UBICACIÓN DE MANIPULADORES DE ACUERDO CON EL CONSUMO MÍNIMO DE ENERGÍA J H. Ay Az

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1 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO UBICACIÓN DE MANIPULADORES DE ACUERDO CON EL CONSUMO MÍNIMO DE ENERGÍA Erk Peña Medna Ángel Alfonso Rojas Salgado Departamento de Ingenería de Dseño, Facultad de Ingenería, UNAM. Crcuto Exteror s/n, Cudad Unverstara, Anexo de Ingenería, CP. 0450, Del. Coyoacán, D. F. Teléfono: (55) , (55) ext. 7 E mal:, epm0@lve.com.mx, arojas@servdor.unam.mx RESUMEN En el presente trabajo se presenta un estudo realzado a un robot seral que dentro de su confguracón presenta una cadena cerrada. Para smplfcar el estudo de la dnámca del robot se utlzó un método energétco, utlzando las ecuacones resultantes se busca reducr el consumo de energía al ubcar el manpulador cuando el órgano termnal sgue una trayectora específca de un punto arbtraro a otro en su espaco de trabajo, para ejemplfcar se comparan dos trayectoras una línea recta y una senodal con un perfl armónco, posterormente se determna el nuevo orgen del sstema nercal medante la energía mínma dentro del espaco de trabajo, bajo certas restrccones. Al fnal se muestra la varacón de la energía usada por los actuadores con respecto a la trayectora y la ubcacón del robot dentro del sstema nercal, además de la relacón que exste entre la energía consumda y el perfl de velocdades en cada caso. ABSTRACT Ths paper presents a study of a seral robot n ts confguraton has a closed chan. To smplfy the study of the dynamcs of the robot used an energy method, usng the resultng equatons s ntended to reduce power consumpton by placng the manpulator when the end organ s a specfc trajectory of an arbtrary pont to another n ts workspace for comparng two trajectores llustrate a straght lne and a sne wave wth armonc profle, later determned the new orgn of the nertal system wth the mnmum energy wthn the workspace, under certan restrctons. At the end shows the varaton of the energy used by the actuators wth respect to the path and locaton of the robot n the nertal system, as well as the relatonshp between energy consumed and the velocty profle n each case. NOMENCLATURA u J H W Ay Az E P v a mn Et Vector de poscón respecto a la base Inercal Matrz Jacobana con respecto al vector u Matrz Hesana con respecto al vector u Potenca de un actuador electromecánco Torque del actuador electromecánco Ampltud de la trayectora senodal sobre el eje Y Ampltud de la trayectora senodal sobre el eje Z Vector de velocdad angular del robot Vector de aceleracón angular del robot Energía en un nstante de la trayectora Potenca en nstante la trayectora Vector de velocdad lneal de elemento del robot Vector de aceleracón lneal de elemento del robot Energía mínma de la trayectora INTRODUCCIÓN Actualmente ha tomado mportanca el empleo de la energía en forma más efcente, en varas ndustras se utlzan robots para desarrollar tareas repettvas. Por ejemplo en la ndustra automotrz exsten líneas de produccón totalmente automatzadas en donde los robots se encargan de mover pezas para ensamble, otros se encargan de soldar unones y tambén pntan carrocerías. Los robots mueven pezas y herramentas por trayectoras específcas, en tempos determnados. La capacdad que tene un manpulador de transportar un cuerpo o herramenta de un lugar a otro por medo de una trayectora, depende totalmente de sus actuadores y de su sstema de control. Exsten varas maneras para resolver la dnámca de manpuladores, que dentro de su confguracón contenen cadenas cerradas, Luh [] ISBN: << pag. 44 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

2 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO planteó un método para resolver la dnámca de manpuladores con cadenas cerradas en su confguracón, de este método han surgdo varantes como las propuestas de Shr-Kuan [] y Y. Nakamura [3], pero aplcando los prncpos establecdos por él, este tpo de solucones están enfocadas a resolver el problema desde una plataforma ya establecda, es decr se analzan robots con estructuras comercales y no se enfocan a encontrar parámetros para desarrollar los robots, como por ejemplo las cargas presentes en las pezas o determnar los parámetros de los actuadores de forma drecta. En el caso de la energía que consumen los robots se han desarrollado estudos para determnar la energía que consumen en una trayectora específca. Hamza Dken [3] ha reportado el consumo de energía de un robot seral (RRR) que se mueve con un perfl armónco senodal, y posteror mente compara el consumo de energía de un manpulador esférco [4] cuando se mueve de un punto a otro, utlzando varos perfles de trayectora. Otro método empleado para reducr el consumo de energía de un robot es el emplazamento (o cambo de orgen de la base), el emplazamento consste en cambar la ubcacón del sstema de referenca nercal del robot a una ubcacón donde los movmentos del robot no requeran tanta energía. Ur-Rehman et al [5], descrben como reducr el consumo de energía de los actuadores eléctrcos de un robot paralelo con tres grados de lbertad, utlzado como máquna fresadora. Proponen una metodología para encontrar el punto de emplazamento, donde prmero es necesaro plantear las ecuacones cnemátcas y dnámcas del manpulador para el cálculo de la energía, con esa nformacón y con los parámetros de la trayectora defndos, se procede a defnr un vector que defnrá un nuevo sstema nercal del manpulador, se analza el consumo de energía de los actuadores y se compara con otras ubcacones del sstema nercal y se busca la ubcacón donde el consumo de energía es mínmo. Para decr que se ha encontrado un punto de emplazamento óptmo se deben cumplr certas condcones: () La ecuacón () establece que la energía mínma consumda por un manpulador durante una trayectora es la suma de la energía de todos sus elementos, bajo la condcón de que exste un punto en el espaco de trabajo referdo al sstema nercal en donde las velocdades y los torques de sus elementos son menores al de los actuadores límte para todo el espaco. Otra condcón muy mportante es la de la sngulardad, se puede encontrar puntos donde se cumplan las restrccones antes menconadas, pero el robot puede caer en sngulardades, mpdendo al manpulador llegar a un punto de la trayectora o ubcar sus elementos durante la trayectora. Ellos [5] establecen un algortmo para determnar el emplazamento óptmo de un robot. Se trabajó con un robot manpulador con una cadena cerrada que exste en la Facultad de ngenería de la UNAM, los actuadores se encuentran en el hombro de dcho manpulador y se mueve a través de una trayectora específca, los puntos de nco y fn fueron prevamente establecdos, con un tempo de 0 segundos para su recorrdo, además se busca que el robot consuma la menor energía posble, tambén se obtuveron algunos parámetros de dseño para que este robot solucone la dnámca nversa medante el análss de la trayectora. Conocda la cnemátca y dnámca se plantea un método energétco. Este manpulador ha sdo estudado utlzando métodos energétcos [7] para obtener la solucón de la dnámca nversa. Dcho manpulador funcona como herramenta de enseñanza en varas asgnaturas, pero se le han hecho modfcacones para que tambén se pueda obtener la energía real que consume durante una trayectora. MODELO TEÓRICO DEL SISTEMA Como se menconó, se busca desarrollar un manpulador para uso de los estudantes, uno de los objetvos es que los alumnos puedan nteractuar con un dspostvo capaz de mostrar cómo se desarrolla una snerga entre los tres sstemas fundamentales de un robot (el sstema mecánco, sstema eléctrco y el sstema de control), dentro de las asgnaturas se les pde a los alumnos analzar y construr manpuladores con el fn de mover objetos de un lugar a otro, para que dentro de este proceso aprendan a defnr los parámetros de un dspostvo de este tpo y después los aplquen. ISBN: << pag. 44 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

3 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO La ecuacón () descrbe la relacón usada para obtener el vector de velocdades generalzadas del robot para los tres grados de lbertad. Al dervar la ecuacón () se obtene la ecuacón (3) de la que se obtene cada una de las aceleracones para cada uno de los grados de lbertad del robot. Para el estudo de la energía del robot se utlza la sguente ecuacón: U v T v m I G m g h...(4) Fgura. Robot en fase de dseño Este manpulador cuenta con 5 grados de lbertad, los dos últmos grados corresponden a la orentacón del órgano termnal (OT), pero para el estudo de la energía solo se estudaran los tres prmeros sn tomar en cuenta la orentacón. SOLUCIÓN DE LA DINÁMICA INVERSA Para obtener los pares asocados del manpulador dentro de una trayectora específca, se utlzó un método energétco. Lo prmero que se estudo fue la poscón y la cnemátca del robot, los parámetros de la trayectora que se defneron son los sguentes: P (0.4,0.,0.0) P (0.5,0.4,0.4) Donde P es el punto ncal de la trayectora y P es el punto fnal, el tempo propuesto para que llegue de un lugar a otro es de 0 [seg], donde se defne el vector u = f (P -P ), una funcón que será defnda de acuerdo s será recta o senodal. Con estos puntos defndos se realzó el estudo de las velocdades y las aceleracones del robot. J u....() 3 T J ( u H )...(3) T T La ecuacón (4) descrbe la energía de un elemento del manpulador, los dos prmeros térmnos corresponden a la energía cnétca del elemento (lneal y rotaconal) y el últmo térmno corresponde a las varacones en la energía potencal. Se ncluye la energía potencal debdo a que los actuadores necestan proporconar una certa resstenca para evtar que el cuerpo caga. T P a v m I D d U U u...(5) dt q q N C G...(6)...(7) m g V La ecuacón (7) de obtene de la ecuacón (4), esta ecuacón descrbe la potenca de un elemento del manpulador. En la ecuacón (5) se establece que la energía de los pares u τ es gual a la varacón que hay entre la energía cnétca y potencal de un elemento, aplcando este planteamento en las ecuacones matrcales de movmento se obtene la ecuacón (6), donde D es la matrz de nerca, N la matrz de la fuerza normal, C la matrz de la fuerzas de Corols, G es la matrz de efectos gravtatoros y τ es el vector de pares generalzados. Con las ecuacones anterores y con la nformacón del análss de la poscón y cnemátca nversa se pueden asocar a cada actuador el tpo de energía que le sumnstra a cada elemento del manpulador G j ISBN: << pag. 443 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

4 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO y obtener la energía y potenca que necesta cada actuador en un nstante de la trayectora. Para resolver la dnámca nversa del manpulador se utlzó la relacón que exste entre la potenca y la velocdad angular: 3 W W...(8) q Los elementos del robot se dvderon por actuador y por el tpo de energía que recben de este: Los actuadores que mueven al antebrazo y al brazo se encuentran montados sobre el hombro del robot. En la fgura se muestran los elementos que recben energía del actuador del antebrazo y el tpo de relacón que presentan, los actuadores en algunas ocasones hacen grar las pezas o producen un movmento lneal proporconando energía cnétca, pero tambén hay elementos que son retendos y el actuador necesta soportar esos cambos en la energía potencal de las pezas. Fgura. Elementos relaconados con el actuador (se puede ver los rados de gro de cada elemento) La fgura muestra todos los elementos que recben energía del actuador colocado en la base, todos estos elementos úncamente recben energía potencal y gran alrededor del eje de la base. Fgura 4. Elementos del robot que tenen relacón en su cambo de energía con respecto al actuador del Brazo La fgura 4 muestra los elementos que tenen una relacón con el actuador del brazo y el tpo de energía que recben. La ecuacón (4), se establecó para el elemento la energía total es la suma de la energía de todos los elementos, la energía del cclo se calcula usando la sguente ecuacón: E T = E Base t E = W ( t) dt...(9) 0 E Antebrazo...(0) La energía del sstema es la suma de todas las energías absolutas que consume cada actuador durante una trayectora ya que en un caso se sumnstra energía y en otro presenta resstenca al movmento. E Brazo Fgura 3. Elementos del robot que tenen relacón en su cambo de energía con respecto al actuador del Antebrazo Para el estudo de la energía del manpulador se plantearon las sguentes trayectoras, la de una línea recta y una trayectora senodal: ISBN: << pag. 444 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

5 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO x t t x ( cos( ))( x x) T t yt y ( cos( ))( y y) Ay T xt x sen( x x t xt x zt z ( cos( ))( z z) Az sen( ) T x x La ecuacón 8 descrbe ambas trayectoras usando el tempo como parámetro, para descrbr una línea se gualan las ampltudes de A y y A z a cero. Para crear una trayectora senodal se susttuyen valores en las ampltudes, para este manpulador se usó la ampltud A y =0.05 y A z =0, que son valores reportados por Hamza [3] donde el consumo de energía es mínmo. )...() RESULTADOS El prmer caso que se estudo fue el de la trayectora en línea recta, se utlzó el perfl armónco de la ecuacón (), con A y =0 y A z =0, el tempo propuesto para que el OT llegue de P a P es de 0 [seg]. Calculando la energía en esta trayectora se obtene un consumo total [Joule], esta será el consumo de energía como referenca. Para el emplazamento de adapto el algortmo propuesto por Raza Ur-Rehman [5], el algortmo consste en tres fases y se muestra en la fgura 5:. En la prmera fase se defnen los parámetros de la trayectora, estos parámetros se defnen en el sstema nercal orgnal del robot (F b ), además se propone un vector que ndca la nueva poscón del sstema nercal robot, s es necesaro tambén se determnar los parámetros eléctrcos del actuador y se defnen los parámetros de la trayectora. Por últmo se propone un vector de poscón donde se traslada el sstema nercal.. En la segunda fase, ya en la nueva ubcacón del sstema nercal se resuelve la poscón, para después obtener la solucón cnemátca nversa (SCI), y con esta nformacón se calcula la energía durante la trayectora (EDT), por últmo en esta fase se verfca que no exstan sngulardades mentras el órgano termnal del robot recorre la trayectora. 3. En la tercera fase se compara la energía consumda en las dferentes ubcacones y se toma la menor, cuando se obtene el valor de consumo de energía mínma del robot, en esas coordenadas se encuentra el punto de emplazamento y el valor optmo de gasto de energía del robot. Fgura 5.Algortmo usado para este estudo Smulando el perfl senodal con A y =0.05 y A z =0, el gasto de la energía usada es de [Joule], el ahorro de energía es de 0. [Joule], o sea de.03% por cclo comparado con la línea recta. Pero sn realzar cambo de ubcacón del manpulador. ISBN: << pag. 445 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

6 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO [Joules], es decr un 3.09% menor que la referenca. CONCLUSIONES Fgura 6.Smulacón trayectora en línea recta Fgura 7. Trayectora senodal Para mostrar cómo nteractúan todos los sstemas de un manpulador es necesaro desarrollar las herramentas para lustrar estos aspectos a los alumnos de una forma más concreta, en este artículo se muestra como se emplearon solucones exstentes, se adaptaron para obtener y verfcar nuevos resultados y defnr parámetros para ubcar un robot cuyo análss pudera aparentar ser sencllo y tener ahorro de energía consderable. Al comparar la energía que utlza el robot en los tres casos propuestos, tomando como punto de comparacón la energía cuando el robot va del punto P a P en línea recta, se observa que utlzar un perfl de consumo mínmo de energía y colocar el sstema de referenca en el punto de emplazamento se pueden obtener ahorros sgnfcatvos de energía. Lo anteror lustra no solo la mportanca de defnr qué actvdad realzará el robot, sno tambén la planfcacón de su ubcacón físca en el espaco de trabajo t Fgura 9. Perfl de velocdades en la trayectora de línea recta Fgura 8.Smulacón trayectora en senodal Aplcando el emplazamento a la trayectora senodal se determna el mínmo consumo de energía para estas condcones. El consumo calculado de energía de los actuadores es de [Joule], y las coordenadas del punto de emplazamento son (-0.4, 0.5, 0), el ahorro de energía con referenca a la línea recta es de Fgura 0. Perfl de velocdades en la trayectora senodal t ISBN: << pag. 446 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

7 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO Fgura. Perfl de velocdades en la trayectora senodal con el robot emplazado Al comparar el perfl senodal con el de la línea recta, se puede ver un perfl con cambos más suaves en la velocdad fguras 9-, y por lo tanto un consumo menor de energía, al comparar estos perfles con el perfl de velocdades con el robot ya emplazado se observa que hay nstantes al prncpo de la trayectora donde la velocdad es un poco mayor que en las otras dos trayectoras por ejemplo es superado, pero de la velocdad dsmnuye de forma suave en forma sgnfcatva por lo que el consumo de energía es menor. En las grafcas se observa que para el perfl senodal y usando el emplazamento el actuador del Antebrazo (ω) tende a utlzar más energía en nstantes al gual que en el Brazo (ω3), pero al fnal el consumo es el menor de todos, esto es porque los actuadores reducen su consumo de energía cnétca. Para el caso de la trayectora senodal el OT pasa por los msmos puntos de la trayectora y después del emplazamento, no varando la trayectora s no la forma de moverse de los elementos del robot t El algortmo usado para obtener el punto de emplazamento en este trabajo presenta la ventaja de determnar el punto más rápdo reducendo operacones, para este caso la condcón mpuesta en la ecuacón () con relacón a la velocdad de un actuador se cumple para toda la trayectora, al obtener el consumo total de energía, esta es menor cuando se ubca el emplazamento, tal como se muestra en la fgura, el eje vertcal representa la energía consumda por los actuadores en cada una de las ubcacones en el plano XY del sstema nercal, en esta magen solo se muestran las energías donde no se presenta nnguna sngulardad en el robot, zona azul y verde. Defnr un crtero para determnar la energía mínma para este tpo de confguracones resulta muy complcado por la sngulardades que se presentan, en este caso se transforman ecuacones vectorales en ecuacones escalares, además las restrccones mpuestas no solo corresponden a la cadena aberta del brazo, tambén a la cadena cerrada y a la estructura mecánca en general del robot, para determnar crteros sobre las trayectoras en general que puede segur el dspostvo, se deberán plantear desde el análss de la poscón de los elementos o desde el sstema de control. RECONOCIMIENTOS Este trabajo fue realzado medante el apoyo de la Drreccón General de Asuntos del Personal Académco (DGAPA) de la UNAM, medante el proyecto PAPITT IN47-. Los autores tambén agredecen al Departamento de Ingenería de Dseño por su aporte para la realzacón de la presente nvestgacón. BIBLIOGRAFIA []J. Y. S. LUH, F. I.-F. (,JUNE 985). Computaton of Input Generalzed Forces for Robots. IEEE JOURNAL OF ROBOTICS AND AUTOMATION, VOL. RA- ( NO. ), [] SHIR-KUAN LIN, Dynamcs of the Manpulator wth Closed Chans, IEEE TRANSACTIONS ON ROBOTICS AND AUTOMATION. VOL. 6, NO. 4. AUGUST 990. Fgura Punto de ubcacón del robot con consumo de energía mínma [3] Y. Nakamura and M. Ghodouss, Dynamcs computaton of closed-lnk robot mechansms wth nonredundant and redundant actuators, IEEE, Trans. Robot. Automat., vol. 5, 989. ISBN: << pag. 447 >> Derechos Reservados 0, SOMIM

8 A_99 al 3 DE SEPTIEMBRE, 0 SAN LUIS POTOSÍ, MÉXICO [4]Hamza Dken, Energy Effcent Snusodal Path Palnnng of Robot Manpulators, Mech. Mach Theory, No. 6, pp , 994. [5] S. A. Alshahran, H. Dken, OPTIMUM TRAJECTORY FUNCTION FOR MINIMUM, The 6th Saud Engneerng Conference, KFUPM, Dhahran, December 00, Vol [6] Raza Ur-Rehman, PATH PLACEMENT OPTIMIZATION OF MANIPULATORS BASED ON ENERGY CONSUMPTION: APPLICATION TO THE ORTHOGLIDE 3-AXIS, Transactons of the Canadan Socety for Mechancal Engneerng, Vol. 33, No. 3, 009 [7] Rojas A., Peña Erk, Trayectoras con Mínma Energía en un Manpulador Antropomorfco con cadena Cerrada en su Confguracón, MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM, -4 sept. 00 Monterrey N.L. ISBN: << pag. 448 >> Derechos Reservados 0, SOMIM