vs máquna el común denomnador. Lo certo es que se está realmente lejos de lograr que una máquna logre un nvel de ntelgenca tal cual nos lo presenta el séptmo arte. Los robots de ahora son máqunas programadas para realzar labores que de una u otra forma serían pelgrosas e ncluso tedosas para una persona. Es por ello que las nvestgacones se centraron, prncpalmente en la creacón de algortmos de control y poscón de modo que sean más fácles de abordar por un ordenador. Este capítulo se centra en los fundamentos físcos y matemátcos en los que se cmentaron los algortmos y funcones de la plataforma creada para la asgnacón o programacón de tareas en el manpulador ARM-MR 999. Prmero se hace una breve reseña hstórca de los robots tpo manpulador para contnuar con la teoría de la descrpcón de poscón y orentacón de cadenas cnemátcas.. BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LOS ROBOTS MANIPULADORES El térmno robot provene de la palabra checa robota que se puede traducr como trabajo realzado de manera forzada. De esta forma se puede descrbr fáclmente la mayor parte de los robots que, en el mundo, son dseñados para trabajos pesados y repettvos. Ellos manejan tareas que pueden ser pelgrosas, dfícles e nclusve tedosas para operaros humanos. La palabra robot fue usada por prmera vez en el año 92, cuando el escrtor checo Karel Capek ( ) estrena en el teatro naconal de Praga su obra Rossum s Unversal Robot []. Esta obra trata la hstora de máqunas humanodes creadas en fábrcas, que hoy en día se relacona más con el termno androde e nclusve clon, con el propósto de trabajar para las personas. Estas máqunas podían pensar por sí msmos. Para resumr, estos seres antropomorfos aparentemente se veían felces de cumplr con las labores mpuestas por sus amos, hasta que se produce una rebelón que lleva a la trágca extncón de la raza humana. 24

25 Pero el nterés sobre la robótca se popularzó gracas a las obras del escrtor de cenca fccón Isaac Asmov quén en sus famosos Cuentos de robots hace uso de la palabra robótca para descrbr el estudo y fabrcacón de autómatas. Entre las dversas clases de robots, el robot manpulador (o brazo robótco), es el más popular en los campos centífcos e ndustral, donde es requerda la precsón, segurdad, fuerza y destreza, nherente de todo mecansmo. El dseño de un manpulador robótco es nsprado en la morfología de las extremdades de las especes anmales, aunque, más comúnmente, en la anatomía del brazo humano. Aunque exsteron dseños de modelos de telemanpuladores en años anterores, las bases del robot ndustral moderno se atrbuyen al ngenero norteamercano George Devol quen desarrolló en 954 un brazo prmtvo reprogramable el cual podía realzar dferentes tareas específcas. Más adelante, 978, el ngenero Víctor Schenman, quen se encontraba estudando su carrera en la unversdad de Stanford, desarrolló un manpulador realmente flexble conocdo como PUMA (Programable Unversal Machne for Assembly) el cual era capaz de tomar un objeto y colocarlo en cualquer poscón y orentacón deseada, dentro de su rango de alcance, (ver fgura ). El concepto de este brazo es el que se utlza en la mayoría de los robots actuales y do la pauta para la creacón de muchos robots manpuladores que hoy se observan en la ndustra.. En sus cuentos de robots, Isaac Asmov redacta las famosas tres leyes de la robótca que en resumen hablan sobre las nstruccones prncpales bajo las cuales un robot debe operar, sempre protegendo y trabajando por la humandad. Estas son:.un robot no debe dañar a un ser humano o, por su naccón, dejar que un ser humano no sufra daño 2. un robot debe obedecer las órdenes que le son dadas por un ser humano, excepto s estas órdenes entran en conflcto con la prmera ley 3. Un robot debe proteger su propa exstenca, hasta donde esta proteccón no entre en conflcto con la prmera o segunda ley. Los telemanpuladores o waldos es un dspostvo actuado hdráulca, mecánca o electróncamente; que permte al operaro manpular objetos usando esta herramenta como una extensón de sus brazos. Sus usos, prncpalmente, se dan en el manejo de materales pelgrosos para la salud humana, como por ejemplo, materal radactvo, aunque la estacón espacal nternaconal hace uso de un brazo telescópco, manpulado desde el nteror de la estacón, para el ensamblaje de elementos provenentes de terra con propóstos de nvestgacón astronómca. 25

26 En 982 el profesor Makno de la Unversdad de Yamanash de Japón, desarrolla el concepto del robot SCARA (Selectve Complance Assembly Robot Arm), un robot con un número reducdo de grados de lbertad, un coste lmtado y una confguracón encamnada al ensamblaje de objetos, (ver fgura 2). Fgura. Robot PUMA 500 SPECS de la empresa prsrobots Fuente. [ Fgura 2. Robot Júpter tpo SCARA de la empresa Worldwde Techncal Solutons Fuente. [ 26

27 La mplementacón en la ndustra de los robots manpuladores en dversos procesos se ha ncrementado gracas a la versatldad propa de este tpo de máqunas. Su adaptacón a un entorno cambante y a la reprogramacón de tareas dferentes a las ncalmente prevstas, le otorga una gran ventaja con relacón a las maqunas tradconalmente empleadas..2. DESCRIPCION DEL POSICIONAMIENTO Y ORIENTACION DEL EFECTOR FINAL. Un manpulador es un emulador mecánco del brazo humano. Esta consttudo de una secuenca aberta de eslabones rígdos o elementos conectados entre sí medante juntas de rotacón y/o prsmátcas; dependendo de la necesdad de movmento o de la tarea que llevara a cabo el manpulador. Cada par artculacón elemento le proporcona al manpulador un grado de lbertad. Exsten sensores en cada junta, para la lectura de la ubcacón (Pose) y velocdad angular (o lneal) de la artculacón; y exste un actuador en cada enlace para aplcar torque (fuerza) sobre el eslabón vecno. En el extremo lbre de la cadena cnemátca está el efector fnal, que puede ser una pnza, una antorcha de soldadura o cualquer otro dspostvo; dependendo de la aplcacón del manpulador. Para tener un completo control sobre el movmento del brazo es necesaro conocer las herramentas que facltan el análss de los dstntos parámetros cnemátcos que compondrán el movmento del manpulador: poscón, velocdad y cargas. La ubcacón de los objetos, el desplazamento de cada uno de los eslabones del manpulador, con la consecuente realzacón de trayectoras, son las pautas para poder posconar al robot en el espaco. 27

28 Cuando se requere determnar la pose de un cuerpo en el espaco se realzan dos pasos que permten evaluarla. Lo prmero es establecer un sstema de coordenadas undo rígdamente al objeto a mover y segudamente establecer un sstema de referenca el cual se determne la pose del objeto (véase fgura 3). En muchas ocasones y para facldad de cálculos se toma el sstema de referenca en la base del manpulador. Cuando se habla del número de grados de lbertad de un manpulador, se consdera como el número de varables ndependentes que se deberá tener en cuenta para poder determnar con exacttud la pose del manpulador. En numerosas aplcacones tambén se puede referr, a los grados de lbertad, como numero de juntas o eslabones que tene un brazo robótco. Fgura 3. Sstemas de coordenadas base, herramenta y efector Fuente. [Autores] 28

29 Por lo general la descrpcón de la pose del manpulador se hace con base en la pose de su efector fnal en relacón al punto de referenca que se tome (véase fgura 4). Fgura 4. Marcos de referenca de cada uno de los eslabones del manpulador Fuente. [Autores].2. DESCRIPCION DE LA POSICION. Un punto quedara totalmente defndo en el espaco a través de las coordenadas de su poscón. Sn embargo para el caso de un sóldo es necesaro defnr adconalmente su orentacón con respecto a un sstema de referenca. Para valores dados de poscón y orentacón, es necesaro especfcar las localzacón de las conexones de los eslabones del brazo una con respecto a la otra. Por lo tanto asocamos a cada conexón () un sstema de coordenadas (X, Y, Z) medante un vector columna. 29

30 Esto es, fjar un sstema coordenado a cada eslabón del manpulador. Una forma de ubcar el sstema de coordenadas a cada eslabón de una manera estratégca para facltar los cálculos es utlzar el algortmo de Denavt Hartenberg (D H). Con base en lo establecdo, se puede determnar un vector poscón (3x). Debdo a que en muchas ocasones y aplcacones puede haber más de un vector poscón, se debe sumnstrar toda la nformacón a la cual pertenece cada uno de estos vectores con relacón al sstema de referenca utlzado(véase fgura 5). La fgura 5 muestra el sstema de coordenadas cartesanas [X 0, Y 0, Z 0 ], con cada uno de sus vectores untaros. Medante el vector poscón A se descrbe la poscón de un punto en el espaco cuyos componentes representan las dstancas desde el orgen del sstema de referenca hasta el punto analzado. Fgura 5. Sstema de coordenadas cartesanas espacales Fuente. [Autores] 30

31 El vectora se representa de la sguente manera: Ax 0 A = Ay () Az El vector poscón de un punto A expresado en el sstema {} ( A) se defne en térmnos del sstema {0} de la sguente forma: A= RA+ A ORG (2) Donde: 0 A : Vector poscón del orgen de {} expresado en {0}. ORG R 0 Matrz de rotacón. La matrz de rotacón se compone de los vectores untaros coordenados pertenecentes a un sstema ({}), expresados en otro de referenca ({0}). 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ R = X Y Z (3)

32 .2.2 DESCRIPCION DE LA ORIENTACION. Para defnr la orentacón del manpulador, o más aun de su últmo efector o junta, se debe estpular la poscón de un punto del efector en el espaco y establecer un marco de referenca, al cual se tendrá que determnar su orentacón. La orentacón se determna fjando un sstema de referenca [B] a un punto del efector fnal (pnza, punzón...etc.) antes menconados. Basta con determnar un vector poscón en el extremo y atarlo al sstema de referenca de coordenadas que se elgó y de esta manera tendremos defndo la orentacón y la poscón de la junta fnal del manpulador. (Véase fgura 6). Fgura 6. Poscón y orentacón de un manpulador en el espaco Fuente. [Autores] Como se pudo observar, la poscón de los puntos que se elgen en el espaco trdmensonal, podrán ser nombrados con vectores [P ], mentras que las orentacones de los cuerpos serán descrtas con sstemas de coordenadas [B ] prevamente estpulado. 32

33 S se qusera enuncar cada uno de los vectores untaros de [B] en térmnos de [A], hallaríamos una matrz 3x3, denomnada matrz de rotacón que resulta de enuncar los vectores untaros [B] en térmnos de [A] de esta manera: R = Xˆ Yˆ Zˆ A A A A B B B B,, r r2 r3 = r2 r22 r23 (4) r3 r32 r33 De lo anteror se puede menconar que el producto punto de dos vectores untaros proporcona el coseno del ángulo entre estos; debdo a esto es que muchos autores llaman a esta matrz de rotacón como una matrz de cosenos drectores..2.3 POSICIÓN Y ORIENTACIÓN POR MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA. Al combnar las expresones de cambo de poscón y de orentacón del cuerpo en coordenadas homogéneas, se adquere una notacón matrcal reducda que descrbe los dos tpos de movmentos (véase fgura 7): Fgura 7. Desplazamento espacal de un cuerpo Fuente. [Autores] 33

34 p xyz = [ R] u, θ o' xyz px' y' z' [ ] (5) O, [ T ] ' y' z' p = (6) xyz p x Donde: P xyz = [ X, Y, Z,] To P P P : Vector de coordenadas homogéneas de {P} en el sstema de referenca espacal x-y-z. P x' y' z' = [ X ', Y ', Z',] T P P P : Vector de coordenadas homogéneas de en el sstema de referenca del cuerpo x -y -z. [ T ] : Matrz 4 x 4 de transformacón homogénea que contene la nformacón de la traslacón y rotacón entre dos poscones del cuerpo, defndas por los cada uno de los sstemas de referenca. Para cada caso de estudo se descompone el desplazamento total en un conjunto de movmentos de rotacón y de traslacón smples alrededor y/o a lo largo de los ejes coordenados. Debdo a esto, las matrces de transformacón que corresponden a cada movmento se deben multplcar entre sí para de esta manera tener la matrz de transformacón homogénea compuesta que nos proporcona la nformacón del desplazamento total del cuerpo. 34

35 Los sguentes pasos son reglas que gobernan la multplcacón de matrces de transformacón homogénea: S la rotacón o traslacón se especfca en coordenadas del sstema de referenca del cuerpo x -y -z. Se posmultplca la matrz de transformacón correspondente. S la rotacón o traslacón se especfca en coordenadas del sstema de referenca global x-y-z, se premultplca la matrz de transformacón homogénea correspondente. De esta manera, la matrz compuesta se obtene de: [ ] = [ T ] [ I ] [ T ] xyz T (7) x' y' z' Donde: [ I ] : Matrz 4 x 4 dentdad. En el operador de posmultplcacón, la poscón de la matrz en la operacón corresponde a la secuenca de realzacón del respectvo movmento. En el operador de premultplcacón el orden se nverte. La prncpal ventaja de las matrces de transformacón homogénea es su capacdad de enuncar en forma conjunta la poscón y orentacón de un cuerpo y la facldad con que se realza la composcón de transformacones. Su nconvenente está en el alto nvel de redundanca numérca. 35

36 Para la representacón de orentacón en un espaco trdmensonal medante una matrz de rotacón es necesaro defnr nueve elementos. Pero exste la forma de representar dcha orentacón por medo de tres ángulos llamados ángulos de Euler..2.4 DESCRIPCION DE LA ORIENTACION POR MATRICES DE ANGULOS DE EULER. Todo sstema OUVW soldaro a un cuerpo cuya orentacón se quere descrbr, puede defnrse con respecto al sstema OXYZ medante tres ángulos ө, φ, Ψ denomnados ángulos de Euler. La representacón matrcal compacta la notacón smplfcando las operacones, pero presenta el nconvenente de necestar doce (2) térmnos para descrbr completamente la pose de un cuerpo, lo que nos conduce drectamente a un conjunto completo de coordenadas generalzadas. Un conjunto completo de coordenadas generalzadas se puede conformar en un vector Pose que contenga las tres coordenadas X o, Y o, Z o, de poscón del punto o orgen del marco de referenca del cuerpo, expresadas en el sstema de referenca global, y por los tres ángulos de Euler: φ, θ, ψ. Pose = [X o, Y o, Z o, φ, θ, ψ] T (8) Estos representan los valores de los gros a realzar sobre los tres ejes ortogonales entre sí, de modo que grando sucesvamente el sstema OXYZ sobre estos ejes los valores de ө, φ, Ψ se obtendrá el sstema OUVW. 36

37 Es necesaro, por lo tanto, conocer además de los valores de los ángulos, cuales son los ejes sobre los que se realzan los gros (véase fgura 8). Fgura 8. Ángulos de Euler Fuente. [Autores] Exsten dferentes formas de establecer los ángulos de Euler. En este estudo se trabaja con la sguente secuenca de rotacones. Rotacón del ángulo φ respecto del eje oz. Rotacón del ángulo θ respecto del eje grado oy. Rotacón del ángulo ψ respecto del eje grado oz. La matrz 3 x 3 de rotacón compuesta es: [ ] φ, θ, ψ [ R] z, φ [ R] y', θ [ R] z'', ψ R = (9) 37

38 38 [ ] + + = θ ψ θ ψ θ θ φ ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ θ φ ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ ψ θ φ C S S C S S S C C S C S S C C C S S C C S S C C S S C C C R,, (0) Donde: Cφ, Sφ : Coseno (φ) y Seno (φ) Cθ, Sθ : Coseno (θ) y Seno (θ) Cψ, Sψ : Coseno (ψ) y Seno (ψ) Aunque los ángulos de Euler permten smbolzar la orentacón, es complcado de manejar, para su aplcacón en operacones vectorales y composcón de rotacones.

39 2. MODELOS CINEMATICOS La cnemátca establece las relacones entre poscones, velocdades y aceleracones de las lgaduras de un brazo robótco, sn tener en cuenta las fuerzas y/o momentos que producen estos movmentos. Báscamente los dos problemas a resolver en la cnemátca de poscón de un manpulador se pueden resumr en la cnemátca nversa, la cual se refere a los métodos que permten determnar el movmento de una cadena de artculacones con el objetvo de que el eslabón fnal de un manpulador se ubque en una poscón requerda. Cnemátca drecta la cual se utlza para determnar las partes de un manpulador a partr de sus componentes fjas (véase fgura 9): Fgura 9. Relacón de la cnemátca drecta e nversa Fuente. [Autores] 39

40 Para el caso robótco, se entende por cnemátca de un manpulador, la descrpcón analítca de la relacón funconal que exste entre los valores del movmento de los actuadores en cada artculacón o junta, y la Postura (poscón - orentacón), con relacón a un sstema de referenca lgado, efector o junta fnal del brazo robótco. Para vsualzar los problemas que plantea la cnemátca de manpuladores se usa el modelo geométrco del manpulador, que representa la nformacón de ubcacón y clase de juntas así como la Postura del efector fnal. (Véase fgura 0). Fgura 0. Prototpo Geométrco de un Manpulador Fuente:[Autores] Donde: n Vector normal de la mano. Suponendo una mano de tpo mordaza paralela que es ortogonal a los dedos. 40

41 s a p Vector de deslzamento de la mano. Está apuntando en la dreccón del movmento de los dedos cuando la pnza se abre y se cerra. Vector de aproxmacón de la mano. Está apuntando en la dreccón normal a la palma de la mano. Vector poscón del efector. Apunta desde el orgen del sstema de coordenadas de la base hasta el orgen del sstema de coordenadas del brazo. Para un manpulador determnado, tenendo el vector de las coordenadas de cada una de las artculacones q(t) = [q (t), q 2(t),..., q n(t) ] T y los parámetros geométrcos de los elementos, se propone lo que se conoce como problema cnemátco drecto: Cuál es la pose [ n, s, a,p] de la junta fnal del manpulador con respecto a un sstema de coordenadas de referenca en la base?. Para la solucón del problema que se plantea, se necesta una notacón que defna la Postura relatva entre juntas. Denavt y Hartenberg (D-H), desarrolla una notacón que especfca un marco coordenado de referenca para cada eslabón, donde cada marco relacona la junta con junta + (véase fgura ). CRAIG, Jhon J. Introducton to Robotcs: Mechancs and control. Addnson Wesley

42 Fgura. Notacón Denavt - Hartenberg Fuente. [Crag, John J. Introducton to Robotcs Mechancs and Control] 2. CINEMATICA DIRECTA En este método de análss cnemátco, el problema se resuelve al determnar la poscón y orentacón del robot, con respecto a un sstema de coordenadas que se toma como referenca, conocdos los valores de las artculacones y los parámetros geométrcos de los elementos del manpulador. Por lo tanto se puede especfcar la poscón y orentacón de la pnza con respecto a la base del robot al evaluar la matrz de transformacón homogénea T. Así la poscón del robot será establecda por unas relacones entre ángulos de Euler y las coordenadas cartesanas. Para esto se defnen las matrces de transformacón homogénea que representan la poscón y orentacón relatva entre dos artculacones consecutvas. Estas matrces se denomnan por el símbolo: A - en donde el superndce ndca que se especfcara la poscon y orentacon con respecto al eslabon anteror (). 42

43 Esto es, que la poscon y orentacon del n- esmo eslabon con respecto a la base es gual al producto de las matrces de transformacon homogenea relatvas entre los eslabones sguentes de forma consecutva. De esta gualdad se resuelve el problema cnematco drecto. El producto entre rotacones no es conmutatvo, por lo que la expreson anteror solo es verdadera sempre y cuando se haga de forma correcta la multplcacon de cada membro del manpulador.para ello se usara el algortmo (D H) menconado ncalmente que permte ubcar los marcos de referenca a cada eslabon de modo que se asegure un correcto calculo de la matrz de transformacon homogenea. Este algortmo consste bascamente de 4 transformacones (rotacones y traslacones) que permten relaconar el sstema de referenca del elemento al elemento. Rotacón alrededor del eje Z - un ángulo ө Translacón a lo largo del eje Z - una dstanca D, ubcar el vector (0, 0, D) en el plano. Translacón a lo largo de X una dstanca a, vector (a, 0, 0). Rotacón alrededor del eje X un ángulo α Estas transformacones se referen al sstema móvl. Para aplcar las transformacones anterores se debe hacer caso felmente a los sguentes pasos:. Numerar los eslabones comenzando por (prmer eslabón móvl de la cadena) y acabando con n, se numera como cero a la base del robot. 43

44 2. Numerar cada artculacón comenzando por (correspondente al prmer grado de lbertad) y acabando con n. 3. Localzar el eje de cada artculacón. S esta es rotatva, el eje será su propo eje de gro. S es prsmátca el eje será aquel a lo largo del cual se produce el desplazamento. 4. Para de 0 a n, stuar el eje Z sobre el eje de la artculacón Stuar el orgen del sstema de la base {S 0 } en cualquer punto del eje Z 0, los ejes X 0 y Y 0 se stuaran de modo que formen un sstema dextrógro con Z Para de a n, stuar el orgen del sstema {S } (soldaro al eslabón ) en la nterseccón del eje Z con la línea normal común a Z - y Z. S ambos se cortasen se stuaría {S } en el punto de corte. S fuesen paralelos, se stuaría en la artculacón Stuar X en la línea normal común a Z y Z. 8. Stuar a Y de nodo que forme un sstema dextrógro con X y Y. 9. Stuar el sstema {S n } en el extremo del robot de modo que Z n concde con la dreccón Z n y X n sea normal a Z n y Z. 0. Obtener ө como el ángulo que hay que grar en torno a Z para que X y X queden paralelos.. Obtener D como la dstanca medda a lo largo de Z que habría que desplazar {S } para que su orgen concdese con {S }. 2. Obtener a como la dstanca medda a lo largo de X (que ahora concda con X ). Que habría que desplazar el nuevo {S } para que su orgen concdese con {S }. 3. Obtener α como el ángulo que habría que grar en torno a X (que ahora concdrá con X ), para que el nuevo {S } concdese totalmente con {S }. 44

45 4. Obtener las matrces de transformacón A - defndas antes. 5. Obtener la matrz de transformacon que relacon el sstema de la base con el del extremo del manpulador. En la (fgura 2), se muestra el dagrama de dos artculacones consecutvas en una cadena cnematca con el fn de observar grafcamente el sgnfcado de cada uno de los parametros que conforman la cuarteta de cada eje, de la sguente manera: Fgura 2. Dagrama de (D H) para la obtencon de la cnematca Fuente.[Autores] Donde: ө = Angulo que forman los ejes X y X meddo en el plano perpendcular al eje Z, utlzando la regla de la mano derecha. 45

46 D = Dstanca a lo largo del eje Z desde el orgen del sstema de coordenadas ( ) esmo hasta la nterseccón del eje Z con el eje X. a = Es la dstanca a lo largo del eje X que va desde la nterseccón del eje Z con el eje X hasta el orgen del sstema esmo, en el caso de artculacones gratoras. α = Es el ángulo de separacón del eje Z y el eje Z meddo en un plano perpendcular al eje X, utlzando la regla de la mano derecha. Una vez obtendos los parámetros (D H), el cálculo de las relacones entre los eslabones consecutvos del manpulador es nmedato. Para cada junta de gro (D ), (a ) y (α ), son valores constantes de la artculacón (), por lo tanto (ө ), es la varable de artculacon (q ), la cual camba cuando el eslabon () gra, respecto al eslabon ( ). Para una junta prsmátca, (α ), (a ) y (θ ) son valores constantes de la artculacón (), por lo tanto (D ) es la varable de artculacón (q ), que camba cuando el eslabón () es trasladado respecto al eslabón (-) 2. De tal manera los parámetros (D ), (a ), (α ), (ө ), pueden ser usados para construr una matrz de transformacon homogenea, que permta determnar la poscon y orentacon relatva de la junta (), respecto de la junta ( ), para este caso de estudo, de la sguente manera: 2 Barrentos, Peñn, Balaguer y Aracl. Fundamentos de Robótca Segunda Edcón

47 T( q ) cosθ snθ 0 a snθ cosα cosθ cosα snα D snα = snθsnα snα cosθ cosα Dcosα () Los datos que a contnuacón se sumnstran, son los correspondentes a los parámetros (Denavt Hartenberg), para el robot manpulador ARM MR 999. Tabla. Parámetros (Denavt Hartenberg) Eslabón α[rad] a[cm] D[cm] ө[rad] 0 0 L q 2 p / 2 L2 0 q2 3 p L3 0 q3 4 p / 2 0 L4 q4 Fuente. [Autores] Donde la prmera columna hace referenca al número de eslabones del manpulador, la segunda columna nos proporcona los valores del parámetro (α), meddo en radanes, la segunda columna nos proporcona al parámetro (a), meddo en centímetros, la tercera columna es el parámetro (D), meddo en centímetros y por últmo la cuarta columna es el parámetro (ө), meddo en radanes. Tamben encontramos los valores de cada una de las longutudes como son: L = 5cm, L2 = 2cm, L3 =,8cm, L4 = 23 cm, as como q, q2, q3, q4, son las varables dependentes del tempo en el sstema es decr lo que se va a mover. 47

48 Tenendo la ecuacon generalzada para el manpulador, y sus parametros correspondentes, se puede determnar las matrces de (Denavt Hartenberg): Prmer Eslabón cos( q) sn( q) 0 0 sn( q) cos( q) 0 0 T( q ) = (2) Segundo Eslabón cos( q2) sn( q2) T( q ) = sn( q2) cos( q2) (3) Tercer Eslabón cos( q3) sn( q3) 0 59 / 5 sn( q3) cos( q3) 0 0 T( q ) = (4) 48

49 Cuarto Eslabón cos( q4) sn( q4) T( q ) = sn( q4) cos( q4) (5) 2.2 PROPAGACION DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES Velocdades: Para asocar las velocdades del efector fnal con las velocdades de junta, se defne la transformacón con el Jacobano de un manpulador NJ en grados de lbertad: = J q ( q) X (6) Donde: x t V ω = = X 6 : Vector de velocdades del efector fnal. = q q t NJ : Vector dervada temporal del vector estado de las varables de junta. q = [ q ] NJ : Vector de estado de las varables de junta. 49

50 x Jq ( ) = q j 5 NJ : Matrz Jacobano del manpulador. Para el cálculo del Jacobano: J q) [ J J ] = 2 J n ( (7) Donde la - ésma columna está dada por: ( o o ) z n J = (8) z Aceleracones: La relacón entre las aceleracones del efector fnal en el espaco cartesano y las aceleracones en el espaco de junta, se consguen dervando la ecuacón de velocdad respecto al tempo: X = J ( q) q + J ( q)] q q [ (9) Donde: 50

51 X 2 : Vector de aceleracones (lneales y angulares) x = a 2 t 6 α del efector fnal (Espaco Cartesano). = q = 2 q 2 t NJ : Vector segunda dervada temporal del vector estado de las varables de junta (Espaco de junta). 2.3 CINEMATICA INVERSA En este caso, el objetvo es encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas artculadas del manpulador para que su extremo se poscone y orente según una determnada localzacón espacal. Cabe resaltar que estas coordenadas deberán cumplr con la condcón de estar dentro de los límtes físcos del manpulador, es decr, deben ser accesbles para el brazo robótco y no salrse de su volumen de trabajo. A dferenca del método drecto, en este caso para un msmo punto se pueden tener muchas solucones del msmo brazo. Se debe calcular las varables de junta que logran posconar al efector fnal en la poscón que se desea. Para este cálculo la solucón vendrá estmada por medo de tres métodos claramente dferencables: Método Analítco: A través de relacones geométrcas y algebracas se planea resolver el problema cnemátco, sn embargo la solucón promedo de este método nvolucra procedmentos que al fn de cuentas son 5

52 engorrosos y sumamente largos. Otra desventaja es que con este método se obtene una solucón partcular que realmente no nos permte hacer un análss para elegr una mejora o saber s esta solucón nos brndara realmente la mejor opcón para posconar el brazo. Los Métodos Adaptatvos: Se basan en el uso de Redes Neuronales, (NNets: Neural Networks), las cuales lustra la solucón, sobre todo el espaco de las posbles confguracones de la junta, por medo de un conjunto de datos de solucones de ejemplo. Las NNets dspan una gran cantdad de tempo durante el entrenamento. Sn embargo, una vez que la NNet ha sdo entrenada, su respuesta en tempo de operacón es rápda, lo que permte las aplcacones de tempo real. Entre las arqutecturas de Red utlzadas en la solucón del problema cnemátco nverso se destacan los mapas auto-organzados de Kohonen y las redes FeedForward. Los métodos analítcos y adaptatvos se dentfcan por requerr una presentacón formal dferente para cada confguracón de juntas del manpulador a analzar (solucones partculares). Método Numérco: En este caso, con ayuda de un ordenador se analzan un snfín de solucones y se puede tomar la mejor, en ahorro de tempo y energía. Esto método numérco obtene su solucón por medo de cálculos teratvos, donde se realza el cálculo de una funcón error E q ), entre la postura del efector fnal y un marco de coordenadas requerdo o destno. ( 52

53 E( q ) = Post Post( q ) objetvo mano (20) En térmnos de matrces 4 x 4 de transformacón homogénea: 0 N T n = 0 s 0 a 0 N p = T ( q ) (2) Los métodos numércos sumnstran solucones generalzadas, pero con mayor lenttud y convergen a una solucón en el espaco de múltples solucones que tene el manpulador. Estos métodos se pueden clasfcar en: Métodos de Optmzacón Determnístcos. Métodos de Optmzacón Probablístcos. Métodos de Optmzacón Combnados: (Probablístcos - Determnístcos). Para este punto es mportante menconar que uno de los ítems a tener en cuenta para este cálculo es el espaco de trabajo o más conocdo como el volumen de trabajo del manpulador, que no es más que el espaco máxmo o mínmo al cual el efector fnal del manpulador puede llegar. Por medo del sguente esquema (véase fgura 3), se lustra la aplcacón de la cnemátca nversa, en donde se realza con base en el método geométrco aplcable para el caso de estudo que se está llevando a cabo. 53

54 Fgura 3. Determnacón de la cnemátca nversa por el método geométrco Fuente. [Autores] Donde L = 5cm, L 2 = 2cm, L 3 =.8cm, L 4 = 23cm, (q 2 ), es el ángulo que se forma de la varacón del eslabón (L 3 ) con respecto a su horzontal, (q 2 ), es el ángulo que se forma de la perpendcular a la prolongacón del eslabón (L 4 ) con respecto a la prolongacón de (L 3 ) y depende de la varacón en la poscón de (L 3 ) y (L 4 ), y por los lmtes que ofrece la geometría del robot el ángulo (q 2 ), varía entre (-90 y 90) grados, los valores de (X), (Y), (Z) son dstancas, a donde se propone ubcar el efector o pnza en el espaco con respecto al marco de referenca ncal o base. Dados los valores de (X), (Y), (Z) se plantea las ecuacones de cnemátca nversa para el robot manpulador de la sguente manera: q = tan Y (22) X R = ((x 2cos (q )) 2 + (y 2sn (q )) 2 + (z 5) 2 ) 2 (23) H= z 5 (24) 54

55 Є = cos (,8)2 + (R) 2 (23) 2 (25) 2.(,8).(R) α = sn H (26) R q 2 = ε + α (27) q 3 = q 2 sn x 2 cos(q ),8 cos(q 2 )cos(q ) (28) 23cos (q ) A manera de resumen de estos dos métodos de solucón, se va a realzar un paralelo para determnar que se conoce y que se debe hallar al aplcarse en manpuladores. Cnemátca Drecta: Conocdos: Ángulos artculares y Geometría de los eslabones Determnar: Poscón y orentacón del elemento termnal referdo a la base 0 f(θ) = N B T = N T Cnemátca Inversa: Conocdos: Poscón y orentacón del elemento termnal referdo a la base. 55

56 Determnar: Ángulos artculares y geometría de los eslabones para alcanzar la orentacón y poscón de la herramenta. Θ = f ( N B T) = f ( N 0 T) 2.4 VOLUMEN DE TRABAJO Para que un problema planteado con el manpulador pueda ser resuelto, el punto al cual se quere llegar debe estar dentro del volumen de trabajo del manpulador, de lo contraro no se podrán efectuar los cálculos. Dentro de este volumen de trabajo podemos dferencar dos defncones de volumen de trabajo. El volumen de trabajo destro: es el volumen de trabajo en el cual el efector fnal del manpulador puede alcanzar con cualquer orentacón. Volumen de trabajo alcanzable: que es el volumen de trabajo al cual el efector fnal puede alcanzar en al menos una orentacón. Podemos conclur que el volumen de trabajo destro es una dervacón del volumen del trabajo alcanzable. En el caso del manpulador ARM MR 999, el volumen del trabajo está determnado por tres lamnas que hacen alusón a un espaco trdmensonal (Véase fgura 4). 56

57 Fgura 4. Volumen de trabajo del Manpulador ARM MR 999 Fuente. [Autores] Dmensones de las lámnas: Lamna : ancho: 75 cm, alto: 40 cm Lamna 2: largo: 50 cm, alto: 40 cm Lamna 3: ancho: 75 cm, largo: 50 cm El espaco alcanzable del ARM MR 999 dentro de las lámnas es: X = 36 cm Y = 52 cm Z = 36 cm 57

58 Con base en los valores de X, Y, Z se puede calcular el volumen de trabajo del manpulador ARM MR 999 de la sguente manera: V t = 36 x 52 x 36 (29) V t = cm CONSIDERACIONES DE ESTUDIO A manera de consderacones se resaltan a contnuacón unos aspectos, que para este trabajo no se tendrán en cuenta y son: Las deformacones. Debdo a que el manpulador no levantara grandes masas, por lo tanto no se tendrá en cuenta este aspecto. Cabe resaltar que para manpuladores vnculados a la ndustra, el cálculo de deformacones es totalmente necesaro debdo a las grandes masas que allí pueden llegar a manejarse. El control dnámco, debdo a que el control a aplcarse al manpulador ARM MR 999 será un control cnemátco, por las pequeñas nercas y masas que este maneja. Se omte la nteraccón con el medo ambente que el manpulador pueda tener, así como condcones de operacón como lo son: temperatura, humedad, radacón, horas de trabajo etc. Los cálculos de cnemátca nversa se harán solo para que el manpulador pueda sujetar objetvos estaconaros. Es decr, las poscones y orentacones de la pnza deberán de ser estaconaras. 58

59 Se tendrá en cuenta la mplementacón de solucones partculares para el problema cnemátco nverso. La plataforma dseñada, posblta la manpulacón de pezas esfércas brndando la opcón de poder sujetar la peza sn consderar una orentacón fja. Esfera: Esta peza permte la sujecón con cualquer dreccón, por tanto no mpone restrccones, ofrecendo un número nfnto de solucones. (Véase fgura 5). Fgura 5. Esfera Fuente. [Autores] 59