Primera Prueba 26 de mayo de 2001

Transcripción

1 15ª OMM Primera Prueba 6 de mayo de 001 PROBLEMAS 1. Tres persoas (de ombres Atoio, Berardo y Carlos, respectivamete) se sieta al azar e tres sillas. Cada silla tiee el ombre de uo de ellos (o hay dos sillas co el mismo ombre). a) De cuátas formas es posible setarlos si que coicida los ombres que tiee cada ua de las sillas co el de la persoa que la ocupa? b) De cuátas formas es posible setarlos haciedo que sólo coicida ua persoa (cualquiera) co la silla que ocupa su ombre? c) De cuátas formas es posible setarlos haciedo que sólo coicida dos persoas (cualesquiera) co las sillas que ocupa su respectivo ombre? d) De cuátas formas es posible setarlos haciedo que coicida todas las persoas co las sillas que ocupa sus respectivos ombres?. Observa que: 9 = 001 (6 + ) (6 ) = 001 (6 ) = 001 Es decir, 001 es el triple de ua diferecia de cuadrados; a saber, de 6 y. Podrá haber otro par de úmeros eteros positivos, además del 6 y del, dode 001 sea el triple de ua diferecia de cuadrados?. Sea A, V y m tres úmeros eteros positivos tales que: A = K+ m y V = ( m 1) + ( m ) + ( m ) + K+ 1 Determia para cuáles úmeros m se cumple que A + V es ua potecia de U Tetraedro regular, es u poliedro co cuatro caras (idéticas) que so triágulos equiláteros. Ua de las propiedades del tetraedro es que puede acomodarse e el iterior de u cubo, de tal forma que las aristas del tetraedro coicide co las diagoales de cada ua de las caras del cubo, tal como se ve e la figura. Si el cubo de la figura tiee 6 decímetros de arista, cuál es el volume del tetraedro?

2 SOLUCIONES 1. Sabemos que e total hay seis posibilidades. Represetamos a las persoas co sus iiciales e mayúscula y a las sillas co las iiciales e miúscula. Así, estas posibilidades so: ABC ACB BAC BCA CAB CBA,,,, y abc abc abc abc abc abc Observa que o importa el orde e el que esté las sillas, sio quié se sieta e cada ua de ellas. De allí es posible cotestar fácilmete las pregutas que hace el problema: a) De b) De c) No es posible d)de ua. La preguta se reduce a buscar, primero, dos úmeros que de como producto lo mismo que 9 y, es decir, dos úmeros que de como producto 667. Pero como 667 sólo tiee descomposició e dos factores primos (el y el 9), la úica posibilidad que resta es obteerlo del producto de 667 y 1. Así, los dos úmeros sumados dará 667 pero restados dará 1, esto sigifica que ellos so muy cercaos, ta cercaos que so cosecutivos (y casi la mitad de 667). Tales úmeros sólo puede ser y 4. De esta maera: = (4 + ) (4 ) 667 = (4 y (4 ) ) = 001. Basta co acomodar ambos úmeros y sumarlos de la siguiete forma: + A = K + ( m 1) + m V = ( m 1) + ( m ) + ( m ) + K + m + m + m m + m + 1 Notemos que tambié lo sea. A V = + m. Por lo tato A+V será potecia de 001 sólo cuado m 4. El cubo, que tiee 16 dm, puede descompoerse e 5 sólidos: el tetraedro regular señalado y cuatro pirámides cogruetes. El volume del tetraedro regular es el volume del cubo, meos el volume de las cuatro pirámides (que por cierto so tambié tetraedros, pero o so regulares).

3 El volume de ua pirámide está dado por pirámide y h es la altura. Bh V = dode B es el área de la base de la E el caso de las cuatro pirámides, la base de u triágulo rectágulo isósceles co catetos de 6 dm. 6 6 Así, B = = 18 dm. Como la altura es de 6 dm, el volume de cada 18 6 pirámide es V = = 6 dm. El volume del tetraedro será: V = = = 7 dm.

4 Seguda Prueba de juio de 001 PROBLEMAS 1. Acomoda a los úmeros 66, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 670 y 671, si repetir, e ua cuadricula de x, de tal maera que la suma e cada regló y e cada columa sea 001, y que los úmeros de cada diagoal sume lo mismo. E caso de que esto o sea posible, explica porqué.. Demuestra que AD = EF + FG, co lo que se esta idicado e la siguiete figura (el triágulo ABC es equilátero; los putos D, E, F y g está sobre los lados del triágulo, y está señalados tres águlos rectos e los putos D, E y G). Calcula el volume de u cubo que está iscrito e ua esfera de 10 cetímetros de diámetro. 4. Cuátos triágulos de la figura de abajo cotiee al puto A (puede ser como vértice o o)?

5 SOLUCIONES 1. Salvo rotacioes y reflexioes, sólo hay ua solució: Si dibujamos otro triágulo equilátero, reflejado el aterior sobre el lado AC, el puto G se reflejará e el puto G, y FG será la prologació de la liea EF. De esta maera, se cumple que GF = G F y que los putos A, G, E y D so los vértices de u paralelogramo. Por otra parte, los lados opuestos del rectágulo AG ED so iguales, particularmete los lados AD y G E. Etoces: AD = G E = G F + FE = GF + FE como se quería demostrar.. Lo primero que observamos es que el diámetro de la esfera coicide co la diagoal del cubo (dicha diagoal pasa por el cetro del cubo, por ede pasará por el cetro de la esfera). La diagoal del cubo puede calcularse a partir del lado del cubo por el teorema de Pitágoras, si os fijamos e los lados de los triágulos rectágulos que se forma: éstos so: el triágulo ABC, co el águlo recto e el vértice B, y el triágulo ACD, co el águlo recto e el vértice C. Supogamos que la arista del cubo mide a. Al aplicar el teorema de Pitágoras e el primer triágulo, obteemos que la hipoteusa AC mide a. Pero este lado AC correspode co uo de los catetos del segudo triágulo, por lo que, usado otra vez el teorema de Pitágoras, puede calcularse la hipoteusa AD del triágulo ACD (que coicide co el radio de la esfera).

6 Esta diagoal mide a. Así, podemos escribir la ecuació a = 10 de la cual 10 despejamos el valor de a y obteemos a =. Por ultimo, sabemos que el volume del cubo se calcula elevado al cubo su lado (es decir, de la arista a) y obteemos que V = Primero observemos que para cada uo de los triágulos que tega a uo de sus lados sobre la líea CB, hay otro sobre la líea C B que está e la misma situació respecto al puto A (es fácil verlo como ua image especular, sobre la líea horizotal e el dibujo), y que cualquier triágulo que cotiee al puto A esta sobre ua de estas dos líeas; así, bastará cotar los triágulos e la líea CB y después duplicar esa catidad. Atedamos el caso e q A es u vértice: hay dos putos que puede ser los vértices de los triágulos e la direcció hacia C, y cuatro e la direcció cotraria, es decir hay 6 triágulos de éstos. Si A o es u vértice, u vértice del triágulo será cualquiera de los dos putos que está e la direcció hacia C, y para cada uo de éstos, podemos escoger el otro vértice de etre los 4 que está e la direcció cotraria, es decir habrá 8 triágulos que tiee al puto A e uo de sus lados si ser vértice. De esta maera, hay 14 triágulos (6+8) e la líea CB que cotiee al puto A. Para termiar, dupliquemos la catidad de triágulos que ecotramos para la recta CB y tedremos el total: 8 triágulos.

7 Prueba 1 de Selecció 18 de agosto de 001 PROBLEMAS 1. Demuestra que: ( ). Ecuetra todos los úmeros eteros tales que la divisió sea u úmero etero. es múltiplo de 001 para todo positivo x + x x x?. Cuátas solucioes reales tiee la ecuació ( + 1)( + 1) = 8 4. Ua persoa siembra pasto e u terreo cuadrado de 001m de lado, siguiedo u patró espiral desde el cetro (co lados rectos como e la figura, dode el pasto esta e color oscuro) y formado co él u camio, tambié de u metrote acho cubierto de pasto, al lado queda otro camio, tambié de u metro de acho, si cubrir de pasto. a) Cuál es la superficie que está sembrada de pasto? b) Cuáto mide la logitud del camio si cubrir de pasto? (midiédose por el cetro del camio, desde pricipio a fi; por ejemplo, e la figura mide 8m)

8 SOLUCIONES = 9, la expresió es múltiplo de, así que sólo falta demostrar que es múltiplo de y de = = cual:. 0 1mod(9) 0 4 1mod() 4 1mod(9) 9 0 1mod() 4 ( )( ) Por lo cual la expresió es múltiplo de y 9, por lo tato es múltiplo de = = = = 1 = = 1 = = = 00 ( )( ) Los úicos divisores de so -,-1,1 y por lo x + x + 1 x + x 1 = 8 Al extraer la raíz cuadrada da lugar a dos posibilidades: ( x + x) 1 = 8 x + x = ± Cada ua de ellas da a lugar a ua ecuació de segudo ( x + x) = 9 grado: x + x = 0 y x + x + = 0, de las cuales, al calcular los respectivos discrimiates (1 y -11) se observa que sólo la primera tiee dos solucioes reales, y las solucioes de la seguda ecuació so complejas. 4. a) Si partimos desde el exterior y trasitamos por el camio si pasto, vemos que la primera tira tiee 001 cuadros, la seguda 000, la tercera 1999, y así sucesivamete hasta que la última tega sólo 1. Al hacer u recorrido similar por el camio co pasto, la primera tira tiee 000 cuadros, la seguda 1999, la tercera 1998, y así sucesivamete hasta que la última tega sólo 1. E resume, si s es la superficie sembrada co pasto, S = K + 1 la cual puede calcularse fácilmete. Otra forma de verlo es que la superficie si sembrar es S + 001, y que la suma de ambas superficies es 001, lo que equivale a: S + ( S ) = 001, cuya solució es b) La logitud pedida se correspode a la catidad de cuadros si sembrar que es: S = = 00001

9 Prueba de Selecció 5 de Agosto de 001 PROBLEMAS 1. Ua tira de papel rectagular se dobla como idica la figura, de tal maera que dos de los vértices opuestos coicida. Como puedes ver, el cotoro de esta figura es u petágoo. a) Da las dimesioes (largo y acho) de la tira para que el petágoo sea regular (águlos y lados iguales). b) Da las dimesioes (largo y acho) de la tira para que el petágoo sea equilátero (todos los lados iguales). Los datos siguietes fuero obteidos de la fábrica de Robots ACME: i) Cada robot costa de 001 compoetes. ii) Cada compoete sólo es de la marca A o de la marca B. iii) Dos robots so compatibles si y solamete si tiee u compoete distito. y solamete u a) Cuátos tipos de robot se puede hacer? b) A cuátos robots es compatible cada robot? c) Cuátos tipos de parejas de robots compatibles puede haber?. Cosidera dos cuadros cocétricos cuyos lados so paralelos. Supogamos que el área del cuadrado grade es P y el del pequeño es Q. Se traza el segmeto AB de logitud, como se muestra e la figura. Calcula P+Q. 4. Se tiee cuatro colores (azul, blaco, café, y dorado). Se pita las cuatro caras de u tetraedro regular, eligiedo al azar u color para cada cara, icluso puede repetirse los colores(o, equivaletemete, o usarse todos los colores). De cuátas maeras distitas puede quedar pitado el tetraedro? (Se cosidera idistiguibles las caras ates de pitarse y o se cosidera distitos dos tetraedros pitados, si mediate rotacioes se puede llegar de uo a otro).

10 SOLUCIONES 1. a) Los águlos iteriores de u petágoo regular mide 108, pero e u petágoo obteido mediate u doblez como el propuesto siempre habrá dos águlos rectos. b) Tampoco es posible, pues el lado que surge del doblez (D) tiee siempre ua logitud mayor que el acho de (A). Si eumeramos cada compoete del robot, cada tipo de robot lo podremos simbolizar como u vector de 001 etradas ( a1, K, a001 ) dode cada etrada ai es A o B, depediedo de la marca del compoete i. 001 Como cada compoete tiee dos opcioes, tedremos tipos de robot. Si dos robots so compatibles sigifica que sólo ua etrada es distita, y sólo tiee ua opció para ser distita por haber solamete dos tipos de marca, de aquí que cada robot sea compatible a 001 robots. Las parejas de robots compatibles será la catidad de distitos tipos de robots multiplicadas por la catidad a la que cada robot es compatible y luego divida etre dos ya que la pareja de robots { i, j} será la misma que { j, i}. Coclusió: 001 a) b) c) = 001. Recordemos que el área de u cuadrilátero es la mitad del producto de sus diagoales, etoces para u cuadrado será la mitad del cuadrado de la logitud de su diagoal. Si les llamamos D y d a las logitudes de las diagoales del cuadrado grade y chico D d D + d respectivamete, el problema se reduce a calcular: P + Q = + =. Llamemos C al cetro de los cuadrados. Tracemos BC y CA. El águlo BCA es recto, por lo cual el triágulo ABC es rectágulo co hipoteusa AB. Notemos además que la logitud de BC como la de CA so la mitad de las diagoales del cuadrado grade y chico respectivamete. Usado el teorema de Pitágoras y haciedo las sustitucioes respectivas obteemos: D d D + d 1 AB = BC + CA = + = = + 4 Por lo cual P + Q = AB = = 18 ( P Q)

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12 Prueba de Selecció 8 de Septiembre de 001 PROBLEMAS Primer día 1. Ecotrar el meor etero positivo tal que la suma de sus cifras es 001 y el producto 751 es.. Cuátas listas de 7 úmeros de dos cifras so tales que cada tres de ellos que so cosecutivos e la lista suma múltiplo de? (Nota: E cada lista puede repetirse úmeros).. E u triágulo ABC, sea D el pie de la altura e A y sea M el puto medio de esa altura. Sea la recta que pasa por D y que es paralela a AC. La recta BM corta a AC e P y a e Q. Sea R y S los pies de las perpediculares a BC por P y Q, respectivamete. Prueba que la suma de las logitudes de PR y QS es igual a la logitud de la altura AD. 4. E la siguiete cuadrícula se tiee escritos los úmeros del 1 al 45 como se idica la figura. U movimieto cosiste e elegir dos casillas e itercambiar los úmeros que aparece e ellas. Describe ua forma de lograr 1 movimietos (o meos) que las 5 sumas de los úmeros que aparece e cada regló sea todas iguales

13 Segudo día 5. E u toreo hubo 8 competidores (A, B, C, D, E, F, G y H). Cada uo jugó exactamete cotra otros. E cada juego se le diero putos al gaador, 0 al perdedor y, e caso de empate, se le dio u puto a cada competidor. Si A obtuvo 4 putos, B obtuvo, C obtuvo, D obtuvo 1, E obtuvo 6, F obtuvo 1 y G obtuvo 4, Cuátos putos obtuvo H? 6. Dos círculos C y D, co respectivos cetros M y N, se iterseca e dos putos distitos. Sea P uo de esos putos. La recta MP corta por seguda vez al círculo D e R y la recta NP corta por seguda vez al círculo C e S. Prueba que M, S, R y N so cocíclicos. 7. Ecotrar ua pareja de eteros (a, b) que satisfaga a> y = b( b + ) a. 8. U triágulo equilátero ABC de lado tiee gravicetro G. Sea G 1 el reflejado de G a través de la recta AC, G el reflejado de G 1 a través de la recta BC y G el reflejado de G a través de la recta AB. Ecuetra la distacia de G a G.

14 SOLUCIONES: 1. Como queremos que el producto de las cifras sea ua potecia de, las úicas posibilidades para las cifras so 1,, 4 y 8. Buscamos el meor úmero N que cumpla las propiedades así que N debe teer la meor catidad de cifras posible y esto se logra claramete usado tatos como sea posible. Sea a el úmero de 1 s de N, b e úmero de s, c el úmero de 4 s y d el úmero de 8 s. Podemos expresar la suma de las cifras de N es 001 e la siguiete ecuació: a + b + 4c + 8d = 001(*). La codició de que el 751 producto de las cifras sea se expresa co la ecuació: b + c + d = 751 (**), (pues =, =, 4 =, 8 = ). Por (*) teemos que d 50. Si d = 50 etoces, por (**), b + c = 1, de dode b=1 y c=0, cotradiciedo (*). Etoces d<50. Para d = 49, e (**) teemos b + c = 4 ; otra vez queremos que c sea lo mayor posible, así que c= y b=0. Etoces, sustituyedo estos valores e (*) obteemos a=1. Así: N = 1448K Observemos primero que los úmeros de cifras so 90. Los primeros dos térmios los podemos escoger arbitrariamete, es decir, hay 90 posibilidades. A partir del tercer térmio, la elecció queda determiada por el residuo módulo del producto de los 90 térmios elegidos ateriormete, es decir, e cada caso hay posibilidades. Etoces la respuesta es Sea E el puto de itersecció de BM co la paralela de BC por A. Sea T el puto de itersecció de PR co AE. Etoces es claro que PT es la altura e P del triágulo PAE. Ahora observemos que los triágulos MAE y MDB so cogruete, pues tiee sus lados paralelos y AM = MD. De aquí teemos que BD = AE. Por otro lado, los triágulos QBD y PEA tambié tiee sus lados paralelos, así que tambié so semejates, pero como BD = AE, etoces so cogruetes. Sabemos que dos triágulos iguales tiee la misma altura, así que QS = PT. Así, AD = TR = TP + PR =QS +PR, como queríamos. T

15 4. Llamaremos Σ a la suma que queremos obteer e cada regló (como la suma de todos los úmeros de la cuadrícula es, etoces Σ = ). Para ver cuál es la 5 diferecia de la suma de los otros regloes co Σ (si hacer cuetas), observemos que los úmeros se va icremetado e 9 hacia abajo (por ejemplo, 10 = 1 + 9, 5 = 6 + 9, etc.). Teemos etoces que las sumas iiciales de los regloes so como sigue: la del primer regló es Σ-18 9, la del segudo es Σ-9 9, la del tercero es Σ, la del cuarto es Σ+9 9 y la del quito es Σ Hechas estas observacioes, vemos que ua posibilidad coveiete es itercambiar úmeros e casillas de la misma columa (pues itercambios de este estilo agrega o quita ueves). Etoces itercambiemos el 1 co el 7, el co el 8, el co el 9 y el 4 co el 40; e cada itercambio modificamos el primero y el quito regló por 4 ueves, así que e total se ha modificado 16 ueves (de los 18 ecesarios e estos regloes). Aálogamete itercambiamos 10 y 8, 11 y 9, 1 y 0, y 1 y 1; de esta maera, el segudo y el cuarto regloes se habrá ajustado cada uo co 8 ueves. Para las modificacioes fiales usemos el tercer regló: itercambiemos 5 y (aquí el primer regló ya queda bie, pero el tercero se desajustó y perdió ueves), 15 y 4 (el segudo ya queda bie y el tercero pierde otro ueve), 5 y 4 (el cuarto queda bie y el tercero gaa u ueve) y 6 y 44 (tercero y quito regloes ya queda bie) E total e jugaro = 1 partidos. Cada partido otorgó u total de putos (segú el resultado del partido se reparte putos etre los dos competidores). De esta maera, el total de putos obteidos debe ser 4. Como la suma de los putos de A, B, C, D, E, F y G es = 1, etoces H gaó 4 1 = putos. 6. El triágulo SMP es isósceles (pues MP y MS so radios de C) y, por lo tato, MSP = MPS. Aálogamete, NPR = NRP. Pero los dos águlos e P so iguales por ser opuestos por el vértice, así que MSN = MRN y esta codició es suficiete para que el cuadrilátero MNRS sea cíclico. 7. Como by b+ tiee la misma paridad y su producto es par, etoces ambos so pares. Escribamos b = b 1. Etoces a = b ( b + 1), así que a tambié es par: a = a 1. De aquí 1 1 teemos que a 1 = b1 ( b1 + 1), es decir, el coeficiete biomial (o úmero triagular) b 1 ( b 1 + 1) es u cuadrado. Aalizado las posibilidades vemos que para b 1 =8, b1 ( b1 + 1) = 6. E este caso, b = 16 y a = 1.

16 8. Para observar fácilmete dóde está G e relació al triágulo ABC, reflejamos este triágulo varias veces (como poiedo espejos sobre los lados de ABC). Tracemos H tal que HG BC y G HG = 90º. Observemos que HG = y que además G H es 1/ de la altura de ABC puesto que AG = A G y esta logitud es igual a / de dicha altura porque sabemos que el gravicetro de u triágulo divide a cada mediaa e razó 1:, y porque e u triágulo equilátero las mediaas coicide co las alturas. Ahora, por Pitágoras la altura mide y así G H = ; uevamete, por Pitágoras 1 8 G G = + 9 =.