PROBLEMAS DE OPOSICIONES MADRID (25/06/2010)

Transcripción

1 DEIMOS OPOSICIONES A PROFESORES DE SECUNDARIA Y DIPLOMADOS EN ESTADÍSTICA DEL ESTADO C.I.F. B C/ Guzmá el Bueo, 5, º Izda. (Metro : Islas Filipias y Mocloa) MADRID editorial@deimos-es.com PROBLEMAS DE OPOSICIONES MADRID (5/06/00) PROBLEMA. a) Dado u triágulo ABC de águlos agudos, hállese u puto P tal que la suma de sus distacias a los vértices A, B y C sea la meor posible. b) Sobre los lados del triágulo ABC se forma triágulos equiláteros BCA, CAB y ABC costruidos hacia fuera del mismo. Demuestre que los segmetos rectilíeos AA, BB y CC so iguales, que cocurre e u mismo puto y que forma etre sí águlos de 60º. Este problema figura resuelto e la págia 6 del [Vol. ] de Problemas de Oposicioes de Editorial Deimos. Puede cosultarse tambié las págias 6 y 6 del mismo volume. Solució: a) Deotemos por g el giro de cetro B y águlo 60º, y sea D ga, como se idica e la figura. Obsérvese que el triágulo ABD es equilátero, pues BA BD y el águlo e el vértice B mide 60º. Ahora, para cualquier puto P deotamos Q gp, co lo que tambié el triágulo PBQ es equilátero, pues BP BQ y el águlo e el vértice B mide 60º. Como los giros preserva la distacia, PA QD, lo que juto co lo aterior os D Q A dice que la suma de distacias de P a los vértices A, B y C vale = 60º P d P PA PB PC DQ QP PC B C que es la logitud de líea quebrada de la figura. E cosecuecia, el puto P para el que esta catidad es míima es aquél para el que esta líea quebrada es ua recta. Por tato, habrá que tomar P sobre la recta r C que ue C y D.

2 Veamos qué más codicioes ha de cumplir el puto P, para lo que aalizamos la siguiete figura, e la que P ya está situado sobre la recta r C. La clave radica e observar que puesto que los giros preserva águlos y el D Q = 60º A P triágulo PBQ es equilátero, se tiee APB DQB 80º PQB 0º B C Como ADB 60º, por ser el triágulo ABD equilátero, resulta que APB ADB 0º 60º 80º luego los águlos co los que se ve el segmeto AB desde D y P so suplemetarios. Esto supoe que P perteece a la circuferecia que pasa por A, B y D. Esta circuferecia corta a la recta r C que ue C co D e los putos D y P, luego P rc D es el puto buscado. b) E la costrucció aterior, deotamos D C. Hemos probado que el puto P que miimiza la suma de distacias a los vértices A, B y C perteece a la recta r C que ue C co C. Más aú, se ha demostrado que dicha suma de distacias vale d P CC. Como los roles de los vértices del triágulo de partida so itercambiables deducimos que, co las otacioes de este apartado, el puto P tambié perteece a las rectas r A y r B que ue A co A y B co B. Esto proporcioa ua costrucció alterativa del puto P, pues P ra rc, y e particular prueba que los segmetos AA, BB y CC so cocurretes. Además demuestra ua de las igualdades pedidas e este apartado ya que, por simetría, A AA BB CC d P. Por último, recordemos que e a) se probó que APB 0º, luego ra, rb BPA 60º. Por la misma razó, r, r r, r 60º, como queríamos probar. A C B C C B A P C B OBSERVACIÓN Si se llama f a la fució que asiga a cada puto del plao e el que se sitúa el triágulo ABC la suma de sus distacias a los vértices A, B y C, la costrucció precedete muestra que si todos los águlos del triágulo ABC so meores que 0º, eiste u puto P e el iterior del triágulo

3 que miimiza la restricció de f al iterior del triágulo. Resulta, además, que e este puto se alcaza el míimo de f e todo el plao. Este puto recibe el ombre de puto de Fermat. Si embargo, cabría pregutarse qué sucedería si alguo de los águlos, digamos el águlo e A, es mayor o igual que 0º. Si se repite e este caso la costrucció aterior se obtiee como solució, bie u puto Q eterior a la regió ecerrada por el triágulo, bie el propio A. E cualquiera de ambos casos, se comprueba que la fució f es míima e A, por lo que A es el puto solució del problema. PROBLEMA. Se cosidera la ecuació a) Calcule sus raíces., dode es u úmero etero positivo. 0 b) Demuestre que, para y, se cumple la igualdad: cos cos cos c) Aplicació: Halle el valor del producto se se se Este problema, e esecia, ha sido propuesto e varias covocatorias ateriores. Puede cosultarse las págias 99 y 00 del [Vol. ] y 45, 45, 454, 554 y 555 del [Vol. ] de Problemas de Oposicioes de Editorial Deimos. Solució: a) Las solucioes e el campo complejo de la ecuació so las raíces -ésimas de la ki/ ki/ uidad, a saber, los úmeros complejos e e, para k 0,,,,. Obsérvese que para k 0 y k, se obtiee las raíces reales y, y que las raíces complejas restates puede agruparse e parejas de raíces cojugadas etre sí, por ser, para cada k,, : e e e e e k i/ i k i/ k i/ k i/ b) Segú lo obteido e el apartado a), el poliomio se descompoe e mediate: k i/ k i/ k i/ e e e k0 k k k k Agrupado ahora segú las parejas de raíces cojugadas como se idicó e a), podemos escribir:

4 k i/ k i/ k i/ ki/ e e e e k k Como es aterior queda: e e e e cos, el producto ki/ ki/ ki/ ki/ k y de aquí se cocluye que, si : k cos k k cos k c) Tomado ahora límites cuado e ambos miembros de la igualdad se obtiee: Para el primer miembro, co la ayuda de la Regla de L Hôpital: lim lim Para el segudo, como es cos cos se se, resulta: k k k k k k k k lim cos cos cos se k k k k k se k Si ahora igualamos el valor de ambos límites, se obtiee: k se, es decir, k k k se k y como es se 0 para cada k,,,, resulta que: k k se 4

5 PROBLEMA. Se tiee tres bolsas coteiedo bolas umeradas,,,,. Se etrae al azar ua bola de cada bolsa y sea, y, z los úmeros de las bolas etraídas. Halle la probabilidad de que y z. Este problema figura resuelto e la págia 7 del [Vol. ] y e la 85 del [Vol. ] de Problemas de Oposicioes de Editorial Deimos. Tambié ha sido propuesto e Murcia 006. ª solució El espacio muestral asociado a este eperimeto es el cojuto de teras ordeadas yz,, tales que yz,,,,,, de modo que el úmero de casos posibles del eperimeto es card. Para determiar el úmero de casos favorables a que sea y z, cosidérese que, por lo proto, debe ser z,,, y que, para cada uo de estos valores z, el par y, sólo puede ser alguo de los z pares, z,, z,, z,. Siedo así, el úmero total de casos favorables es: z z La probabilidad que se pide es etoces: p y z ª solució Segú el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que sea y z puede obteerse como la suma: p y z pz kp y z/ zk pz kp yk k k () Para k es evidete que p y 0, mietras que si k,,, teiedo e cueta la idepedecia de las variables aleatorias e y, es: k k p yk p j, ykj p jpy k j j j Como las variables, y, z so uiformes, p j py kj pz k, así es que: k k k p yk j j 5

6 Sustituyedo e () se obtiee la probabilidad pedida, que es: k p y z pz kp yk k k k k OBSERVACIÓN Bajo otra iterpretació, puede pesarse que la probabilidad pedida es la de que el úmero que figura e ua cualquiera de las bolas etraídas sea la suma de los úmeros que figura e las otras dos bolas. Co esta suposició, el suceso cuya probabilidad se pide es el cojuto: A,, :, dode ijk,,,, co ij k. i j k Como ya se ha dicho ateriormete, el úmero de casos favorables al suceso es ; que será el mismo úmero de casos favorables a los sucesos y, y por lo tato: pa. PROBLEMA 4. Sea f ua fució real de variable real, f,tal que f lim e 0 Calcule razoadamete f 0, f 0 y f 0. Este problema figura resuelto e la págias 44, 44 y 44 del [Vol. 4] de Problemas de Oposicioes de Editorial Deimos. Solució: Para que el límite del euciado tega setido debe ser, e u etoro reducido del orige, b bla. Así, si se tiee e cueta que, para cada a 0, es a e, podemos f 0 escribir dicho límite como: f L f lim L 0 e lim lime e 0 0 f de dode se deduce: 6

7 y de aquí es imediato que f L lim L lim 0 0 f f L lim L lim f o lo que es equivalete, f lim 0, lo que a su vez supoe que f lim 0 0 E cosecuecia, por la cotiuidad de f, se tiee y, segú esto, f f 0 lim f lim f f 0 f f 0 lim lim Para el cálculo de f 0, recurrimos a la fórmula de Mac-Lauri. Por ser f, para cada eiste c compredido etre 0 y tal que: f 0 f 0 f c 0!!! f f Como es f 0 f0 0, resulta, para cada 0 : y etoces f f 0 f c!! f f 0 f c lim L lim L 0 0!! Si reparamos ahora e que los ifiitésimos L z y z so equivaletes cuado z 0 y e que lim 0 f c f 0 por ser c y f, el límite aterior puede escribirse como: f 0 f c f 0 f c lim L lim 0!! 0!! 7

8 f 0 f c f 0 f 0 f 0 lim 0 0!!!! y de aquí que f