y 0 = y p x y (0) = 1 Z px2 t + sinh (t) cosh (t) = 4 cosh 2 (t) cosh (t) dt = 4 cosh 2 (t) dt = 4 cosh arg sinh!

Transcripción

1 Pregunta. + 4 () Solución: d d + 4 d + 4d Integrando Z Z d + 4d Por una arte Z d ln jj or otra arte Z Z q sinh (t) + 4d 4 sinh (t) + 4 cosh (t) dt d cosh (t) dt Z q Z t + sinh (t) cosh (t) 4 cosh (t) cosh (t) dt 4 cosh (t) dt 4 arg sinh + 4 cosh arg sinh! + C arg sinh ln C + C q A + C Por lo tanto, ln jj ln C e ln(+ +4)+ +4+C e ln(+ +4) e +4 e C K e +4 Si queremos, or último, que () entonces K e +4 4K K 4 or lo que la solución que buscabamos se queda en e +4 Pregunta. Calcula la ecuación diferencial que caracteriza las traectorias isogonales que forman un ángulo de 6 radianes con las rectas C

2 Solución: Calculamos la derivada de obteniendo Como de la rimera ecuación C C C tenemos que A continuación sustituimos or resolvemos la ecuación tan 6 + tan Esta ecuación es una e.d. homogénea or lo que alicaremos el cambio z z + z obteniendo de donde z + z z + z z + z Resolviendo or searación de variables z z + z z + z z + z z z z + z dz d Z Z z + z dz d obtenemos arctan z ln z + ln () + C

3 deshaciendo el cambio arctan ln + ln () + C Pregunta. Hallar las traectorias ortogonales de la familia de arábolas a. Solución: Hallamos a como de la ecuación original tenemos que a Cambiamos or. Por lo tanto, la ecuación diferencial de las traectorias ortogonales buscadas tiene la forma, de donde. A continuación resolvemos la ecuación diferencial obtenida usando el método de variables searables! d d! d d Integrando o lo que es lo mismo 4 + C 4 + C que forma una família de elises. Grá camente hemos obtenido Pregunta 4. Resuelve + tan Solución: Srata de una ecuación homogénea. Realizamos el cambio z de donde z + z

4 Sustituendo en la ecuación Integrando la última ecuación Deshacemos el cambio z + z z + tan (z) z tan (z) dz d tan (z) tan (z) dz d cos (z) sin (z) dz d ln (sin (z)) ln + C sin (z) K z arcsin (K) arcsin (K) arcsin (K) Pregunta 5. Resuelve ( ) Solución: Hacemos el siguiente cambio obtenemos una ecuación de variables searables de donde o bien o bien d d d d d d d d d d d d!! C d d d d d d ln () ln () + C C C d Cd ln () C + D De C 4

5 Pregunta 6. Resuelve la ecuación ln () Solución: Multilicamos or a la ecuación + + (6 ln ()) Alicamos el cambio Con este cambio tenemos que $ t ln () d d d dt dt d t [ et ] t t d d d dt dt d d ( t) dt [ et ] t + ( t t) t donde t denota la rimera derivada de resecto d e t denota la segunda derivada de resecto d. Haciendo el cambio en la ecuación tenemos + + (6 ln ()) (t t) + t + (6 t) t (t t) + t t + (6 t) t t + t + (6 t) t + (6 t) Hemos obtenido una ecuación diferencial de segundo orden con coe cientes constantes. Resolvemos la ecuación t + (6 t) Homogénea asociada. La ecuación homogénea asociada es su ecuación característica tiene como soluciones t + m + m m i Por lo tanto la solución de la ecuación homogénea asociada es Particular de la comleta. Probamos con una solución de la forma Derivando dos veces tenemos h C cos (t) + C sin (t) t A + (At + B) (At + B) t A + A + (At + B) (At + A + B) 5

6 sustituendo en la ecuación comleta Simli cando nos queda t + (6 t) (At + A + B) + (At + B) (6 t) (At + A + B) (6 t) At + A + B 6 de donde, comarando ambos miembros de la igualdad tenemos A A + B 6 Resovemos el sistema obtenemos A ; B 7 Por lo tanto, la ecuación articular de la comleta es t + 7 t La solución general de la ecuación t + (6 t) es g h + C cos (t) + C sin (t) + t + 7 Deshacemos or último los cambios $ t ln () g C cos (ln ()) + C sin (ln ()) + ln () + 7 e ln() C cos (ln ()) + C sin (ln ()) + ln () + 7 Problema 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones + + t Solución: Consideramos en rimer lugar el sistema homogéneo que en forma matricial tiene la forma La matriz D A tiene un autovalor,, con multilicidad algebraica. 6

7 Los vectores roios asociados al valor roio son a b a b a b a Tomaremos como vector roio el v Ahora bien, ara obtener la solución del sistema homogéneo todavía es necesario encontrar otra solución linealmente indeendiente de Y Vamos a robar con una solución de la forma Y t + t + donde,, son constantes a determinar. Derivando resecto d + t + + t + sustituendo en el sistema + t + + t + + t + + t + + t + + t + se obtiene el siguiente sistema t + t + t + t + + t ( ) t con solución [ ; ; ; ], o escrito de otra forma B A B A B A + C A Si tomamos obtenemos la misma solución queníamos. Si tomamos tenemos t Y Como W (Y ; Y ; ) t et 6 et 7

8 entonces son linealmente indeendientes. Por lo tanto, Y C + C es una solución del sistema homogéneo. Buscaremos ahora una solución articular del sistema comleto or el método de variación de constantes. Es decir, buscamos una solución de la forma Y C (t) t + C (t) t o equivalentemente de la forma C (t) + C (t) C (t) C (t) t C (t) t Para obtener las funciones C (t) C (t) resolvemos el siguiente sistema C (t) C (t) t C (t) t mediante Cramer Por lo tanto C (t) C (t) t t et t et + t + t et t et t t C (t) t + t C (t) t Así la solución del sistema queda t + t + C t + + C t 8