CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN. Mg. Amancio R. Rojas Flores

Transcripción

1 IRUITOS DE SEGUNDO ORDEN Mg. Amancio R. Rojas Flores

2 Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación diferencial de segundo orden. onsta de elementos R, y

3 1.- INTRODUION En este capítulo se analizan circuitos que contienen dos elementos de almacenamiento. A estos circuitos se les conoce como circuitos de segundo orden, porque sus respuestas se describen con ecuaciones diferenciales que contienen segundas derivadas. Ejemplos circuitos R ircuitos R y R

4 2.- DETERMINAIÓN DE VAORES INIIAES Y FINAES Hay dos puntos clave que se deben tener presentes en la determinación de las condiciones iniciales. Se debe tener cuidad la polaridad de la tensión v (t) en el capacitor y la dirección de la corriente i (t) a través del inductor. Tener presente que: a tensión del capacitor siempre es continua v( o ) v( o ) a corriente del inductor siempre es continua i( o ) i( o ) donde : t o : momento justo antes de un evento de conmutación t o : momento justo despues de un evento de conmutación

5 Ejemplo 1 El interruptor en la figura ha estado cerrado mucho tiempo. Se abre en t = 0 Hallar:

6 Solución a) Si el interruptor esta cerrado mucho tiempo antes de t = 0 esto significa que el circuito ha llegado al estado estable de cd en t =0. en el estado estable de D - El inductor actúa como un cortocircuito - El capacitor actúa como un circuito abierto Entonces tenemos el circuito de la figura (a) 18 i( o ) 3A 4 2 v( o ) 2i( o ) 6v Dado que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cambiar abruptamente i( o ) i( o ) 3A v( o ) v( o ) 6v

7 b) En t=0 +, el interruptor esta abierto ; el circuito equivalente se muestra en la fig. tanto por el inductor como por el capacitor fluye la misma corriente. Así i c ( o ) i( o ) 3A dado que i c dv dv ic dv ) ic ) 3 30V / s 0.1 de igual manera v d i di v Se obtiene v aplicando la TK al lazo de la figura (b) 18 4 i ( o ) v ( o ) v( o ) 0 ( o ) v d i( o ) v ( o ) 0 por lo tan to 0A/ 0.25 s

8 c) Para t>0, el circuito pasa por un trasiente. Pero como t, llega otra vez al estado estable. El inductor actúa como un cortocircuito y el capacitor como circuito abierto, de modo que el circuito de la fig (b) se convierte en el que aparece en la fig(c), del que se tiene i( ) 0A v( ) 18V

9 Prob. En referencia al circuito de la figura, encuentre: Solución En t - ) el circuito ha alcanzado el estado estacionario de manera que el circuito equivalente se muestra en la figura a i( 0 ) 12 / 6 2A, v ) 12V en t 0 i ) i ) 2A, v ) v ) 12V

10 b) Para t > 0 tenemos el circuito equivalente mostrado en la figura (b). v di o di v aplicando VK en t( 0 ) obtenemos v ( 0 ) v ) 10i ) 0 v ( 0 ) v ) 8V por lo tan to di ) / 8/ 2 4A / s similarmente : dv i o i ) i dv c) uando t tiende a infinito, el circuito alcanza el estado de equilibrio. dv i ) 2 ) / 2 / 0.4 5V / s i( ) 0A, v( ) 0V

11 Prob. En el circuito de la figura, determine: Solución a) En t = 0 -, el circuito equivalente se muestra en la figura (a). 60 // 20 15k i R ) 80 /(25 15) 2 ma Por el principio de divisor de corriente, i v ) 60(2mA) /(60 20) 1.5mA ) 0

12 ma i i t en 5 1. ) ) ) ma k i v i R R / ) ) 20) )(25 80 ma i i i i i pero R ) 1.5 ) ) ) ) v v b dv di v i nuevamente di v di di v pero R R / / ) / 0 ) / ) / /

13 pero por lo tan to di R dv di ) / i ) / A/ s R ) / 0.278m /1uF 278V / s ) / ( 1/ 45) dv ) / 278/ 45 tambien di R i R ) / di di i i ) / di ) / 0 ) / di ) / A/ s c) uando t tiende a infinito, tenemos el circuito equivalente de la figura (b). i i R ( ) i ( ) 80 / mA ( ) dv( ) / 0

14 Practica1 El interruptor de la figura estuvo abierto mucho tiempo, pero se cerro en t=0 hallar:

15 Ejemplo 2 En el circuito de la figura calcular Solución a) Para t<0, 3u(t) =0. En t = 0 -, dado que el circuito ha llegado al estado estable, el inductor puede remplazarse por un cortocircuito, mientras que el capacitor se remplaza por un circuito abierto, como se ve en la figura

16 Para t>0, 3u(t)=3, así que ahora el circuito es el equivalente al de la figura. Puesto que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cambiar abruptamente i v c ( o ( o ) i ) v ( o c ( o ) 0 ) 20V a aplicación de la K al nodo a de la figura da..(2)..(3) Aplicamos la TK al lazo intermedio de la figura b da:..(4) como vc ( o ) 20V De la ecuación (2), la ecuación (4) implica que..(5) De la ecuación (3), y (5) se obtiene

17 d i b) Puesto que v a aplicación de la TYK a la malla derecha de la figura da como resultado De ahí que dv de igual manera como i c Aplicamos la K al nodo b para obtener i c dado que v0 ) 4, i ) 0, ic ) 4 / 4 1A d vr o ) para obtener ( a aplicación de la K al nodo a produce Al tomar la derivada de cada termino y establecer t = 0 + se obtiene (10)

18 También se aplica la TK al lazo intermedio de la figura (b) de lo que resulta Al tomar la derivada de cada termino y establecer t = 0 + se obtiene d v ( o ) la sustitución 2, da (11) De las ecuaciones (10) y (11) se obtiene

19 omo t, el circuito llega al estado estable. Asi se tiene el circuito equivalente de la figura (a), salvo que ahora esta en operación la fuente de corriente de 3A. Por la regla de división de corriente

20 Practica 2 En referencia al circuito de la figura, hallar

21 IRUITO R EN SERIE Sea el circuito mostrado en la figura. Este circuito se excita con energía almacenada en el capacitor y el inductor. Tal energía esta representada por la tensión inicial del capacitor V 0 y la corriente inicial del inductor I 0. Así en t = 0 1 v) i) I 0 0 i V Al aplicar la TK en la malla de la figura 0 (2) Ri 1 t i Para eliminar la integral, se deriva con respecto a t y se reordenan los términos 2 d i 2 R di i 0 di (4) 0 (3)

22 Resolver la ecuación diferencial de segundo orden requiere que haya dos condiciones iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de algunas i y v. El valor inicial de i se da en la ecuación (2b). Se obtiene el valor inicial de la derivada de i de las ecuaciones (2a) y (3) O sea ) ( 0) di Ri V 0 di) 1 ( RI 0 V 0 ) 0 (5) on las dos condiciones iniciales en las ecuaciones (2b) y (5), ahora se puede resolver la ecuación (4). on la experiencia sobre circuitos de primer orden, indica que la solución es de forma exponencial. i st Ae (6) Donde A y s son contantes a determinar

23 De la sustitución de la ecuación (6) en la ecuación (4) y de la realización de las derivaciones necesarias se obtiene (7) (8) Esta ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial (4), ya que sus raíces dictan el carácter de i, las dos raíces de la ecuación (8) son (9)

24 Una forma mas compacta de expresar estas raíces es: (10) donde as raíces s 1 s 2 se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers por segundo (Np/s), porque se asocian con la respuesta natural del circuito 0 se conoce como frecuencia resonante, o mas estrictamente como frecuencia natural no amortiguada. Expresada en radianes por segundo (rad/s), es la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento, expresada en nepers por segundo. En términos de y 0, la ecuación (8) puede escribirse como.

25 os dos valores de s en la ecuación (10) indican que hay dos posibles soluciones para i, cada una de las cuales es de la forma de la supuesta solución en la ecuación (6), es decir omo la ecuación (4) es una ecuación lineal, cualquier combinación lineal de las dos distintas soluciones i 1 e i 2 también es una solución de la ecuación (4). Una solución completa o total de la ecuación (4) requeriría por lo tanto una combinación lineal de i 1 e i 2. Así la respue4sta natural del circuito R en serie es: (13) Donde las constantes A 1 A 2 se determinan a partir de los valores iniciales de i) y di)/ en las ecuaciones (2b) y (5) De la ecuacion (10) se puede inferir que hay tres tipos de soluciones 0 0 0, sobreamortiguado, críticamente amortiguado, amortiguado

26 caso sobreamortiguado ( ) 0 (uando las rices de la ecuación característica del circuito son diferentes y reales ) on base en las ecuaciones (9) y (10). > 0 implica que =4/R 2, cuando esto sucede, las raíces s 1 y s 2 son negativas y reales. a respuesta es:

27 caso criticamente uando = 0, = 4/R 2 amortiguado ( ) 0 ( cuando las raíces son iguales y reales) En este caso, la ecuación (13) da por resultado Donde A 3 = A 1 + A 2,. Esta no puede ser la solución, porque las dos condiciones iniciales no pueden satisfacer con la condición sencilla A 3 a suposición de una solución exponencial es incorrecta para el caso especial de amortiguamiento critico. Usamos la ecuación (4). uando = 0 =R/2. a ecuación (4) se convierte en: O sea (16) Haciendo (17) a ecuación (16) se convierte en

28 a cual es una ecuación diferencial de primer orden con solución Donde A 1 es una constante. a ecuación (17) se convierte entonces en O sea f 1 A e t (18) Esta puede escribirse como a integración de ambos miembros produce O sea (20) Donde A 2 es otra constante. Así, la respuesta natural del circuito críticamente amortiguado es una suma de dos términos: una exponencial negativa y una exponencial negativa multiplicada por un termino lineal, o sea

29 caso subamortiguado ( ) 0 ( cuando las raíces son complejas) uando < 0, < 4/R 2 as raíces pueden escribirse como (22) donde j 2 1 y d 2 0 a cual se llama frecuencia de amortiguamiento Tanto 0 como d son frecuencias naturales, porque contribuyen a determinar la respuesta natural a respuesta natural es 0 suele llamarse frecuencia natural no amortiguada d suele llamarse frecuencia natural amortiguada (23)

30 Usando las identidades de Euler Se obtiene (24) (25) Al remplazar las constantes (A 1 +A 2 ) y j(a 1 -A 2 ) por las constantes B 1 y B 2, se escribe

31 Ejemplo En la figura, R = 40, = 4H y = 1/4 F. alcule las raíces características del circuito. a respuesta natural está sobre, sub o críticamente amortiguada? solución Primero se calcula R , (4) 1 4x 4 as raíces son 2 2 s ,2 0 s s Puesto que w 0 se concluye que la respuesta está sobreamortiguada. Esto también es evidente en el hecho de que las raíces son reales y negativas.

32 Ejemplo Halle i(t) en el circuito de la figura. Suponga que el circuito ha llegado al estado estable en t = 0 -. Solución: Para t < 0, el interruptor está cerrado. El capacitor actúa como circuito abierto, mientras que el inductor lo hace como circuito derivado. El circuito equivalente se muestra en la figura (a). Así, en t = 0, donde i) es la corriente inicial a través del inductor y v) es la tensión inicial a través del capacitor.

33 Para t> 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión desconectada. El circuito equivalente se presenta en la figura (b), de un circuito R en serie sin fuente. Nótese que los resistores de 3 y 6, que están en serie inicialmente cuando el interruptor se abre, se han combinado para producir R = 9 en la figura (b). as raíces se calculan de la siguiente manera: o sea Así, la respuesta está subamortiguada ( ); es decir, Ahora se obtiene A 1 y A 2 usando las condiciones iniciales. En t = 0,

34 Partiendo de la ecuación (*) Adviértase que se emplea v)=v 0 =-6V, porque la polaridad de v en la figura (b) es la opuesta a la de la figura inicial. Al tomar la derivada de i(t) en la ecuación a imposición de la condición en la ecuación (*) en t= 0 da por resultado Pero A 1 =1. En consecuencia, a sustitución de los valores de A 1 y A 2 en la ecuación produce la solución completa como

35 IRUITO R EN PARAEO Sea el circuito R en paralelo, que se representa en la figura. Suponiendo que la corriente inicial del inductor I 0 y la tensión inicial del capacitor V 0 (27) Puesto que los tres elementos están en paralelo, tienen la misma tensión v en sus extremos. De acuerdo con la convección pasiva de los signos, en cada elemento entra corriente; esto es, la corriente a través de cada elemento sale por el nodo superior. Así la aplicación de la K al nodo superior nos da. (28)

36 Al tomar la derivada respecto a t y dividir entre resulta (29) Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y la segundad derivada por s 2. Siguiendo el mismo razonamiento que el utilizado al establecer las ecuaciones (4) y (8), la ecuación característica se obtiene como (30) as raíces de la ecuación características son o sea s 2 2 1,2 0 (31) Donde (32)

37 caso sobreamortiguado ( ) 0 A partir de la ecuación (32) 0, 4R as raíces de la ecuación característica son reales y negativas. a respuesta es 2 caso críticamente amortiguado ( ) 0 Para 0, 4R as raíces son reales e iguales, así que la respuesta es 2

38 caso subamortiguado cuando 0, 4R ( ) 0 En este caso las raíces son complejas y pueden expresarse como a respuesta es 2 donde as constantes A 1 A 2 pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. Se necesita v (o) dv)/. El primer termino se conoce a partir de la ecuación (27b). El segundo se halla combinando las ecuaciones (27) y (28), en esta forma O sea

39 Problema 1 Dado el circuito que se muestra en la Figura 8.1, que ha permanecido así durante mucho tiempo, encontrar: V ( 0), V 2), i 1), y i 2) 1

40 Solución uando un circuito alcanza el estado de equilibrio, un inductor se parece a un corto circuito y un condensador se ve como un circuito abierto. Por lo tanto, utilizamos el siguiente circuito para encontrar los valores iniciales. Usamos transformaciones de fuente para simplificar el circuito.

41 Ahora es evidente que Usamos análisis nodal para hallar V 1, V 2, y V 3 En el nodo 1 En el nodo 2 En el nodo 3

42 Sustituyendo la ecuación del nodo 2 en la ecuación del nodo 1 V1 25 Entonces V V 2 2 Por lo tanto

43 Problema 2 Dado el circuito de la figura 8.1, que ha alcanzado el estado estacionario antes de que el interruptor se cierra, encontrar i (t) para todo t > 0. Solución Usamos la TK para escribir la ecuación de malla para t > 0

44 Multiplicando por 1/ y derivando con respecto al tiempo Reordenando los términos y la inserción de los valores de R, y, asumiendo una solución de Ae st por lo tan to ( S 1)( S 2) 0 que da raíces reales y desiguales en S 1 1 y S2 2 por lo tan to i( t) A e 1 t A e 2 2t

45 En t = 0 + el circuito es por lo tan to i) tambien V di) y por lo tan to A 1 A 2 o A 2 A di) di) ( 0 ) o 1 A e A2e A1 2 1 A A 1 2A2 A1 2 2 A 1 1 A 1 luego A 1 1 y A2 1