Sucesiones de números reales

Transcripción

1 Sucesioes de úmeros reales Itroducció Las sucesioes aparece de maera atural e muchos cálculos que respode a u esquema iterativo. Por ejemplo, al dividir 2 etre 3 obteemos 2 3 = , igualdad que 3 10 podemos usar ahora para obteer 2 3 = 6 ( ) = y de uevo 2 3 = ( ) = y así podemos cotiuar tatas veces como queramos, obteiedo para cada N la igualdad: k=1 2 3 = 6 k=110 k Escribiedo x = 10 k teemos que 0 < 2 3 x = 2 1. Nótese que, auque los úmeros x so todos ellos distitos de 2/3, dada ua cota de error arbitrariamete pequeña ε > y tomado 0 N de maera que 3 10 < ε, deducimos que para todo úmero atural 0 0 se verifica que x 2/3 < ε, lo que se expresa escribiedo 2/3 = lím {x }. Este ejemplo está relacioado co la expresió decimal de 2/3 que, como todos sabemos, es u decimal periódico co período igual a 6, lo que suele escribirse 2/3 = 0, 6 igualdad e la que, segú se dice a veces, el símbolo 0, 6 debe iterpretarse como que el 6 se repite ifiitas veces. Qué quiere decir esto? Lo que está claro es que, por mucho tiempo y paciecia que tegamos, uca podremos escribir ifiitos 6 uo detrás de otro... bueo, podríamos escribir algo como 2 3 = 0, 6 = 0, (ifiitos6) lo que tampoco sirve de mucho pues seguimos si saber cómo se iterpreta esta igualdad. Pues bie, para dar u sigificado matemático a lo que se quiere expresar co esa igualdad hay que recurrir al cocepto de límite de ua sucesió tal como hemos hecho ates. Veamos otro ejemplo e esta misma líea. Vamos a itetar calcular aproximacioes racioales a 10. Si partimos iicialmete de u úmero x > 10, tedremos que 10 x < 10 < x. Pogamos y = 1 ( x + 10 ). Etoces, e virtud de la desigualdad de las 2 x 1

2 Sucesioes de úmeros reales 2 medias, 10 < y, y como tambié y < x, deducimos que y está más cerca de 10 que x. Podemos ahora repetir este proceso sustituyedo x por y obteiedo ua ueva aproximació mejor de 10. Nótese que si x es racioal tambié lo será y. Esto sugiere que, partiedo de u valor iicial, por ejemplo x 1 = 4, calculemos x 2 = 1 ( x ), y después 2 x 1 x 3 = 1 ( x x 2 cada N u úmero x tal que ), y así podemos cotiuar tatas veces como queramos, obteiedo para x +1 = 1 2 ( x + 10 ) x co x 1 = 4. Co ua calculadora maual obteemos eseguida los valores x 2 =3,25; x 3 =3, ; x 4 =3, co seis cifras decimales exactas: 0 < x 4 10 = x x < x < 0, < es decir, x 4 coicide co 10 hasta la sexta cifra decimal. De hecho, como x > 10 teemos que: 0 < x = 1 2 ( x + 10 ) 10 < 1 x 2 x = 2 2 (x 10) de dode se sigue que 0 < x < 1 2 (x 1 10) < 1, por tato, dado cualquier 2 ε > 0, y tomado 0 N tal que 2 0 < ε, deducimos que para todo úmero atural 0 se verifica que x 10 < ε, lo que simbólicamete se expresa escribiedo 10 = lím {x }. E los ejemplos ateriores hemos dado por supuesto que ya tiees cierta familiaridad co los coceptos de sucesió y de límite de ua sucesió de los cuales vamos a ocuparos a cotiuació co detalle. Sucesió de elemetos de u cojuto Sea A u cojuto o vacío. Ua sucesió de elemetos de A es ua aplicació del cojuto N de los úmeros aturales e A. E particular, ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació del cojuto N de los úmeros aturales e el cojuto R de los úmeros reales. E todo lo que sigue solamete cosideraremos sucesioes de úmeros reales por lo que os referiremos a ellas simplemete como sucesioes. Dada ua sucesió ϕ: N R suele emplearse ua otació especial para represetarla. Para N suele otarse el úmero real ϕ() e la forma x = ϕ() (aturalmete la letra x ada tiee de especial y puede sustituirse por cualquier otra). La sucesió misma se

3 Sucesioes de úmeros reales 3 represeta por ϕ = {x } N, es decir, el símbolo {x } N debe iterpretarse como la aplicació que a cada N hace correspoder el úmero real x. Cuado o hay posibilidad de cofusió escribimos simplemete {x } e vez de {x } N. Coviee isistir e que {x } es, por defiició, la aplicació de N e R dada por x. No hay que cofudir la sucesió {x }, que es ua aplicació, co su cojuto image, que es el subcojuto de R formado por todos los úmeros x, el cual se represeta por {x : N}. Por ejemplo, {( 1) } y {( 1) +1 } so sucesioes distitas co el mismo cojuto image. El úmero x se llama térmio -ésimo de la sucesió; para = 1, 2, 3 se habla respectivamete de primero, segudo, tercer térmio de la sucesió. Sucesioes de úmeros reales covergetes Ua sucesió {x } se dice que coverge a u úmero real x si, dado cualquier úmero real ε > 0, existe u úmero atural m ε tal que si es cualquier úmero atural mayor o igual que m ε se cumple que x x < ε. Simbólicamete: ε > 0 m ε N : m ε x x < ε Se dice tambié que el úmero x es límite de la sucesió {x } y se escribe lím {x } = x o, simplemete, lím{x } = x e icluso, si o hay posibilidad de cofusió, {x } x. Se comprueba fácilmete que ua sucesió covergete tiee u úico límite. Estudiamos a cotiuació cómo se comporta las sucesioes covergetes respecto de las estructuras algebraica y de orde de R. Supogamos que lím{x } = x, lím{y } = y y que existe m N tal que para todo m se tiee que x y. Etoces se verifica que x y. Respecto al resultado aterior, de muy fácil demostració, coviee advertir que auque las desigualdades sea estrictas o puede asegurarse que lím{x } = x sea estrictamete meor que lím{y } = y. Por ejemplo, si x = 0 e y = 1/, es claro que x < y para todo N pero x = 0 = y. Pricipio de las sucesioes ecajadas Supogamos que {x }, {y }, {z } so sucesioes tales que lím{x } = lím{z } = α y existe u úmero atural m 0 tal que para todo m 0 se verifica que x y z, etoces la sucesió {y } es covergete y lím{y } = α.

4 Sucesioes de úmeros reales 4 Sea ε > 0. Por hipótesis existe m 1,m 2 tales que α ε < x p < α + ε y α ε < z q < α + ε (1) para todo p m 1 y todo q m 2. Sea m 3 = máx{m 0,m 1,m 2 }. Para todo m 3 las desigualdades (1) se cumple para p = q =, además como m 0 se tiee que x y z. Deducimos que, para todo m 3, se verifica que α ε < x y z < α + ε y, por tato, α ε < y < α + ε, es decir, lím{y } = α. Ua cosecuecia imediata de este resultado es que si cambiamos arbitrariamete u úmero fiito de térmios de ua sucesió la ueva sucesió así obteida es covergete si lo era la de partida y co su mismo límite. El pricipio de las sucesioes ecajadas es de gra utilidad y se usa co mucha frecuecia. Naturalmete, cuado apliquemos dicho pricipio a u caso cocreto, la sucesió {y } del euciado será la que queremos estudiar y tedremos que ser capaces de ivetaros las sucesioes {x } y {z } de maera que se cumpla las codicioes del euciado. Ua sucesió {x } se dice que es: Mayorada o acotada superiormete si su cojuto image está mayorado, es decir, si hay u úmero µ R tal que x µ para todo N. Miorada o acotada iferiormete si su cojuto image está miorado, es decir, si hay u úmero λ R tal que λ x para todo N. Acotada si su cojuto image está mayorado y miorado, equivaletemete, si hay u úmero M R + tal que x M para todo N. Creciete si x x +1 para todo N. Estrictamete creciete si x < x +1 para todo N. Decreciete si x x +1 para todo N. Estrictamete decreciete si x > x +1 para todo N. Moótoa si es creciete o decreciete. Estrictamete moótoa si es estrictamete creciete o decreciete. Nótese que si ua sucesió {x } es creciete (resp. decreciete) etoces se verifica que x m x (resp. x m x ) siempre que m. Coviee advertir que cuado se dice que ua sucesió es moótoa o se excluye la posibilidad de que, de hecho, sea estrictamete moótoa. Es por ello que, e geeral, suele

5 Sucesioes de úmeros reales 5 hablarse de sucesioes moótoas y ta sólo cuado tiee algú iterés particular se precisa si so estrictamete moótoas. Toda sucesió covergete está acotada. Supogamos que lím{x } = x. Todos los térmios de {x } a partir de uo e adelate estará e el itervalo ]x 1,x + 1[, es decir, hay u úmero m N tal que para todo m se verifica que x x < 1, lo que implica que x x x + x < 1 + x para todo m. Tomado M = máx{1+ x, x 1,, x m }, teemos que x M para todo N. La proposició aterior es útil a veces para probar que ua sucesió o es covergete: para ello basta probar que o está acotada. La proposició recíproca de la aterior o es cierta: la sucesió {( 1) } es acotada y o es covergete. No obstate, hay u caso especial muy importate e que sí es cierta la recíproca. Teorema Toda sucesió moótoa y acotada es covergete. Más cocretamete, si ua sucesió {x } es: i) Creciete y mayorada, etoces lím{x } = β, dode β = sup{x : N}. ii) Decreciete y miorada, etoces lím{x } = α, dode α = if{x : N}. Probaremos i) quedado la demostració de ii) como ejercicio. La hipótesis de que {x } es mayorada garatiza, e virtud del pricipio del supremo, la existecia del úmero real β = sup{x : N}. Dado ε > 0, tiee que existir u térmio x m de la sucesió tal que β ε < x m. Puesto que la sucesió es creciete para todo m se verificará que x m x, y por tato β ε < x. E cosecuecia β ε < x < β + ε para todo m. Hemos probado así que lím{x } = β. Ejemplo La sucesió {x } defiida por x = E efecto, como 2 k=+1 1, es covergete. k x +1 x = > = 0

6 Sucesioes de úmeros reales 6 se sigue que x +1 > x para todo N, es decir, es ua sucesió creciete. Además x ( = + 1 < 1 por lo que tambié está mayorada. Cocluimos, por el teorema aterior, que dicha sucesió es covergete. E los resultados ateriores ha iterveido de maera esecial las propiedades de la estructura de orde de R. Vamos a estudiar ahora el comportamieto de las sucesioes covergetes respecto de la adició y el producto de úmeros reales. Los resultados que vamos a obteer, coocidos tradicioalmete co el ombre de álgebra de límites, so básicos para el estudio de la covergecia de sucesioes. Dadas dos sucesioes {x } e {y }, se defie su suma como la sucesió {x + y } y su producto como la sucesió {x y }. El producto de ua sucesió covergete a cero por ua sucesió acotada es ua sucesió covergete a cero. Sea lím{x } = 0, e {y } acotada. Sea c>0 tal que y c para todo N. Dado ε > 0, existe u úmero atural m tal que para todo m se verifica que x < ε/c. Deducimos que, para todo m, se verifica que x y = x y < ε c c = ε, lo que prueba que lím{x y } = 0. Álgebra de límites Supogamos que lím{x } = x y lím{y } = y. Etoces se verifica que: lím{x + y } = x + y, lím{x y } = xy. Si además supoemos que y 0, etoces lím{x /y } = x/y. Dado ε > 0, por hipótesis existe m 1,m 2 tales que x ε/2 < x p < x + ε/2 y y ε/2 < y q < y + ε/2 (2) para todo p m 1 y todo q m 2. Sea m 0 = máx{m 1,m 2 }. Para todo m 0 las desigualdades (2) se cumple para p=q=, por lo que, sumádolas térmio a térmio, deducimos que x+y ε < x +y < x+y+ε cualquiera sea m 0, lo que prueba que lím{x + y } = x+y. Teiedo e cueta que lím{(x x)y } = lím{x(y y)} = 0, y la igualdad x y xy = (x x)y + x(y y)

7 Sucesioes de úmeros reales 7 deducimos que lím{x y xy} = 0, es decir, lím{x y } = xy. Fialmete, para probar que lím{x /y } = x/y, probaremos que la sucesió { x x } { } x y y x = y y y y coverge a cero, para lo cual, teiedo e cueta que lím{x y y x} = xy yx = 0, bastará probar que la sucesió {1/y } está acotada. Puesto que lím{y } = y, se deduce de la desigualdad y y y y que lím{ y } = y. Existirá, por { tato, u úmero m 0 N tal 1 que para todo m 0 es y > y /2. Pogamos K = máx y 1, 1 y 2,..., 1 y m0, 2 }. Se y tiee etoces que 1 y K para todo N. Hemos probado así que la sucesió {1/y } está acotada, lo que cocluye la demostració del teorema. Hay que leer co ateció las hipótesis del teorema aterior para o hacer u uso icorrecto del mismo. E particular, o hay que olvidar que la suma o el producto de dos sucesioes o covergetes puede ser ua sucesió covergete. Sucesioes parciales y valores de adherecia Sea {x } ua sucesió de úmeros reales; dada ua aplicació σ:n N estrictamete creciete, la sucesió que a cada úmero atural hace correspoder el úmero real x σ() se represeta por {x σ() } y se dice que es ua sucesió parcial de {x }. Nótese que {x σ() } o es otra cosa que la composició de las aplicacioes {x } y σ, esto es, {x σ() } = {x } σ. Se dice que u úmero real x es u valor de adherecia de la sucesió {x } si hay algua sucesió parcial de {x } que coverge a x. Ejemplo La sucesió {x } dada por x = /5 E(/5) para todo N, tiee a 0,1/5,2/5, 3/5 y 4/5, como valores de adherecia. E efecto, basta cosiderar que para cada j {0,1,2,3,4}, la sucesió parcial {x 5 j } N viee dada por x 5 = 0, para j = 0, y x 5 j = 1 j/5 para j = 1,2,3,4. Es fácil probar por iducció que si σ es ua aplicació estrictamete creciete de N e N etoces se verifica que σ() para todo N. Co ello se obtiee fácilmete el siguiete resultado. Si lím{x } = x, toda sucesió parcial de {x } tambié coverge a x. E particular, ua sucesió covergete tiee como úico valor de adherecia su límite.

8 Sucesioes de úmeros reales 8 Nótese que hay sucesioes, la de los úmeros aturales por ejemplo, que o tiee igú valor de adherecia. Tambié puede ocurrir que ua sucesió tega u úico valor de adherecia y o sea covergete. Por ejemplo, la sucesió dada para todo N por x = (1+ ( 1) ) + 1/, o es covergete y tiee a 0 como úico valor de adherecia. Vamos a ver a cotiuació que estos comportamietos o puede darse co sucesioes acotadas. Lema Toda sucesió tiee ua sucesió parcial moótoa. Sea {x } ua sucesió y defiamos A = { N : x x p para todo p > } Podemos visualizar el cojuto A como sigue. Cosideremos e el plao los segmetos de extremos (,x ) y ( + 1,x +1 ), = 1,2,3,... Resulta así ua líea poligoal ifiita y podemos imagiar que dicha líea es el perfil de ua cordillera cuyas cumbres y valles so los putos (,x ). Imagiemos ahora que los rayos de luz del Sol, paralelos al eje de abscisas, ilumia dicha cordillera por el lado derecho (el Sol estaría, pues, situado e el ifiito del eje de abscisas positivo). Pues bie, u úmero atural perteece al cojuto A si el puto (,x ) está ilumiado y o perteece a A si dicho puto está e sombra. Supogamos que A es ifiito. Etoces podemos defiir ua aplicació σ : N N estrictamete creciete y tal que σ(n) = A de la siguiete forma: σ(1) = mí(a) σ( + 1) = mí{p A : σ() < p} para todo N es decir la aplicació σ va eligiedo los elemetos de A de meor a mayor empezado por el primero. Resulta ahora evidete que la sucesió parcial {x σ() } es decreciete (todos los putos (σ(),x σ() ) está ilumiados y, por tato, iguo de ellos puede hacerle sombra a uo aterior). Si A es fiito podemos supoer que A = Ø. E tal caso, para todo N hay algú p > tal que x < x p (pues todo puto (,x ) está e sombra). Podemos defiir ahora ua aplicació σ : N N estrictamete creciete de la siguiete forma: σ(1) = 1 σ( + 1) = mí{p N : σ() < p y x σ() < x p } para todo N Resulta ahora evidete que la sucesió parcial {x σ() } es creciete (porque cada puto (σ(),x σ() ) deja e la sombra al aterior).

9 Sucesioes de úmeros reales 9 Teorema de Bolzao - Weierstrass Toda sucesió acotada de úmeros reales tiee algua sucesió parcial covergete. Sea {x } ua sucesió acotada. E virtud el lema aterior, hay ua sucesió parcial de {x } que es moótoa, dicha sucesió parcial está acotada por estarlo {x } y, por tato, es covergete. Teorema Ua sucesió acotada que tiee u úico valor de adherecia es covergete. Sea {x } ua sucesió acotada o covergete; probaremos que dicha sucesió tiee al meos dos valores de adherecia. El teorema de Bolzao-Weierstrass os dice que {x } tiee al meos u valor de adherecia. Sea, pues, λ u valor de adherecia de {x }. Como {x } o coverge a λ, tiee que existir ρ > 0 tal que el cojuto A = { N : x λ ρ} sea ifiito. Es fácil defiir ahora ua aplicació σ : N N estrictamete creciete tal que σ(n) = A. La sucesió {x σ() } está acotada y, por el teorema de Bolzao-Weierstrass, tiee al meos u valor de adherecia, µ. Es fácil probar ahora que µ es tambié u valor de adherecia de {x } y λ µ. Si volvemos a leer la defiició de sucesió covergete, parece que para estudiar la covergecia de ua sucesió {x } debemos ser capaces de adiviar, de algua maera, su posible límite. De hecho, ua idea bastate extedida cosiste e pesar que es lo mismo probar la covergecia de ua sucesió que calcular su límite. Esto o es del todo correcto; so relativamete pocas las sucesioes covergetes cuyo límite puede efectivamete calcularse. Cuado se estudia la covergecia de ua sucesió {x }, la mayoría de las veces, lo que coocemos es, justamete, la sucesió y, aturalmete, se descooce su posible límite el cual pudiera, icluso, o existir. Por ello iteresa teer criterios de covergecia itrísecos a la sucesió, es decir, que o haga iterveir a u objeto e pricipio extraño a ella como es su posible límite. Coocemos ya u criterio de covergecia itríseco para sucesioes moótoas. Usado dicho criterio hemos probado la covergecia de la sucesió 2 1 x = si ecesidad de coocer su límite. k=+1k A cotiuació vamos a establecer u criterio itríseco de covergecia para sucesioes que es más geeral pues puede aplicarse a cualquier sucesió. Este criterio fué formulado por Bolzao e 1817 y tambié, idepedietemete, por Cauchy e 1821, y establece ua codició ecesaria y suficiete para la covergecia de ua sucesió. Dicha codició se cooce co el ombre de codició de Cauchy.

10 Sucesioes de úmeros reales 10 Codició de Cauchy Se dice que ua sucesió {x } satisface la codició de Cauchy, si para cada úmero positivo, ε > 0, existe u úmero atural m ε, tal que para todos p,q N co p m ε y q m ε se verifica que x p x q < ε. La codició de Cauchy puede tambié expresarse de ua maera equivalete, auque formalmete distita, como sigue: Ua sucesió {x } satisface la codició de Cauchy, si para cada úmero positivo, ε > 0, existe u úmero atural m ε, tal que para todo p m ε y para todo úmero atural h, se verifica que x p+h x p < ε. Teorema de complitud de R Ua sucesió de úmeros reales es covergete si, y sólo si, verifica la codició de Cauchy. Supogamos que {x } verifica la codició de Cauchy. Probemos primero que {x } está acotada. La codició de Cauchy implica que hay m 0 N tal que x p x m0 < 1 para todo p m 0, y como x p x p x m0 + x m0, deducimos que x p < 1 + x m0 para p m 0. E cosecuecia si defiimos M = máx{ x 1, x 2,..., x m0,1+ x m0 }, obteemos que x M para todo N. El teorema de Bolzao-Weierstrass garatiza que hay u úmero real x y ua sucesió parcial {x σ() } que coverge a x. Probaremos que {x } tambié coverge a x. Dado ε > 0, existe o N tal que x p x q < ε/2 siempre que p,q o. Tambié existe 1 N tal que x σ() x < ε/2 siempre que 1. Sea m = máx{ o, 1 }. Para todo m se tiee que σ() m por lo que lo que prueba que lím {x } = x. x x x x σ() + x σ() x < ε 2 + ε 2 = ε Recíprocamete, si {x } es covergete y lím{x } = x, dado ε > 0, hay u úmero m ε N tal que para todo úmero atural m ε se tiee que x x < ε/2. Deducimos que si p,q so úmeros aturales mayores o iguales que m ε etoces x p x q x p x + x x q < < ε/2 + ε/2 = ε. Por tato la sucesió {x } verifica la codició de Cauchy. Sucesioes divergetes Ua sucesió {x } se dice que es: Positivamete divergete, y escribimos {x } +, si para todo úmero real K >0 existe u úmero atural m K N, tal que para todo N co m K se verifica que x K.

11 Sucesioes de úmeros reales 11 Negativamete divergete, y escribimos {x }, si para todo úmero real K<0 existe u úmero atural m K N, tal que para todo N co m K se verifica que x K. Diremos que ua sucesió es divergete para idicar que es positivamete o egativamete divergete. E la siguiete proposició se expoe alguas propiedades elemetales, pero importates, de las sucesioes divergetes. Teiedo e cueta que {x } + si, y sólo si, { x }, es suficiete euciar dichas propiedades para sucesioes positivamete divergetes. i) { x } + si, y sólo si, {1/x } 0. ii) La suma de ua sucesió positivamete divergete co ua sucesió acotada es ua sucesió positivamete divergete. iii) La suma de ua sucesió positivamete divergete co ua sucesió miorada es otra sucesió positivamete divergete. E particular, la suma de dos sucesioes positivamete divergetes es otra sucesió positivamete divergete. iv) El producto de dos sucesioes positivamete divergetes es otra sucesió positivamete divergete. vi) El producto de ua sucesió positivamete divergete por ua sucesió que coverge a u úmero positivo es otra sucesió positivamete divergete. El siguiete resultado establece ua importate relació etre el límite fucioal y el límite de sucesioes. Sea f ua fució y sea a, L R {+, }. Equivale las afirmacioes: i) lím x a f (x) = L ii) Para toda sucesió {x } de putos e el domiio de defiició de f, tal que x a para todo N y {x } L, se verifica que { f (x )} L. Este resultado permite euciar e térmios de covergecia de sucesioes los resultados relativos a límites fucioales. El siguiete es u ejemplo. a) Ua sucesió {x } coverge a x R si, y sólo si, {e x } coverge a e x. b) Ua sucesió de úmeros positivos {y } coverge a u úmero positivo y>0 si, y sólo si, la sucesió {log(y )} coverge a log(y). c) Para toda sucesió {x } se verifica que:

12 Sucesioes de úmeros reales 12 i) {x } + si, y sólo si, {e x } + ; ii) {x } si, y sólo si, {e x } 0. d) Para toda sucesió de úmeros positivos {x } se verifica que: i) {x } + si, y sólo si, {log(x )} + ; ii) {x } 0 si, y sólo si, {log(x )}. Sucesioes asitóticamete equivaletes Dadas dos sucesioes {x }, {y } cuyos térmios a partir de uo e adelate so todos distitos de cero, diremos que {x } es asitóticamete equivalete a {y }, y escribiremos simbólicamete {x } {y }, si {x /y } 1. El siguiete resultado os dice que para estudiar la covergecia o divergecia de u producto de varias sucesioes podemos sustituir las que queramos por otras que sea asitóticamete equivaletes, si que ello afecte a la covergecia o divergecia del producto i a su evetual límite. Supogamos que {x } {y }, {z } es cualquier sucesió y L R {+, }. Se verifica etoces que {x z } L si, y sólo si, {y z } L. Ejemplos de sucesioes asitóticamete equivaletes Supogamos que {x } 0. Etoces se verifica que: {x } {log(1 + x )}; {x } {e x 1}; {(1 + x ) α 1} {αx } {sex } {x }; {arcsex } {x }; {arctgx } {x } Idetermiacioes y sucesioes de potecias Frecuetemete hay que estudiar la covergecia o divergecia de ua suma o producto de dos sucesioes precisamete cuado las reglas que hemos visto ates o puede aplicarse. Se trata de aquellos casos e que el comportamieto de las sucesioes {x + y }, {x y } o está determiado por el de {x } e {y }. Por ejemplo, si sabemos que {x } + y que {y }, qué podemos decir del comportamieto de la sucesió {x + y }? Respuesta: absolutamete ada. E cosecuecia, las sucesioes del tipo {x + y } dode {x } +, {y }, requiere u estudio particular e cada caso. Tales sucesioes suele decirse que so ua idetermiació del tipo. Aálogamete, si sabemos que {x } 0 y que {y } es divergete, ello o proporcioa igua iformació sobre el comportamieto de la sucesió {x y }; la cual se dice que es ua idetermiació del tipo 0. Las idetermiacioes que aparece al estudiar el cociete de dos sucesioes divergetes o de dos sucesioes que coverge a cero, las llamadas idetermiacioes de los tipos /, 0/0, puede reducirse a ua idetermiació del tipo 0.

13 Sucesioes de úmeros reales 13 Todavía hemos de cosiderar uevas idetermiacioes que va a surgir al cosiderar sucesioes de potecias, es decir, sucesioes de la forma {x y } dode {x } es ua sucesió de úmeros positivos e {y } es ua sucesió cualquiera de úmeros reales. Puesto que x y = exp(y log(x )), la covergecia o divergecia de la sucesió {x y } vedrá determiada por la de {y log(x )}; la cual, a su vez, está determiada e todos los casos por el comportamieto de las sucesioes {x } e {y }, excepto cuado dicha sucesió {y log(x )} es ua idetermiació del tipo 0, lo que ocurre e los siguietes casos: a) {x } 1, { y } + (idetermiació 1 ) b) {x } +, {y } 0 (idetermiació 0 ) c) {x } 0, {y } 0 (idetermiació 0 0 ) Ni que decir tiee que o hay técicas geerales que permita resolver las idetermiacioes ; o sería tales si las hubiera! Es por ello que, los límites idetermiados, requiere u estudio particular e cada caso. Expodremos a cotiuació alguos resultados muy útiles para el estudio de los mismos. Empezaremos por u importate resultado que permite resolver e muchos casos las idetermiacioes 1 y 0. Criterio de equivalecia logarítmica para sucesioes Supogamos que lím{x } = 1, {y } es ua sucesió cualquiera y L u úmero real. Etoces se tiee que: i) lím{x y } = e L si, y sólo si, lím{y (x 1)} = L. ii) {x y } + si, y sólo si, {y (x 1)} +. iii) {x y } 0 si, y sólo si, {y (x 1)}. Puesto que x y = exp(y log(x )), las afirmacioes hechas e i), ii) y iii), se deduce del hecho de que las sucesioes {log(x )} y {x 1} so asitóticamete equivaletes. Vamos a expoer a cotiuació u útil resultado que, e muchas ocasioes, permite resolver idetermiacioes de la forma /. Nótese su aalogía co las reglas de L Hôpital. Criterio de Stolz Sea {y } ua sucesió positivamete { divergete } y estrictamete creciete y sea {x } cualquier sucesió. Supogamos que L dode L es u úmero real, o L = +, x+1 x y +1 y o L =. Etoces se verifica tambié que {x /y } L.

14 Sucesioes de úmeros reales 14 Supogamos, e primer lugar, que L R. Dado ε > 0, existe, por hipótesis, u úmero atural k, tal que para todo q k se verifica que L ε 2 < x q+1 x q y q+1 y q < L + ε 2. Multiplicado por y q+1 y q > 0 y sumado desde q = k a q =, obteemos: L ε 2 < x +1 x k y +1 y k < L + ε 2 (3) cualquiera sea k. Teiedo e cueta ahora la igualdad x +1 L = x ( k Ly k + 1 y )( ) k x+1 x k L y +1 y +1 y +1 y +1 y k deducimos que x +1 L y +1 x k Ly k + x +1 x k L y +1 y k (4) y +1 { } Como lím (xk Ly k )/y +1 = 0, existe u úmero atural m tal que, para todo m, se verifica x k Ly k < ε 2 y +1 Teiedo e cueta (3) y (4), deducimos que x +1 L y +1 < ε para todo máx{k,m}. Hemos probado, pues, que lím{x /y } = L. Supogamos ahora que L = +. E tal caso, para todo N suficietemete grade, se tedrá que x +1 x > y +1 y > 0, por lo que podemos supoer que {x } es estrictamete creciete. Además, al ser L = +, se tedrá que {x } diverge positivamete. Podemos usar ahora lo ya probado, itercambiado las sucesioes {x } e {y }, para obteer que { } { } y y+1 y lím = lím = 0 x x +1 x de dode se sigue que {x /y } +. El caso L = se reduce al previo cambiado la sucesió {x } por { x }. { Es } importate observar que, aú e las { hipótesis} del Criterio de Stolz, puede ocurrir que x x+1 x sea covergete pero o lo sea ; es decir, el Criterio de Stolz da ua y y +1 y codició suficiete pero o ecesaria para la covergecia o divergecia de {x /y }.

15 Sucesioes de úmeros reales 15 Del Criterio de Stolz se deduce dos útiles criterios para estudiar la covergecia de sucesioes de medias aritméticas o geométricas. Criterio de la media aritmética Supogamos{ que {a } L dode } L es u úmero real, o L = +, o L =. Etoces se a1 + a a verifica que L. Basta aplicar el Criterio de Stolz a las sucesioes x = a 1 + a a, y =. Criterio de la media geométrica Supogamos que {a } L dode {a } es ua sucesió de úmeros positivos y L es u { } úmero real o bie L = +. Etoces se verifica que a1 a 2...a L. Lo afirmado se deduce del criterio de la media aritmética teiedo e cueta que ( ) log a1 a 2...a = log(a 1) + log(a 2 ) + + log(a ). Corolario Supogamos que {x +1 /x } L dode {x } es ua sucesió de úmeros positivos y L es u úmero real o bie L = +. Etoces se verifica que { x } L. Es cosecuecia del criterio de la media geométrica aplicado a la sucesió {a } defiida por a 1 =1, a +1 = x +1 para todo N. x