Números Complejos I. Campo de los Números Complejos. Teorema. Número Complejos. Forma cartesiana o binómica de un complejo

Transcripción

1 Númers Cmplejs I Camp de ls Númers Cmplejs Dentr del camp de ls númers reales (IR) pdems sempre hallar númers x tales que: x - = 0 Per que sbre la ecuacón: x + = 0 N exste nngún númer real x que satsfaga esta ecuacón puest que el cuadrad de td númer real es pstv cer (x 0) y en cnsecuenca: x + > 0 Se hace necesara la amplacón de IR a un cnjunt en el cual pueda reslverse stuacnes del tp anterr, tal cnjunt es el de ls Númers Cmplejs en la que defnms un nuev númer, tal que: Númer Cmplejs = - Defncón.- Se llama númer cmplej a td par rdenad (a; b) de cmpnentes reales. Ntacón: Z = (a; b); dnde: a; b IR Al númer a se le llama parte real de Z : IRe(Z) = a Al númer b se le llama parte magnara de Z : I m(z) = b En el sstema de ls númers cmplejs se defne ds peracnes: Adcón: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) Multplcacón: (a; b).(c; d) = (ac - bd; ad + bc) Observacón: ) Al númer cmplej (x; 0) se le dentfca cn el númer real x, l cual se puede escrbr: x = (x; 0) ) Al par rdenad (0; ) se le llama undad magnara y se le representa pr el símbl. Terema = (0; ) = - = - Demstracón: =. = (0; )(0; ) Efectuand la multplcacón: = (0.0 -.; ) = (-; 0) = - Fnalmente: = - Frma cartesana bnómca de un cmplej El númer cmplej: Z = (a; b); l pdems expresar cm: Z = (a; b) = a (;0) + b (0;) Z = a + b Representacón gemétrca (Plan de Gauss) En el plan cartesan denmnarems al eje y cm eje magnar y al eje x cm eje real. Sea: Z = a + b / a < 0 b > 0 Su representacón en el plan de Gauss será cm sgue: Afj P y (eje magnar) b Dnde OP es el rad vectr del cmplej: a 0 x (eje real) Z = a + b AÑO

2 Ejempl: Z ; Z y Z están ubcads en el plan de Gauss. Ejempl: Imagnar Cuál es la relacón exstente entre m y x para que el Z prduct: Z sea un númer magnar pur. Real - Slucón: - Z Efectuand la peracón dada: Lueg: Z = (; ) = + ; Z = (-; ) = - + ; Z = (0; -) = - Cantdades magnaras Sn aquells númers que resultan de extraer una raíz de índce par a un númer real negatv. Relacón de gualdad 6 - = - 6 = 6(-) = 5 - = 5-5 = 5(-) = Ds cmplejs sn guales, s y sól s, sus partes reales y sus partes magnaras sn guales respectvamente. Así: a + b = c + d a = c b = d Tps de númers cmplejs A. Cmplej real puramente real Es aquel númer cmplej que carece de la parte magnara; es decr su parte magnara es cer. Ntacón: Z = a + 0 = a ; a IR B. Cmplej magnar pur Es aquel númer cmplej que carece de la parte real; es decr su parte real es cer, además su parte magnara es dferente de cer. Ntacón: C. Cmplej nul Z = 0 + b ; b IR - {0} Es aquel númer cmplej que presenta la parte real e magnara gual al númer cer, es decr las ds cmpnentes sn nulas. Ntacón: Z = = 0 (m + x)( + ) = m + m + x + x Agrupand térmns: (m - x) + (m + x ) para que la expresón sea magnar pur se debe cumplr que: m - x = 0 m = x La relacón pedda es: m =,5x m = x Ptencas enteras de la undad magnara Estudarems el cmprtament del númer: n ; n ZZ, tenend en cuenta la sguente defncón: 0 = ; = = 7 =. = - = - 8 =. = =. = - 9 = 8. = =. = (-)(-) = 0 = 8. = - 5 =. = = 8. = - 6 =. = - = 8. = Se bserva que las ptencas de se repten cada cuatr veces y sól tman un de ls cuatr valres: Prpedades ; -; - ;. Se bserva: = ; 8 = ; = ;... est mplca que la undad magnara elevada a un múltpl de cuatr es gual a la undad. tambén: Ejempl: - = = - = = - 8 = = -

3 Calcular: Opuest de un cmplej Slucón: Se bserva: El puest de un cmplej: Z = a + b Z * = - a - b 68 = + 78 = + La representacón gemétrca de: Z = a + b (a > 0 b > - = -( + ) = - 0) de su cnjugad y su puest:, es: = = + + = = - - b Z = a + b n = 0 ; n IN -a a (Eje real) Ejempl: Calcular: Slucón: Cm: = Ordenand: ; entnces el numeradr será: Se bserva que cada cuatr térmns se btene cer, lueg el numeradr será cer, entnces se tene: 0 = 0 Z * = -a - b Prpedades -b Z = a - b Z; Z ; Z C. Z = Z Z es cmplej real.. Z = Z. Z = - Z = Z * Z es cmplej magnar pur.. Z + Z = IRe(Z) 5. Z - Z = IIm(Z). Prpedades de ptencacón: 6. Z Z = Z ± Z ( + ) = ( + ) = ( + ) ( + ) = = - ( - ) = - ( - ) = - ( - ) ( - ) = - 7. Z.Z = Z. Z + = - 8. = Z Z ; Z Z (0; 0) Z Cnjugad de un cmplej Dad el cnjunt: Z = a + b ; se defne el cmplej cnjugad de Z, dentad pr Z cm: Z = a - b 9. ( Z n ) = ( Z ) n ; n IN 0.( n Z ) = n Z ; n IN Módul valr abslut de un cmplej Ejempl: Z = + 5 Z = - 5 Dad: Z = a + b ; el módul valr abslut de Z es un númer real n negatv dentad pr Z tal que:

4 Eje magnar b Z (a; b) = a + b W = - = = a Z = a b Eje real Gemétrcamente, el módul ns representa la magntud del rad vectr del cmplej Z de rgen (0; 0) y extrem fnal el afj de Z. Ejempl: Hallar el módul de ls sguentes cmplejs: a) Z = + Z = = 5 Efectuand se tene: per: Entnces: Z + Z = (Z + Z )( Z Z ) Z + Z = (Z + Z )( Z + Z ) = Z Z + Z Z + Z Z + Z Z = Z + (Z Z + Z Z ) + Z Z Z + Z Z = IRe(Z. Z ) y IRe(Z. Z ) Z. Z Z + Z = Z + IRe(Z. Z ) + Z Per: Z = Z Z + Z. Z + Z Z + Z. Z + Z b) W = - Z Z. Z Z Trnm cuadrad perfect Z + Z ( Z + Z ) Qutand expnentes pr ser númers pstvs: Z + Z Z + Z l.q.q.d. Prpedades. Z 0. Z = Z = Z * Z; Z ; Z C 0. Z - Z Z - Z. Z + Z + Z - Z = [ Z + Z ] Ejempl: Send Z un númer cmplej, calcular: M = Z + + Z - s: Z =. Z = Z. Z. IRe(Z) Z ; IIm(Z) Z 5. Z.Z = Z. Z Slucón: Utlzand la prpedad: M = Z + + Z - = [ Z + ] cm: Z = M = [ + ] M = 0 6. Z Z = ; Z Z Z (0; 0) Prblemas resuelts 7. Z n = Z n ; n IN. Efectuar: - 8. n Z = n Z ; n IN; n Z = 5-9. Z + Z Z + Z Demstracón: Partend de la sguente gualdad: Slucón: Multplcand se tene: Z = Z =

5 Multplcand al numeradr y denmnadr pr: Hallar ls valres reales de x e y que satsfacen la 7 ecuacón: Z = x - y + x - y = Reducr: Slucón: Se sabe: 77 9 Slucón: Z = 9-9 Ordenand: (x - y) + (x - y) = Z = Z = + Igualand: x - y x - y Reslvend: - W = + x = 8; y = - 6. Cuál debe ser el valr que se le asgne a k a fn de que: - = - = - W = 5 + (- ) 9 = - = 0 W = = - - k sea real; sea magnar pur. Slucón:. Smplfcar: - k es real = a - k = a - ak + de la gualdad: a = ; -ak = Slucón: Cm: entnces tenems:. Reducr: = - k = = 000 = = es magnar pur = b - k - k de dnde: + = bk + b de la gualdad: bk = ; b = Blque I. Smplfcar: k = Prblemas para la clase ( ) Z ( ) S = Slucón: a) b) 0 c). 0 (0) 5 S = ( - ) d) - e) Reducr: S = 8 S = (- ) S = S = = W a) b) c) d) e) N.A.

6 . Reducr: Z = ( + ) + ( - ) + ( + ) 8 a) - b) - c) -8 d) 8 e) 6 9. Hallar n para que al dvdr: 5 n el resultad sea un númer magnar pur.. Smplfcar: ( ) 6 Z ( - ) 6 ( - ) 7 - ( ) 7 a) - - b) - - c) + d) - + e) - 5. Reducr: a) ( - ) b) S - ( ) - c) - 5 a) d) Reducr: Blque II 5 b) - 0 e) - c) 5 - a) b) c) d) e) 6 d) 6. Dar W, s: - a) - d) e) b) W - e) - c). Smplfcar: E a) 6 b) 6 c) -6 d) 8 e). Reducr: 6 S Hallar el módul del sguente cmplej: Z = + a) b) c) - d) - e) a) 5 b) 5 c) d) 7 e) 0 8. Hallar a para que el resultad de dvdr: sea un númer real. a - a) b) d) - e) -. Sumar: S = ( + ) + ( + ) + ( + )+( + ) (n + n ) a) n(n + ) b) n(n + ) c) 0 d) n(n + ) e) n(n - ). Reducr: 90 K c) - a) b) - c) d) e) - 5. Send: = -, calcular: W 00

7 Blque III a) - b) c). El equvalente de: d) - e) S 6. S: a ( a) A a 9 9 dnde: = - ; a = ; calcular: A + a) + b) 80 + c) 8 d) 8 e) a El equvalente de: x y - y x es S. S la raíz cuadrada del númer cmplej: ( + ) es x + y. Hallar el valr de S. a) 0 b) c) d) e) 8. Reducr: dnde: = - a) - b) c) 0 d) + e) W ( ) ( ) z - a) - b) - c) 0 d) e) Smplfcar: - 9 S 5 a) b) c) - d) 0 e) 0. Sean ls númers cmplejs: m = + y = - n = u + v tal que: {y, u, v} z + cumpléndse además: m + n = a + 7 mn = -7 + Send: < a < 8 Calcule: a + y + u + v a) 8 b) 50 c) 5 d) 5 e) 56. S Z es un númer cmplej y satsface: entnces: - z a) Re(z) > 0 b) Im(z) 0 c) z es un númer real. d) z es un númer magnar pur. e) Re(z) < 0. En C ls valres de x e y al reslver la ecuacón: sn: x y x x y 0.Reducr: a) x = ± ; y = ± 6 5 W c) x = ± ; y = ± a) + b) - c) - - d) - e) - 5 e) x = ± ; y = ± b) x = ± ; y = ± d) x = ± ; y = ± 5. Reducr: W térmns

8 a) 00 b) 00 c) - 00 d) 000 e) Un valr de n que verfca la gualdad: ( ) n ( ) n 6 a) 0 b) 5 c) 00 d) 5 e) 7. Hallar el módul del númer cmplej z : z = ( + ) (5 - ) ( + ) ( + ). Reducr la expresón: Autevaluacón - 9 W = a) b) - c) d) 0 e) - a) 70 b) 50 c) 90 d) 0 e) 50. E l v a l r d e (- es: - ) n +, dnde n es enter y pstv 8. S la gráfca del númer cmplej: Z a a) - b) ; a IR + - a d) - e) en el que se muestra en la fgura, el valr de a es: Im z 0 Re - e c). Calcular x - y s se cumple: (-) + (-) + (-) 6 + (-) 8 = x + y sugerenca, buscar en cada paréntess ( - ) a) 6 b) 5 c) d) e) a) b) - c) d) - e) 9. A partr de: ( + ) + ( + ) + ( + ) 6 + ( + ) 8 = x + y Calcular: dnde: = - x y x - y. Calcular el valr de: dnde: = - sugerenca, empezar a calcular ls móduls de adentr haca afuera. a) 85 b) 85 c) 7 d) 7 e) 6 a) d) 6 b) e) 5. Calcular el valr de a para que el cmplej: c) 5 - a sea magnar pur. 0.S: z C, hallar Z en: z - 5 z - 8 z - z - 8 a) b) - c) 0 d) - e) a) b) + 9 c) d) e) -

9 AÑO Númers Cmplejs II Frma plar t rgnmét rca de un númer cmplej Ejempl: Hallar la frma trgnmétrca de: Sea: Z = a + b decr: Z 0., un númer cmplej dferente del nul. Es Z = - + Eje magnar Z De la fgura: a = Z cs ; b = Z sen dnde: a Z = a + b b Eje real tan = b a entnces: Z = a + b Z = Z cs + Z sen Z = Z (cs + sen) Observacón: al ángul se le denmna el argument del cmplej Z dentad pr: Arg(Z), es decr: Arg(Z) =. puede tmar nfnts valres cm: = ; = + ; = + ;... Argument prncpal de un númer cmplej De tds ls valres de ; elejms aquel que se encuentra en el nterval [0; > es decr: 0 < ; a dch se le denmna argument prncpal, cuya ntacón es: Observacón: Arg(Z) = - Al argument de Z tambén se le denmna Ampltud. - El argument es el ángul generad pr el rad vectr al grar en sentd anthrar desde el eje real pstv haca un punt cualquera del rad vectr. Slucón: Gráfcamente: Lueg: Z = - Z = tan = - + Z = - + Observacón: - = - = 0 - Z = (cs0 + sen0 ) - Para calcular el argument prncpal de Z se debe bservar en qué cuadrante se encuentra el afj de Z y lueg calculams a partr de: tan = - b a - Otra ntacón que se emplea frecuentemente al expresar un númer cmplej en su frma plar es: Z = Z (cs + sen) = Z c s Así: Z = 5 cs sen = 5c s Operacnes cn númer cmplejs Dads ls númers cmplejs: Z = Z (cs + sen) W = W (cs + sen)

10 Multplcacón para: k = 0; ; ;...; (n - ), se btenen las n raíces. Ejempl: Z.W: Dvsón Ejempl: Z W: ZW = Z W (cs( + ) + sen( + )] ZW = Z W c s( + ) Z = (cs5 + sen5 ) W = (cs0 + sen0 ) Ejempl: Hallar las tres raíces de: Slucón: Z = = + 0 Z 0 ZW = 6[cs(5 + 0 ) + sen(5 + 0 )] 0 k 0 k = 6[cs5 + sen5 ] = cs sen = cs0 k + sen0 k Z Z W = [cs( - ) + sen( - )] W S: k = 0 Prmera raíz: cs0 + sen0 = S: k = Segunda raíz: cs0 + sen0 = Z Z W = W c s( - ) - cs60 + sen60 = - + Z = 8 (cs65 + sen65 ) W = (cs5 + sen5 ) S: k = Tercera raíz: cs0 + sen0 = Fnalmente: - cs60 - sen60 = - - Z 8 W = [cs(65-5 ) + sen(65-5 )] = (cs0 + sen0 ) = - w Ptencacón (Terema de Mvre) - - w Ejempl: Dad: Calcular: Z 9 Slucón: Radcacón Z n = Z n (csn + senn) Z n = Z n c sn Z = (cs0 + sen0 ) Z 9 = [(cs0 + sen0 )] 9 Z 9 = 9 [cs80 + sen80 ] Z 9 = 5(cs80 + sen80 ) Gemétrcamente: Prpedades w w. = w dnde: w = w w Eje magnar Eje real La raíz de un cmplej es en frma general, tr cmplej. La suma de las tres raíces cúbcas de la undad es gual y tene tantas slucnes cm l ndque el índce de la a cer. raíz. n Z k cs sen k + w + w = = 0 n Z = n n + w + w = 0

11 Z = r (c s. = w w =. En general w elevad a una ptenca múltpl de tres es gual a la undad. w n = ; n IN Frma expnencal de un cmplej Terema de Euler e = cs + sen dnde: e: es el númer de Euler: e, : argument en radanes = (0; ) Entnces tenems una nueva representacón para el cmplej. Slucón: Sea: Calculand: + sen) Z = r(cs - sen) Z = r[cs(-) + sen(-)] Z Z r(cs sen) = r[cs(-) sen(-)] = cs + sen dat: argument = 60 = 60 = 0 Además: Lueg: (ZZ) = (Z) = Z = r = 6 r = Z = Z = Z = = (cs0 + sen0 ) = + Z = Z = Z = Z (cs + sen) = Z e. Reslver: Ejempl: (Z - ) n = (Z + ) n Expresar: Z = + ; en la frma expnencal. Dnde: Z C; n ZZ + Slucón: Slucón: Calculams el módul de Z: n (Z - ) n = (Z + ) n Z - = Z = Z = Z Calculams el argument prncpal: Z - n Z = = arctan = arctan = arctan() = Aplcand prprcnes: - (Z - ) (Z ) n Z = e (Z ) - (Z - ) = - n Prblemas resuelts. Calcular: Slucón: Z = (cs0 - sen0 ) Z = [cs(-0 ) + sen(-0 )] Z = cs(-0 ) + sen(-0 ) Z = cs(-0 ) + sen(-0 ) Z = cs0 - sen0 Calculand: en : Z = Z = - - Z =. El ccente de ds númers cmplejs, cnjugads entre sí, tene argument 60 y el cnjugad del cuadrad de su prduct tene módul 6. Hallar ambs númers cmplejs. n Z = - n ( ) - n k = e n k (e n ) k - e n dnde: k = 0; ; ;...; (n - ). Reducr: [(cs 7 sen7)] 8 [(cs 8 sen8)] 9 [(cs 9 sen9)] 0 [(cs sen)]

12 Slucón: 8 (cs 56 sen56) 9 (cs 7 sen7) 0 (cs 90 sen90) (cs 8 sen8) Ordenand: = [cs(56 7) sen(56 7)] 0. [cs(90 8) sen(90 8) 6 - = + ; - ; ; - ; - + ; ( ) 8. 9 [cs 8 sen8] ( ) 0. [cs 98 sen98] [cs(8-98 ) + sen(8-98 )] [cs0 + sen0 ] 6. S:, w, w sn las tres raíces cúbcas de la undad. Calcular el valr de: R = ( + w - w )( + w - w )( + w - w 8 ) ( + w 8 - w 6 )... 6n factres Slucón: Reducend las ptencas, cnsderand que: w n =, tendrems: + R= ( w - w )( w - w)( w - w ) Hallar las ses raíces de 6 "6n" factres -. bservams que ls factres se repten en frma alternada, rdenand: Slucón: R = ( w - w )...( w - w)... Z = - Z = "n" factres "n" factres = R = ( + w - w ) n ( + w - w) n Recrdand: - + w + w Z = [cs + sen] = 0 w -w w -w 6 k k 6 cs sen Reemplazand valres: Z = 6 6 (-w - w ) n (-w - w) n = (-w ) n (-w) n cm: = 80 [(-w )(-w)] n = (w ) n 6 Z = cs0 (k + ) + sen0 (k + ) R = n Para: k = 0 cs0 + sen0 = + Para: k= cs90 + sen90 = Para: k = cs50 + sen50 = -cs0 + sen0 Blque I Prblemas para la clase. Cuánts cmplejs están puests en frma plar trgnmétrca: I. Z = [cs80º + sen60º] = - + II. Z = -[cs0º + sen0º] III. Z = - [cs0º + sen80º] IV. Z = [cs + sen ] Para: k = cs0 + sen0 = -cs0 - sen0 = - - a) I, II, III b) II y III c) I y IV d) Sól IV e) N.A. Para: k = cs70 + sen70 = -. Expresar: Z = +, en frma plar. Para: k = 5 cs0 + sen0 = cs 0 - sen0 a) [cs + sen ] b) [cs + sen ]

13 c) [cs 6 + sen 6 ] d) [cs + sen ] b) [cs + sen ] e) [cs0º + sen0º]. Expresar: Z = +, en frma plar. a) [cs 5 + sen 5 ] 6 6 b) [csp + senp] c) [cs 5 + sen 5 ] d) [cs + sen ] e) N.A. 7 7 c) 8[cs + sen ] 5 5 d) 6[cs + sen ] e) N.A. 7. Hallar e ndcar una de las tres raíces cúbcas de la undad: a) - + b) - + c) - d) e) +. Sean ls cmplejs: 8. Hallar la frma plar del cmplej: Z = [cs + sen ] 6 6 Z = + Z = [cs + sen ] hallar: (Z Z ) a) [cs + sen ] b) [cs + sen ] 6 6 c) 6[cs + sen ] d) [cs + sen ] a) [cs + sen ] b) [cs + sen ] 6 6 e) N.A. c) [cs + sen] d) [cs + sen] e) N.A. 9. Hallar la frma plar del cmplej: 5. Sean ls cmplejs: Z = - - Hallar: Z Z a) [cs + sen ] 6 6 b) [cs(- ) + sen(- )] 6 6 c) [cs + sen] Z = [cs + sen ] a) cs b) cs c) 6cs Z = [cs + sen ] 6 6 d) cs e) N.A. 0.Hallar la frma plar de: Z = a) cs b) - cs c) cs d) cs e) cs Blque II d) [cs + sen ]. Expresar en frma expnencal el cmplej: e) N.A. Z = + 6. Sea el cmplej: Z = ( + ) hallar "Z 7 " en frma plar. a) 8[cs + sen ] a) e b) e c) e d) e e) N.A.

14 Z. Expresar: Z = - + en frma expnencal. a) e b) e 6 - d) e e) e. Sean ls cmplejs: Hallar Z.Z a) e d) 8e e) N.A.. Sean ls cmplejs: Z = [cs + sen ] 6 6 Z = 8 [cs + sen ] b) e c) 6e Z = cs 7. Hallar la frma expnencal del cmplej: = + a) e 6 b) e 6 c) e 6 c) e 6 d) e 6 e) e 8. Hallar la frma expnencal del cmplej: Z = - - a) e d) e b) e e) e c) e 9. Hallar el módul de: Z = + cs06º + sen06º a) b), c), d), e),5 0.Calcular: P = - a) e Z = cs 6 d) e e) e - b) e c) e Z Hallar: Z a) e 6 d) e 5. Sea: Z = + Hallar Z 0. 7 a) 0e b) e 6 e) N.A. 6 b) 0e d) 0e e) N.A. c) e Blque III. Reducr: send: N (cs7º )(cs70º )(5cs8º ) 0(cs7º )(cs85º )(cs78º ) cs = cs + sen a) b) c) cs80º d) e) N.A.. Efectuar: M (cs0º ) (cs0º ) (5cs5º ) 0 (cs0º ) (5cs0º ) (csº ) c) 0e a) 9 + b) + 9 c) + d) + e) Hallar e ndcar una de las tres raíces cúbcas de la undad:. S "W" es una raíz cúbca de la undad, reducr: E = + W + W + W + W W 997 a) - 8 b) - - c) - a) b) W c) W d) -W e) 0 d) - 6 e)

15 . Señale una raíz qunta de la undad: Autevaluacón a) - b) cs c) cs. La frma cartesana del sguente cmplej: 5 5 [cs 7 sen7] [ (cs 8 sen8] d) cs e) cs (cs 7 sen7) 8 es: 5. Reducr: L e e - e - - e a) + b) + c) + d) + e) N.A.. Sea el cmplej: a) b) - c) d) - e) e 6. Calcular "a" en la gualdad: a calcular: Z 6 a) e b) e c) e. Expresar: Z =, en su frma trgnmétrca. d) e) - 7. Reducr: a) [cs + sen ] b) [cs - sen ] W W 7 + W W 5 + W 5 + W 9 send:, W, W las tres raíces cúbcas de la undad. c) [sen + cs ] d) [sen - cs ] a) b) c) e) [cs + sen] d) e) 0 Z = + - d) - e) - a) b) c) 8. Calcular el área que genera el cmplej "Z" s se cumple: Z 5. Expresar: Z = +, en su frma expnencal. a) u b) c) 9 a) d) 8 e) 9. Calcular: e b) d) e e) e c) e e E 7 [(W ) 6 (W ) 6 ] send "W" una raíz cúbca de la undad. a) 0 b) c) d) e) 0.S:, W, W sn las raíces cúbcas de la undad, calcular: R = ( + W - W )( + W - W )( + W - W 8 )... "8n" factres 5. Indcar verdader (V) fals (F): I. [r(cs + sen)] n = n(csr + senr) II. cs = sen + cs III. cs - sen = e - a) VFV b) FFF c) FVV d) VVV e) FFV a) b) n c) n d) n e) 9n