PROBLEMAS FASE DE DISTRITO = 6. x x. x x x x

Transcripción

1 PROBLEMAS FASE DE DISTRITO.- Resolver si calculadora la ecuació 4 x x 66. = 6 x x x x. ( x ) 4 8 x x x x x ( 6.) = 6.6. = 6 = = = x x x x 6. x ( x ) 6 =. Si x = x = 4 ya teemos ua solució. Para coseguir todas las solucioes (ésta y otra), sólo sé dejarlo idicado: 9 = 6 log 9 = log 6 log 9 + x = xlog 6 xlog 6 x log 9 = 0 x x x x ± + 4log 6 log 9 ± + 4log 6 log 9 x = x =. Uo de los valores es 4 y el otro log 6 log 6 es pero o sé justificar lo primero i dar de forma exacta lo segudo (supogo que será u logaritmo o ua expoecial de base 6 ó ) 8 - Costruir y resolver u triágulo rectágulo e A, coocidos c y a + b. c Puesto que a = b + c etoces c = a b = ( a b).( a + b) a b = a + b Dado que ( a + b) + ( a b) a = etoces De igual maera, dado que ( a + b) ( a b) ( + ) + c a b c a = a b + + a b = + a + b b = etoces c( a+ b) + + c B= arccos = arccos a a b c Por ejemplo, si c = y a + b = 9 etoces 9 + a = =,.9 ( + ) c a b c b = a b + a b = + a + b 9 b = = 4 y.9 B= arccos,º 9.- Al dividir p(x) por (x + ), (x - ) y por (x + ) se obtiee los restos 4, 8 y, respectivamete. Determiar el resto de dividir p(x) por (x + )(x - )(x + ). A partir del teorema del resto podemos cocluir que p(-) = 4, p() = 8 y p(-) = Pogamos que al dividir p(x) etre (x + ).(x - ).(x + ) se obtiee u cociete c(x) y u resto r(x) Etoces p( x) = c( x).( x + ).( x ).( x + ) + r( x) y queda claro que p(-) = r(-), p() = r() y p(-) = r(-). Puesto que r(x) es lo sumo de grado, pogamos que r( x) ax bx c = + + y puesto que r( ) = p( ) = 4 4a b + c = 4 4b = 4 = b = 4a + c = 6 r() = p() = 8 4a + b + c = 8 a = 0 a = c = 9a + c = 6 r( ) = p( ) = 9a b + c = así que el resto es x + x --

2 0.-E el cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se traza los arcos BD y AC co cetro e C y e D respectivamete, y radio a. Los dos arcos se corta e M. Hallar el radio del círculo iscrito e el triágulo curvilíeo DMC. Llamemos r al radio del círculo pedido, O a su cetro y T el puto de tagecia de éste co el arco DB. Por simetría, O estará a igual distacia del lado AD que del BC. Además, por ser puto de tagecia, C, O y T estará alieados. Nos fijamos e el triágulo COE que es rectágulo y teemos e cueta que CO es CT-r y que CT=a a a Etoces a r = r + a r r = 4 a a a ( a r + r).( a r r) = a. ( a r) = a r = a a = r r = a Hallar la suma: S = ( + ), 4 para luego demostrar la fórmula por iducció. calculado sus valores para =,, 4 9 S = = S = + = = S = + + = + = = Podemos iferir que S=, que ya es cierto para =. Supogamos que es cierto para el caso. + ( + ) + Veamos el caso +: S+ = S+ = + = = ( + ) como queríamos demostrar = = = Sobre u segmeto AB = a, tomado como base, se costruye tres triágulos isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, a y a. Demostrar que C + C' + C" = 80º. a C ' a C '' a C= arctag =.4º = 90º, tg = =, tg = = a a a C ' C '' tg tg C ' C '' + + Puesto que tg 6 + = = = = C ' C '' tg. tg. 6 C ' C '' Etoces + = 4º C ' + C '' = 90º y fialmete C+C +C =80º --

3 4.- Demostrar que los úmeros de la serie 6, 6, 6, 6,...que se va obteiedo itercalado etre las cifras cetrales, so siempre cuadrados perfectos. Cosideramos a el úmero costruido co uos: a =... De esta maera, cada úmero de la serie es de la forma a.0 + a+. Pero además se cumple que 9a 0 + =. Combiado estos resultados, para cada...6 = a.0 a ( a ) + + = a 9a + + a + = 9a + a + a + = 9a + 6a + = + =...4. Por ejemplo, 6=4.- Hallar los valores (etero positivo) para los que N = es u cuadrado perfecto Ua primera aproximació sería ver que.( ).( 9 ) u cuadrado perfecto, ecesitamos que que haciedo = + + = + Como 8 es 9+ 8 tambié lo sea y es bie sabido que. =. = = = = coseguimos + 4 = así Esta solució que ha salido fácilmete de la famosa tera pitagórica, podría o ser la úica. Veamos si hay más = + = + = +. Si etoces a 48 ( a 48 ).( a 48) 48 + = a dode a es u úmero atural, = = +. Hay que factorizar e u producto de dos factores (tedrá que ser potecias de ) que se diferecie e 96 uidades. Si las dos potecias tuviera expoete meor de 7, la diferecia sería como mucho 6-0 =6. Si las dos tuviera expoete mayor de 7 etoces la diferecia sería 8 p 8 8 p 8 + = = 6 Si ua tuviera expoete mayor de 7 y la otra meor o igual que 7, etoces la diferecia sería, al meos de 8-7 =8 Nigua puede teer expoete mayor de 7 y o puede ser simultáeamete los dos meores que 7. Etoces, ua de las potecias tiee que ser 7 =8 y la otra meor: 8 96 = a + 48 = 8y 7 a 48 = co lo que a=80 y =. = y vemos que la solució aterior es úica. E u trapecio ABCD, las diagoales AC y BD se corta e P. Demostrar que el área del triágulo PBC es media proporcioal etre las áreas de los triágulos ABP y PCD. Puesto que el lado CD es paralelo al AB etoces los triágulos ABP y CDP so proporcioales. Pogamos que sea k la costate de proporcioalidad. Etoces BP= k. DP y las áreas so proporcioales co costate de proporcioalidad k : ABP = k CDP Además, el triágulo PBC tiee la misma altura que el triágulo DPC pero su base es k veces mayor, luego así mismo será su área: PBC = k.dpc Etoces claramete ABP. PCD = k PCD PCD = k PCD = PBC 8.- Resolver la siguiete ecuació sabiedo que ua de sus raíces es iversa de otra: --

4 4 x x + x 6x + = 0 Pogamos que a y a so dos raíces de 4 p x = x x + x 6x +. Etoces p(x) es divisible etre ( x a) x = x a + x +. Para facilitar las cuetas, pogamos m= a+ y a a a hagamos la divisió: 4 x x + x x + x mx + m x + x x x + m x + m m m m x mx m m + m x m + m m m + m = 0 Como la divisió debe ser exacta etoces Puesto que m = a + m 0 y a m + m = 0 9 ± 4 así 0 ± = m = a + = a a + = a = = =. a Ya teemos las dos raíces de las que partimos (las que era iversas) y el cociete, lo teemos e térmios de m que vale. El cociete es x + x + + = x + que o tiee raíces reales. p( x) = ( x ) x ( x + ) y sus raíces so,, i, i 4.- Dado u triágulo ABC, trazar ua secate que corte a AB e M y a BC e N, de maera que el cuadrilátero AMNC y el triágulo BMN tega el mismo perímetro y la misma área. Idetifiquemos los putos M y N por la proporció e que divide a los lados AB y BC. Pogamos que MN es α por AB y que NB es β por CB. Como el triágulo MBC tiee la misma altura que el ABC pero α veces su base, su superficie tambié es α veces la superficie de ABC. A su vez, fijádoos como base e el lado que cotiee a N, el triágulo MBN tiee β veces el área del MBC por teer la misma altura y β veces su base. De esta maera, el triágulo MBN tiee como área α.β.abc. Puesto que queremos que tega la mitad de área que ABC (y que la otra mitad sea AMNC) etoces tiee que ser α β = Para que coicida los perímetros, puesto que el lado MN es -4-

5 comú a ambos polígoos, ecesitamos que AC+AM+CN mida lo mismo que MB+NB. Es decir AC + ( α ) AB + ( β ) CB = α AB + βcb AC + AB + CB = α AB + βcb = α AB + CB α Por cada triágulo, habría que resolver la ecuació cuadrática correspodiete co las medidas de sus lados para obteer α. Segú como sea estas medidas, es posible que el problema o tega solució. 4.- Demuestra que la suma de cubos de tres úmeros aturales cosecutivos es múltiplo de 9. Sea -, y + los tres úmeros aturales cosecutivos. Etoces ( ) ( ) = = = + 6 = ( + ). Si es múltiplo de, ya está. Cosideremos k r = + co {,} que es múltiplo de, ya que tato múltiplo de 9 + = 9k + 6r+ r + = k + r + r +. Etoces + como + lo so. Así que ( + ) siempre es 4.- Dada ua circuferecia de radio R, cosiderar cuatro circuferecias iguales de radio r, tagetes iteriormete a la dada y tagetes exteriores cada ua de ellas co las otras. Expresar r e fució de R, primero exactamete y luego co cuatro decimales del correspodiete coeficiete. Hallar las áreas de los recitos que determia. Desde el cetro de la circuferecia iicial hasta el de cada ua de las pequeñas hay ua distacia de R-r. Cada dos de las circuferecias pequeñas, al ser tagetes y de igual radio, el puto de tagecia está alieado co sus cetros (es el puto medio). Fijádoos e uo de los cuatro triágulos rectágulos e O teemos que R r ( R r ) = ( r ) ( R r) = r = r R r R R = = + r = = ( ) R 0' 44R r r Demostrar que para todo atural se verifica : + 0 (mód ) Llamemos A = + A = 9 + = ; A = = 09 que so múltiplos de ( ) 6( ) 6 A = = A+ + A = ( 9 + ) + ( 64 + ) = + 66 que es múltiplo de, de maera que si A es múltiplo de, etoces tambié lo es A +. Aplicado el pricipio de iducció, la propiedad queda demostrada para todo úmero atural --

6 4.-Dada ua circuferecia y u puto exterior, trazar por él ua secate que itercepte e la circuferecia ua cuerda de logitud dada. Llamemos d a la distacia del puto (P) al cetro de la circuferecia (O); r al radio de la circuferecia; α al águlo que forma la recta buscada co la recta OP; k la logitud de la cuerda y β los águlos que forma la cuerda co los radios e sus extremos. Fijádoos e el triágulo AOP: d r d seα = seβ = seβ seα r Mirado la mitad del triágulo aterior: k cosβ = k = r cosβ = r seβ = r k d seα = r = r d seα = r d seα r k 4r k seα = r = d 4 d Para costruir geométricamete ese águlo α co el que trazar la recta, podríamos costruir u triágulo rectágulo co hipoteusa r y cateto k y apoyado e el otro cateto, otro triágulo rectágulo co hipoteusa d 4.- Calcular los valores eteros de x que hace etera x f ( x) = x + 6 Pogamos x+ 6= y y busquemos mejor y Z tal que ( y 6) = co Z y y y + 6 = y y ( + ) y + 6 = 0 Las dos solucioes (e y) de esta ecuació cuadrática tiee que teer por producto 6 y os iteresa sólo los casos e que so eteras, de maera que tiee que ser algua de las parejas (, 6), (, 8), (, ), (4, 9), (6, 6) o sus opuestos. Puesto que la suma de las solucioes tiee que valer +, para cada uo de estos 8 valores de y hay u valor de (el valor de y mas su pareja meos ) de maera que ese valor de y es ua solució etera de la ecuació y por tato la expresió ( y 6 ) Z y Por ejemplo, para y = 8, tomamos = 8 + = 8 y así 8 es ua de las solucioes (la otra es ) de la ecuació y 0y + 6 = 0 y por tato ( 8 6) 8 x = 8 Z Los valores eteros que hace etera a so los ateriores meos 6, es decir x+6 {-4, -4, -8, -, -, -0, -9, -8, -7, -, -4, -, -, 0,, 6,, 0} -6-

7 8.- Calcular k= 49 ( k sabiedo que y está escritos e base k >. k= ( k (k.k.k.k k = = + de maera que = = = 49 + = 4 k= 49 k= 49 k= 49 ( k ( k k= ( k k= ( k k= 64.- Sea u prisma hexagoal regular. Cuál es la poligoal que partiedo de u vértice de la base, recorre todas las caras laterales y termia e el vértice de la cara superior, situado e la misma arista que el vértice de partida, y tiee logitud míima? Basta co desarrollar las caras laterales y trazar ua diagoal de dicho rectágulo. La poligoal recorre cada cara lateral hasta el puto de la siguiete arista que está 6 de la arista más arriba. Después de haber recorrido las seis caras laterales, hemos subido los 6 6 de la arista, es decir, hasta la cara superior. 6.- Se cosidera e el plao los cojutos de úmeros complejos : π A = z arg[ z ( + i )] = B = { z z ( + i) < } 4 Determiar la proyecció ortogoal del cojuto itersecció de A y B sobre el eje OX. Los úmeros que tiee argumeto 4 π so la bisectriz del primer cuadrate, de maera que el cojuto A es esta bisectriz desplazada el vector (, ). El cojuto B es el círculo (abierto) de radio y cetro +i. Por tato A y B tiee itersecció vacía (el puto +i o perteece i a A i a B) y su proyecció será vacía Demostrar que A = , es múltiplo 8 para todo etero positivo. = + + = + + Etoces ( ) + A A = ( ) = A 6 que es múltiplo de 8 ya que, puesto que tato como so impares, su suma es par. Aplicado el pricipio de iducció, ya lo teemos Expresar el iverso de e el cuerpo Z/(p), siedo p primo, e fució de p. Buscamos r tal que r (mod p). Como p es primo, o puede ser múltiplo de así que será p= k+ t co t igual a ó. Si t = etoces teemos que p = k + k = p 6k = p 6k + = p + p p p + (k + ) = p +. Así que el iverso de r es k + dode k =, es decir + = p = k + k = p k + = p + k + = p + y de esta Si t = etoces p p p + maera, el iverso de r será k + dode k =, es decir + = Por ejemplo, el iverso de módulo 9 es + ó alterativamete =. Efectivamete,. = 9 = (mod 9) El iverso de módulo 7 es 7 + = 6. Efectivamete,.6 = 8 = (mod 7) -7-

8 66.- Dadas dos rectas r, r' y u puto P que perteece al plao que determia las rectas pero o perteece a igua de ellas, determiar u triágulo equilátero que tega por vértice el puto P y los otros dos vértices cada uo sobre ua recta. Cosideremos la situació e la que la semirecta r queda a la izquierda de P y r a la derecha. Llamemos α al águlo que forma r y r (visto desde P) y l a la logitud de cada lado del triágulo equilátero. Buscamos el puto X sobre r que sea el siguiete vértice del triágulo. Cosideremos las perpediculares a r y a r por P (que formará el mismo águlo que r y r ) e idetifiquemos el puto X mediate el águlo β que forma r co XP y, de maera redudate, co la distacia d de X a la proyecció ortogoal de P sobre r. Etoces, fijádoos e el triágulo rectágulo apoyado d ( P, r) e r, teemos que l=. Pero fijádoos e el triágulo seβ rectágulo apoyado e r, (que tiee su águlo e P igual a d ( P, s) 80º α ( 90º β ) 60º ) teemos que l = = se 60º + α β = se d ( P, s) ( 60º ) cos cos ( 60º ). + α β + α seβ Comprádolos y quitado deomiadores obteemos que d ( P, r) se( 60º + α ) cos β cos ( 60º + α ) seβ = d ( P, s) seβ, 60º cos β d P r se + α cos 60º + α = d P, s seβ cosβ d Teiedo e cueta que cot gβ seβ = = d P, r etoces Dividiedo etre seβ obteemos que d d P r se + + = d P s (, ) ( 60º α ) cos ( 60º α ) (, ) d ( P, r) se( 60º α ) d d ( P, r) cos ( 60º α ) d ( P, s) d ( P, s) + d ( P, r ) cos ( 60º + α ) d se( 60º + α ) d ( P, s) d ( P, r ) = + se( 60º + α ) tg ( 60º + α ) + + = = d Para costruirlo gráficamete, añadiríamos a α u águlo de 60º a cada lado y trazaríamos paralelas a estas rectas por P que cortaría a r y a r e F y e E, formado águlos de 60º + α. De esta maera, d ( P, r ) d ( P, r) = PD = DF y aálogamete tg 60º + α se (, ) PN ( 60º + α ) se( 60º + α ) d P s = = PE así que para ecotrar el puto X, basta co tomar la medida PE desde el puto F -8-

9 7.- Sea C y C' dos circuferecias cocétricas de radios r y r'. Determiar el valor de la razó r/r' para que e la coroa circular limitada etre C y C' exista ocho circuferecias tagetes cada ua co sus dos imediatas y todas ellas co C y C'. r r ' Los radios pequeños mide y el radio del octógoo e cuyos vértices está los cetros de las r r ' r ( r r ') r + r ' ocho circuferecias mide r = = Fijádoos e uo de los de los r r ' r 60 ' triágulos rectágulos de dicho octógoo teemos que r r tg = = = r ' = tg,º 8 r + r ' r + r ' r r ' Etoces r,º r,º r (,º ),º r + = + tg tg = + tg = tg r ' r ' r ' r ' tg,º 80º + tg r E geeral, si queremos teer circuferecias tagetes = r ' 80º tg 89.- Demostrar que N = es etero Tratemos de poer ( a b ) a ab ab b a ab ( ab b ) 4+ 9 = + = = Etoces 4 a a + 6ab = 4 b = ± a = [...] 6a 4 a 4 a ab + b = 9 ± a + = 9 b = 6a 6a Puesto que ( + ) = ( ) = 4 9 Etoces + = ( + ) + ( ) = Hallar la potecia -ésima de la matriz A = A = 0 0 = A = 0 0 = A = 0 0 = 4 0 y e geeral A = 0 ya que la primera fila ( + ) queda fija (multiplicar por la fila ( 0 0) cosiste e coservar la primera fila); multiplicar por ( 0) cosiste e sumar las dos primeras filas co lo que el elemeto aumeta e ua uidad y los y se matiee igual (les sumamos cero); multiplicar por la fila ( ) cosiste e sumar las tres filas de maera que a la posició le sumamos dos ceros (sigue siedo ), a la le sumamos (e cada potecia vale uo más) y la posició vale sucesivamete ++, (++)+4, (+++4)+, es decir la suma de los primeros úmeros aturales. -9-

10 94.- Se elige aleatoriamete dos úmeros reales etre 0 y ; calcular la probabilidad de que uo cualquiera de ellos sea meor que el cuadrado del otro. Fijado el primer valor x, se trata de calcular la probabilidad de que otro valor y sea meor que x o que x sea meor que y. Puesto que ambos úmeros so positivos, esta última codició es equivalete a que x< y. Dado que x < x (por ser x<), x< )= P( y< x ó x< y )=P( y< x )+P( y x + x. Puesto que hay que acumular estas probabilidades para cada uo de los posibles valores de x, P(uo sea meor que el cuadrado del otro)= ( x + x ) 0 dx = x x x + 0 = + = 09.- Dadas dos rectas r y s y u puto P fuera de ambas, costruir u cuadrado co u vértice e P y los dos cotiguos e r y s. Es u problema similar al úmero 66 que podemos geeralizar. Si e lugar de u triágulo equilátero quisiéramos costruir u polígoo regular de lados, la costrucció sería idética salvo que la proporció etre los segmetos que ue P co los vértices del polígoo sobre r y r ya o es :. La distacia PC es 80º 60º 80º 80º si PB = PBsi 90º = PBcos y d ( P, s) d ( P, r) 80º etoces = cos y quedaría que se 60º + α β seβ d ( P s) ( 60º α ) se( 60º α ) d P, r, d = tg º cos d ( P, r) d ( P, s) E el caso del cuadrado sería d = tg 60º + α + se 60º + α El problema es que la catidad (triágulo y cuadrado). 80º cos sólo sé obteerla geométricamete para y 4-0-

11 0.- Demostrar que para todo etero se cumple: a) - es divisible por. b) - es divisible por. c) 7 - es divisible por 7. a) ( ) ( )( ) = = + es el producto de tres úmeros aturales cosecutivos así que alguo de los tres será múltiplo de y por tato, lo será = 4 = + = + + b) Si 0( mod) Si ( mod) 0( mod) es múltiplo de es múltiplo de = + + = Si ( mod ) k k 0k 4 0( mod ) Si ( mod ) k k 0k 9 0( mod ) Si 4( mod ) + 0( mod ) es múltiplo de c) Pogamos = 7k + r co r { 0,,,, 4,,6} = + + = Etoces es múltiplo de es múltiplo de = 7k k r k r + r 7k r. Todos los sumados so múltiplos de 7 salvo quizá r 7 r r ( r 6 ) = Comprobemos que tambié es múltiplo de 7 para r { 0,,,, 4,,6} Luego o hay por qué comprobar la fórmula para todo sio sólo para los meores de 7. Para comprobarlo más fácilmete, lo podíamos factorizar: 7 6 = = + = y los valores obteidos so 0, 0,...7,.4.7.., 4...,.6..4., que so múltiplos de 7.- La suma de u cierto úmero de eteros cosecutivos vale 000. Hallar esos eteros. Sea el primer etero a sumar y m la catidad de eteros a sumar. Etoces teemos que ( + + m ) m 000 = + ( + ) + ( + ) +...( + m ) = 000 = ( + m ) m m = + m ( m ) = = m m m Ua posibilidad es que tato 000 m como m sea eteros. Así que m tiee que ser divisor de 000 e impar (para que m- sea divisible etre ). Puesto que 000=. etoces sólo hay 4 casos: 000 m = = = = 000 m = = = = 000 y efectivamete = 000 m = = = ( ) = m = = = 4 La otra posibilidad es que m sea par y que 000 = a = a +, es decir que m m m sea u divisor par de 000 y tal que el cociete salga impar. Puesto que 000= 4. etoces hay que --

12 factorizar el 000 de maera que uo de los factores o tega el factor primo : tiee que ser m = y así = = 6' 7' =. Efectivamete = Ecotrar u úmero de 4 cifras de la forma aabb que sea cuadrado perfecto. El úmero buscado es 00a + b=(00a + b) que es múltiplo de así que teemos que buscar a y b tales que 00a + b sea por u cuadrado perfecto. Puesto que 00a + b tiee que ser múltiplo de, etoces a + b tiee que ser múltiplo de (puesto que so a ceteas, 0 deceas y b uidades y la diferecia etre las deceas y la suma de las ceteas y uidades tiee que serlo). Como tato a como b so úmeros del 0 al 9, tiee que ser a + b = 00a + b = 00a + a = 99a + = 9a + Etoces Etoces ecesitamos que 9a + sea u cuadrado perfecto. La úica posibilidad es co a = 7 (ya que 9a + =64), por tato b = 7 = 4 Efectivamete, 7744=.704=..64= Quié es mayor: ó ? Podemos poer 00 ( 000 ) 000 = = + = = ( ) = = Si queremos hacerlo si usar el biomio de Newto, podemos calcular la proporció e = = = + < < 0' sólo 00 < 000 sio que 00 < 0' así que o.- Hallar a para que los poliomios: x + ax + ; y x + x + a tega al meos ua raíz comú. Si tiee ua raíz comú, etoces tiee u factor lieal comú así que su diferecia tambié tedrá x + ax + x + x + a = a x + a = a x ese factor comú co ellos: De modo que (salvo que a =, co lo que ambos poliomios so el mismo y tiee ambas raíces comues) x tiee que ser ese factor comú. Puesto que debe ser la raíz comú, etoces a. 0 a + + = = y los poliomios so x x + = ( x ) y x + x = ( x )( x + ) --

13 4.- Se toma dos úmeros a y b al azar, ambos etre 0 y. Hallar la probabilidad de que a sea mayor o igual que el cuadrado de b y al mismo tiempo b sea mayor o igual que el cuadrado de a. Fijado el primer valor x, se trata de calcular la probabilidad de que otro valor y sea mayor o igual que x y que x sea mayor o igual que y. Puesto que ambos úmeros so positivos, esta última codició es equivalete a que x y. Dado que P( y x x y ) = P ( x y x ) = x < x x x. (por ser x < ), Puesto que hay que acumular estas probabilidades para cada uo de los posibles valores de x, x P(cada uo sea mayor que el cuadrado del otro)= x x dx = 0 x = = 0 Esta probabilidad es la cotraria de la del ejercicio 94 (la probabilidad de que alguo de ellos o sea mayor o igual que el cuadrado del otro). 46 -Demostrar que 4 + 4, (siedo atural) sólo es primo para =. Si es par, etoces 4 tambié lo es y por tato, es par, así que o es primo. Si es impar y termia e,, 7 ó 9, etoces 4 termia e y es múltiplo de (o es primo) Si es impar y termia e...? 48.- Tres esferas de igual radio se ecuetra sobre ua mesa tocádose etre sí. Hallar el radio máximo de ua cuarta esfera para que quede etre las tres y la mesa. Llamemos R al radio de las tres esferas y r al de la esfera buscada. Visto desde arriba, comprobamos que la distacia e el plao horizotal etre el cetro de cada esfera y el cetro de toda la figura (dode quedará el cetro de la esfera pequeña) es R = R = R cos 0º Cambiado a ua vista perpedicular al plao π ecotramos que ( R + r) = ( R r ) + R, es decir que 4 R + Rr + r = R Rr + r + R 4 R 4Rr = R r = --

14 6.- Hallar ua ecuació de segudo grado cuyas raíces sea los cubos de las de ax + bx + c = 0 Pogamos que sea r y s las raíces de ax b c + bx + c = 0. Etoces r + s = y r s = a a x r x s = 0 Buscamos ua ecuació que tega por solucioes r y s, es decir x ( r s ) x r s =. Puesto que ( r s) r r s rs s r s rs ( r s) r s r s rs r s + = = etoces b c b b bc + = ( + ) ( + ) = = + a a a a a b bc c x y la ecuació queda x + + = 0 a a a a x + b abc x + c = 0 Por ejemplo, la ecuació x x + 6 = 0 tiee solucioes y. Etoces x + ( ) ( ) 6 x + 6 = x x + 6 = 0 tiee solucioes 8 y 7 o equivaletemete 7.- Sobre ua circuferecia se da tres putos A,B,C. Costruir co regla y compás u cuarto puto D de modo que e el cuadrilátero ABCD se pueda iscribir otra circuferecia. El úico cuadrilátero e el que se puede iscribir ua circuferecia es el rombo. Esto sólo es posible si B está e la mitad del arco AC (si AB=BC). E ese caso, se traza la bisectriz ABC (basta co uir B co el cetro de la circuferecia). Se traza el águlo CAP que sea igual al BAC y se traza la recta AP, que cortará a la bisectriz e el puto D buscado. E el polígoo ABCD (que será u rombo) se traza las dos diagoales, que se cortará e el cetro del círculo buscado. Trazado la perpedicular a uo de los lados por este cetro, ecotramos el puto de tagecia y por tato, el radio de la circuferecia iscrita Dado u águlo agudo XOY, y u puto A sobre OY, idicar cómo se puede determiar co regla y compás u puto M sobre OY que equidiste de A y del otro lado OX del águlo. Puesto que el triágulo AQM es isósceles y que su águlo M mide 90º + α (es el suplemetario del complemetario de α) etoces el águlo e 80º ( 90º + ) 90º A mide α = α Como el águlo OAP es el complemetario de α, basta hallar su mitad para ecotrar el águlo buscado. Es decir que Trazamos la perpedicular a OX por A Trazamos la bisectriz de la recta AP aterior y OY y marcamos el puto Q e el que corta a OY Trazamos la perpedicular a OX por el puto Q. El puto de corte de esta recta co OY es el puto M buscado. -4-

15 94.- Se cosidera u poliomio P(x) de grado 00, co coeficietes eteros, todos ellos distitos etre sí, y cuyos valores absolutos so meores o iguales que 0. Determiar si P(x) es divisible por x -. Si es u poliomio de grado 00, tiee 0 coeficietes que, como ha de ser distitos y de valor absoluto meor o igual que 0 etoces sus coeficietes so todos los úmeros del -0 al 0. P() será la suma de todos sus coeficietes y por tato será cero. Seguro que es divisible etre x - --