1. Sucesiones y series numéricas

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1 I.T.INFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN DE PROBLEMAS CURSO Sucesioes y series uméricas. Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: a) +, +3 4, +7 8, +5 6, 3, 3 4, 3 4 5, c),, 6, 4, 0, d), 3, 3 5, 3 5 7, e), 4, 6, 8, 0,... f),,,,,,,.... Determiar la covergecia o divergecia de la sucesió cuyo térmio -ésimo se da. E caso de covergecia, determiar el límite. a) a = 3/ a = c) a = d) a = log( ) e) a =cos π f) a =! g) a = p, (p >0) e h) a = + i) a = j) a = E el estudio de la procreació de coejos, Fiboacci (hacia 75-50) ecotró la hoy famosa sucesió que lleva su ombre, defiida por recurrecia como a + = a + a +, a =, a =. a) Escribir sus primeros térmios. Escribir los 0 primeros térmios de la sucesió defiida por b = a + a, para.

2 c) Usado la defiició del apartado aterior, probar que b = + b d) Si lim b = α usar los apartados ateriores para verificar que α =+ α. Resolver esta ecuació e α (α se cooce como la secció áurea). 4. Verificar que la serie dada es divergete. a) c) d) e) =0 +. ( ) (, 055). =0 + +.!. 5. Verificar que la serie dada coverge: a) c) (0, 9) =0. (Usar fraccioes simples). ( +) ( +). 6. Calcular la suma de las series covergetes dadas. ( a). ) c) d) 4 ( +). ( + )( +3). ( ) Expresar cada decimal periódico como ua serie geométrica y escribir su suma e forma de cociete de dos úmeros eteros. a) 0, , 55

3 8. Sea a ua serie covergete y sea R = a + + a + + el resto de la serie tras los primeros térmios. Demostrar que lim R =0. 9. Hallar dos series divergete a y b tales que (a + b ) sea covergete. Si a coverge y b diverge, demostrar que (a + b )diverge. 0. Usar el criterio de comparació directa para saber si la serie coverge o o. a) =0 c) log +. = d)!. =0 e) e. f) = Usar el criterio de comparació e el límite para determiar si la serie es covergete o divergete. a). c) d) e) = ( +). k k +, k >. ( ) tg.. a) Usar el criterio de comparació e el límite co la serie armóica para demostrar que la serie a (co a 0) diverge si lim a 0. Probar que la serie si( )diverge.ayuda: Usaelapartadoaterior 3. Probar que si P () yq() so poliomios de grados respectivos j y k, laserie coverge si j<k ydivergesij k. P () Q()

4 4. Aalizar si la serie dada es covergete o divergete, usado el criterio de series alteradas. a) c) d) e) f) ( ) +. ( ) +. ( ) + log( +). + ( +)π si. ( ) ()!. ( ) + e e. 5. Determiar si la serie dada es codicioal o absolutamete covergete. a) c) d) e) f) = ( ) + ( +). ( ) + +. ( ) log. ( ) 3. cos. si[( )π/]. 6. Demostrar que la serie armóica alterada geeralizada ( ) ( ) p coverge si p>0. 7. Probar que si a coverge, etoces a coverge. Utiliza la serie ( ) recíproco o es cierto. para probar que el 8. Determiar si la serie dada es covergete o divergete a) 3. ( + ).

5 c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ). ( ) + ( +). ( +) ( ) =0! 3.!. 3 ( +). ( ) +! 3 5 ( +). e. =0 ( ) 3.! =0 cos. ( 3) ( +). a(a +)(a +) (a + +), a,b > 0. b(b +)(b +) (b + +) 9. Aproximarlasumadelaseriecovergete co u error meor que ɛ ( ) + a) 3 co ɛ =0.00. c) d) e) ( ) co ɛ =0.00.! =0 co ɛ =0.. co ɛ = ! co ɛ = a) Si (a ) es ua sucesió de úmeros reales que tiee límite, lim a = l (fiito o ifiito). Probar que lim a + a a = l. Hallar el valor del siguiete límite: lim log( 3 3 ).

6 . a) Si (a ) es ua sucesió de úmeros reales que tiee límite, lim a = l (fiito o ifiito). Probar que lim a a a = l (se supoe a > 0). Hallar el valor del siguiete límite: lim!.. a) Calcular el siguiete límite: lim Aproximarlasumadelaseriecovergete co u error meos que ( +)3 3. a) Calcular el siguiete límite e fució del parámetro a : lim a, a 0. Aproximarlasumadelaseriecovergete co u error meos que 0.0.! 4. a) Determiar si la serie =0 fució del parámetro a. Aproximarlasumadelaseriecovergete a! ( +)( +) ( + +), a > 0escovergeteodivergetee ( ) + 4 co u error meos que a) Determiar si la serie a si (a IR) es covergete o divergete e fució del parámetro a. Aproximarlasumadelaseriecovergete co u error meos que 0..

7 . Series de potecias 6. Desarrollar e serie de potecias las siguietes fucioes, calculado el radio y el itervalo de covergecia, e idicar dóde el valor de la fució coicide co el de la serie. a) f(x) =(+e x ) f(x) =(+x)e +x c) f(x) =Chx d) f(x) =Ch x e) f(x) = g) f(x) = x +3x 4 h) f(x) = x0 x ( x ) x f) f(x) =xe x i) f(x) = 4x 3+x 7. Usado la derivació y la itegració térmio a térmio, desarrollar e serie de potecias las siguietes fucioes, justificado lo que se haga: a) f(x) = arcse x f(x) =arctgx c) f(x) =log +x x d) f(x) =arctg x x 8. Utilizado los desarrollos e serie de potecias, calcular las itegrales siguietes, co la cota de error ε que se idica e cada caso: a) 0 se x x, ε < x e x, ε < 0 3 c) 0 e x, ε < Sumar las siguietes series: a) =0 3 5 ( ) 4 6 () + usado el desarrollo de arcse x. ( +) usado el desarrollo de f(x) = x ( + x) + x 30. Dada la serie de potecias ( ), hallar su campo de covergecia, así como el valor de la suma de la serie e los extremos e que coverja. 3. Desarrollar e serie de potecias y calcular el campo de covergecia de las fucioes: a) f(x) =arctg x +x f(x) =x log +x x +arctgx 3. Hallar los campos de covergecia y las sumas de las series siguietes: a) + x 4 + x4 6 + x6 x3 + x x x

8 33. a) Desarrollar e serie de potecias la fució f(x) =( + x) log( + x) x hallado su campo de covergecia. A partir del desarrollo aterior, justificar la covergecia y calcular la suma de la serie umérica siguiete: ( ) 3 ( +)( +) 34. Sea (a ) la sucesió de térmio geeral a = 0 log( + ) a) Probar que la serie a diverge. Qué carácter tiee la serie Hallar los campos de covergecia de las series de potecias: ( ) a? a x y ( 3) a x c) Estudiar el carácter de la serie e fució de f(x) = a x.. y, si es posible, expresar el valor de su suma log( + ) 35. a) Hallar el campo de covergecia y la suma de la serie de potecias: Calcular la suma de la serie S (x) = c) Ecotrar el valor de: S (x) =+ x + x 3 + x S = x a) Desarrollar e serie de potecias la fució f(x) =arctg +x, idicado dóde hay covergecia putual. x Utilizado el desarrollo aterior, sumar la serie Dada la serie de potecias: se pide: S(x) = x + x3 3 + x a) Estudiar la covergecia putual. Hallar la suma S, cuado sea posible. c) Es covergete la serie ? E caso afirmativo, hallar su suma. 3 4

9 38. Dada la serie de potecias: se pide: x3 4 + x7 8 x + a) Calcular el radio de covergecia y el valor de la suma de la serie. Idicar dóde hay covergecia putual. c) Estudiar el carácter de las series S = S = y calcular su suma e caso de ser covergetes. 39. a) Calcular los desarrollos e series eteras de McLauri de Sh x ydechxa partir del desarrollo de e x. Calcular sus radios de covergecia. Probar que la serie es covergete y calcular su suma probado que puede ()! ()! A escribirse como ()! + B ( )! + C ( )!. Ayuda: Recordar que Sh x = ex e x y Chx = ex + e x. 40. Estudiar la covergecia putual de la serie de fucioes: x + x + 3 x x + y sumarla cuado sea posible. Utilizar el resultado obteido para estudiar la covergecia y, e su caso, hallar la suma de la serie: 4. Probar que la serie ( ) 0 3 ( ) x+ + coverge e [, ]. Obteer la fució suma a la que coverge, dode sea posible. Como aplicació de lo aterior, obteer la suma de la serie umérica 0 ( ) + 4. Sea la serie de potecias S(x) = x. a) Calcular el campo de covergecia de S(x). x Comprobar que su suma es S(x) = e el itervalo de covergecia. ( x) ( Ayuda: Usar el desarrollo x = x válido para x ), yderivar. =0

10 Sea ahora la serie de potecias T (x) = a x, cuyos coeficietes verifica la recurrecia =0 a 4a +4a =0, a = a 0 =0 a) Deducir que ( x) T (x) =x para cualquier x e el campo de covergecia de T (x). Calcular la fució suma de la serie de potecias T (x). c) Determiar la fórmula geeral del térmio a. 43. Se defie, para cada IN, la fució f :[0, ) IR dada por: f (x) = x x 0 x x a) Hallar el límite putual de f. Justificar que la covergecia o es uiforme e [0, ). 44. Dada la sucesió de fucioes: f (x) = si(x) a) Halla la fució límite putual de f. Estudia e IR la cotiuidad de las fucioes f,asícomoladelafució f límite putual de f Garatiza esto la covergecia uiforme de f e IR? c) Es lim f (0) = f (0)? Qué se puede decir acerca de la covergecia uiforme de f (x)? 45. Demostrar que la serie igualdad si(x)+cos(x) π 46. Sea la serie de potecias S(x) = 0 coverge uiformemete e IR y que se tiee la siguiete si(x)+cos(x) dx = a x tal que =0 a =( ) ( +) ( ) 3 a) Calcular su radio y campo de covergecia. Calcular λ y μ que hace que los coeficietes a verifique la siguiete idetidad a + λa + μa = 0 siedo c) Cosiderar la serie de potecias que resulta del producto S(x)( + x + x ) y comprobar que es u poliomio de primer grado. d) Deducir la expresió de la suma de la serie S(x) e el campo de covergecia. Calcular la suma + de la serie umérica ( ). =0

11 3. Series de Fourier 47. Obteer la serie de Fourier de las siguietes fucioes, e los itervalos que se idica: 0 si π x<0 a) f(x) =x, π x π f(x) = π si 0 x π c) f(x) = π si π x<0 π si 0 x π d) f(x) = π x si π x<0 π x si 0 x π 0 si π x<0 e) f(x) = se x si 0 x π f) f(x) = x, π x π 48. Hallar la serie de Fourier de tipo coseo de f defiida e [0, ], por f(x) =x x si π x<0 49. a) Obteer la serie de Fourier de f(x) = x si 0 x<π Calcular a partir de dicho desarrollo, ( ) y 50. Obteer los desarrollos e serie de Fourier de f(x) =x a) e (0,π), e seos. e (0,π), e coseos. 5. Desarrollar la fució f(x) =cos x e serie de Fourier de seos e el itervalo (0,π). 0 si L x< L 5. Desarrollar e serie de Fourier f(x) = si L x<l Obteer como cosecuecia que, π 4 = ( ) Sea la fució π-periódica defiida por x + π π x<0 f(x) = π x 0 x<π a) Probar que es ua fució par y obteer su serie de Fourier. 0 Estudiar la covergecia de la serie y probar la igualdad π 8 = { 0 x 54. Sea la fució f(x) = <x<0, extedida por periodicidad a todo IR.

12 a) Hallar la serie de Fourier de esta fució y comprobar que f(x) satisface las codicioes de Dirichlet. Haciedo uso de la serie de Fourier aterior, calcular la suma de la serie umérica 55. Sea S(f)(x) =3+ pide: a) Calcular π π f(x)dx. ( ) + 4 ( )π.! cos x + b si x, el desarrollo e serie de Fourier de ua fució f(x). Se Sabiedo que f es cotiua e π, calcular el valor umérico de f(π). Si g :[ π, π) R es ua fució satisfaciedo las codicioes de Dirichlet etoces se tiee que: π g(x) dx = a 0 π π + a + b, () dode a 0, y a,b co so los coeficietes de Fourier de g. { si π<x<0 c) Calcular la serie de Fourier de g(x) = si 0 <x<π d) Calcular la suma exacta de usado la igualdad (). ( ) ( ) 56. a) Suma la serie usado el desarrollo de f(x) = + +x. =0 Partiedo del desarrollo e serie de Fourier de f(x) =x e [ π, π], obteer: y ( ) 57. a) Suma la serie Demostrar que π x = usado la serie x. se(x), para 0 <x<π. 58. ( ) a) Suma la serie ( +)( usado el desarrollo de f(x) = 3) =0 +x. Obteer la serie de Fourier de la fució f(x) = π 4 si π<x<0 0 si x = π, 0,π π 4 si 0 <x<π Usado la codició de Dirichlet, justificar hacia qué fució coverge la serie aterior.

13 59. Obteer el desarrollo e serie de Fourier de la fució { x si x [ π f(x) =, π ] 0 si x [ π, π ) ( π,π] A qué valor coverge la serie para x = π?. Coicide co el valor de f(π )?. Si hay otros putos e los que ocurra la misma situació determíalos y razoa la respuesta. Usado el desarrollo aterior, obteer la suma de la serie umérica ( )). 60. Sea la fució f :IR IR defiida por f(x) =cos x π <x<π. y extedida periódicamete fuera del itervalo a) Comprobar que esta fució satisface las codicioes de Dirichlet y obteer su serie de Fourier. Ayuda: Hacer uso de la propiedad cos(mx)cos(x) =cos(m + )x +cos(m )x Hallar la suma exacta de la serie umérica 4 6. Dada la fució { 0 5 <x<0 g(x) = 3 0 <x<5 { 0 π <t<0 a) Calcular la serie de Fourier de g(t) = 3 0 <t<π. Calcular la serie de Fourier de g(x), sustituyedo t por πx e la serie de Fourier obteida e el 5 apartado aterior. c) Cómo debe defiirse g(x) ex = 5, x =0yx = 5 para que la serie de Fourier coverja a g(x) para 5 x 5? 6. Sea la fució f : R R defiida por f(x) = π x< x = 0 <x< x = <x π y extedida periódicamete fuera del itervalo [ π, π]. Se pide: a) Obteer la serie de Fourier de f(x) y estudiar su covergecia putual. se Calcular la suma exacta de la serie umérica. Ayuda: se a =se a cos a.

14 4. Itroducció a las ecuacioes difereciales 63. Verifica si las fucioes que se da so solució de la ecuació diferecial idicada e cada apartado: Ecuació Solucioes a) xy y = x 3 e x y (x) =x y (x) =x ( + e x ) y +y 3y =0 y (x) =e 3x y (x) =e x c) y + xy = x 4 (y ) y (x) =c + c x y (x) =l(x) 64. Determia el valor de k para que y = e kx sea solució de la ecuació diferecial y + y 6y = Se sabe que y = Ase bx es ua solució de la ecuació diferecial y +6y = 0. Ecotrar los valores de b. 66. Comprueba que las fucioes y (x) =e x e y (x) =e 3x so solucioes de la ecuació diferecial y 5y +6y =0. Esy(x) =c e x + c e 3x solució de dicha ecuació diferecial, para cualquier valor real de las costates c y c? 67. Demuestra que y = c x + c x es la solució geeral de x y xy +y = 0, y halla la solució particular para la cual y() = 3, y () = Halla la solució particular de las siguietes ecuacioes difereciales que satisface la codició iicial idicada. (a) y(x +)+y =0 y( ) =. (d) y dx x dy =0 y() =. ( dy dx + +y3 xy =0 y() =. (e) y = xe x y(0) =. (c) y se y = x y() = 0. (f) y l ydx xdy=0 y() = e. 69. La catidad de radio que se desitegra es proporcioal a la catidad total de radio presete e u istate cualquiera t. Si la mitad de ua cierta catidad de radio desapareciera e 590 años. Qué fracció se desitegrará durate el primer siglo?. Y durate el décimo siglo? 70. Supogamos que el ritmo propagació de u rumor(velocidad de propagació del rumor) es proporcioal a la catidad de persoas que lo cooce e cada mometo. Se sabe que había 00 persoas que coocía el rumor tras el segudo día y 300 tras el cuarto. Estimar cuatas persoas coocerá el rumor pasados 0 días. 7. Segú la Ley de Newto, la velocidad a que se efría ua sustacia al aire libre es proporcioal a la diferecia etre la temperatura de dicha sustacia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30, y la sustacia se efría de 00 a 70 e 5 miutos, hallar el istate e que su temperatura es de Itegra las siguietes ecuacioes difereciales: (a) dy dx + x y =3x ( y + y = +e x (c) (y x 3 )dx = xdy (d) ( + x ) dy dx +xy =cotgx (e) xy +y =sex (f) dy =(x e x +y)dx (Ayuda: cotgxdx = l(sex)+c) 73. Halla la solució particular de las ecuacioes siguietes, que pasa por el puto idicado: a) dy dx =6x3 y (, ) x

15 y +xy =4x (0, ) c) y +y = e x (0, 0.75) 74. Exame --04.Cosideremos el problema de valores iiciales y =0, y(0) = 0 +x aplicar el método de Heu co paso h =, e el itervalo [0, ], para aproximar el valor de la solució e x =. Justificar, previamete, que este P.V.I posee solució úica para x [0, ]. 75. Dado el P.V.I y ( + x) =0, y(0) = 0 a) Justifica que este problema tiee solució úica e el itervalo [0, ]. Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h =0.5. c) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =0.5. d) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =. 76. Cosideremos el P.V.I y + x x + y = x ex, y(0) =. a) Justifica que este problema tiee solució úica e el itervalo [0, ]. Estima el valor de y() utilizado el método de Euler co paso h = paso h =. yelmétodo de Heu co 77. Utiliza u paso del método de Heu para aproximar e x = la solució de la ecuació y + x y = x que pasa por el puto P (, ), justificado previamete que este problema posee solució úica e el itervalo que os iteresa. 78. Cosideremos el P.V.I xy y =0, y() =. Justifica que este problema tiee solució úica e el itervalo [, ] y aplica el método de Heu e dicho itervalo, tomado h =, para aproximar el valor de la solució, y(x), e x =. 79. Ecuetra la solució geeral de las siguietes ecuacioes homogéeas: (a) y y +y =0 (3y 8y +4y =0 (c) y +y + y =0 (d) y y 6y =0 (e)3y +4y =0 (f)y +y + y =0 80. Halla la solució del problema co valor iicial dado: a) y + y y =0 y(0) = y (0) = y y +5y =0 y(0) = y (0) = 0 c) y +6y +9y =0 y(0) = 0 y (0) =

16 8. Obté la solució del problema de valores iiciales siedo α 0. y + α y = x, y(0) = α 4 +, y (0) = 0, 8. Halla la solució geeral de: (a) y +9y =x +4x +7 ( y +y +0y =3x (c) y +4y +5y =3e x (d) y +4y +3y =0 (e) y + y = x + (f) y y = e x +e x 83. Demuestra que si y e y so dos solucioes de la ecuació o homogéea y +P (x)y +Q(x)y = R(x), etoces y = y + y uca es ua solució de esta ecuació. Así mismo,demuestraquesiy e y so solucioes respectivamete de las ecuacioes y + P (x)y + Q(x)y = R (x) e y + P (x)y + Q(x)y = R (x) y = y + y es siempre solució de y + P (x)y + Q(x)y = R (x) +R (x). Esto se cooce como pricipio de superposició. Utiliza este pricipio para hallar la solució geeral de: a) y +4y =4cosx +6cosx +8x 4x y +9y =se3x +4sex 6e x +7x Exame Dada la ecuació lieal homogéea co coeficietes costates y + py + qy =0. Se pide: (a) Calcular los coeficietes p y q de la ecuació aterior sabiedo que ua solució particular de la misma es e x,yquelasraíces de su ecuació característica so reales e iguales. ( E las codicioes del apartado aterior, obteer la solució particular de la ecuació que satisfaga las codicioes iiciales siguietes y(0) = 0, y (0) =. 85. a) Hallar la familia de curvas f(x) que so solució de la ED y y =0yademás verifica lim f(x) =. x Qué comportamieto tiee dichas curvas cuado x tiede a +?. Calcular la solució geeral de y y = x usado el método de los coeficietes idetermiados. c) Resolver el problema de valores iiciales: y y = x, y(0) = 0, y (0) = Exame Hallar la solució geeral de la e.d.o y 4y +3y =0e x y aalizar su comportamieto cuado cuado x Dada la ecuació diferecial xy = y : a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. xy = y coy = cuado x =. d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [, 3]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =3. f) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Euler co paso h =.

17 g) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Heu co paso h =. 88. Dada la ecuació diferecial y y(x +)=0: a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. y y(x +)=0coy = cuado x =0. d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =. f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h =. g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =. y 89. Dada la ecuació diferecial =5x : e x3 a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. y c) Resuelve el P.V.I. =5x co y = cuado x =0. e x3 d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =. f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h =. g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =. 90. Dada la ecuació diferecial dy dx + +x y =0: x a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. dy dx + +x y =0coy = e cuado x =. x d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [, 3 ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = 3. f) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Euler co paso h =. g) Aproxima el valor de la solució e x = 3 utilizado el método de Heu co paso h =. 9. Dada la ecuació diferecial y + y = +e x : a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. y + y = co y = 4 cuado x =0. +ex d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =. f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h =. g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =.

18 9. Dada la ecuació diferecial y se x + ycos x = xse x: a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. y se x + ycos x = xse x co y = cuado x = π. d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [ π, 3π 4 ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x = 3π 4. f) Aproxima el valor de la solució e x = 3π 4 utilizado el método de Euler co paso h = π 4. g) Aproxima el valor de la solució e x = 3π 4 utilizado el método de Heu co paso h = π Dada la ecuació diferecial xdy =(y xy x ) dx: a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. xdy =(y xy x ) dx co y = cuado x =. d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [, ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =. f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h =. g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =. 94. Dada la ecuació diferecial dy =(6xe x +xy) dx: a) Ecuetra su solució geeral. Comprueba que el resultado obteido e el apartado aterior es solució de la ecuació dada. c) Resuelve el P.V.I. dy =(6xe x +xy) dx co y = 5 cuado x =0. d) Justifica que el problema aterior tiee solució úica para x perteeciete al itervalo [0, ]. e) Ecuetra el valor exacto de la solució e x =. f) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Euler co paso h =. g) Aproxima el valor de la solució e x = utilizado el método de Heu co paso h =. 95. Itegrar mediate desarrollos e series de potecias: a) y = y y xy =0 96. Resolver, mediate desarrollos e series de potecias, la solució particular de ( + x)y = py sujeta a la codició y(0) =. 97. Hallar la solució geeral de ( + x )y +xy y =0etérmios de series de potecias e x. Se puede expresar esta solució mediate fucioes elemetales?. 98. La ecuació de Hermite es y xy +py = 0, dode p es ua costate.

19 a) Demostrar que su solució geeral es y(x) =a 0 y (x)+a y (x), dode: y (x) = p! x + p(p ) x 4 3 p(p )(p 4) x ! 6! y (x) =x (p ) 3! x 3 + (p )(p 3) 5! Dode so covergetes estas series? c) Obteer los desarrollos limitados de Hermite para p =0,,, 3, 4, 5. x 5 3 (p )(p 3)(p 5) x ! 99. Sea k ua costate real k > 0. Se defie la sucesió (u ) por las relacioes u 0 =0,u =y ku + ( + k )u + + ku =0,paratodo 0. Se cosidera la serie de potecias S(x) = 0 u! x. a) Probar que S(x) satisface la ecuació diferecial de segudo orde ks (x) ( + k )S (x)+ks(x) =0, co S(0) = 0 y S (0) =. Resolver la ecuació diferecial del apartado aterior para todo valor de k. c) Deducir del apartado aterior el valor del térmio geeral u e el caso k =. 00. Exame Dada la ecuació diferecial ( + x)y = py, dode p es ua costate real cualquiera. Se pide: (a) Comprobar que la serie de potecias +px+ p(p )! x p(p )...(p +)! x +... es la solució particular, válida e el itervalo (, ), de la ecuació de ( + x)y = py sujeta a la codició y(0) =. ( Hallar, razoadamete (si usar la tabla), la suma de la serie de potecias del apartado aterior. 0. Exame Sea la ecuació diferecial dode λ, μ y ν so costates reales. x y +(+λx)y = μ + νx, a) Estudiar la solucioes desarrollables e serie de potecias: y(x) = a x. Para ello, comprobar que a 0 = μ yquea = ν λμ y formar la relació de recurrecia etre a y a +. Demostrar que el radio de covergecia de ua serie de potecias solució y(x), e la cual todos los a so o ulos, es 0. c) Si ua serie de potecias solució y(x) preseta u elemeto a p ulo, deducir que y(x) esu poliomio. Comprobar que si λ es u etero egativo, la solució y(x) esdeestaforma. 0. Exame A partir de la serie de potecias f(x) = co radio de covergecia R fiito, defiamos la serie g(x) = = = =0 a x (se supoe a 0 = a =0)y a x. ()

20 a) Hallar el radio de covergecia de g(x). Comprobar que g(x) satisface la ecuació diferecial g (x) g(x) = x x f(x). c) Supoiedo que f(x) = x, resolver la ecuació diferecial aterior y calcular la solució x particular que pasa por (, log ). d) Demostrar que el desarrollo (), cuado a = para todo, coicide co el desarrollo e serie de potecias de la solució obteida e el apartado c) e u determiado itervalo. ( ) + Ayuda: log( + x) = x para todo x (, ]. 03. Exame Dadalaseriedepoteciasf(x) = ( ). b x dode b 0 = b =0, para, b = = a) Calcular su campo de covergecia y su fució suma. Calcular el radio de covergecia de la serie F (x) = (( +)( +)b + ( )( +)b ) x = c) Ecotrar ua fució que sea solució de ( x )y xy +y =b +6b 3 x + F (x) (3) Ayuda: Usa desarrollos e series de potecias. El puto x 0 = 0 es u puto ordiario para (3). d) Hallar la solució geeral de la ecuació homogéea asociada a (3), sabiedo que y = x es ua solució de esta ecuació homogéea. 4x Ayuda: x( x ) = x + x x, x ( x ) = x + / x + / +x e) Hallar la solució geeral de (3). f) Teiedo e cueta que x 0 = 0 es u puto ordiario de la ecuació homogéea asociada a (3), resolver mediate desarrollos e series de potecias el problema de valores iiciales: ( x )y xy +y =0, y(0) =, y (0) = 0. (4) Obteer el radio de covergecia de dicha serie solució o dar, justificadamete, ua cota iferior sigificativa del mismo. g) Calcular la suma de la serie de potecias que es solució de (4). 04. Exame Dada la E.D.O. y ( x ) xy =,sepide: a) Ecotrar la solució geeral de la ecuació usado el método de resolució de ecuacioes lieales de primer orde. Ayuda: =Arcsex + C. x Resolver la E.D.O. del euciado por medio de series de potecias. c) Deducir que arcsi x = x =0 (!) (+)! x+. d) Calcular el desarrollo e series de la fució f(x) =(Arcsex).