INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO AGRICOLA JORNADA DIURNA GUÍA DE TRABAJO # 3

Transcripción

1 AREA: MATEMÁTICAS AGISNATURA: ARITMÉTICA GRADO: SEXTO Instrucciones. Lee cuidadosamente los conceptos, los ejemplos y desarrolla los ejercicios propuestos. No olvides guardar esta guía de trabajo en tu carpeta. TEMA: TEORIA DE NUMEROS Los números naturales surgen de dos necesidades básicas del hombre primitivo: contar y ordenar. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29..α} El conjunto de los números naturales se simboliza por la letra N. En el conjunto de los números naturales se definen las siguientes operaciones: adición (suma), sustracción (resta), multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. Adición de números naturales: La adición en el conjunto de los números naturales cumple con las siguientes propiedades: Clausurativa: La suma de dos números naturales da como resultado otro número natural. Ej: = = = = 102 Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. La suma de dos números naturales da el mismo resultado si la suma se voltea. Ej: = = = = 7 18 = = 36 Asociativa: La sumas se pueden asociar de diferentes maneras y su resultado seguirá siendo el mismo. Ej: 2 + (5 + 3) = (2 + 5) (3 + 4) = (9 + 3) = = = = 16 Modulativa: Todo número sumado con cero da como resultado el mismo número. Ej: = = = = 5 8 = 8 23 = 23 Ejercicio: Resolver cada ejercicio y colocar al frente la propiedad que se cumple en cada caso. a = b =

2 c = d. 8 + (15 + 3) = (8 + 15) + 3 e = f ( ) = ( ) + 83 Sustracción de números naturales: la sustracción es la operación inversa a la adición. Ej: 13 8 = 5 porque = 13 Ejercicio: Si a, b, c, d, e, f Є N y además, a + b = 5, c + d = 13 y e + f = 19. Hallar el valor de las siguientes sumas: 1) a + c + d + b = a + b + d + b se organizan por pares según el enunciado. = (a + b) + (c + d) se aplica la propiedad asociativa = se remplazan los valores de las asociaciones = 18 2) a + e + b + f = a + b + e + f se organizan por pares según el enunciado. = (a + b) + (e + f) se aplica la propiedad asociativa = se remplazan los valores de las asociaciones = 24 Ejercicio: Resuelve, Si a, b, c, d, e, f Є N y además, a + b = 20, c + d = 34 y e + f = 10. Hallar el valor de las siguientes sumas: 1) a + c + d + b = se organizan por pares según el enunciado. = se aplica la propiedad asociativa = se remplazan los valores de las asociaciones = 2) a + e + b + f = se organizan por pares según el enunciado. = se aplica la propiedad asociativa = se remplazan los valores de las asociaciones

3 = Ejercicio: Si a = 1019, b = 3545, c = y d = 8940 efectuar las siguientes operaciones: 1) a + b + c + d = se reemplazan los valores = ( ) + ( ) se aplica la propiedad asociativa = se efectúan las sumas indicadas = ) (a + c) (b + d) = ( ) ( ) se reemplazan los valores = se efectúan las sumas indicadas = 1551 se efectúa la resta indicada Ejercicio: Resuelve, Si a = 3548, b = 8457, c = y d = 8457 efectuar las siguientes operaciones: 1) a + b + c + d = se reemplazan los valores = se aplica la propiedad asociativa = se efectúan las sumas indicadas = 2) (a + c) (b + d) = se reemplazan los valores = se efectúan las sumas indicadas = se efectúa la resta indicada Ejercicio: Hallar el término que cumple la igualdad a = 536 b = 603 c = 190 d = 753 e. (97 + 3) + = 1100 f. ( - 25) + 36 = 71 g (36 + ) = 835 h = 18 i ( ) = 138

4 Unir con líneas las expresiones que dan el mismo resultado 1) a ) b (60 2) 3) ( ) + 16 c ) 93 + (36 25) d (105 32) 5) ( ) 157 e. (93 6) 4 6) f Multiplicación de números naturales En la operación 7 x 4 = 28, 7 y 4 son los factores y 28 es el producto. Propiedades de la multiplicación de números naturales: Clausurativa: Dos números naturales que se multiplican dan como resultado otro número natural. Ej: 9 x 4 = x 2 = 20 3 x 4 = 12 Conmutativa: El orden de los factores no altera el resultado. Ej: 9 x 4 = 4 x 9 7 x 2 = 2 x 7 8 x 7 = 7 x 8 15 x 3 = 3 x = = = = 45 Asociativa: Los factores se pueden asociar de diferentes formas y da el mismo resultado. Ej: 2 x (5 x 4) = (2 x 5) x 4 5 x (3 x 2) = (5 x 3) x 2 6 x (8 x 5) = (6 x 8) x 5 2 x 20 = 10 x 4 5 x 6 = 15 x 2 6 x 40 = 48 x 5 40 = = = 240 Modulativa: Todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo número. Ej: 7 x 1 = 1 x 7 6 x 1 = 1 x 6 42 x 1 = 1 x x 1 = 1 x 84 7 = 7 6 = 6 42 = = 84 Distributiva: Si a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Ej: 5 x (6 + 4) = La propiedad distributiva se identifica porque es la única que combina multiplicación y suma. Se resuelve teniendo en cuenta la ecuación: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) a los tres números de la operación se le dan los tres valores a, b y c en su orden. Ej: 5 x (6 + 4) =

5 5 x (6 + 4) = a = 5, b= 6 y c= 4 a x (b + c) = (a x b) + (a x c) remplazo los valores en la ecuación 5 x (6 + 4) = (5 x 6) + (5 x 4) resuelvo las operaciones que están dentro de los paréntesis 5 x 10 = multiplico y sumo 50 = 50 debe haber igualdad. 7 x (3 + 5) = a= 7, b= 3 y c= 5 a x (b + c) = (a x b) + (a x c) remplazo los valores en la ecuación 7 x (3 + 5) = (7 x 3) + (7 x 5) resuelvo las operaciones que están dentro de los paréntesis 7 x 8 = multiplico y sumo 56 = 56 debe haber igualdad. 12 x ( ) = a= 12, b= 56 y c= 23 a x (b + c) = (a x b) + (a x c) remplazo los valores en la ecuación 12 x ( ) = (12 x 56) + (12 x 23) resuelvo las operaciones que están dentro de los paréntesis 12 x 79 = multiplico y sumo 948 = 948 debe haber igualdad. Ejercicio: Resolver cada ejercicio y colocar al frente la propiedad que se cumple en cada caso. a. 5 x 9 = 9 x 5 b. 36 x 1 = 1 x 36 c. 75 x 26 = d. 4 x (5 x 3) = (4 x 5) x 3 e. 8 x (7 + 3) =

6 Si a, b, c, d, e, f Є N y, además a x b = 20, c x d= 12 y e = 5, utilizar las propiedades de la multiplicación para hallar el valor de las siguientes multiplicaciones. 1) a x e x b 2) a x c x b x d = (a x b) x e asocio las letras según el enunciado = (a x b) x (c x d) = 20 x 5 remplazo los valores = 20 x 12 = 100 realizo la operación = 240 Ejercicio: Ahora tu, Si a, b, c, d, e, f Є N y, además a x b = 15, c x d= 24 y e = 10, utilizar las propiedades de la multiplicación para hallar el valor de las siguientes multiplicaciones. 1) a x e x b 2) a x c x b x d x e División de números naturales: La división es la operación inversa a la multiplicación. En la división se presentan 2 casos dependiendo del residuo. Estos casos son: división exacta y división inexacta. o División exacta: es la operación donde el residuo es 0 Ej: Ejercicio: realiza las siguientes divisiones

7 o División inexacta: es la operación donde el residuo no es 0 Ej: Ejercicio: realiza las siguientes divisiones Propiedades de la división: la división es el conjunto de los números naturales, cumple únicamente con la propiedad Distributiva. La división es distributiva con respecto a la suma y la resta. Así: (a + b) c = (a c) + (b c) primer caso (a - b) c = (a c) - (b c) segundo caso Ejemplo: ( ) 3 = la operación que hay dentro del paréntesis es una suma, luego es primer caso Antes de comenzar bautizo los elementos ( ) 3 = bautizo los elementos e identifico el caso (a + b) c = (a c) + (b c) remplazo los valores en el primer caso ( ) 3 = (27 3) + (30 3) resuelvo las operaciones dentro de los paréntesis 57 3 = divido y sumo 19 = 19 debe haber igualdad (40-15) 5 = bautizo los elementos e identifico el caso (a - b) c = (a c) - (b c) remplazo los valores en el segundo caso (40-15) 5 = (40 5) - (15 5) resuelvo las operaciones dentro de los paréntesis 25 5 = 8-3 divido y sumo 5 = 5 debe haber igualdad ( ) 4 = bautizo los elementos e identifico el caso (a + b) c = (a c) + (b c) remplazo los valores en el primer caso ( ) 4 = (48 4) + (16 4) resuelvo las operaciones dentro de los paréntesis 64 4 = divido y sumo 16 = 16 debe haber igualdad

8 ( ) 7 = bautizo los elementos e identifico el caso (a - b) c = (a c) - (b c) remplazo los valores en el segundo caso ( ) 7 = (364 7) - (147 7) resuelvo las operaciones dentro de los paréntesis = divido y sumo 31 = 31 debe haber igualdad Ejercicio: Ahora hazlo tú, resuelve a. ( ) 6 = b. (64 24) 8 = c. ( ) 12 = d. ( ) 7 = e. ( ) 5 = f. ( ) 4 = g. ( ) 36 = h. ( ) 5 = Problema resuelto: Un granjero tiene 952 gallinas; cada gallina pone 2 huevos diarios. Cuántos huevos pondrán en 30 días? Si el granjero desea empacar los huevos en cajas de a 15 huevos en cada una. cuántas cajas saldrán? Solución: Para determinar cuántos huevos pondrán las gallinas en un mes, se plantea la siguiente expresión: 952 x 2 x 30 = huevos

9 Para saber cuántas cajas saldrán se resuelve la expresión: = 3808 cajas Luego, las gallinas pondrán huevos al mes y el granjero podrá empacarlos en 3808 cajas. TALLER PARA DESARROLLAR # 1 1. MODELACIÓN. Agrupar y cambiar el orden de los términos para poder calcular las sumas mentalmente a = b = c = d = e = f = g = h = i = 2. RAZONAMIENTO. Escribir en el recuadro = o = según corresponda. a b c d e. 34 (7 + 8) (34 7) + 8 f. 93 (25 3) (93 25) RAZONAMIENTO. Determinar el valor de cada expresión teniendo en cuenta las condiciones. a. m + n + t + s = si m + n = 6 y t + s = 12 b. a + b + c + d = si a + d = 12 y b + c = 15 c. x + z + n +w + p + k + l = si x + z = 12, n + k = 8, w + l = 20 y p = 5 d. a + m + n t + b j = si a + m = 20, n t = 15 y b j= l e. t + s + a + b + w + x = si w + s = 12, a + b = 20 y t + x = EJERCITACIÓN. Colocar al frente de cada ejercicio la propiedad que representa y resolver. a = b = c = d =

10 5. EJERCITACIÓN. Unir las expresiones que dan el mismo resultado. a g b h (60 2) c. ( ) + 16 i d (36 25) j (105 32) e. ( ) 157 k. (93 6) - 4 f l TALLER PARA DESARROLLAR #2 1. RAZONAMIENTO. Completar la siguiente tabla. Dividendo Divisor Cociente Residuo EJERCITACIÓN. Marca con x la división que exacta

11 GUÍA DE TRABAJO #3 3. MODELACIÓN. Encontrar el factor desconocido. a. 36 x = 72 e. x 21 = 1323 b. 46 x = 184 f. x 75 = 375 c. 38 x = 342 g. x 7 = 315 d. 23 x = 1081 h. x 9 = EJERCITACIÓN. Resolver en hojas anexas cada división aplicando la propiedad distributiva. a. (45 + 5) 5 b. (35 7) 7 c. ( ) 2 d. ( ) 3 e. ( ) 11 f. ( ) 8 g. ( ) 29 h. ( ) 77 i. ( ) 3 j. ( ) 5 k. ( ) 35 l. ( ) PROBLEMA. Resolver por detrás: a) Se quiere colocar 150 fotos en un álbum. En cada página se pueden colocar 8 fotos. Cuántas páginas se pueden llenar? Cuántas fotos más se necesitarán para completar otra página? b) 1200 personas esperan para ver una exposición de arte. Se permite el ingreso a 35 personas cada 20 minutos. Si la exposición está abierta durante ocho horas, Podrán entrar las 1200 personas?