GESTIÓN ACADÉMICA PLAN DE ASIGNATURA GUÍA DIDÁCTICA

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1 PÁGINA: 1 de 7 Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: 9º Periodo: 2º Docente: Esp. BLANCA ROZO BLANCO Duración: Área: Matemática Asignatura: Matemática ESTÁNDAR: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. EJE(S) TEMÁTICO(S): NUMEROS COMPLEJOS ORIENTACIONES 1) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía (seguir correctamente las instrucciones dadas, 3) consulta de términos desconocidos en la guía 4)Explicación por parte del docente 5)Desarrollo del taller asignado en grupo. atención y concentración durante las explicaciones, ( leer comprensivamente, orden, pulcritud.) 6) Se valorarán todos los momentos de la guía EXPLORACIÓN Tenemos el siguiente diagrama: Las funciones son: CC: Cambiar Color. R: Rotar a la esquina-izquierda Ahora, seleccionar la respuesta correcta (A, B, C, D) del siguiente eje. El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano ( ) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término número complejo fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss ( ) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y

2 PÁGINA: 2 de 7 mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos. CONCEPTUALIZACIÓN (Teoría) DEFINICIÓN. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra Ϲ al conjunto de los pares de números reales Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a= 0 El conjunto de los números complejos esta conformado por el conjunto de los números Reales y el de los números imaginarios. NÚMEROS IMAGINARIOS Un número imaginario se denota por bi, donde : b es un número real y i es la unidad imaginaria. Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x = 0 Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos. Ejemplos: 1 + i i i π + πi 2 + i/2 NUMEROS REALES PUROS. Cómo se calcula el valor de -1? Aplicando las propiedades de la radicación se tiene que: -1 = 1(-1) = ( 1 ) ( -1 = 1-1. El factor -1 es la unidad imaginaria y se representa con i, Por tanto -1 = i Ejemplo: Hallar el valor de: 1) 2) -16 = 16 (- 1) = ( -16) ( -1 ) = 4-1 = 4i Propiedad interesante La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:

3 PÁGINA: 3 de 7 Son, i i = -1,... después -1 i = -i,... después -i i = 1,... después 1 i = i de vuelta i! AMPLIA TUS CONOCIMIENTOS i 0 = 1 ; i 1 = i ; i 3 = i ; i 4 = 1 i = -1. i 2 = ( -1) 2 = -1 i 3 = i 2.i = -1. i = -i i 4 = i 2. i 2 = = 1 Conclusión Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. i 22 i 22 = (i 4 ) 5 i 2 = 1 i 27 = i Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario). Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos. Número complejo Parte real Parte imaginaria 3 + 2i i 0-6 El orden es importante, ya que en general (a,b) Normalmente un número real ( x,0) escrito sólo como x, y la unidad imaginaria i= (0,1), sólo es escrita como, la cual tiene la propiedad que i 2 = 1.. El conjugado de un número complejo z = (a,b)es denotado como o está definido como Ejemplo. Si, entonces y si, entonces. Una forma más cómoda de denotar a un número complejo z = (a,b) será Se define cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS SUMA Y RESTA La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

4 PÁGINA: 4 de 7 (5 + 2 i) + ( i) (4 2i ) = = (5 8 4) + ( )i = 7 + RESTA Otro modo de restar números complejos es sumar el opuesto PRODUCTO POR ESCALAR MULTIPLICACIÓN Igualdad A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguiente: División DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador ; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO. Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa: 1) Por el punto (a,b), que se llama su afijo, 2) Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b). z

5 PÁGINA: 5 de 7 Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y. ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN (Taller: Tener en cuenta competencias - Glosario) GLOSARIO: Consultar en el diccionario el significado de: Complejo-imaginario, conjugado-inverso- vector Realiza las siguientes sumas de números complejos: (-5+3i) + (6+4i) (3+i) + (1-3i) (7+2i) + (-7-4i) (0.5-4i) + (-1.5-i) ) Efectuar las siguientes operaciones: a) i i = b) i i - (3-2.i) = c) 2 + i i - (2 + 3.i i) = Realiza las siguientes restas de números complejos y anota los resultados: a) (-5+3i) - (6+4i) b) (3+i) - (1-3i) c) (7+2i) - (-7-4i) d) (0.5-4i) - (-1.5-i) Realiza las siguientes divisiones de números complejos y anota los resultados: a) (5+i)/(-2-i) b) (-6+10i)/(5i 3) c)(4-2i)/i Calcula: Resuelve: ; Comprueba si (-4 + 3i) es solución de la ecuación x 2 + 8x + 25 = 0

6 PÁGINA: 6 de 7 Representa gráficamente los siguientes números complejos:,,,,,, Realiza las siguientes operaciones con números complejos: Halla el valor de x en la siguiente expresión para que sea un número complejo imaginario puro Halla el valor de x en la expresión 3-2xi para que: 4 +3i a) sea un número complejo imaginario puro b) sea un número complejo real puro Dado el número complejo, halla el valor de x para que el módulo de z valga 2 SOCIALIZACIÓN 1) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas. 3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes. 5) Revisión de corrrecciones. 6) Revisión del trabajo desarrollado COMPROMISO (Actividades extracurriculares consultas trabajos) 1) Consultar: En que consiste: INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO POTENCIA DE UN COMPLEJO Definición y ejercicios. 2) Dados los siguientes complejos: a) z 1 = i b) z 2 = i c) z 3 = 1-2.i d) z 4 = i e) z 5 = -3-3.i Investiga y explica qué ocurre cuando se multiplica un complejo cualquiera por el número i... se multiplica un complejo cualquiera por un número real (con parte imaginaria nula)... se multiplica un complejo cualquiera por su conjugado Resolver:

7 PÁGINA: 7 de 7 4) Realiza los siguientes productos de números complejos: (-2-2i).(1+3i) (2+3i).(3-6i) (-1-2i).(-1+2i) 5) Realiza las siguientes divisiones de números complejos: (2+4i)/(4-2i) (1-4i)/(3+i) (5+i)/(-2-i) (-6+10i)/5 (4-2i)/i 6) Investiga y explica qué ocurre cuando se divide un complejo cualquiera por su opuesto... se divide un complejo cualquiera por un número real (con parte imaginaria nula)... se divide un complejo cualquiera por la unidad imaginaria i 7) Calcule: (a) 3 i, (b) 4 i, (c) 5 i, (d) 1 i 1, (e) 2 i ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES Esp. Blanca Rozo Blanco Lic. Yaira Liceth Rincón CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico DD MM AAAA DD MM AAAA DD MM