TEMA 11 DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA. LA NORMAL

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1 Tema Distribciones de variable contina. La normal Mate CCSSI º Bach. TEMA DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA. LA NORMAL FUNCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES CONTINUAS EJERCICIO : La sigiente gráfica corresonde a la fnción de robabilidad de na variable contina, x : Calcla la robabilidad de qe x: a Sea menor qe. Esté entre. El área total bajo la crva es: Área a) Entre 0 tenemos n traecio cas bases miden, s altra es. S área será: Área Por tanto: x Entre Área Por tanto: tenemos n traecio de bases x, de altra. S área será: EJERCICIO : La demanda diaria de n cierto rodcto es na variable contina x (medida en toneladas) ca fnción de robabilidad es la sigiente: Calcla la robabilidad de qe la demanda diaria de este rodcto sea: a) Serior a toneladas. Esté entre,5,5 toneladas. El área total bajo la crva es: a) Para x, tenemos n triánglo de base altra Por tanto: [ x > ] = =. S área es: Área

2 Tema Distribciones de variable contina. La normal Mate CCSSI º Bach. Entre, 5 tenemos n cadrado de lado : 7 Entre,5 tenemos n traecio de bases Entre, 5,5 el área es: Por tanto:,5 x,5 6 Área altra : Área 6 EJERCICIO : La estatra, en centímetros, de n gro de 00 ersonas viene reresentada en la sigiente gráfica: Calcla la robabilidad de qe na ersona elegida al azar entre esas cien: a) Mida más de 80 cm. Mida entre cm. El área total bajo la crva la hallamos smando el área de cada rectánglo: 5 0, ,6 0 0, a) El área de los dos últimos rectánglos es: 6 8 Por tanto: [ x > 80] = = 0, 00 Entre 70 85, el área es: , Por tanto: P [ 70 < x < 85] = = 0, EJERCICIO : El número de emleados de 0 emresas de na región viene reresentado en la sigiente gráfica: Calcla la robabilidad de qe, al elegir na emresa al azar entre esas 0, tenga: a) Más de 0 trabajadores. Entre 00 0 trabajadores. El área total bajo la crva la hallamos smando el área de cada rectánglo: a) El área de los dos últimos rectánglos es: Por tanto: [ x > 0] = = 0, Entre 00 0 el área es: Por tanto: [ 00 < x < 0] = = 0, 7 600

3 Tema Distribciones de variable contina. La normal Mate CCSSI º Bach. EJERCICIO 5 : La sigiente gráfica nos da na distribción de robabilidad de na variable contina, x: Calcla la robabilidad de qe x: a) Sea maor qe. Esté entre. Hallamos el área total bajo la crva: Entre, tenemos n traecio de bases 0 0 altra : Área Entre 5, tenemos n triánglo de base altra 0: Área 0 0 El área total será: a) x 0, 00 Entre, tenemos n traecio de bases 0 0, altra : Área 0 0 Entre, tenemos n traecio de bases 0 0 altra : Área Por tanto: [ < x < ] = = = 0, DISTRIBUCIÓN NORMAL N(0,) EJERCICIO 6 : Halla las sigientes robabilidades en na distribción N(0, ): a) z,7 0,6 z, c), z, a) z,7 z,7 z,7 0, 958 0, 08 0,6 z, z, z 0, 6 0, , 7 0, 775, z, z, z, z, z, z, z, c) 0, ,889 = 0,7698 EJERCICIO 7 : En na distribción N(0, ), calcla: a) z,8 z, c) 0,7 z, a) z,8 z,8 0,880 0, 90 z, z, z, 0, 98 0, 079 0, 7 z, z, z 0,7 z, z 0, 7 z, z 0, 7 0, , 76 0, 659 c)

4 Tema Distribciones de variable contina. La normal Mate CCSSI º Bach. DISTRIBUCIÓN NORMAL N(,) EJERCICIO 8 : El nivel de colesterol en na ersona adlta sana sige na distribción normal N(9, ). Calcla la robabilidad de qe na ersona adlta sana tenga n nivel de colesterol: a) Serior a 00 nidades. Entre 80 0 nidades. a) x z x 00 0, 67 z 0,67 0,786 0, x 9 z, z, z 80 x z, z z, z 0,990 0,8 0, 8 EJERCICIO 9 : Las ventas diarias, en eros, en n determinado comercio sigen na distribción N(950, 00). Calcla la robabilidad de qe las ventas diarias en ese comercio: a) Seren los 00 eros. Estén entre eros. a) x z x 00, 5 z,5 0,89 0, x x z 0, 5 z 0, 5 z z 0, 5 z z 0, 5 z 0,5987 0,8 0, HALLAR EL VALOR DE k CONOCIDA LA PROBABILIDAD, EN DISTRIBUCIONES NORMALES EJERCICIO 0 : En na distribción N(0, ), halla el valor de k en cada caso: a) z k 0, k z k 0, a) P[z k] 0, 9969 k, 7 k z k [z k] [z k] [z k] [z k] [z k] [z k] z k 0,985 0,985 [z<k] = 0, 995 k, EJERCICIO : En na distribción N(5, 6), halla el valor de k en cada caso: a) x k 0, x k 0, x 5 k 5 k 5 a) k 5 0,96 k 0, x 5 k 5 k 5 x k z x k z 0, 85 k 0,76 k 5 k 5 z 0,006 z 0, k 5,5 k,5 6 5 k 0 6

5 Tema Distribciones de variable contina. La normal Mate CCSSI º Bach. 5 APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL EJERCICIO : Un examen de 00 regntas admite como resesta en cada na de ellas dos osibilidades, verdadero o falso. Si n almno contesta al azar, calcla la robabilidad de qe acierte más de 60 resestas. Si llamamos x " número de resestas acertadas", entonces x es na binomial con n 00, qe tenemos qe calclar: x 60 (La media de x es n 50. S desviación tíica es nq 5). La calclamos aroximando con na normal: x es B 00, x' es N50, 5 z es N0, 60, z, 0,98 0,079 x 60 0, x 60 x ' 60,5 z z, 079 EJERCICIO : El 60 de na oblación de habitantes tiene los ojos oscros. Si elegimos al azar 50 ersonas de esa oblación, cál es la robabilidad de qe haa menos de 0 ersonas con los ojos oscros? Si llamamos x número de ersonas con los ojos oscros, entonces x es na binomial con n 50, 0,6, en la qe tenemos qe calclar x 0. La calclamos aroximando con na normal: La media de x es B x es n = 50 0,6 = 0, s desviación tíica es nq =, 6. 50; 0,6 x' es N0;, 6 z es N0, 9,5 0,6 0,59 0, 68 x 0 0, x 0 x ' 9,5 z z 0,08 z 0,08 z 0, 08 REPASO 68 EJERCICIO : La temeratra en grados Fahrenheit de na cierta localidad sige na distribción N68,. Calcla la robabilidad de qe la temeratra en esa localidad: a) Sere los 75 F. Esté entre 65 F 70 F. a) x x 75 z, 75 z, 75 0, , x x 70 0, 75 z 0, 5 z 0,5 z 0,75 z 0,5 z 0,75 z 0,5 z 0, 75,695 0,77 0, 69 0 EJERCICIO 5 : El % de na oblación adece na cierta enfermedad. Si elegimos al azar n gro de 00 ersonas de esa oblación, calcla la robabilidad de qe adezcan la enfermedad más de 5 de ellas. Si llamamos x nº de ersonas qe adecen la enfermedad, entonces x es na binomial con n 00 0,0, en la qe tenemos qe calclar x 5. La calclamos aroximando con na normal. La media de x es B x es n 00 0,0 8; s desviación tíica es nq 7, 68, ; 0,0 x' es N8;,77 z es N0,, en la

6 Tema Distribciones de variable contina. La normal Mate CCSSI º Bach. 6 5,5 8,77 x 5 x ' 5,5 z z,7 z,7 0,9966 0, 00 EJERCICIO 6 : La dración media de n determinado aarato eléctrico es de 0 años, con na desviación tíica de año. Si sonemos qe la dración de este aarato sige na distribción normal, calcla la robabilidad de qe: a Dre más de 5 años. b Dre entre 8 años. x es N0, z es N0, 5 0 a) x 5 z z 5 z z z z z z 8 x z z z 0,977 0, 977 0, 95 EJERCICIO 7 : La robabilidad de ganar en n sorteo diario es del %. Si jgamos drante 60 días, cál es la robabilidad de qe ganemos más de 0 veces? Si llamamos x "nº de días qe ganamos", Tenemos qe calclar x 0. tenemos qe x es B60; 0,0. Lo hacemos aroximando con na normal: n 60 0,0, ; nq, 08 Entonces: x es B 60; 0,0 x' es N,;,08 z es N0, 0,5,,08 Así: x 0 x' 0,5 z z 7,9 0 EJERCICIO 8 : En n institto ha 00 chicas 80 chicos. Calcla la robabilidad de qe en n gro de 0 almnas almnos haa mas de 0 chicos. Si llamamos x "nº de chicosen el gro de 0", chico 0, 7 tenemos qe x es B 0; 0,7, esto qe: Tenemos qe calclar n 0 0, 7, ; nq,7 x 0 ; lo hacemos aroximadamente con na normal: Entonces: x es B0; 0,7 x' es N,;,7 z es N0, 0,5,,7 Así: x 0 x' 0,5 z z, z, 0,990 0, 0096