FUNCIONES REALES. En el caso del área de la circunferencia, decimos que el área es función del radio (depende del radio).

Transcripción

1 FUNCIONES REALES INTRODUCCION : El concepto de correspondencia o relación se usa frecuentemente en la vida diaria, por ejemplo: a) A cada Alumno le corresponde su nomre. ) A cada liro le corresponde su nº de páginas a) A B liro de: D Pedro C 5 Alumno 1 Diego ) Historia 3 Alumno Alvaro Matemat. 3 Alumno 3 Juan Castellano 18 Luis Inglés 35 Alerto c) A cada circunferencia le corresponde su área. A π r d) A cada alumno le corresponden padres. e) La relación entre el área, la ase la altura de un triángulo es A ½ h En este último caso halamos que el Area depende de la ase de la altura, porque si camian cualquiera de las variales, camia el área. A f(, h ) En el caso del área de la circunferencia, decimos que el área es función del radio (depende del radio). f) De igual forma, la presión en el fondo de un recipiente es función de la profundidad del líquido (depende de la profundidad). g) La temperatura de un determinado día en Santiago, está dada por la tala: hora tº En la tala de valores vemos que la temperatura es una función de la hora ( o sea la temperatura depende de la hora). Indudalemente que ha relaciones que se pueden epresar claramente en forma algeraica, en camio la relación tº f(hora) no sería posile (con los conocimientos matemáticos que se poseen hasta este momento) epresarla en forma algeraica, o faltarían antecedentes o variales que nos permitieran epresarla algeraicamente. El concepto de función, uso de relaciones epresiones matemáticas, es mu útil en el planteo solución de diferentes prolemas de todo orden: lógicos, físicos, geométricos, alísticos, financieros, etc. p. ej: Si se conoce la relación entre el alcance de un proectil, ángulo de tiro, se puede calcular el ángulo para otener el máimo alcance. Si conocemos la relación entre un capital, su utilidad el número de días que ha estado invertido, se podría calcular el número de días que ha que invertir ese capital para otener una máima utilidad. Haroldo Cornejo O.

2 Al conocer la relación entre el número de alumnos, el costo otros parámetros, podríamos calcular el máimo numero de alumnos que se pueden aceptar por curso, para que el costo sea mínimo. RELACIÓN BINARIA Definición: S es una relación inaria si sólo si eisten conjuntos A B tales que S A B En este caso tamién se dice que S es una relación de A en B S (, ) S S 1 {(1, 3), (, 5), (, 3 )} es una relación inaria donde S 1 R R S {, ) R R / 1} es una relación inaria en este caso (1, ) S IMAGEN PREIMAGEN Definición: Sean A B conjuntos S A B Si (, ) S se dice que "" es IMAGEN de "" por S "" es PREIMAGEN de "" por S DOMINIO Y RECORRIDO (RANGO) Definición: Sean A B conjuntos S A B, se define 1. Dom S { A / B ((, ) S)}. Rec S { B / A ((, ) S)} Ejemplo: S {(, ) RR / > 1} Dom S { R / R / > 1} { R / > R / 1 } { R / > } ], [ Rec S { R / R / > 1} { R / R / > 1 } { R / 1 > } { R / < 1} ], 1[ RELACIÓN INVERSA. Definición: Si S es una relación de A en B, entonces la relación de B en A está definida por: Ejemplo: S 1 {(, ) B A / (, ) S} Si S {(, ) R R / > 1} S 1 {(, ) R R / > 1}

3 CONJUNTO IMAGEN DE UN SUBCONJUNTO DEL DOMINIO Definición: Sean A B dos conjuntos S A B A 1 Dom S S * (A 1) { Rec S / A 1 ((, ) S)} Conjunto imagen de A 1 por S Si B 1 Rec S, llamamos conjunto preimagen de B 1 por S al conjunto S 1 (B 1 ) CONCEPTO DE FUNCION : Una relación o correspondencia de un conjunto A en un conjunto B es una función, si a cada elemento de A le corresponde un único elemento B. En este caso se acostumra a decir que es una función de Podríamos decir tamién que: Función es aquella relación en que no ha dos pares ordenados diferentes que tengan igual el primer término. Definición: 1. F es una función si sólo si F es una relación Dom F! Rec F ((, ) F}. Si A B son conjuntos, entonces F es una función de A en B si sólo si F es una función tal que Dom F A Rec F B Se usa la notación F:A B cuando B es función de A en B la única imagen de por F se denota como F() Ejemplo: Si A { a,, c } B {, 1,, 3 }, los siguientes diagramas sagitales muestran funciones de A en B A B A B f g a a 1 1 c c 3 3 f(a) f(a) f() f() 1 f(c) f(c) 3 Donde f(a) significa que la imagen de "a" por " f " es 3

4 A B A B h t a a 1 1 c c 3 3 h(a) 1 f(a) 1 h() 1 f() h(c) 1 f(c) 3 1 es la imagen de 1 es la imagen de a 3 es la imagen de c No son funciones los siguientes casos: A B A B s u a a 1 1 c c 3 3 a tiene dos imágenes no tiene imagen en B. En una función de A en B, cada elemento de A tiene una sólo una imagen Ejercicio: Si A { n N / 7 n } Los siguientes diagramas muestran relaciones en A. Determinar cuáles son funciones. A A A A A A 7 f f 7 7 f A A A A A A 7 f 7 7 f f Respuesta: Sólo f 1 f son funciones a que en f 3, el no tiene imagen, en f el 8 tiene dos imágenes, en f 5 el 7 no tiene imágenes en f 6 el 7 el 8 no tienen imágenes.

5 Ejemplo: 1. S {(, ) R R / } no es una función porque (1, 1) S (1, 1) S 1 1 En otras palaras, el uno, del Dominio, tiene dos imágenes de igual forma sucede con todos los elementos del Dominio.. f {(, ) R R / } es una función de R en R Dom f R Rec f R FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO: Si definimos un dominio como un suconjunto de A, podríamos tener una función con dominio de definición o dominio restringido. Sean las situaciones dadas: A B A B C 1 a 1 a 3 3 R 3 R R 3 No es función de A en B porque 3 No tiene imagen, pero sí el dominio es C. R 3 Si es función de C en B. En este caso el dominio de la función se llama Dominio de Definición o Dominio Restringido. Sin emargo R,No es función de A en B, porque 1 tiene dos imágenes además no tiene imagen. Aunque se definiera un dominio restringido, 1 tiene dos imágenes. Así en el caso del Ejercicio 3: A A 7 f 3 7 f 3 sería función con dominio restringido Dom f 3 { 7, 8, 9} Lo mismo sucedería con el Ejercicio 3: A A 7 f 5 7 f 5 es función con dominio restringido Dom f 5 { 8, 9, } en f 6 Dom f 6 { 9, } 5

6 OTRAS FUNCIONES : Así como se han representado o definido en forma de diagramas sagitales (algunas de las cuales son funciones), tamién podemos encontrar funciones definidas en forma de talas. Por ejemplo: EDAD PEDRO EDAD JUAN o por una ecuación o fórmula tal como: EDAD JUAN EDAD PEDRO La cual, si usamos la asignación de variales: EDAD JUAN EDAD PEDRO Se convierte en la forma La EDAD de JUAN es una función de la EDAD de PEDRO que representa en este caso algeraicamente la tala de valores inicial. Donde Variale independiente Variale dependiente (su valor depende del valor que se le asigne a ) Con esta nueva modalidad de representar las relaciones, diremos que: Cuando dos variales están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinada si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda. 1. VARIABLES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES : La segunda variale, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de los límites que dependen del prolema particular, se llama la variale independiente o el argumento. La primera variale, cuo valor queda definido cuando se asigna un valor a la variale independiente, se llama la variale dependiente o la función. 1.5 NOTACION DE FUNCIONES : El símolo f () se emplea para designar una función de, se lee f de. f() representa la única imagen que puede tener "" Con el ojeto de distinguir entre diferentes funciones se camia la letra inicial, como en F (), h (), etc. Evaluar una función es uscar cuál es la imagen, se logra reemplazando la variale independiente en la epresión algeraica que relaciona amas variales. por ejemplo: si f() f() 3 () 5 () 6 8 f(a) 3 (a) 5 (a) 6 1a 5a 6 f(h3) 3 (h 3) 5 (h 3) 6 3(h 6h 9) 5h h 18h 7 5h h 3h 8 6

7 1.6 RECORRIDO DE UNA FUNCION : Es el conjunto de valores que toma la variale independiente no necesariamente tiene que ser igual al conjunto B o Codominio. Es el conjunto formado por las segundas componentes del par ordenado que pertenecen a la función. Rec f B Otros Ejemplos de Funciones definidas mediante una fórmula podrían ser: * Longitud de una Circunferencia π R donde Long Circunferencia f (R) * Area π R A f (R) * Sea edad del padre edad del hijo 5 f ( ) R variale independiente Long variale dependiente R variale independiente A variale dependiente La edad del padre es 5 años más que la edad del hijo variale independiente variale dependiente * La relación más elemental de la altura o posición vertical de un proectil es: v sen α t g t / f ( t ) Donde, v, α, g son constantes altura ó posición (variale dependiente) t tiempo (variale independiente) * ó f ( ) Igualdad de Funciones: Definición: Dos funciones son iguales si sólo si Dom F Dom G Dom F (F() G()) 7

8 1.8 FUNCIONES REALES : Son todas aquellas funciones definidas en R R p. ej: f() 1 Dom f R * R { } g() Dom g R 5 h() 3 Dom h R { 3, ½ } 1 Para determinar el recorrido de una función, deemos despejar en función de para otener las restricciones de esta última. p. ej : f() e Rec f R * g() ² Sin restric. Rec f R t() 1 1 ( 1) / ( ) / ( ) ( ) 1 Rec t R {} COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Sean F G funciones, entonces la función G compuesta con F se define por: G F {(, ) Dom F Rec G / G(F())} para Dom F con F() Dom G se tiene G F G(F()) Dom (G F) { Dom F / F() Dom G} Ejemplo: 1 1 Sea F() 1 G() G F() G( 1) ( 1) Dom (G F) { Dom F / F() Dom G} { R / 1} R {1} 8

9 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA FUNCION : Para representar gráficamente una función se asignan diferentes valores aritrarios a la variale independiente se evalúa o valora la función, oteniéndose de esta manera un par ordenado que se lleva a un sistema cartesiano de Referencia Gráficamente se utiliza el eje de las acisas para el Dominio o variale independiente, mientras que en el de las ordenadas, se utiliza para la imagen de los elementos del dominio o sea f(). Ejercicio: Definamos la f : N N según la Relación f () 1 Variale independiente Variale dependiente dom f N Codom f N Rec f {, 3,, 5,... } Rec f { N / > 1 } f() OJO : No se puede trazar una recta porque se está traajando con el conjunto de N. 9

10 Distinta sería la situación si f : R R, según la relación f ( ) 1 f() dom f R Codom f R Rec f {,,,5,,,8, } Rec f { R / > 1 } Al graficar en el conjunto N son puntos, mientras que en R es una recta. Ejercicio : Dado A { R / 1 3 } B R Representar gráficamente f : A B definida por f() 3 f()

11 Ejercicio : Representar gráficamente la función f : R R definida por f () { ( ; ) / 1 } f() Ejercicio : Representar gráficamente la relación g : R R definida por g { ( ; ) / ² ² } 1 3 no es función Ejercicio : Representar gráficamente la función h :R R dada por la epresión g { ( ; ) R R / 1 } Semicircunferencia ( ) g es función con dominio restringido 11

12 1. 9 ALGUNAS FUNCIONES EN R : Función Constante: Si C es una constante real, la función f: R R definida por f() C se denomina función constante. C Representada gráficamente C dom f R rec f {C} p. ej : f: R R definida por f() 3, entonces la gráfica de la función es una paralela al eje que pasa por la ordenada f() Dominio Función identidad: Es la función f : R R definida por f() Representada gráficamente resulta una recta que divide en dos partes iguales al I al III cuadrante Dom f R Rec f R f() Dominio 5 Función cero: Es la función f : R R definida por f() Representada gráficamente resulta una recta que coincide con el eje f() Dom f R Rec f R 1

13 Función Valor asoluto (f módulo) Es la función f: R R definida por f() Dom f() R Rec f() R {} 5 f() 3 1 Dominio Función Raíz cuadrada Es la función f: R R definida por 8 f() f() Dom f() R {} Rec f() R Dominio Función recíproca Es la función f: R R definida por f() 1 f() 1 Dom f() R {} Rec f() R {} Dominio Función Lineal Es la función f: R R definida por f() c Dom f() R Rec f() R Donde el coeficiente de posición es el intercepto con el eje de la "" está definido por la constante "c" de la función 5 f() c 3 Δ 1 Δ Dominio la pendiente " m" está definida por m Δ Δ 1 1 la pendiente de la función, que es siempre constante, está indicada en la función, por el coeficiente que acompaña a las " ", quedando la función, escrita de la siguiente manera: f() m c 13

14 Función cuadrática: Es la función f: R R definida por f() a c Representada gráficamente resulta una paráola de la forma f() a c Dominio o según sea el signo de a los valores de las constantes a,, c puede tomar otras formas p. ej en esta función, a < la paráola queda aierta hacia aajo p. ej la función f() ² 5 corta al eje de las en dos partes según la forma La función cuadrática f() a corta el eje del dominio en dos puntos que se conocen como las raíces de la función. Esta situación se presenta cuando la función f() a c se hace igual a cero (encontrar las raíces de la función es determinar los valores de la variale independiente, para los cuales su imagen es cero). Cae destacar que encontrar las raíces de la función implica resolver la ecuación de º grado que se produce al hacer a c cuas soluciones se otienen adecuando la función de la siguiente manera: a c / a 1 c a a 1

15 15 a a c a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a de donde se desprende que: a a a a a a que se resume en lo que haitualmente se conoce como la " fórmula" para resolver la ecuación de º grado a ± En estas soluciones se puede oservar que si ( ) <, entonces no eisten soluciones reales para la ecuación de º grado, lo que significa que la función cuadrática no tiene soluciones reales esto significa que la función no corta el eje del dominio. A la epresión se le conoce como el discriminante se designa Δ Δ Si Δ <, a >, entonces la función no corta el eje del dominio es aierta hacia arria. En este caso se tiene que la función es siempre positiva

16 Si Δ <, a <, entonces la función no corta el eje del dominio es aierta hacia aajo. En este caso se tiene que la función es siempre negativa. 6 3 Si Δ a >, la función corta el eje en un solo punto que son las dos raíces iguales de la función ( 1 ) are hacia arria. En este caso se tiene que la función es siempre positiva ecepto para el pto 1 en que la función vale cero Si Δ a <, la función corta el eje en un solo punto que son las dos raíces iguales de la función ( 1 ) are hacia aajo. En este caso se tiene que la función es siempre negativa ecepto para el pto 1 en que la función vale cero Si Δ >, a >, entonces la función corta el eje del dominio en dos puntos que son las dos raíces de la función ( 1 ) es aierta hacia arria. Si 1 < entonces la función f() > en el intervalo ], 1 [ ], [. La función f() < en el intervalo ] 1, [ La función f() en { 1, }

17 Si Δ >, a <, entonces la función corta el eje del dominio en dos puntos que son las dos raíces de la función ( 1 ) es aierta hacia aajo. Si 1 < entonces la función f() < en el intervalo ], 1 [ ], [. La función f() > en el intervalo ] 1, [ La función f() en { 1, } 6 3 Cae destacar que en ningún caso " a" puede valer cero, porque dejaría de ser una función cuadrática. Coordenadas del vértice: las coordenadas del vértice vienen dadas por así por ejemplo la función de º grado f() 8 15 a 8 6 c a está representada por el gráfico, donde se oserva que es aierta hacia arria porque a > tiene dos raíces reales por su discriminante Δ > 6 8 Cuas raíces para f() son: además se puede oservar que f() > en ], 3[ ] 5, [ es f() < en ] 3, 5[ siendo f() en {3, 5} Las coordenadas del vértice son: 8 ( 8) En camio la función g() 8 15 cua gráfica se muestra, es aierta hacia aajo porque a <, tiene dos raíces reales porque Δ > Las coordenadas del vértice son (, 1)

18 1.. TIPOS DE FUNCIONES Función inectiva : Si f es una función, f es inectiva (uno a uno) si sólo si Dom f Dom f ( f() f()) f es una función inectiva si sólo si Dom f Dom f (f() f() ) p. ej : A B f 1 a 3 c f 1 f : A B f : R R f 1 : B A f 1 : R R Sin emargo la f() no es una función inectiva porque ha elementos diferentes del dominio de f, tales como 1 1 que tienen la misma imagen. f() 1 es inectiva a que si a f(a) f() Ejemplo: Demostrar que la función f() 1 con Dom f R {1} es inectiva. 1 Sean, R {1} f() f() ( 1)( 1) ( 1)( 1) Por lo tanto f() 1 es una función inectiva Teorema: f es una función inectiva si sólo si f 1 es una función Ejemplo: En este caso Dom f Rec f 1 Rec f Dom f 1 Comproar si f() es una función inectiva Como f 1 () no es una función, f() no es inectiva. 18

19 Función Soreectiva (epiectiva) : Una función f de A en B es soreectiva cuando el recorrido coincide con el codominio. Si f : A B f() es epiectiva si sólo si f() {(,) A B Rec f B} f() es soreectiva si sólo si B A / () p. ej : A B A B f g 1 a 1 a 3 c e 3 i d o 5 5 u f : A B es función epiectiva g : A B NO es función epiectiva Función Biectiva : Una función se llama Biectiva si sólo si f es inectiva soreectiva al mismo tiempo p. ej Funciones Biectivas A B No N f g 1 a c M M epiectiva Amos ejemplos cumplen las características de inectiva Sin emargo los dos ejemplos que siguen no son iectivas A B A B 1 a 3 a e 7 3 i 9 c o 11 d u 13 Si es inectiva No es epiectiva No es inectiva Si es epiectiva 19

20 Función Par: Si f es una función real, f es una función par si sólo si Función Impar: Dom f ( Dom f f() f()) Si es una función real, f es una función impar si sólo si Dom f ( Dom f f() f()) Si f es una función par P(, ) está en el gráfico, entonces P(, ) tamién lo está, con lo cual el gráfico de f será simétrico respecto al eje " ". Por ejemplo la función f() 1 es una función par puesto que f() 1 f() () Si procedemos a graficarla, oservamos que es simétrica al eje " " 5 Ejemplo de función impar, la función lineal f() 5 5 Otra función impar es la función f() 3, cua gráfica se muestra Se oserva que si f es impar, Dom f, entonces f(), es decir el gráfico de f pasa por el origen. Ha funciones que no tienen ninguna de estas dos propiedades, como por ejemplo: f() 1 dado que f() 1 f() f() f() Función creciente: Sea f una función real e I un intervalo tal que I Dom f, se define que: f es creciente en el intervalo I si sólo si 1, I ( > 1 f( ) f( 1 )) Sea f una función real e I un intervalo tal que I Dom f, se define que: f es estrictamente creciente en el intervalo I si sólo si 1, I ( > 1 f( ) > f( 1 ))

21 Función decreciente: Sea f una función real e I un intervalo tal que I Dom f, se define que: f es decreciente en el intervalo I si sólo si 1, I ( > 1 f( ) f( 1 )) Sea f una función real e I un intervalo tal que I Dom f, se define que: f es estrictamente decreciente en el intervalo I si sólo si 1, I ( > 1 f( ) < f( 1 )) Oservar que si una función es estrictamente creciente o decreciente en su dominio, entonces la función es inectiva (uno a uno); pues si entonces ( < > ) con lo que tendrá en cualquiera de estos casos, a sea f() < f() ó f() > f(), es decir f() f() Función Monónota: Se dice que una función f en monótona en I si es creciente o decreciente en I Las funciones constantes son crecientes decrecientes a la vez. Funciones acotadas: Sea f una función real a R Se dice que a es una cota superior de f si sólo si Dom f ( f() a). Se dice que a es una cota inferior de f si sólo si Dom f ( f() a). La función f() 1 tiene como cota inferior a 1 no tiene cotas superiores 8 6 f() 1 dominio Una función f es acotada superiormente si sólo si f tiene cotas superiores. Una función f es acotada inferiormente si sólo si f tiene cotas inferiores. Una función f es acotada si sólo si f es acotada superior e inferiormente Función periódica: Si f es una función real, f es periódica si sólo si eiste el menor p R tal que: Dom f ( p Dom f f( p) f(). El menor p que cumple esta propiedad se llama período de la función. 1