Sucesiones y series infinitas

Transcripción

1 Sucesioes y series ifiitas E la última secció de este capítulo le pediremos que utilice ua serie para deducir ua fórmula para determiar la velocidad de ua oda oceáica. Epic Stock / Shutterstock E U previo de Cálculo, hicimos ua breve itroducció de las sucesioes y series e relació co las paradojas de Zeó y la represetació decimal de úmeros. Su importacia e el Cálculo se deriva de la idea de Newto de represetar fucioes como sumas de sucesioes ifiitas. Por ejemplo, para ecotrar áreas, co frecuecia itegraba ua fució epresádola primero como ua serie y después itegrado cada uo de sus térmios. E la secció.0 trataremos de seguir esta idea co el fi de itegrar fucioes como e. (Recuerde que ateriormete os vimos icapacitados para efretar esto.) Muchas de las fucioes que aparece e física matemática y química, tales como las fucioes de Bessel, está defiidas como sumas de series, así que es muy importate familiarizarse co los coceptos básicos de covergecia de sucesioes y series ifiitas. Los físicos tambié usa las series e otro modo, tal como veremos e la secció.. E el estudio de feómeos ta diversos como la óptica, relatividad especial y electromagetismo, los físicos aaliza los feómeos reemplazádolos primero por uos cuatos térmios de las series que los represeta. 689

2 690 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. Sucesioes Ua sucesió se puede pesar como ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a, a, a 4,...,a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a es el segudo térmio y, e geeral, a es el -ésimo térmio. Aquí tratamos eclusivamete co sucesioes ifiitas, por lo que cada térmio a tiee u sucesor a. Observe que para todo etero positivo hay u úmero correspodiete a, por lo que ua sucesió se puede defiir como ua fució cuyo domiio es el cojuto de eteros positivos. Pero usualmete escribimos a e lugar de la otació de fució f () para el valor de la fució e el úmero. NOTACIÓN La sucesió a, a, a,... tambié se deota mediate a o a EJEMPLO Alguas sucesioes se puede defiir dado ua fórmula para el -ésimo térmio. E los ejemplos siguietes se ofrece tres descripcioes de la sucesió: ua e la que se aplica la otació aterior, e otra se aplica ua fórmula defiida y e la tercera se escribe los térmios de la sucesió. Observe que la o tiee que empezar e. a) a,, 4, 4 5,...,,... b) c) a, 9, 4 7, 5 8,...,,... {s } a s, {0,, s, s,..., s,...} d) cos p 6 0 a cos p s, 0, 6,, 0,..., cos p 6,... v EJEMPLO Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió 5, 4 5, 5 5, 6 65, 7 5,... y supoga que el patró de los primeros térmios cotiúa. SOLUCIÓN Sabemos que a 5 a 4 5 a 5 5 a a Observe que los umeradores de estas fraccioes empieza co y se icremeta ua uidad al pasar al siguiete térmio. El segudo térmio tiee umerador 4, el siguiete umerador es 5; e geeral, el -ésimo térmio tedrá como umerador. Los deomiadores so las potecias de 5, de modo que a tiee por deomiador 5. El

3 SECCIÓN. SUCESIONES 69 sigo de los térmios es alteradamete positivo y egativo, por lo que es ecesario multiplicar por ua potecia de. E el ejemplo b) el factor () sigifica que empieza co u térmio egativo. Como aquí se busca iiciar co u térmio positivo, usamos (), o bie (). Por tato a 5 EJEMPLO E este caso hay alguas sucesioes que o tiee ua ecuació que las defia e forma simple. a) La sucesió p, dode p es la població mudial el de eero del año. b) Sea a el -ésimo dígito e la epasió decimal del úmero e, etoces a es ua sucesió bie defiida cuyos primeros térmios so 7,, 8,, 8,, 8,, 8, 4, 5, c) Las codicioes siguietes defie e forma recursiva la sucesió de Fiboacci f f f f f f Cada uo de los térmios es la suma de los dos ateriores. Los primeros térmios so,,,, 5, 8,,, Esta sucesió surgió cuado el matemático italiao del siglo iii, a quie se cooce como Fiboacci, resolvió u problema que se relacioaba co la cría de coejos (véase ejercicio 8). 0 FIGURA a a a a Ua sucesió como la del ejemplo a), a ( ), se puede represetar dibujado sus térmios e ua recta umérica como e la figura, o trazado la gráfica como e la figura. Observe que, como ua sucesió es ua fució cuyo domiio es el cojuto de los eteros positivos, su gráfica costa de putos aislados co coordeadas, a, a, a..., a... a 7 a = 8 De acuerdo co las figuras o, parece que los térmios de la sucesió a ( ) se aproima a cuado es suficietemete grade. De hecho, la diferecia FIGURA se puede hacer ta pequeña como se quiera al icremetar suficietemete. Lo aterior se idica escribiedo lím l E geeral, la otació lím a L l sigifica que los térmios de la sucesió a se aproima a L cuado se icremeta suficietemete. Observe que la defiició siguiete del límite de ua sucesió es muy parecida a la defiició de límite de ua fució e el ifiito dada e la secció.6.

4 69 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Defiició Ua sucesió a tiee el límite L y lo epresamos como lím a L o a l L cuado l l si podemos hacer que los térmios a se aproime a L tato como se quiera tomado lo suficietemete grade. Si lím l a eiste, se dice que la sucesió coverge (o que es covergete). De lo cotrario, se dice que la sucesió diverge (o es divergete). E la figura se ilustra la defiició mostrado las gráficas de dos sucesioes que tiee como límite L. a a FIGURA Gráficas de dos sucesioes co lím a =L L 0 L 0 Ua versió más precisa de la defiició es como sigue. Defiició Ua sucesió a tiee el límite L y lo epresamos como Compare esta defiició co la defiició.6.7. lím a L l o bie a l L cuado l si para todo 0 hay u correspodiete etero N tal que si N etoces a L La defiició se ilustra mediate la figura 4, e la cual los térmios a, a, a, se localiza sobre ua recta umérica. No importa qué ta pequeño se elija u itervalo (L, L ), eiste ua N tal que todos los térmios de la sucesió desde a N e adelate debe estar e ese itervalo. FIGURA 4 Otra ilustració de la defiició es la figura 5. Los putos sobre la gráfica de a debe estar etre las rectas horizotales y L y y L si N. Esta image debe ser válida, si importar qué ta pequeño se haya escogido, pero usualmete se requiere u valor de mucho muy pequeño y u valor de N mucho muy grade. y L y=l+ y=l- FIGURA N

5 SECCIÓN. SUCESIONES 69 Si comparamos la defiició co la defiició.6.7 veremos que la úica diferecia etre lím l a L y lím l f L es que se requiere que sea u etero. E este setido se tiee el siguiete teorema, ilustrado e la figura 6. Teorema Si lím l f L y f a cuado es u etero, etoces lím l a L. y y=ƒ L FIGURA E particular, puesto que ya sabemos que lím l r 0, cuado r 0 (teorema.6.5), se tiee 4 lím si r 0 r 0 l Si a es muy grade cuado es muy grade, usamos la otació lím l siguiete defiició precisa es parecida a la defiició.6.9. a. La 5 Defiició lím l a etero N tal que sigifica que para todo úmero positivo M eiste u si N etoces a M Si lím l a, etoces la sucesió a es divergete pero de ua maera especial. Se dice que a diverge a. Las leyes de los límites dadas e la secció. tambié se cumple para los límites de sucesioes y sus demostracioes so similares. Leyes de los límites para las sucesioes Si a y b so sucesioes covergetes y c es ua costate, etoces lím a b lím a lím l l l lím a b lím a lím l l l b b lím ca c lím a lím c c l l l lím a b lím a lím l l l b lím l a b lím a l lím b l si lím b 0 l lím a p lím l l a p si p 0 ad a 0

6 694 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS El teorema de la compresió tambié se puede adaptar a las sucesioes como sigue (véase figura 7). El teorema de la compresió para sucesioes Si a b c para 0 y lím a lím c L, etoces lím b L. l l l c Otro hecho útil respecto a los límites de sucesioes se evidecia e el teorema siguiete cuya demostració se deja para el ejercicio 87. b a 0 FIGURA 7 La sucesió b está comprimida etre las sucesioes a y c. 6 Teorema Si lím a 0, etoces lím a 0. l l EJEMPLO 4 Determie lím l. SOLUCIÓN El método es similar al que usamos e la secció.6: dividir tato el umerador como el deomiador etre la potecia más alta de del deomiador y luego aplicar las leyes de los límites. lím l lím l lím l lím lím l l Esto demuestra que la cojetura que hicimos ates a partir de las figuras y era correcta. 0 Aquí usamos la ecuació 4 co r. EJEMPLO 5 La sucesió a s0, es covergete o divergete? SOLUCIÓN Como e el ejemplo 4, dividimos el umerador y el deomiador etre : lím l s0 lím l 0 porque el umerador es ua costate y el deomiador se aproima a cero, así que a es divergete. EJEMPLO 6 Determie lím l l. SOLUCIÓN Observe que tato el umerador como el deomiador tiede a ifiito cuado l. No se puede aplicar directamete la regla de l Hospital porque o se aplica a sucesioes, sio a fucioes de ua variable real. Si embargo, se puede aplicar la regla de l Hospital a la fució relacioada f () (l ) y obteer lím l l lím l 0 Por tato, de acuerdo co el teorema lím l l 0

7 SECCIÓN. SUCESIONES 695 a 0 4 _ FIGURA 8 La gráfica de la sucesió del ejemplo 8 se muestra e la figura 9 y apoya uestra respuesta. a _ 0 FIGURA 9 EJEMPLO 7 Determie si la sucesió a () es covergete o divergete. SOLUCIÓN Si escribimos alguos térmios de la sucesió obteemos,,,,,,, La gráfica de esta sucesió se muestra e la figura 8. Como los térmios oscila etre y e forma ifiita, a o se aproima a igú úmero. Por tato, lím l o eiste; la sucesió () es divergete. EJEMPLO 8 Evalúe lím l si éste eiste. SOLUCIÓN Primero calculamos el límite del valor absoluto: lím l Por tato, de acuerdo co el teorema 6, lím l lím l El siguiete teorema dice que si acoplamos ua fució cotiua a los térmios de ua sucesió covergete, el resultado tambié es covergete. La demostració se deja para el ejercicio Teorema Si lím a L y la fució f es cotiua e L, etoces l lím f a f L l Creado gráficas de sucesioes Alguos sistemas algebraicos computarizados cotiee comados especiales que permite crear sucesioes y dibujarlas directamete. Si embargo, co la mayoría de las calculadoras para trazar gráficas se puede dibujar sucesioes usado ecuacioes paramétricas. Por ejemplo, la sucesió del ejemplo 0 se puede dibujar itroduciedo las ecuacioes paramétricas t y t!t t y dibujado e el modo puto (dot mode), iiciado co t ; se establece el t-ésimo paso igual a. El resultado se muestra e la figura 0. EJEMPLO 9 Ecuetre lím se p. l SOLUCIÓN Como la fució seo es cotiua e 0, el teorema 7 os permite escribir lím se p se lím l l p se 0 0 v EJEMPLO 0 Aalice la covergecia de la sucesió a!, dode!????. SOLUCIÓN Tato umerador como deomiador se aproima al ifiito cuado l, pero o cabe utilizar la regla de l Hospital (! o está defiida cuado o es u úmero etero). Escribamos alguos térmios para ver si es posible ituir qué pasa co a cuado es muy grade: 8 a a a a 0 FIGURA 0 0 Esta epresió y la gráfica de la figura 0 sugiere que los térmios está decreciedo y parece aproimarse a cero. Para cofirmar esto, observe de la ecuació 8 que a

8 696 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Observe que la epresió etre parétesis es a lo más porque el umerador es meor que (o igual) al deomiador. Así que 0 a Sabemos que l 0 cuado l, así que a l 0 cuado l por el teorema de la compresió. v EJEMPLO Para qué valores de r es covergete la sucesió r? SOLUCIÓN Sabemos, por la secció.6 y las gráficas de las fucioes epoeciales de la secció.5, que lím l a para a y lím l a 0 para 0 a. Por tato, si hacemos a r y usamos el teorema teemos Es obvio que lím r l 0 lím y l si r si 0 r lím 0 0 l Si r 0, etoces 0 r, de modo que lím r lím r 0 l l y, por tato, lím l r 0 de acuerdo co el teorema 6. Si r, etoces r diverge como e el ejemplo 7. E la figura se ilustra las gráficas de varios valores de r. (El caso de r se muestra e la figura 8.) a a r> r= 0 _<r<0 FIGURA La sucesió a =r 0 0<r< r<_ Los resultados del ejemplo se resume para uso futuro como sigue: 9 La sucesió r es covergete si r y divergete para todos los otros valores de r. lím l r 0 si r si r 0 Defiició Ua sucesió a se llama creciete si a a, para toda, es decir, a a a. Si a a para toda se deomia decreciete. Ua sucesió es moótoa si es creciete o decreciete.

9 SECCIÓN. SUCESIONES 697 EJEMPLO La sucesió 5 es decreciete porque El lado derecho es meor porque tiee u deomiador mayor. 5 y, por tato, a a, para toda. 5 6 EJEMPLO Demuestre que la sucesió a SOLUCIÓN Debemos demostrar que a a, es decir, es decreciete. Esta desigualdad es equivalete a la obteida por multiplicació cruzada: &? &? &? Puesto que, sabemos que la desigualdad es verdadera. Por tato, a a y tambié que a es decreciete. SOLUCIÓN Cosidere la fució f : f 0 siempre que E estos térmios, f es decreciete sobre (, ) así que f () f ( ), por tato a es decreciete. Defiició Ua sucesió a está acotada por arriba si eiste u úmero M tal que a M para toda Está acotada por abajo si eiste u úmero m tal que m a para toda Si está acotada por arriba y por abajo, etoces a es ua sucesió acotada. Por ejemplo, la sucesió a está acotada por abajo (a 0), pero o por arriba. La sucesió a ( ) está acotada porque 0 a para toda. Sabemos que o toda sucesió acotada es covergete [por ejemplo, la sucesió a () satisface a, pero es divergete del ejemplo 7] y o toda

10 698 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS sucesió moótoa es covergete (a l ). Pero si ua sucesió es tato acotada como moótoa, etoces tiee que ser covergete. Este hecho se demuestra e la forma del teorema, pero ituitivamete se etiede por qué es cierto viedo la figura. Si a es creciete y a M para toda, etoces los térmios está forzados a jutarse y aproimarse a u úmero L. a M L FIGURA 0 La demostració del teorema se apoya e el aioma de completez para el cojuto de los úmeros reales, que dice que si S es u cojuto o vacío de úmeros reales que tiee ua cota superior M ( M para toda e S), etoces S tiee ua míima cota superior b. (Esto sigifica que b es ua cota superior para S, pero si M es cualquier otra cota superior, etoces b M.) El aioma de completez epresa el hecho de que la recta de los úmeros reales o tiee brechas o agujeros. Teorema de la sucesió moótoa Toda sucesió acotada y moótoa es covergete. DEMOSTRACIÓN Supoga que a es ua sucesió creciete. Puesto que a está acotada, el cojuto S a posee ua cota superior. De acuerdo co el aioma de completez, tiee ua míima cota superior L. Dado 0, L o es ua cota superior para S (puesto que L es la míima cota superior). Por tato, a N L para algú etero N Pero la sucesió es creciete de modo que a a N para toda N. E estos térmios, si N a L de maera que puesto que a L. Así que, 0 L a L a siempre que N así que lím l a L. Ua demostració similar (aplicado la máima cota iferior) fucioa si a es decreciete. La demostració del teorema demuestra que ua sucesió que es creciete y acotada por arriba es covergete. (De igual maera, ua sucesió decreciete que está acotada por abajo es covergete.) Este hecho se aplica muchas veces al trabajar co series ifiitas.

11 SECCIÓN. SUCESIONES 699 EJEMPLO 4 Ivestigue la sucesió a defiida por la relació recursiva a a a 6 para,,,... SOLUCIÓN Para empezar se calcula los primeros térmios: a a 6 4 a a a a a a a Co frecuecia, la iducció matemática se aplica cuado se trabaja co sucesioes recursivas. Véase págia 76 dode se ecuetra u aálisis del pricipio de iducció matemática. Estos térmios iiciales hace pesar que la sucesió es creciete y que los térmios se aproima a 6. Para cofirmar que la sucesió es creciete, utilizamos iducció matemática para demostrar que a a para toda. Esto es cierto para porque a 4 a. Si supoemos que se cumple para k, etoces teemos a k a k de modo que a k 6 a k 6 y a k 6 a k 6 Por esto a k a k Ya se dedujo que a a es cierta para k. Por tato, la desigualdad se cumple para toda por iducció. Luego de verificar que a está acotada demostrado que a 6 para toda. (Puesto que la sucesió es creciete, sabemos que tiee ua cota iferior: a a para toda.) Sabemos que a 6, de modo que la aseveració es cierta para. Supogamos que se cumple para k. Etoces a k 6 de este modo a k 6 y a k 6 6 Así que a k 6 Esto demuestra, por iducció matemática, que a 6 para toda. Como la sucesió a es creciete y acotada, el teorema garatiza que tiee u límite. El teorema o dice cuál es el valor del límite, pero ahora que sabemos que L lím l a eiste, podemos aplicar la relació recursiva para escribir lím a lím a 6 l l ( lím a 6 l ) L 6 E el ejercicio 70 se pide ua demostració de este hecho. Como a l L, se ifiere igualmete que a l L (tambié cuado l, l ). De este modo teemos L L 6 Al resolver esta ecuació para L, determiamos que L 6, tal como se había predicho.

12 700 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. Ejercicios. a) Qué es ua sucesió? b) Qué sigifica decir que lím l a 8 c) Qué sigifica decir que lím l a??. a) Qué es ua sucesió covergete? Dé dos ejemplos. b) Qué es ua sucesió divergete? Dé dos ejemplos. - Liste los primeros cico térmios de la sucesió. a..5 a.7 a! 9. a, 5 a 5a a.4.6 a cos p a.8! -56 Determie si la sucesió coverge o diverge. Si coverge, ecuetre el límite.. a 0..4 a 5 5. a 6. a.7 a e.8 a a.9 ta p 8. a s a 9. a e 0. a 6,. a, a a a a a a. s.4 a s.5 a cos.6 a cos. a, a, a a a.7!!.8 l l -8 Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió, supoiedo que se matega el patró de los primeros térmios..9 e e e a.04 ta {,, 5, 7, 9,...},, 9,,, 7, 8,... 4, 8 9, 6 7,... 5, 8,, 4, 7,..., 4, 9 4, 6 5, 5 6,..., 0,, 0,, 0,, 0, Calcule, co ua aproimació de cuatro decimales, los primeros diez térmios de la sucesió y úselos para graficar a mao la sucesió. Parece teer límite la sucesió? Si es así, calcúlelo. Si o, eplique por qué. a a 4. e 4. a l l cos 4. a 44. a s.54 a se.64 a cos p.74 a 49. a l l l 50. a 5. a 5. a s s arcta l a.84 se s. a ( ). a ,, 0, 0,, 0, 0, 0,,... {,,, 4,, 5, 4, 6,...} Se requiere calculadora graficadora o computadora. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

13 SECCIÓN. SUCESIONES 70!.5a.65 a! 57-6 Co la ayuda de ua gráfica de la sucesió, establezca si ésta es covergete o divergete. Si la sucesió es covergete, cojeture el valor del límite a partir de la gráfica y luego demuestre su cojetura. (Vea la ota al marge de la págia 695 relacioada co la advertecia sobre las gráficas de sucesioes.) a e.85 a s se( p s).95 a 8 a cos a 5! a 5.06 a s a) Determie si la sucesió defiida como sigue es covergete o divergete: a a 4 a para b) Qué ocurre si el primer térmio es a? 65. Si se ivierte 000 dólares a 6% de iterés compuesto aualmete, etoces años después la iversió tiee u valor de a 000(.06) dólares. a) Determie los primeros cico térmios de la sucesió a. b) La sucesió es covergete o divergete? Eplique. 66. Si se deposita 00 dólares al fial de cada mes e ua cueta que paga % de iterés al año capitalizado mesualmete, la catidad de iterés acumulado después de meses está dada por la sucesió I a) Ecuetre los primeros seis térmios de la sucesió. b) Cuáto iterés habrá obteido después de dos años? 67. E ua graja piscícola se tiee bagres e su estaque de crías. El úmero de bagres aumeta e 8% al mes y el productor cosecha 00 bagres al mes. a) Demuestre que la població P de bagres después de meses está dada periódicamete por P.08P 00 P b) Cuátos bagres hay e el estaque después de seis meses? 68. Determie los primeros 40 térmios de la sucesió defiida por a a a si a es u úmero par si a es u úmero impar y a. Haga lo mismo si a 5. Cojeture respecto al tipo de sucesió. 69. Para qué valores de r coverge la sucesió r? 70. a) Si a es covergete, demuestre que lím a lím l a l b) Ua sucesió a se defie por a y a ( a ) para. Si supoemos que a es covergete, calcule su límite. 7. Supoga que sabemos que a es ua sucesió decreciete y que todos sus térmios está etre los úmeros 5 y 8. Eplique por qué la sucesió tiee u límite. Qué puede decir respecto al valor del límite? 7-78 Determie si la sucesió es creciete, decreciete o es o moótoa. Está acotada la sucesió? 7. a 7. a a.67 a e a Ecuetre el límite de la sucesió.87 a 4 a {s, ss, sss,...} 80. Ua sucesió a está dada por a s a s a. a) Mediate iducció u otro método, demuestre que a es creciete y que su cota superior es. Aplique el teorema de sucesió moótoa para demostrar que lím l a eiste. b) Determie lím l a. 8. Demuestre que la sucesió defiida por a a es creciete y a para toda. Deduzca que a es covergete y ecuetre su límite. 8. Demuestre que la sucesió defiida por a a a a satisface 0 a y es decreciete. Deduzca que la sucesió es covergete y ecuetre su límite.

14 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 8. a) Fiboacci plateó el problema siguiete: Supoga que los coejos vive toda la vida, que cada mes todas las parejas tiee u uevo par de coejitos, los cuales empieza a ser productivos a la edad de dos meses. Si empieza co ua pareja de recié acidos, cuátas parejas de coejos tedrá e el -ésimo mes? Demuestre que la respuesta es f, dode f es la sucesió de Fiboacci que se defie e el ejemplo c). b) Sea a f f demuestre que a a. Supoiedo que a es covergete, determie su límite. 84. a) Sea a a, a f (a), a f (a ) f ( f (a)),..., a f (a ), dode f es ua fució cotiua. Si lím l a L, demuestre que f (L) L. b) Ilustre el iciso a) haciedo f () cos, a, y estimado el valor de L co ua aproimació de cico cifras decimales. 85. a) Mediate ua gráfica, deduzca el valor del límite lím l 5! b) Co ua gráfica de la sucesió del iciso a) calcule los valores más pequeños de N que correspode a 0. y 0.00 e la defiició. 86. Aplique directamete la defiició para demostrar que lím l r 0 cuado r. 87. Demuestre el teorema 6. [Sugerecia: utilice la defiició o el teorema de la compresió.] 88. Demuestre el teorema Demuestre que si lím l a 0 y b es acotada, etoces lím l a b Sea a. a) Demuestre que si 0 a b, etoces b a b a b b) Deduzca que b ( )a b a. c) Utilice a ( ) y b del iciso b) para demostrar que a es creciete. d) Use a y b () e el iciso b) para demostrar que a 4. e) Mediate los icisos c) y d) demuestre que a 4 para toda. f ) Utilice el teorema para demostrar que lím l eiste. (El límite es e. Véase la ecuació.6.6.) 9. Sea a y b úmeros positivos co a b. Sea a la media aritmética y b la media geométrica: a a b b sab Repita el proceso de modo que, e geeral a a b b sa b a) Mediate la iducció matemática demuestre que a a b b b) Deduzca que tato a como b so covergetes. c) Demuestre que lím l a lím l b. Gauss llamó al valor comú de estos límites la media aritméticageométrica de los úmeros a y b. 9. a) Demuestre que si lím l a L y lím l a L etoces a es covergete y lím l a L. b) Si a y a, a calcule los primeros ocho térmios de la sucesió a. Luego use el iciso a) para demostrar que lím l a s. Esto da el desarrollo e fracció cotiua s 9. El tamaño de ua població ialterada de peces se ha modelado mediate la fórmula bp p a p dode p es la població de peces después de años, y a y b so costates positivas que depede de las especies y su medio ambiete. Supoga que la població e el año 0 es p 0 0. a) Demuestre que si p es covergete, etoces los úicos valores posibles de este límite so 0 y b a. b) Demuestre que p (ba)p. c) Mediate el iciso b) demuestre que si a b, etoces lím l p 0; e otras palabras, la població muere. d) Ahora supoga que a b. Demuestre que si p 0 b a, etoces p es creciete y 0 p b a. Demuestre que si p 0 b a, etoces p es decreciete y p b a. Deduzca que si a b, etoces lím l p b a.

15 SECCIÓN. SERIES 70 PROYECTO DE LABORATORIO SAC SUCESIONES LOGÍSTICAS Ua sucesió que surge e ecología como u modelo para el crecimieto poblacioal se defie por medio de la ecuació logística e diferecias p kp ( p ) dode p mide el tamaño de la població de la -ésima geeració de ua sola especie. Para mateer maejables los úmeros, p es ua fracció del tamaño máimo de la població, de modo que 0 p. Observe que la forma de la ecuació es similar a la ecuació diferecial logística de la secció 9.4. El modelo discreto, co sucesioes e lugar de fucioes cotiuas, es preferible para modelar las poblacioes de isectos, dode el apareamieto y la muerte ocurre de u modo periódico. U ecologista se iteresa e predecir el tamaño de la població a medida que el tiempo avaza, y platea estas pregutas: se estabilizará e u valor límite?, cambiará de maera cíclica?, o bie, mostrará u comportamieto aleatorio? Escriba u programa para calcular los primeros térmios de esta sucesió co ua població iicial p 0, dode 0 p 0. Co este programa efectúe lo siguiete:. Calcule 0 o 0 térmios de la sucesió para p 0 y para dos valores de k tales que k. Grafique cada sucesió. Parece coverger? Repita para u valor distito de p 0 etre 0 y. El límite depede del valor elegido de p 0? Depede del valor elegido de k?. Calcule térmios de la sucesió para u valor de k etre y.4 y dibújelos. Qué observa co respecto al comportamieto de los térmios?. Eperimete co valores de k etre.4 y.5. Qué sucede co los térmios? 4. Para valores de k etre.6 y 4, calcule y dibuje por lo meos 00 térmios y comete el comportamieto de la sucesió. Qué sucede si cambia p 0 por 0.00? Este tipo de comportamieto se llama caótico y lo muestra poblacioes de isectos bajo ciertas codicioes. SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Series El actual récord de ha sido calculado co decimales (más de dos trilloes) de lugares decimales por T. Daisuke y su equipo. A qué os referimos cuado epresamos u úmero como decimal ifiito? Por ejemplo, qué sigifica escribir p La coveció que hay detrás de uestra otació decimal es que cualquier úmero se puede escribir como ua suma ifiita. Aquí, el sigificado es que p dode los putos suspesivos (...) idica que la suma cotiúa por siempre y que cuatos más térmios agreguemos, estaremos más cerca del valor verdadero de.

16 704 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS E geeral, si tratamos de sumar los térmios de ua sucesió ifiita a, obteemos ua epresió de la forma a a a a que se deomia serie ifiita (o sólo serie) y se deota co el símbolo a o a Pero, tiee setido hablar de suma de u ifiito de térmios? Sería imposible ecotrar la suma fiita de la serie 4 5 Suma de los primeros térmios porque si empezamos a sumar los térmios, obteemos sumas acumulativas,, 6, 0, 5,,... y después del -ésimo térmio, llegamos a ( ), lo cual resulta muy grade cuado se icremeta. Si embargo, si empezamos por sumar los térmios de la serie obteemos, 4, 8, 6,, 64,...,,... E la tabla se puede ver que cuado se suma más y más térmios, estas sumas parciales se vuelve más y más cercaas a. (Véase tambié la figura e u Previo al cálculo e la págia 6.) De hecho, al sumar suficietes térmios de la serie es posible hacer que las sumas parciales sea ta cercaas a como se quiera. Así que es razoable decir que la suma de esta serie ifiita es igual a y escribir Usaremos ua idea similar para determiar si ua serie geeral tiee o o tiee suma. Cosideremos las sumas parciales s a s a a s a a a y, e geeral, s 4 a a a a 4 s a a a a a i i Estas sumas parciales forma ua ueva sucesió s, la cual puede teer o o teer u límite. Si lím l s s eiste (como u úmero fiito), etoces, como e el ejemplo aterior, se llama suma de la serie ifiita a.

17 SECCIÓN. SERIES 705 Defiició Dada ua serie a a a a, suma parcial: sea s la -ésima s i a i a a a Si la sucesió s es covergete y lím l s s eiste como u úmero real, etoces la serie a se dice covergete y se escribe a a a s o a s El úmero s se llama suma de la serie. Si la sucesió s es divergete, etoces la serie es divergete. Compare co la itegral impropia y f d lím t l y t f d Para determiar esa itegral se itegra desde hasta t y después se hace que t l. E el caso de series, se suma desde hasta y después se hace que l. Así, la suma de ua serie es el límite de la sucesió de sumas parciales. Así, cuado escribimos a s, queremos decir que al sumar suficietes térmios de la serie podemos llegar ta cerca como queramos al úmero s. Observe que EJEMPLO serie a a lím a i l i Supogamos que sabemos que la suma de los primeros térmios de la es s a a a 5 Etoces la suma de la serie es el límite de la sucesió s : a lím s lím l l 5 lím l 5 E el ejemplo estamos dado ua epresió para la suma de los primeros térmios, pero usualmete o es fácil ecotrar tal epresió. Si embargo, e el ejemplo, os topamos co ua famosa serie para la cual podemos ecotrar ua fórmula eplícita para s. EJEMPLO U importate ejemplo de ua serie ifiita es la serie geométrica a ar ar ar ar ar a 0 Cada térmio se obtiee a partir del térmio precedete multiplicádolo por la razó comú r. (Ya hemos cosiderado el caso especial cuado a y r de la págia 704.) Si r, etoces s a a??? a a l. Puesto que lím l s o eiste, la serie geométrica diverge e este caso. Si r, teemos s a ar ar ar y rs ar ar ar ar

18 706 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La figura proporcioa ua demostració geométrica del resultado del ejemplo. Si los triágulos se costruye como se idica y s es la suma de la serie, etoces, por triágulos semejates s a a a ar a-ar por lo que s ar ar@ ar# ar@ ar a r s Al restar estas ecuacioes obteemos s rs a ar s a r r Si r, sabemos de (..9) que r l 0 cuado l, así que lím s a r lím l l r a r a r lím r a l r Así, cuado r, la serie geométrica es covergete y su suma es a( r). Si r o bie, r, la sucesió r es divergete de acuerdo co (..9) y de ese modo, segú la ecuació, lím l s o eiste. Por tato, la serie geométrica diverge e esos casos. a a Los resultados del ejemplo se resume como: 4 La serie geométrica FIGURA a es covergete si r y su suma es ar a ar ar E palabras: la suma de ua serie geométrica covergete es primer térmio razó comú ar a r Si r, la serie geométrica es divergete. r v EJEMPLO Calcule la suma de la serie geométrica SOLUCIÓN El primer térmio es a 5 y la razó comú es r la serie es covergete por 4 y su suma es. Como r, ( ) 5 5 Qué se quiere realmete decir cuado afirmamos que la suma de la serie del ejemplo es? Naturalmete, o podemos sumar u ifiito de térmios uo más uo. Pero, de acuerdo co la defiició, la suma total es el límite de la sucesió de sumas parciales. De este modo, al efectuar la suma de suficietes térmios, os acercamos tato como queramos al úmero. La tabla muestra las primeras diez sumas parciales s y e la gráfica de la figura se ilustra cómo la sucesió de las sumas parciales se aproima a. s s 0 0 FIGURA

19 SECCIÓN. SERIES 707 EJEMPLO 4 La serie, es covergete o divergete? SOLUCIÓN Escribamos el -ésimo térmio de la serie e la forma ar : Otra maera de idetificar a y r es escribir los primeros térmios Idetificamos esta serie como ua serie geométrica co a 4 y r serie diverge, de acuerdo co 4. 4( 4 ) 4. Como r, la v EJEMPLO 5 Escribimos el úmero como ua razó de eteros SOLUCIÓN Después del primer térmio teemos ua serie geométrica co a 70 y r 0. Debido a esto, EJEMPLO 6 Ecuetre la suma de la serie 0, dode. SOLUCIÓN Observe que esta serie iicia co 0 y por eso el primer térmio 0. (E las series, se adopta la coveció de que 0 au cuado 0.) De este modo, TEC E Module. se eplora ua serie que depede de u águlo e u triágulo y permite ver qué ta rápido coverge la serie cuado varía. 4 0 Ésta es ua serie geométrica co a y r. Puesto que r, coverge, y de acuerdo co 4 se tiee 5 0 EJEMPLO 7 Demuestre que la serie es covergete, y determie su suma. SOLUCIÓN Ésta o es ua serie geométrica, de modo que regresamos a la defiició de ua serie covergete y calculamos las sumas parciales. s i ii 4 Esta epresió se puede simplificar utilizado la descomposició e fraccioes parciales ii i i

20 708 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Observe que los térmios se cacela por pares. Éste es u ejemplo de ua suma telescópica. Debido a las cacelacioes, la suma se colapsa (tal y como se colapsa los telescopios de los piratas), justamete e dos térmios. (Véase la secció 7.4.) Así teemos que, s i ii i i i E la figura se ilustra el ejemplo 7 y se muestra la gráfica de la sucesió de térmios a ( ) y la sucesió s de sumas parciales. Observe que a l 0 y s l. Véase los ejercicios 76 y 77, e dode se trata dos iterpretacioes geométricas del ejemplo 7. 4 hs j y de este modo lím s lím l Por tato, la serie dada es covergete y l 0 ha j 0 v EJEMPLO 8 Demuestre que la serie armóica FIGURA es divergete. SOLUCIÓN Para esta serie particular, es coveiete cosiderar las sumas parciales s, s 4, s 8, s 6, s,... y demostrar que se hace muy grades. 4 s s 4 s 8 s 6 ( ( ( 4 ( ( 4 4 ) 4 ) ( 5 4 ) ( 8 4 ) ( 5 4 ) ( 8 ( ) 8 ) 8 ) 8 ) ( 9 8 ) ( 6 6 ) 6 ) E forma similar, s 5, s64 6, y, e geeral s El método usado e el ejemplo 8 para demostrar que la serie armóica diverge es origial del fracés Nicole Oresme (-8). Esto demuestra que s l cuado l y por eso s es divergete. Debido a eso, la serie armóica diverge. 6 Teorema Si la serie a es covergete, etoces lím a 0. l

21 SECCIÓN. SERIES 709 DEMOSTRACIÓN Sea s a a a. Etoces, a s s. Puesto que a es covergete, la sucesió s es covergete. Sea lím l s s. Como l cuado l, tambié se tiee lím l s s. Por tato, lím a lím s s lím s lím l l l s s 0 l s NOTA Co cualquier serie a se asocia dos sucesioes: la sucesió s de sus sumas parciales y la sucesió a de sus térmios. Si a es covergete, etoces el límite de la sucesió s es s (la suma de la serie) y, como establece el teorema 6, el límite de la sucesió a es 0. NOTA E geeral, el iverso del teorema 6 o se cumple. Si lím l a 0, o podemos cocluir que a es covergete. Observe que para la serie armóica teemos a l cuado l, pero ya demostramos e el ejemplo 8 que es divergete. a l 7 La prueba de la divergecia Si lím serie a es divergete. o eiste o si lím a 0, etoces la l La prueba de la divergecia se ifiere del teorema 6 porque si la serie o es divergete, etoces es covergete y, por tato, lím l a 0. EJEMPLO 9 SOLUCIÓN Demuestre que la serie lím a lím l lím l l es divergete De modo que la serie diverge de acuerdo co la prueba de la divergecia. NOTA Si ecotramos que lím l a 0, sabemos que a es divergete. Si tiee que lím l a 0, ada sabemos co respecto a la covergecia o la divergecia de a. Recuerde la advertecia de la ota : si lím l a 0, la serie a podría ser covergete o divergete. 8 Teorema Si a y b so series covergetes, etoces tambié lo so las series ca (dode c es ua costate), (a b ) y (a b ), y )i ca c a )i a b a b iii) a b a b Estas propiedades de las series covergetes se ifiere de las leyes de los límites correspodietes a las sucesioes de la secció.. Por ejemplo, aquí se demuestra la parte ii) del teorema 8: Sea s a i s a t b i t b i i

22 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La -ésima suma parcial de la serie (a b ) es u i a i b i y, usado la ecuació 5..0, teemos lím u lím l l a i b i lím i l lím a i lím b i l i l i lím s lím t s t l l Por tato, (a b ) es covergete y su suma es a i i b i i a b s t a b EJEMPLO 0 Determie la suma de la serie. SOLUCIÓN La serie es ua serie geométrica co a y r, de modo que E el ejemplo 7 ecotramos que Así, por el teorema 8, la serie dada es covergete y 4 NOTA 4 Ua catidad fiita de térmios o afecta la covergecia o divergecia de ua serie. Por ejemplo, supogamos que somos capaces de demostrar que la serie es covergete. Puesto que se ifiere que toda la serie es covergete. Asimismo, si sabemos que la serie N a es covergete, etoces toda la serie es tambié covergete. a N a a N

23 SECCIÓN. SERIES 7. Ejercicios. a) Cuál es la diferecia etre ua sucesió y ua serie? b) Qué es ua serie covergete? Qué es ua serie divergete?. Eplique qué sigifica decir que a Calcule la suma de la serie a cuyas sumas parciales está dadas..s s Calcule los primeros ocho térmios de la sucesió de sumas parciales co ua aproimació de cuatro decimales. Las series apareta que coverge o diverge? s l! 9-4 Ecuetre por lo meos 0 sumas parciales de las series. Grafique tato la sucesió de los térmios como la sucesió de las sumas parciales e la misma patalla. Cómo parece ser la serie, covergete o divergete? Si es covergete, determie la suma. Si es divergete, eplique por qué s 4 s cos s 5. Sea a. a) Determie si a es covergete. b) Determie si a es covergete. 6. a) Eplique la diferecia etre a i i b) Eplique la diferecia etre a i i y y a j j a j i 7-6 Determie si la serie geométrica es covergete o divergete. Si es covergete, calcule la suma p (s ) e 7-4 Determie si la serie es covergete o divergete. Si es covergete, ecuetre su suma k arcta s l k p k e.8 k.4 k k k ( ) cos k Determie si la serie es covergete o divergete al epresar s como suma telescópica (como e el ejemplo 7). Si es covergete, ecuetre su suma e l cos cos (e e ) Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

24 7 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 49. Sea a) Qué piesa usted, que o que? b) Sume ua serie geométrica para determiar el valor de. c) Cuátas represetacioes decimales tiee el? d) Cuáles úmeros tiee más de ua represetació decimal? 50. Ua sucesió de térmios está defiida por Calcule a. a 0 a (5 )a 5-56 Eprese el úmero como ua razó de eteros Calcule los valores de para los cuales la serie coverge. Determie la suma de la serie para dichos valores de e se 64. Hemos visto que ua serie armóica es ua serie divergete cuyos térmios se aproima a 0. Demuestre que l es otra serie co esta propiedad. SAC Utilice el comado de las fraccioes parciales e su sistema algebraico computarizado para ecotrar ua epresió coveiete para la suma parcial, y luego use esta epresió para ecotrar la suma de la serie. Compruebe su respuesta usado directamete el sistema algebraico a la suma de la serie Si la -ésima suma parcial de ua serie a es determie a y a. s 68. Si la -ésima suma parcial de ua serie a es s, determie a y a. 69. U paciete toma 50 mg de ua droga a la misma hora cada día. Justo ates de tomar cada tableta, 5% de la droga permaece e el cuerpo. a) Qué catidad de la droga está e el cuerpo después de la tercera tableta? Después de la -ésima tableta? b) Qué catidad de la droga queda e el cuerpo a largo plazo? 70. Después de la iyecció de ua dosis D de isulia, la cocetració de isulia e u sistema del paciete decae epoecialmete, así que puede epresarse como De at, dode t represeta el tiempo e horas y a es ua costate positiva. a) Si la dosis D se iyecta cada T horas, escriba ua epresió para la suma de la cocetració residual justo ates de la ( )-ésima iyecció. b) Determie la cocetració límite ates de iyectar. c) Si la cocetració de isulia debe siempre permaecer e, o por ecima de u valor crítico C, determie la dosis míima de D e térmios de C, a y T. 7. Cuado el diero se gasta e biees y servicios, los que recibe el diero tambié gasta u poco de él. Las persoas que recibe algo del diero gastado dos veces, gastará algo de dicho diero, y así sucesivamete. Los ecoomistas llama a esta reacció e cadea efecto multiplicador. E u hipotético pueblo aislado, el gobiero local iicia el proceso gastado D dólares. Supoga que cada persoa que recibe diero gasta 00c% y ahorra 00s% del diero. Los valores c y s se deomia propesió margial al cosumo y propesió margial al ahorro y, aturalmete, c s. a) Sea S el total de lo gastado que ha sido geerado después de trasaccioes. Determie ua ecuació para S. b) Demuestre que lím l S kd, dode k s. La catidad k se llama el multiplicador. Cuál es el multiplicador si la propesió margial al cosumo es 80%? Nota: El gobiero federal de Estados Uidos usa este pricipio para justificar el gasto que muestra déficit. Los bacos utiliza este pricipio para justificar los préstamos de u gra porcetaje del diero que recibe como depósito. 7. Ua cierta pelota tiee la propiedad de que cada vez que cae desde ua altura h sobre ua superficie ivelada y dura, rebota hasta ua altura rh, dode 0 r. Supoga que la pelota cae desde ua altura iicial de H metros. a) Supoiedo que la pelota cotiúa rebotado de maera idefiida, calcule la distacia total que recorre. b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja. (Use el hecho de que la pelota cae tt metros e t segudos.) c) Supoga que cada vez que la pelota golpea la superficie co velocidad v rebota co velocidad kv, dode 0 k. Cuáto tiempo le tomará a la pelota llegar al reposo? 7. Ecuetre el valor de c si c

25 74. Ecuetre el valor de c tal que e c E el ejemplo 8 se demostró que la serie armóica es divergete. Aquí se resume otro método, haciedo uso del hecho de que e + para cualquier 0. (Véase el ejercicio ) Si s es la -ésima suma parcial de la serie armóica, demuestre que e s +. Por qué esto implica que la serie armóica es divergete? 76. Grafique las curvas y, 0, para 0,,,, 4,... sobre ua misma patalla. Determiado las áreas etre las curvas sucesivas, de ua demostració geométrica del hecho, demostrado e el ejemplo 7, de que 77. E la figura se muestra dos circuferecias C y D de radio que se toca e P. T es ua tagete comú; C es la circuferecia que toca C, D y T; C es la circuferecia que toca C, D y C ; C es la circuferecia que toca C, D y C. Este procedimieto puede cotiuar e forma idefiida y produce ua sucesió ifiita de circuferecias C. Ecuetre ua epresió para el diámetro de C y, de ese modo, proporcioe otra demostració geométrica del ejemplo 7. C C C 78. U triágulo rectágulo ABC está defiido co A y AC b. CD se traza perpedicular a AB, DE se traza e forma perpedicular a BC, EF AB, y este proceso cotiúa e forma idefiida como se ilustra e la figura. Determie la logitud total de todas las perpediculares e térmios de b y. B P C CD DE EF FG H F D D T 79. Qué es lo que está mal e el cálculo siguiete? SECCIÓN. SERIES 7 (Guido Ubaldus pesaba que esto demostraba la eistecia de Dios, porque se había creado algo de la ada.) 80. Supoga que sabemos que a a 0 es ua serie covergete. Demuestre que a es ua serie divergete. 8. Demuestre el iciso i) del teorema Si a es divergete y c 0, demuestre que ca es divergete. 8. Si a es covergete y b es divergete, demuestre que la serie (a + b ) es divergete. [Sugerecia: argumete por cotradicció.] 84. Si a y b so divergetes, ecesariamete (a + b ) es divergete? 85. Supoga que ua serie a costa de térmios positivos y sus sumas parciales s cumple co la desigualdad s 000 para toda. Eplique por qué a debe ser covergete. 86. La sucesió de Fiboacci se defie e la secció. mediate las ecuacioes f, f, f f + f Demuestre que cada uo de los siguietes euciados es cierto. a) f f f f f f b) c) f f f f f 87. El cojuto de Cator, ombrado así e hoor al matemático alemá Georg Cator (845-98), se costruye como se señala a cotiuació. Empiece co el itervalo cerrado [0, ] y retire el itervalo abierto (, ). Esto deja los dos itervalos y [, ] [0, ] y luego elimie el itervalo abierto costituido por el tercio medio de cada uo. De este modo queda cuatro itervalos y de uevo elimie el tercio medio de cada uo de ellos. Cotiúe este procedimieto de maera idefiida elimiado e cada paso el tercio medio de cada itervalo que queda del paso aterior. El cojuto de Cator cosiste e los úmeros que queda e [0, ] después de que todos esos A itervalos se ha elimiado. a) Demuestre que la logitud total de todos los itervalos que se elimia es. A pesar de eso, el cojuto de Cator cotiee u ifiito de úmeros. Proporcioe ejemplos de b alguos úmeros del cojuto de Cator. b) El tapete de Sierpiski es u equivalete e dos dimesioes del cojuto de Cator. Se costruye elimiado el oveo cetral de u cuadrado de lado, CEG y luego se elimia el cetro de cada uo de los ocho

26 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS cuadrados restates, y así sucesivamete. (E la figura se ilustra los primeros tres pasos de la costrucció.) Demuestre que la suma de las áreas de los cuadrados elimiados es. Esto sigifica que el área del tapete de Sierpiski es cero. b) Aplique la iducció matemática para demostrar su cojetura. c) Demuestre que la serie ifiita dada es covergete y calcule su suma. 90. E la figura hay u ifiito de círculos que se aproima a los vértices de u triágulo equilátero. Cada círculo toca otros círculos y los lados del triágulo. Si el triágulo tiee lados que mide ua uidad de logitud, calcule el área total que ocupa los círculos. 88. a) Ua sucesió a se defie recursivamete mediate la ecuació a a a para, dode a y a so úmeros reales. Eperimete co varios valores de a y a y co la ayuda de su calculadora cojeture el límite de la sucesió. b) Ecuetre lím l a e térmios de a y a epresado a + a e fució de a a y sume ua serie. 89. Cosidere la serie!. a) Calcule las sumas parciales s, s, s y s 4. Recooce los deomiadores? Mediate el patró cojeture ua fórmula para s.. La prueba de la itegral y estimació de sumas E geeral, es difícil determiar la suma eacta de ua serie. Podemos lograrlo e el caso de series geométricas y las series [( + )] porque e cada uo de estos casos es posible ecotrar ua fórmula simple para la -ésima suma parcial s. Pero por lo regular o es fácil descubrir tal fórmula. Por tato, e las siguietes seccioes se trata varias pruebas que permite determiar si ua serie es covergete o divergete si que se tega que ecotrar e forma eplícita su suma. (E alguos casos, los métodos permite determiar uas bueas estimacioes de la suma.) El primer método utiliza itegrales impropias. Empecemos por ivestigar las series cuyos térmios so los recíprocos de los cuadrados de los eteros positivos: s i i 4 5 No hay ua fórmula secilla para la suma s de los primeros térmios, pero la tabla geerada mediate ua computadora de los valores, dados e el marge, sugiere que las sumas parciales se aproima a u úmero cercao a.64 cuado l y de este modo parece como si la serie fuera covergete. Podemos cofirmar esta impresió co u razoamieto geométrico. E la figura se ilustra la curva y y alguos rectágulos que se ecuetra abajo de la curva. La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud igual a ; la altura es igual al valor de la fució y e el etremo derecho del itervalo. y y= FIGURA = 4@ = 5@

27 SECCIÓN. LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 75 De este modo, la suma de las áreas de los rectágulos es 4 5 Si ecluimos el primer rectágulo, el área total de los rectágulos restates es meor que el área bajo la curva y para, que es el valor de la itegral d. E la secció 7.8 descubrimos que esta itegral impropia es covergete y que tiee u valor de. De modo que la figura muestra que todas las sumas parciales so meores que y d Así, las sumas parciales está acotadas. Tambié sabemos que las sumas parciales so crecietes porque todos los térmios so positivos. Por lo tato, las sumas parciales coverge, de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa, de maera que la serie es covergete. La suma de la serie (el límite de las sumas parciales) es tambié meor que : 4 [El matemático suizo Leohard Euler (707-78) calculó que la suma eacta de esta serie es 6, pero la demostració de esto es muy difícil. (Véase el problema 6 e los Problemas adicioales después del capítulo 5.)] Ahora veamos la serie s i si s s s La tabla de valores de s, hace pesar que las sumas parciales o se aproima a u úmero fiito, de modo que se sospecha que la serie dada podría ser divergete. Otra vez usamos ua image para cofirmarlo. E la figura se muestra la curva y s, pero esta vez se usa rectágulos cuya parte superior queda por ecima de la curva. y y= œ s s4 s5 FIGURA = = = = œ œ œ œ 4 La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud. La altura es igual al valor de la fució y s e el etremo izquierdo del itervalo. Así que la suma de las áreas de todos los rectágulos es s s s s4 s5 s Esta área total es mayor que el área bajo la curva y s para, que es igual a la

28 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS itegral ( s ) d. Pero segú la secció 7.8, esta itegral impropia es divergete. E otras palabras, el área bajo la curva es ifiita. Así que la suma de la serie debe ser ifiita; es decir, la serie es divergete. El mismo tipo de razoamieto geométrico aplicado para estas dos series, se puede hacer para demostrar la prueba siguiete. (La demostració se ecuetra al fial de esta secció.) Prueba de la itegral Supoga que f es ua fució cotiua, positiva y decreciete sobre [, ) y sea a f (). Etoces la serie a es covergete si y sólo si la itegral impropia f d es covergete. E otras palabras: y a i) Si f d es covergete, etoces es covergete. y a ii) Si f d es divergete, etoces es divergete. NOTA Cuado use la prueba de la itegral o es ecesario iiciar la serie o la itegral e. Por ejemplo, al probar la serie 4 usamos y 4 d Asimismo, o es ecesario que f sea siempre decreciete. Lo importate es que f sea fialmete decreciete, es decir, decreciete para más grade que algú úmero N. E cosecuecia N a es covergete, de modo que a es covergete de acuerdo co la ota 4 de la secció.. EJEMPLO Pruebe la covergecia o divergecia de la serie. SOLUCIÓN La fució f () ( ) es cotiua, positiva y decreciete sobre [, ) de modo que aplicamos la prueba de la itegral: y d lím t l yt d lím ta ] t l t lím t l ta t p p p p Por tato, d es ua itegral covergete y si es así, de acuerdo co la prueba de la itegral, la serie ( ) es covergete. Para usar la prueba de la itegral ecesitamos evaluar f d y, por tato, teemos que hallar ua atiderivada de f. Es frecuete que esto sea difícil o imposible, de modo que tambié ecesitamos otras pruebas para covergecia. v EJEMPLO Para qué valores de p la serie p es covergete? SOLUCIÓN Si p 0, etoces lím l p. Si p 0, etoces lím l p E cualquier caso lím l p 0, por lo que la serie dada es divergete de acuerdo co la prueba de la divergecia (..7). Si p 0, etoces la fució f p es evidetemete cotiua, positiva y decreciete sobre [, ). E el capítulo 7 [véase (7.8.)] ecotramos que y d coverge si p y diverge si p p.

29 SECCIÓN. LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 77 De la prueba de la itegral se ifiere que la serie p coverge si p y diverge si 0 p. (E el caso de p, esta serie es la serie armóica estudiada e el ejemplo 8 de la secció..) La serie del ejemplo se llama serie p. Esto es importate e el resto de este capítulo, de modo que se resume los resultados del ejemplo para referecia futura como se idica a cotiuació. La serie p p es covergete si p y divergete si p. EJEMPLO a) La serie 4 es covergete porque es ua serie p co p. b) La serie s s s s 4 es divergete porque es ua serie p co p. NOTA No debemos iferir que, de acuerdo co la prueba de la itegral, la suma de la serie es igual al valor de la itegral. De hecho, p 6 e tato que y d Por tato, e geeral v EJEMPLO 4 Determie si la serie a y f d l es covergete o divergete. SOLUCIÓN La fució f () (l ) es positiva y cotiua para porque la fució logaritmo es cotiua. Pero o es obvio si f es decreciete o o lo es, de modo que al calcular su derivada: f l l Por tato, f () 0 cuado l, es decir, e. Se sigue que f es decreciete cuado e, de maera que podemos aplicar la prueba de la itegral: y l d lím t l y t l d l lím t l t lím t l l t Puesto que esta itegral impropia es divergete, la serie (l ) tambié es divergete de acuerdo co la prueba de la itegral.

30 78 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Estimació de la suma de ua serie Supoga que pudimos aplicar la prueba de la itegral para demostrar que ua serie a es covergete y que queremos ecotrar ua aproimació a la suma s de la serie. Por supuesto, cualquier suma parcial s es ua aproimació a s porque lím l s s. Pero, qué ta buea es esa aproimació? Para saberlo, ecesitamos estimar el tamaño del residuo. R s s a a a y y=ƒ El residuo R es el error que se comete cuado s, la suma de los primeros térmios, se usa como ua aproimació a la suma total. Usamos la misma otació y las ideas que e la prueba de la itegral, supoiedo que f es decreciete sobre [, ). Al comparar las áreas de los rectágulos co el área bajo y f () para e la figura, vemos que a + a FIGURA y y=ƒ Asimismo, e la figura 4 vemos que R a a y f d R a a y f d De este modo hemos demostrado la siguiete estimació de error. a + a FIGURA 4 Estimació del residuo para la prueba de la itegral Supogamos que f (k) a k, dode f es ua fució cotiua, positiva y decreciete para y a es covergete. Si R s s, etoces y f d R y f d v EJEMPLO 5 a) Obtega u valor aproimado de la suma de la serie usado la suma de los primeros 0 térmios. Estime el error ivolucrado e esta aproimació. b) Cuátos térmios se requiere para asegurar que la suma o difiere e más de ? SOLUCIÓN E los icisos a) y b) ecesitamos coocer f d. Co f (), que satisface las codicioes de la prueba itegral, teemos y d lím t l t lím t l t a) Aproimado la suma de la serie por la 0-ésima suma parcial, teemos s De acuerdo co el residuo estimado e, teemos R 0 y 0 d 0 00 De modo que el tamaño del error es cuato mucho de

31 SECCIÓN. LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 79 b) La precisió de quiere decir que debemos ecotrar u valor de tal que R Puesto que queremos que Al resolver esta desigualdad, obteemos R y d o bie s000.6 Necesitamos térmios para garatizar ua precisió detro de Si sumamos s a cada miembro de las desigualdades e, obteemos s y f d s s y f d porque s R s. Las desigualdades e da ua cota iferior y ua cota superior para s. Estas cotas proporcioa ua aproimació más certera a la suma de la serie que la suma parcial s. Auque Euler calculó la suma eacta de las series p para p, o se ha ecotrado la suma para p. Si embargo, e el ejemplo 6 mostramos cómo estimar esta suma. EJEMPLO 6 Use co 0 para estimar la suma de la serie. SOLUCIÓN Las desigualdades e resulta s 0 y d s s 0 y 0 d Del ejemplo 5 sabemos que y d de modo que s 0 s s 0 0 Si usamos s 0.975, obteemos.0664 s.05 Si aproimamos s por el puto medio de este itervalo, etoces el error es a lo más la mitad de la logitud del itervalo. Así que,.0 co error Si comparamos el ejemplo 6 co el ejemplo 5, observamos que la estimació mejorada e es mucho mejor que la estimació s s. Para que el error sea meor que teemos que usar térmios e el ejemplo 5, pero sólo 0 térmios e el ejemplo 6.

32 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS y y=ƒ a a a a FIGURA 5 y y=ƒ a Demostració de la prueba de la itegral Ya hemos visto la idea básica e que se apoya la demostració de la prueba de la itegral e las figuras y para las series y s. E el caso de la serie geeral a, véase las figuras 5 y 6. El área del primer rectágulo sombreado de la figura 5 es el valor de f e el etremo derecho de [, ], es decir, f () a. De esta maera, al comparar las áreas de los rectágulos sombreados co el área bajo y f () desde hasta observamos que 4 a a a y f d (Observe que esta desigualdad depede del hecho de que f es decreciete.) De maera similar, e la figura 6 se muestra que a - 5 y f d a a a a a a a FIGURA 6 i) Si y f d puesto que f () 0. Por tato es covergete, etoces 4 da a i i y f d y f d s a i a i a y f d M Como s M para toda, la sucesió s está acotada por arriba. Asimismo, s s a s como a f ( ) 0. E estos térmios, s es ua sucesió acotada creciete y, de este modo, es covergete de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa (..). Esto sigifica que a es covergete. ii) Si f d es divergete, etoces f d l cuado l porque f () 0. Pero co 5 obteemos y f d i a i s y por tato s l. Esto implica que s l, luego etoces a diverge.. Ejercicios. Dibuje ua gráfica para demostrar que y.. d Qué puede cocluir co respecto a la serie?. Supoga que f es ua fució cotiua, positiva y decreciete para y a f (). E ua gráfica acomode las tres catidades siguietes e orde creciete. y 6 f d 5 a i i 6 a i i -8 Mediate la prueba de la itegral determie si la serie es covergete o divergete s s e SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

33 SECCIÓN. LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS Determie si la serie es covergete o divergete s s s 4 64 s s4 7 5s l 6.. l l e e Eplique por qué o es posible utilizar la prueba de la itegral para determiar si la serie es covergete..7 cos p.8 s cos 9- Determie los valores de p para los cuales la serie es covergete l p l l l p. l p. La fució zeta de Riema se defie como z y se usa e teoría de los úmeros para estudiar la distribució de los úmeros primos. Cuál es el domiio de? p 4. Leohard Euler calculó la suma eacta de la serie p para p : z (Veáse págia 75.) Use este hecho para ecotrar la suma de cada serie: c) )a )b p 6 5. Euler tambié ecotró la suma para la serie p co p 4: z p 90 Utilice el resultado de Euler para ecotrar la suma de las series: )a 4 )b k 5 k 4 6. a) Calcule la suma parcial s 0 de la serie 4. Estime el error al usar s 0 como aproimació a la suma de la serie. b) Use co 0 para coseguir ua estimació mejorada de la suma. c) Compare su estimació e el iciso b) co el valor eacto dado e el ejercicio 5. d) Calcule u valor de tal que s o difiera más de del valor de la suma. 7. a) Mediate la suma de los primeros 0 térmios, estime la suma de la serie. Qué ta buea es la estimació? b) Mejore esta estimació usado co 0. c) Compare su estimació e el iciso b) co el valor eacto dado e el ejercicio 4. d) Ecuetre u valor de que dé la certeza de que el error e la aproimació s s es meor que Calcule la suma de la serie 5 co ua aproimació de tres cifras decimales. 9. Estime 6 co ua aproimació de cico decimales. 40. Cuátos térmios de la serie l se ecesitaría sumar para calcular la suma que o difiera de 0.0? 4. Demuestre que si queremos aproimar la suma de la serie.00 de modo que el error sea meor de 5 e la ovea 0 cifra decimal, etoces ecesitamos sumar más de 0 térmios! SAC 4. a) Demuestre que la serie l es covergete. b) Ecuetre ua cota superior para el error e la aproimació s s. c) Cuál es el valor más pequeño de tal que esta cota superior sea meor que 0.05? d) Ecuetre s para este valor de.

34 7 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 4. a) Mediate 4 demuestre que si s es la -ésima suma parcial de la serie armóica, etoces s l b) La serie armóica diverge, pero muy letamete. Co ayuda del iciso a) demuestre que la suma del primer milló de térmios es meor que 5 y que la suma de los primeros mil milloes de térmios es meor que. 44. Siga los pasos siguietes para demostrar que la sucesió t l tiee u límite. (El valor del límite se deota co y se deomia costate de Euler.) a) Dibuje u diagrama como la figura 6 co f () e iterprete t como u área [o use 5 ] para demostrar que t 0 para toda. b) Iterprete t t l l como ua diferecia de áreas para demostrar que t t 0. Por tato, t es ua sucesió decreciete. c) Use el teorema de la sucesió moótoa para demostrar que t es covergete. 45. Determie todos los valores positivos de b para los cuales la serie b l coverge. 46. Ecuetre todos los valores de c para los que coverge la siguiete serie c.4 Pruebas por comparació E las pruebas por comparació, la idea es comparar ua serie dada co ua serie que ya se sabe que es covergete o divergete. Por ejemplo, la serie os recuerda la serie, que es ua serie geométrica co a y r, por lo que es covergete. Como la serie es similar a la serie covergete, se presiete que tambié debe ser covergete. De hecho, así es. La desigualdad demuestra que la serie dada tiee térmios meores que los de la serie geométrica y, por tato, todas las sumas parciales so tambié más pequeñas que (la suma de la serie geométrica). Esto quiere decir que las sumas parciales forma ua sucesió creciete acotada, la cual es covergete. Asimismo, se ifiere que la suma de la serie es meor que la suma de la serie geométrica: U razoamieto similar se puede usar para demostrar la prueba siguiete, la cual se aplica sólo a series cuyos térmios so positivos. La primera parte dice que si teemos ua serie cuyos térmios so meores que los de ua serie covergete coocida, etoces uestra serie tambié es covergete. La seguda parte establece que si empezamos co ua serie cuyos térmios so mayores que los de ua serie divergete coocida, etoces tambié es divergete. La prueba por comparació Supogamos que a y b so series co térmios positivos. i) Si b es covergete y a b para toda, etoces a tambié es covergete. ii) Si b es divergete y a b para toda, etoces a tambié es divergete.

35 SECCIÓN.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 7 Es importate estar ateto a la distició etre sucesió y serie. Ua sucesió es u listado de úmeros y ua serie es ua suma. Co cada serie a hay dos sucesioes asociadas: la sucesió a de térmios y la sucesió b de sumas parciales. DEMOSTRACIÓN i) Sea s i a i t b i i t b Puesto que ambas series tiee térmios positivos, las sucesioes s y t so crecietes (s s a s ). Asimismo, t l t, así que t t para toda. Como a i b i teemos s t. De este modo, s t para toda. Esto sigifica que s es creciete y está acotada superiormete y, por tato, coverge por el teorema de sucesioes moótoas. Así, a es covergete. ii) Si b es divergete, etoces t l (puesto que t es creciete). Pero a i b i, de modo que s t. Así que s l. Por tato, a diverge. Serie estádar usada co la prueba por comparació Por supuesto, al usar la prueba por comparació es ecesario teer algua serie co - ocida b para los fies de la comparació. La mayoría de las veces se usa ua de estas series: Ua serie p [ p que coverge si p y diverge si p ; véase (..)] Ua serie geométrica [ ar es covergete si r y es divergete si r ; véase (..4)] v EJEMPLO Determie si la serie 5 4 es covergete o divergete. SOLUCIÓN E el caso de grade el térmio domiate e el deomiador es, de modo que comparemos la serie dada co la serie 5( ). Observe que 5 4 porque el lado izquierdo tiee u deomiador más grade. (E la otació de la prueba por comparació, a está e el lado izquierdo y b e el lado derecho.) Ya sabemos que es covergete porque es ua costate por ua serie p co p. Por tato, 5 4 es covergete de acuerdo co el iciso i) de la prueba por comparació. NOTA Auque la codició a b o bie, a b e la prueba por comparació es para toda, es ecesario verificar sólo que se cumple para N, dode N es algú etero establecido, porque la covergecia de ua serie o está afectada por u úmero fiito de térmios. Lo aterior se ilustra co el ejemplo siguiete. v EJEMPLO Pruebe si la serie k l k k es covergete o divergete. SOLUCIÓN Usamos la prueba de la itegral para ivestigar esta serie e el ejemplo 4 de la secció., pero tambié es posible probarla por comparació co la serie armóica. Observe que l k para k y de esa maera l k k k k

36 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sabemos que k es divergete (serie p co p ). Así que la serie dada es divergete de acuerdo co la prueba por comparació. NOTA Los térmios de la serie que estamos probado debe ser meores que los de ua serie covergete, o mayores que los de ua serie divergete. Si los térmios so más grades que los térmios de ua serie covergete, o bie, meores que los de ua serie divergete, etoces la prueba por comparació o aplica. Por ejemplo, cosidere la serie La desigualdad es iútil e cuato a la prueba por comparació porque b ( ) es covergete y a b. Si embargo, la impresió es que tiee que ser covergete porque es muy parecida a la serie geométrica covergete ( ). E tales casos podemos aplicar la prueba siguiete. Los ejercicios 40 y 4 trata los casos c 0 y c. Prueba por comparació del límite Supoga que a y b so series co térmios positivos. Si lím a l b dode c es u úmero fiito y c 0, etoces ambas series coverge o ambas diverge. c DEMOSTRACIÓN Sea m y M úmeros positivos tales que m c M. Como a b está cercao a c para grade, eiste u etero N tal que m a b M cuado N y por tato mb a Mb cuado N Si b es covergete, tambié lo es Mb. Así a es covergete segú el iciso i) por la prueba por comparació. Si b diverge tambié mb es divergete y por el iciso ii) de la prueba por comparació a diverge. EJEMPLO Pruebe si la serie es covergete o divergete. SOLUCIÓN Usamos la prueba por comparació del límite co a b y obteemos a lím lím lím lím l b l l l 0

37 SECCIÓN.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 75 Puesto que eiste este límite y es ua serie geométrica covergete, la serie dada coverge de acuerdo co la prueba por comparació del límite. EJEMPLO 4 Determie si la serie es covergete o divergete. s5 5 SOLUCIÓN La parte domiate del umerador es y la parte domiate del deomiador es s 5 5. Esto sugiere efectuar a s5 5 b 5 a lím lím lím l b l l lím l s s0 5 s5 5 Puesto que b es divergete (es ua serie p co p diverge de acuerdo co la prueba por comparació del límite. ), la serie dada Observe que al probar muchas series ecotramos ua serie de comparació adecuada b coservado sólo las potecias más altas e el umerador y e el deomiador. Estimació de sumas Si hemos usado la prueba por comparació para demostrar que ua serie a es covergete por comparació co ua serie b, etoces se puede hacer ua estimació de la suma a al comparar los residuos. Como e la secció., cosideremos el residuo R s s a a E cuato a la serie de comparació b cosideremos el residuo correspodiete T t t b b Puesto que a b para toda, teemos R T. Si b es ua serie p, podemos estimar su residuo T como e la secció.. Si b es ua serie geométrica, etoces T es la suma de ua serie geométrica y podemos sumarla eactamete (véase ejercicios 5 y 6). E cualquier caso, sabemos que R es meor que T. v EJEMPLO 5 Co la suma de los primeros 00 térmios aproime la suma de la serie ( ). Estime el error ivolucrado e esta aproimació. SOLUCIÓN Como la serie dada es covergete de acuerdo co la prueba por comparació. El residuo T para la serie de comparació ya lo hemos estimado e el ejemplo 5 de la secció. por medio de la estimació del residuo por la prueba de la itegral. Allí ecotramos que T y d

38 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Por tato, el residuo R de la serie dada cumple co Co 00 teemos R T R Co ua calculadora programable o ua computadora, resulta que co u error meor que Ejercicios. Supogamos que a y b so series co térmios positivos y que se sabe que b es covergete. a) Si a b para toda, qué podemos decir respecto a a? Por qué? b) Si a b para toda, qué podemos decir respecto a a? Por qué?. Supoga que a y b so series co térmios positivos y que se sabe que b es divergete. a) Si a b para toda, qué podemos decir de a? Por qué? b) Si a b para toda, qué podemos decir respecto a a? Por qué? - Determie si la serie es covergete o divergete s s k l k k k k se k k s e.8.0. se. s 4.6 s! e! -6 Mediate la suma de los primeros 0 térmios, obtega u valor aproimado de la suma de la serie. Estime el error...4 s 4 se. k s k. sk 4k k k k k k cos arcta s s s El sigificado de la represetació decimal de u úmero 0.d d d (dode el dígito d i es uo de los úmeros 0,,,..., 9) es que 0.d d d d 4... d 0 d d d Demuestre que esta serie siempre es covergete.. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

39 SECCIÓN.5 SERIES ALTERNANTES Para qué valores de p la serie p l es covergete? 9. Demuestre que si a 0 y a coverge, etoces a tambié coverge. 40. a) Supoga que a y b so series co térmios positivos y que b es covergete. Demuestre que si lím l a b 0 etoces a tambié es covergete. b) Mediate el iciso a) demuestre que la serie coverge. l i) ii) l s e 4. a) Supoga que a y b so series co térmios positivos y que b es divergete. Demuestre que si lím a l b etoces a tambié es divergete. b) Use el iciso a) para demostrar que la serie es divergete. i) ii) l l 4. Proporcioe u ejemplo de u par de series a y b co térmios positivos dode lím l a b 0 y b diverge, pero a coverge. [Compare co el ejercicio 40.] 4. Demuestre que si a 0 y lím l a 0, etoces a es divergete. 44. Demuestre que si a 0 y a es covergete, etoces l( a ) es covergete. 45. Si a es ua serie covergete co térmios positivos, es cierto que se(a ) tambié es covergete? 46. Si a y b so series covergetes co térmios positivos, es cierto que a b tambié es covergete?.5 Series alterates Las pruebas de covergecia que se ha eamiado hasta ahora se aplica sólo a series co térmios positivos. E esta secció y e la siguiete, se estudia cómo tratar co series cuyos térmios o so ecesariamete positivos. De particular importacia so las series alterates, cuyos térmios se altera e sigo. Ua serie alterate es ua serie cuyos térmios so alteradamete positivos y egativos. Aquí hay dos ejemplos: De acuerdo co estos ejemplos, el -ésimo térmio de ua serie alterate es de la forma a b o bie a b dode b es u úmero positivo. (De hecho, b a.) La siguiete prueba establece que si los térmios de ua serie alterate decrece hacia 0 e valor absoluto, etoces la serie coverge. Prueba de la serie alterate Si la serie alterate cumple co b b b b b 4 b 5 b 6 b 0 ii) lím b 0 l etoces la serie es covergete. i) b b para toda

40 78 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Ates de proporcioar la demostració vea la figura, la cual es ua represetació de la idea e que se apoya la demostració. Primero dibujamos s b sobre ua recta umérica. Para determiar s restamos b, de modo que s está a la izquierda de s. Luego, para determiar s sumamos b, de modo que s está a la derecha de s. Pero como b b, s está a la izquierda de s. Al cotiuar de esta maera, observamos que las sumas parciales oscila hacia atrás y hacia adelate. Puesto que b l 0, los pasos sucesivos se vuelve más y más pequeños. Las sumas parciales pares s, s 4, s 6,... se icremeta, y decrece las sumas parciales impares s, s, s 5,.... Así, parece plausible que ambas coverja e el mismo úmero s, el cual es la suma de la serie. Por cosiguiete, e la demostració siguiete se cosidera por separado las sumas parciales pares e impares. b -b +b -b +b -bß FIGURA 0 s s sß s s s s DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE Primero cosideramos las sumas parciales pares: s b b 0 puesto que b b s 4 s b b 4 s puesto que b 4 b E geeral Por esto s s b b s puesto que b b 0 s s 4 s 6 s Pero tambié podemos escribir s b b b b 4 b 5 b b b Todos los térmios etre parétesis so positivos, de modo que s b para toda. Por tato, la sucesió s de las sumas parciales pares se icremeta y está acotada por arriba. Debido a eso, de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa es covergete. Llamemos s a su límite, es decir, lím s s l Ahora calculemos el límite de las sumas parciales impares: lím s lím s b l l lím s lím l s 0 s l b [segú la codició ii)] Puesto que tato la suma parcial par como la suma parcial impar coverge a s, teemos lím l s s (véase el ejercicio 9a) de la secció.), por lo que la serie es covergete.

41 SECCIÓN.5 SERIES ALTERNANTES 79 E la figura se ilustra el ejemplo ; se muestra las gráficas de los térmios a () y las sumas parciales s. Observe cómo los valores de s va e zigzag detro del límite, el cual al parecer está alrededor de 0.7. De hecho, la suma eacta de la serie es l 0.69 (véase ejercicio 6). v EJEMPLO La serie armóica alterate cumple co 4 hs j i) b b porque ii) lím b lím l l 0 FIGURA ha j 0 de modo que la serie es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate. v EJEMPLO La serie 4 es alterate pero 4 lím b lím lím l l l por lo que la codició ii) o se cumple. E cambio, veamos el límite del -ésimo térmio de la serie: 4 4 lím a lím l l 4 Este límite o eiste, de modo que la serie es divergete de acuerdo co la prueba de la divergecia. EJEMPLO Pruebe si la serie es covergete o divergete. SOLUCIÓN La serie dada es alterate, de modo que tratemos de comprobar las codicioes i) y ii) de la prueba de la serie alterate. A diferecia de la situació e el ejemplo, o es obvio que la sucesió dada por b ( ) sea decreciete. Si embargo, si cosideramos la fució relacioada f () ( ), ecotramos que f E lugar de verificar la codició i) de la prueba de la serie alterate calculado ua derivada, puede comprobar que b b directamete usado la técica de la solució del ejemplo de la secció.. Puesto que se cosidera sólo positivas, f () 0 si 0, es decir, s. De esta maera, f es decreciete sobre el itervalo (s, ). Esto sigifica que f ( ) f () y, por tato, b b cuado. (La desigualdad b b se puede comprobar de maera directa, pero lo que realmete importa es que la sucesió b decrece co el tiempo.) La codició ii) se comprueba rápidamete lím b lím l lím l l 0 Así, la serie es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate.

42 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Estimado sumas Ua suma parcial s de cualquier serie covergete se puede usar como ua aproimació a ua suma total s, pero o se recurre mucho a esto, a meos que se estime la eactitud de la aproimació. El error ivolucrado al usar s s es el residuo R s s. El teorema siguiete establece que para las series que cumple co la codició de la prueba de la serie alterate, el tamaño del error es meor que b, lo cual es el valor absoluto del primer térmio igorado. Desde el puto de vista de la geometría podemos ver por qué el teorema de estimació para series alterates es verdadero al eamiar la figura (e la págia 78). Observe que s s 4 b 5, s s 5 b 6 y así sucesivamete. Note tambié que s queda etre dos sumas parciales cosecutivas. Teorema de estimació para series alterates Si s () b es la suma de ua serie alterate que cumple co i) b b y ii) lím b 0 l etoces R s s b DEMOSTRACIÓN Sabemos de la demostració para la prueba de series alterates que s queda etre dos sumas parciales cosecutivas s y s. (Ya hemos demostrado que s es mayor que todas las sumas parciales pares. U argumeto similar demuestra que s es meor que todas las sumas impares.) Se ifiere que s s s s b Por defiició, 0! v EJEMPLO 4 Calcule la suma de la serie cifras decimales. 0! co ua aproimació de tres SOLUCIÓN Primero observamos que la serie es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate porque i)!!! ii) 0 por tato cuado! l 0! l 0 l Para ver cuátos térmios ecesitamos usar e uestra aproimació, escribamos los primeros térmios de la serie s 0!!!! 4! 5! 6! 7! Observe que b y s De acuerdo co el teorema de la estimació de la serie alterate, se sabe que E la secció.0 se demuestra que e 0! para toda, de modo que el resultado del ejemplo 4 es e realidad ua aproimació al úmero e. s s 6 b Este error de meos de o afecta la tercera cifra decimal, de modo que teemos s 0.68 que es correcta hasta la tercera cifra decimal.

43 SECCIÓN.5 SERIES ALTERNANTES 7 NOTA La regla de que el error (al usar s para aproimarse a s) es meor que el primer térmio igorado es e geeral válida sólo para series alterates que cumple co las codicioes del teorema de la estimació de la serie alterate. La regla o se aplica a otros tipos de series..5 Ejercicios. a) Qué es ua serie alterate? b) E qué codicioes ua serie alterate coverge? c) Si estas codicioes se cumple, qué puede decir co respecto al residuo después de térmios?. 8-0 Pruebe las series para ver si so covergetes o divergetes e e.4 se( p cos p.6 s p 7. se s s ) 8 8 s4 0 9 s5 s6.0! l 4 s s e arcta cos p (s s ) - Grafique las sucesioes de térmios y la sucesió de sumas parciales e la misma patalla. Utilice la gráfica para hacer ua estimació de la suma de las series. Después utilice el teorema de la estimació de las series alterates para estimar la suma co ua aproimació de cuatro decimales.. 0.8! -6 Demuestre que la serie es covergete. Cuátos térmios de la serie ecesitamos sumar para determiar la suma co la eactitud señalada? ( error ) 5 ( error 0.000) 0! ( error ) e ( error 0.0) 7-0 Obtega u valor aproimado de la suma de la serie co ua aproimació de cuatro cifras decimales !.0 0 6!. Es la 50a. suma parcial s 50 de la serie alterate ua sobreestimació o ua subestimació de la suma total? Eplique. -4 Para qué valores de p es covergete cada serie?.. p.4 p l p 5. Demuestre que la serie () b, dode b si es impar y b si es par, es divergete. Por qué o aplica la prueba de la serie alterate? Se requiere calculadora graficadora o computadora. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

44 7 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 6. Siga los pasos siguietes para demostrar que l Sea h y s las sumas parciales de las series armóica y armóica alterate. a) Demuestre que s h h. b) Segú el ejercicio 44 de la secció. teemos h l l cuado l y, por tato, h l() l cuado l Apoyádose e estos hechos y el iciso a), demuestre que s l l cuado l..6 Covergecia absoluta y las pruebas de la razó y la raíz Dada ua serie a, podemos cosiderar las series correspodietes a a a a cuyos térmios so los valores absolutos de los térmios de la serie origial. Hay pruebas para la covergecia para series co térmios positivos y para series alterates. Pero, y si los sigos de los térmios cambia de maera irregular? E el ejemplo, se observa que la idea de la covergecia absoluta ayuda alguas veces e tales casos. Defiició Ua serie a es llamada absolutamete covergete si la serie de valores absolutos a es covergete. Observe que si a es ua serie co térmios positivos, etoces a a y por, tato, la covergecia absoluta es lo mismo que la covergecia e este caso. EJEMPLO La serie 4 es absolutamete covergete porque 4 es ua serie p covergete (p ). EJEMPLO Ya sabemos que la serie armóica alterate 4 es covergete (véase ejemplo de la secció.5), pero o es absolutamete covergete porque la serie correspodiete de valores absolutos es 4 que es la serie armóica (serie p co p ) y, por tato, es divergete.

45 SECCIÓN.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 7 Defiició Ua serie a se llama codicioalmete covergete si es covergete pero o absolutamete covergete. E el ejemplo se muestra que la serie armóica alterate es codicioalmete covergete. Así, es posible que ua serie sea covergete, pero o absolutamete covergete. Si embargo, el teorema siguiete muestra que la covergecia absoluta implica covergecia. Teorema Si ua serie a es absolutamete covergete, etoces es covergete. DEMOSTRACIÓN Observe que la desigualdad 0 a a a es cierta porque a es a o bie, a. Si a es absolutamete covergete, etoces a es covergete, así que a es covergete. Por tato, segú la prueba de la comparació, (a a ) es covergete. Etoces a (a a ) a es la diferecia de dos series covergetes y, por tato, covergete. v EJEMPLO Determie si la serie cos cos cos cos E la figura se ilustra las gráficas de los térmios a y las sumas parciales s de la serie del ejemplo. Observe que la serie o es alterate, pero tiee térmios positivos y egativos. 0.5 FIGURA hs j ha j 0 es covergete o divergete. SOLUCIÓN Esta serie posee térmios tato positivos como egativos, pero o es alterate. (El primer térmio es positivo, los siguietes tres so egativos, y los otros tres que sigue so positivos. Los sigos o sigue u patró regular.) Podemos aplicar la prueba de comparació a la serie de valores absolutos cos Puesto que cos para toda, etoces cos cos Sabemos que es covergete (serie p co p ) y, por tato, cos es covergete segú la prueba por comparació. De esta maera, la serie dada (cos ) es absolutamete covergete y, debido a eso, covergete de acuerdo co el teorema. La prueba siguiete es muy útil para determiar si ua cierta serie es absolutamete covergete.

46 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Prueba de la razó a i) Si lím L, etoces la serie a es absolutamete covergete l a (y, por tato, covergete). a a ii) Si lím L, o bie, lím l a l a, etoces la serie es divergete. a a iii) Si lím, la prueba de la razó o es cocluyete; es decir, l a o se puede sacar coclusió algua co respecto a la covergecia o a la divergecia de. a DEMOSTRACIÓN i) La idea es comparar la serie dada co ua serie geométrica covergete. Puesto que L, podemos elegir u úmero r tal que L r. Como lím l a a L y L r la razó a a evetualmete será meor que r; es decir, eiste u etero N tal que o, equivaletemete a a r siempre que N 4 a a r siempre que N Al hacer sucesivamete igual a N, N, N,... e 4, se obtiee a N a N r a N a N r a N r a N a N r a N r y, e geeral, 5 Ahora la serie a N k a N r k para toda k k a N r k a N r a N r a N r es covergete porque es ua serie geométrica co 0 r. De modo que la desigualdad 5 juto co la prueba de la comparació demuestra que la serie N a k a N k a N a N a N

47 SECCIÓN.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 75 tambié es covergete. Se ifiere que la serie a es covergete. (Recuerde que ua catidad fiita de térmios o afecta la covergecia.) Por tato, a es absolutamete covergete. ii) Si a a l L, o bie, a a l, etoces la razó a /a evetual mete será mayor que ; es decir, eiste u etero N tal que a a siempre que N Esto sigifica que a a siempre que N y de este modo, lím a 0 l E cosecuecia, a es divergete segú la prueba para la divergecia. NOTA La parte iii) de la prueba de la razó establece que si lím l a a, la prueba o proporcioa iformació. Por ejemplo, e cuato a la serie covergete teemos a a l cuado l mietras que para la serie divergete teemos a a l cuado l La prueba de la razó geeralmete es cocluyete si el -ésimo térmio de la serie cotiee u epoecial o factorial, como vimos e los ejemplos 4 y 5. Estimació de sumas E las tres últimas seccioes usamos varios métodos para estimar la suma de ua serie, y el método depede de cuál prueba se usaba para demostrar la covergecia. Qué sucede co las series para las cuales sí fucioa la prueba de la razó? Hay dos posibilidades: si la serie es alterate, como e el ejemplo 4, etoces es mejor aplicar los métodos de la secció.5. Si todos los térmios so positivos, etoces aplicamos los métodos especiales que se eplica e el ejercicio 8. Por tato, si lím l a a, la serie a podría ser covergete o divergete. E este caso, la prueba de la razó o fucioa, por lo que debemos aplicar otra prueba. EJEMPLO 4 Pruebe si la serie es absolutamete covergete. SOLUCIÓN Aplique la prueba de la razó co a () : a a l De esta maera, de acuerdo co la prueba de la razó, la serie dada es absolutamete covergete y, e cosecuecia, covergete.

48 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS v EJEMPLO 5 Pruebe la covergecia de la serie SOLUCIÓN Puesto que los térmios a! so positivos, o ecesitamos los sigos del valor absoluto.!. a! a!!! l e cuado l (Véase ecuació.6.6.) Puesto que e, la serie dada es divergete segú la prueba de la razó. NOTA Auque la prueba de la razó fucioa e el ejemplo 5, u método más fácil es usar la prueba de la divergecia. Como a! se ifiere que a o tiede a 0 cuado l. Por tato, la serie dada es divergete segú la prueba para la divergecia. Es coveiete aplicar la siguiete prueba cuado hay potecias -ésimas. Su demostració es similar a la de la prueba de la razó y se deja para el ejercicio 4. Prueba de la raíz i) Si lím a, etoces la serie a es absolutamete covergete l s L (y, por tato, covergete). ii) Si lím a o lím a, etoces la serie a es divergete. l s l s L iii) Si lím a, la prueba de la raíz o es cocluyete. l s Si lím l s a, etoces el iciso iii) de la prueba de la raíz establece que la prueba o proporcioa iformació. La serie a podría ser covergete o divergete. (Si L e la prueba de la razó, o itete co la prueba de la raíz porque L será otra vez. Y si L e la prueba de la raíz, o itete la prueba de la razó porque tambié fallará.) v EJEMPLO 6 Pruebe la covergecia de la serie SOLUCIÓN a s a Así, la serie dada coverge segú la prueba de la raíz. l.

49 SECCIÓN.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 77 Reordeamietos La preguta de si ua serie dada que es covergete es absolutamete covergete o codicioalmete covergete, tiee relació co la preguta si las sumas ifiitas se comporta como las sumas fiitas. Naturalmete, si reordeamos los térmios e ua suma fiita, etoces el valor de la suma o cambia. Pero esto o siempre sucede e las series ifiitas. Co reordeamieto de ua serie ifiita a se da a eteder ua serie obteida simplemete al cambiar el orde de los térmios. Por ejemplo, u reordeamieto de a podría empezar como sigue: Resulta que a a a 5 a a 4 a 5 a 6 a 7 a 0 si a es ua serie absolutamete covergete co suma s, etoces cualquier reordeamieto de a tiee la misma suma s. Si embargo, cualquier serie codicioalmete covergete se puede reordear, co lo cual la suma será distita. Para ilustrar este hecho cosidere la serie armóica alterate l (Véase ejercicio 6 e la secció.5.) Si multiplicamos la serie por, obteemos Sumar ceros o afecta la suma de la serie; cada uo de los térmios de la sucesió de sumas parciales se repite, pero el límite es el mismo l Si isertamos ceros etre los térmios de esta serie, teemos l Ahora sumamos la serie de las ecuacioes 6 y 7 usado el teorema..8: l Observemos que la serie e 8 costa de los mismos térmios que e 6, pero reordeados de modo que haya u térmio egativo después de cada par de térmios positivos. Pero las sumas de estas series so diferetes. De hecho, Riema demostró que si a es ua serie codicioalmete covergete y r es cualquier úmero real, etoces hay u reordeamieto de a que tiee ua suma igual a r. Ua demostració de este hecho se platea e el ejercicio Ejercicios. Qué puede decir acerca de la serie a e cada uo de los casos siguietes? ! )a lím l c) lím l a 8 )b lím a a a l a a Determie si la serie es absolutamete covergete, codicioalmete covergete o divergete k k( ) k! e s se Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

50 78 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS.5.7 cos p arcta.6!.8 l! !! ! 5 7 7! cos!!! 5! ! ! 5 8. Los térmios de ua serie se defie e forma recursiva mediate las ecuacioes 5 a a 4 a Determie si a es covergete o divergete.. Ua serie a está defiida por las ecuacioes a a cos s Determie si a coverge o diverge. -4. Sea b ua sucesió de úmeros positivos que coverge a. Determie si la serie dada es absolutamete covergete.. b cos.4 a b b b 5! 5. Para cuáles de las series siguietes la prueba de la razó o es cocluyete (es decir, o proporcioa ua respuesta defiida)? )a )c )b )d s s b 6. Para cuáles eteros positivos k la serie siguiete es covergete?! k! 7. a) Demuestre que 0! coverge para toda. b) Deduzca que lím l! 0 para toda. 8. Sea a ua serie co térmios positivos y sea r a a. Supoga que lím l r L, de modo que a es covergete segú la prueba de la razó. Como es lo usual, sea R el residuo después de térmios, es decir, R a a a a) Si r es ua sucesió decreciete y r, demuestre co la suma de ua serie geométrica que R a r b) Si r es ua sucesió creciete, demuestre que R a L 9. a) Calcule la suma parcial s 5 de la serie. Co ayuda del ejercicio 8 estime el error al usar s 5 como ua aproimació a la suma de la serie. b) Determie u valor de de tal modo que s o difiera de la suma real. Use este valor de para obteer u valor aproimado de la suma de la serie. 40. Use la suma de los primeros 0 térmios para obteer u valor aproimado de la suma de la serie Aplique el ejercicio 8 para estimar el error. 4. Demuestre la prueba de la raíz. [Sugerecia para iciso i): tome cualquier úmero r tal que L r y utilice el hecho de que hay u etero N tal que s a r siempre que N.] 4. Hacia 90, Sriivasa Ramauja, matemático de la Idia, descubrió la fórmula s 4! ! William Gosper utilizó esta serie e 985 para calcular los primeros 7 milloes de dígitos de. a) Verifique que la serie es covergete. b) Cuátos lugares decimales correctos de obtiee el lector si usa sólo el primer térmio de la serie? Qué pasa si usa dos térmios? 4. Dada cualquier serie a, defiimos ua serie a cuyos térmios so todos positivos de a y ua serie a cuyos térmios so todos egativos de a. Para ser específicos, sea a a a a a a

51 SECCIÓN.7 ESTRATEGIA PARA PROBAR SERIES 79 Observe que si a 0, etoces a a y a a, mietras que si a 0, etoces a a y a 0. a) Si a es absolutamete covergete, demuestre que tato la serie a como la a so covergetes. b) Si a es codicioalmete covergete, demuestre que tato la serie a como la a so divergetes. 44. Demuestre que si a es ua serie codicioalmete covergete y r es cualquier úmero real, etoces hay u reordeamieto de a cuya suma es r. [Sugerecias: utilice la otació del ejercicio 4. Tome sólo suficietes térmios positivos a de modo que su suma sea mayor que r. Luego sume sólo suficietes térmios egativos a para que la suma acumulativa sea meor que r. Cotiúe así y aplique el teorema..6.] 45. Supoga que la serie a es codicioalmete covergete. a) Demuestre que la serie a es divergete. b) La covergecia codicioal de a o es suficiete para determiar si a es covergete. Demuestre esto dado u ejemplo de ua serie codicioalmete covergete tal que a coverge y u ejemplo dode a diverge..7 Estrategia para probar series Ya teemos varias maeras de probar la covergecia o divergecia de ua serie; ahora el problema es decidir cuál prueba aplicar e cada serie. E este aspecto, probar series es parecido a itegrar fucioes. No hay reglas rígidas y rápidas co respecto a qué prueba aplicar a ua serie dada, pero puede seguir las recomedacioes siguietes, que le puede ser útiles. No es prudete aplicar ua lista de pruebas e u orde específico hasta que ua fucioe. Eso sería u desperdicio de tiempo y esfuerzo. E lugar de eso, al igual que e la itegració, la estrategia pricipal es clasificar las series de acuerdo co su forma.. Si la serie es de la forma p, es ua serie p, lo cual sigifica que es covergete si p y divergete si p.. Si la serie es de la forma ar o ar, es ua serie geométrica, la cual coverge si r y diverge si r. Se podría requerir alguas operacioes algebraicas para hacer que la serie adquiera esta forma.. Si la serie posee ua forma similar a la de ua serie p o a ua serie geométrica, etoces se debe cosiderar ua de las pruebas por comparació. E particular, si a es ua fució racioal o ua fució algebraica de (es decir, que cotiee raíces de poliomiales), etoces la serie se debe comparar cotra ua serie p. Observe que la mayoría de las series de los ejercicios.4 posee esta forma. (El valor de p se debe escoger como e la secció.4, y coservar sólo las potecias más altas de e el umerador y e el deomiador.) Las pruebas por comparació se aplica sólo e series co térmios positivos, pero si a tiee alguos térmios egativos, etoces podemos aplicar la prueba por comparació a a y probar si hay covergecia absoluta. 4. Si es fácil ver que lím l a 0, etoces se debe aplicar la prueba para la divergecia. 5. Si la serie es de la forma () b, o bie, () b, etoces ua posibilidad obvia es la prueba de la serie alterate. 6. Las series que cotiee factoriales u otros productos (icluso ua costate elevada a ua potecia -ésima) se prueba e forma aceptable usado la prueba de la razó. Siempre piese que a a l cuado l para todas las series p y, por tato, todas las fucioes racioales o algebraicas de. E estas codicioes, la prueba de la raíz o se debe aplicar para dichas series. 7. Si a es de la forma (b ), etoces la prueba de la raíz podría ser útil. 8. Si a f (), dode f d se puede evaluar co facilidad, etoces la prueba de la itegral es efectiva (supoiedo que la hipótesis de esta prueba se cumple).

52 740 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS E los ejemplos siguietes o se preseta todo el desarrollo, sio que simplemete se idica qué prueba se debe usar. v EJEMPLO Puesto que a l 0 cuado l, debe usar la prueba para la divergecia. EJEMPLO s 4 Como a es ua fució algebraica de, compare la serie dada co la serie p. La serie de comparació para la prueba de comparació e el límite es b, dode b s v EJEMPLO e Puesto que la itegral e d se evalúa co facilidad, use la prueba de la itegral. La prueba de la razó tambié fucioa. EJEMPLO 4 4 Como la serie es alterate, aplique la prueba de la serie alterate. v EJEMPLO 5 k k k! Como la serie cotiee k!, se aplica la prueba de la razó. EJEMPLO 6 La serie está estrechamete relacioada co la serie geométrica, por lo que se aplica la prueba por comparació..7 Ejercicios -8 Pruebe si las series so covergetes o divergetes k sl k k e k.0 e k k! k! k. k.4! k k.6 k k s ksk se

53 SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS e k.0 cos. k se k ta! l k l k k s k s k k(sk ) se 5 e k cosh 5 k k 4 k (s ) j.8 j sj j 5! 4 cos l l (s ).8 Series de potecias Ua serie de potecias es ua serie de la forma c c 0 c c c 0 Series trigoométricas Ua serie de potecias es ua serie e la cual cada uo de los térmios es ua fució potecia. Ua serie trigoométrica 0 a cos b se es ua serie cuyos térmios so fucioes trigoométricas. Este tipo de serie se aaliza e el sitio web Haga clic e Additioal Topics y luego e Fourier Series. Nótese que!...! dode es ua variable y las c so costates llamados coeficietes de la serie. Para cada fija, la serie es ua serie de costates que podemos probar para ver si so covergetes o divergetes. Ua serie de potecias podría ser covergete para alguos valores de y ser divergete para otros. La suma de la serie es ua fució f c 0 c c c cuyo domiio es el cojuto de todas las para las cuales la serie coverge. Observe que f es aáloga a ua fució poliomial. La úica diferecia es que f tiee u ifiito de térmios. Por ejemplo, si tomamos c para toda, la serie de potecias se trasforma e ua serie geométrica 0 que es covergete cuado y es divergete cuado. (Véase ecuació..5.) Más geeralmete, ua serie de la forma c a c 0 c a c a 0 se deomia serie de potecias e ( a), o bie, serie de potecias cetrada e a, o tambié, serie de potecias e toro a a. Observe que al escribir el térmio correspodiete a 0 e las ecuacioes y, se ha adoptado la coveció de que ( a) 0 au cuado a. Asimismo, ote que cuado a todos los térmios so 0 para y de este modo la serie de potecias siempre es covergete cuado a. v EJEMPLO Para qué valores de la serie! es covergete? 0 SOLUCIÓN Utilizamos la prueba de la razó. Sea a, como se acostumbra, el -ésimo térmio de la serie, etoces a!. Si 0, teemos lím a! lím l a l! lím l

54 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Segú la prueba de la razó, la serie es divergete cuado 0. Así, la serie dada coverge sólo cuado 0. v EJEMPLO Para qué valores de la serie SOLUCIÓN Sea a ( ). Etoces a a es covergete? l cuado l De acuerdo co la prueba de la razó, la serie dada es absolutamete covergete y, por tato, covergete cuado y divergete cuado. Ahora &? &? 4 de modo que la serie coverge cuado 4 y diverge cuado o bie 4. La prueba de la razó o proporcioa iformació cuado de modo que debemos cosiderar y 4 por separado. Si poemos 4 e la serie, resulta, la serie armóica, la cual es divergete. Si, la serie es (), la cual es covergete de acuerdo co la prueba de la serie alterate. Por tato, la serie de potecias dada coverge para 4. Natioal Film Board of Caada Veremos que el uso pricipal de las series de potecias es proporcioar ua maera de represetar alguas de las fucioes más importates que surge e matemáticas, física y química. E particular, la suma de la serie de potecias del ejemplo siguiete se llama fució de Bessel, e hoor al astróomo alemá Friedrich Bessel ( ), y la fució dada e el ejercicio 5 es otro ejemplo de la fució de Bessel. E efecto, estas fucioes surgiero primero cuado Bessel resolvió la ecuació de Kepler para describir el movimieto de los plaetas. Desde esa época, estas fucioes se aplica e diversas situacioes físicas, si olvidar la distribució de temperaturas e ua lámia circular y las vibracioes de ua membraa de u tambor. EJEMPLO Determie el domiio de la fució de Bessel de orde 0 defiida por J 0 0! Observe cómo la aproimació del modelo geerado por computadora (el cual utiliza fucioes de Bessel y de coseos) coicide co la fotografía de ua membraa vibratoria de hule. SOLUCIÓN Sea a!. Etoces a! a!!! 4 l 0 para toda De este modo, de acuerdo co la prueba de la razó, la serie dada coverge para todos los valores de. E otras palabras, el domiio de la fució de Bessel J 0 es (, ).

55 SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 74 y s s Recuerde que la suma de ua serie es igual al límite de la sucesió de las sumas parciales. De esa maera, cuado se defie la fució de Bessel del ejemplo como la suma de ua serie sigifica que, para todo úmero real, s J 0 lím s l dode s i 0 i i i i! 0 s s FIGURA Sumas parciales de la fució de Bessel J y J Las primeras sumas parciales so s s s s 4 s _0 FIGURA y=j () 0 0 E la figura se muestra las gráficas de estas sumas parciales, las cuales so fucioes poliomiales. Todas so aproimacioes de la fució J 0, pero observe que la aproimació es mejor cuado se icluye más térmios. E la figura se ilustra ua gráfica más completa de la fució de Bessel. E lo que respecta a la serie de potecias eamiadas hasta el mometo, el cojuto de valores de para los cuales la serie es covergete ha resultado ser siempre u itervalo [u itervalo fiito de la serie geométrica y la serie del ejemplo, el itervalo ifiito (, ) del ejemplo y u itervalo colapsado [0, 0] 0 del ejemplo ]. El teorema siguiete, demostrado e el apédice F, establece que esto es válido e geeral. Teorema Para ua serie de potecias dada c a hay sólo tres 0 posibilidades: i) La serie coverge sólo cuado a. ii) La serie coverge para toda. iii) Hay u úmero positivo R tal que la serie coverge si a R y diverge si a R. El úmero R e el caso iii) se llama radio de covergecia de la serie de potecias. Por coveció, el radio de covergecia es R 0 e el caso i) y R e el caso ii). El itervalo de covergecia de ua serie de potecias es el itervalo que cosiste e todos los valores de para los cuales la serie coverge. E el caso i) el itervalo costa de u solo puto a. E el caso ii) el itervalo es (, ). Observe que e el caso iii) la desigualdad a R se puede escribir de uevo como a R a R. Cuado es u etremo del itervalo, es decir, a R, cualquier cosa puede suceder: la serie podría ser covergete e uo o e ambos etremos, o podría ser divergete e ambos etremos. Por tato, e el caso iii) hay cuatro posibilidades para el itervalo de covergecia: (a R, a R) (a R, a R] [a R, a R) [a R, a R] La situació se ilustra e la figura. -a <R FIGURA a-r a a+r -a >R

56 744 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Aquí resumimos el radio y el itervalo de covergecia para cada uo de los ejemplos ya cosiderados e esta secció. Series Radio de covergecia Itervalo de covergecia Serie geométrica 0 R, Ejemplo 0! R 0 0 Ejemplo R, 4 Ejemplo R,! 0 E geeral, la prueba de la razó (o a veces, la prueba de la raíz) se debe usar para determiar el radio de covergecia R. Las pruebas de la razó y la raíz siempre fracasa cuado es u etremo del itervalo de covergecia, de modo que es ecesario verificar los etremos por medio de algua otra prueba. EJEMPLO 4 serie Determie el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la 0 s SOLUCIÓN Sea a s. Etoces a s a s l cuado l De acuerdo co la prueba de la razó, la serie dada coverge si y es divergete si. E estos térmios, es covergete si y divergete si. Esto sigifica que el radio de covergecia es R. Sabemos que la serie coverge e el itervalo (, ), pero ahora es ecesario probar si hay covergecia e los etremos de este itervalo. Si, la serie se trasforma e 0 ( ) s 0 s s s s s4 la cual es divergete. (Aplique la prueba de la itegral o simplemete observe que es ua serie p co p.) Si, la serie es 0 ( ) s 0 s la cual coverge de acuerdo co la prueba de la serie alterate. Por tato, la serie de potecias dada coverge cuado, de modo que el itervalo de covergecia es (, ].

57 SECCIÓN.8 SERIES DE POTENCIAS 745 v EJEMPLO 5 Determie el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la serie 0 SOLUCIÓN Si a ( ), etoces a a l cuado l Al usar la prueba de la razó, se ve que la serie es covergete si y que es divergete si. De modo que es covergete si y divergete si. Así que, el radio de covergecia es R. La desigualdad se puede escribir como 5, así que probamos la serie e los etremos 5 y. Cuado 5, la serie es 0 0 la cual es divergete segú la prueba de la divergecia [() o coverge a 0]. Cuado, la serie es 0 la cual tambié es divergete segú la prueba de la divergecia. Por esto, la serie coverge sólo cuado 5, de modo que el itervalo de covergecia es (5, ). 0.8 Ejercicios. Qué es ua serie de potecias?. a) Cuál es el radio de covergecia de ua serie de potecias? Cómo se determia? b) Cuál es el itervalo de covergecia de ua serie de potecias? Cómo se calcula? -8 Determie el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la serie ! s l s 4.8 s.0 0! 4 5 s Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

58 746 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. a, b 0 b., l a b 0.! b ! 5 l 9. Si 0 c 4 es covergete, se ifiere que las siguietes series so covergetes? c 0 a) b) c 0 0. Supoga que 0 c coverge cuado 4 y diverge cuado 6. Qué puede decir co respecto a la covergecia o divergecia de la serie siguiete? c 0 a) b) c 0 c) d) 0 0 c 8 4 c 9. Si k es u etero positivo, ecuetre el radio de covergecia de la serie 0! k k!. Sea p y q úmeros reales co p q. Ecuetre ua serie de potecias cuyo itervalo de covergecia sea a) (p, q) b) (p, q] c) [p, q) d) [p, q]. Es posible hallar ua serie de potecias cuyo itervalo de covergecia sea [0, )? Eplique. 4. Grafique las primeras sumas parciales s () de la serie 0, juto co la fució suma f () ( ) sobre ua misma patalla. Sobre qué itervalo parece que coverge estas sumas parciales a f ()? SAC SAC 5. La fució J defiida por J 0!! se llama fució de Bessel de orde. a) Determie el domiio. b) Grafique las primeras sumas parciales e ua misma patalla. c) Si su SAC tiee icorporadas las fucioes de Bessel, grafique J e la misma patalla que las sumas parciales del iciso b) y observe cómo se aproima las sumas parciales a J. 6. La fució A se defie mediate A que se llama fució de Airy e hoor al matemático y astróomo iglés sir George Airy (80-89). a) Determie el domiio de la fució de Airy. b) Grafique las primeras sumas parciales e ua misma patalla. c) Si su SAC tiee icorporadas las fucioes de Airy, grafique A e la misma patalla que las sumas parciales del iciso b), y observe cómo las sumas parciales se aproima a A. 7. Ua fució f está defiida mediate f 4 es decir, sus coeficietes so c y c para toda 0. Determie el itervalo de covergecia de la serie y platee ua fórmula eplícita para f (). 8. Si f 0 c, dode c 4 c para toda 0, determie el itervalo de covergecia de la serie y ua fórmula para f (). 9. Demuestre que si lím l c c, dode c 0, etoces el radio de covergecia de la serie de potecias c es R c. 40. Supoga que la serie de potecias c ( a) satisface c 0 para toda. Demuestre que si lím l c c eiste, etoces es igual al radio de covergecia de la serie de potecias. 4. Supoga que el radio de covergecia de la serie c es y que el radio de covergecia de la serie d es. Cuál es el radio de covergecia de la serie (c d )? 4. Supoga que el radio de covergecia de la serie de potecias c es R. Cuál es el radio de covergecia de la serie de potecias c?.9 Represetació de las fucioes como series de potecias E esta secció aprederá a represetar ciertos tipos de fucioes como sumas de series de potecias mediate la maipulació de series geométricas, o mediate derivació o itegració de dichas series. Quizá se pregute por qué siempre se busca epresar ua fució coocida como ua suma de ua catidad ifiita de térmios. Más adelate se eplica la utilidad de esta estrategia e la itegració de fucioes que o tiee atiderivadas elemetales, e la solució de ecuacioes difereciales y para aproimar fucioes

59 SECCIÓN.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 747 mediate poliomiales. (Los cietíficos lo hace así para simplificar las epresioes co las que trabaja; los especialistas e computació lo hace así para represetar fucioes e calculadoras y computadoras.) Empecemos co ua ecuació que ya estudiamos ates: 0 Ua ilustració geométrica de la ecuació se muestra e la figura. Como la suma de ua serie es el límite de la sucesió de las sumas parciales dode lím s l s es la -ésima suma parcial. Observe que cuado se icremeta, s () se vuelve ua mejor aproimació de f () para. Ya ecotramos esta ecuació e el ejemplo 6 de la secció., dode la obtuvimos al observar que es ua serie geométrica co a y r. Pero e este caso uestro puto de vista es distito. Ahora cosidere la ecuació como epresió de la fució f () ( ) como ua suma de ua serie de potecias. FIGURA v EJEMPLO Eprese ( ) como la suma de ua serie de potecias y determie el itervalo de covergecia. SOLUCIÓN Al reemplazar por e la ecuació, teemos Como ésta es ua serie geométrica, es covergete cuado, es decir,, o bie,. Por tato, el itervalo de covergecia es (, ). Naturalmete, podría haber determiado el radio de covergecia aplicado la prueba de la razó, pero esa catidad de trabajo es iecesaria e este caso. EJEMPLO Determie ua represetació e serie de potecias para ( ). SOLUCIÓN Co objeto de poer esta fució e la forma del lado izquierdo de la ecuació, primero se factoriza u del deomiador: 0 0 Esta serie coverge cuado, es decir,. De modo que el itervalo de covergecia es (, ).

60 748 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Es válido pasar al otro lado del sigo de la suma porque o depede de. [Aplique el teorema..8 i ) co c.] EJEMPLO Obtega ua represetació como serie de potecias de ( ). SOLUCIÓN Puesto que esta fució es justamete veces la fució del ejemplo, todo lo que debe hacer es multiplicar esa serie por : Otra forma de escribir esta serie es como sigue: Como e el ejemplo, el itervalo de covergecia es (, ). Derivació e itegració de series de potecias La suma de ua serie de potecias es ua fució f 0 c a cuyo domiio es el itervalo de covergecia de la serie. Para derivar e itegrar estas fucioes, el siguiete teorema (el cual o será demostrado) establece que es posible derivar o itegrar cada uo de los térmios de la serie, justo como se haría para u poliomio. Esto se deomia derivació e itegració térmio a térmio. Teorema Si la serie de potecias c a posee u radio de covergecia R 0, etoces la fució f defiida por f c 0 c a c a c 0 a es derivable (y, por tato, cotiua) sobre el itervalo a R, a R y E el iciso ii), c 0 d c 0 C se escribe como c 0( a) C, dode C C ac 0, de modo que todos los térmios de la serie tiee la misma forma. i) ii) f c c a c a c a y f d C c 0 a c a c a C 0 c a Los radios de covergecia de la serie de potecias e las ecuacioes i) y ii) so R. NOTA Las ecuacioes i) y ii) del teorema se puede volver a escribir e la forma iii) d d c a d 0 0 d c a iv) y 0 c a d 0 y c a d

61 SECCIÓN.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 749 Sabemos que, por lo que toca a las sumas fiitas, la derivada de ua suma es la suma de las derivadas y la itegral de ua suma es la suma de las itegrales. Las ecuacioes iii) y iv) asegura que lo mismo se cumple para sumas ifiitas, siempre que esté trabajado co series de potecias. (E el caso de otros tipos de series de fucioes la situació o es ta simple; véase ejercicio 8.) NOTA Auque el teorema establece que el radio de covergecia es el mismo cuado ua serie de potecias es derivada o itegrada, esto o quiere decir que el itervalo de covergecia siga siedo el mismo. Podría suceder que la serie origial coverja e el etremo, y que la serie derivada sea divergete ahí. (Véase ejercicio el 9.) NOTA La idea de derivar ua serie de potecias térmio a térmio es la base de u método eficaz para resolver ecuacioes difereciales. Estudiaremos este método e el capítulo 7. EJEMPLO 4 E el ejemplo de la secció.8 vimos que la fució de Bessel J 0 0! se defie para toda. De esta maera, de acuerdo co el teorema, J 0 es derivable para toda y su derivada se ecuetra derivado térmio a térmio como sigue: J 0 0 d d!! v EJEMPLO 5 Eprese ( ) como ua serie de potecias derivado la ecuació. Cuál es el radio de covergecia? SOLUCIÓN Al derivar cada miembro de la ecuació obteemos 0 Si quisiéramos podríamos reemplazar por y escribir la respuesta como 0 De acuerdo co el teorema, el radio de covergecia de la serie derivada es el mismo que el radio de covergecia de la serie origial, R. EJEMPLO 6 Determie ua represetació como serie de potecias para l( ) y su radio de covergecia. SOLUCIÓN Observe que la derivada de esta fució es ( ). De la ecuació teemos

62 750 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Itegrado ambos lados de esta epresió, obteemos l y d y d 4 4 C C Para determiar el valor de C hacemos 0 e esta ecuació y obteemos ( 0) C. Por tato, C 0 y l 4 4 El radio de covergecia es el mismo que el de la serie origial: R. v EJEMPLO 7 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para f () ta. SOLUCIÓN Observe que f () ( ) y ecuetre la serie requerida itegrado la serie de potecias para ( ) determiada e el ejemplo. ta y d y 4 6 d La serie de potecias para ta obteida e el ejemplo 7 se llama serie de Gregory e hoor al matemático escocés James Gregory (68-675), quie proosticó alguos de los descubrimietos de Newto. Ya se demostró que la serie de Gregory es válida cuado, pero resulta que (auque o es fácil de demostrar) tambié es válida cuado. Observe que cuado la serie se trasforma e Este admirable resultado se cooce como fórmula de Leibiz para. C Para determiar C hacemos 0 y obteemos C ta 0 0. Por tato, ta Puesto que el radio de covergecia de la serie para ( ) es, el radio de covergecia de esta serie para ta es tambié. EJEMPLO 8 a) Evalúe 7 d como ua serie de potecias. b) Mediate el iciso a) obtega ua aproimació de d co ua aproimació de 0 7 del valor real. SOLUCIÓN a) El primer paso es epresar el itegrado, ( 7 ) como la suma de ua serie de potecias. Como e el ejemplo, iicie co la ecuació y reemplace por 7 :

63 SECCIÓN.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 75 Este ejemplo muestra ua maera e que las represetacioes como series de potecias puede ser útiles. Itegrar ( 7 ) a mao es icreíblemete difícil. Diferetes sistemas algebraicos computacioales da respuestas de distitas formas, pero so etremadamete complicadas. (Si tiee u SAC, itételo usted mismo.) La respuesta de la serie ifiita que se obtiee e el ejemplo 8a) es realmete mucho más fácil de maejar que la respuesta fiita que proporcioa u SAC. Ahora itegramos térmio a térmio: y 7 d y C 0 7 d C Esta serie coverge para 7, es decir, para. 7 7 b) Si aplicamos el teorema fudametal del cálculo o importa qué atiderivada usemos, de modo que utilicemos la atiderivada del iciso a) co C 0: y d Esta serie ifiita es el valor eacto de la itegral defiida, pero como es ua serie alterate, podemos obteer ua aproimació de la suma aplicado el teorema de la estimació de la serie alterate. Si dejamos de sumar después del térmio, el error es meor que el térmio co 4: De modo que y d Ejercicios. Si e radio de covergecia de la serie de potecias 0 c es 0, cuál es el radio de covergecia de la serie c? Por qué?. Supoga que sabe que la serie 0 b es covergete para. Qué puede decir de la siguiete serie? Por qué? 0 b -0 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para la fució y determie el itervalo de covergecia.. f.4 f 5. f 6. f f 8. f 9.9f.0 f a - Eprese la fució como la suma de ua serie de potecias usado primero fraccioes parciales. Determie el itervalo de covergecia..f. f. a) Use la derivació para determiar ua represetació como serie de potecias para f Cuál es el radio de covergecia? Se requiere calculadora graficadora o computadora. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

64 75 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS b) Por medio del iciso a) determie ua serie de potecias para f c) Mediate el iciso b) determie ua serie de potecias para f 4. a) Utilice la ecuació para determiar la represetació e series de potecias para f () l( ). Cuál es el radio de covergecia? b) Mediate el iciso a) determie ua serie de potecias para f () l( ). c) Haciedo e su resultado del iciso a), eprese l como la suma de ua serie ifiita. 5-0 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para la fució y determie el radio de covergecia. 5. f l 5 6. f ta.7 f.9 f 4.8 f.0 f -4 Ecuetre ua represetació como serie de potecias para f, y grafique f y varias sumas parciales s () e la misma patalla. Qué sucede cuado se icremeta?. f. f l 4 6. f l 4. f ta 5-8 Evalúe la itegral idefiida como ua serie de potecias. Cuál es el radio de covergecia? t 5. y 6. t dt t y 8 t dt.7 y l d.8 y ta d 9- Use ua serie de potecias para aproimar la itegral defiida co ua aproimació de seis cifras decimales. y y y 0.4 l 4 d d 5 0. y 0. arcta d 0 d 4. Co el resultado del ejemplo 7, calcule arcta 0. co ua aproimació de cico cifras decimales. 4. Demuestre que la fució f 0! es ua solució de la ecuació diferecial f () f () 0 5. a) Demuestre que J 0 (la fució de Bessel de orde 0 dada e el ejemplo 4) cumple co la ecuació diferecial J 0 J 0 J 0 0 b) Evalúe J0 d co ua aproimació de tres cifras 0 decimales. 6. La fució de Bessel de orde se defie co J 0!! a) Demuestre que J satisface la ecuació diferecial J J J 0 b) Demuestre que J 0 J. 7. a) Demuestre que la fució f 0! es ua solució de la ecuació diferecial f () f () b) Demuestre que f () e. 8. Sea f () (se ). Demuestre que la serie f () es covergete para todos los valores de, pero la serie de derivadas f () es divergete cuado, es u etero. Para qué valores de la serie f () es covergete? 9. Sea f Determie los itervalos de covergecia para f, f y f. 40. a) Empezado co la serie geométrica 0, calcule la suma de la serie b) Calcule la suma de cada ua de las series siguietes. i), ii)

65 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 75 c) Determie la suma de cada ua de las series siguietes. i), ii) iii) 4. Utilice la serie de potecias para ta para demostrar la siguiete epresió para como la suma de ua serie ifiita: 4. a) Completado cuadrados demuestre que y 0 d s b) Mediate la factorizació de como ua suma de cubos, escriba de uevo la itegral del iciso a). Luego eprese ( ) como la suma de ua serie de potecias y úsela para demostrar la siguiete fórmula para : s 0 s Series de Taylor y de Maclauri E la secció aterior, se represetaro como series de potecias ua cierta clase restrigida de fucioes. E esta secció se trata problemas más geerales: qué fucioes se puede represetar como series de potecias? Cómo es posible hallar esa represetació? Empecemos por supoer que f es cualquier fució que se puede represetar mediate ua serie de potecias f c 0 c a c a c a c 4 a 4 a R Tratemos de determiar qué coeficietes c tiee que estar e fució de f. Para empezar, observe que si hacemos a e la ecuació, etoces todos los térmios después del primero so 0 y obteemos f (a) c 0 De acuerdo co el teorema.9., podemos derivar la serie de la ecuació térmio a térmio: f c c a c a 4c 4 a a R y al sustituir a e la ecuació teemos f a c E seguida derivemos ambos miembros de la ecuació para obteer f c c a 4c 4 a Ua vez más hacemos a e la ecuació. El resultado es f a c a R Apliquemos el procedimieto ua vez más. La derivació de la serie de la ecuació os da 4 f c 4c 4 a 4 5c 5 a y la sustitució de a e la ecuació 4 da f a c!c a R Ahora ya podemos ver el patró. Si cotiuamos derivado y sustituyedo a, obteemos f a 4 c!c

66 754 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Al resolver esta ecuació para el -ésimo coeficiete c, teemos c f a! Esta fórmula sigue siedo válida icluso para 0 si adoptamos la coveció de que 0! y f (0) f. E estos térmios, hemos demostrado el teorema siguiete: 5 Teorema Si f se puede represetar como ua serie de potecias (epasió) e a, es decir, si f 0 c a a R etoces sus coeficietes está dados por la fórmula c f a! Si sustituimos esta fórmula para c de uevo e la serie, observamos que si f tiee u desarrollo e serie de potecias e a, etoces debe ser de la forma siguiete: 6 f 0 f a! a f a f a! a f a! a f a! a Taylor y Maclauri La serie de Taylor lleva este ombre e hoor al matemático igles Brook Taylor (685-7) y la serie de Maclauri se llama así para recordar al matemático escocés Coli Maclauri ( ) a pesar del hecho de que la serie de Maclauri es realmete u caso especial de la serie de Taylor. Pero la idea de represetar fucioes particulares como sumas de series de potecias se remota a Newto, y el matemático escocés James Gregory cooció la serie geeral de Taylor e 668 y el matemático suizo Joh Beroulli la cooció por 690. Al parecer, Taylor o coocía el trabajo de Gregory i de Beroulli cuado publicó sus descubrimietos relacioados co las series e 75 e su libro Methodus icremetorum directa et iversa. Las series de Maclauri se llama así porque Coli Maclauri las popularizó e su libro de teto Treatise of Fluios que se publicó e 74. La serie de la ecuació 6 se deomia serie de Taylor de la fució f e a (o bie, e toro a a o cetrada e a). Para el caso especial a 0 la serie de Taylor se trasforma e 7 f 0 f 0! f 0 Este caso surge co bastate frecuecia, y se le da el ombre especial de serie de Maclauri. NOTA Ya se demostró que si f se puede represetar como ua serie de potecias co respecto a a, etoces f es igual a la suma de sus series de Taylor. Pero hay fucioes que o so iguales a la suma de sus series de Taylor. U ejemplo de tales fucioes se preseta e el ejercicio 74. v EJEMPLO Determie la serie de Maclauri de la fució f () e y su radio de covergecia. SOLUCIÓN Si f () e, etoces f () () e, por lo que f () (0) e 0 para toda. Por tato, la serie de Taylor para f e 0 (es decir, la serie de Maclauri) es f 0! f 0! 0 f 0! 0!!!!

67 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 755 Para determiar el radio de covergecia hacemos a!. Etoces a a!! l 0 así que, segú la prueba de la razó, la serie coverge para toda y el radio de covergecia es R. La coclusió que obteemos del teorema 5 y el ejemplo es que si e tiee u desarrollo e serie e potecias e 0, etoces e 0! Así que, cómo podemos determiar si e tiee ua represetació como serie de potecias? Ivestiguemos la cuestió más geeral: e qué circustacias ua fució es igual a la suma de su serie de Taylor? E otras palabras, si f tiee derivadas de todos los órdees, cuádo es cierto que f 0 f a! a Como sucede co cualquier serie covergete, esto quiere decir que f () es el límite de la sucesió de sumas parciales. E el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales so T i 0 f i a i! a i fa f a! a f a! a f a! a y=t () FIGURA y=t () y (0, ) y= y=t () y=t () y=t () 0 Cuado crece, T () parece aproimarse a e e la figura. Esto sugiere que e es igual a la suma de su serie de Taylor. Observe que T es ua poliomial de grado llamado poliomio de Taylor de -ésimo grado de f e a. Por ejemplo, e el caso de la fució epoecial f () e, el resultado del ejemplo muestra que las poliomiales de Taylor e 0 (o poliomiales de Maclauri), co, y so T T! T Las gráficas de la fució epoecial y estos tres poliomios de Taylor se ilustra e la figura. E geeral, f () es la suma de su serie de Taylor si Si hacemos R f T f lím T l! de maera que f T R! etoces R () se llama residuo de la serie de Taylor. Si podemos de algua maera demostrar que lím l R 0, etoces se sigue que lím T lím f R f lím R f l l l Por tato, hemos demostrado el siguiete teorema.

68 756 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 8 Teorema Si f T R dode T es el poliomio de Taylor de -ésimo grado de f e a y lím R 0 l para a R etoces f es igual a la suma de sus series de Taylor e el itervalo a R. Al tratar de demostrar que lím l R 0 para ua fució específica f, se usa por lo regular el siguiete teorema. 9 Desigualdad de Taylor Si f M para a d etoces el residuo R de la serie de Taylor cumple co la desigualdad R M! a para a d Para ver por qué es cierto para, supogamos que f () M. E particular, se tiee f () M, de tal maera que para a a d teemos y a f t dt y Mdt a Fórmulas para el residuo de Taylor Otras opcioes aparte de la desigualdad de Taylor so las fórmulas siguietes para el residuo. Si f () es cotiua sobre u itervalo I y [ I, etoces R! y t f t dt a Esta epresió recibe el ombre de forma itegral del térmio del residuo. Otra fórmula, que se llama forma de Lagrage del térmio del residuo, establece que hay u úmero z etre y a tal que R f z! a Esta versió es ua geeralizació del teorema del valor medio (que es el caso 0). Las demostracioes de estas fórmulas, además del aálisis de cómo usarlas para resolver los ejemplos de las seccioes.0 y., se ecuetra e la págia web Haga clic e Additioal Topics y luego e Formulas for the Remaider Term i Taylor series. Ua atiderivada de f es f, por lo que segú la parte del teorema fudametal del cálculo teemos Así que f f a M a y f t dt a f f a f a a o bie Pero R f T f f a f a a y a f f a M a f a M t a dt f f a f a a M a R M a M a U razoamieto similar, aplicado f () M, demuestra que De maera que R R M a M a De. modo que Auque hemos supuesto que a, cálculos similares muestra que esta desigualdad es válida tambié para a.

69 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 757 Esto demuestra la desigualdad de Taylor para el caso dode. El resultado para cualquier se demuestra de maera parecida itegrado veces. (Véase el ejercicio 7 para el caso.) NOTA E la secció. se eplora el uso de la desigualdad de Taylor e la aproimació de fucioes. Aquí, el uso imediato es juto co el teorema 8. Co frecuecia, al aplicar los teoremas 8 y 9 es útil recurrir al hecho siguiete. 0 para todo úmero real Esto es verdadero porque, de acuerdo co el ejemplo, la serie! es covergete para toda por lo que su -ésimo térmio se aproima a 0. v EJEMPLO Demuestre que e es igual a la suma de su serie de Maclauri. SOLUCIÓN Si f () e, etoces f () () e para toda. Si d es cualquier úmero positivo y d, etoces f () () e e d. Así que la desigualdad de Taylor, co a 0 y M e d, establece que R e d! para d Observe que la misma costate M e d fucioa para todo valor de. Pero, segú la ecuació 0, teemos lím l e d! e d lím! l 0 Se ifiere etoces del teorema de la compresió que lím l R 0 y, por tato, lím l R 0 para todos los valores de. De acuerdo co el teorema 8, e es igual a la suma de su serie de Maclauri, es decir, e 0! para toda E 748, Leohard Euler aplicó la ecuació para determiar el valor de e co dígitos decimales. E 007 Shigeru Kodo, usado de uevo la serie, calculó e co más de milloes de lugares decimales. Las técicas especiales que utilizaro para acelerar el cálculo se eplica e la págia web umbers.computatio.free.fr E particular, si hacemos e la ecuació, obteemos la siguiete epresió para el úmero e como ua suma de ua serie ifiita: e 0! EJEMPLO Determie la serie de Taylor para f () e e a.! SOLUCIÓN Se tiee f ( ) () e y, de este modo, al hacer a e la defiició de la serie de Taylor 6, obteemos!! 0 f! 0 e!

70 758 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Tambié se puede verificar, como e el ejemplo, que el radio de covergecia es R. Como e el ejemplo podemos comprobar que lím l R 0, de modo que e 0 e! para toda Hay dos desarrollos e series de potecias para e, la serie de Maclauri de la ecuació y la serie de Taylor de la ecuació. El primero es mejor si está iteresado e valores de cercaos a 0 y el segudo fucioa muy bie si es cercao a. EJEMPLO 4 Determie la serie de Maclauri para se y demuestre que represeta a se para toda. SOLUCIÓN Orgaizamos uestros cálculos e dos columas como sigue: f se f 0 0 f cos f 0 f se f 0 0 E la figura se ilustra la gráfica de se juto co su poliomio de Taylor (o de Maclauri) T T T 5 y= y!! T 5 5! Observe que cuado se icremeta, T () se vuelve ua mejor aproimació para se. T 0 f cos f 0 f 4 se f Puesto que la derivada se repite e u ciclo de cuatro, podemos escribir la serie de Maclauri como sigue: f 0 f 0!! f 0! 5 5! f 0! 7 7! 0! Puesto que f () () es se o bie, cos, sabemos que f () () para toda. De este modo podemos tomar M e la desigualdad de Taylor: 4 R M!! FIGURA T De acuerdo co la ecuació 0, el lado derecho de esta desigualdad tiede a 0 cuado l, de modo que R () l 0 segú el teorema de compresió. Se ifiere etoces que R () l 0 cuado l, de modo que se es igual a la suma de su serie de Maclauri de acuerdo co el teorema 8. Se establece el resultado del ejemplo 4 para referecia futura. 5 se 0! 5 5! 7 7!! para toda EJEMPLO 5 Determie la serie de Maclauri para cos.

71 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 759 SOLUCIÓN Podríamos proceder e forma directa como e el ejemplo 4, pero es más fácil derivar la serie de Maclauri para se dada por la ecuació 5: cos d d se d d! 5 5! 7 7!! 5 4 5! 7 6 7!! 4 4! 6 6! Las series de Maclauri para e, se y cos que ecotramos e los ejemplos, 4 y 5 fuero descubiertas por Newto aplicado métodos distitos. Estas ecuacioes so otables porque se cooce todo co respecto a cada ua de estas fucioes si coocemos todas sus derivadas e el úmero 0. Puesto que la serie de Maclauri para se coverge para toda, el teorema de la secció.9 señala que la serie derivada para cos coverge tambié para toda. Así, 6 cos 0! 4 4!! 6 6! para toda EJEMPLO 6 Determie la serie de Maclauri para la fució f () cos. SOLUCIÓN E lugar de calcular las derivadas y sustituir e la ecuació 7, es más fácil multiplicar la serie para cos, ecuació 6, por : cos 0! 0! EJEMPLO 7 Represete f () se como la suma de su serie de Taylor cetrada e. SOLUCIÓN Primero acomodamos los valores e columas Hemos obteido dos diferetes represetacioes e serie para se, la serie de Maclauri e el ejemplo 4 y la serie de Taylor e el ejemplo 7. Es mejor utilizar la serie de Maclauri para los valores de cercaos a 0 y la serie de Taylor para cercaos a. Observe que el tercer poliomio de Taylor T e la figura es ua buea aproimació al se cerca de, mas o así cerca de 0. Compárelo co el tercer poliomio de Maclauri T e la figura, dode lo opuesto es verdadero. y f se f f cos f f se f f cos f p p p p s s y= y este patró se repite idefiidamete. Por tato, la serie de Taylor e es 0 π f p f p! p f p! p f p! p FIGURA T s! p s p p!!

72 760 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La demostració de que esta serie represeta se para toda es muy similar a la del ejemplo 4. [Sólo reemplace por e (4).] Podemos escribir la serie co la otació sigma si separamos los térmios que cotiee s : se 0 s! p 0! p Las series de potecias obteidas mediate métodos idirectos e los ejemplos 5 y 6 y e la secció.9 so realmete la serie de Taylor o de Maclauri de las fucioes dadas porque el teorema 5 así lo establece, ya que o importa cómo se obtega ua represetació e ua serie de potecias f c a, siempre es cierto que c f a!. E otras palabras, la determiació de los coeficietes es úica. EJEMPLO 8 Ecuetre la serie de Maclauri para f k, dode k es cualquier úmero real. SOLUCIÓN Al ordear uestro trabajo e columas, teemos f k f 0 f k k f 0 k f k k k f 0 kk f k k k k f 0 kk k.. f k k k k f 0 kk k Por tato, la serie de Maclauri de f () ( ) k es 0 f 0! 0 k k k! Esta serie se deomia serie biomial. Observe que si k es u etero o egativo, etoces los térmios so evetualmete cero y por tato la serie es fiita. Para otros valores de k, iguo de sus térmios es cero, por lo que podemos itetar la prueba de la razó. Si el -ésimo térmio es a, etoces a! a k k k k! k k k k k l cuado l Así, por la prueba de la razó, la serie biomial coverge si y diverge si. La otació tradicioal para los coeficietes de la serie biomial es k kk k k! y estos úmeros se llama coeficietes biomiales.

73 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 76 El siguiete teorema establece que ( ) k es igual a la suma de su serie de Maclauri. Es posible demostrar esto al probar que el residuo R () se aproima a 0, pero esto resulta ser muy difícil. La demostració resumida e el ejercicio 75 es mucho más fácil. 7 Serie biomial Si k es cualquier úmero real y, etoces k 0 k k k k! k k k! Au cuado la serie biomial siempre coverge cuado, la preguta de si coverge o o e los etremos,, depede del valor de k. Resulta que la serie coverge e si k 0 y e ambos etremos si k. Nótese que si k es u etero positivo y k, etoces la epresió para ( k ) cotiee u factor (k k), de modo que ( k ) 0 para k. Esto sigifica que la serie termia y se reduce al teorema del biomio ordiario cuado k es u etero positivo. (Véase la págia de referecia.) v EJEMPLO 9 Ecuetre la serie de Maclauri para la fució f radio de covergecia. SOLUCIÓN Escribimos f () de forma que podamos usar la serie biomial: s4 y su s Y al usar la serie biomial co k dode fue reemplazada por 4, teemos s ( )( )! 4 ( )( )( 5 )! 4 5 ( )( )( ) ( )! 4 8!8 5 5!8!8 Sabemos de (7) que esta serie coverge cuado 4, es decir, 4, de modo que el radio de covergecia es R 4. E la tabla siguiete se resume, para referecia futura, alguas de las series importates de Maclauri que hemos deducido e esta secció y e la aterior.

74 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TABLA Series importates de Maclauri y sus radios de covergecia. R 0 e 0!!!! R se 0!! 5 5! 7 7! R cos 0!! 4 4! 6 6! R ta R l 4 4 R k 0 k k k k! k k k! R EJEMPLO 0 Ecuetre la suma de la serie. 4 4 SOLUCIÓN Co la otació sigma podemos escribir le serie dada como ( ) Etoces, e la tabla vemos que esta serie relacioa la etrada para l co. Así l( ) l TEC Module.0. permite ver cómo poliomios sucesivos de Taylor se aproima a la fució origial. Ua razó de que las series de Taylor sea importates, es que permite itegrar fucioes que o se podía maejar ates. E efecto, e la itroducció de este capítulo mecioamos que Newto itegraba a meudo fucioes epresádolas primero como series de potecias, y que después itegraba la serie térmio a térmio. No es posible itegrar la fució f () e por medio de las técicas coocidas hasta este mometo, porque su atiderivada o es ua fució elemetal (véase secció 7.5). E el ejemplo siguiete se aplica la idea de Newto para itegrar esta fució. v EJEMPLO a) Evalúe e d como ua serie ifiita. b) Evalúe 0 e d de tal maera que o difiera 0.00 del valor real. SOLUCIÓN a) Primero ecotramos la serie de Maclauri para f () e. Auque es posible usar el método directo, determiémosla simplemete mediate el reemplazo de co e la serie para e dada e la tabla. Así, para todos los valores de, e 0! 0!! 4! 6!

75 Ahora itegramos térmio a térmio SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 76 y e d y! 4! 6!! d C! 5 5! 7 7!! Esta serie es covergete para toda porque la serie origial para e coverge para toda. b) El teorema fudametal del cálculo da y e d 0! 5 5! 7 7! 9 9 4! 0 Es posible hacer C 0 e la atiderivada del iciso a) El teorema de estimació de la serie alterate demuestra que el error ivolucrado e esta aproimació es meor que 5! Otra aplicació de la serie de Taylor se ilustra e el ejemplo siguiete. El límite podría ser calculado co la regla de l Hospital, pero e lugar de hacerlo así se recurre a las series. e EJEMPLO Evalúe lím. l 0 SOLUCIÓN Al utilizar la serie de Maclauri para e teemos e lím l 0 lím l 0!!! Alguos sistemas algebraicos computacioales calcula los límites de esta maera. lím l 0!! 4 4! lím l 0! 4! 5! porque las series de potecias so fucioes cotiuas. Multiplicació y divisió de series de potecias Si las series de potecias se suma o resta, se comporta como poliomios (el teorema..8 lo demuestra). De hecho, como lo ilustra el ejemplo siguiete, las series tambié se puede multiplicar y dividir como los poliomios. Determiamos sólo los primeros térmios porque los cálculos para los siguietes se vuelve tediosos y los térmios iiciales so los más importates.

76 764 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS EJEMPLO Calcule los primeros tres térmios o cero de la serie de Maclauri para a) e se y b) ta. SOLUCIÓN a) Mediate la serie de Maclauri para e y se e la tabla, teemos e se!!!! Al multiplicar esta epresió y agrupar por térmios semejates, al igual que co los poliomios: Así e se b) Al utilizar la serie de Maclauri e la tabla ta se cos!! 5 5! 4 4! Usamos u procedimieto como el de la divisió larga: ) Por cosiguiete, ta 5 5 No se ha itetado justificar las maipulacioes formales que se utilizaro e el ejemplo, pero so legítimas. Hay u teorema que establece que si tato f c como t b coverge para R y las series se multiplica como si fuera poliomios, etoces la serie resultate tambié coverge para R y represeta f () (). E cuato a la divisió es ecesario que b 0 0; la serie resultate coverge para suficietemete pequeña.

77 SECCIÓN.0 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN Ejercicios. Si f 0 b 5 para toda, escriba ua fórmula para b 8.. Se proporcioa la gráfica de f. y 0 a) Eplique por qué la serie o es la serie de Taylor de f cetrada e. b) Eplique por qué la serie o es la serie de Taylor de f cetrada e.. Si f 0! para 0,,,..., ecuetre la serie de Maclauri para f y su radio de covergecia. 4. Ecuetre la serie de Taylor para f co cetro e 4 si f 4 f! Cuál es el radio de covergecia de la serie de Taylor? 5- Ecuetre la serie de Maclauri para f () usado la defiició de la serie de Maclauri. [Supoga que f tiee u desarrollo e serie de potecias. No demuestre que R l 0.] Determie tambié el radio asociado co la covergecia. 5. f 6. f l.7 f se p.8 f e.9 f.0 f cos. f seh. f cosh. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio 7 represeta se para toda.. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio 8 represeta se para toda.. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio represeta seh para toda. 4. Demuestre que la serie obteida e el ejercicio represeta cosh para toda. 5-8 Use la serie biomial para desarrollar la fució como ua serie de potecias. Establezca el radio de covergecia..5 s 4.6 s Utilice la serie de Maclauri que aparece e la tabla para obteer la serie de Maclauri para la fució dada..9 f se p.0 f cos p. f e e. f e e. f cos( ) 4. f l 5. f 6. f s4 7. f se [ Sugerecia: use se 8. f 6 se si 0 si 0 s cos.] 9-4 Determie la serie de Maclauri de f (mediate cualquier método) y su radio de covergecia. Grafique f y sus primeros poliomios de Taylor e la misma patalla. Qué observa respecto a la correspodecia etre estos poliomios y f? 9. f cos 40. f e cos.4 f e.4 f ta -0 Calcule la serie de Taylor para f () cetrada e el valor dado de a. [Supoga que f tiee u desarrollo e serie de potecias. No demuestre que R l 0.] Tambié ecuetre el radio de covergecia asociado.. f 4, a 4. f, a 5. f l, a 6. f, a 7. f e, a 8. f se, a p 9. f cos, a p 0. f s, a 6 4. Mediate la serie de Maclauri para cos calcule cos 5 co ua aproimació de cico decimales. 44. Utilice la serie de Maclauri para e a fi de calcular s 0 e co ua aproimació de cico decimales. 45. a) Use la serie biomial para desarrollar s. b) Use el iciso a) para hallar la serie de Maclauri para se. 46. a) Desarrolle s 4 como ua serie de potecias. b) Use el iciso a) para estimar s 4. co ua aproimació de tres decimales. Se requiere calculadora graficadora o computadora. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

78 766 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Evalúe la itegral idefiida como ua serie ifiita..74 y cos d.84 y e d.94 y cos d.05 y arcta d 5-54 Utilice series para obteer u valor aproimado de la itegral defiida co la eactitud idicada. 5. arcta d (cuatro decimales) 5. se 4 d (cuatro decimales) y 0 y 0 y 0.4 s 0 y 0.5 e d 0 4 d ( error ) ( error 0.00) Mediate las series evalúe el límite lím l 0 l se lím l0 5 6 cos.65 lím l0 e l ! p 4! 7! l! 8 4! l! Demuestre que si p es ua fució poliomial de -grado, etoces p i 0 p i 7. Si f 0, qué es f (58) (0)? i! 7. Demuestre la desigualdad de Taylor para, es decir, demuestre que si f M para a d, etoces R M 6 a para a d 74. a) Demuestre que la fució defiida por 58. Utilice la serie del ejemplo b) para evaluar f e 0 si 0 si 0 lím l 0 ta Este límite se calculó e el ejemplo 4 de la secció 4.4 utilizado la regla de l Hospital tres veces. Cuál método prefiere? 59-6 Utilice la multiplicació o la divisió de series de potecias para determiar los primeros tres térmios diferetes de cero e la serie de Maclauri para cada fució. 59. y e cos 60. y.6 y se 6-70 Calcule la suma de la serie ! sec.6 y e l p 6! 5! o es igual a su serie de Maclauri. b) Grafique la fució del iciso a) y comete su comportamieto cerca del orige. 75. Recurra a los siguietes pasos para probar 7. a) Sea t 0 ( k ). Derive esta serie para demostrar que t kt b) Sea h k t y demuestre que h() 0. c) Deduzca que () ( ) k. 76. E el ejercicio 5 de la secció 0. se demostró que la logitud de la elipse a se, y b cos, dode a b 0, es L 4a y 0 p s e se u du dode e sa b a es la ecetricidad de la elipse. Desarrolle el itegrado como serie biomial y use el resultado del ejercicio 50 de la secció 7. para epresar L como ua serie de potecias de la ecetricidad hasta el térmio e e 6.

79 REDACCIÓN DE PROYECTO CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL 767 PROYECTO DE LABORATORIO SAC UN LÍMITE ESCURRIDIZO Este proyecto trata co la fució f se ta arcse arcta ta se arcta arcse. Utilice su sistema algebraico computarizado para evaluar f () para, 0., 0.0, 0.00 y Parece teer f u límite cuado l 0?. Use el SAC para graficar f cerca de 0. Parece teer f u límite cuado l 0?. Itete evaluar lím l 0 f co la regla de l Hospital, usado el SAC para hallar las derivadas del umerador y el deomiador. Qué descubrió? Cuátas aplicacioes de la regla de l Hospital se requiere? 4. Evalúe lím l 0 f co ayuda del SAC para ecotrar la catidad suficiete de térmios de la serie de Taylor del umerador y el deomiador. (Utilice el comado taylor e Maple o series e Mathematica.) 5. Utilice el comado límite e su SAC para calcular directamete lím l 0 f. (La mayoría de los sistemas algebraicos computarizados utiliza el método del problema 4 para calcular límites.) 6. E vista de las respuestas a los problemas 4 y 5, cómo eplica los resultados de los problemas y? SAC Se requiere sistema algebraico computarizado REDACCIÓN DE PROYECTO CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL El teorema biomial, que proporcioa el desarrollo de (a b) k, ya lo coocía los matemáticos chios muchos siglos ates de que aciera Newto, e especial para el caso dode el epoete k es u etero positivo. E 665, cuado Newto teía años, descubrió por primera vez el desarrollo de la serie ifiita (a b) k cuado k es u epoete fraccioario, positivo o egativo. No publicó sus descubrimietos, pero los plateó y proporcioó ejemplos de cómo usarlos e ua carta co fecha de juio de 676, carta (ahora se llama epístola prior) que evió a Hery Oldeburg, secretario de la Royal Society of Lodo, para que la trasmitiera a Leibiz. Cuado éste cotestó, le pregutó a Newto cómo había descubierto las series biomiales. Newto escribió ua seguda carta, la epístola posterior, del 4 de octubre de 676, e la cual eplica co lujo de detalles la maera como llegó a su descubrimieto mediate ua ruta muy idirecta. Estaba ivestigado las áreas bajo las curvas y ( ) de 0 a para 0,,,, 4,... So fáciles de calcular si es par. Al observar patroes y al iterpolar, Newto fue capaz de adiviar las respuestas de valores impares de. Por tato, se dio cueta de que podía obteer las mismas respuestas epresado ( ) como ua serie ifiita. Escriba u esayo sobre el descubrimieto de Newto. Iicie dado el euciado de serie biomial e la otació de Newto (véase epístola prior e la págia 85 de [4] o la págia 40 de []). Eplique por qué la versió de Newto es equivalete al teorema 7 de la págia 76. Luego lea la epístola posterior de Newto (págia 87 de [4] o págia 404 de []) y eplique los patroes que descubrió Newto e las áreas bajo las curvas y ( ). Muestre cómo podía él calcular el área bajo las curvas restates y cómo comprobó su respuesta. Para fializar, eplique cómo estos descubrimietos llevaro a las series biomiales. Los libros de Edwards [] y Katz [] cotiee cometarios de las cartas de Newto.. C. H. Edwards, The Historical Developmet of the Calculus, Nueva York: Spriger-Verlag, 979, pp

80 768 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. Joh Fauvel y Jeremy Gray, eds., The History of Mathematics: A Reader, Lodo: MacMilla Press, Victor Katz, A History of Mathematics: A Itroductio, Nueva York: HarperCollis, 99, pp D. J. Struik, ed., A Sourcebook i Mathematics, , Priceto, N.J.: Priceto Uiversity Press, Aplicacioes de los poliomios de Taylor E esta secció se eplora dos tipos de aplicacioes de los poliomios de Taylor. Primero se eamia cómo se usa para aproimar fucioes; a los cietíficos de la computació les gusta porque las poliomiales so las más secillas de las fucioes. Luego ivestigamos cómo los físicos y los igeieros los usa e campos como la relatividad, óptica, radiació de cuerpos egros, dipolos eléctricos, la velocidad de las odas e el agua y la costrucció de carreteras e el desierto. Aproimació de fucioes mediate poliomios Supoga que f () es igual a la suma de su serie de Taylor e a: f 0 f a! a E la secció.0 se itrodujo la otació T () para la -ésima suma parcial de esta serie y se le llamó poliomio de Taylor de -ésimo grado de f e a. Así, T i 0 f i a i! a i fa f a! a f a! a f a! a Puesto que f es la suma de su serie de Taylor, sabemos que T () l f () cuado l y de este modo T se puede usar como ua aproimació de f : f () T (). Observe que el poliomio de primer grado de Taylor FIGURA y y= y=t () y=t () y=t () (0, ) 0 T f a f a a es lo mismo que la liealizació de f e a que estudiamos e la secció.0. Note tambié que T y su derivada tiee los mismos valores e a que f y f. E geeral, se puede demostrar que las derivadas de T e a cocuerda co las de f hasta las derivadas de orde, iclusive. Co el fi de ilustrar estas ideas, vea ua vez más las gráficas de y e y sus primeros poliomios de Taylor, como se ilustra e la figura. La gráfica de T es la recta tagete a y e e (0, ); esta recta tagete es la mejor aproimació lieal a e cerca de (0, ). La gráfica de T es la parábola y, y la gráfica de T es la curva cúbica y 6, que es u ajuste más cercao a la curva epoecial y e que T. El siguiete poliomio de Taylor T 4 sería ua aproimació mejor, y así sucesivamete.

81 T T 4 T 6 T 8 T 0 e SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 769 Los valores de la tabla proporcioa ua demostració umérica de la covergecia de los poliomios de Taylor T () a la fució y e. Vemos que cuado 0. la covergecia es muy rápida, pero cuado es u poco más leta. De hecho, etre más lejos esté de 0, es u poco más leta la covergecia de T () a e. Cuado usamos u poliomio de Taylor T para aproimar ua fució f, debemos pregutaros: qué ta buea es ua aproimació? Qué ta grade debemos tomar co objeto de que alcace ua precisió deseada? Para respoder estas pregutas, es ecesario que eamiemos el valor absoluto del residuo: R f T Hay tres métodos posibles para estimar el tamaño del error:. Si cueta co ua calculadora que trace gráficas o ua computadora, la puede usar para graficar R () y de ahí estimar el error.. Si sucede que la serie es alterate, podemos aplicar el teorema de estimació de la serie alterate.. E todos los casos podemos aplicar la desigualdad de Taylor (teorema.0.9), el cual establece que si f M, etoces R M! a v EJEMPLO a) Obtega ua aproimació de la fució f s por medio del poliomio de Taylor de grado e a 8. b) Qué ta eacta es esta aproimació cuado 7 9? SOLUCIÓN a) f s f 8 f f 8 f 9 5 f 8 44 f E estos térmios, el poliomio de Taylor de segudo grado es T f 8 f 8! 8 f 8! La aproimació deseada es s T b) La serie de Taylor o es alterate cuado 8, de modo que o podemos aplicar el teorema de estimació de la serie alterate e este ejemplo. Pero podemos usar la desigualdad de Taylor co y a 8: R M! 8

82 770 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS dode f M. Como 7, teemos y de esa maera f T y=#œ 0 FIGURA y= R () 5 Por tato, podemos hacer M Asimismo, 7 9, de modo que 8 y 8. Etoces la desigualdad de Taylor da R 0.00! E estos térmios, si 7 9, la aproimació e el iciso a) o difiere e más de del valor real. Co la ayuda de ua calculadora para trazar gráficas o de ua computadora compruebe el cálculo del ejemplo. E la figura se muestra que las gráficas de y s y y T () está muy cercaas etre sí cuado está cerca de 8. E la figura se ilustra la gráfica de R () calculada a partir de la epresió A partir de la gráfica R s T FIGURA R cuado 7 9. Así, la estimació de error mediate métodos gráficos es ligeramete mejor que cuado se hace a partir de la desigualdad de Taylor, e este caso. v EJEMPLO a) Cuál es el error máimo posible al utilizar la aproimació se cuado 0. 0.? Utilice esta aproimació para calcular se co ua aproimació de seis cifras decimales. b) Para qué valores de esta aproimació o difiere e más de del valor real? SOLUCIÓN a) Observe que la serie de Maclauri! 5 5! se! 5 5! 7 7! es alterate para todos los valores o cero de, y los térmios sucesivos decrece e tamaño porque, de modo que podemos usar el teorema de estimació de la serie alterate. El error e la aproimació de se por medio de los tres térmios de su serie de Maclauri es cuado mucho 7 7! Si 0. 0., etoces 0., de modo que el error es más pequeño que

83 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 77 Para calcular se primero covertimos a radiaes: se se p 80 p se 5 p p p 5 5! 5 5 5! Así, co ua aproimació de seis decimales, se b) El error será meor que si Al resolver la desigualdad y ecotrar o bie De modo que la aproimació dada o difiere e más de cuado 0.8. TEC E Module.0. se muestra e forma gráfica los residuos de las aproimacioes de los poliomios de Taylor * _ FIGURA 4 y= Rß() y= _ 0 FIGURA 5 y= Rß() Qué sucede si recurrimos a la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo? Puesto que f (7) () cos, teemos f (7) () y de esa maera R 6 De este modo llegamos a la misma estimació que co el teorema de la estimació de la serie alterate. Qué hay co respecto a los métodos gráficos? E la figura 4 se ilustra la gráfica de R 6 se ( 7! ) y observamos que R 6 () cuado 0.. Ésta es la misma estimació que obtuvimos e el ejemplo. E el caso del iciso b) queremos R 6 () , de modo que graficamos tato y R 6 () como y e la figura 5. Si colocamos el cursor e el puto de itersecció derecho, verá que la desigualdad se cumple cuado 0.8. Ua vez más llegamos a la misma estimació que obtuvimos e la solució del ejemplo. Si se hubiera pedido que aproimáramos se 7 e lugar de se e el ejemplo, habría sido prudete utilizar los poliomios de Taylor e a (e lugar de a 0), porque so mejores aproimacioes al se para valores de cercaos a. Observe que 7 es cercao a 60 (o radiaes), y las derivadas de se so fáciles de calcular e. La figura 6 muestra las gráficas de las aproimacioes de los poliomios de Maclauri T T T 5! 5 5! a la curva seo. Podemos ver que cuado se icremeta, T () es ua buea aproimació a se sobre u itervalo más y más grade. T 7!! 5 5! 7 7! y T T 0 FIGURA 6 T T y=

84 77 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Las calculadoras y computadoras aplica el tipo de cálculo hecho e los ejemplos y. Por ejemplo, cuado usted presioa la tecla se o e de su calculadora, o bie, cuado u programador de computadoras utiliza ua subrutia e el caso de ua fució trigoométrica o epoecial o de Bessel, e muchas máquias se calcula ua aproimació poliomial. Co frecuecia, el poliomio es uo de Taylor que ha sido modificado de modo que el error se etiede más uiformemete e todo el itervalo. Aplicacioes e la física Los poliomios de Taylor tambié se usa co mucha frecuecia e la física. Co objeto de eteder ua ecuació, los físicos simplifica a meudo ua fució cosiderado sólo dos o tres térmios de Taylor. E otras palabras, los físicos usa u poliomio de Taylor como ua aproimació de la fució. La desigualdad de Taylor se puede usar para medir la eactitud de la aproimació. E el ejemplo siguiete, se muestra ua maera e la cual esta idea se usa e la relatividad especial. v EJEMPLO E la teoría de Eistei de la relatividad especial, la masa de u objeto que se desplaza co velocidad v es m m 0 s v c dode m 0 es la masa del objeto cuado está e reposo y c es la velocidad de la luz. La eergía ciética del objeto es la diferecia etre su eergía total y su eergía e reposo: K mc m 0 c a) Demuestre que cuado v es muy pequeña comparada co c, esta epresió para K cocuerda co la física clásica de Newto: K m 0 v. b) Utilice la desigualdad de Taylor para estimar la diferecia e estas epresioes para K cuado v 00 ms. SOLUCIÓN a) Mediate las epresioes dadas para K y m, obteemos La curva superior de la figura 7 es la gráfica de la epresió de la eergía ciética K de u objeto co velocidad v e la relatividad especial. La curva iferior muestra la fució usada para K e la física clásica ewtoiaa. Cuado v es mucho más pequeña que la velocidad de la luz, las curvas so prácticamete idéticas. K K mc m 0 c m 0 c s v c m 0 c m 0 c Co v c, la serie de Maclauri para ( ) es más fácil de calcular que ua serie biomial co k. (Observemos que porque v c.) Por tato ( )( ) (! 5 )( )(! ) v c K=mc@-m c@ y K m 0 c v c 8 v 4 5 c 4 6 v 6 c 6 0 K = c m 0 c v c 8 v 4 5 c 4 6 v 6 c 6 FIGURA 7 Si v es mucho más pequeña que c, etoces todos los térmios después del primero

85 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 77 so muy pequeños cuado se les compara co el primer térmio. Si los omitimos, obteemos K m 0 c v c m 0 v b) Si v c,f m 0 c, y M es u úmero tal que f M, etoces podemos utilizar la desigualdad de Taylor para escribir R M! Teemos f 4 m 0 c 5 y sabemos que v 00 m s, de modo que f m 0 c 4 v c 5 m 0 c 4 00 c 5 M Así, co c 0 8 ms R m 0 c c 5 c m 0 De modo que cuado v 00 ms, la magitud del error al usar la epresió ewtoiaa para la eergía ciética es cuato mucho ( )m 0. Estos coceptos tambié se aplica e el campo de la óptica. La figura 8 represeta ua oda de la fuete putual S que se ecuetra ua iterfaz esférica de radio R cetrado e C. El rayo SA se refracta hacia P. r A i P C L i t R h V L o S s i s o FIGURA 8 Refracció e ua iterfaz esférica Al usar el pricipio de Fermat de que la luz viaja e el meor tiempo posible, Hecht deduce la ecuació s i s o R o i i o dode y so ídices de refracció y 0, i, s 0 y s i so las distacias idicadas e la figura 8. De acuerdo co la ley de los coseos aplicada a los triágulos ACS y ACP, teemos E este caso utilice la idetidad cos( ) cos o sr s o R R s o R cos f i sr s i R R s i R cos f

86 774 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Como es u poco complicado trabajar co la ecuació, Gauss, e 84, la simplificó usado la aproimació lieal cos para valores pequeños de. (Esto equivale a usar el poliomio de Taylor de grado.) Por tato la ecuació se trasforma e la siguiete ecuació más secilla, que se le pide demostrar e el ejercicio 4a): s o s i R La teoría óptica resultate se cooce como óptica de Gauss u óptica de primer orde, y se ha vuelto la herramieta teórica básica para diseñar letes. Ua teoría más eacta se obtiee al aproimar cos por medio de su poliomio de Taylor de grado (que es el mismo que el poliomio de Taylor de grado ). Esto cosidera los rayos para los cuales o es ta pequeña, es decir, rayos que golpea la superficie a mayores distacias h por arriba del eje. E el ejercicio 4b) se le pide usar esta aproimació para deducir la ecuació más eacta 4 s o s i R h s o s o R s i R s i La teoría óptica resultate se cooce como óptica de tercer orde. Otras aplicacioes de los poliomios de Taylor a la física y la igeiería se eplora e los ejercicios,, 5, 6, 7 y 8, y e el proyecto de aplicació de la págia Ejercicios. a) Ecuetre los poliomios de Taylor hasta de grado 6 para f () cos cetrada e a 0. Grafique f y estos poliomios e ua misma patalla. b) Evalúe f y estos poliomios e 4, y. c) Eplique cómo los poliomios de Taylor coverge a f ().. a) Ecuetre los poliomios de Taylor hasta de grado para f () cetrada e a. Grafique f y estos poliomios e ua misma patalla. b) Evalúe f y estos poliomios e 0.9 y.. c) Eplique cómo los poliomios de Taylor coverge a f (). -0 Determie los poliomios de Taylor T () para la fució f cetrada e el úmero a. Grafique f y T e la misma patalla.. f, a 4. f e, a 0 5. f cos, a p 6. f e se, 7. f l, a a 0 8. f cos, a 0 9. f e, a 0 0. f ta, a SAC - Use u sistema algebraico computarizado para ecotrar los poliomios de Taylor T co cetro e a para,, 4, 5. Luego grafique estos poliomios y f e la misma patalla.. f cot, a p 4. f s, a 0 - a) Ecuetre u valor aproimado de f mediate u poliomio de Taylor co grado e el úmero a. b) Co la desigualdad de Taylor estime la eactitud de la aproimació f () T () cuado está e el itervalo dado. c) Compruebe el resultado del iciso b) mediate la gráfica de R ().. f s, a 4,, f, a,, 0.9. Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

87 SECCIÓN. APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR f, a,, f se, a p 6, 4, 0 p 7. f sec, a 0,, f l, a,, f e, a 0,, f l, a,, f se, a 0, 4,. f seh, a 0, 5,. Mediate la iformació del ejercicio 5 estime cos 80 co ua aproimació de cico cifras decimales. 4. Mediate la iformació del ejercicio 6 estime se 8 co ua aproimació de cico cifras decimales. 5. Utilice la desigualdad de Taylor para determiar el úmero de térmios de la serie de Maclauri para e que se debe usar para estimar e 0. de tal maera que o difiera de del valor real. 6. Cuátos térmios de la serie de Maclauri para l( ) so ecesarios para estimar l.4 co 0.00 de precisió? 7-9 Aplique el teorema de estimació de la serie alterate o la desigualdad de Taylor para estimar los valores de para los cuales la aproimació dada es eacta y está detro del error establecido. Compruebe gráficamete su respuesta se cos arcta 6 ( error 0.0) Supoga que sabemos que f 4 ( error 0.005) ( error 0.05)! y la serie de Taylor de f co cetro e 4 coverge a f () para toda e el itervalo de covergecia. Demuestre que el poliomio de Taylor de quito grado aproima f (5) co error meor a U vehículo se desplaza a ua velocidad de 0 ms y a ua aceleració de ms e u istate dado. Mediate u poliomio de Taylor de segudo grado, estime qué tato se desplazará el automóvil e el siguiete segudo. Sería razoable utilizar este poliomio para estimar la distacia recorrida durate el miuto siguiete?. La resistividad de u alambre coductor es el recíproco de la coductividad y se mide e uidades ohmios-metros (Ω-m). La resistividad de u metal dado depede de la temperatura de acuerdo co la ecuació t 0e a t 0 dode t es la temperatura e C. Hay tablas que da los valores de (llamado coeficiete de temperatura) y 0 (la resistividad a 0 C) para varios metales. Ecepto a temperaturas muy bajas, la resistividad varía casi e forma lieal co la temperatura, por lo que es comú aproimar la epresió para (t) mediate su poliomio de Taylor de primero o segudo grados e t 0. a) Ecuetre epresioes para estas aproimacioes lieales y cuadráticas. b) Por lo que se refiere al cobre, las tablas da C y Ω-m. Grafique la resistividad del cobre y las aproimacioes lieales y cuadráticas para 50 C t 000 C. c) Para qué valores de t la aproimació lieal cocuerda co la epresió epoecial de tal maera que o difiera % del valor real?. U dipolo eléctrico cosiste e dos cargas eléctricas de igual magitud y sigos opuestos. Si las cargas so q y q y hay ua distacia d etre ellas, etoces el campo eléctrico E e el puto P e la figura es E q D q D d Al desarrollar esta epresió para E como serie e potecias de dd, demuestre que E es aproimadamete proporcioal a D cuado P está alejada del dipolo. P D 4. a) Deduzca la ecuació para la óptica de Gauss a partir de la ecuació aproimado cos e la ecuació mediate su poliomio de Taylor de primer grado. b) Demuestre que si cos es reemplazado por su poliomio de Taylor de tercer grado e la ecuació, etoces la ecuació se trasforma e la ecuació 4 para ua óptica de tercer orde. [Sugerecia: utilice los dos primeros térmios de la serie biomial para o y i. Use tambié se.] 5. Si ua oda de agua de logitud L se desplaza co ua velocidad v a través de u cuerpo de agua de profudidad d como e la figura de la págia 776, etoces v tl p tah p d L a) Si el agua es profuda, demuestre que v stl p. b) Si el agua es poco profuda, use la serie de Maclauri para tah para demostrar que v std. (Así, e agua poco q d _q

88 776 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS profuda, la velocidad de ua oda tiede a ser idepediete de la logitud de la oda.) c) Mediate el teorema de estimació de la serie alterate, demuestre que si L 0d, etoces la estimació v d es eacta detro de 0.04L. d 6. U disco uiformemete cargado tiee radio R y desidad de carga superficial, como se ve e la figura. El potecial eléctrico V e u puto P a ua distacia d a lo largo de la perpedicular al eje cetral del disco es V L pk e s(sd R d) dode k e es ua costate llamada costate de coulomb. Demuestre que V pk er s d R d para d muy grade 7. Si u topógrafo mide diferecias e la altitud cuado hace plaos para ua carretera que cruza u desierto, se debe hacer correccioes tomado e cueta la curvatura de la Tierra. a) Si R es el radio de la Tierra y L es la logitud de la carretera, demuestre que la correcció es C R sec L R R b) Mediate u poliomio de Taylor demuestre que C L R 5L 4 4R c) Compare las correccioes dadas por las fórmulas e los icisos a) y b) para ua carretera que mide 00 km de logitud. Tome como radio de la Tierra 6 70 km R L R C P 8. El periodo de u pédulo co logitud L que subtiede u águlo máimo 0 co la vertical es T 4 L t y 0 p d s k se dode k se( u 0) y t es la aceleració debida a la gravedad. E el ejercicio 4 de la secció 7.7 se aproimó esta itegral usado la regla de Simpso. a) Desarrolle el itegrado como ua serie biomial y use el resultado del ejercicio 50 de la secció 7. para demostrar que T p L t k 4 k k 6 Si 0 o es demasiado grade, se usa a meudo la aproimació T p sl t, obteida usado sólo el primer térmio de la serie. Se obtiee ua mejor aproimació si se usa sólo dos térmios: T p L t ( 4 k ) b) Observe que todos los térmios de la serie después del primero tiee coeficietes que so cuato mucho 4. Use este hecho para comparar esta serie co ua serie geométrica y demuestre que p L t ( 4 k ) T p L t 4 k 4 4k c) Mediate las desigualdades del iciso b), estime el periodo de u pédulo co L m y 0 0. Cómo es si se le compara co la estimació T p sl t? Cómo es si 0 4? 9. E la secció 4.9 utilizamos el método de Newto para obteer u valor aproimado de ua raíz r de la ecuació f () 0, y a partir de ua aproimació iicial obtuvimos aproimacioes sucesivas,,, dode f f Aplique la desigualdad de Taylor co, a y r para demostrar que si f () eiste sobre u itervalo I que cotiee a r, y, y f M, f K para toda [ I, etoces r M K r [Esto sigifica que si es eacta co d cifras decimales, etoces es eacta co ua aproimació de d cifras decimales. Más eactamete, si el error e la etapa es cuato mucho 0 m, etoces el error e la etapa es a lo más (MK)0 m.]

89 PROYECTO DE APLICACIÓN. RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS 777 PROYECTO DE APLICACIÓN RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS Cualquier objeto emite radiacioes cuado se calieta. U cuerpo egro es u sistema que absorbe toda la radiació que le llega. Por ejemplo, ua superficie egra mate o ua cavidad grade co u pequeño agujero e su pared (como u alto horo) es u cuerpo egro y emite radiació de cuerpo egro. Icluso la radiació que llega del Sol está cerca de ser radiació de u cuerpo egro. La ley de Rayleigh-Jeas, propuesta a fies del siglo i, epresa la desidad de eergía de radiació de cuerpo egro de logitud de oda como Dreamstime f l 8pkT dode se mide e metros, T es la temperatura e kelvis (K) y k es la costate de Boltzma. La ley de Rayleigh-Jeas cocuerda co las medicioes eperimetales para logitudes de oda largas, pero o sucede lo mismo co las logitudes de oda cortas. [La ley predice que f () l cuado l 0 pero los eperimetos ha demostrado que f () l 0.] Este hecho recibe el ombre de catástrofe ultravioleta. E 900, Ma Plack ecotró u mejor modelo (que se cooce ahora como ley de Plack) para la radiació de cuerpo egro: l 4 f l 8phcl 5 e hc lkt dode se mide e metros, T es la temperatura e kelvis y h costate de Plack J s c velocidad de la luz m s k costate de Boltzma J K. Co ayuda de la regla de l Hospital demuestre que lím f l 0 y lím l 0 l f l 0 para la ley de Plack. De este modo, esta ley modela la radiació de cuerpo egro mejor que la ley de Rayleigh-Jeas para logitudes de oda cortas.. Use u poliomio de Taylor para demostrar que, e el caso de las logitudes de oda largas, la ley de Plack da aproimadamete los mismos valores que la ley de Rayleigh-Jeas.. Grafique f de acuerdo co ambas leyes e ua misma patalla y comete sobre las similitudes y las diferecias. Use T K (la temperatura del Sol). (Quizá quiera cambiar de metros a la uidad más coveiete de micrómetros: m 0 6 m.) 4. Use la gráfica del problema para estimar el valor de para el cual f () es u máimo segú la ley de Plack. 5. Ivestigue cómo la gráfica de f cambia cuado T varía. (Utilice la ley de Plack.) E particular, dibuje f para las estrellas Betelgeuse (T 400 K), Procyo (T K) y Sirio (T 9 00 K), así como para el Sol. Cuál es la variació de la radiació total emitida, es decir (el área bajo la curva), co T? Apóyese e las gráficas y eplique por qué a Sirio se le cooce como estrella azul y a Betelgeuse como ua estrella roja. Se requiere calculadora graficadora o computadora

90 778 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Repaso Verificació de coceptos. a) Qué es ua sucesió covergete? b) Qué es ua serie covergete? c) Qué sigifica lím l a? d) Qué sigifica a?. a) Qué es ua sucesió acotada? b) Qué es ua sucesió moótoa? c) Qué puede decir co respecto a ua sucesió moótoa acotada?. a) Qué es ua serie geométrica? E qué circustacias es covergete? Cuál es su suma? b) Qué es ua serie p? E qué circustacias es covergete? 4. Supoga que a y s es la -ésima suma parcial de la serie. Qué es lím l a? Qué es lím l s? 5. Eucie lo siguiete. a) Prueba de la divergecia b) Prueba de la itegral c) Prueba por comparació d) Prueba por comparació e el límite e) Prueba de la serie alterate f) Prueba de la razó g) Prueba de la raíz 6. a) Qué es ua serie absolutamete covergete? b) Qué puede decir acerca de dicha serie? c) Qué es ua serie codicioalmete covergete? 7. a) Si ua serie es covergete de acuerdo co la prueba de la itegral, cómo estima su suma? b) Si ua serie es covergete segú la prueba por comparació, cómo estima su suma? c) Si ua serie es covergete segú la prueba de la serie alterate, cómo estima su suma? 8. a) Escriba la forma geeral de ua serie de potecias. b) Qué es el radio de covergecia de ua serie de potecias? c) Qué es el itervalo de covergecia de ua serie de potecias? 9. Supoga que f () es la suma de ua serie de potecias co radio de covergecia R. a) Cómo deriva f? Cuál es el radio de covergecia de la serie para f? b) Cómo itegra f? Cuál es el radio de covergecia de la serie para f d? 0. a) Escriba ua epresió para el poliomio de Taylor de -ésimo grado de f cetrada e a. b) Escriba ua epresió para la serie de Taylor de f cetrada e a. c) Escriba ua epresió para la serie de Maclauri de f. d) Cómo demuestra que f () es igual a la suma de su serie de Taylor? e) Eucie la desigualdad de Taylor.. Escriba la serie de Maclauri y el itervalo de covergecia para cada ua de las fucioes siguietes. a) ( ) b) e c) se d) cos e) ta f) l( ). Escriba el desarrollo de la serie biomial de ( ) k. Cuál es el radio de covergecia de esta serie? Eame rápido Verdadero-Falso Determie si el euciado es verdadero o falso. Si es verdadero, eplique por qué. Si es falso, dé la razó o proporcioe u ejemplo que cotradiga el euciado.. Si lím l a 0, etoces a es covergete.. La serie se es covergete.. Si lím l a L, etoces lím l a L. 4. Si c 6 es covergete, etoces c () es covergete. 5. Si c 6 es covergete, etoces c (6) es covergete. 6. Si c diverge cuado 6, etoces diverge cuado La prueba de la razó se puede usar para determiar si coverge. 8. La prueba de la razó se puede usar para determiar si coverge! 9. Si 0 a b y b diverge, etoces la serie a diverge. 0. 0! e. Si, etoces lím l a 0.. Si a es divergete, etoces a es divergete.. Si f coverge para toda, etoces f (0). 4. Si a y b so divergetes, etoces a b es divergete. 5. Si a y b so divergetes, etoces a b es divergete. 6. Si a es decreciete y a 0 para toda, etoces a es covergete. 7. Si a 0 y a coverge, etoces () a coverge.

91 CAPÍTULO. REPASO Si a 0 y lím l a a, etoces lím l a Si lím a, etoces lím a a 0. l l. Si u úmero fiito de térmios se agrega a ua serie covergete, la ueva serie aú coverge.. Si a A y b B, etoces a b AB. Ejercicios -8 Determie si la sucesió es covergete o divergete. Si es covergete, determie su límite. 9. a. a 0. a.4 a cos p a.5 se ! a l s Calcule la suma de la serie e.8 ta ta e! e! e 4 4!.0 0 s l p! 9. Ua sucesió se defie recursivamete mediate las ecuacioes a, a a 4. Demuestre que a es creciete y a para toda. Deduzca que a es covergete y determie su límite. 0. Demuestre que lím l 4 e 0 y mediate ua gráfica determie el valor más pequeño de N que correspode a 0. e la defiició eacta de límite. - Determie si la serie es covergete o divergete l sl cos.8. s. Eprese el decimal periódico como ua fracció.. Demuestre que cosh para toda. 4. Para qué valores de coverge la serie l? 5. Calcule la suma de la serie de cuatro dígitos decimales. 5 co ua aproimació 6. a) Determie la suma parcial s 5 de la serie 6 y estime el error al usarla como aproimació de la suma de la serie. b) Calcule la suma de esta serie co ua aproimació de cico dígitos decimales. 7. Use la suma de los primeros ocho térmios para aproimarse a la suma de la serie 5. Estime el error ivolucrado e esta aproimació. 8. a) Demuestre que la serie es covergete.! b) Deduzca que lím l! ! Demuestre que si la serie a es absolutamete covergete, etoces la serie. s. s s a es tambié absolutamete covergete. -6 Determie si la serie es codicioalmete covergete, absolutamete covergete o divergete Ecuetre el radio de covergecia y el itervalo de covergecia de la serie Se requiere calculadora graficadora o computadora

92 780 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS.4.4! 0 s d) Compruebe su resultado del iciso c) mediate la gráfica de R (). 57. f s, a,, Calcule el radio de covergecia de la serie 58. f sec, a 0,, 0 6!! 59. Mediate las series evalúe el siguiete límite. 45. Determie la serie de Taylor de f () se e a Ecuetre la serie de Taylor de f () cos e a Ecuetre la serie de Maclauri para f y su radio de covergecia. Puede aplicar el método directo (defiició de ua serie de Maclauri) o las series coocidas, como la serie geométrica, serie biomial o la serie de Maclauri para e, se, ta y l( )..74 f.94 f l 4.5 f se 4.5 f s Evalúe y e.84 f ta.05 f.5 f d como ua serie ifiita. e 0.45 f Mediate series aproime 0 s 4 d co dos dígitos decimales a) Obtega u valor aproimado de f mediate u poliomio de Taylor de grado e el úmero a. b) Dibuje f y T e ua misma patalla. c) Use la desigualdad de Taylor para estimar la eactitud de la aproimació f () T () cuado se ecuetra e el itervalo dado. lím l 0 se 60. La fuerza debida a la gravedad que actúa sobre u objeto de masa m a ua altura h por ecima de la superficie de la Tierra es F mtr R h dode R es el radio de la Tierra y es la aceleració de la gravedad. a) Eprese F como ua serie e potecias de hr. b) Observe que si aproima F co el primer térmio de la serie, obteemos la epresió F m que se usa por lo comú cuado h es mucho más pequeña que R. Aplique el teorema de la estimació de la serie alterate para calcular los valores de h para los cuales la aproimació F m o difiere % del valor real. (Use R 6400 km.) 6. Supoga que f 0 c para toda. a) Si f es ua fució impar, demuestre que c 0 c c 4 0 b) Si f es ua fució par, demuestre que c c c 5 0! 6. Si f () e, demuestre que f 0.!

93 Problemas adicioales Ates de ver la solució del ejemplo, cúbrala e itete resolver el problema por sí mismo. EJEMPLO Ecuetre la suma de la serie. 0! SOLUCIÓN El pricipio de resolució de problemas es relevate aquí ya que hay que recoocer algo familiar. La serie dada se parece a algua que ya coozcamos? Bueo, tiee alguos igredietes e comú co la serie de Maclauri para la fució epoecial: e 0!!! Podemos hacer que esta serie se parezca más reemplazado por : e 0!!! Pero aquí el epoete e el umerador coicide co el factorial del úmero e el deomiador. Para hacer que esto pase e la serie dada, multiplicaremos y dividiremos por ( ) : 0! 0!! 4 4! Vemos que la serie etre parétesis es justamete la serie para e co los tres primeros térmios faltates. Así que 0! e! Problemas. Si f () se( ), ecuetre f (5) (0).. Ua fució f está defiida por Dóde es cotiua f? f. a) Demuestre que ta cot cot. lím l b) Calcule la suma de la serie FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 ta 4. Sea {P ua sucesió de putos determiados de acuerdo co la figura. Por tato AP, P P y el águlo AP P es u águlo recto. Calcule lím l P AP. 78

94 5. Para costruir la curva del copo de ieve, iicie co u triágulo equilátero de lados de logitud igual a. El paso de la costrucció costa de dividir cada lado e tres partes iguales, costruir u triágulo equilátero e la parte media y luego borrar la parte media (véase figura). El paso es repetir el paso e cada lado del polígoo resultate. Se repite este procedimieto e cada paso posterior. La curva del copo de ieve es la curva que resulta de repetir este proceso idefiidamete. a) Sea s, l y p, respectivamete el úmero de lados, la logitud de u lado y la logitud total de la curva de aproimació -ésima, es decir, la curva obteida después del paso del trazo. Ecuetre fórmulas para s, l y p. b) Demuestre que p l cuado l. c) Sume ua serie ifiita para ecotrar el área ecerrada por la curva del copo de ieve. Nota: Los icisos b) y c) demuestra que la curva del copo de ieve es ifiitamete larga pero ecierra u área fiita. 6. Calcule la suma de la serie dode los térmios so los recíprocos de los eteros positivos cuyos factores primos so s y s. 7. a) Demuestre que para y. arcta arcta y arcta y y si el primer miembro queda etre y. b) Demuestre que arcta 0 9 arcta 9 p 4. c) Deduzca la fórmula siguiete de Joh Machi (680-75). 4arcta 5 arcta 9 d) Utilice la serie de Maclauri del arcta para demostrar que p arcta FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 e) Demuestre que arcta f ) Deduzca que el valor siguiete es correcto co siete cifras decimales Machi aplicó este método e 706 para determiar co 00 cifras decimales. Recietemete, co la ayuda de computadoras, se ha calculado cada vez co mayor eactitud el valor de. E 009 T. Dausuke y su equipo calcularo el valor de co más de dos trilloes de lugares decimales! 8. a) Demuestre ua fórmula similar a la del problema 7a), pero que cotega arccot e lugar de arcta. b) Calcule la suma de la serie 0 arccot. 9. Determie el itervalo de covergecia de y calcule la suma. 0. Si a 0 a a a k 0, demuestre que lím (a0s as as aks k ) 0 l Si o ecuetra cómo demostrarlo, itete co la estrategia de resolució de problemas usado las aalogías (véase págia 75). Itete primero los casos especiales k y k. Si puede ver cómo demostrar la afirmació para estos casos, probablemete verá cómo demostrarla e geeral.. Calcule la suma de la serie l. 78

95 8 6 4 FIGURA PARA EL PROBLEMA. Supoga que posee ua gra catidad de libros, todos del mismo tamaño, y que los apila e el borde de ua mesa, y que cada libro sobresale u poco más del borde de la mesa que el libro aterior. Demuestre que es posible hacerlo de modo que el libro que queda hasta ecima está por completo más allá del borde de la mesa. E efecto, muestre que el libro de hasta ecima se puede acomodar a cualquier distacia más allá del borde de la mesa si la pila de libros tiee la altura suficiete. Aplique el método siguiete para apilar los libros: la mitad del largo del último libro sobresale del peúltimo libro. De este peúltimo libro sobresale sólo u cuarto de su largo co respecto al libro atepeúltimo. De este libro sobresale u seto de su largo co respecto al libro ateatepeúltimo, y así sucesivamete. Itételo usted mismo co u juego de cartas. Tome e cueta el cetro de mesa.. Si la curva y e 0 se, 0, gira e toro del eje, el sólido resultate se observa como u ifiito collar de esferillas decreciete. a) Ecuetre el volume eacto de la -ésima esferilla. (Use ua tabla de itegrales o sistema computarizado de álgebra.) b) Ecuetre el volume total de las esferillas. 4. Si p, evalúe la epresió p p 4 p p p 4 p 5. Supoga que círculos de igual diámetro está acomodados apretadamete e filas detro de u triágulo equilátero. (La figura ilustra el caso 4.) Si A es el área del triágulo y A es el área total ocupada por las filas de círculos, demuestre que A lím l A p s 6. Ua sucesió {a se defie recursivamete mediate las ecuacioes a 0 a a a a FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 FIGURA PARA EL PROBLEMA 8 Calcule la suma de la serie. 0 a 7. Tome el valor de e 0 a e itegre ua serie térmio a térmio, y co esto demuestre que y d 0 8. Iicie co los vértices P (0, ), P (, ), P (, 0), P 4(0, 0) de u cuadrado, y localice putos como se muestra e la figura: P 5 es el puto medio de P P, P 6 es el puto medio de P P, P 7 es el puto medio de P P 4, y así sucesivamete. La trayectoria espiral de la poligoal P P P P 4 P 5 P 6 P 7 se aproima al puto P detro del cuadrado. a) Si las coordeadas de P so (, y ), demuestre que y ecuetre ua ecuació similar para las coordeadas y. b) Determie las coordeadas de P. 9. Ecuetre la suma de la serie. 0. Lleve a cabo los siguietes pasos para demostrar que l a) Use la fórmula para la suma de ua serie geométrica fiita (..) para obteer ua epresió para 78

96 b) Itegre el resultado del iciso a) de 0 a para obteer ua epresió para 4 como ua itegral. c) Del iciso b) deduzca que y 0 d y d 0 d) Utilice el iciso c) para demostrar que la suma de la serie dada es l.. Ecuetre todas las solucioes de la ecuació! 4! 6! 4 8! 0 P FIGURA PARA EL PROBLEMA Sugerecia: cosidere los casos 0 y 0 por separado.. Se traza triágulos rectágulos como e la figura. Cada uo de los triágulos tiee ua altura de y su base es la hipoteusa del triágulo precedete. Demuestre que esta sucesió de triágulos da ua catidad idefiida de vueltas alrededor de P mostrado que es ua serie divergete.. Cosidere la serie cuyos térmios so los recíprocos de los eteros positivos que se puede escribir co la otació de base 0 si usar el dígito 0. Demuestre que esta serie es covergete y que la suma es meor que a) Demuestre que la serie de Maclauri de la fució f es f dode f es el -ésimo úmero de Fiboacci, es decir, f, f y f f f para. [Sugerecia: escriba ( ) c 0 c c y multiplique ambos lados de esta ecuació por.] 5. Sea b) Determie ua fórmula eplícita para el -ésimo úmero de Fiboacci, escribiedo f () como ua suma de fraccioes parciales y co ello obteiedo la serie de Maclauri de ua maera distita. u v w!! 4 4! 5 5! Demuestre que u v w uvw. 6. Demuestre que si, la -ésima suma parcial de la serie armóica o es u etero. 6 6! 7 7! Sugerecia: sea k la máima potecia de que es meor o igual a y sea M el producto de todos los eteros impares que sea meores o iguales a. Supoga que s m, u etero. Etoces M k s M k m. El lado derecho de esta ecuació es par. Pruebe que el lado izquierdo es impar al demostrar que cada uo de sus térmios es u etero par, ecepto el último. 8 8! 9 9! 0 0! 784