UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA UNIDAA Azcapotzalco DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
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- Nicolás Rivero Montes
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1 UNIVERSIDD UTONOM METROPOLITN UNID zcaotzalco DIVISION DE CIENCIS BSICS E INGENIERI DEPRTMENTO DE CIENCIS BÁSICS EXMEN GLOBL DE ECUCIONES DIFERENCILES (Trimestre 09I / abril) Nombre: Gruo: Matrícula: 6:00 9:00 hrs Nota: Los ejercicios marcados con (*nn%) conforman el eamen global PRIMER PRTE Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales d d 0 a) (*0%) b) d d 0 c) t (* %) Un tanque de 0 galones de caacidad contiene inicialmente 0 galones de agua ura Para t 0, una solución salina que contiene libra de sal or galón se vierte en el tanque a razón de 4 gal/ min, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a una razón de gal/ min Encuentre la cantidad de sal que ha en el tanque en el momento en que éste se llena (*0%) La vida media del cobalto radiactivo es de 7 años Suonga que un accidente nuclear ha elevado el nivel de cobalto radiactivo en la región a 00 veces el nivel acetable ara la vida humana Cuánto tiemo asará ara que la región vuelva a ser habitable? (ignore la resencia de otros elementos radiactivos) SEGUND PRTE (*0%) a) Verifique que la función '' ' 0 d cos ln es solución de la ecuación diferencial b) Encuentre una segunda solución de la ecuación diferencial que forme junto con un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial c) Escriba la solución general de la ecuación diferencial (*%) Halle la solución de la ecuación '' 4 cos( ) con (0), '(0) (*0%) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial '' ' ln TERCER PRTE (*%) Un cuero que esa 64 libras está sujeto al etremo de un resorte lo estira 0 ies El cuero ocua una osición que está ies sobre la osición de equilibrio desde ahí se le comunica una velocidad dirigida hacia abajo de ies/s a) Encuentre la ecuación de movimiento b) Cuántas oscilaciones comletas habrá realizado el eso desués de segundos? c) En qué instantes alcanza el eso or rimera vez sus deslazamientos etremos hacia uno otro lado de la osición de equilibrio? (*%) Un cuero que esa 0 lb sujeto a un resorte lo alarga ies El cuero se sujeta a un mecanismo de amortiguación que ofrece una resistencia numérica igual a veces ( 0 ) la velocidad instantánea Determine los valores de la constante de amortiguación de modo que el movimiento subsiguiente sea a) sobreamortiguado, b) subamortiguado, c) críticamente amortiguado Una resistencia de ohms, un caacitor de 0 farads una inductancia de henr, se conectan E t 00sen 60t qt e i t si en serie a una fuerza electromotriz, determine q0 i0 0
2 UNIVERSIDD UTONOM METROPOLITN UNID zcaotzalco DIVISION DE CIENCIS BSICS E INGENIERI DEPRTMENTO DE CIENCIS BÁSICS EXMEN GLOBL DE ECUCIONES DIFERENCILES (Trimestre 09I / abril) SOLUCIÓN Nota: Los ejercicios marcados con (*nn%) conforman el eamen global PRIMER PRTE Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales d d 0 a) (*0%) a) (*0%) d d 0 a) La ecuación diferencial dada es homogénea: d / /, d / / haciendo el cambio de variable u ó u tenemos que ' u' u, sustituendo en la ecuación diferencial en su forma última tenemos u u u u u u' u Por lo tanto u' u ó du / u u u u u l integrar obtenemos ln u u ln C Por lo tanto la solución es ln( ) ln C d b) d d 0 b) La ecuación dada es eacta a que M ( ) ( ( ( ( ( N ( iguales ( ( ) ( ( (, son Por lo tanto la solución a la ecuación diferencial en la forma u(, C, satisface u (, M u (, N (donde el subíndice, como es costumbre, reresenta la variable con resecto a la cual se deriva) Por lo tanto, integrando una de ellas con resecto al subíndice, or ejemlo la rimera, obtenemos
3 ( u u M d ) d h( ) ( ( Imoniendo la segunda ecuación no integrada obtenemos u h( h'( ( ( ( ) ( ) h'( h'( h'( ( ( ( ( ( De esta manera la función h ( se determina como h( h' d d Sintetizando, la solución a la ecuación diferencial eacta es u h( ( ( C c) d t d c) La ecuación diferencial dada es lineal P( t) f ( t) : d t con P(t) f ( t) t t t e ( ) e d t e, luego entonces e t e Integrando or artes con resecto a t, obtenemos t t t t t t e t e t e t e 6te 6e C Por lo tanto, el factor de integración es de t t t ó t e (* %) Un tanque de 0 galones de caacidad contiene inicialmente 0 galones de agua ura Para t 0, una solución salina que contiene libra de sal or galón se vierte en el tanque a razón de 4 gal/ min, mientras que una solución bien mezclada sale del tanque a una razón de gal/ min Encuentre la cantidad de sal que ha en el tanque en el momento en que éste se llena Sea (t) la cantidad de sal resente en cualquier instante en el tanque Entonces la razón de cambio de la cantidad de sal viene dada or lb gal gal ' 4 c, donde c es la concentración de la mezcla Como al gal min min tiemo t (en minutos) la cantidad de sal es (t), solo necesitamos conocer el volumen al tiemo t ara oder determinar la concentración de la solución saliente, este resulta ser el tiemo or la razón neta a la que se incrementa el volumen: t (gal), más los 0 galones originales Por lo tanto la ecuación diferencial ara el flujo de mezcla es ' 4 La cual es una ecuación t 0
4 lineal, con solución ( t ) t 0t C Como en t 0, (0) 0, entonces C 0 Por lo tanto la solución es t 0t t( t 0) ( t ) ( t En el instante en ) que el tanque se llena t 0 0(gal) ó t Entonces la cantidad de sal es t (0) ( t 0t ) t( t 0) ( t ) 40(0) 48 lb (*0%) La vida media del cobalto radiactivo es de 7 años Suonga que un accidente nuclear ha elevado el nivel de cobalto radiactivo en la región a 00 veces el nivel acetable ara la vida humana Cuánto tiemo asará ara que la región vuelva a ser habitable? (ignore la resencia de otros elementos radiactivos) Sea N(t) la cantidad de cobalto al tiemo t (en años), entonces en tal región N( 0) 00N, donde N es el nivel tolerable aara la vida humana Como el modelo ara el decaimiento es dn kt kn con solución ln N kt ln C ó N Ce licando la condición en t 0, N(0) 00N, tenemos que C 00N Por otra arte al tiemo t 7, N(7) 0N, la cantidad de cobalto se habrá reducido a la mitad; 7k ln entonces 0N 00N e, de donde k 0 La región volverá 7 7 a ser habitable en el tiemo en el que N( t) N 00N e, es decir cuando ln 7ln00 t ln00 ó t 0 años 7 ln ln t
5 4 SEGUND PRTE (*0%) a) Verifique que la función cos ln es solución de la ecuación diferencial '' ' 0 b) Encuentre una segunda solución de la ecuación diferencial que forme junto con un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial c) Escriba la solución general de la ecuación diferencial a) Derivando sustituendo en la ecuación diferencial, obtenemos: ( cos(ln ) sin(ln ) ) ( sin(ln ) ) cos(ln ) cos(ln ) sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) 0 b) Por el método de reducción de orden la segunda solución de '' ' q '' ' 0 viene dada or d d ln e e e d cos(ln ) cos(ln ) d d cos (ln ) cos (ln ) du cos(ln ) d cos(ln ) con u ln cos (ln ) cos ( u) Por lo tanto cos(ln )tan(ln ) sin(ln ) c) cos(ln ),sin(ln ) forma el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden, entonces la solución general es c c c cos(ln ) c sin(ln ) (*%) Halle la solución de la ecuación '' 4 cos( ) con (0), '(0) El conjunto fundamental de soluciones de la homogénea asociada '' 4 0 es cos,sin Por otro lado, el oerador anulador del término no-homogéneo es ( D 4) D 0 Luego, la forma de la solución articular la obtenemos comarando el conjunto solución de la nueva ecuación homogénea ( D 4) D ( D 4) 0 :,,cos,sin, cos, sin con el conjunto solución de la homogénea asociada Por lo tanto la solución articular tiene la forma B C cos Dsin Sustituendo B C cos Dsin, su segunda derivada ' ' 4Dcos 4C sin 4C cos 4Dsin, en la ecuación diferencial dada: '' 4 4Dcos 4C sin 4C cos 4Dsin 4 4B 4C cos 4Dsin 4 4B 4Dcos 4C sin cos
6 De donde obtenemos 4 0, 4B, 4D 4C 0 ó 0, B / 4, C 0, D / 4 Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial es c c c cos c sin sin, con rimera 4 4 derivada ' c sin c cos sin cos 4 4 l alicar condiciones iniciales, obtenemos c c Por lo tanto la 8 solución al roblema de valores iniciales es cos sin sin (*0%) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial '' ' ln El conjunto de soluciones de la homogénea ' ' 0es e, e Luego or el método de variación de arámetros, la solución articular de la ecuación dada tiene la forma ( e ) u ( e ) u, donde u u se encuentran integrando el sistema ( e ) u' ( e ) u' 0 ( e ) u' ( e ) u' ln - Se obtiene que u' e ln u' e ln Por lo tanto u -t t e ln t u e ln t De este modo la solución general es a a c c c e c e t t e e ln t e e ln t a a
7 6 TERCER PRTE (*%) Un cuero que esa 64 libras está sujeto al etremo de un resorte lo estira 0 ies El cuero ocua una osición que está ies sobre la osición de equilibrio desde ahí se le comunica una velocidad dirigida hacia abajo de ies/s a) Encuentre la ecuación de movimiento b) Cuántas oscilaciones comletas habrá realizado el eso desués de segundos? c) En qué instantes alcanza el eso or rimera vez sus deslazamientos etremos hacia uno otro lado de la osición de equilibrio? a) En el sistema de unidades eso en libras, longitud en ies, tiemo en segundos, m 64 lb slug ie/s 64 lb k 0 ie 00 lb/ie, la ecuación diferencial esta dada or '' 00 0, con condiciones iniciales ( 0) ies '(0) ies/s (con dirección ositiva de hacia el centro de la tierra) La solución es entonces ( t) c cos0t c sin0t, con velocidad ' ( t) 0c sin0t 0c cos0t l imoner las condiciones iniciales obtenemos ( 0) c c 0 '(0) 0c 0 0c Por lo tanto ( t) cos0t sin0t sin(0t 097) 6 b) La frecuencia angular es 0 el eríodo del movimiento es 0 T / 0 /, el tiemo que tarda en comletar un ciclo Por lo tanto en segundos, comletará ciclos u oscilaciones T / c) La velocidad del cuero está dada or '( t) cos( 0t 097) Como en los etremos la velocidad es cero tenemos que 0t 097 (k ) /, k entero Por lo tanto dirigiéndose hacia abajo alcanza el etremo en / 097 t 0 dirigiéndose hacia arriba lo alcanza en 0 / 097 t 06, ambos or rimera vez 0 (*%) Un cuero que esa 0 lb sujeto a un resorte lo alarga ies El cuero se sujeta a un mecanismo de amortiguación que ofrece una resistencia numérica igual a veces ( 0 ) la velocidad instantánea Determine los valores de la constante de amortiguación de modo que el movimiento subsiguiente sea a) sobreamortiguado, b) subamortiguado, c) críticamente amortiguado
8 quí m 0 lb slug ie/s 6 0 lb k ie lb/ie, la ecuación diferencial de 6 este sistema es '' ' 0 ó '' ' 6 0 De las soluciones de la ( ) 4(6) 6 ecuación auiliar r r 6 0: r (con 0), obtenemos que 6 6 a) el movimiento será sobreamortiguado si ( ) 4(6) 0 ó 4 0 ; es decir, si 7 b) El movimiento es subamortiguado si 6 4 0, o sea cuando 0 c) Será críticamente amortiguado cuando 0 Una resistencia de ohms, un caacitor de 0 farads una inductancia de henr, se conectan en E t 00sen 60t qt e q 0 i 0 0 serie a una fuerza electromotriz, determine it si En el sistema de unidades resistencia en ohms, caacitancia en farads F, inductancia en henrs H, fuerza electromotriz en volts V, corriente eléctrica en ameres carga eléctrica en coulomb C : la ecuación diferencial ara este circuito en serie está dada or q'' q' q 00sin(60t) ó q'' q' 4q 00sin(60t), con q(0) i(0) 0 0 La solución ara esta ecuación diferencial es t q t) e ( c cos t c sin t) q ( ) donde q (t) tiene la forma ( t q ( t) cos60t Bsin 60t Sustituendo (t) junto con su rimera q' ( t) 60sin 60t 60Bcos60t segunda derivada q'' ( t) 60 cos60t 60 Bsin 60t, en la ecuación diferencial dada: 60 cos60t 60 q Bsin 60t ( 60sin 60t 60Bcos60t) 4( cos60t Bsin 60t) 00sin(60t),
9 96 0B 0 obtenemos el sistema Cua solución es 96B (0) B Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es t t q( t) e ( c cos t c sin t) q ( t) e ( c cos t c sin t) t cos60t Bsin 60t e ( c cos t c sin t) cos60t sin 60t Con derivada t i(t) q'(t) e (c c ) cos t ( c c sin 60t cos60t licando condiciones iniciales obtenemos 70 4 c c ) sin Por lo tanto la carga en el circuito que arte del reoso es q( t) e t ( cos t 09678sin cos60t sin 60t t) i(t) se obtiene al derivar la última eresión ara la carga q (t) t
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