CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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1 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN Optimización es el proceso de hallar el máimo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la auda de gráficos. 4.1 Conceptos claves A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para comprender apropiadamente el tema de optimización Funciones crecientes decrecientes Se dice que una función f() es creciente (decreciente) en =a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio la pendiente de una función, una primera derivada positiva en =a indica que la función es creciente a ; una primera derivada negativa indica que es decreciente. Gráfico 4-1 Función creciente en = a (Pendiente >0) Función decreciente en = a (Pendiente <0) a a f (a) > 0: función creciente en = a f (a) < 0: función decreciente en = a 4.1. Concavidad conveidad Una función f () es cóncava en = a, si en alguna pequeña región cercana al punto [a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente. Una función es convea en = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en = a CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 81

2 denota que la función es convea en = a. Análogamente, una segunda derivada negativa en = a denota que la función es cóncava en a. Gráfico 4- Conveo en =a f (a) > 0 f (a) > 0 f (a) < 0 f (a) > 0 a a Cóncavo en =a f (a) > 0 f (a) < 0 f (a) < 0 f (a) < 0 a a f (a) > 0: f() es conveo en = a f (a) < 0: f() es cóncavo en = a Etremo relativo Un etremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máimo o mínimo. Para ello, la función debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni decreciendo, por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es llamado punto o valor critico. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 8

3 Gráfico 4-3 Mínimo relativo en =a Máimo relativo en =a f (a) = 0 f (a) > 0 f (a) = 0 f (a) < 0 a a Puntos de infleión Un punto de infleión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea tangente cambia de cóncavo a conveo viceversa. Los puntos de infleión pueden ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f (a)=0. Gráfico 4-4 f (a)=0 f (a) = 0 f (a) = 0 f (a) < 0 f (a) > 0 a a a a f (a) = Nd f (a) > 0 f (a) < 0 f (a) = 0 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 83

4 4. Optimización sin restricción 4..1 Funciones objetivo de una variable Sea la función: = f(), los pasos o condiciones para obtener el (los) máimo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán: 1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, d 0 d =. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, revisar los signos. Esta condición es llamada condición suficiente. Si un punto critico es a, entonces: f (a) < 0, la función es cóncava en a, por ende un máimo relativo f (a) > 0, la función es convea en a, por ende un mínimo relativo f (a) = 0, el test es inconcluso es necesario realizar el test de las derivadas sucesivas : - Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.) la función es un punto de infleión. - Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la función es un etremo relativo en a. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es cóncava en a ( por ende, es un máimo relativo). Caso contrario, la función es convea presenta un mínimo relativo en a. Ejercicio 76: Obtener el etremo relativo de la siguiente función: f() = Calculando la primera derivada e igualándola a 0: f ()= = 0 = 9 (valor critico) CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 84

5 Tomando la segunda derivada evaluando el valor critico: f () = -14, entonces f (9) = -14 < 0 es cóncavo, máimo relativo. Ejercicio 77: Obtener el etremo relativo de la siguiente función: f () = Calculando la primera derivada e igualándola a 0: f () = = 0 f () = 8( ) ( 4) = 0 =0, =, =4 (puntos críticos) Tomando la segunda derivada evaluando los puntos críticos: f () = f (0) =4(0) 96(0) +64 = 64 f () =4() 96() +64 = -3 f (4) =4(4) 96(4) +64 = 64 >0 conveo, mínimo relativo <0 cóncavo, máimo relativo >0 conveo, mínimo relativo Ejerció 78: Obtener el etremo relativo de la siguiente función: f() = - ( - 8 ) 4 Calculando la primera derivada e igualándola a 0: f () = -4( - 8 ) 3 = 0 =8 (punto critico) Tomando la segunda derivada evaluando el punto crítico: f () = -1( - 8 ) f (8) = -1( 8-8 ) = 0 Se requiere el test de derivadas sucesivas. f () = -4( - 8 ) f (8) = -4( 8-8 ) = 0 test inconcluso CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 85

6 f () = -4 f (8) = -4 <0 cóncavo, máimo relativo Ejercicio 79: Buscar la relación entre: a) Producto total, b) Producto medio, c) Producto marginal de la siguiente función de producción: PT = 90K K 3 a) Condición de 1 er Orden para encontrar los valores críticos. PT = 90K 3K = 3K (60-K) = 0 K=0 K=60 (valores críticos) Probar las condiciones de do Orden. PT = K PT (0) = 180 PT (60) = -180 (conveo mínimo relativo) (cóncavo, máimo relativo) Comprobar puntos de infleión. PT = K = 0 K = 30 K < 30 PT > 0 (conveo) K > 30 PT < 0 (cóncavo) Puesto que K = 30, PT = 0, ha un punto de infleión en K=3 b) Pme k = PT K = 90K K Pme k = 90 K = 0 K=45 (valor critico) Pme k = - < 0 (cóncavo, máimo relativo) c) PMg k = PT = 180K - 3K PMg k = 180 6K = 0 K=30 (valor crítico) CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 86

7 PMg k = 6 <0 (cóncavo, máimo relativo) Gráfico 4-5 PT Pmg= Pme máimo Pmg máimo Pmg K Pme. 700 Pmg. Pme K 4.. Funciones objetivo de dos variables Para que una función como z = f (,) tenga un mínimo o máimo relativo, tres condiciones deben ser satisfechas: 1. Las derivadas parciales de primer orden deben simultáneamente ser iguales a cero. Ello indica que en un punto dado (a,b) llamado punto critico, la función no esta creciendo ni decreciendo con respecto a los ejes principales sino a una superficie relativa. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 87

8 . Las derivadas parciales de segundo orden deben ser negativas cuando ellas son evaluadas en el punto critico (a,b) para un máimo relativo positivas para un mínimo relativo. Ello asegura que la función es cóncava moviéndose hacia abajo en relación a los ejes principales en el caso de un máimo relativo la función es conveo moviéndose hacia arriba en relación a los ejes principales en el caso de un mínimo relativo. 3. El producto de las derivadas parciales de segundo orden evaluadas en el punto crítico deben eceder el producto de las derivadas parciales cruzadas también evaluadas en dicho punto. Esta condición adicional es necesaria para evitar un punto de infleión o punto de silla (ver gráfico 4-6). En resumen: Condición necesaria Máimo Mínimo Primer orden f = f = 0 f = f = 0 Segundo orden* f, f < 0 f, f > (f ) f, f > 0 f, f < (f ) Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto critico (a,b) o los puntos críticos que hubieren. En la situación que f f < (f ), cuando f f tienen el mismo signo, la función esta en un punto de infleión. Caso contrario, la función estará en un punto de silla. Si f f = (f ) entonces se requeriría maor información. Gráfico 4-6 Mínimo Máimo z z CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 88

9 Punto de Silla z Ejercicio 80: En la siguiente función encontrar los puntos críticos determinar si éstos son máimos o mínimos relativos, puntos de infleión o puntos de silla: f(, ) = Calculando la primera derivada e igualándola a 0: f = 9 5 = 0 f = = 0 Resulta: = ± 5, = 7. Entonces los puntos críticos serán: (5,7) (5,-7) Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas) f = 18 f = -10 f = f = 0 Evaluando el punto crítico (5,7): f ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90 f ( 5, 7 ) = -10 Cumple f ( 5, 7 ). f ( 5, 7 ) > [ f (5,7) ]? 90. (-10) < [ 0 ] (no cumple!) Entonces este punto crítico no es ni máimo ni mínimo. Puesto que f f (evaluadas en este punto crítico) tienen signo diferente, se conclue que este punto es un punto de silla. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 89

10 Evaluando el punto crítico (-5,7) f ( -5, 7 ) = 18 (-5) = -90 f ( -5, 7 ) = -10 Cumple f ( -5, 7 ). f ( -5, 7 ) > [ f (-5,7) ]? -90. (-10) > 0 (Si cumple!) Dado que se cumple f ( -5, 7 ). f ( -5, 7 ) > [ f (-5,7) ] además, f, f < 0 entonces el punto en análisis es un máimo. Ejercicio 81: En la siguiente función encontrar los puntos críticos determinar si éstos son máimos o mínimos relativos, puntos de infleión o puntos de silla: f (,) = Calculando la primera derivada e igualándola a 0 (condición de primer orden): f = 9 18 = 0 = ½ f = 3 18 = 0 = 6 Donde = 0, = 1, = 0, = 7. Así, los puntos críticos son: (0,0) (1,7) Calculando las segundas derivadas: f = 18 f = 3 f = f = -18 Evaluando el punto crítico (0,0) f = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0 f = ( 0, 0 ) = 3 Cumple que f ( 0, 0 ). f ( 0, 0 ) > [ f (0,0) ]? 0.3 < ( -18 ) (No cumple) Entonces este punto crítico no es ni máimo ni mínimo. Puesto que f f (evaluadas en este punto crítico) tienen signos iguales entonces es un punto de infleión. Evaluando el punto crítico (1,7) CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 90

11 f = ( 1, 7 ) = 18 (1) = 16 f = ( 1, 7 ) = 3 Cumple que f ( 1, 7 ).f ( 1, 7 ) > [ f (1,7) ]? 16.3 > ( -18 ) (Si cumple!) Dado que se cumple f ( 1, 7 ). f ( 1, 7 ) > [ f (1,7) ] además, f, f > 0 entonces el punto en análisis es un mínimo relativo Funciones objetivo con más de dos variables Considerando una función de tres variables z = f ( 1,, 3 ) cuas derivadas parciales primeras son f 1, f f 3 las derivadas parciales segundas fij ( z / i j ) ; con i, j=1,, 3. Conforme al teorema de Young se sabe que f ij = f ji.como en los casos anteriores, para tener un máimo o un mínimo de z es necesario que dz = 0 para valores arbitrarios de d 1, d d 3, no todos nulos. Ya que el valor de dz es ahora dz = f 1 d 1 + f d + f 3 d 3. Ya que d 1, d d 3 son no nulos, la única forma de garantizar que dz = 0 es f 1 = f = f 3 = 0. En otras palabras, lo mismo que en el caso de dos variables. Generalizando para 3 o más variables, el test de determinante para un etremo relativo en este caso será: Condición necesaria Máimo Mínimo Primer orden f 1 = f = f 3 =.. = f n = 0 f 1 = f =.. = f n = 0 Segundo orden* H 1 < 0; H > 0; H 3 < 0;..;(-1) n H n > 0 H 1, H,.., H n >0 Donde H n es el determinante de la matriz Hessiana (simétrica). Hessiano (simétrico) Es simplemente una matriz conformada por derivadas de segundo grado. Esta matriz es utilizada para testear máimos o mínimos en funciones con n variables. En general, el hessiano será: H 1 = f 11 H = f f... f n f f... f 1 n f f... f n1 n nn Donde los Menores serán H = f f f 11 1 f 1 f f f = 1 3 H f f f f f f Y así sucesivamente. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 91

12 Para el caso de una matriz hessiana del orden 3 3, los menores pueden denotarse como: f f f H = f f f 1 3 f f f H 1 = f 11 f H = f H 3 = H f 11 1 f 1 Ejercicio 8: Hallar los valores etremos de z = Las derivadas parciales son: f 1 = f = - f 3 = Ahora, haciendo f 1 = f = f 3 = 0, los puntos críticos serán: (0, 1, 0) (0.5, 1, 0.5). Reemplazando tales puntos en la función original z, se tiene que z = 1, z = 17 16, respectivamente. Las derivadas parciales de segundo orden dispuesta ordenadamente en el hessiano: H = Usando (0, 1, 0), el hessiano es: H 1 = 0 H = 0 0 H = H 3 = 18 No concuerda con ninguna de las dos test. Entonces es necesaria maor información.. Usando (1/, 1, 1/4) el hessiano es: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 9

13 3 0 3 H 1 = -3 H = 0 0 H = H 3 = -18 Cumple el test, entonces, el punto z = es máimo. Ejercicio 83: Utilizar el criterio del Hessiano con el ejercicio 81. En el ejemplo 81 se obtuvieron los puntos críticos (0, 0) (1, 7), ahora analizaremos la segunda derivada con el criterio del Hessiano. Las segundas derivadas: f = 18 f = 3 f = f = -18 El hessiano será: f f H = f f H = Evaluando el hessiano para el punto (0,0): H = 18(0) 18 H 1 = 18(0) = H = 18(0) 3 (-18) (-18)= -34 Puesto que H 1 = 0 H < 0 entonces el punto no es máimo ni mínimo. Es un punto de silla o de infleión (revisar los criterios).. Evaluando el hessiano en el punto (1,7): H = 18(1) 18 H 1 = 18(1) = H = 18(1) 3 (-18) (-18)= 34 Dado que H 1 > 0 H > 0, el punto es un mínimo. Cuando se utiliza el criterio del hessiano para funciones de dos variables es necesario resaltar lo siguiente: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 93

14 La matriz hessiana será de orden : f f H = f f Para el caso de un máimo, el hessiano requiere inicialmente que: H 1 < 0, o lo que es igual f < 0 (i) Además, se requiere que H > 0, o lo que es igual: f f - f f > 0 (ii) Recordando que f = f, tal epresión puede quedar como: f f > (f ) (iii) Dado que f < 0, para que la epresión (iii) sea válida, es necesario que: f < 0 (iv) Entonces, para que el punto critico sea un máimo se requiere que se cumpla (i), (iii) (iv), condiciones de suficiencia conforme a la sección 4... Note que la multiplicación de las segundas derivadas parciales debe ser positiva (f f > 0) a que cada segunda derivada debe ser negativa. Para el caso de un mínimo, el lector puede fácilmente demostrar que las condiciones señaladas en el punto 4.. igualmente coinciden con el criterio del hessiano (simétrico). Por qué?. En realidad, el hessiano (simétrico) es el caso general para optimización funciones de cualquier orden. 4.3 Optimización con restricción Funciones con igualdades Se plantea un nuevo problema, el de optimizar una función sujeta a una restricción de igualdad: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 94

15 Maimizar f ( 1, ) Sujeto a g( 1, ) = k (una constante), Para encontrar la solución a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva función F que debe ser formada por (1) estableciendo la restricción igual a cero, () multiplicándolo por λ (el multiplicador de Lagrange) (3) sumando el producto a la función original: F( 1,, λ ) = f( 1, ) + λ [ k - g( 1, )] Aquí, F( 1,, λ ) es llamada la función Lagrangiana, f( 1, ) es la función objetivo u original, g( 1, ) es la restricción. Puesto que la restricción es siempre igual a cero, el producto λ [ k - g( 1, )] también es igual a cero la suma de tal término no cambia el valor de la función objetivo. Los valores críticos 0, 0 λ 0 (para los cuales la función es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a cada una de las tres variables independientes) e igualándolas a cero. Es decir, simultáneamente: F F 1 ( 1,, λ ) = 0 F ( 1,, λ ) = 0 (1, λ, λ ) = 0 Donde F 1 epresa una derivada parcial F/ 1 Ejemplo: Considere el siguiente problema con tres variables de decisión (,, z), donde la ecuación G(.) = c (es una constante) determina un conjunto de restricciones para (,, z), en el espacio, el cuál es una superficie lo denotaremos por S G. El problema es determinar el valor más grande de la función V ( 1,, z ) para puntos (,, z) sobre la superficie S G. Maimizar V (,, z ) Sujeto a G (,, z ) = c (1) Solución: Paso 1: formar el lagrangiano. L = V (,, z ) λ [G (,, z ) c] () CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 95

16 Paso : Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales. L = L = L z = 0 (3) Paso 3: La solución a este problema es mostrado en la gráfico (4-7) por el punto P* = ( *, *, z* ) sobre la superficie S G donde la función objetivo V ( 1,, z ) consigue ser máimo. Considere también que el volumen V (.) pasa por P* es tangente a la superficie de restricción S G. Gráfico (4-7) V = V(,,z ) P z S G Ejercicio 84: Considerar el siguiente ejemplo: Maimizar 3 + z Sujeto a + + z = 9 Paso 1: formamos el lagrangiano para este problema L = 3 + z - λ ( + + z - 9) Paso : Por las condiciones necesarias de primer orden CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 96

17 L = - λ = 0 (1) L = -3 - λ = 0 () L z = 1 - λ z = 0 (3) L = z (4) + 9 λ Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones: De la ecuación (1) () - λ = 0 λ = 1/ -3 - λ = 0 λ = -3/ Igualando λ se obtiene: = - 3/ (en función de ) (a) De la ecuación (1) (3) - λ = 0 λ = 1/ 1 - λ z = 0 λ = 1/z Igualando λ se obtiene: z = / (en función de ) (b) Luego reemplazamos (a) (b) en la restricción = =± 3 7 Resulta en dos soluciones: 1 = 3 7= = -9 / 14 = -.41 z 1 = 3 / 14 = -0.8 = 3 7= -1.6 = 9 / 14 =.41 z = -3 / 14 = -0.8 Notamos sin embargo que: V ( 1, 1, z 1 )= 4/ 14 = 11. V (,, z )= -4/ 14 = -11. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 97

18 Por lo tanto, el punto máimo es ( 1, 1, z 1 ) el punto mínimo es (,, z ). El problema la solución son retratados en la siguiente gráfico (4-8). z Gráfico (4-8) 11 V* = 11. = 3 + z z = ( 1, 1,z 1) = (1.6,.4,0.8) 6 Ejercicio 85: Considere una economía de recurso basada en que cada obreros (L) puede optar por cosechar árboles madereros (T) o pescar (F). Suponga que la economía eporta tanta madera como peces se enfrentan a precios mundiales constantes significados P T P F respectivamente. La siguiente curva de transformación son combinaciones técnicamente eficientes de madera, peces trabajo G( T, F, L ) = T + F / 4 L = 0 Suponga que P T = $ 500 / TM, P F = $ 1000 / TM L = 1700 es el número de las horas disponibles asignados entre cosechar árboles madereros o pescar. Resolver el problema de optimización estático que trata de maimizar el valor de la cosecha sujeto a la función de transformación. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 98

19 Paso1: Formamos el problema de maimización. Maimizar V = 500T F Sujeto a T + F / 4 = 1700 Paso : Formamos el lagrangiano. L = 500T +1000F - λ ( T + F / ) Paso 3: Por las condiciones de primer orden L T = 500 λ T = 0 (1) L F = λ F = 0 () L = -T + F (3) / λ Paso 4: Resolvemos el sistema de ecuaciones -De la ecuación (1) 500 λ T = 0 λ = 50/T (a) -De la ecuación () 1000 λ F = 0 λ = 000/F (b) - Igualamos (a) (b) obtenemos F en función de T λ= = T F F = 8T (c) Luego reemplazamos (c) en la restricción (3). ( ) 8T T + = CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 99

20 Las soluciones son: T = 10 F = 80 λ = 5 Por lo tanto, la economía debe asignar la fuerza de trabajo disponible para producir 10 toneladas métricas de madera 80 toneladas métricas de peces. El valor marginal (precio sombra) de una unidad adicional de trabajo es $5/horas. Hessiano Orlado Ahora, para determinar si los valores críticos corresponden a un máimo o mínimo, es necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado. Este tipo de hessiano se aplica para el caso de optimización de funciones con restricciones. En general, cuando la función objetivo toma la forma de F = F ( 1,,. X n ) sujeta a g( 1,,. X n ) = k, el Hessiano Orlado será de la forma siguiente: H 0 g g... g 1 n g F F... F 0 g g 1 H g F F g F F n 1 = g F1 F... Fn 0 g1 g g g F F... F n n1 n nn H 3 g F F F g F F F 1 3 g F F F Condición necesaria Primer orden λ Máimo F = F1 = F =.. = F n = 0 Segundo orden H > 0; H3 < 0; H4 > 0;..; Mínimo F = F1 =.. = F n = 0 λ n n > 3 n ( 1) H 0 H, H,..., H < 0 Ejercicio 86: Optimizar la función sujeto a una restricción. Maimizar z = Sujeto a + = 56 Paso 1: Formar el lagrangiano, pero primero establecemos la restricción igual a cero, sustraendo las variables de la constante: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 100

21 56 Multiplicar esta diferencia por λ sumar el producto de ambos a la función objetivo a fin de formar la función Lagrangiana Z. Z = λ ( 56 ) Paso : Calcular las derivadas parciales de primer orden, igualarlas a cero resolverlas simultáneamente. Z = λ = 0 Z = λ = 0 Z λ = 56 Paso 3: Resolviendo las derivadas parciales se obtiene = 36 = 0 λ = 348 Luego substituendo tales valores críticos en la función objetivo Z = 4 (36) + 3 (36)(0) + 6(0) + (348)( ) Z = 9744 Paso 4: Ahora es necesario corroborar si el punto critico obtenido es máimo o mínimo local. Para ello, se formulará el Hessiano Orlado luego se procederá a analizar los test respectivos. El Hessiano Orlado requiere derivadas de segundo orden: Z = 8 Z = 1 Z = 3 Ordenando estos valores apropiadamente en el Hessiano Orlado: H = calculando su determinante CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 101

22 H = H = 0( 1) + 1( 1) + 1( 1) = Así el punto (36, 0) es un mínimo relativo Funciones con desigualdades Algunos problemas económicos requieren condiciones de desigualdades, por ejemplo cuando se desea maimizar la utilidad sujeta a gastar no más que soles o minimizar costos sujeto a producir no menos que unidades de producción. En estos casos se utiliza la programación cóncava (llamada así porque tanto la función objetivo como la restricción son funciones asumidas cóncavas) es una forma de programación no lineal diseñada para optimizar funciones sujetas a restricciones de desigualdad. Las funciones conveas no son ecluidas a que el negativo de una función convea es una función cóncava. Normalmente, el problema de optimización se establece en el formato de problema de maimización, no obstante, la programación cóncava puede además minimizar una función mediante la maimización del negativo de la función convea. Dado un problema de maimización sujeto a una restricción de desigualdad con la siguiente función objetivo cóncava diferenciable, Maimizar f ( 1, ) Sujeto a g ( 1, ) siendo 1, 0 Así, la función Lagrangiana correspondiente será: F( 1,, λ ) = f( 1, ) + λ g( 1, ) Las condiciones suficientes necesarias de primer orden para la maimización, llamadas condiciones de Kuhn-Tucker son: F i = f(, ) +λg(, ) 0 i i i 1 F = g(, ) 0 λ 1 i 0 λ 0 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 10

23 Fi i = 0 i F 0 λ = λ Donde las condiciones en (c) son llamadas condiciones complementarias, significando que tanto como f'() no pueden ser -simultáneamente- cero. Puesto que una función lineal es cóncava convea, aunque no estrictamente cóncava o estrictamente convea. En las condiciones de Kuhn-Tucker la restricción es siempre epresada como más grande o igual que cero. Esto significa que a diferencia de las restricciones de igualdad que son establecidas igual a cero, el orden de la sustracción es importante en programación cóncava. Para el máimo en F, una solución interior (Figura a) f () = 0 > 0 Para el máimo en G, una solución de frontera (Figura b) f () = 0 = 0 Para el máimo en H o J, ambas soluciones de frontera (Figura c) f () < 0 = 0 Todas las posibilidades para un máimo en el primer cuadrante pueden ser resumidas como: f () 0 0 f () = 0 Los cuales son reconocibles como parte de las condiciones de Kuhn-Tucker. Notar que tales condiciones automáticamente ecluen un punto como K en (a) el cual no es un máimo, porque f (K) > 0. Cabe mencionar que la epresión f () = 0 significa que al menos una de las dos cantidades debe tomar el valor cero. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 103

24 Gráfico 4-9 Condición (a) Condición (b) Condición (c) F G H K f() f() f() J f() El problema entonces se reduce a probar las 8 diferentes posibilidades: λ> 0 > 0 > 0 λ = 0 > 0 > 0 λ> 0 = 0 > 0 λ = 0 = 0 > 0 λ> 0 > 0 = 0 λ = 0 > 0 = 0 λ> 0 > 0 = 0 λ = 0 = 0 = 0 Normalmente, las posibilidades encerradas en el recuadro son las más comunes. Por ello, es sugerible que sean las primeras en ser probadas. Ejercicio 87: Maimizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción. Maimizar : π = Sujeto a : + 36 Paso 1: Formamos la función Lagrangiana π = λ (36 ) Paso : Por las condiciones de Kuhn-Tucker π = λ 0 π = λ 0 π λ = 36 0 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 104

25 0 0 λ 0 ( λ ) = 0 ( λ ) = 0 λ ( 36 ) = 0 Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker, (a) Si λ,, > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a: λ = λ = 0 36 = 0 En forma de matriz, = λ 36 Usando la Regla de Cramer donde: A = 1 A = 56 A = 176 Aλ = -56 se obtiene que: = 1.33 = λ = Lo cual no puede ser óptimo a que λ < 0 contradice las condiciones de Kuhn- Tucker. (b) Si λ = 0, > 0 entonces 64 4 = 0 = = 0 = 1 Esto da la solución correcta: = 16, = 1 λ = 0, lo cual es óptimo a que no viola ninguna condición de Kuhn-Tucker. Ejercicio 88: Minimizar la función de costo, sujeto a una restricción de igualdad. Maimizar : K = Sujeto a : + 30 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 105

26 Paso 1: Multiplicando la función objetivo por 1 estableciendo el Lagrangiano, C = λ ( + 30) Paso : Donde las condiciones de Kuhn-Tucker son, C = λ 0 C = λ 0 C λ = λ 0 ( λ ) = 0 ( λ ) = 0 λ ( + 30) = 0 Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker, (a) Si λ = 0, > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a: Si λ = 0 entonces de ( λ ) = 0 se tiene que: =8, = 16 Sin embargo, estos resultados violan C λ = a que: (b) Si λ > 0,, > 0 todas las primeras derivadas parciales son estrictas igualdades: Donde: = λ 30 A = 1 A 1 = 109 A = 5 A 3 = 440 Y se obtiene que: = 9 = 1 λ = Lo cual dan la solución óptima, a que ninguna condición de Kuhn-Tucker es violada. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 106

27 4.4 Ejercicios resueltos Ejercicio 89: Maimizar la función de ingreso total IT = 3q q Paso 1: CPO: (condiciones de primer orden) IT = 3 q = 0 q = 16 (valor critico) Paso : Evaluar la segunda derivada IT = - < 0 (cóncavo, máimo relativo) Así, el ingreso total máimo será: IT(16) = 3(16) (16) = 56 Ejercicio 90: Maimizar la función de beneficio: π = - q 3 / 3-5q + 00q - 36 Paso 1: CPO (condiciones de primer orden) π = - q - 10q = 0 (q + 50) (q 40) = 0 De donde los valores críticos son: q = -50 q = 40 Paso : Evaluar la segunda derivada π = - q - 10 π (40) = - ( 40 ) 10 = -90 < 0 π (50) = - ( 50 ) 10 = 90 > 0 (cóncavo, mínimo relativo) (conveo, máimo relativo) Puesto que q = -50 es negativo no tiene significado económico, el valor crítico negativo es descartado. Entonces el beneficio máimo será cuando q = 40: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 107

28 π (40) = (40)3 5 (40) (40) 36 = Ejercicio 91: Encontrar el nivel de producción de cada bien a fin de maimizar el beneficio, si una firma produce dos bienes e ; si la firma tiene la siguiente función de beneficio: π = Paso 1: CPO (condiciones de primer orden) π = = 0 π = = 0 Paso : Resolver el sistema =40 = 4 Paso 3: Calcular las segundas derivadas asegurarse que ambas son negativas, como se requiere para un máimo relativo. π = -4 π = -8 (si cumple!) Paso 4: Tomar las derivadas cruzadas para asegurarse que π π > ( π ). Sabiendo que π = π =, 4 π π > ( π ) (-4)(-8) > (4) 36 >16 Así, los beneficios son maimizados cuando = 40 e = 4. En ese punto el beneficio es π=1650. Ejercicio 9: Sea la función de demanda: P = 1.50e Q CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 108

29 a) Encuentre el precio la cantidad que maimiza el ingreso total. b) Compruebe que realmente dicha cantidad el precio maimizan P. a) Primero formamos el ingreso total: I = PQ I = (1.50e Q )Q Luego por condición de primer orden Ya que: di dq = (1.50e-0.005Q )(1) + Q (-0.005)( 1.50e Q ) di dq = (1.50e-0.005Q )( Q) di dq = 0 Q = 00 P = 1.50e-0.005(00) =4.60 b) Comprobando (segunda derivada) I = (1.50e Q )(-0.05) + ( Q )( )(1.50e Q ) I = (-0.005) (1.50e -1 )(1) = ( )<0 Como I < 0, entonces la función es maimizada Ejercicio 93: Dado la siguiente función: z = e ( ) a) Encontrar los valores críticos b) Determinar si tales valores son máimos /o mínimos. a) z = ( 4 1 ) e ( ) z = ( ) e ( ) CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 109

30 Puesto que debe cumplirse: z = z = 0, entonces, = 8 = 10 b) z = ( 4 1 ) (4 1 ) e ( ) + e ( ) (4) z = ( ) ( ) e ( ) + e ( ) () z = z = ( 4 1 ) ( )e ( ) + e ( ) (-) Evaluando en =8, =10 z = 0 + 4e 68 > 0 z = 0 + e 68 > 0 z = 0 - e 68 < 0 Se cumple que: z, z > 0 z, z > ( z ) Es decir, 8e -76 > 4e Por lo tanto el punto (8, 10) es mínimo. Ejercicio 94: Se tiene las siguientes funciones de demanda de una empresa también su función de costos: Q 1 = 50 10P 1 Q = 80 0P C = 0.1 Q Q 1 Q + 0. Q + 35 Obtenga la combinación óptima de Q 1, Q a fin de maimizar beneficios. Paso 1: Despejamos las funciones de demanda en función de las cantidades. P 1 = Q 1 P = Q Paso : Formamos la función de beneficios π= PQ PQ C CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 110

31 π = ( Q 1 ) Q 1 + ( Q ) Q - ( 0.1Q Q 1 Q + 0. Q + 35 ) π = 50Q 1 0. Q Q 0.5 Q - 0.1Q 1 Q - 35 Paso 3: Para obtener el máimo π es necesario que: π 1 =π = 0 π 1 = Q 1-0.1Q = 0 π = Q - 0.1Q 1 = 0 De ambas ecuaciones: Q 1 = Q = Reemplazando ambos resultados en las funciones de precios respectivas: P 1 = ( ) = P = ( ) = Sea la función de beneficio: π = 50Q 1 0. Q Q 0.5 Q - 0.1Q 1 Q - 35 π (115.63, ) = Ejercicio 95: Dado el siguiente problema de optimización Maimizar c = 3 +4 Sujeto a = a) Encuentre el(los) valor(es) crítico(s) de la siguiente función de costo. b) Demuestre matemáticamente si la respuesta de a) es un máimo o mínimo. a) Para encontrar los valores críticos de la fusión de costos, se procederá a resolver en tres pasos: Paso 1: Formar el Lagrangiano C = λ ( ) Paso : Por condición de primer orden CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 111

32 C = 3 - λ = 0 (1) C = 4 - λ = 0 () C λ = (3) Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones, primero despejamos λ de (1) () lo igualamos para obtener en función de 3 - λ = λ = 0 (1) = () 1.5 λ=...(1) λ =...() 1.5 = = 0.75 Sustituendo esto en la restricción: =15,=11.5 λ= 0.13 b) El hessiano Orlado será: C C g = H C C g g g 0 Definiendo: C = 0 C = 0 C = C = - λ De la restricción g (, ) =, entonces g = g = 0 λ H = 0 λ 0 De donde H = H = 16λ. Dado que las 3 variables son positivas, entonces H < 0: C es minimizado!. Ejercicio 96: Si se gastan miles de dólares en mano de obra, miles de dólares en equipo, la producción de cierta fábrica será Q (, ) = 60 1/3 /3 unidades. Si ha US$ disponibles, CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 11

33 a) Cómo debe distribuirse el dinero entre mano de obra equipo para generar la maor producción posible?. b) Demuestre si el resultado maimiza o minimiza la función. a) Se procederá a resolver en 4 pasos: Paso 1: Formar el problema de optimización con restricción de igualdad. Maimizar 60 1/3 /3 Sujeto a + = Paso : La nueva función Lagrangiana L = 60 1/3 /3 + λ ( ) Paso 3: Por condiciones de primer orden. L = 0 -/3 1/3 - λ = 0 (1) L = 40 1/3 -/3 - λ = 0 () L λ = 10 = 0 (3) Paso 4: Resolver el sistema. De (1) despejamos λ λ = 0 -/3 1/3 (a) De () despejamos λ λ = 40 1/3 -/3 (b) Igualando (a) (b) se obtiene en función de λ = 0 -/3 1/3 = 40 1/3 -/3 = = 40000, = b) Formamos nuestro Hessiano Orlado, primero hallamos las segundas derivadas L = -40-5/3 1/3 L = -40 1/3-5/3 L = L = 0 -/3 -/3 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 113

34 Luego reemplazamos en nuestro hessiano orlado hallamos su determinante H = H = H = Fácilmente puede inferirse que toda la suma será positiva, dado que, son positivos. Entonces H > 0, por tanto estos valores maimizan la función. Ejercicio 97: Encuentre los valores óptimos del siguiente problema de optimización Minimizar C = Sujeto a + 6 Cambiando de signos en la restricción para que el problema sea de maimización: Maimizar C = λ ( + 6 ) C = λ 0 C = λ 0 C λ = λ 0 ( λ ) = 0 ( λ ) = 0 λ ( + 6 ) = 0 Testeando λ>0, > 0, > 0: λ = λ = 0 Epresado en forma matricial: = λ 6 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 114

35 Sea el determinante principal A aplicando Cramer: A = 1 A 1 = 100 A = 1 A 3 = 40 De donde: A1 = = 8.3 A A = = 17.6 A A 3 λ= = 3.3 A Estos resultados satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto son los valores óptimos. Ejercicio 98: Determine los valores óptimos para la maimización del beneficio. Maimizar π = Sujeto a + 7 La función será B = = λ ( 7 ) B = λ 0 B = λ 0 B λ = λ 0 ( λ ) = 0 ( λ ) = 0 λ (7 ) = 0 Probando con: λ,, >0 (implica que debe solucionarse las siguientes ecuaciones): λ = λ = 0 7 = 0 Usando Cramer: = λ 7 Sea el determinante principal A aplicando Cramer: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 115

36 A = 1 A 1 = 184 A = 140 A 3 = 3 De donde: A1 184 = = = 15.3 A 1 A 140 = = = 11.6 A 1 A3 3 λ= = =.6 A 1 Lo cual es la solución optima porque cumple las condiciones de Kuhn-Tucker. Ejercicio 99: El departamento de investigación de mercado determino que ha una relación entre el precio la cantidad: P = 1 ln ( 0 < < 90 ) para un producto dado. Si cada unidad del producto cuesta S/. 3, determine la cantidad de tal producto que optimiza el beneficio de tal dpto. Compruebe si dicha cantidad maimiza o minimiza el beneficio. Sea π nuestra función de beneficio: π π π = IT - CT = ( 1 - ln) - 3 = 9 ln Por condiciones de primer orden: Resolviendo: dπ 1 = 9 ln d dπ d = 7 ln d π = 0 7 ln = 0 = e 3.5 d Tomando la segunda derivada de la función de beneficio. π () = -/ π (e 3.5 ) (es máimo) Ejercicio 100: Compruebe formalmente determine la cantidad que maimiza el beneficio. Si nos dan información sobre la forma funcional del ingreso total costo total. IT = 15Q Q CT = Q 1 + Q 1 Q + 3Q CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 116

37 Sea π nuestra función de beneficio: π = 15Q Q - Q 1 - Q 1 Q - 3Q Por las condiciones de primer orden. π Q = 15-4Q 1 - Q = 0 1 π Q = 18 Q 1-6Q = 0 De ambas epresiones se tiene que: Q1 =. 7 Q =. 1 Dado que π (Q 1 ) = -4, π (Q ) = -6 π = -, se tiene que el punto que maimiza el beneficio. QQ 1 Ejercicio 101: Sea: Función de Ingreso: aq 1 + bq Función de Costo: cq 1 + dq 1 Q +eq Determine: a) Función de beneficios b) La cantidad que maimiza el beneficio c) La condición para que la función de beneficio tenga un máimo d) La condición para que la función de beneficio tenga un mínimo e) Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga un punto de silla?. De ser cierto, cuál(es) seria(n)? f) Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga un punto de infleión?. De ser cierto, cuál(es) seria(n)? a) La función de beneficios se construirá a partir de la diferencia de la función de ingresos menos la función de costo: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 117

38 π = aq 1 + bq - cq 1 - dq 1 Q - eq b) Para hallar la cantidad que maimiza el beneficio se procederá a diferenciar la función de beneficios en función de cada una de las variables, en este caso será en función de Q 1 Q : π = a cq Q 1 - dq π = b dq Q 1 eq 1 La condición de primer orden será: π = π = 0. Entonces; Q 1 Q ae bd Q1 = 4ec d Q bc ad = 4ec d c) Se sabe que: π = -c QQ 1 1 π = -e QQ π = π = -d QQ 1 QQ 1 Para que tenga un máimo debe cumplirse que: π, π < 0 QQ 1 1 QQ π π > ( π ) QQ 1 1 QQ QQ 1 Entonces: c, e > 0 4ce > d d) Debe cumplirse que: π, π > 0 QQ 1 1 QQ π π > ( π ) QQ 1 1 QQ QQ 1 Entonces: c, e < 0 4ce > d e) Debe cumplirse que: ( ) ( π > 0; π < 0) ( π < 0; π > 0) πqq π 1 1 QQ < π QQ QQ QQ QQ 1 1 QQ (que ambas derivadas difieran de signo). Entonces: bastara que c e difieran de signo. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 118

39 f) ( ) ( π, π > 0) ( π, π < 0) πqq π 1 1 QQ < π QQ QQ QQ QQ 1 1 QQ (que ambas derivadas tengan el mismo signo). Entonces: c e deben tener el mismo signo además 4ce < d. Ejercicio 10: Si la función de utilidad de un consumidor es U(, ) =, siendo e las cantidades consumidas de los bienes A B, cuos precios unitarios son 3 unidades monetarias, respectivamente, maimizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes. Formar nuestra restricción a partir de los datos del enunciado: Maimizar U (, ) Sujeto a 3 90 Formamos el lagrangiano U = + λ ( ) Por condiciones de Kuhn-Tucker. (1a) U = - λ 0 (a) U = - λ 0 (3a) U λ = (1b) 0 (b) 0 (3b) λ 0 (1c) ( - λ ) = 0 (c) ( - λ ) = 0 (3c) λ ( ) = 0 1. Probando si λ = 0 > 0, > 0 Usando (1.a) (.a):, 0, lo cual no concuerda con (1.b) (.b). Probando λ > 0 > 0, > 0 Aplicando esto en (1c), (c) (3c): - λ = 0 - λ = 0 ( ) = 0 CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 119

40 Resolviendo este sistema 33: =.5, = 15, λ = 7.5 Lo cual satisface las condiciones de Kuhn-Tucker. Ejercicio 103: Encontrar los valores de, que optimizan el siguiente problema. Maimizar Sujeto a + 16 Por el tipo de restricción, es necesario transformar la función original en función cóncava multiplicando por -1 tanto dicha función como la restricción. Haciendo ello formando el lagrangiano. C = λ ( ) Por condiciones de Kuhn-Tucker. (1a) C= λ 0 (a) C= λ 0 (3a) C λ = (1b) 0 (b) 0 (3b) λ 0 (1c) ( λ ) = 0 (c) ( λ ) = 0 (3c) λ ( ) = 0 1. Probando λ,, > 0 Si esta condición se cumple entonces de (1.c), (c) (3c): λ = λ = = 0 De este sistema se obtiene que: = = λ= Lo cual viola el supuesto (1b) CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 10

41 . Probando λ = 0 ٨, > 0 Usando (1c) (c): = 0 = = 0 = 1 Lo cual satisface todas las condiciones. Por lo tanto este es el punto (5, 1) que maimiza el problema de optimización. Ejercicio 104: Una firma enfrenta una función F (, ) = tiene una función de restricción g (, ) = = 73. Determine FORMALMENTE que tipo de función es F ( beneficio o costo?) Paso 1: La función lagrangiana será: E = λ ( ) Paso : Las condiciones de optimización: E = λ = 0 E = λ = 0 E λ = = 0 Resolviendo el sistema: = 75 ٨ = 51 ٨ λ = 141 Paso 3: El hessiano orlado será: E E g = H E E g g g 0 Reemplazando los datos: el H H = = 5 (35-60) - 7 (4-5) = -44. Entonces E es minimizado. Se trata de una función de costo. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 11

42 Ejercicio 105: Resuelva el siguiente problema de optimización formalmente que la solución encontrada corresponde a un máimo. Maimizar U = + Sujeto a 6 + = 110 demuestre U = λ = 0 U = - λ = 0 U λ = = 0 Resolviendo el sistema: = λ H = Del cual se tiene que: 1 = 9 = 7 λ = Donde H = 4, entonces como H > 0, U es maimizado. Ejercicio 106: Optimice la siguiente función: = (1) a) Determine la coordenada del punto crítico b) Calcule el valor de la función en dicho punto c) Correspondería a una típica función de costos o ingresos? d) Si la función fuera, = a , Cuál debería ser el valor de a para que no eista solución única (un único punto critico)? a) Por condición de primer orden, obtenemos las derivadas parciales de la función (1). 1 = Por condición de 1er Orden: = = = 3 = 0 3 = (se forman 3 ecuaciones lineales) Lo cual se puede resolver por matrices determinantes: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 1

43 = A = 44 A 1 = 440 A = 196 A 3 = 108 De donde: 1 = 1.04 = = 0.6 b) Reemplazar los valores obtenidos de a) en la función (1) para obtener el valor de. = 3(1.04) - 5(1.04) - (1.04)(0.46) + 6(0.46) - 4(0.46) - (0.46)(0.6) + 4(0.6) + (0.6) - 3(1.04)(0.6) = c) Será necesario el hessiano simétrico para averiguar si el punto obtenido corresponde a un máimo o mínimo, de lo cual se conclue que la función podría ser una típica función de beneficios o costos, respectivamente. Para ello, se obtienen las segundas derivadas: 11 = 6 1 = = -3 1 = -1 = 1 3 = - 31 = -3 3 = - 33 = H = d) Para que no eista un solo punto crítico entonces el determinante ser cero. Entonces, det ( A ) = (39a - ) = 0 a = / a debe 3 8 Ejercicio 107: Sea el ingreso total, 15q q el cual esta sujeto a un costo: q 1 + q 1 q + 3q a) Determine el nivel de producción que maimiza/minimiza el beneficio b) Demuestre que ese nivel maimiza o minimiza el beneficio. c) Si el costo es q 1 + q 1 q + aq, que requisito debe cumplir a para que eista un beneficio máimo? d) Sea la función de costo, bq 1 + q 1 q + aq, que requisito debe cumplir a, b, para que esta función sea una función de beneficio? a) La función de beneficio será: CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 13

44 B = Ingreso Costo = 15q 1 +18q - q 1 - q 1 q - 3q B q1 = 15-4q 1 - q B q1 q 1 = -4 B q1 q = B q q 1 = - B q = 18 - q 1-6q B q q = -6 El punto crítico saldrá de la condición de primer orden: B q1 = B q = 0 de donde q 1 =.7 q =.1. b) Debe probarse las condiciones para un máimo o minino en el hessiano simétrico: Se cumple que: 4 H = B q1 q 1 < 0 B q1 B q - (B q1 q ) > 0 6 B q q < 0 Entonces el punto es un máimo. c) Sea la nueva función de beneficio: B = 15 q q q 1 - q 1 q aq B q1 = 15 4q 1 - q B q1 q 1 = -4 B q1 q = B q q 1 = - B q = 18 - q 1-6q B q q = -a Es necesario hacer que B q1 = B q = 0 para obtener el punto crítico. Usando el criterio del determinante, se llega a que: a 1/. Aplicando el criterio de hessiano simétrico: 4 H = a B q1 Para que el punto sea un máimo: q 1 < 0 B q1 B q - (B q1 q ) > 0 8a > 4 a > 1/ B q q < 0 De ambas condiciones se conclue que: a ] ½, [ d) Solo se pide analizar esta función convertirla en una función de beneficios. No construir una función de beneficios a partir de la función de ingreso. Análogamente, usando el criterio de determinante (condición para obtener un punto crítico) se llega a que ab 1. Usando el hessiano simétrico: b<0, a<0 ab>1. CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN 14