SOLUCIONES DICIEMBRE 2017

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1 Págia 1 de 1 SOLUCIONES DICIEMBRE 017 AUTOR: Rafael Martíez Calafat. Profesor jubilado de Matemáticas Diciembre 1: De cuátas formas se puede obteer ua suma de 361 utilizado úmeros de uo o dos dígitos distitos si repetir iguo? Y ua suma de 360? 9 Solució: Sea {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {x i } i=0. Como 9 x i = 0+9 i=0 10 = 45 (*) o podemos obteer suma de 361 co úmeros de ua cifra co dígitos distitos y si repetir igú dígito. Sea {x i} i U las cifras que colocamos e el lugar de las uidades e las sumas de úmeros de ua o dos cifras y {x j} j D las cifras que colocamos e el lugar de las deceas. Tedremos e primer lugar que D U 10 y e segudo lugar que x i + 10 x j = 361 i U j D De (*) tedremos que i U x i puede ser 1, 11, 1, 31 o 41 (51 y iguo posterior a él, pues 51 excede a la suma máxima de 45). Si i U x i = 1 etoces e las cifras de las uidades sólo puede estar las cifras 0 y 1. Es decir la suma sería de dos úmeros o de u úmero que es imposible que aporte suma 361 (la suma más grade de dos úmeros de dos cifras es = = ) Si i U x i = j D x j = 361 j D x j = 35 que es u absurdo pues: 9 45 = x i x i + x j = = 46 (45 46 ) i=0 i U Si i U x i = j D x j = 361 j D x j = 34 que es u absurdo pues: 9 j D 45 = x i x i + x j = = 54 (45 54 ) i=0 i U Si i U x i = j D x j = 361 j D x j = 33 que es u absurdo pues: 9 j D 45 = x i x i + x j = = 64 (45 64 ) i=0 i U Si i U x i = j D x j = 361 j D x j = 3 que es u absurdo pues: 9 j D 45 = x i x i + x j = = 73 (45 73 ) i=0 i U j D Luego o podemos coseguir ua suma de 361 co úmeros de ua o dos cifras co dígitos distitos y si repetir igú dígito. Para suma 360 teemos, otra vez, que o podemos utilizar sólo úmeros de ua cifra pues

2 Págia de 1 9 x i = = 45 i=0 Otra vez, exigimos coseguir 360 co úmeros de ua cifra co dígitos distitos y si repetir igú dígito. x i + 10 x j = 360 i U j D De la misma forma que ates tedremos que i U x i puede ser 10, 0, 30 o 40 (50 y iguo posterior a él, pues 50 excede a la suma máxima de 45). Si i U x i = j D x j = 360 j D x j = 35 y etoces: 9 45 = x i = x i + x j = = 45 i=0 i U j D Es decir, e este caso, participa e los úmeros todos los dígitos. E otras palabras, U y D so ua partició de {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Además, los dos cojutos ha de teer cardialidad 5 pues si U =6 y D =4 la mayor suma j D x j co D =4mes = E idético razoamieto se puede utilizar co U {7, 8, 9} y D {3,, 1}. Luego hemos de particioar {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e dos cojutos co i U x i = 10 y j D x j = 35 y esto es sólo posible si {x i} i U = {0, 1,, 3, 4} y {x j} j D= {5, 6, 7, 8, 9}. Como la primera decea (5) se puede combiar co 5 uidades, la seguda decea (6) se puede combiar co 4 uidades y así sucesivamete hay = 5! = 10 formas de coseguir suma 360. Si i U x i = 0 (30, 40) 0 (30, 40) +10 j D x j = 360 j D x j = 34 (33, 3) que es u absurdo pues: 9 45 = x i x i + x j = ( , ) = 54 (63, 7 ) i=0 i U j D Diciembre : Se sabe que: 78 79=540abc88 co a, b, c,,,, dígitos. Hallar esos dígitos descoocidos Solució: A. Como 79 = tedremos que N = 540abc88 es múltiplo de 8, de 9 y de 11. B. Como al multiplicar las dos últimas cifras de los factores obteemos η = 8. De dode = 4 o = 9. C. Si = 4 etoces =.. 98 c88. Si = 9 etoces = η = 9 y c = 8

3 Págia 3 de 1 D. Como N es múltiplo de 11 la suma de las cifras que ocupa lugares impares meos la suma de cifras que ocupa lugares pares debe ser múltiplo de 11. Es decir: ( a ) (8 + b ) = 9 + a b {0, 11} pues a b 18. Luego a b = 9 o a b = E. Como N es múltiplo de 9 la suma de todas sus cifras es múltiplo de 9. Es decir: a + b = 35 + a + b debe ser múltiplo de 9. Como a + b 53 debe ser a + b + 35 = 36 o a + b + 35 = 45, es decir a + b = 1 o a + b = 10. F. a + b = 1 } a = 3 No aporta solucioes a b = G. a + b = 1 } a = 8 No aporta solucioes a b = 9 H. a + b = 10 } a = 1 a b = a = 6, b = 4 I. a + b = 10 } a = 1 No aporta solucioes a b = 9 J. Es decir, teemos: = αβδ789 = = 89 Diciembre 3-10: E el IES La Plaa hay 80 alumos de sexo masculio de u total de 614. De los que cursa bachillerato, siete de cada quice so de sexo masculio. Y de los que cursa ESO, la proporció de mujeres es 17/3. Hallar el porcetaje de alumado que cursa bachillerato y la proporció de mujeres que cursa bachillerato Nivel: Segudo de bachillerato. Solució: Sea M (F) el suceso ser de sexo masculio (femeio) y B (E) es suceso ser alumo que cursa bachillerato (ESO). De los datos: P(M) = , P(M B ) = 7 15, P(F E ) = 17 3 Sea x = P(B M) e y = P(E F), etoces podemos obteer la siguiete tabla de cotigecia: B E M x F x y De las probabilidades codicioadas teemos: P( M B ) = 7 P(M B) = = 15 P(B) P( F E ) = 17 P(F E) = = 3 P(E) y x y x x y y y x x + y 1,., 8x + 7y = 1169,., 17x + 105y = 17780

4 Págia 4 de 1 La tabla de cotigecia queda: 8x + 7y = x + 105y = } Y podemos cotestar a cualquier preguta: B E M F x = y = = = 75 3 P(B) = 75 4,43%; P(E B ) = P(F B) = P(B) = ,33% Diciembre 4-5: Sea ABC u triágulo rectágulo e C co CB = 1 y A = 30. Sobre AB se dibuja u rectágulo de área 4 3. Sea P el cetro del rectágulo. Hallar perímetro y área de los triágulos CAP y CPB. D Nivel: A partir de 4ESO. Solució: El triágulo ABC cumple C = 90, A = 30 y B = 60. Es decir ABC es u triágulo y por tato la hipoteusa mide el doble del cateto pequeño y el cateto grade mide 3 veces el cateto pequeño, es decir CB = 1, CA = 3 y AB =. Respecto del rectágulo teemos que su altura es y su área es 4 3, por tato, su base, BD = 3 AD = = 4 PB = AP = 1 AD = ABP es equilátero sus águlos mide 60 ACP es rectágulo e A (pues = 90 ) A ΔACP = 3 = 3 Y al aplicar Pitágoras al triágulo ACP:

5 Págia 5 de 1 Respecto al triágulo CBP teemos: Área = CP = ( 3) + = 7 Perímetro = Perímetro: CP + BP + CB = = CB BP si ( ) El área puede ecotrarse de forma alterativa como: = si(60 ) cos(60 ) = 3 1 = 3 A CBP = A cuadrilátero A CAP = (A ABC + A ABP ) A CAP = ( ) 3 = 3 Diciembre 6: Cuáles so los aturales que tiee p divisores siedo p u úmero primo? Solució: Recordemos que: α α3 α a) Si N = p 1 α1 p p 3 p co {pi } i=1 primos y expoetes aturales, es la descomposició factorial de N e producto de primos, el úmero de divisores de N es (α i + 1) b) Los úmeros primos so:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 17, 131, 137, 139, 149, 151, 157, Por tato, si buscamos los aturales N co p (siedo p primo) divisores aturales, puesto que p o se puede factorizar, N es la potecia de u primo. Co más precisió, N = q p 1 co q cualquier primo i=1 Diciembre 7-8: Simplificar la expresió: Nivel: Bachillerato. A = cos π 3 4se π 3 se π 6 cos π 6 cos π 3 Solució: Recordemos que si ( ) = si cos. Co esto: A = cos π 3 4se π 3 se π 6 cos π 6 cos π 3 = cos π 3 se π 3 (se π 6 cos π 6 ) cos π 3 = cos π 3 se π 3 (se π 3 cos π 3 ) = cos π 3 se π 3 (se π 3 ) = cos π 3 se π 3 = cos 4π 3 Habida cueta que cos( ) = cos - si. Por último: A = cos 4π 3 = cos60 = 1 Diciembre 9: Cuátos aturales existe de maera que el producto de sus dígitos sea 78?

6 Págia 6 de 1 Solució: Puesto que 78= 3 13 y 13 es primo, y por tato o se puede expresar como producto de úmeros de ua cifra, o podemos poer 78 como producto de cifras de úmeros y por tato o existe aturales de maera que el producto de sus cifras sea 78. Diciembre 11: Cuátos aturales de tres cifras cumple que el producto de sus cifras es 7? Y cuátos de cuatro cifras? Solució: Buscamos úmeros geerados co las cifras, y para los que = 7 = 3 3. Las diferetes posibilidades so: A. = 1, = 8, = 9. Estas cifras geera 3! = 6 úmeros diferetes (Tres posibilidades para las ceteas, dos posibilidades para las deceas y ua posibilidad para las uidades) B. =, = 4, = 9. Estas cifras geera 3! = 6 úmeros diferetes. C. =, = 6, = 6. Estas cifras geera 3 úmeros diferetes (las maeras diferetes de colocar el dos y completar os úmeros co los dos seises) D. = 3, = 3, = 8. Estas cifras geera 3 úmeros diferetes. E. = 3, = 4, = 6. Estas cifras geera 3! = 6 úmeros diferetes E total hay ( =) 4 úmeros de tres cifras de maera que el producto de sus cifras es 7. Buscamos ahora los úmeros geerados co las cifras,, y para los que = 7 = 3 3. Alguas posibilidades so las halladas ateriormete añadiedo u 1 e cualquiera de las posibles posicioes, es decir: A. = 1, = 1, = 8, = 9. Estas cifras geera ( 4 ) = 1 úmeros (Hay (4 ) maeras de elegir dos posicioes de etre cuatro e las que colocar los uos y cada ua de estas posicioes geera dos úmeros colocado primero el ocho y luego el ueve o primero el ueve y luego el ocho. B. = 1, =, = 4, = 9. Estas cifras geera 4! = 4 úmeros. C. = 1, =, = 6, = 6. Estas cifras geera ( 4 ) = 1 úmeros D. = 1, = 3, = 3, = 8. Estas cifras geera ( 4 ) = 1 úmeros E. = 1, = 3, = 4, = 6. Estas cifras geera 4! = 4 úmeros A estas opcioes hemos de añadir: A. =, =, =, = 9. Estas cifras geera 4 úmeros (Hay 4 formas de colocar el ueve y luego los doses). B. =, = 3, = 3, = 4. Estas cifras geera ( 4 ) = 1 úmeros. C. =, =, = 3, = 6. Estas cifras geera ( 4 ) = 1 úmeros. E total hay ( =) 11 úmeros Diciembre 1-13: Cuátos subcojutos co al meos seis elemetos se puede formar a partir de

7 Págia 7 de 1 A= {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} de maera que la suma de sus elemetos sea múltiplo de 9? Solució: Teemos e primer lugar que = 45 que es u múltiplo de 9. Por lo tato, hay u subcojuto co 9 elemetos, el propio A que cumple el requisito del euciado. Cosideremos los subcojutos de ocho elemetos. Si extraemos de A u elemeto las sumas extremas que podemos obteer so: (45 9 =) 36 y (45 1 =) 44. El úico múltiplo de 9 etre 36 y 44 es 36. Luego {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} es el úico subcojuto de 8 elemetos extraído de A co suma de todos sus elemetos múltiplo de 9. Si extraemos de A dos elemetos las sumas extremas que podemos obteer so: ( =) 8 y (45 1 =) 4. El úico múltiplo de 9 etre 8 y 4 es 36. Hemos de quitar de A dos elemetos que sume (45 36 =) 9, es decir hemos de quitar a {1, 8}, {, 7}, {3, 6}, {4, 5}. Luego {, 3, 4, 5, 6, 7, 9}, {1, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, {1,, 4, 5, 7, 8, 9} y {1,, 3, 6, 7, 8, 9} so los úicos subcojutos de 7 elemetos extraído de A co suma de todos sus elemetos múltiplo de 9. Si extraemos de A tres elemetos las sumas extremas que podemos obteer so: ( =) 1 y ( =) 39. los úicos múltiplos de 9 etre 1 y 39 es 7 y 36. Hemos de quitar de A tres elemetos: A. que sume (45 7 =) 18, es decir hemos de quitar a {9, 8, 1}, {9, 7, }, {9, 6, 3}, {9, 5, 4} {8, 7, 3}, {8, 6, 4}, {7, 6, 5}. Luego {, 3, 4, 5, 6, 7}, {1, 3, 4, 5, 6, 8}, {1,, 4, 5, 7, 8}, {1,, 3, 6, 7, 8}, {1,, 4, 5, 6, 9}, {1,, 3, 5, 7, 9} y {1,, 3, 4, 8, 9} so los úicos subcojutos de 6 elemetos extraído de A co suma de todos sus elemetos 7 que es múltiplo de 9. B. que sume (45 36 =) 9, es decir hemos de quitar a {1,, 6}, {1, 3, 5}, {, 3, 4}. Luego {, 3, 4, 5, 6, 7}, {1,, 4, 5, 6, 9}, {1,, 3, 4, 8, 9} so los úicos subcojutos de 6 elemetos extraído de A co suma de todos sus elemetos 36 que es múltiplo de 9. E total los subcojutos que solicita el euciado so: {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} {, 3, 4, 5, 6, 7, 9}, {1, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, {1,, 4, 5, 7, 8, 9}, {1,, 3, 6, 7, 8, 9} {, 3, 4, 5, 6, 7}, {1, 3, 4, 5, 6, 8}, {1,, 4, 5, 7, 8}, {1,, 3, 6, 7, 8}, {1,, 4, 5, 6, 9}, {1,, 3, 5, 7, 9}, {1,, 3, 4, 8, 9}, {, 3, 4, 5, 6, 7}, {1,, 4, 5, 6, 9}, {1,, 3, 4, 8, 9} Diciembre 14: Cuál es la mayor potecia de que divide a ? Solució: Teemos: = = 017 ( )

8 Págia 8 de 1 Por lo tato, parece ser la cotestació 017. Pero acaba e 5 (toda potecia de 5 excepto 5 0 y 5 1 acaba e 5). Lo que implica que acaba e 6, y por tato acaba e 6, y por tato es múltiplo de pero o de 4. Por tato = k dode k es impar. Por otra parte, es par. E defiitiva: = 017 ( k ) = 018 ( k impar impar Por tato, la mayor potecia de base que divide a es ) par Diciembre 15-16: Sea ABC u triágulo acutágulo de área A y perímetro. Sea P u puto iterior y h a (h b, h c) la distacia de P (e perpedicular) a CB (CA, AB) y r el radio de la circuferecia iscrita al triágulo. Demostrar que A = b h b + c h c + a h a, que A = r, y que si el triágulo es equilátero de lado a A =3ar Nivel: A partir de ESO. Solució: Tedremos uiedo P co los vértices del triágulo: A, B y C que se forma tres triágulos de maera que el área del triágulo iicial es suma de áreas de estos tres triágulos: A = c h c + b h b + a h a A = a h a + b h b + c h c Si tomamos P como el puto dode se corta las bisectrices de los tres águlos del triágulo iicial, etoces: r = h a = h b = h c dode r es el radio de la circuferecia iscrita, y: A = a h a + b h b + c h c = a r + b r + c r = r (a + b + c) = Π r Por último, si el triágulo es equilátero a = b = c, y A = 3 a r Diciembre 17: Para cuátos aturales de ua cifra es u divisor de ? Nivel: A partir bachillerato. Solució: Teemos: = ( + + 1) ( ) Para que sea u divisor de , ha de ser u divisor de Veamos que valores de de ua cifra hace que sea divisible por divide a + 150? divide a 151? NO divide a 15? NO divide a 153? NO divide a 154? NO divide a 155? SI

9 Págia 9 de divide a 156? NO divide a 157? NO divide a 158? NO divide a 159? NO Por tato, sólo para = 5, es divisible por Diciembre 18: Demostrar que 018 o es suma de u cuadrado y u cubo co bases de distita paridad (es decir ua par y la otra impar) Solució 1: Por reducció al absurdo. Si 018 = () par + (m + 1) 3 impar impar Si 018 = ( + 1) impar impar + (m) 3 par tedríamos que 018 es impar tedríamos que 018 es impar Solució : Cosideremos cogruecias módulo 4. Teemos: Además: par { = 0(4) = 0(4) 3 = 0(4) = (4) = 0(4) 3 = 0(4) impar { = 1(4) = 1(4) 3 = 1(4) = 3(4) = 1(4) 3 = 3(4) es par = 0(4) m es impar m = 1(4) m 3 = { 1(4) } + m 3 = { 1(4) 3(4) 3(4) es impar = 1(4) m es par m = 0(4) m 3 = 0(4) } + m 3 = 1(4) Por lo tato, + m 3 co y m de distita paridad uca puede dar 0(4) o (4). Como 018 = (4), teemos que 018 o puede poerse como suma de u cuadrado y u cubo co bases de diferete paridad. Diciembre 19-6: Sea ABCDEF u hexágoo regular co AB = 1. Sea P u puto del iterior del hexágoo. Sea S la suma de las áreas de los triágulos ABP, CDP y EFP. Calcular el valor de S Nivel: A partir de 3ESO. Solució: Sea H 1 (H, H 3) el puto de AB (CD, EF) de maera que PH 1 (PH, PH 3) es perpedicular a AB (CD, EF)

10 Págia 10 de 1 Etoces: S = AB PH 1 + CD PH + EF PH 3 = AB = CD = = { EF = 1 } = = 1 (PH 1 + PH + PH 3 ) Por otra parte, sea I (H, G) la itersecció de AB y EF (AB y DC, EF y CD). Etoces IGH es equilátero de lado 3, y por tato su área es Pero P descompoe el triágulo equilátero e tres triágulos co alturas H 1 (H y H 3) y base 3. De dode: = 3 PH PH + 3 PH 3 = 3 (PH 1 + PH + PH 3 ) PH 1 + PH + PH 3 = 3 3 (Este último razoamieto puede evitarse co el teorema de Viviai que garatiza que la suma de los segmetos PH 1 + PH + PH 3 es la altura del triágulo equilátero). Por tato: S = 1 (PH 1 + PH + PH 3 ) = = Diciembre 0: Demostrar que 017 o es suma de u cuadrado y u cubo co bases de la misma paridad (es decir las dos pares o las dos impares) Solució 1: Cosideremos cogruecias módulo 4. Teemos: Además: par { = 0(4) = 0(4) 3 = 0(4) = (4) = 0(4) 3 = 0(4) impar { = 1(4) = 1(4) 3 = 1(4) = 3(4) = 1(4) 3 = 3(4) es par = 0(4) m es par m 3 = 0(4) } + m 3 = 0(4) es impar = 1(4) m es impar m = 1(4) m 3 = { 1(4) } + m 3 = { (4) 0(4) 3(4) Por lo tato, igú úmero que dé resto 1 o 3, al dividirlo por 4 puede expresarse como suma de u cuadrado y u cubo co bases co la misma paridad. Como 017 = 1(4) teemos lo deseado. Solució : Al absurdo: Si 017 = () + (m) 3. Etoces: 017 = 4( + m 3 ) 017 es par

11 Págia 11 de 1 Si 017 = (+1) + (m + 1) 3. Etoces 017 = ( + + 4m 3 + 6m + 3m + 1) 017 es par Diciembre 1: Demostrar que, si a es primo diferete de y 3, a 1 es múltiplo de 6 Solució: Demostraremos que, bajo las codicioes del euciado a 1 es múltiplo de 4. Teemos: a 1 = (a 1) (a + 1) Como a es primo diferete de, resulta que a es impar. Por tato, a es impar. De dode a 1 so pares i cosecutivos. Luego uo es múltiplo de y el otro múltiplo de 4. Y por tato a 1 es múltiplo de 8. Por otra parte, a es diferete de 3, por tato, e a o aparece el factor 3 e su descomposició factorial como producto de primos. Como a 1, a y a + 1, so tres úmeros cosecutivos, uo de ellos es múltiplo de 3, como o lo es el úmero cetral teemos que o bie a 1 o a + 1 es múltiplo de 3. Por último, a 1 es múltiplo de 8 y múltiplo de 3, luego es múltiplo de 4. Diciembre : Hallar los eteros z que cumple que z 4 1z es u cuadrado perfecto Solució: Obviamete z = 0 es solució. Si z 0 teemos: z 4 1z = z (z 1) Por lo que z 4 1z será u cuadrado perfecto sii lo es z 1. Buscamos pues las solucioes de la ecuació z 1 = co z etero y atural (*). Si z 1 = etoces z = + 1. Como z > debe existir s tal que +1 = ( + s) = + s + s. Es decir, z 1 = es equivalete a 1 = s + s Para s = 1 1 = + 1 = 10 Para s = 1 = N Para s = 3 1 = = Para s = 4 1 = N Valores posteriores de s provocaría que es egativo y por lo tato o tiee setido valores de s > 4. Sale dos valores para e (*) z 1 = 10 z = 11 z = 11 z 1 = z = 5 z = 5 Por lo tato, sólo para z {- 11, - 5, 0, 5, 11} se tiee que z 4 1z es u cuadrado perfecto. Diciembre 3: Demostrar que es múltiplo de 70 Solució: Teemos (para = 1) = = 1330

12 Págia 1 de 1 que es múltiplo de 7 (1330 = =13 ( ) + 30 = Por tato1330 = = 56 = 7, y como 56 = 7 8 teemos que 1330 es múltiplo de 7. (Otro criterio de divisibilidad de 7: xyzt es múltiplo de 7 sii xy + zt es múltiplo de 7)). Ahora de la factorizació: teemos, haciedo x = 11 3 : x k 1 = (x 1) (x k 1 + x k + + x + 1) = (x 1) 11 3k 1 = = 1330 Y como 1330 es múltiplo de 10 y de 7 teemos que 11 3k 1 es múltiplo de 70. NOTA: Hemos demostrado más de lo propuesto: Hemos demostrado que es múltiplo de 1330, es decir múltiplo de 10, de 7 y de 19 Solució más simple (Professor 11 3 =1331 (1330+1) =(teorema del biomio(newto), aplicado que los primeros sumados tiee el factor 1330)=1330 k+1 de dode se deduce obviamete lo propuesto Diciembre 4: Cosideremos A = {1,,...,30}. Demostrar que cualquier subcojuto de A co 1 elemetos, tiee, al meos tres co la misma cifra e las uidades Solució: Cosideremos A i = {úmeros de A que da resto i al dividirlos por 10} Es decir: A 0 = {10, 0, 30}; A 1 = {1, 11, 1}; A = {, 1, };. ; A 8 = {8, 18, 8}; A 9 = {9, 19, 9}. Estos cojutos so ua partició de A. Por el pricipio de Dirichlet, extraídos 1 elemetos de A al meos hay u A i (ido) al que perteece 3 úmeros (palomos)de los 1 cosiderados. Los tres elemetos de ese A i tiee la misma cifra e las uidades. Diciembre 5: Para qué valores de es múltiplo de 5? Solució: Veamos e que cifra termia cada ua de las potecias, 3, 5 y 7 para distitos valores de : acaba e 1, 5, 9,, = 1(4), 6, 10,..., = (4) 4 3, 7, 11,, = 3(4) 8 4, 8, 1,, = 0(4) 6

13 Págia 13 de 1 3 acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) 3, 6, 10,..., = (4) 9 3, 7, 11,, = 3(4) 7 4, 8, 1,, = 0(4) 1 5 siempre acaba e 5 Por tato: 7 acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) 7, 6, 10,..., = (4) 9 3, 7, 11,, = 3(4) 3 4, 8, 1,, = 0(4) acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) ( =) 7, 6, 10,..., = (4) ( =) 7 3, 7, 11,, = 3(4) ( =) 3 4, 8, 1,, = 0(4) ( =) 3 Luego para cualquier atural , o es múltiplo de 5. Diciembre 7: Demostrar que o es suma de dos cubos perfectos Solució: Cosideremos cogruecias módulo 7. Teemos: Si = 0(7) = 0(7) 3 = 0(7) Si = 1(7) = 1(7) 3 = 1(7) Si = (7) = 4(7) 3 = 1(7) Si = 3(7) = (7) 3 = 6(7) Si = 4(7) = (7) 3 = 1(7) Si = 5(7) = 4(7) 3 = 6(7) Si = 6(7) = 6(7) 3 = 6(7) Por lo tato: 0(7) 1(7) (*) 3 + m 3 = (7) 5(7) { 6(7)

14 Págia 14 de 1 Por otra parte, hallemos el resto de la divisió de etre 7. Teemos: 018 = (7) = 018 (7) Hallemos los restos de la divisió de etre 7: 1, 4, 7, 10,., 1(3) (7), 5, 8, 11,., (3) 4(7) 3, 6, 9, 1,, 0(3) 1(7) Como 018 = (3) 018 = 4(7). Así, pues, =4(7), lo que cotradice (*). Por tato, o es suma de dos cubos perfectos. Diciembre 8-9: Para qué valores de, se cumple que es múltiplo de 5? Solució: Veamos e que cifra termia cada ua de las potecias, para distitos valores de : Obviamete 1 es 1, para cualquier valor de acaba e 1, 5, 9,, = 1(4), 6, 10,..., = (4) 4 3, 7, 11,, = 3(4) 8 4, 8, 1,, = 0(4) 6 3 acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) 3, 6, 10,..., = (4) 9 3, 7, 11,, = 3(4) 7 4, 8, 1,, = 0(4) 1 4 acaba e 1, 3, 5,, = 1() 4, 4, 6,, = 0() 6 5 siempre acaba e 5 6 siempre acaba e 6

15 Págia 15 de 1 7 acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) 7, 6, 10,..., = (4) 9 3, 7, 11,, = 3(4) 3 4, 8, 1,, = 0(4) 1 8 acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) 8, 6, 10,..., = (4) 4 3, 7, 11,, = 3(4) 4, 8, 1,, = 0(4) 6 9 acaba e 1, 3, 5,, = 1() 9, 4, 6,, = 0() 1 Por tato: acaba e 1, 5, 9,, = 1(4) ( =) 5, 6, 10,..., = (4) ( =) 5 3, 7, 11,, = 3(4) ( =) 5 4, 8, 1,, = 0(4) ( =) 3 Luego para todo atural o múltiplo de 4, es múltiplo de 5. Diciembre 30: Hallar los eteros z tales que z 6-387z 3 es u cubo Solució: Obviamete z = 0 es ua solució. Sea z 0, teemos: z 6 387z 3 = z 3 (z3 387). Por tato, z 6 387z 3 es u cubo perfecto sii lo es z Exigimos, pues, que z = 3 (*), co Z. 1.- (Solució Igacio

16 Págia 16 de 1 Si z = + a, (*) lleva a 3 a + 3a + a 3 = 3 43 (**) a(3 +3a + a ) = 3 43 (***) De (**), como 3 a + 3a es múltiplo de 3 a 3 es múltiplo de 3 a es múltiplo de 3 Si a fuese múltiplo de 9, como 3 +3a + a es múltiplo de 3 e (***) faltaría factores 3. Por tato a = 3 Si a = 3, (***) lleva a = 5 i = - 8, y por tato a z = 8 y z = - 5. Si a = - 3 o hay solucioes e (***).- (Solució z = 3 z 3 3 = 387 (z ) (z + z + ) = 387 = 3 43 La última ecuació lleva a seis sistemas de dos ecuacioes co dos icógitas z = 1 z + z + = 387 } ; z = 3 z + z + = 19 } ; z = 9 z + z + = 43 } ; z = 43 z + z + = 9 } ; Solo uo de ellos tiee solucioes admisibles z = 19 z + z + = 3 } ; z = 387 z + z + = 1 } z = 3 z + z + = 19 } (3 + ) + (3 + ) + = = (Solució fuerza bruta ) { = 5 z = 8 = 8 z = 5 Sea s Z defiido como z = + s. Tedremos: z = 3 ( + s) = 3 (3s) + (3s ) + (s 3 387) = 0 Esta última es ua ecuació diofática (de segudo grado e Z y de tercer grado e s Z). Hallemos las solucioes para. El discrimiate para de esta ecuació es: Δ = 9s 4 4 3s (s 3 387) = 3s (1548 s 3 ) Si s < 0 (3s < 0 y s 3 < 0 de dode < 0) la ecuació o tiee solucioes. Si s > 0, la ecuació tiee solucioes 3 sii s < 1548, es decir sii s < 1. Para s = 1, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s =, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 3, la ecuació es, = 0 = = { 8 5 Para s = 4, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 5, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 6, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 7, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 8, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 9, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 10, la ecuació es, = 0 Δ = N Para s = 11, la ecuació es, = 0 Δ = N Las úicas solucioes sale cuado s = 3 y e este caso = - 8 y = 5, e cuyo caso z = 3 8 = - 5 y z = = 8

17 Págia 17 de 1 Diciembre 31: Cuátos aturales hay meores que 500 co 1 divisores aturales? Solució: Recordemos que: α α3 α 1. Si N = p 1 α1 p p 3 p co {pi } i=1 primos y expoetes aturales, es la descomposició factorial de N e producto de primos, el úmero de divisores de N es (α i + 1). Los úmeros primos so:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 17, 131, 137, 139, 149, 151, 157, Por tato, si buscamos los aturales N co 1 divisores, si {α i } i=1 so los expoetes de la descomposició factorial de N e producto de primos, debe cumplirse: i=1 y, por tato: (α i + 1) = 1 = 3 i=1 a) = 1, = 1, 1 = 11 b) =, ( 1 + 1) ( + 1) = 3 4, 1 =, = 3 c) =, ( 1 + 1) ( + 1) = 6 1 = 5, = 1 d) = 3, ( 1 + 1) ( + 1) ( 3 + 1) = 3, 1 = 1, = 1, 3= 11 N = p 1 Como 11 = 048 > 500 o hay igú atural meor que 500 co 1 divisores co esta cofiguració 3 N = p 1 p N = 3 3 p p < = 5 p {3} N = 108 N = p p < ,81 p {} N = 7 N = p p < 500 5,71 p {} N = 00 N = p p < ,16 p {} N = 39 N = p p < 500 1,6 o hay úmeros que cumpla el requisito 11 N = p 15 p

18 Págia 18 de 1 N = 5 p p < = 15,65 p {3, 5, 7, 11, 13} N = 3 5 p p < ,05 p {} N = 486 N = 5 5 p p < 500 0,16 o hay úmeros que cumpla el requisito 55 N = p 1 p p 3 N = 3 3 = 96 N = 3 5 = 160 N = 3 7 = 4 N = 3 11 = 35 N = 3 13 = 416 N = 3 p 3 6 9,1 p 3 {5, 7} N = 150 N = 94 N = 5 p ,07 p 3 {3, 7} N = 90 N = 490 N = 7 p ,97 p 3 {3, 5} N = 16 N = 350 N = 11 p 3 4,76 p 3 {3} N = 198 N = 13 p 3 6 4,38 p 3 {3} N = 338 N = 17 p ,83 p 3 {3} N = 306 N = 19 p ,6 p 3 {3} N = 34 N = 3 p ,9 p 3 {3} N = 414 N = 9 p 3 58,93 o hay úmeros que cumpla el requisito N = 3 5 p ,77 p 3 {} N = 60 N = 3 7 p 3 1 4,87 p 3 {} N = 84 N = 3 11 p ,89 p 3 {} N = 13 N = 3 13 p ,58 p 3 {} N = 156

19 Págia 19 de 1 N = 3 17 p ,13 p 3 {} N = 04 N = 3 19 p 3 57,96 p 3 {} N = 8 N = 3 3 p 3 69,69 p 3 {} N = 76 N = 3 9 p 3 87,39 p 3 {} N = 348 N = 3 31 p 3 93,31 p 3 {} N = 37 N = 3 37 p 3 111,1 p 3 {} N = 444 N = 3 41 p 3 13,01 p 3 {} N = 49 N = 3 43 p 3 1,96 o hay úmeros que cumpla el requisito 19 N = 5 7 p ,77 p 3 {} N = 140 N = 5 11 p ,01 p 3 {} N = 0 N = 5 13 p 3 65,77 p 3 {} N = 48 N = 5 17 p 3 85,4 p 3 {} N = 340 N = 5 19 p 3 95,39 p 3 {} N = 380 N = 5 3 p 3 115,08 p 3 {} N = 460 N = 5 9 p 3 1,85 o hay úmeros que cumpla el requisito 145 N = 7 11 p 3 77,54 p 3 {} N = 308

20 Págia 0 de 1 N = 7 13 p 3 91,34 p 3 {} N = 364 N = 7 17 p 3 119,04 p 3 {} N = 476 N = 7 19 p 3 1,93 o hay úmeros que cumpla el requisito 133 N = p 3 1,86 o hay úmeros que cumpla el requisito 143 E total: ( =) 41 úmeros meores que 500 tiee 1 divisores NOTA. - El cálculo tedioso para el caso N = p 1 p p 3 puede evitarse de la siguiete maera: Buscamos aturales N de la forma N = 3 p p 3 < 500. Como el meor valor posible de p 3 es, teemos: 3 p N = p 1 p p 3 < p 4 < 500 p < = 41, 6 p es u primo mayor que 3 y meor o igual a 41 p {5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41}. Ahora, cuátos aturales aporta cada uo de ellos? Si cosideramos el meor valor posible de p, que es 5, teemos: N = 3 5 p 3 < 500 p 3 < 5,7 y como p 3 o puede ser 3 i 5 sólo puede ser. Es decir N = 3 5 p 3 sólo aporta u úmero. Como la fució y = 500 3x es decreciete, valores de p posteriores a 5 sólo aporta u úmero. Es decir, la cofiguració N = 3 p p 3 aporta 11 úmeros Buscamos aturales N de la forma N = p p 3 < 500. Como el meor valor posible de p 3 es 3, teemos: p 3 N = p 1 p p 3 < 500 p 9 < 500 p < = 7, 7 p es u primo mayor que y meor o igual a 7 p {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3}. Ahora, cuátos aturales aporta cada uo de ellos? Veamos cuatos aporta u primo q. Notemos que N = q p 3 < 500 q q 500 q codició sobre p 3 primos que cumple la codició úmeros geerados 3 9,1.. p 3 3, p 3 9 5, 7 5 7,37.. p 3 5, p 3 7 3, 7 7 5,97.. p 3 7, p 3 5 3,5 11 4,76.. p 3 11, p Y a partir de 11 cada primo posible sólo aporta u úmero. E defiitiva, el formato N = p p 3 aporta

21 Págia 1 de 1 p total N