I. Hechos históricos. 1.1 Ley de Gravitación de Newton

Transcripción

1 I. Hechos históricos 1.1 Ley de Gravitación de Newton Uno de los aspectos importantes de las leyes de Newton, es que se basa en sistemas de referencia inerciales, los cuales se mueven con velocidad constante unos respecto a otros. Un principio fundamental enunciado por Galileo Galilei para estos sistemas de referencia, es el principio de relatividad, el cual nos dice que las leyes tienen la misma forma matemática en cualquier sistema de referencia inercial. La primera ley de Newton, que nos dice que todos los cuerpos se mueven en línea recta y con velocidad constante si no actúan fuerzas externas sobre ellos, pudiera ilustrar este principio. Uno de los estudios más importantes realizado por Isaac Newton sobre las fuerzas naturales, es la formulación de la fuerza gravitacional, que como sabemos, nos dice que todos los cuerpos ejercen una fuerza atractiva directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta ley gobierna el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de los cuerpos en el campo gravitatorio de la Tierra. Esta ley se expresa como: donde r 21 = j! r 2 F = G m 1m 2 r 2 21! r 1 j y G es la constante de gravitación universal. Si consideramos ahora una partícula sujeta a un potencial gravitacional, la ecuación de movimiento para este caso se escribe de la siguiente forma. (1) F (t; x) = m i x = m g r (t; x) (2) La ecuación de movimiento de Newton nos dice que la aceleración de una partícula está dada por el gradiente de su potencial gravitacional. Esta ecuación de movimiento de Newton resulta invariante bajo transformciones, que enunciamos enseguida: Consideremos dos sistemas de referencia inerciales k y k a velocidad relativa constante uno respecto a otro. Las relaciones en coordenadas del sistema primado y el sistema no primado son: 3

2 x 0 = x + vt (3) y 0 = y z 0 = z para el tiempo t 0 = t (4) Newton introdujo el concepto de un espacio absoluto, el cual equivale a un sistema de referencia único, con respecto al cual toda la materia en el universo estaría en reposo. Este concepto introduce también la existencia de un tiempo absoluto, el cual implica que existe una manera única de medir el tiempo. Todos estos puntos de las leyes de Newton y las transformaciones de Galileo tuvieron problemas al introducir velocidades comparadas con la velocidad de la luz. En 1873 aparece James Clerk Maxwell, quien formuló las ecuaciones de la electrodinámica, expuso un modelo de la luz como un efecto electrodinámico y, como una coincidencia algebraica, obtiene el valor de la velocidad de la luz. 1.2 Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones, dos para el campo eléctrico ~ E y dos para el campo magnético ~ B. Las cuales se escriben como: r ~ E = 4 r ~ B = 0 (5) r E ~ = B ~ r B ~ = 4~ c j + E ~ (6) Donde tenemos que en la ausencia de densidad de carga y de densidad de corriente eléctrica, las componentes de los campos satisfacen la ecuación de onda: 2 u c 2 r 2 u = 0 A diferencia de las leyes de la mecánica clásica de Newton, las ecuaciones del electromagnetismo no son invariantes ante una transformación de Galileo. Este hecho se debe a que las ecuaciones de Maxwell establecen que la radiación electromagnética se propaga a la velocidad de la luz. Por ejemplo, si tomamos el caso de un fenómeno electromagnético y se le aplica la transformación 4

3 de Galileo, tendríamos sólo un sistema inercial en el cual el valor de la velocidad de la luz sería exactamente c. En general, las ecuaciones del electromagnetismo tienen contenida la constante c, y de acuerdo con las transformaciones de Galileo, esta velocidad no puede ser la misma para dos observadores en diferentes sistemas de referencia inercial, por lo tanto, los efectos electromagnéticos no serán los mismos para diferentes observadores inerciales. Es bien conocido que las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante transformaciones de Lorentz y no lo son ante las de Galileo. La introducción que hizo Newton de un sistema de referencia absoluto causó cierta preocupación entre algunos integrantes de la comunidad cientí ca a nales del siglo XIX y al principio del siglo XX, pues esto signi caba que la luz debería de tener un medio de propagación, el cual tenía como nombre éter. El problema de la transformación de Galileo, implica la necesidad de escoger el análisis correcto, pues el hecho de que los principios de relatividad de Galileo se apliquen a las leyes de la mecánica clásica de Newton y no a las leyes del electromagnetismo, nos lleva a las siguientes posibilidades: (i) Existe un principio de relatividad para la mecánica, pero no para la electrodinámica; como las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz, la electrodinámica se deberá de estudiar en el sistema del éter. Si esta alternativa fuera correcta las transformaciones de Galileo serian aplicables y se podría localizar experimentalmente este sistema. (ii) Existe un principio de relatividad tanto para la mecánica como para el electromagnetismo, pero las leyes de la electrodinámica dadas por Maxwell no son correctas. Si esta alternativa fuera la acertada, se podría hacer experimentos para que haya desviaciones en la electrodinámica de Maxwell y se deberían reformular las leyes del electromagnetismo. (iii) Existe un principio de relatividad tanto para la mecánica como para la electrodinámica, pero las leyes de la mecánica dadas por Newton no son correctas. Si esta alternativa es la acertada, podrían realizarse experimentos con los que se demostraría que hay desviaciones de la mecánica de Newton y entonces se deberían reformular las leyes de la mecánica. En este caso, las leyes de transformación correctas no serían las de Galileo, ya que son incompatibles con la invariancia de las ecuaciones de Maxwell. La idea de este medio de propagación de la luz nalizó en el año 1887, cuando los cientí cos Michelson y Morley, a través de un experimento quisieron comprobar la existencia del éter. Este experimento llevó a los cientí cos a descartar esta idea. 5

4 1.3 Relatividad especial y Transformaciones de Lorentz En 1905 se genera una nueva teoría que implicaba que las transformaciones de Galileo no eran validas por ser incompatibles con las ecuaciones de Maxwell. A esta teoría se le conoce como teoría de la relatividad especial desarrillada por Albert Einstein, y solucionó el problema de la invarianza de la velocidad de la luz. Un concepto importante en la teoría de la relatividad especial es el espacio-tiempo; al describir un suceso que ocurre en cierto lugar del espacio y en un determinado momento, se debe de especi car no sólo las coordenadas espaciales, sino también una cuarta coordenada, la del tiempo en que ocurre el suceso. Esto es, un conjunto de sucesos se pueden expresar en un espacio de cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal, donde cada punto de este espacio es un suceso. Si un suceso ocurre en un punto del espacio con coordenadas (x,y,z) en el tiempo t tendrá coordenadas (x,y,z,ct) en el espacio-tiempo. Este concepto de cuarta dimensión fue introducido por primera vez por Minkowski, poco después de que apareciera la teoría de Einstein. Este concepto se conoce con el nombre de espacio de Minkowski. Necesitamos entonces un nuevo tipo de transformación de coordenadas que mantengan invariantes las ecuaciones de Maxwell. A nales del siglo XIX el físico H. A Lorentz descubrió un nuevo tipo de transformación, a la que hoy se le conoce como transformaciones de Lorentz, y su signi cado físico fue interpretado por Einstein. Las transformaciones de Lorentz se expresan de la siguiente manera: para la parte espacial para la parte temporal x 0 = (x vt) (7) y 0 = y z 0 = z t 0 = t vx c 2 donde 1 = q (9) v 1 2 c 2 Aunque ésta no es la notación matemática que emplearemos, es importante conocerla antes de introducirnos a la notación matemática con la cual vamos a trabajar. (8) 6

5 Una de las consecuencias más inmediatas de la transformación de Lorentz, es que las mediciones del tiempo y del espacio dependen del sistema en que se realizan. Ya que se ha mencionado la nueva transformación, es necesario introducir una notación matemática más general que nos permita expresar lo que hemos expuesto. Las leyes de la Física deben de ser independientes del sistema de coordenadas que se utilice en su formulación matemática. En este tipo de análisis, el algebra tensorial juega un papel importante, no sólo en la teoría de relatividad, sino en diversas ramas de la Física. 7