PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

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1 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO MATERIA: MATEMÁTICAS II () Convocatoria: JUNIO Instrucciones: - Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. - En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo..- Dada la función OPCIÓN A x x si 0 x f ( x) ( x ) ln x si x a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f ( x) en x b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y f ( x) en el punto de abscisa x Calcular las siguientes integrales 5dx a) b) (6x 4) x 3 3 x dx 3.- Resolver el siguiente sistema matricial 4 P Q P Q Dada la recta x y z r x y z 0 y el plano : x y mz 3 0. a) Determinar el valor del parámetro m para que la recta y el plano sean secantes. b) Determinar el valor del parámetro m para que la recta y el plano sean paralelos. c) Cuál es la posición relativa de la recta r del enunciado y un plano α de ecuación 5 : x y z 0? 3

2 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO MATERIA: MATEMÁTICAS II () Convocatoria: JUNIO Instrucciones: - Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. - En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. OPCIÓN B.- Determinar el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad, las asíntotas, los puntos de corte con los ejes, los extremos y los puntos de inflexión de la función ( x ) f ( x) x.- a) Dibujar las gráficas aproximadas de de corte entre ambas curvas. f ( x) x 4x 5 y g( x) 5, señalando los puntos b) Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a) 3.- Dada la matriz 0 A 0 m 0 m a) Estudiar el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro m b) Calcular la matriz inversa A para m = y z 4.- Dadas las rectas r x y r x 5 y 3 z 4, se pide 4 3 a) Demostrar que se encuentran en un mismo plano. b) Hallar la ecuación del plano que determinan.

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5 L.O.E. CURSO 04-5 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A.- Consideremos la función ff(xx) = ln (xx ) definida en el intervalo [, ee + ]. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva yy = ln (xx ) que sea paralela a la recta que pasa por los puntos PP(, 0) y QQ(ee +, ). (,5 puntos).- Calcular las integrales indefinidas siguientes a) dddd (xx+) +4 b) xx (xx 3 + ) 7 dddd (,5 puntos) 3.- Dado el sistema de ecuaciones 3xx aaaa = 3 xx + aaaa 5zz = 3 xx + 3yy zz = 5 a) Estudiar su compatibilidad para los distintos valores del parámetro aa. (,5 puntos) b) Resolverlo para aa = 3. ( punto) xx = 3 + λλ 4.- Dadas las rectas rr yy = + λλ zz = + λλ xx + yy = 0 y ss 3yy zz + ( + mm) = 0, se pide: a) Determinar si rr y ss son rectas paralelas. ( punto) b) Hallar el valor del parámetro mm para que las rectas rr y ss estén contenidas en un mismo plano. (,5 puntos)

6 L.O.E. CURSO 04-5 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen..- Se considera la función Opción B xx + aa ssss xx ff(xx) = aaaa + bb ssss < xx 0 3xx + ssss xx > 0 Determinar si existen valores de los parámetros aa y bb para los que ff(xx) sea derivable en todo R. Justificar la respuesta. (,5 puntos).- La boca de un túnel tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo como se muestra en la figura. Encontrar las medidas del túnel que deje pasar más luz si el perímetro de la figura mide 5 metros. (,5 puntos) kk Dada la matriz AA = 7 a) Para qué valores del parámetro kk la matriz AA tiene matriz inversa? ( punto) b) Hallar la matriz AA cuando kk toma el valor kk =. (,5 puntos) xx = λλ 4.- Sean rr y ss las rectas rr yy = λλ zz = 3 y ss xx = yy = zz 3. Calcular: a) La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto (0,,3). (0,75 puntos) b) Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas. ( punto) c) La ecuación del plano ππ que contiene a las rectas rr y ss. (0,75 puntos)

7 L.O.E. CURSO 04-5 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A.- Se considera la función xx + bb ssss xx ff(xx) = xx ssss < xx < xx ln(xx aa) ssss xx donde llll denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros aa y bb para los que ff(xx) sea derivable en todo R. Justificar la respuesta. (,5 puntos).- a) Dibujar las gráficas aproximadas de ff(xx) = xx + xx + y gg(xx) = 3xx + 3, señalando los puntos de corte. ( punto) b) Calcular el área encerrada entre las gráficas de las dos funciones del apartado a). (,5 puntos) 3.- Sean las matrices II = 0 0 y AA = 0. Hallar dos números reales nn y mm para que se verifique que (II + AA) = nnnn + mmmm. (,5 puntos) xx + yy + zz 3 = Dadas las rectas rr xx yy + zz = 0 xx zz y ss = yy = 3 se pide: a) Determinar su posición relativa. (,5 puntos) b) Calcular el ángulo que forman ambas rectas. (,5 puntos)

8 L.O.E. CURSO 04-5 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B.- Calcular los siguientes límites: a) lim (xx xx) xx xx llllll b) lim xx + ( xx + xx xx) c) lim( xx+ ) 3 xx xx xx (,5 puntos).- Un granjero dispone de 00 metros de valla para delimitar dos corrales adyacentes rectangulares de igual tamaño según se muestra en la figura. Qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada en los corrales sea máxima? (,5 puntos) 3.- Estudiar, para los distintos valores del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando aa =. (,5 puntos) aaaa yy + 3zz = aa xx aaaa + zz = aa aaaa + yy 3zz = aa 4.- Dados los planos ππ xx + yy + zz = 3 y ππ xx + yy mmmm = 0 se pide: a) Calcular el valor del parámetro mm para que ambos planos sean paralelos. (0,75 puntos) b) Calcular el valor de mm para que ambos planos sean perpendiculares. (0,75 puntos) c) Para mm =, obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de ambos planos. ( punto)

9 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 03-4 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A.- Se sabe que la gráfica de f(x) = ax +b x P(,4). Hallar los valores de a y b. tiene una recta tangente horizontal en el punto (,5 puntos).- La fabricación de x tabletas gráficas supone un coste total dado por la función C(x) =.500x Cada tableta se venderá a un precio unitario dado por la función P(x) = x. Suponiendo que todas las tabletas fabricadas se venden, cuál es el número que hay que producir para obtener el beneficio máximo? (,5 puntos) 3.- Estudiar el sistema siguiente para los distintos valores del parámetro m y resolverlo en los casos en que sea posible x + y = { my + z = 0 x + (m + )y + mz = m + (,5 puntos) 4.- Dados los puntos A(,0,3), B(,4,) y C( 4,3,): a) Estudiar si los puntos A, B y C están alineados. (,5 puntos) b) Hallar la ecuación de la recta paralela al segmento AB y que pasa por C. Expresarla como intersección de dos planos. (,5 puntos)

10 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 03-4 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B.- a) Calcular lim x 0 cos (x) x (0,75 puntos) x b) Calcular lim x 0 x (0,75 puntos) ( mx)(x+3) d) Calcular el valor de m de tal forma que lim = 6 ( punto) x + x +4.- Dadas las funciones f(x) = sen(x) y g(x) = cos (x), se pide: a) Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x) y las rectas x = π y x = π. (,5 puntos) 4 b) Calcular el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de f(x) y g(x) y las rectas x = π y x = π. (,5 puntos) Sean las matrices A = ( 3 dimensiones x3 tales que verifican el sistema matricial 0 4 ) y B = (3 ). Hallar las matrices X e Y de 5 8 3X + Y = A { 4X + Y = B (,5 puntos) x y + z = 4.- Determinar el valor de a para que la recta r de ecuación r { x + y + z = 3 sea paralela al plano β x ay + 0z = 3. (,5 puntos)

11 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 03-4 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A.- Sea la función f(x) = e x +ax+b a) Calcular a y b para que f(x) tenga un extremo en el punto (,). (,5 puntos) b) Calcular los extremos de la función f(x) cuando a = 0 y b = 0. ( punto).- Calcular las integrales indefinidas siguientes: a) 5 dx (3x ) b) x+4 x dx c) (x+)3 dx x (0,75 puntos) ( punto) (0,75 puntos) 3.- Estudiar, para los distintos valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones. Resolverlo cuando m = 3. mx y + 3z = 0 { x + y + 7z = 0 x my + 4z = 0 (,5 puntos) x + y z = Sea P el punto de coordenadas P(,0,) y r la recta de ecuación r { x z =. a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la recta r. (,5 puntos) b) Hallar la ecuación general de un plano que pase por el punto P y contenga a la recta r. (,5 puntos)

12 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 03-4 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B.- En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación f(x) = 4 x y la recta r que pasa por los puntos A y B de la parábola de abscisas respectivas y. Hallar la ecuación de una recta s tangente a la parábola f(x) y paralela a r. (,5 puntos).- Calcular el área de la región plana limitada por la curva y = x(x )(x 3) y la recta de ecuación y = 0. (,5 puntos) 3.- Determinar los valores de los parámetros a y b para los que tiene inversa la matriz A = ( a+b 4b a a+b ). (,5 puntos) Calcular la matriz A cuando a = 3 y b =. ( punto) 4.- Determinar la posición relativa de los siguientes planos: x = + 3λ μ β { y = 4 + λ z = + λ 5μ x, β x + y + z =, β 3 y + 3 = 0 (,5 puntos) z

13 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 0-3 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A. Determinar los valores de a y de b para que la función: { e ax x 0 f (x) = a + bsen x 0 < x sea derivable. (,5 puntos). Resolver las siguientes integrales : (a) ˆ 5x + 3x x dx (,5 puntos) (b) ˆ π 0 6sen x dx (,5 puntos) 5 3cos x 3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + (m + ) z = x + (m ) y + z = x + my + z = a) Discutirlo según los valores de m. (,5 puntos) b) Resolverlo para m =. ( punto) 4. Dados la recta r : { x y + z = 0 x + y + z = y el punto P (, 0, ) exterior a r, a) Hallar la ecuación en forma general del plano π que contiene a r y P. (,5 puntos) b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a la recta r. (,5 puntos)

14 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 0-3 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B. (a) Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la función f (x) = x 3 + ax + bx + c tiene extremos relativos en x = y x = 3, y que corta a su función derivada en x = 0. Determinar asimismo la naturaleza de los extremos. (,5 puntos) (b) Calcular el límite: lim x x + x 3 (,5 puntos). La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de 00 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima. (,5 puntos) 3. Calcular las matrices A y B tales que: (,5 puntos) ( ) 0 5A + 3B = 4 5 ( ) 3A + B = 9 4. Dada la recta: y los puntos P (,, 0) y Q (0,, 3) r : { x y + z = 0 x z = 0 a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y es paralelo a P Q. (,5 puntos) b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e intersecta a r. (,5 puntos)

15 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 0-3 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A. (a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y = ( ) (b) Calcular lim x+ x 4 x 4 6 ( (c) Calcular lim x ) x 0 x x x + en su punto extremo.( punto) (0,75 puntos) (0,75 puntos). La siguiente gráfica corresponde a la función f (x) = x 4x + 3 representada respecto a los ejes coordenados. Calcular el área de la parte sombreada. (,5 puntos) y x 3. Dada la matriz: A = m 3 m a) Determinar los valores del parámetro m para los que la matriz A tiene inversa. (,5 puntos) b) Calcular la inversa de la matriz A para m = ( punto) 4. Dados el punto P (,, ) y la recta: r : { x + y + z = x + 3y + z = 0 a) Hallar la ecuación del plano π que contiene a r y pasa por P. (,5 puntos) b) Hallar la ecuación del plano π que contiene a P y es perpendicular a r. (,5 puntos)

16 MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA CURSO 0-3 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B. Dada la función (x + a) x f (x) = bx x > x+ Hallar valores de a y de b para que f (x) sea derivable en todo R. (,5 puntos). Entre todos los rectángulos de área 8 m hallar las dimensiones del que minimiza el producto de las diagonales. (,5 puntos) 3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: y + z = (m ) x + y + z = m x + (m ) y z = 0 a) Discutirlo según los valores de m. (,5 puntos) b) Resolverlo para m = ( punto) 4. Dadas las rectas: r : x 5 = y + 3 = z 4 s : x = + 3λ y = z = a) Determinar la ecuación general del plano paralelo a las rectas r y s y que pasa por el origen de coordenadas. (,5 puntos) b) Hallar el ángulo que forman r y s. ( punto)

17 Materia de Modalidad: Fase General y Específica CURSO 0-0 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen '5 puntos. EXAMEN (opción A) 3x + sen x +, si x 0 3. Dada la función f ( x) = x + a cos x, si 0 < x < π 3 x + b, si π x a) Hallar valores de a y b para que f (x) sea continua en todo R (explicar). ( punto) b) Estudiar derivabilidad en todo R de la función f (x), con los valores de a y b obtenidos anteriormente. ('5 puntos). Calcular: 3 a) 5 x 3x + dx (0'75 puntos) b) x 3 π c) cot π 6 x dx (0'5 puntos) 5 dx ('5 puntos) x + 9 ( 3) Calcular la matriz X tal que X A + 3 B = C, siendo: A = ; B = ; C = (detallar todos los cálculos realizados). ('5 puntos) x = + λ 5x y + z = 4. Dadas las rectas secantes: r : y = 3 4λ ( λ R ) y r : z = + 3λ 5x + y + z = 0 obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado. ('5 puntos)

18 Materia de Modalidad: Fase General y Específica CURSO 0-0 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. S de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se c - La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen '5 puntos. EXAMEN (opción B). a) Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones, justificando en cada caso si la función es creciente o decreciente en el punto indicado: i) f ( x) arc sen ( x) tag ( 3x) =, en x = 0. x 4 ii) g( x) = e + cos ( π x), en x =. ( cos x) ( x ) ('5 puntos) sen x b) Calcular el siguiente límite, explicando cómo lo hace: lim ( punto) x 0 3 ln +. Obtener razonadamente dos números positivos, de forma que se cumplan los siguientes requisitos: i) La suma de ambos debe ser 60. ii) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro resulte de valor máximo. ('5 puntos) 3. Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m : 3x + mz = x + my + z = m ('5 puntos) x + z = x = + 3λ 4. Dada la recta r : y = 5λ ( λ R ) y dado el punto P (, -, 3) exterior a r, z = + λ a) Hallar la ecuación en forma general del plano π que los contiene, explicando el procedimiento utilizado. ('5 puntos) b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano π, explicando el procedimiento utilizado. ( punto)

19 Materia de Modalidad: Fase General y Específica CURSO 0-0 CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATERIA: MATEMÁTICAS II - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen '5 puntos. EXAMEN 3 (opción A) x + 3. Dada la función f ( x) = x 4 a) Obtener su dominio y los cortes de su gráfica con los ejes de coordenadas (explicar). (0'5 puntos) b) Hallar las asíntotas horizontales y verticales de su gráfica, justificándolas. ( punto) c) Determinar intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos relativos de esta función. Justificar los resultados obtenidos. ( punto). La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un cierto proceso de 6 horas de duración, viene dada en función del tiempo t transcurrido en ese proceso por la expresión 5t 5 T = 0 + (con 0 t 6 ) t 6t + 0 Determinar en qué momento del proceso la pieza alcanza su temperatura máxima y en qué momento alcanza su temperatura mínima. Justificar las respuestas. ('5 puntos) Resolver la ecuación matricial A X + C = 3B, siendo: A = ; B = ; C = (detallar todos los cálculos realizados) ('5 puntos) 4. Estudiar la posición relativa de las rectas x y + 3 z r : = = 3 5 y 4x y + z = 0 s : x y + z = 5 (explicar el procedimiento utilizado). ('5 puntos)

20 Materia de Modalidad: Fase General y Específica CURSO 0-0 CONVOCATORIA:SEPTIEMBRE - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos y todas las preguntas valen '5 puntos. EXAMEN 3 (opción B). a) Dada la función f ( x) cos ( 3x) =, hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a su gráfica en el punto de abscisa x = π / (explicar). ( punto) 3 b) Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función g ( x) = x 3x x + 5. Justificar los resultados obtenidos. ('5 puntos). Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función y = x 3 6x + 8x y el eje OX, haciendo un dibujo aproximado y explicando. ('5 puntos) 3. Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m : x + y z = x y + z = m ('5 puntos) 3x y + mz = 4 x = + 3λ µ 4. Dado el plano π : y = 4 + λ ( λ R ) ( µ R ) y dado el punto P (0, 3, -) exterior a π, z = + λ 5µ obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π, explicando el procedimiento utilizado. ('5 puntos)

21 L.O.E. CURSO 00-0 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos. Examen 3 Opción A.- Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista + sen x, si x 0 3 f ( x) = x +, si 0 < x < ( 5 p.) x e, si x.- Calcular las siguientes integrales: 3 a) x ln x dx ( p.) b) 0 x + 4 dx ( 5 p.) 3.- Dadas las matrices 0 A = 3 y 0 B = 0 3 X 3Y = A a) Resolver el sistema 3X + 4Y = B ( 5 p.) b) Calcular el rango de M = A B ( p.) x y z 4.- Dados la recta r : = = y el punto P(,, 3) 3 a) Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene. ( p.) b) Hallar ecuaciones, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, correspondientes a la recta que pasa por P y es perpendicular al plano anterior. ( 5 p.)

22 L.O.E. CURSO 00-0 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos. Examen 3 Opción B.- Indicar, para una función f (x), sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los valores de x que corresponden a sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de concavidad y de convexidad, sabiendo que su función derivada tiene la siguiente gráfica: (a = - 33 y b = 3 33) ( 5 p.).- Dadas las funciones y = x + 4x e y = x x a) Representar la región que determinan sus gráficas. ( 5 p.) b) Calcular el área de dicha región. ( p.) 3.- Dado el sistema ax 3y + az = 3x + y = x y + z = a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a. ( 75 p.) b) Resolverlo cuando sea compatible. (0 75 p.) 4.- Dadas las rectas secantes x y 5 z : = = s : x, y, z =,, 0 + λ, 6, a) Calcular su punto de intersección. ( 75 p.) b) Hallar ecuación del plano que las contiene. (0 75 p.) r y ( ) ( ) ( )

23 L.O.E. CURSO 00-0 CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATERIA: MATEMÁTICAS II - Elija una de las opciones, A o B, y conteste a las cuatro preguntas que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones, el tribunal podrá anular su examen. - En el desarrollo de cada respuesta, detalle y explique los procedimientos empleados en la misma. Se califica todo. - La duración del examen será de 90 minutos. Examen Opción A.- Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista x sen x + e, si x 0 3 x + f ( x) = + ln( x + ), si 0 < x < ( 5 p.) 3 x x, si x.- Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación 4 x + 3y =. ( 5 p.) 3x ay = Dado el sistema x + ay 5z = 3 x + 3y z = 5 a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a. ( 75 p.) b) Resolverlo para a = 9. (0 75 p.) 4.- Dados los puntos A(-,, 0) y B(,, -) a) Determinar si el punto C(5, 0, -) está alineado con los anteriores, explicando el motivo (hacer un dibujo esquemático de la situación). (0 75 p.) b) Hallar las ecuaciones de la recta que contiene a los puntos A y B, en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos. ( 5 p.) c) Hallar ecuación en forma general del plano que pasa por B y es perpendicular a la recta AB. (0 5 p.)

24 Opción B.- Representar la gráfica de una función f (x) que tenga las siguientes propiedades: a) Es continua en todos los reales salvo -4 y 0. b) Tiene asíntotas verticales x = 4 y x = 0. c) Para x +, se cumple f ( x) 0. d) Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión. e) Su función derivada es negativa en (, 6) y en ( 4, 0), siendo positiva en ( 6, 4) y en 0, +. ( 5 p.) ( ).- Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de metros. Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima? ( 5 p.) 3.- Dadas las matrices A = B = C = a) Calcular la inversa de A paso a paso. ( 5 p.) b) Resolver la ecuación A X = B + C ( p.) 4.- Dados la recta x 3y + z = 0 r : y el punto P(-,, 3) x + y z = Hallar ecuación en forma general del plano que los contiene. ( 5 p.)

25 FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Examen 3 Opción A.- Representar la gráfica de una función f (x) que cumpla las siguientes propiedades: a) Tiene dos asíntotas verticales, x = - y x = 3. b) Para x ±, se cumple f ( x). c) f ( 3) = f (0) = f () = f (5) = 0. d) Es decreciente en (, ) (,) y es creciente en (, 3) (3, + ). e) f () =. ( 5 p.).- Dadas las funciones f ( x) = x 4 y g( x) = 3x, a) Representar el recinto limitado por sus gráficas, indicando vértice y puntos de corte con los ejes. ( 5 p.) b) Calcular el área de dicho recinto. ( 5 p.) 3.- a) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro m mx y + 3z = m x + 4z = x y + z = ( 5 p) b) Resolverlo para m = 0. ( p.) 4.- Obtener la ecuación en forma general del plano que pasa por el punto (0, 3, ) y es paralelo a las dos rectas siguientes: x y + 3 x z = 5 r : = = z + r : x + 3y z = 0 ( 5 p.)

26 FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B.- Dada la función bx e + a x, f ( x) = b + cos ax, si x < 0 si x 0 determinar valores de a y de b para que resulte derivable en toda la recta real. ( 5 p.).- Determinar dos números positivos cuya suma sea 4 y tales que el producto de uno por el cubo del otro sea máximo. ( 5 p.) 3.- Resolver la ecuación matricial A X = A + B, explicando las operaciones efectuadas, siendo: 0 0 A = 0 y B = 3 ( 5 p.) Estudiar la posición relativa de los planos: 0 x y + 5z = ; 4 x + 3y z = 6 ; 3 x + y 3z =. ( 5 p.)

27 FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Examen opción A 3.- Determinar una función de la forma f ( x) = x + ax + bx + c que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = y para la cual el punto P(,) sea un punto de inflexión. ( 5 p.) π.- Dada la función f ( x) = cos x + : a) Hacer una representación aproximada de la gráfica de la función f(x) entre x=0 y x= π. ( 5 p.) b) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x=0 y x= π. ( 5 p.) 3.- Dadas las matrices k A = 0 y 0 k B = = se pide: 3 a) Determinar para qué valores de k la matriz A B tiene inversa. ( p.) b) Resolver la ecuación A B X = 3I para k = 0, donde 0 I = 0 ( 5 p.) 4.- Dada la recta r : 3x + y = 3 x + z = y el plano π : x 3y z = 0. a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas. ( 5 p.) b) Determinar el ángulo que forman recta y plano. ( p.)

28 FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. opción B x.- Dada la función f ( x) = x a) Hallar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la pendiente de la recta tangente a la curva sea igual a. ( 5 p.) b) Hallar las asíntotas de la función dada. ( p.).- Dadas las funciones f ( x) x = 6x y g( x) = x x a) Representar el recinto delimitado por sus gráficas, indicando vértices y puntos de corte con los ejes. ( 5 p.) b) Calcular el área de dicho recinto. ( 5 p.) 3.- Dado el sistema: x + y z = x y + z = 3 5x 5y + z = m a) Discutirlo según los valores de m. ( 5 p.) b) Resolverlo para m =0. ( p.) x = 4 t 3 x y + z Dadas las rectas r : = = y s : y = + t 3 3 z = 3t a) Estudiar la posición relativa de ambas rectas. ( 75 p.) b) Hallar una recta que pasa por el origen de coordenadas y sea perpendicular a r y s. (0 75 p.)

29 FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO CONVOCATORIA: Examen MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción A.- Dada la función f ( x) = ax + bx + c, determinar los valores de a, b y c para que se cumplan las siguientes condiciones: i) Que la gráfica de f (x) pase por el punto (0, 4). ii) Que la recta y = 4 x + 7 sea tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x =. ( 5 p.).- Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar operarios y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra y máquinas y contrata x operarios, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función: P = 05 x y. Cada máquina le supone una inversión de 000 y cada contrato de un operario le cuesta 600. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 000 para este fin, determina el número de operarios que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción. ( 5 p.) 3.- Resolver la ecuación A X = B t + I, siendo: ( 5 p.) 3 0 A = ; B = e I = Dadas las siguientes rectas: r : ( x, y, z) = ( 8, 4,5) + λ(,, ) 4y 3x = 8 s : 4z 5x = 60 a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas. ( 5 p.) b) Hallar la ecuación de la recta paralela a s que pasa por el punto (, 0, -). ( p.)

30 FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. Opción B.- Hallar valores de m para que la función m e f ( x) = mx sen x,, si x 0 si x > 0 sea derivable en toda la recta real. ( 5 p.).- Calcular: a) x x + dx (0 75 p.) b) x x x dx ( 75 p.) 3.- Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema, y en caso posible resolverlo: 3x y + z = x + 3z = 3x 4y 7z = 8 ( 5 p.) 4.- Dada la recta x 3 y r : = = z + y los puntos A (,, 0) y B (, 0, -3) 3 a) Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta r y al punto A. ( 5 p.) b) Hallar el ángulo formado por la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B. ( 5 p.)

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35 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: JUNIO MATERIA: MATEMÁTICAS II Se debe responder a una pregunta de cada bloque. Elegir UNA y SÓLO UNA opción (A o B) en cada bloque. Si se resuelven las dos opciones de un mismo bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. EXAMEN Nº BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Obtener razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y 3 3 mínimos de la función f ( x) = x + x 6x + 5. (.5 puntos) 6 m( x + ) si x B. Hallar el valor que ha de tener m para que la función f ( x) = 3 + si x > m( x + ) sea derivable en x =. (.5 puntos) BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Se desea vallar una parcela rectangular aprovechando una pared recta como uno de los lados de la misma. Si se dispone de una valla de 0 metros de longitud para marcar los otros tres lados, determinar las dimensiones de la parcela para que su área sea máxima. (.5 puntos) B. Representar las regiones limitadas por la curva y = x + 6x 8, la recta x = y el eje OX, calculando el área total de dichas regiones. (.5 puntos)

36 BLOQUE 3 (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) 3A. Dado el sistema Por qué lo es? x 3y + az = x + z = 0, hallar el valor del parámetro a para que sea incompatible. 3x + y 3z = a (.5 puntos) B. Dadas las matrices A = 7 5, B = 0 3 y C =, calcular el t determinante de B C A (.5 puntos) BLOQUE 4 (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) x = λ 4A. Dado el punto P(5, 0, -) exterior a la recta r : y = 4 z = + λ r y pase por P. ( λ R ), hallar el plano que contenga a (.5 puntos) 4B. Estudiar la posición relativa de los 3 planos: π : x 3y + z =, π :3x y z = 7 y π : x + y z = 5 3 En caso de que se corten en un punto, hallar éste. Y en caso de que se corten en una recta, determinarla. (.5 puntos)

37 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: Septiembre MATERIA: MATEMÁTICAS II Se debe responder a una pregunta de cada bloque. Elegir UNA y SÓLO UNA opción (A o B) en cada bloque. Si se resuelven las dos opciones de un mismo bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Se califica todo. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. EXAMEN Nº BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Obtener los puntos de la curva y = x 3 3x + 5 donde la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0,-) y (, ). (.5 puntos) B. Obtener dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como máximos y mínimos de la x + 8 función y =. (.5 puntos) x 4 BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4 x, la recta 8 + y = 6 y = 4 x + 8. x y la recta (.5 puntos) B. Calcular las siguientes integrales: dx i) (.5 puntos) x ii) x e 3x dx (.5 puntos)

38 BLOQUE 3 (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) 3A. Dadas las matrices = 0 0 M y N =, 3 i) Hallar las matrices A y B que verifican el sistema: ii) Calcular M N t ( punto) A + B = M A 3B = N (.5 puntos) 3B. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k : x + k y + z = 4 x + 3y + z = 5 k x + y + z = 4 (.5 puntos) BLOQUE 4 (Elegir SÓLO UNA opción; en caso contrario se podrá anular el bloque) 4A. Calcular ecuación del plano que contiene a la recta x = λ s : y = z = λ y = + x r : z = y es paralelo a la recta ( λ R) (.5 puntos) x y 4B. Dado el plano π : 3x y + z = 5 y la recta r : = = z + 3, hallar su posición relativa. Si se cortan en un punto, hallar sus coordenadas. Y si son paralelos, hallar el plano que contenga a r sea paralelo a π. (.5 puntos)

39 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: Se debe responder a una pregunta de cada bloque. Elegir UNA y SÓLO UNA opción (A o B) en cada bloque. Si se resuelven las dos opciones de un mismo bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este hecho forma parte de la calificación. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. EXAMEN Nº BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) x+ ( αx + βx+ γ) e si x> A. Para la función dada por: f( x) = sen( x ) si x Encontrar los valores α, β y γ que hacen que f(x) sea continua, y admita primera y segunda derivada en el punto x =. (.5 puntos) B. Dada la función f(x) = ax 3 + bx + cx + d, determinar los valores a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones: º) Que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (0,) sea paralela a la recta y+=0, y º) Que la recta x y =0 sea tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. (.5 puntos) BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Calcular el valor de a para que la región plana encerrada entre la parábola y = x y la recta y = a sea el doble del área de la región limitada por dicha parábola y la recta y =. (.5 puntos) B. Considérese el recinto limitado por la curva y = x y la recta y = 3: y 3 (-x, y) (x, y) 0 x De entre los rectángulos situados como el de la figura anterior, determinar el que tiene área máxima. (.5 puntos)

40 BLOQUE 3 (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) 3A. Estudiar el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro α y resolverlo en los casos que sea posible: 6x+ y+ z = 6 α x+ y+ z = α (.5 puntos) 5x+ 3y+ α z = 5 0 3B. Dadas las matrices A = y B = 0 k 0 se pide: k i) Razonar para qué valores de k la matriz B t A t tiene inversa. (.5 puntos) ii) Resolver la ecuación (AB) t X = I, para k = 0, siendo I la matriz identidad. ( punto) BLOQUE 4 (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) 4A. Dadas las rectas r x y + = 0 z = x = y s y z 5 = 0 i) Determinar su posición relativa. (.5 puntos) ii) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. ( punto) 4B. Se consideran la recta pide: x = + t r y = + t z = 3 + 3t, el plano π x 4y z = 0y el punto P(,, ). Se i) Determinar la ecuación del plano π que pasa por el punto P y es paralelo al plano π. (.5 puntos) ii) Determinar la ecuación general del plano π que contiene a la recta r y pasa por el punto P. (.5 puntos)

41 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: Se debe responder a una pregunta de cada bloque. Elegir UNA y SÓLO UNA opción (A o B) en cada bloque. Si se resuelven las dos opciones de un mismo bloque el tribunal podrá ANULAR EL BLOQUE. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este hecho forma parte de la calificación. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. EXAMEN Nº 3 BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Dada la función f ( x) = x e x, se pide: i) Hallar las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos. (.5 puntos) ii) Calcula, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal. ( punto) B. Hallar los valores de a, b y c de forma que la función f(x) sea continua en el intervalo [-, 3], derivable en el intervalo (-, 3) y, tal que, f(-) = f(3): ax + bx x < 0 f ( x) = c + x + 0 x 3 (.5 puntos) BLOQUE (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) A. Determina el valor de a, siendo a>0, para que el área de la región limitada por la curva y = x y la recta y = ax sea igual a 9. (.5 puntos) B. Calcular las siguientes integrales: i) (x ) Ln( x) dx. (.5 puntos) x ii) dx. (.5 puntos) + 4x

42 BLOQUE 3 (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) 3A. Dada las matrices A = y la identidad de orden, I: i) Para qué valores de m R la matriz A-mI no admite inversa?. (.5 puntos) ii) Describir las matrices X de orden x que cumplen: (A-3I)X = 0. (.5 puntos) 3B. Se sabe que i) 3a 3b 5c a b 5c a b 5c a b c a b c a b c = 3, calcula: ; (0.75 puntos) ii) (-/3)A ; (0.75 puntos) iii) a b c a a b b c c ; ( punto) a b c BLOQUE 4 (Elegir SÓLO UNA opción, en caso contrario se podrá anular el bloque) 4A. Calcula la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano x 3y + 6 = 0 x y π x + y z + 6 = 0 con la recta r y es paralela a la recta s = = z. (.5 puntos) x + 3z + 3 = 0 3 4B. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el punto P(-, 0, ) y contiene a la recta x y s = = z +. (.5 puntos) 3

43 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: JUNIO MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este hecho forma parte de la calificación. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. OPCIÓN A:. Hallar una función polinómica de tercer grado tal que tenga un extremo relativo en (,) y un punto de inflexión en (0,3). Es (,) el único extremo de la función? Determinar los máximos y mínimos relativos de f. (.5 puntos). Hallar el área de la región acotada comprendida entre las gráficas de las funciones y = x, + 4 x y = 6 y el eje OY. (.5 puntos) 3. Conocido que a 5 b 0 c 0 =, calcula el valor del siguiente determinante 5a 5b 0 5c. (.5 puntos) 4. Dada la recta r x = y z = 0 y el plano π x+y-=0 a) Determinar su posición relativa. ( punto) b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. (.5 puntos)

44 OPCIÓN B:. Dada la función f(x)= x -x+ a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3. (.5 puntos) b) Calcula el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado a) y el eje OY. ( punto). Determinar el dominio, recorrido, puntos de cortes con lo ejes coordenados, asíntotas, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad (concavidad hacia arriba y hacia abajo) de la siguiente función (.5 puntos) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k kx + ky z = 3x ky = 0 5x + ky = 0 x + z = (.5 puntos) 4. a) Determinar si los puntos A (-,0,3), B (,4,) y C (-4,3,) están alineados. ( punto) b) Expresar en dos formas diferentes la ecuación de la recta que pasa por A y B. (.5 puntos)

45 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen la opción elegida. Si mezcla preguntas de las dos opciones el tribunal podrá anular su examen. En el desarrollo de cada problema, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarlo. Este hecho forma parte de la calificación. La duración del examen será de 90 minutos. No olvide pegar las etiquetas antes de entregar el examen. OPCIÓN A:. Se sabe que la gráfica de la función f(x)=x 3 +ax +bx+c es la que aparece en el dibujo. a) Determina la función. (.5 puntos) b) Calcula el área de la región sombreada. ( punto) x 3x e. Dada la función f(x)= x a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f. (.5 puntos) b) Calcula los máximos y mínimos relativos de f. (punto) 3. Resolver la ecuación matricial B(A+I)=AXA+B, siendo 0 A=, B= e I= 0 0 (.5 puntos) 4. Dadas las rectas r x y = 0 y z + 3 = 0 y s x = y+ = z- a) Determinar su posición relativa. ( punto) b) En caso de cortarse, determinar el ángulo que forman y el punto de corte. (.5 puntos)

46 OPCIÓN B:. Sabiendo que la función f(x) = x 3 3x 4 + bx + 8x 4 comportamiento de la función en la proximidad de los puntos de discontinuidad. es discontinua en x=, calcula b y justifica razonadamente el (.5 puntos). a) Calcular el valor de a para que la integral entre 0 y a de la función dx b) Resolver la integral indefinida x + + x + (.5 puntos) x xe sea igual a. (.5 puntos) 3. Estudiar el siguiente sistema según los valores del parámetro a a x + 3y + z = 0 ax y + z = 0 8x + y + 4z = 0 Resolverlo en todos los casos posibles (.5 puntos) 4. Determinar la ecuación general (implícita) del plano paralelo a las rectas r x=y+=z y s por el origen de coordenadas. (.5 puntos) x = + 3t y = z = y que pasa

47 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATERIA: MATEMÁTICAS II CRITERIOS DE CORRECIÓN OPCIÓN A. a) Planteamiento del sistema (0.75 ptos) Resolución del sistema (0.5 ptos) Si el alumno explica qué información, sobre la gráfica de f, usa para obtener el sistema (0.5 ptos) b) Planteamiento de la integral (0.5 ptos) Resolución de la integral (0.5 ptos). a) Cálculo de la derivada de f (0.5 ptos) Estudio de signos de la derivada (0.5 ptos) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (0.5 ptos) Si el alumno explica que el crecimiento y decrecimiento están asociados al signo de la derivada y que en nuestro caso todo depende del signo del polinomio del numerador ya que e x es siempre positiva (0.5 ptos) b) Dar los extremos (0.75 ptos) Justificación (0.5 ptos) 3. Despejar X (0.75 ptos) Calcular inversa de A ( pto) Calcular X (0.5 ptos) Si el alumno comenta la operatoria efectuada y la condición de determinante no nulo para que A posea inversa (0.5 ptos) 4. a) Planteamiento del sistema (0.5 ptos) Estudio de rangos (0.5 ptos) Justificación de lo hecho : relacionar el carácter del sistema con la posición relativa (0.5 ptos) b) Calcular los vectores directores (0.5 ptos) Calcular el ángulo (0.5 ptos) Calcular el punto de corte ( pto)

48 OPCIÓN B. Calcular b (0.75 ptos) Hallar las discontinuidades (0.75 ptos) Estudio del comportamiento (0.75 ptos) Justificación: las únicas discontinuidades son las que anulan el denominador (0.5 ptos). a) Cálculo de la integral (0.75 ptos) Cálculo del valor de a (0.5 ptos) Justificar que la exponencial no se anula (0.5 ptos) b) Efectuar el cambio de variable apropiado (0.75 ptos) Operatoria y cálculo de primitiva (0.5 ptos) 3. Estudio de rangos en función de a ( pto) Resolución del SCD (0.5 ptos) Resolución para a= (0.5 ptos) Resolución para a=-4 (0.5 ptos) Comentar que el sistema es homogéneo y por tanto siempre es compatible (0.5 ptos) 4. Determinar los vectores directores de r y s (0.75 ptos) Ecuación vectorial del plano (0.75 ptos) Ecuación general del plano (0.75 ptos) Justificar que los vectores directores de r y s están en el plano (0.5 ptos)

49 L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO CONVOCATORIA: Examen nº 3 MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS Opción A. Sea la función real de variable real: f( x) = 36 si x > + x ( x ) si x a) Razonar si la función es continua en toda la recta real. b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real.. El consumo de un barco navegando a una velocidad de x nudos (millas/hora) viene x 450 dada por la expresión C( x) = +. Calcular la velocidad más económica y el 60 x coste equivalente. 3. Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro m: x y+ z = 0 4x+ y 3z = 5 3x y+ mz = m 4. a) Halla la ecuación del plano determinado por los puntos: A(, 3, ), B(, 0, ) y C(, 4, 3). x = 3λ b) Estudia la posición relativa de la recta r y = λ + con respecto al plano z = λ anterior, hallando el punto de intersección en caso de que se corten.

50 Opción B. Calcular + dx x 3x + 3 x x x. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos: bx + ax si x a f ( x) = si < x x x + ax+ si x > x + 3. Resolver la ecuación matricial AX+B =A y determinar la matriz X, siendo 0 A = 0 0 ; B = Estudiar la posición relativa de los siguientes planos según los valores del parámetro λ : x + λ y + z 4 = 0; x + 3y + z 5 = 0; λx + y + z 4 = 0.

51 L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO CONVOCATORIA: Examen nº Opción A. Resolver: MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS x x x x dx. La potencia f(x) en watios consumida por cierto aparato eléctrico, en función de su resistencia (x) en ohmios viene dada por la expresión: 4x f( x) =. x + ( ) Hallar la potencia máxima y el correspondiente valor de x. 3. Resolver el siguiente sistema matricial: 4 8 A+ 3B = 7 0 5A B = Estudiar la posición relativa de las rectas r y s. En caso de que se corten en un punto hallar las coordenadas del mismo. x = λ x y + z r = =, s y = λ 8 z = λ

52 Opción B. Para qué valor de a la recta ax+y =Ln(3) es tangente a la curva f(x) = el punto de abscisa x = 0? x + Ln x + en. Calcular: ( 5) 0 x x + e dx 3. Hallar los valores de k para que la matriz a) no tenga inversa. b) tenga rango 3. k k 3 k k 0 k k k 4. Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto A(0,-,0) y es paralelo a las rectas: x = λ x = λ r = y = λ y s = y = z = 3 z = λ 3

53 L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO CONVOCATORIA MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. Cada cuestión vale,5 puntos. En las cuestiones con apartados se señala la puntuación correspondiente. Se otorgará 0,5 puntos por presentación y expresión en cada cuestión. TIEMPO: 90 MINUTOS EXAMEN Nº OPCIÓN A.- Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x + 5x y las rectas y = 0, x= y x = 3..- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad?. 3.- a) Para qué valores del parámetro k admite inversa la matriz: A = 0 k 0 ( punto) b) Calcular A - en función de k. (,5 puntos) 4.- a) Comprueba que las rectas: se cortan en un punto. r ( x, y, z) = (,, ) + λ(,0, ) s ( x, y, z) = (0,3,) + µ (,,3) ( punto) b) Hallar la ecuación general del plano que contiene a las rectas dadas en el apartado anterior. (,5 puntos)

54 EXAMEN Nº OPCIÓN B.- Representar una función que cumpla las condiciones: i) Dominio (f ) = IR-{} ii) Puntos de corte: P(0, 0) iii) Crecimiento: (-, 0] (, + ); Máximo en (0, 0) Decrecimiento: (0, ) (, ] ; Mínimo en (, 4) iv) Asíntota vertical: x =, lim f( x) = +, lim f( x) = Asíntota oblicua: y = x+ + x x.- Calcular el área encerrada entre la curva y = e x y la cuerda de la misma que tiene por extremos los puntos de abscisas 0 y. 3.- a) Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro k : x + y + 3z = x + ky + 3z = x + ( + k) y + 6z = 3 (,5 puntos) b) Resolverlo para k = 0. ( punto) 4.- a) Estudiar, según los valores del parámetro λ, la posición relativa de los planos: λ x y + λz = 0 0x y + 5z = 0 (,5 puntos) 4x + 3y z = 0 b) Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,, ), (, 0, 3) y (, -, 0). ( punto)

55 L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO CRITERIOS DE CORRECCIÓN MATEMÁTICAS II EXAMEN Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción A- Cuestión Puntuación parcial Plantea correctamente las integrales definidas que corresponden al área pedida: punto. Cálculo de las primitivas: 0,5 Aplica correctamente la regla de Barrow: 0,75 puntos. OPCIÓN A Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción A- Cuestión Puntuación parcial Planteo correcto de las funciones objeto y auxiliar: punto Cálculo de las abscisas de los extremos relativos: punto Verificación de máximo o mínimo: 0,5 Apartado a) Puntuación total,00 Examen -Opción A- Cuestión 3 Puntuación parcial Planteo de la condición: 0,5 Cálculo del determinante: 0,75 b),5 Presentación y expresión 0,5 Cálculo de la matriz inversa sin sustituir k por ningún valor apropiado:,5 (Cálculo de la matriz inversa sustituyendo k por un valor apropiado: 0,5) Apartado a) Puntuación total Examen -Opción A- Cuestión 4 Puntuación parcial,00 Cálculo de los parámetros correspondientes y el punto: punto (Planteo correcto pero con fallos en cálculos numéricos: 0,5 puntos) b),5 Cálculo correcto de la ecuación del plano:,5 (Planteo de la ecuación pero con fallos numéricos en la resolución: punto) Presentación y expresión 0,5

56 EXAMEN Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción B- Cuestión Puntuación parcial OPCIÓN B Señala adecuadamente las asíntotas y traza la curva:,5 puntos (Representa sólo una rama de la curva: punto) Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción B- Cuestión Puntuación parcial Plantea correctamente la integral definida que corresponden al área pedida:,5 puntos Cálculo de la primitiva: 0,5 Aplica correctamente la regla de Barrow: 0,5 puntos Apartado a) Puntuación total,5 b),00 Presentación y expresión 0,5 Examen -Opción B- Cuestión 3 Puntuación parcial Señala la matriz de las incógnitas y la ampliada: 0,5 puntos Calcula el rango según los valores de k: 0,5 puntos Concluye el tipo de sistema según valor de k: 0,5 Expresa la solución correcta en función de k: punto (Da una solución para un valor particular y apropiado de k: 0,5) Apartado Puntuación total Examen -Opción B- Cuestión 4 Puntuación parcial a),5 Discusión relativa a solución no trivial en sistema homogéneo: 0,50 puntos Cálculo del valor del parámetro para solución no trivial: 0,5 puntos Determinación de las posiciones relativas según valores del parámetro: 0,50 puntos b),00 Planteo de la ecuación a calcular: 0,50 puntos Expresión correcta de la ecuación del plano en cualquier modalidad: 0,50 puntos Presentación y expresión 0,5

57 L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO MATEMÁTICAS II CONVOCATORIA Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. Cada cuestión vale,5 puntos. En las cuestiones con apartados se señala la puntuación correspondiente. Se otorgará 0,5 puntos por presentación y expresión en cada cuestión. TIEMPO: 90 MINUTOS EXAMEN Nº OPCIÓN A.- a) Determinar la abscisa de los puntos en los que la recta tangente a la función dada x + f( x) = Ln es paralela a la recta de ecuación x + 3y = 4. (,5 puntos) x b) Obtener la ecuación de la recta tangente a la función dada en el apartado anterior en el punto de abscisa x = 3. ( punto).- Dada la gráfica de h (x), deduce la monotonía y extremos relativos de h(x), así como la curvatura y sus puntos de inflexión, explicando cómo lo haces. h (x) x 3.- Calcular el vector X = x y z que verifica que AX B = C, siendo: A= 0 0 ; B = 3 0 ; C = 3 x y+ z 4.- Dada la recta r = =, hallar la ecuación del plano que contiene a ésta y pasa 3 por el punto P(0, -, ).

58 EXAMEN Nº OPCIÓN B.- Hallar la función f(x) tal que f ''( x) =, f () = 0 y f(e) = -. x.- Dada la función f(x) =, determinar razonadamente: x a) El Dominio. (0,5 puntos) b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. (0,5 puntos) c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si es que las tiene. (0,50 puntos) d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. ( punto) e) Su representación gráfica. (0,5 puntos) 3.- Sabiendo que z y x 0 = 7, halla sin desarrollar el valor de: z 3z z+ x 3x+ x+ y 3y y+ explicando las propiedades de los determinantes que utilizas. 4.- Estudiar la posición relativa del plano π 5 x + λy z + = 0 x y = r x y + z = y la recta según los valores del parámetro λ.

59 L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO CRITERIOS DE CORRECCIÓN MATEMÁTICAS II EXAMEN OPCIÓN A Apartado a) Puntuación total Examen -Opción A- Cuestión Puntuación parcial,5 Cálculo correcto de las abscisas:,5 puntos (Proporciona solo una abscisa: 0,75 puntos) b),00 Expresión correcta de la recta tangente en cualquier modalidad:,00 puntos (errores de cálculo o de expresión restan 0,5 puntos) Presentación y expresión 0,5 Apartado Presentación y expresión Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción A- Cuestión Puntuación parcial Justifica por el valor cero de la derivada que la existen extremos relativos y su tipo señalando las abscisas correspondientes: 0,75 puntos Justifica los intervalos de crecimiento o decrecimiento: 0,75 puntos Justifica la curvatura: 0,5 puntos Justifica la no inflexión: 0,5 puntos Examen -Opción A- Cuestión 3 Puntuación parcial Planteo de las operaciones con matrices a realizar: 0,75 puntos Cálculo de la matriz inversa:,00 punto Operaciones realizadas para concluir: 0,5 puntos Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción A- Cuestión 4 Puntuación parcial Planteamiento del problema: 0,5 puntos Resolución (cálculos): 0,5 puntos Ecuación del plano (correcta) en cualquier modalidad:,5 puntos

60 EXAMEN OPCIÓN B Apartado Presentación y expresión Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción B - Cuestión Puntuación parcial Cálculo de la primitiva general:,00 puntos Planteamiento del sistema: 0,5 puntos Resolución sistema y sustitución de los valores de las constantes en la primitiva general:,00 puntos Examen -Opción B - Cuestión Puntuación parcial Expresión razonada del dominio: 0,5 puntos Puntos de corte ejes de coordenadas: 0,5 puntos Ecuaciones de las asíntotas: 0,5 puntos Intervalos de crecimiento, extremos relativos:,00 puntos Representación gráfica: 0,5 puntos Apartado Presentación y expresión Apartado Presentación y expresión Puntuación total,5 0,5 Puntuación total,5 0,5 Examen -Opción B - Cuestión 3 Puntuación parcial Solución correcta explicando en cada paso las propiedades utilizadas:,5 puntos No explica las propiedades pero resuelve correctamente:,5 puntos Examen -Opción B - Cuestión 4 Puntuación parcial Planteamiento del problema: 0,5 puntos Cálculo de los rangos según valores del parámetro:,00 puntos Conclusión razonada de las posiciones relativas: 0,75 puntos

61 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: JUNIO MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS EXAMEN Nº OPCIÓN A. Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en todos sus puntos: f ( x) = ax x a x + b si x < 0 a si 0 x < + b si x. a) Dibujar el recinto plano limitado por las funciones: b) Hallar su área. f ( x) = x + 5x, g( x) = x Discutir y resolver según los valores del parámetro m: x y+ z = m x+ y = 0 mx y + z = 4. a) Están alineados los puntos A(, 0, -), B(-,, ) y C(3, 0, )? Justificar la respuesta. b) En caso afirmativo determinar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos.

62 EXAMEN Nº OPCIÓN B. Representa gráficamente una función que satisfaga las siguientes condiciones: a) f(0)=0; f (0)=0. b) Asíntota vertical la recta x = -3. c) Creciente en (-, -3) (-3, 0). d) lim f( x) = x e) lim f( x) = 0 ; lim f( x) = 0 x + x f) Decreciente en (0,) (,+ ). Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m 3 de volumen, que tenga superficie mínima. x y 3. a) Determinar para que valor de m tiene inversa la matriz: m m 0 0 b) Calcular la matriz inversa para ese valor de m. 4. Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A (0, -, 4) y a la recta de ecuación: x + + = y 3 = z

63 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATERIA: MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una u otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS EXAMEN Nº 3 OPCIÓN A. Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función: f( x) = mx 3 mx si x si x >. a) Dibujar los recintos limitados por la curva y= x, y las rectas: y= x, x=. b) Calcular las áreas de dichos recintos. 3. Discutir el sistema según los valores de k y resolverlo en el caso que sea compatible indeterminado: kx + z = 0 ky z = k x + 3y + z = 5 4. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (, -4, 0) y contiene a la recta: x+ y = 4 r 3x + z =

64 EXAMEN Nº 3 OPCIÓN B. La siguiente gráfica corresponde a la función f (x), derivada de la función f(x). Estudiar la monotonía, concavidad-convexidad, extremos relativos y puntos de inflexión de la función f(x) interpretando dicha gráfica. f (x) x x. Calcular x + 3x 0 dx 3. Resolver el sistema matricial: X Y = X + Y = Dados los planos de ecuaciones: ax z = 5 x+ y+ z= 7 x + y + az = 8a Determinar los valores de a para que los tres planos pasen por una recta. Justificar.

65 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: junio MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una y otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS EXAMEN Nº OPCIÓN A. Se pide trazar razonadamente la gráfica de una cierta función f (x) sabiendo que tiene las siguientes propiedades: a) Está definida para todo valor de x excepto x = 4 y x = 4. b) Es decreciente cuando x < 0 y creciente cuando x > 0. c) La gráfica pedida es simétrica respecto del eje vertical.. Calcular la primitiva siguiente: Ln (5 + x ) dx. 3. En este ejercicio los números x, y, z, u son todos distintos de cero. Justificar, sin efectuar su desarrollo, que el determinante siguiente vale 0: yz xz xy u u u x y z 4. Se sospecha que el plano definido por el punto (,0,5) y los vectores u = (3,, ), v = (,3, ) se corta en un punto con la recta cuyas ecuaciones en forma continua son: x y 7 z = = Decidir razonadamente la cuestión.

66 EXAMEN Nº OPCIÓN B. Calcular los valores de los parámetros a y b para que la función siguiente resulte continua en todos los puntos: a x b, x < f ( x) = a x b x + 3, x 3 b x + a, x >. La gráfica que aparece en la figura representa la derivada de una cierta función g(x) : derivada x -5-0 Describir a partir de ella los intervalos de concavidad y convexidad de máximos y mínimos. g(x), así como sus puntos de inflexión y 3. Discutir el sistema de ecuaciones lineales que viene a continuación según los valores del parámetro p : x + py = 0 x + pz = p x + y + 3z = 5 Hallar para qué valor de p es compatible e indeterminado, y resolverlo en ese caso. 4. Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto (3,0,3) y contiene a la recta cuyas ecuaciones son: x z 3 = y + = 3

67 L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: septiembre MATEMÁTICAS II Elija una de las dos opciones, A o B, y conteste a las cuatro cuestiones que componen cada opción. No mezcle cuestiones de una y otra opción. TIEMPO: 90 MINUTOS EXAMEN Nº OPCIÓN A. Hacer un esquema de la gráfica de una función f (x) que cumpla las siguientes propiedades: a) Tiene dos asíntotas verticales, x = 3 y x = 3. b) Para x ±, se cumple f ( x) 0. c) f ( 4) = f (4) = 5. 6 d) Es creciente en (, 3) ( 3,0) y es decreciente en ( 0,3) (3, + ). e) f ( 0) = 0 y f '(0) = 0.. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 5 cm, halla las dimensiones del que tiene área máxima. 3. Estudiar para qué valores de m es inversible la matriz siguiente: m 0 0 m 0 m y, en caso de ser posible, hallar su inversa para m =. x+ y + z = 0 4.Dada la recta r : y el plano π : x+ y + mz 3= 0, estudiar la posición relativa de la recta r x y + z = 0 y el plano π según los valores del parámetro m, hallar también el punto de intersección de la recta r y el plano π en el caso de m=.