V = volumen del cilindro exterior menos volumen del hueco

Transcripción

1 1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO DE VOLÚMENES MEDIANTE CORTEZAS CILÍNDRICAS Este método se asa en utilizar anillos cilíndricos de poco grosor llamados cortezas que se ilustra en la siguiente figura: r r r 1 Δr h El volumen de una corteza cilíndrica de radio eterior r, radio interior r 1 altura h está dado por: V = volumen del cilindro eterior menos volumen del hueco V = π r h π r h 1 que tamién se puede escriir como: r + r1 V = π( r r1 ) h= π( r + r1)( r r1) h= π hr ( r1) En el primer paréntesis de la epresión otenida se tiene el radio medio de la corteza, denotado con r en la figura, es decir, que

2 r = r + r 1 Y en el segundo paréntesis de dicha epresión se tiene el grosor de la corteza, denotado en la figura con Δ r que equivale a: Δ r = r r 1 Luego entonces, tomando en consideración esto, el volumen de la corteza cilíndrica se puede escriir como: Por lo que. V = π rhδ r Vcorteza = π(radio medio)(altura)(grosor) Sea f una función continua no negativa en el intervalo cerrado a, <. Y sea R la región, donde a acotada por la gráfica de la función, el eje de las ascisas las rectas de ecuaciones = a =, tal como se muestra en la figura siguiente: = f() a Si se gira la región R alrededor del eje " " de revolución mostrado en la figura: R se forma el sólido

3 a Nótese que si a >, entonces el sólido de revolución tiene un agujero cilíndrico de radio " a ". Se construe ahora una partición del intervalo a, se considera el rectángulo de ase, n 1 n altura fw ( ) n, donde w n es el punto medio del suintervalo, n 1 n. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje " ", entonces se otiene una corteza cilíndrica con radio medio fw espesor Δ = 1 ( ) n n n n Δ n w, altura n fw ( n) a w n 1 n n El volumen de esta corteza cilíndrica es. V = πw f( w ) Δ n n n n

4 Si se suman todos los volúmenes de los suintervalos de la partición se llega a: V w f( w ) Δ n n n n que es una suma que da un valor aproimado al volumen del sólido de revolución. Una figura para ilustrar el volumen correspondiente a esta sumatoria se muestra a continuación, considerando una partición con pocos suintervalos. Es evidente que mientras menor sea la norma Δ de la partición, maor será la aproimación de la sumatoria con el volumen del sólido de revolución, ojeto del prolema en estudio. De acuerdo con lo a estudiado del límite de una sumatoria, es posile estalecer la siguiente definición: DEFINICIÓN. Sea f una función continua valuada positivamente en el intervalo a, para el que se cumple que a<. Entonces, el volumen V del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje " ", la región limitada por la gráfica de f, el eje de las ascisas las rectas = a =, es igual a: V = lim π w f( w ) Δ = π f( ) d Δ a n n k a n

5 5 Como se oserva, el volumen se otiene con una integral definida. A manera de resumen, considerando las dos posiilidades de ejes de revolución, los ejes " " " ", se tiene que: Se considera una misma región Si el eje de revolución es el eje vertical, entonces, i) p () V = π p( ) q( ) d a eje de revolución q () a Δ ii) Si el eje de revolución es el eje horizontal, entonces, d Δ c q ( ) V= π pqd ( ) ( ) c p ( ) d eje de revolución

6 Ahora se resolverán algunos ejercicios de aplicación de este método para calcular volúmenes de sólidos de revolución. 6 Ejemplo. Se construe un depósito de comustile cua forma se otiene al hacer girar alrededor del eje de las ascisas, el segmento de la paráola = ; 8 Cuál es su volumen? (las magnitudes " " " " en metros). Utilizar para el cálculo los dos métodos, el de las cortezas cilíndricas el de los discos. Solución. Lo primero que se hará es presentar una gráfica del depósito, mediante el giro de la gráfica de la paráola alrededor del eje de las ascisas. = 8 m 8 m

7 7 Método de las cortezas = Δ De acuerdo con lo tratado, la epresión a utilizar es la siguiente: d V = π p ( ) q ( ) d c donde q ( ) = = 8( ) = ; p ( ) = Luego, V = π ( ) d V = 8π d Se resuelve primero la integral indefinida, d; u = du = d; = 1 u 1 ( ) udu = u u u du 1 1 = u u du u u 1 = C u u C 5 + = u

8 8 5 1 = ( ) + ( ) + C 1 1 V = 8π ( ) + ( ) = 8 π () () 1 16 V = 8π V 5.6 m 1 5 Método de los discos Δ = 8 Como se estudió, la integral definida con la que se calcula el volumen es la siguiente: V = π d = π d 8 8 Se resuelve la integral indefinida se llega a: 5 d = + d = + + C Por lo que el volumen uscado es igual a:

9 9 V = π + = π V 5.6 m Ejemplo. Calcular el volumen que se genera al girar, alrededor de la recta =, la región limitada por la curva = + 1 las rectas = = 1. Graficar la región dada el volumen requerido. Solución. Se grafica de manera aproimada la curva dada la región que gira se tiene: = + 1 eje de giro = Δ = 1 No es posile calcular el volumen pedido mediante el método de los discos, a que no se puede despejar a la variale " ". Luego este prolema tiene que ser resuelto por el método de cortezas cilíndricas con un elemento diferencial rectangular vertical, como se muestra en la figura. Como el eje de revolución es vertical, para determinar el volumen se utiliza la epresión:

10 donde V= π pqd ( ) ( ) a p () = q () = + 1 1= Luego el volumen equivale a: π ( ) V = d Se resuelve la integral indefinida 5 ( ) d = d = + C V = π = π π 8 = 8 8 π V = u 5 La gráfica de este volumen es: eje de giro 1 1

11 Ejemplo. Determinar el volumen que se genera al hacer girar la región limitada por las paráolas alrededor del: = = ( ) i) Eje " " ; ii) Eje " " Solución. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las paráolas se realiza una gráfica de las dos paráolas. Así, = ; = ( ) = + = ( ) = = = ( ) = = = 11 i) Eje " " = q ( ) Δ = ( ) En este caso, la epresión que se utiliza es en la que d V= π pqd ( ) ( ) c p ( ) = q ( ) = ( ) = + Luego, p ( )

12 V = π ( + ) d = π ( + ) d Se resuelve primero la integral indefinida para ello se divide ésta en tres integrales. Así, d. u = du = d ; = u 5 1 u u ( u) u du = u du + u du = C 5 8 d = ( ) + ( ) + C 5 d = + C 5 5 d = d = 5 + C = 5 + C Luego, 8 V = π ( ) + ( ) V = π = π = π V = π u

13 1 i) Eje " " = Δ q () = ( ) En este caso, la epresión que se utiliza es en la que: d V = π p( ) q( ) d c p () = q () = ( ) ( ) V = π ( ) d p () π ( ) = + d 16 = π ( + ) d = π π 8 + = + 16 V = π u