Semana 7 Propiedades de la radicación Semana 7

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1 Propiedades de la radicació Semaa 7 Propiedades de la radicació Semaa 7 Seguimos e esta sesió co el tema de la radicació, pero esta vez aalizaremos sus propiedades, las costruiremos co los coocimietos que poseemos acerca de la potecia, realizaremos ejercicios relacioados co la aplicació de la radicació e la vida cotidiaa, etre ellos la plaificació de proyectos; tambié, veremos relacioes etre la matemática y la armoía de soidos que produce bieestar emocioal. Al fializar esta semaa estarás e capacidad de resolver ejercicios aplicado las propiedades de la radicació e expresioes matemáticas más complejas. Áreas eraizadas! Se muestra dos problemas de áreas, co cuatro alterativas y sólo ua es correcta. Iteta resolverlos co lo estudiado hasta ahora y luego cotrasta tu solució co las plateadas. 1. Cuál es el área de la figura 49? a) 6 +1 b) c) (4) 6 +1 d) 2 ( 6 +2) Figura El área de u cuadrado iscrito e u círculo es 6m 2. Cuál será el radio de la circuferecia? (figura 50). a) 4 2 m b) 2 m c) 6m d) 6 12 Figura

2 Semaa 7 Propiedades de la radicació Propiedades de la radicació 1. Raíz de u producto Cómo se podría calcular la raíz cuadrada de 2500? Ua opció es utilizado la calculadora o uestros coocimietos de poteciació para pregutaros qué úmero elevado al cuadrado da 2500? Pero, si observamos el úmero y recordamos uestros coocimietos sobre el sistema umérico decimal, 2500 lo podemos escribir como 25 x 100, ambos cuadrados de 5 y 10, respectivamete, de maera que se puede escribir como 5 2 x 10 2 y, utilizado propiedades de poteciació, esto es (5 x 10) 2 = Ahora, uestra respuesta podemos escribirla así: 2500 = 25 x 100 = 5 2 x 10 2 Observemos que la raíz cuadrada del producto 25 x 100 es igual al producto de la raíz cuadrada de 25 por la raíz cuadrada de 100 Puedes hacer el procedimieto aterior para cualquier ídice de la raíz. La raíz eésima del producto de dos o más úmeros es igual al producto de las raíces eésimas de cada uo de los factores. Se expresa así ab = a b Fíjate que cuado lees la igualdad aterior de derecha a izquierda, expresa que el producto de raíces co igual ídice es igual a otro radical de igual ídice cuya catidad subradical es el producto de las catidades subradicales. 2. Raíz de u cociete 6 Cómo podrías calcular esta raíz cuadrada: 81 Ua maera sería realizar la divisió y luego sacar la raíz cuadrada, pero al realizar la divisió obtiees u úmero decimal y por ahora o hemos visto igú procedimieto para hallar raíces de úmeros decimales. Podemos hallar por separado la raíz del dividedo (6) y la raíz del divisor (81), y os plateamos qué úmero elevado al cuadrado da 6 y 81 respectivamete, ya lo tiees? Podemos expresar lo aterior así: = = La raíz eésima del cociete de dos úmeros es igual al cociete de la raíz eésima del umerador etre la raíz eésima del deomiador. Se expresa así:. Potecia de ua raíz a b a =, b 0 b 202 Cuál es el valor de ( 5 ) 4? Al aplicar la defiició de potecia, teemos que la base se repite cuatro veces, así ( 5 ) x ( 5 ) x ( 5 ) x ( 5 ). Ahora aplicamos la propiedad

3 Propiedades de la radicació Semaa 7 mostrada e la raíz de u producto: 5 x 5 x 5 x 5 = 5 4, luego ( 5 4 ). E geeral: Para efectuar la potecia de ua raíz, se eleva la catidad subradical a dicha potecia y se coserva el mismo ídice de la raíz. Se expresa así: ( a ) m = a m 4. Raíz de ua raíz Cuál es el valor de 729? Seguramete habrás pesado e calcular la raíz cúbica de 729 y al resultado de ésta hallarle la raíz cuadrada. Esa opció es correcta y el resultado obteido es y -, pero habrá otra forma de calcularla? Reflexioa: e base al resultado aterior cuátas veces debes multiplicar el úmero ó - para obteer 729? Exacto! Ese úmero represeta el ídice de la raíz. Así que podemos establecer: = 729 Detalla que e el primer miembro los ídices so 2 y, mietras que e el segudo el ídice de la raíz es 6; éste último se ha obteido de la multiplicació de 2 x = 6. Es decir: Para calcular la raíz de ua raíz se multiplica los ídices de las raíces y se coserva la catidad subradical. Se expresa así: m m a = a Veamos alguos ejemplos: 2250 a) 50 b) c) 2 14 d) 480 e) 2560 f) 2 a 6 Las expresioes radicales se simplifica buscado e el radicado factores que so cuadrados perfectos o descompoiedo el úmero e factores primos. a) Para simplificar 50, idetificamos que 25 es cuadrado perfecto; lo reescribimos así: 50 = 25 x 2 = 25 x 2 = 5 2 x 2 = 5 2. La expresió 5 2 está e su forma más simple. Para el caso b) debemos idetificar factores que so cubos perfectos, puesto que el ídice de la raíz es. Para simplificar -8000, idetificamos que los úmeros -8 y 1000 so cubos perfectos, así que la catidad subradical la podemos expresar así: = -8 x 1000 = -8 x 1000 = (-2) x 10 = -2 x 10 = -20 Aalicemos ahora los resultados que hemos obteido 5 2 = 5, (-2) = -2 Qué patroes estas observado? Fíjate que si u úmero se eleva a ua potecia y luego se extrae la raíz eésima, se obtiee el mismo úmero, por ello se dice que la potecia y la radicació so operacioes iversas. Así que la raíz cúbica de -8, es -8 = (-2) = -2. Esto se puede geeralizar de la siguiete forma: a = a 20

4 Semaa 7 Propiedades de la radicació Cuado el ídice de la raíz y el expoete so iguales, el resultado de la radicació es la catidad subradical. Si embargo, a = a o siempre se cumple. Por ejemplo (-9) 2 = -9 ; pero este resultado es icorrecto, ya que el orde de las operacioes establece que primero se debe efectuar la potecia cuadrada y luego extraer la raíz cuadrada. Resulta etoces (-9) 2 = 81 = ± 9. Por tato a = a es válido e los siguietes casos: Si a es etero positivo y es cualquier etero positivo. Ejemplo: 9 4 = 9 Si a es etero egativo y es impar. Ejemplo: (-4) = -4 Para el caso c) aplicamos tambié la primera propiedad, pero de derecha a izquierda. La multiplicació de radicales podemos escribirla así: 2 14 = 2 14 = 84 Para resolver la raíz de 84 descompoemos el úmero e factores primos y obteemos: Si aplicamos uevamete la propiedad de la raíz de u producto, obteemos = 2 21 Ahora, cosideremos el caso d) 480 = = = = 2 60 Primero se descompoe 480 e factores primos; reescribimos 2 5 de tal maera que uo de sus expoetes coicida co el ídice de la raíz para utilizar a = a; luego aplicamos la propiedad de raíz de u producto y simplificamos. Ahora, justifica cada paso e los ejercicios e) y f) e) = = = = 2 15 = f) 2 a 6 = 2 5 a 6 = a 4 a 2 = 2 4 a 4 2 a 2 = 2 a 2 a 2 Observa e los ejemplos que, cuado el expoete de la catidad subradical es igual o mayor que el ídice de la raíz, la catidad subradical puede ser extraída total o parcialmete de la raíz. Decimos que ua expresió radical está simplificada cuado su radicado o tiee factores que sea potecia de u úmero atural. Problemas del cálculo de la raíz cuadrada e la vida diaria 1. El cosejo comual ha elaborado u proyecto para la costrucció de u complejo deportivo para la recreació de los jóvees del barrio, a fi de itegrarlos e ua diámica social productiva para mejorar su calidad de vida. Se está haciedo las diligecias pertietes para coseguir los recursos ecoómicos. Si el cosejo comual ha 204

5 Propiedades de la radicació Semaa 7 adquirido u terreo cuadrado de 1225 m 2 de área, cuál es el costo total de la cerca? El metro tiee u costo de Bs.60. La figura geométrica asociada es u cuadrado; la fórmula de su área es A = L 2 dode L represeta el lado del cuadrado (terreo). E este problema hay que hallar cuál es el costo de la cerca; para ello debes saber cuáto mide el perímetro de ésta. De los datos mostrados, sabes cuáto mide el lado del terreo?, qué operacioes harás para ecotrar la medida del lado? Observa la fórmula; tiees que despejar la letra L; fíjate que lo úico que le estorba a L es el expoete 2 cómo harías para elimiarlo? Debes aplicar la operació cotraria a la potecia, A = L 2 A = L 2 Aplica la operació cotraria de la potecia; e este caso es la raíz cuadrada. Aplicamos a = a A = L A = L L = A Ahora sólo tiees que sustituir e la fórmula los datos proporcioados por el ejercicio. L = A L = 1225m 2 L = 1225 m 2 L = 5m. Justifica el procedimieto (sugerecia: revisa las propiedades de las raíces). Cada lado del terreo mide 5m y, dado que el terreo tiee cuatro lados, el perímetro es la suma de los lados; al realizar la operació da 140m. Ahora si podemos calcular cuáto es el costo de la cerca; sólo hay que multiplicar 140m por Bs. 60, eso da Bs Saber más Visualiza más ejercicios e la siguiete direcció web: galeo.com/expyrad02.htm 1. Aplica la propiedad correspodiete y resuelve. a) 00 b) 9 x 4 c) 45 d) 27 e) 5b 15b f) 76 x 2 g) 125 m 9 12 h) i) j) x k) l) m) ) 27 x 6 y 4 o) ( 2 4 ) x y 5 4 p) ( x 2 ) 5 q) x 60 r)

6 Semaa 7 Propiedades de la radicació 2. Halla 49, 490, 4900, 49000, , qué patró observas? Música y matemáticas Fue Pitágoras quie descubrió que existía ua relació umérica etre toos que soaba armóicos y fue el primero e darse cueta de que la música, siedo uo de los medios eseciales de comuicació y placer, podía ser medida por medio de razoes de eteros. Sabemos que el soido producido al tocar ua cuerda depede de la logitud, grosor y tesió de la misma. Etedemos que cualquiera de estas variables afecta la frecuecia de vibració de la cuerda. Lo que Pitágoras descubrió es que al dividir la cuerda e ciertas proporcioes era capaz de producir soidos placeteros al oído. Eso era ua maravillosa cofirmació de su teoría. Números y belleza era uo. El mudo físico y el emocioal podía ser descritos co úmeros secillos y existía ua relació armóica etre todos los feómeos perceptibles. Cotiúa esta lectura e el CD multimedia del IRFA de este semestre y e la siguiete direcció web: Resuelve el siguiete problema: ua compañía siderúrgica fabrica tubos de acero para el sector petrolero, gasífero, idustrial y de costrucció, para el mercado veezolao y para exportar. Si el volume de u tubo de acero galvaizado para la coducció de agua, gas o vapor, es 0,066 m y ua logitud de 6,4m., cuál será la medida de su radio? Si se almacea e estates de 6,4m de largo, 6,9 de alto y 2, de acho, cuátos tubos cabe e el estate? La salud es la uidad que da valor a todos los ceros de la vida. Berard Le Bouvier de Foteelle 206