Carpeta de TRABAJOS PRÁCTICOS de MATEMÁTICA para 4 Año Automotores

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1 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza ESCUELA TÉCNICA N 6 D.E. 6 Confederación Suiza GUÍA ANUAL Carpeta de TRABAJOS PRÁCTICOS de MATEMÁTICA para Año Automotores APELLIDO Y NOMBRE DEL ALUMNO:... PROFESOR:... DIVISIÓN:... Página

2 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD : FUNCIONES ) Realizar la gráfica de cada uno de los campos de eistencia de las siguientes funciones: f :[ 8;0] ( ;) k :[0;6) ( ;] g : ( ;6] ( ;6] l :[0;6] [0;6] h :[ ;0) [ ;) m : (6;8) [;) i : (8;] (; ) n :[ ;6) [ ;6) j : ( ; ] (;8] ) Realizar en los campos de eistencia que se dan a continuación, una gráfica que cumpla con las siguientes condiciones: f : 0;0 ; F-NS-NI-D j :[ ;] 0; F-B-D g : 0; 6;8 F-S-NI-C k : ; 0; NF por unicidad h : ; ; F-NS-I-D l : ;6 ( ;) F-B-C i : ;6 ; NF por eistencia f que resulte F- NS NI- D b) Realizar la gráfica de g() = f( +) +, utilizando la gráfica del ítem a) Indicar el campo de eistencia de g() ) a) Realizar una gráfica en : ; ;6 ) Cuál es la ecuación de una función g() que se obtiene de desplazar a otra función f() unidades hacia la derecha, unidades hacia abajo, dividir su altura a la mitad y duplicar su ancho? ) Indicar los efectos y modificaciones que sufre la función f() en las funciones g(), h(), i() y j(), siendo: g ( ) f ( ) ; h ( ) f ( ) ; i ( ). f ( ) ; j ( ) f ( ) Realizar la gráfica de cada una de ellas: +y ESC : + -y 6) Dada la ecuación de la recta t()= m + p, indicar los posibles valores de m y de p para que resulte: a) t() traslación b) t() identidad, y pase por el punto k (-, -) t() lineal Página

3 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza d) t() perpendicular a f()= + que pase por el punto r (-, -). Verificar gráficamente ) Hallar la ecuación de la recta f() que pasa por el punto p (-, ) y es paralela a la recta g() = + 6. Verificar gráficamente utilizando la pendiente, e indicar de cada recta la oo y la raíz. 8) Hallar la ecuación de la recta f() que pasa por el punto p (-, ) y es perpendicular a la recta g() = - +. Verificar gráficamente utilizando la pendiente, e indicar de cada recta la oo y la raíz. 9) Hallar la ecuación de la recta h() que pasa por los puntos n (-6, ) y s (-, ). Verificar gráficamente utilizando pendientes e indicar oo y la raíz. 0) Realizar la gráfica de la función al origen, raíz y clase. g ( ) indicando Dominio, Imagen, ordenada ) Idem para h( ) ; j ( ) g ( ) indicando Dominio, Imagen, ordenada al origen, raíz y clase. Eplicar los efectos y las modificaciones que sufre la función parte entera por los parámetros, y - ) Realizar la gráfica de la función ) Realizar la gráfica de f ( ) y g ) ambas. (. Eplicar la diferencia que eiste entre ) Realizar la gráfica de la función f ( ) mant( ) indicando Dominio, Imagen, ordenada al origen, raíz y clase. ) Idem para g( ) mant( ) y h ( ) mant( ) 6) Realizar la gráfica de las funciones f ( ) sgn( ) y g( ) sgn( ) Dominio, Imagen, ordenada al origen, raíz y clase de c/u. indicando ) Puede la función signo tener una sola raíz? e infinitas? Justificar. 8) Dada la función i: Dmi Imi / i() = , se pide graficarla indicando: oo, raíces (si tiene), coordenadas del vértice, Dominio, Imagen y clase. 9) Idem para g() =. + ; h() = ; j() = + 0) Realizar la gráfica de la función Imagen y clase. f ( ) 0, indicando oo, raíz, A.V, A.H, Dominio, ) Idem para f ( ) Página

4 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza 9 ) a) Indicar el Dominio de la función h ( ) 6 b) Indicar la raíz de la función i ( ) mant( ) Indicar la ordenada al origen de la función j ( ). d) Indicar la Imagen de la función l ( ) 9 ) a) Realizar la gráfica de la función h ( ) indicando Dominio, Imagen, A.V, A.H, oo, raíz y clase. b) Indicar la raíz de la función i ( ) sgn( ) Indicar la ordenada al origen de la función j ( ). d) Indicar la Imagen de la función l ( ) ) Graficar las funciones f y g indicando de cada una de ellas oo, raíces, Dominio, Imagen y clase + si 0 f() = si 0 < [ ] si > sgn (+) + si 0 g() = si 0 < si > ) Idem para: [ +] si f() = si < + si > sgn ( ) + si g() = si < < 8 mant () + si 8 Página

5 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD : LÍMITES ) Realiza la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes condiciones: a) Dmf = R { -, }; f() = 0 ; f(6) = - ; lim f ( ) 0 ; lim f ( ) lim f ( ) ; lim f ( ) f () ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) lim f ( ) 0 ; lim f ( ) 6 b) f(0)= ; f () = 0 ; f (-) = 0 ; f () = ; lim f ( ) 0 lim f ( ) lim 0 f ( ) ; lim f ( ) ; = Dmf ; f (0) = - ; f () = ; lim f ( ) lim f ( ) 0 ; lim f ( ) 0 0 ; lim f ( ) 0 ; lim f ( ) d) Dmf = R {, }; f(0) = - ; f() = - ; f() = - ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) 0 ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) 0 e) = - y = - puntos de acumulación de la función; f() = ; f() = - ; lim f ( ) 0; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) 6 ; lim f ( ) ; lim f ( ) 0 En todos los casos clasifica las discontinuidades ) Resuelve los siguientes límites: a ) 6 lim 6 b) lim d) e) lim lim. 6 6 lim. lim 6. 6 Página

6 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza 6 lim lim 0. 9 i) lim. 6 j) lim 8.6 k) lim..6 l) lim. 8 6 m) lim 8 6 n) lim 0 8 o) lim p) lim 0 q) lim r) lim 8 s) lim 8 t) lim 8 Página 6

7 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza ) Calcular los siguientes límites indeterminados, indicando el tipo de indeterminada: 9 a)lim ( a ) a b)lim 0 6 lim d) lim e)lim 8 f )lim 0 g ) lim h ) lim sen( ) tg( ) i ) lim 6 j ) lim 9 = = k ) lim = l ) lim m ) lim 8 = n ) o ) lim lim 6 = = Página

8 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD : DERIVADAS ) Calcular las siguientes derivadas aplicando la definición: f a) f b) f f d) ) Hallar la derivada de la función derivada. ) Calcular las siguientes derivadas sencillas: a) b) d) e) f en el punto = aplicando la definición de i) j) k) l) m) n) o) p) q) Página 8

9 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza r) s) t) u) v) w) ) y) z) aa) bb) c dd) ee) f g h ) Calcular las derivadas de las siguientes sumas: a) b) d) e) Página 9

10 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza ) Calcular las derivadas de los siguientes productos y cocientes: i) j) k) l) m) n) o) p) q) 6) Calcular las derivadas de los siguientes logaritmos: a) b) d) e) i) j) k) l) m) n) o) ( ) log p) f f ( ) ln( ) 6 Página 0

11 q) f ( ) ln( 6 6) r) f ( ) ln( ) 8 s) f ( ) ln( ) t) f ( ) log ( ) Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza ) Calcular las derivadas de las siguientes funciones potenciales y eponenciales: a) b) d) e) i) j) k) l) m) f ( ) ( f ( ) ( ) ) 6 8) Calcular las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas: f sen a) f sen ( b) ) f sen d) f f cos cos( e) ) f ( ) cos( ) f tg f cos i) f cot g( ) Página

12 j) f ( ) sec Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza 9) Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas: 9ln ln a) f ( ). ln ln 9 8 f ( ) sen.ln 9 9 f ( ) 6 cos ln f ( ) ( ).( ln 9 cos 6 6 f ( ) ln ln f ( ) ln 6 ln 6 b) d) ) e) f ( ) cos.ln f ( ) 6 sen 8 ln 6 8 i) f ( ) ( ).( ) ln j) cos f ( ) k) ln( ) f ( ) sen l) f ( ) ln cos m) f ( ) () 6 ln n) ) f ( ) ln( ) o) f ( ) cos(cos(cos )) p) f ( ) ln(ln(ln( ))) 0) Hallar las derivadas sucesivas de: a) y b) y y cos Página

13 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD : APLICACIÓN DE DERIVADAS ) Determinar la ecuación de la tangente a la parábola y en el punto de abscisa ) Determinar la ecuación de la normal a la parábola y en el punto P=(;) ) Determinar las ecuaciones de la recta tangente (Rt) y la recta normal (Rn) de la parábola y en el punto = ) Dada la función y : a) Determinar la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto (;) b) Graficar la curva y la recta tangente ) Un objeto tiene una ecuación de posición dada por ( t) t 6t t 6. Encontrar la ecuación que da cuenta de su velocidad y la ecuación para su aceleración. 6) Cuál es la velocidad que lleva un vehículo si se mueve según la ecuación e(t) = t en el quinto segundo de su recorrido? (medir el espacio en metros y el tiempo en segundos) ) El número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo, epresado en minutos, según la ecuación N=00 +0 t - t para t[0,] Cuál es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t = min? 8) Un cochecito teledirigido se lanza por una cuesta. La distancia recorrida en metros al cabo de t segundos viene dada por d= 0.t +0.0t a) Qué velocidad lleva al cabo de seg, seg, y 6 seg? b) Cuando el cochecito alcanza una velocidad de 6.8 km/h, los frenos son insuficientes. Cuánto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor se preocupe por sus frenos? 9) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función: a. f ( ) b. f ( ) ( ) 0) Hallar los máimos ó mínimos: a) y b) y 0 8 y d) y e) y 0 y y ) Hallar los intervalos de concavidad y conveidad de las funciones: a) f ( ) b) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ) Hallar los puntos de infleión de: a) y 6 Página

14 b) y y Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza d) y e) y 6 ) Hallar los máimos y mínimos relativos, puntos de infleión, intervalos de crecimiento, de decrecimiento, intervalos de concavidad y conveidad, y realizar la gráfica aproimada de las funciones: a) f ( ) b) f ( ) 8 ) En un laboratorio se aplica un producto antibacteriano, en forma eperimental, a una conformación de 00 bacterias. Después de t horas la cantidad c de bacterias está dada por: c ( t) 0t 80t 80 En qué momento la cantidad de bacterias es máimo? Cuántas son? ) Se determinó que la eficiencia de los empleados de una fábrica en la producción varía de acuerdo al tiempo transcurrido desde el comienzo de la actividad de cada día. La función matemática que modeliza esta situación se aproima a: e ( t) t 0t 0 (con t medido en horas). En qué hora de la jornada laboral se produce la mayor eficiencia en la producción? Qué significado tiene e(t) para ese valor de t? 6) Con un rollo de alambre de longitud 6 m, construir junto a una pared un recinto rectangular de superficie máima: y y ) Resolver el problema anterior aprovechando un ángulo de una pared: y Página

15 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD : INTEGRALES INDEFINIDAS ) Resolver las siguientes integrales inmediatas: a) d b) d 6 d) send e) ( e ) d ( ) d ( ) d ( ) d i) 8 j) d k) ( ln. sen). d= l) m) d 6 ( ) 6 ln d = ) Resolver las siguientes integrales por sustitución: e a) d b) sen ( ) d y. dy d d) 9 e) sen. cos. d 6.d cos.( sen). d Página

16 d i) d 0 j) ( ) d Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza k). t. sent. dt ) Resolver las siguientes integrales por partes: a). cos. d b).. e. d cos.d d) ln d ln e) d sen ( ). d. e d. e. d i) e. sen. d j).. d k). sen. d ) Resolver las siguientes integrales por el método que corresponda: a) d b) d (.ln ) cos. e. d d) 8 6 e) ) sen ( d = ln d = 6 8 d = d = Página 6

17 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza i) d = 8 6 d j) d k) = l) d m). e d n).( ) d ln o) d p) sen.cos. d Página

18 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD 6: INTEGRAL DEFINIDA ) Utilizando la Regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas: a) b) ( ) d.d sen.d 0 ( d) ).d e) cost. dt 0 d ( ) i) j) k) ) Calcular el área limitada por la recta y, el eje de las abscisas, y los valores de las ordenadas correspondientes a = y =. Representar gráficamente. ) Calcular el área limitada por la función y cos, el eje de las, y las abscisas y. Representar gráficamente. ) Calcular el área limitada por: a) la curva y = y el eje. b) la recta y = -+0, el eje, y las ordenadas de = y = 8 ) Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln entre el punto de corte con el eje, y el punto de abscisa = e. 6) Calcular el área de la región encerrada por las siguientes funciones (hacer los gráficos): Página 8

19 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza a. b. y y y y 6 c. y y ) Hallar el Área comprendida por las funciones f ( ) y realizando la gráfica e indicando de cada función su oo y raiz. g( ), 8) Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor del área limitada por y = 6, y = 0, = 0, =. 9) Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen, al girar alrededor del eje. 0) Hallar el volumen engendrado por el círculo + y = al girar alrededor del eje. ) Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje el recinto limitado por las gráficas de y =, y = +. Página 9

20 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza ) Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6, y =. Página 0

21 f Ejercicio ) a) Ejercicio ): f q) f 8 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza RESPUESTAS: Unidad : Derivadas f f 6 d) Ejercicio ) a) f ( ) 0 r) f ( ) b) f ( ) 0 s) f ( ) f ( ) 0 t) f ( ) d) f ( ) 6 u) f ( ) e) f ( ) v) f ( ) f ( ) w) f ( ) f ( ) ) f ( ) 8 f ( ) y) f ( ) i) 8 f ( ) z) f ( ) j) f ( ) aa) f ( ) k) f ( ) bb) f ( ) 0 l) m) n) o) p) q) f ( ) c f ( ) dd) f ( ) ee) f ( ) f f ( ) g f ( ) h Página

22 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza Ejercicio ) a) f ( ) e) b) f ( ) 6 6 d) Ejercicio ) a) f ( ) 6( ) ( 0) f ( ) b) f ( ) 6 ( ) f ( ) ( 0 0 6) e) Ejercicio 6) a) b) d) e) d) i) ( f ( ) 0) f ( ) f ( ) j) f ( ) f ( ) k) f ( ) f ( ) l) f ( ) f ( ) m) f ( ) f ( ) n) f ( ) f ( ) o).ln f ( ) p) f ( ) q) f ( ) i) Página

23 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza r) s) t) f ( ) ( ).ln Ejercicio ) a) f ( ) 9.ln 9 b) f ( ).ln i) f ( ) ( ).ln j) f ( ). e f ( ). e f ( ). e d) k) e) l) f ( ). e f ( ) 6( ) f ( ). e m) ( ) f ( ) ( ) 6 Ejercicio 8) Ejercicio 9) f ( ). e f cos( a) ) f.cos( b) ) f ( ) sen. cos d) f ( ) sen f sen( e) ) f (6 ) sen( ) f 6( tg ) f. sen 8 f ( ) i) sen. sen j) f ( ) cos 9 f ( )..ln. lm9 8 a) 8 b) ( ) cos.ln sen f. 8 9 f ( ) sen ln Página

24 6 f ( ) 6 d) Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza 6 e) f ( ) 8 sen.6.ln 6 6 f ( ).ln. ln.ln cos f ( ) sen.ln. 0.. f ( ) 6..ln cos 9 ln 6 6 i) f ( ) ( 8 j) f ). sen..ln k) f ( ) 0. sen.cos f ( ).. ln.ln.(0 l) ) ln. m) n) 8.cos( ). sen() 0 cos () 6 f ( ) ln().ln () f ( ) ( ) o) f ( ) sen(cos(cos )). sen(cos). sen p) Ejercicio 0) f ( ) a) y y 0 ÿ 0 iv y 0 b) iv y 0 y iv cos Página

25 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza UNIDAD : APLICACIÓN DE DERIVADAS Ejercicio ) y 8 8 Ejercicio ) Rt : y Rn: y Ejercicio ) Ejercicio ) 9 y Ejercicio ) y 6 v( t) 6t a( t) t t Ejercicio 6) v( ) 0 m seg Ejercicio ) La Velocidad de crecimiento en el instante t= min es de 6 bacterias por minuto Ejercicio 8) a) d=0..t +0.0.t d =0..t+0.09.t v()=d ()= =.6 m/s, velocidad a los seg v()=d ()= =. m/s, velocidad a los seg v(6)=d (6)= =.6 m/s, velocidad a los 6 seg km h 000 m 6800 m b) Si v=6.8 Km/h v m / s h 600 seg km 600 seg Si v(t)=d (t)=0..t+0.09.t = m/s, 0..t+0.09.t -=0 t =0 seg A los 0 segundos pueden fallar los frenos del coche Ejercicio 9) a) IC:: (, ) (, ) ID: (,) b) IC: ( ;0) (0;) (; ) ID: (;) Ejercicio 0) a) b) Mínimo :,y 6, Máimo:,9y Mínimo:,y,9,8 e) Mínimo: y Máimo: 0y Mínimo: y Máimo: y Mínimo: y Mínimo: Máimo: y 0 y d) Máimo: y Página

26 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza Ejercicio ) a) Cóncava: (- ; 0) Convea: (0;+ ) b) Cóncava: (0, ) (, ) Convea: (- ; 0) Cóncava: (- ; ) Convea: (;+ ) Ejercicio ) a) Punto de infleión: (;) Primera clase de convea a cóncava b) Punto de infleión: (;-) Primera clase de convea a cóncava Punto de infleión: (0;0) d) Punto de infleión: (0;0) Primera clase e) Punto de infleión: ( ; ) Primera clase Ejercicio 6) Superficie=6 m Ejercicio ) Superficie= m Ejercicio ) Ejercicios ) UNIDAD : INTEGRALES INDEFINIDAS a) C C b).ln C i) C C j) 8 C d) cos C k).ln. cos C e) e C C 0 l).. C..ln m) 6.ln C.. C. e cos( ) ( y). y 6.ln( 9). sen a) C b) C C d) C e) C.( 6). 6 C 6 ( sen) C 6.ln( ) C i).ln( ) C ( ) cost 6 j) C k) C Página 6

27 Ejercicio ) a) C Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza. sen cos.( ).cos sen C e. e e C.. ln e e e. (. ) C b) C C cos. sen d) C.ln e) C Ejercicio ) a) C e ( cos sen) I) C j). C.. k) C ln e ( sen cos) l) ln( ) C.ln( 6) m) e. C ( ).cos. sen n) ( ) C.ln..ln 6 8. p) sen C.(. 8) b) C d) C e) C C C Ejercicio ) e (.cos. sen) i) C j).cos.. sen 6.cos 6. sen C o) C UNIDAD 6: INTEGRAL DEFINIDA a) 0 8 b) 6 i) d) 60 j) 98 e) k) 0 Ejercicio ) 8 Ejercicio ) Ejercicio ) a) Ejercicio ) b) 0 Ejercicio 6) Ejercicio ) a) 9 b) 6 Página

28 08 Ejercicio 8) Ejercicio 9) Ejercicio 0) Ejercicio ) 6 Ejercicio ) Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza Página 8

29 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza Tabla de Derivadas Nota: a = constante; u y v = funciones Funciones algebraicas Funciones potenciales, eponenciales y módulo Función logarítmica Funciones trigonométricas Página 9

30 Escuela Técnica N 6 D.E. 6 Confederación Suiza Tabla de Integrales más usuales Página 0