OPCIÓN A. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva yy = llll (xx 11) que sea paralela a la. Solución:

Transcripción

1 Nota sobre la puntuación de las preguntas: Los puntos asignados a las distintas preguntas son orientativos. En muchos casos, las preguntas pueden contestarse de varias formas distintas y el corrector debe utilizar la puntuación asignada en las soluciones que aquí se presentan, como guía para la asignación de la puntuación definitiva. OPCIÓN A.- Consideremos la función ff(xx) = llll (xx ) definida en el intervalo [, ee + ]. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva yy = llll (xx ) que sea paralela a la recta que pasa por los puntos PP(, 00) y QQ(ee +, ). (, puntos) - La pendiente de la recta que pasa por PP y QQ es mm = 0 ee+ = ee - La pendiente de la recta tangente a ff(xx) en un punto de abscisa xx es ff (xx) = xx - Si la recta tangente a yy = ff(xx) y la recta PPPP son paralelas, sus pendientes deben ser iguales por lo que = xx = ee xx ee - Como ff(ee) = ln (ee ), el punto de la curva es (ee, ln(ee )) - Con el punto (ee, ln(ee )) y la pendiente ee piden yy ln(ee ) = (xx ee) ee escribimos la ecuación de la recta que nos.- Calcular las integrales indefinidas siguientes a) dddd (+) + b) xx (xx + ) 77 dddd (, puntos) dddd a) = (xx+) + dddd (xx+) + = dddd ( xx+ ) + = dddd (xx+ ) + = hacemos el cambio de variables xx+ =tt dddd=dddd y resulta = dddd tt + = arctan (t) + C = arctan (xx + ) + CC b) xx (xx + ) 7 dddd =, puntos hacemos el cambio de variables xx +=tt xx dddd=dddd xx dddd= dddd y resulta tt 6 = tt 7 dddd = + CC = 6 (xx +) 6 6 = 8(xx +) 6 + CC punto

2 .- Dado el sistema de ecuaciones xx aaaa = + aaaa = xx + = a) Estudiar su compatibilidad para los distintos valores del parámetro aa. (, puntos) b) Resolverlo para aa =. ( punto) a) Sistema de ecuaciones lineal no homogéneo. Llamemos AA a la matriz de coeficientes y MM a la matriz ampliada. Se tiene: aa 0 AA = aa AA = aa + = 0 aa = aa MM = aa 0 = Si aa 9, rrrrrrrrrr(aa) = = rrrrrrrrrr(mm) Sistema compatible determinado (solución única). --- Si aa = 9, entonces AA = 9 y MM = 9 0 En AA está el menor 9 0 = 0 rrrrrrrrrr(aa) = En MM debe considerarse el menor 9 = + = 0 por lo que el rrrrrrrrrr(mm) =. Luego rrrrrrrrrr(aa) = = rrrrrrrrrr(mm) < = nnº dddd iiiiiiógggggggggggg Sistema compatible indeterminado ( soluciones). b) Para aa = el sistema, que tiene solución única, es xx yy = xx + yy zz = xx + yy zz = 0 y el determinante de la matriz de coeficientes = 0 Resolviendo por Cramer (planteamiento de resolución correcto) xx = 0 0 = 0 0 = ; yy = 0 0 = 0 0 = 0 ; zz = 0 = 90 0 =

3 xx = + λλ.- Dadas las rectas rr yy = + zz = + λλ y xx + = 00 ss zz + ( + mm) = 00, se pide: a) Determinar si rr y ss son rectas paralelas. ( punto) b) Hallar el valor del parámetro mm para que las rectas rr y ss estén contenidas en un mismo plano. (, puntos) a) Si las rectas rr y ss fuesen paralelas, sus vectores directores serían proporcionales -- vector director de la recta rr uu = (,, ) ii jj kk -- vector director de la recta ss vv = 0 = ii + jj + kk = (,, ) 0 Como los vectores no son proporcionales las rectas no son paralelas. b) Como las rectas rr y ss no son paralelas, para estar contenidas en un plano deberían ser secantes, así que el sistema que forman sus ecuaciones tendría que ser compatible determinado. -- en rr λλ = xx = yy+ = zz xx 6 = yy + xx = zz rr xx yy = 7 xx zz = por lo que el sistema que se forma con las ecuaciones de las dos rectas es xx yy = 7 xx zz = xx + yy =. Si AA es la matriz de coeficientes y MM la matriz ampliada del sistema, yy zz = mm AA = y MM = mm 0 En AA el menor 0 = 0 rrrrrrrrrr(aa) = 0 Luego, para que el sistema sea compatible, el rrrrrrrrrr(mm) no puede ser así que MM 0 ª ffffffff ª ffffffff 0 + mm = 0 = 0 = 0 0 mm 0 mm 7 = ( ) + mm = mm + = 0 mm = = 0,7 puntos

4 OPCIÓN B.- Se considera la función xx + aa ssss xx ff(xx) = aaaa + bb ssss < xx 00 xx + ssss xx > 00 Determinar si existen valores de los parámetros aa y bb para los que ff(xx) sea derivable en todo R. Justificar la respuesta. (, puntos) i) Para que la función sea derivable en todo R, debe ser continua en todo. Ya lo es en R {, 0} porque las expresiones que definen ff(xx) son polinomios y funciones exponenciales que son continuas, por lo que solo es preciso analizar la continuidad en los puntos x= yx= Analizando la continuidad para x = f( ) = + a = + a lim ff(xx) = lim xx xx (xx + aa) = + aa = + aa () lim ff(xx) = lim xx + xx +(aaaa + bb) = aa( ) + bb = aa + bb () Para que exista lim xx ff(xx) debe ser ()=() + aa = aa + bb aa bb = --- Analizando la continuidad para x = 0 ff(0) = aa. 0 + bb = bb (*) lim ff(xx) = lim (aaaa + bb) = aa. 0 + bb = bb () lim ff(xx) = lim + +(xx + ) = () Para que exista lim ff(xx) debe ser ()=() bb = --- Sustituyendo el valor bb = en (*) resulta aa = aa = = aa = --- Para aa = y bb = la función ff(xx) queda ff(xx) = xx + ssss xx xx + ssss < xx 0 xx + ssss xx > 0 que es continua en todo R pues - en xx = lim xx ff(xx) = = ff( ) y - en xx = 0 lim ff(xx) = = ff()

5 ii) Derivabilidad.- En R {, 0 } la función es derivable y su derivada es xx llll ssss xx < ff (xx) = ssss < xx < 0 6xx ssss xx > 0 ff ( ) = llll ff + ( ) = Se tiene: como no son iguales ff(xx) no es derivable para xx = ff (0) = ff + (0) = 0 como no son iguales ff(xx) no es derivable para xx = 0 Luego, no existen valores de aa y bb para los que ff(xx) sea derivable en todo R..- La boca de un túnel tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo como se muestra en la figura. Encontrar las medidas del túnel que deje pasar más luz si el perímetro de la figura mide metros. (, puntos) Sea x el radio del semicírculo e yy la altura de lado recto lateral del túnel. Entonces El área total de la sección transversal del túnel es = + = π + AT A A x xy El perímetro es ( π + ) x P= πx+ x+ y = πx+ x+ y = y = (*) Sustituyendo en la ecuación del área ( π + ) x AT = πx + x = π x + x Calculamos la primera derivada e igualamos a 0 para despejar x

6 A' T = π x+ = 0 x= ; π + Llevando este valor de xx a (*) obtenemos las dimensiones del lado yy (*) yy = (ππ+) ππ+ = ( ππ+ ππ+ ) = (ππ+ ππ ) ππ+ = ππ+ = ππ+ kk.- Dada la matriz AA = 77 a) Para qué valores del parámetro kk la matriz AA tiene matriz inversa? ( punto) b) Hallar la matriz AA cuando kk toma el valor kk =. (, puntos) a) Debe ser AA 0 para que la matriz AA tenga matriz inversa kk AA = 7 = 7kk + + kk = kk kk 0 = 6 punto b) Para kk = AA = 7 AA = AA tt = AAAAAA(AA tt ) = 0 0 AA = AA AAAAAA(AAtt ) = , puntos xx = λλ.- Sean rr y ss las rectas rr yy = λλ zz = y ss xx = yy = zz. Calcular: a) La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto (00,, ). (0,7 puntos) b) Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas. ( punto) c) La ecuación del plano ππ que contiene a las rectas rr y ss. (0,7 puntos) 6

7 a) El vector dirección de la recta rr es uu = (,, 0). Como el plano buscado es perpendicular a la recta rr, un vector normal al plano sería el vector uu. Como además el plano pasa por el punto PP(0,, ), su ecuación será (xx 0) (yy ) + 0(zz ) = 0 xx yy + = 0 b)-- Expresamos la recta rr como intersección de dos planos λλ = xx = yy rr zz = xx + yy = rr zz = -- Expresamos la recta ss como intersección de dos planos xx = yy ss yy = zz ss xx yy = yy zz = Las coordenadas del punto de intersección de rr y ss se obtienen resolviendo el sistema que forman las ecuaciones de ambas rectas xx + yy = zz = punto (, 0, ) xx yy = yy zz = c) El producto vectorial de los vectores directores de rr y ss nos da la dirección normal al plano ππ que contiene a ambas rectas. Esos vectores directores son uu (,, 0) y vv (,, ). ii jj kk uu vv = 0 = ii jj + kk = (,, ) Como además, un punto del plano que se pide es el punto (, 0, ), la ecuación del plano que buscamos es (xx ) (yy 0) + (zz ) = 0 xx yy + zz = 0 7