APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1 MONOTONIA Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 11 Definiciones a) Una función es creciente en un intervalo de su dominio si con se cumple que f ( x1 ) f ( x2) Una función es estrictamente creciente en un intervalo de su dominio si con se cumple que f ( x1 ) f ( x2) c) Una función es decreciente en un intervalo ( a, de su dominio si x 1 x 2 ( a, con x1 x2 se cumple que f ( x1 ) f ( x2) d) Una función es estrictamente decreciente en un intervalo de su dominio si con se cumple que f ( x1 ) f ( x2) e) Una función tiene un máximo relativo o local en un punto si es posile determinar un entorno x1 x 2 reducido de f) Una función reducido de x1 x 2, E (, r), E (, r) en el que f ( ) E (, r x ) tiene un mínimo relativo o local en un punto en el que f ( ) E (, r x ) x 1 x 2 x 1 x 2 x1 x 2 x 1 x 2 si es posile determinar un entorno Máximo relativo Mínimo relativo g) Una función tiene un máximo asoluto en un punto h) Una función tiene un mínimo asoluto en un punto si f ( ) xdom( f ) si f ( ) xdom( f ) Cuando se determinan los extremos de una función continua ( ha que tener presente que un extremo relativo puede ser asoluto, pero un extremo asoluto no es relativo cuando está en x a ò x a, f en un intervalo cerrado a c d En En En x c ha un máximo asoluto relativo de ( a, x a ha un mínimo asoluto de en a, pero no relativo x d ha un mínimo relativo de ( a, f en f en

2 12 Monotonía derivada de una función 1) Sea una función derivale en tal que en 2) Sean dos funciones derivales en Entonces amas funciones difieren en una constante, es decir, g( ) Sea una función derivale en Entonces: Si x ( a, es estrictamente creciente en ( a, Si x ) es estrictamente decreciente en x Entonces tales que f ( g( g( C x ) es constante x ) 1 Puntos críticos a) Si f ( a) diremos que a es un punto singular de Los valores reales en los que ò se denominan puntos críticos de 14 Determinación de la monotonía de un función 1) Hallamos el el dominio de continuidad de 2) Hallamos el Determinamos los puntos críticos de (valores reales en los que ò ) ) Estudiamos el signo de en cada uno de los suintervalos en que los puntos críticos dividen al Dom( f ) Si x ( a, es estrictamente creciente en a, Si x ( a, es estrictamente decreciente en a, Si está definida en x a en ese punto pasa de ser estrictamente creciente a estrictamente decreciente entonces P es un máximo relativo Si está definida en x a en este punto pasa de ser estrictamente decreciente a estrictamente creciente entonces P es un mínimo relativo Dom( f ) Dom( f ) 15 Extremos relativos derivada 151 Teorema Sea derivale en x a Si tiene en x a un máximo o un mínimo relativo f ( a) El recíproco de este teorema no es cierto, es decir, que f ( a) no implica, necesariamente, que tenga en x a un extremo relativo Por ejemplo la función no es un extremo relativo de x verifica que ) f (, sin emargo, x x f ( x 2 f () x no es extremo relativo de x

3 152 Oservación Para que un punto sea extremo relativo de una función tiene que ser un punto crítico de dicha función Es decir, los extremos relativos de una función hará que uscarlos entre sus puntos críticos Esta condición, sin emargo, no es suficiente Es decir, que un punto sea crítico no quiere decir que necesariamente sea un extremo relativo de la función Posiles extremos relativos = Puntos críticos 15 Determinación de extremos relativos Sea Si f ( x o ) Si f ( x o ) Si f ( x o )? una función derivale en xo tal que f ( x ) Entonces, tiene en xo un mínimo relativo o local tiene en xo un máximo relativo o local o Nota: Aunque este resultado nos permite determinar si un punto singular ( f ( xo ) ) es extremo relativo de una función, no deemos olvidar que una función tamién puede tener un extremo relativo en un punto en el que no es derivale Por ejemplo, la función tiene un mínimo relativo ( tamién asoluto) en no es derivale en dicho punto ( x x punto anguloso) x 16 Extremos asolutos de una función en un intervalo cerrado Para determinar los extremos asolutos de una función ( considerar: 1) Los puntos críticos de en ( a, 2) Los puntos a a, f en un intervalo cerrado es preciso Se halla la imagen de todos ellos por la maor de ellas corresponderá al máximo asoluto la menor al mínimo asoluto

4 2 CURVATURA DE UNA FUNCIÓN 21 Definiciones Una función es cóncava hacia arria en un intervalo, si para cualquier par de puntos del intervalo el segmento que los une queda por encima de la gráfica de f en ese intervalo Una función es cóncava hacia aajo en un intervalo, si para cualquier par de puntos del intervalo el segmento que los une queda por deajo de la gráfica de f en ese intervalo a Cóncava hacia arria a Cóncava hacia aajo 22 Curvatura derivada de una función A) Sea una función derivale Entonces: Si f ( es estrictamente creciente es cóncava hacia arria Si f ( es estrictamente decreciente es cóncava hacia aajo B) Sea una función dos veces derivale en un intervalo ( a, Si f ( x ( a, es cóncava hacia arria en ( a, Si f ( x ( a, es cóncava hacia aajo en ( a, 2 Puntos de inflexión Se dice que P es un punto de inflexión de si en él se produce un camio en la curvatura de la función 24 Determinación de la curvatura de un función 1) Hallamos el Dom( f ) el dominio de continuidad de 2) Hallamos f ( determinamos Dom( f ) Determinamos los puntos en los que ò ) Estudiamos el signo de f ( en cada uno de los suintervalos en que queda dividido el Dom( f ) por los puntos determinados en el apartado anterior Si x a, f es cóncava hacia arria en a, Si x a, f es cóncava hacia aajo en a, Si está definida en x a en ese punto camia la curvatura entonces P es un punto de inflexión de

5 25 Puntos de inflexión derivada 251 Teorema Sea f ( a) una función dos veces derivale en x a El recíproco de este teorema no es cierto, es decir, que x a en un punto de inflexión Por ejemplo la función no es un punto de inflexión de Si f ( a) tiene en x a un punto de inflexión no implica, necesariamente, que tenga 4 x verifica que ) f (, sin emargo, x x 4 f ( 4x f ( 12x 2 f () x no es punto de inflexión de x Oservaciones Un punto de inflexión P dee pertenecer a la gráfica de la función ( a Dom( f ) ) sólo es necesario que camie en él el signo de f ( Puede suceder que en x = a no exista, por tanto, tampoco o que sí exista emargo, en amos casos P sea un punto de inflexión de Por ejemplo, la función x no es derivale en x emargo, P (,) es un punto de inflexión con tangente vertical de x f f f pero no f, sin 1 f ( f () 2, sin x Por tanto, los puntos de inflexión de una función ha que uscarlos entre aquellos puntos en los que f ( ò f (x ) Es decir, Posiles puntos de inflexión = x / f x / ( f (

6 25 Determinación de los puntos de inflexión Sea una función tres veces derivale en x = a tal que punto de inflexión f ( a) f ( a) P es un Nota: Aunque este resultado nos permite determinar si un punto en el que f ( xo ) es un punto de inflexión de, no deemos olvidar que una función tamién puede tener un punto de inflexión en un punto en el que no es derivale Por ejemplo, como hemos visto antes, la función x no es derivale en 1 f ( f () 2, sin emargo, x P(,) x o es un punto de inflexión de x x CRITERIO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS PARA LA DETERMINACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Sea ( n1) una función n veces derivale en a con f ( a) f ( a) f ( a) 1) Si n 1 es impar 2) Si n 1 es par f f ( n) ( n) tiene en x = a un punto de inflexión con tangente horizontal (a) ( a) tiene en x a un mínimo relativo tiene en x a un máximo relativo ( ) f n ( a) ( 1) Sea una función n veces derivale en con f (, f (, f (,, f n (, ( ) f n ( n impar ) f (x tiene en x un punto de inflexión de tangente no horizontal