ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

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1 V ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Página 9 Observa estas dos distribuciones bidimensionales: I II Asigna a cada una un coeficiente de correlación tomándolo de entre los siguientes valores: 0,; 0,; 0,; 0,; 0,92; 0,92; ; Responde razonadamente (observa que no se te pide que hagas operaciones, sino que razones a partir de las nubes de puntos). La correlación de I es fuerte y negativa. El único valor razonable de los que se muestran es 0,92 ( 0, es demasiado débil y solo sería si todos los puntos estuvieran alineados). La correlación de II es positiva pero débil. Su valor es 0,. 2 A 0 alumnos de una clase se les toman las siguientes medidas: x número de faltas de asistencia a clase en mes. y nota en matemáticas. x y a) Representa la distribución mediante una nube de puntos y calcula: x, y, q x, q y, q xy. b) Halla el coeficiente de correlación. c) Halla la recta de regresión de Y sobre X. d) Otro alumno de la misma clase que haya faltado vez, qué nota en matemáticas estimas que tendrá? Crees que es una buena estimación?

2 a) NOTA 0 FALTAS 0 x,, y,2 q x 2,, q y 2,82, q xy,8,8 b) r 0,8 2, 2,82,8 c) m yx 0,77 2, 2 Recta de regresión de Y sobre X: y,2 0,77 (x,) 8 y 0,77x + 8,9 d) y^() 0,77 + 8, 7,82 Se estima una nota de 7 u 8 puntos. Pero la estimación es mala, porque la correlación es demasiado baja como para hacer estimaciones fiables. Conocemos las siguientes probabilidades: P[A 0, P[A'» B' 0, P[B' 0,2 Calcula P[B, P[A «B y P[A» B. P [B P[B' 0,2 0,8 A'» B' [A «B' (Ley de Morgan) Por tanto: 0, P[A'» B' P[(A «B)' P[A «B 8 P[A «B 0, 0,9 P[A «B P[A + P[B P[A» B ,9 0, + 0,8 P[A» B P[A» B 0, + 0,8 0,9 0,2 2

3 BLOQUE A IV B Si en el dado sale, sacamos bola de B. Si sale otra puntuación, la sacamos de A. Calcula: P[ / P [ y P[ P[ P [ / Explica lo que significa la última probabilidad. P [ y P[ 0 P [no P [ /no 0 P [ y / + P [no y P[ P[ P [/ / (2,,,, ) P [ P [ P [no y P[ () P [ y /0 P[ /0 P [/ significa que sabemos que ha salido finalmente bola roja y nos preguntamos por la probabilidad de que en el dado hubiera salido. Por cada 00 personas con gafas o lentillas de un cierto colectivo, hemos atendido al color de ojos (Az, V, N, M). Alguno de los resultados se refleja en la siguiente tabla: GAFAS AZ V 20 N M TOTAL 2 LENTILLAS TOTAL 2 00 a) Completa la tabla. b) Calcula P [Az, P [GAFAS, P [Az y GAFAS. c) Calcula P [Az/GAFAS, P [GAFAS/Az. d) Explica por qué los sucesos GAFAS y Az son independientes.

4 a) AZ V N M TOTAL GAFAS 2 LENTILLAS 9 0 TOTAL b) P [AZ 20/00 0,20 P [GAFAS /00 0, P [AZ y GAFAS /00 0, c) P [AZ/GAFAS / / 0,20 P [GAFAS/AZ /20 0, d) Los sucesos GAFAS y AZ son independientes porque P [GAFAS/AZ P [GAFAS 0,, o bien porque P [AZ/GAFAS P [Az 0,20, o bien porque P [GAFAS y AZ P [GAFAS P [Az (0, 0,20 0,) Esto significa que la proporción de personas con ojos azules entre los que usan gafas es la misma que la proporción de personas con ojos azules respecto al total. En una distribución N(0, ) calcula: a) P[0,2 < z <, b) P[ 0,2 < z Ì, c) Calcula k para que: P[ k < z < k 0,90 z es N (0, ). a) P [0,2 < z <, P [z <, P [z < 0,2 f (,) f (0,2) 0,92 0,987 0,278 b) P [ 0,2 < z Ì, f (,) [ f (0,2) 0,92 + 0,987 0,22 0,2, c) P [ k < z < k 2 P [0 < z < k 2 [P [z < k 0, 2[f (k) 0, 2f (k) 0,90 + 2f (k) 0,90 8 f(k) 0,9 8 k, 2 k k

5 BLOQUE IV 7 En una distribución N(20, ) calcula: a) P[x 2 b) P[x < 2 c) P[9 Ì x Ì 2 x 20 x es N (20, ) 8 z es N(0, ) a) P [x 2 0, ya que las probabilidades puntuales son cero en las distribuciones de variable continua b) P [x < 2 Pz< P [z < 0,2 f (0,2) 0,987 [ [ c) P [9 Ì x Ì 2 P Ì z Ì P [ 0,2 Ì z Ì 0,2 f (0,2) ( f (0,2)) 2f (0,2) 2 0,987 0,97 8 En una distribución B(0; 0,) calcula: a) P[x 0, P[x, P[x > b) Los parámetros μ y q. B (0; 0,) 8 n 0; p 0,; q 0, ( ( ) ) 0 a) P [x 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, P [x 0, 0, 9 0 0, 0, 9 0,00 8 P[x 0 ó x 0,0 8 8 P[x > 0,0 0,97 b) μ np 0 0, q npq 0 0, 0, 2,, 9 La proporción de personas nacidas un 29 de febrero es /. a) Justifica por qué. b) Cuál es la probabilidad de que en una localidad de habitantes haya menos de 8 personas nacidas un 29 de febrero? a) 29 de febrero hay uno cada cuatro años. Cuántos días son?: + Así, P[29 de febrero.

6 b) Es una distribución binomial con n y p. En una B( ,, µ ,9 ) 0 q ,70 Podemos calcular las probabilidades a partir de la normal N (,9;,70). x es B , 8 x' es N(,9;,70) 8 ( 8 z es N(0, ) con z 7,,9 P [x < 8 P [x Ì 7 P [x' Ì 7, PzÌ P [z Ì,7,70 f (,7) 0,92 0,07 [ ) x',9,70 Es poco probable que haya menos de 8 personas nacidas un día tan singular. 0 a) Calcula k para que la siguiente tabla corresponda a una distribución de probabilidad: x i p i 0, 0, 0,2 0,7 2 k k b) Halla P[ Ì x i Ì. c) Calcula los parámetros μ y q. a) 0, + 0,0 + 0,2 + 0,7 + k + k 8 0, + 2k 8 k 0,2 x i p i 0, 0, 0,2 0,7 2 0,2 0,2 b) P [ Ì x i Ì P [ + P [ + P [ 0,2 + 0,7 + 0,2 0,2 c) μ Sp i x i,92 q Sp i x 2 i μ 2,7