Manual de Estadística

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1 Maual de Estadístca Pag Maual de Estadístca Davd Ruz Muñoz Edtado por eumed et 004 ISBN:

2 Maual de Estadístca Pag ÍNDICE Capítulo I: Capítulo II: Capítulo III: Capítulo IV: Capítulo V: Capítulo VI: Capítulo VII: Hstora de la Estadístca Característcas de ua dstrbucó de frecuecas Dstrbucoes bdmesoales Números ídces Seres temporales Varables aleatoras Probabldad Davd Ruz Muñoz Profesor Departameto Ecoomía y Empresa Uversdad Pablo de Olavde

3 Maual de Estadístca Pag 3 Capítulo I HISTORIA DE LA ESTADISTICA Como djera Hutsberger: "La palabra estadístca a meudo os trae a la mete mágees de úmeros aplados e grades arreglos y tablas, de volúmees de cfras relatvas a acmetos, muertes, mpuestos, poblacoes, gresos, deudas, crédtos y así sucesvamete Hutsberger tee razó pues al state de escuchar esta palabra estas so las mágees que llega a uestra cabeza La Estadístca es mucho más que sólo úmeros aplados y gráfcas botas Es ua ceca co tata atgüedad como la escrtura, y es por sí msma auxlar de todas las demás cecas Los mercados, la medca, la geería, los goberos, etc Se ombra etre los más destacados cletes de ésta La auseca de ésta collevaría a u caos geeralzado, dejado a los admstradores y ejecutvos s formacó vtal a la hora de tomar decsoes e tempos de certdumbre La Estadístca que coocemos hoy e día debe gra parte de su realzacó a los trabajos matemátcos de aquellos hombres que desarrollaro la teoría de las probabldades, co la cual se adhró a la Estadístca a las cecas formales E este breve materal se expoe los coceptos, la hstora, la dvsó así como alguos errores báscos cometdos al mometo de aalzar datos Estadístcos Defcó de Estadístca La Estadístca es la ceca cuyo objetvo es reur ua formacó cuattatva cocerete a dvduos, grupos, seres de hechos, etc y deducr de ello gracas al aálss de estos datos uos sgfcados precsos o uas prevsoes para el futuro La estadístca, e geeral, es la ceca que trata de la recoplacó, orgazacó presetacó, aálss e terpretacó de datos umércos co e f de realzar ua toma de decsó más efectva Otros autores tee defcoes de la Estadístca semejates a las aterores, y alguos otros o ta semejates Para Chacó esta se defe como la ceca que tee por objeto el estudo cuattatvo de los colectvos ; otros la defe como la expresó cuattatva del coocmeto dspuesta e forma adecuada para el escruto y aálss La más aceptada, s embargo, es la de Mguez, que defe la Estadístca como La ceca que tee por objeto aplcar las leyes de la catdad a los hechos socales para medr su tesdad, deducr las leyes que los rge y hacer su predccó próxma Los estudates cofude comúmete los demás térmos asocados co las Estadístcas, ua cofusó que es coveete aclarar debdo a que esta palabra tee tres sgfcados: la palabra estadístca, e prmer térmo se usa para referrse a la formacó estadístca; també se utlza para referrse al cojuto de téccas y métodos que se utlza para aalzar la formacó estadístca; y el térmo estadístco, e sgular y e masculo, se refere a ua medda dervada de ua muestra Utldad e Importaca Los métodos estadístcos tradcoalmete se utlza para propóstos descrptvos, para orgazar y resumr datos umércos La estadístca descrptva, por ejemplo trata de la tabulacó de datos, su presetacó e forma gráfca o lustratva y el cálculo de meddas descrptvas Ahora be, las téccas estadístcas se aplca de maera ampla e mercadoteca, cotabldad, cotrol de caldad y e otras actvdades; estudos de cosumdores; aálss de resultados e deportes; admstradores de sttucoes; e la educacó; orgasmos polítcos; médcos; y por otras persoas que tervee e la toma de decsoes

4 Maual de Estadístca Pag 4 Hstora de la Estadístca Los comezos de la estadístca puede ser hallados e el atguo Egpto, cuyos faraoes lograro recoplar, haca el año 3050 ates de Crsto, proljos datos relatvos a la poblacó y la rqueza del país De acuerdo al hstorador grego Heródoto, dcho regstro de rqueza y poblacó se hzo co el objetvo de preparar la costruccó de las prámdes E el msmo Egpto, Ramsés II hzo u ceso de las terras co el objeto de verfcar u uevo reparto E el atguo Israel la Bbla da referecas, e el lbro de los Números, de los datos estadístcos obtedos e dos recuetos de la poblacó hebrea El rey Davd por otra parte, ordeó a Joab, geeral del ejércto hacer u ceso de Israel co la faldad de coocer el úmero de la poblacó També los chos efectuaro cesos hace más de cuareta sglos Los gregos efectuaro cesos peródcamete co fes trbutaros, socales (dvsó de terras) y mltares (cálculo de recursos y hombres dspobles) La vestgacó hstórca revela que se realzaro 69 cesos para calcular los mpuestos, determar los derechos de voto y poderar la poteca guerrera Pero fuero los romaos, maestros de la orgazacó polítca, quees mejor supero emplear los recursos de la estadístca Cada cco años realzaba u ceso de la poblacó y sus fucoaros públcos teía la oblgacó de aotar acmetos, defucoes y matrmoos, s olvdar los recuetos peródcos del gaado y de las rquezas cotedas e las terras coqustadas Para el acmeto de Crsto sucedía uo de estos empadroametos de la poblacó bajo la autordad del mpero Durate los ml años sguetes a la caída del mpero Romao se realzaro muy pocas operacoes Estadístcas, co la otable excepcó de las relacoes de terras perteecetes a la Iglesa, compladas por Ppo el Breve e el 758 y por Carlomago e el 76 DC Durate el sglo IX se realzaro e Fraca alguos cesos parcales de servos E Iglaterra, Gullermo el Coqustador recopló el Domesday Book o lbro del Gra Catastro para el año 086, u documeto de la propedad, extesó y valor de las terras de Iglaterra Esa obra fue el prmer compedo estadístco de Iglaterra Auque Carlomago, e Fraca; y Gullermo el Coqustador, e Iglaterra, trataro de revvr la técca romaa, los métodos estadístcos permaecero cas olvdados durate la Edad Meda Durate los sglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leoardo de Vc, Ncolás Copérco, Galleo, Neper, Wllam Harvey, Sr Fracs Baco y Reé Descartes, hcero grades operacoes al método cetífco, de tal forma que cuado se crearo los Estados Nacoales y surgó como fuerza el comerco teracoal exstía ya u método capaz de aplcarse a los datos ecoómcos Para el año 53 empezaro a regstrarse e Iglaterra las defucoes debdo al temor que Erque VII teía por la peste Más o meos por la msma época, e Fraca la ley exgó a los clérgos regstrar los bautsmos, fallecmetos y matrmoos Durate u brote de peste que aparecó a fes de la década de 500, el gobero glés comezó a publcar estadístcas semaales de los decesos Esa costumbre cotuó muchos años, y e 63 estos Blls of Mortalty (Cuetas de Mortaldad) coteía los acmetos y fallecmetos por sexo E 66, el captá Joh Graut usó documetos que abarcaba treta años y efectuó predccoes sobre el úmero de persoas que morría de varas efermedades y sobre las proporcoes de acmetos de varoes y mujeres que cabría esperar El trabajo de Graut, codesado e su obra Natural ad Poltcal ObservatosMade upo the Blls of Mortalty (Observacoes Polítcas y Naturales Hechas a partr de las Cuetas de Mortaldad), fue u esfuerzo ovador e el aálss estadístco Por el año 540 el alemá Sebastá Muster realzó ua complacó estadístca de los recursos acoales, compresva de datos sobre orgazacó polítca, struccoes socales, comerco y poderío mltar Durate el sglo XVII aportó dcacoes más

5 Maual de Estadístca Pag 5 cocretas de métodos de observacó y aálss cuattatvo y ampló los campos de la fereca y la teoría Estadístca Los erudtos del sglo XVII demostraro especal terés por la Estadístca Demográfca como resultado de la especulacó sobre s la poblacó aumetaba, decrecía o permaecía estátca E los tempos moderos tales métodos fuero resuctados por alguos reyes que ecestaba coocer las rquezas moetaras y el potecal humao de sus respectvos países El prmer empleo de los datos estadístcos para fes ajeos a la polítca tuvo lugar e 69 y estuvo a cargo de Gaspar Neuma, u profesor alemá que vvía e Breslau Este vestgador se propuso destrur la atgua creeca popular de que e los años termados e sete moría más gete que e los restates, y para lograrlo hurgó pacetemete e los archvos parroquales de la cudad Después de revsar mles de partdas de defucó pudo demostrar que e tales años o fallecía más persoas que e los demás Los procedmetos de Neuma fuero coocdos por el astróomo glés Halley, descubrdor del cometa que lleva su ombre, que los aplcó al estudo de la vda humaa Sus cálculos srvero de base para las tablas de mortaldad que hoy utlza todas las compañías de seguros Durate el sglo XVII y prcpos del XVIII, matemátcos como Beroull, Fracs Maseres, Lagrage y Laplace desarrollaro la teoría de probabldades No obstate durate certo tempo, la teoría de las probabldades lmtó su aplcacó a los juegos de azar y hasta el sglo XVIII o comezó a aplcarse a los grades problemas cetífcos Godofredo Achewall, profesor de la Uversdad de Gotga, acuñó e 760 la palabra estadístca, que extrajo del térmo talao statsta (estadsta) Creía, y co sobrada razó, que los datos de la ueva ceca sería el alado más efcaz del goberate coscete La raíz remota de la palabra se halla, por otra parte, e el térmo lato status, que sgfca estado o stuacó; Esta etmología aumeta el valor tríseco de la palabra, por cuato la estadístca revela el setdo cuattatvo de las más varadas stuacoes Jacques Quételect es que aplca las Estadístcas a las cecas socales Este terpretó la teoría de la probabldad para su uso e las cecas socales y resolver la aplcacó del prcpo de promedos y de la varabldad a los feómeos socales Quételect fue el prmero e realzar la aplcacó práctca de todo el método Estadístco, etoces coocdo, a las dversas ramas de la ceca Etretato, e el período del 800 al 80 se desarrollaro dos coceptos matemátcos fudametales para la teoría Estadístca; la teoría de los errores de observacó, aportada por Laplace y Gauss; y la teoría de los mímos cuadrados desarrollada por Laplace, Gauss y Legedre A fales del sglo XIX, Sr Fracs Gasto deó el método coocdo por Correlacó, que teía por objeto medr la flueca relatva de los factores sobre las varables De aquí partó el desarrollo del coefcete de correlacó creado por Karl Pearso y otros cultvadores de la ceca bométrca como J Pease Norto, R H Hooker y G Udy Yule, que efectuaro amplos estudos sobre la medda de las relacoes Los progresos más recetes e el campo de la Estadístca se refere al ulteror desarrollo del cálculo de probabldades, partcularmete e la rama deomada determsmo o relatvdad, se ha demostrado que el determsmo fue recoocdo e la Físca como resultado de las vestgacoes atómcas y que este prcpo se juzga aplcable tato a las cecas socales como a las físcas Etapas de Desarrollo de la Estadístca La hstora de la estadístca está resumda e tres grades etapas o fases - Prmera Fase: Los Cesos: Desde el mometo e que se costtuye ua autordad polítca, la dea de vetarar de ua forma más o meos regular la poblacó y las rquezas exstetes e el terrtoro está lgada a la coceca de soberaía y a los prmeros esfuerzos admstratvos

6 Maual de Estadístca Pag 6 - Seguda Fase: De la Descrpcó de los Cojutos a la Artmétca Polítca: Las deas mercatlstas extraña ua tesfcacó de este tpo de vestgacó Colbert multplca las ecuestas sobre artículos maufacturados, el comerco y la poblacó: los tedetes del Reo evía a París sus memoras Vauba, más coocdo por sus fortfcacoes o su Dme Royale, que es la prmera propuesta de u mpuesto sobre los gresos, se señala como el verdadero precursor de los sodeos Más tarde, Bufó se preocupa de esos problemas ates de dedcarse a la hstora atural La escuela glesa proporcoa u uevo progreso al superar la fase puramete descrptva Sus tres prcpales represetates so Graut, Petty y Halley El peúltmo es autor de la famosa Artmétca Polítca Chaptal, mstro del teror fracés, publca e 80 el prmer ceso geeral de poblacó, desarrolla los estudos dustrales, de las produccoes y los cambos, hacédose sstemátcos durates las dos terceras partes del sglo XIX 3- Tercera Fase: Estadístca y Cálculo de Probabldades: El cálculo de probabldades se corpora rápdamete como u strumeto de aálss extremadamete poderoso para el estudo de los feómeos ecoómcos y socales y e geeral para el estudo de feómeos cuyas causas so demasados complejas para coocerlos totalmete y hacer posble su aálss Dvsó de la Estadístca La Estadístca para su mejor estudo se ha dvddo e dos grades ramas: la Estadístca Descrptva y la Iferecal Estadístca Descrptva: cosste sobre todo e la presetacó de datos e forma de tablas y gráfcas Esta comprede cualquer actvdad relacoada co los datos y está dseñada para resumr o descrbr los msmos s factores pertetes adcoales; esto es, s tetar ferr ada que vaya más allá de los datos, como tales Estadístca Iferecal: se derva de muestras, de observacoes hechas sólo acerca de ua parte de u cojuto umeroso de elemetos y esto mplca que su aálss requere de geeralzacoes que va más allá de los datos Como cosecueca, la característca más mportate del recete crecmeto de la estadístca ha sdo u cambo e el éfass de los métodos que descrbe a métodos que srve para hacer geeralzacoes La Estadístca Iferecal vestga o aalza ua poblacó partedo de ua muestra tomada Método Estadístco El cojuto de los métodos que se utlza para medr las característcas de la formacó, para resumr los valores dvduales, y para aalzar los datos a f de extraerles el máxmo de formacó, es lo que se llama métodos estadístcos Los métodos de aálss para la formacó cuattatva se puede dvdr e los sguetes ses pasos: Defcó del problema Recoplacó de la formacó exstete 3 Obtecó de formacó orgal 4 Clasfcacó 5 Presetacó 6 Aálss Errores Estadístcos Comues Al mometo de recoplar los datos que será procesados se es susceptble de cometer errores así como durate los cómputos de los msmos No obstate, hay otros errores que o tee ada que ver co la dgtacó y que o so ta fáclmete detfcables Alguos de éstos errores so: Sesgo: Es mposble ser completamete objetvo o o teer deas precocebdas ates de comezar a estudar u problema, y exste muchas maeras e que ua perspectva o

7 Maual de Estadístca Pag 7 estado metal pueda flur e la recoplacó y e el aálss de la formacó E estos casos se dce que hay u sesgo cuado el dvduo da mayor peso a los datos que apoya su opó que a aquellos que la cotradce U caso extremo de sesgo sería la stuacó dode prmero se toma ua decsó y después se utlza el aálss estadístco para justfcar la decsó ya tomada Datos o comparables: el establecer comparacoes es ua de las partes más mportates del aálss estadístco, pero es extremadamete mportate que tales comparacoes se haga etre datos que sea comparables Proyeccó descudada de tedecas: la proyeccó smplsta de tedecas pasadas haca el futuro es uo de los errores que más ha desacredtado el uso del aálss estadístco Muestreo Icorrecto: e la mayoría de los estudos sucede que el volume de formacó dspoble es ta meso que se hace ecesaro estudar muestras, para dervar coclusoes acerca de la poblacó a que perteece la muestra S la muestra se seleccoa correctamete, tedrá báscamete las msmas propedades que la poblacó de la cual fue extraída; pero s el muestreo se realza correctamete, etoces puede suceder que los resultados o sgfque ada

8 Maual de Estadístca Pag 8 Capítulo II CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Itroduccó La fase preva de cualquer estudo estadístco se basa e la recogda y ordeacó de datos; esto se realza co la ayuda de los resúmees umércos y gráfcos vsto e los temas aterores Meddas de poscó So aquellas meddas que os ayuda a saber dode está los datos pero s dcar como se dstrbuye Meddas de poscó cetral a) Meda artmétca ( X ) La meda artmétca o smplemete meda, que deotaremos por X, es el úmero obtedo al dvdr la suma de todos los valores de la varable etre el umero total de observacoes, y se defe por la sguete expresó: x x N Ejemplo: S teemos la sguete dstrbucó, se pde hallar la meda artmétca, de los sguetes datos expresados e kg x x N0 60 X x 60 0 N 60, kg S los datos está agrupados e tervalos, la expresó de la meda artmétca, es la msma, pero utlzado la marca de clase (X) Ejemplo: (L -,L ] x x

9 Maual de Estadístca Pag 9 [30, 40] (40, 50] (50, 60] X x N Propedades: ª) S sometemos a ua varable estadístca X, a u cambo de orge y escala Y a + b X, la meda artmétca de dcha varable X, varía e la msma proporcó Y a + bx Y a + bx ª) La suma de las desvacoes de los valores o datos de ua varable X, respecto a su meda artmétca es cero ( x x) 0 Vetajas e coveetes: - La meda artmétca vee expresada e las msmas udades que la varable - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Es el cetro de gravedad de toda la dstrbucó, represetado a todos los valores observados - Es úca - Su prcpal coveete es que se ve afectada por los valores extremadamete grades o pequeños de la dstrbucó Meda artmétca poderada Es ua meda artmétca que se emplea e dstrbucoes de tpo utaro, e las que se troduce uos coefcetes de poderacó, deomados ω, que so valores postvos, que represeta el úmero de veces que u valor de la varable es más mportate que otro W x w w b) Meda geométrca

10 Maual de Estadístca Pag 0 Sea ua dstrbucó de frecuecas (x, ) La meda geométrca, que deotaremos por G se defe como la raíz N-ésma del producto de los N valores de la dstrbucó G N x x x k k S los datos está agrupados e tervalos, la expresó de la meda geométrca, es la msma, pero utlzado la marca de clase (X) El empleo más frecuete de la meda geométrca es el de promedar varables tales como porcetajes, tasas, úmeros ídces etc, es decr, e los casos e los que se supoe que la varable preseta varacoes acumulatvas Vetajas e coveetes: - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Los valores extremos tee meor flueca que e la meda artmétca - Es úca - Su cálculo es más complcado que el de la meda artmétca Además, cuado la varable toma al meos u x 0 etoces G se aula, y s la varable toma valores egatvos se puede presetar ua gama de casos partculares e los que tampoco queda determada debdo al problema de las raíces de ídce par de úmeros egatvos c) Meda armóca La meda armóca, que represetaremos por H, se defe como sgue: N H r x Obsérvese que la versa de la meda armóca es la meda artmétca de los versos de los valores de la varable No es acosejable e dstrbucoes de varables co valores pequeños Se suele utlzar para promedar varables tales como productvdades, velocdades, tempos, redmetos, cambos, etc Vetajas e coveetes: - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Su cálculo o tee setdo cuado algú valor de la varable toma valor cero - Es úca Relacó etre las medas:

11 Maual de Estadístca Pag H G X d) Medaa ( Me ) Dada ua dstrbucó de frecuecas co los valores ordeados de meor a mayor, llamamos medaa y la represetamos por Me, al valor de la varable, que deja a su zquerda el msmo úmero de frecuecas que a su derecha Calculo de la medaa: Varara segú el tpo de dato: a) Varables dscretas o agrupadas: N º) Se calcula y se costruye la columa de las N ( frecuecas acumuladas ) º) Se observa cual es la prmera N que supera o guala a casos: N N p N, dstguédose dos - S exste u valor de X tal que, etoces se toma como p N Me x - S exste u valor tal que N N, etoces la Me x + x + Ejemplo: Sea la dstrbucó x N lugar que ocupa N 35 7, 5 N como se produce que N < < N 6 < 7,7 < 6 Me x El otro caso lo podemos ver e la sguete dstrbucó:,por lo tato Me 7 x N

12 Maual de Estadístca Pag x + x Me 6 Lugar que ocupa 3/ 6 > Notar que e este caso se podría haber producdo que hubera ua frecueca absoluta acumulada superor a 6 E este caso se calcularía como e el ejemplo ateror b) Varables agrupadas por tervalos E este caso hay que detectar e que tervalo está el valor medao Dcho tervalo se deoma tervalo medao Cada tervalo I vedrá expresado segú la otacó I ( L -, L ]; observado la columa de las frecuecas acumuladas, buscaremos el prmer tervalo cuya N sea N mayor o gual que, que será el tervalo modal; ua vez detfcado dcho tervalo, procederemos al cálculo del valor medao, debedo dferecar dos casos: N N p p N º) S exste I tal que, etoces el tervalo medao es el ( L -, L ] y la medaa es: M e L + N N c º) Aálogamete s exste u I tal que Ejemplo: N N, la medaa es Me L ( L-, L] N [0, 5] (5, 30] (30, 35] (35, 40] (40, 45] 4 67 N 67 67/ 3355 ; Me estará e el tervalo (30-35 ] Por tato realzamos el cálculo:

13 Maual de Estadístca Pag 3 Me L N N 33, * a 3,38 Vetajas e coveetes : - Es la medda más represetatva e el caso de varables que solo admta la escala ordal - Es fácl de calcular - E la medaa solo fluye los valores cetrales y es sesble a los valores extremos u outlers - E su determacó o tervee todos los valores de la varable e) Moda La moda es el valor de la varable que más veces se repte, y e cosecueca, e ua dstrbucó de frecuecas, es el valor de la varable que vee afectada por la máxma frecueca de la dstrbucó E dstrbucoes o agrupadas e tervalos se observa la columa de las frecuecas absolutas, y el valor de la dstrbuc6 al que correspode la mayor frecueca será la moda A veces aparece dstrbucoes de varables co más de ua moda (bmodales, trmodales, etc), e cluso ua dstrbucó de frecuecas que presete ua moda absoluta y ua relatva E el caso de estar la varable agrupada e tervalos de dstta ampltud, se defe el tervalo modal, y se deota por ( L -, L ], como aquel que posee mayor desdad de frecueca ( h ); la desdad de frecueca se defe como : h a Ua vez detfcado el tervalo modal procederemos al cálculo de la moda, a través de la fórmula: h + Mo L + c h + h + E el caso de teer todos los tervalos la msma ampltud, el tervalo modal será el que posea ua mayor frecueca absoluta ( ) y ua vez detfcado este, empleado la fórmula: + Mo L c Vetajas e coveetes: - Su cálculo es secllo - Es de fácl terpretacó

14 Maual de Estadístca Pag 4 - Es la úca medda de poscó cetral que puede obteerse e las varables de tpo cualtatvo - E su determacó o tervee todos lo valores de la dstrbucó Meddas de poscó o cetral ( Cuatles ) Los cuatles so aquellos valores de la varable, que ordeados de meor a mayor, dvde a la dstrbucó e partes, de tal maera que cada ua de ellas cotee el msmo úmero de frecuecas Los cuatles más coocdos so: a) Cuartles ( Q ) So valores de la varable que dvde a la dstrbucó e 4 partes, cada ua de las cuales egloba el 5 % de las msmas Se deota de la sguete forma: Q es el prmer cuartl que deja a su zquerda el 5 % de los datos; Q es el segudo cuartl que deja a su zquerda el 50% de los datos, y Q 3 es el tercer cuartl que deja a su zquerda el 75% de los datos (Q Me) b) Decles ( D) So los valores de la varable que dvde a la dstrbucó e las partes guales, cada ua de las cuales egloba el 0 % de los datos E total habrá 9 decles (Q D 5 Me ) c) Cetles o Percetles ( P ) So los valores que dvde a la dstrbucó e 00 partes guales, cada ua de las cuales egloba el % de las observacoes E total habrá 99 percetles (Q D 5 Me P 50 ) Cálculo de los cuatles e dstrbucoes o agrupadas e tervalos - Se calcula a través de la sguete expresó: rn, sedo : q r el orde del cuatl correspodete q el úmero de tervalos co guales frecuecas u observacoes ( q 4, 0, ó 00 ) N úmero total de observacoes - La ateror expresó os dca que valor de la varable estudada es el cuatl que os pde, que se correspoderá co el prmer valor cuya frecueca acumulada sea mayor o gual a rn q Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: E la sguete dstrbucó

15 Maual de Estadístca Pag 5 x N N 0 Calcular la medaa (Me); el prmer y tercer cuartl (C,C3); el 4º decl (D4) y el 90 percetl (P90) Medaa (Me) Lugar que ocupa la medaa lugar 0/ 0 Como es gual a u valor de la frecueca absoluta acumulada, realzaremos es x x + Me,5 cálculo: Prmer cuartl (C) rn Lugar que ocupa e la dstrbucó ( ¼) 0 0/4 5 Como N- < < N q, es decr 3 < 5 < 0 esto mplcara que C x 0 Tercer cuartl (C3) Lugar que ocupa e la dstrbucó (3/4)0 60/4 5, que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: x x C + 7,5 Cuarto decl (D4) rn Lugar que ocupa e la dstrbucó (4/0) 0 80/0 8 Como N- < < N q ya que 3 < 8 < 0 por tato D4 0 Noagésmo percetl (P90) Lugar que ocupa e la dstrbucó (90/00) 0 800/00 8 que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: x x P +,5 Cálculo de los cuatles e dstrbucoes agrupadas e tervalos - Este cálculo se resuelve de maera détca al de la medaa - El tervalo dode se ecuetra el cuatl -esmo, es el prmero que ua vez ordeados los datos de meor a mayor, tega como frecueca acumulada ( N ) u valor superor o gual a q rn ; ua vez

16 Maual de Estadístca Pag 6 detfcado el tervalo I ( L-, L ], calcularemos el cuatl correspodete, a través de la fórmula: C r q L + rn q N q0; Percetl: q00 c r,,,q- Cuartl: q4; Decl: Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el prmer cuartl, el cuarto decl y el 90 percetl de la sguete dstrbucó: [L-, L) N [0, 00] (00, 00] (00, 300] (300, 800] N Prmer cuartl (Q) - Lugar ocupa el tervalo del prmer cuartl: (/4) /4 5 Por tato Q estará stuado e el tervalo (00 00]Aplcado la expresó drectamete, tedremos: Q Cuarto decl (D4) - Lugar que ocupa: (4/0) Por tato D4 estará stuado e el tervalo D (00 00] Aplcado la expresó tedremos: - - Noagésmo percetl (P 90) Lugar que ocupa: (90/00) , por tato P90 estará stuado e el tervalo ( ] Aplcado la expresó tedremos: P 78, ,67 3 Mometos potecales Los mometos so meddas obtedas a partr de todos los datos de ua varable estadístca y sus frecuecas absolutas Estas meddas caracterza a las dstrbucoes

17 Maual de Estadístca Pag 7 de frecuecas de tal forma que s los mometos cocde e dos dstrbucoes, dremos que so guales 3 Mometos respecto al orge Se defe el mometo de orde h respecto al orge de ua varable estadístca a la expresó: a h x h N Partculardades: S h, a es gual a la meda artmétca S h 0, a0 es gual a uo ( a0 ) 3 Mometos cetrales o mometos co respecto a la meda artmétca m h ( x x) N h Partculardades: - S h, etoces m 0 - S h, etoces m S 4 Meddas de dspersó Las meddas de dspersó trata de medr el grado de dspersó que tee ua varable estadístca e toro a ua medda de poscó o tedeca cetral, dcádoos lo represetatva que es la medda de poscó A mayor dspersó meor represetatvdad de la medda de poscó y vceversa 4 Meddas de dspersó absoluta a) Recorrdo ( Re ) Se defe como la dfereca etre el máxmo y el mímo valor de la varable:

18 Maual de Estadístca Pag 8 R máx x m x Ej: Sea X, las demzacoes recbdas por cuatro trabajadores de dos empresas A y B A B Re ( A) Re ( B) Dstrbucó meos dspersa - Otros recorrdos: tervalo tercuartílco I Q Q 3 tervalo terdecílco I ( D D ) tervalo tercetílco I ( P P ) 9 99 b) Desvacó absoluta meda co respecto a la meda ( d e ) Nos dca las desvacoes co respecto a la meda co respecto a la meda artmétca e valor absoluto d e r x N x c) Varaza La varaza mde la mayor o meor dspersó de los valores de la varable respecto a la meda artmétca Cuato mayor sea la varaza mayor dspersó exstrá y por tato meor represetatvdad tedrá la meda artmétca La varaza se expresa e las msmas udades que la varable aalzada, pero elevadas al cuadrado r r ( x x) x S S x N N Propedades:

19 Maual de Estadístca Pag 9 ª) La varaza sempre es mayor o gual que cero y meor que fto ( S x 0) ª) S a ua varable X la sometemos a u cambo de orge a y u cambo de escala b, la varaza de la ueva varable Y a + bx, será: ( S b S ) y x d) Desvacó típca o estádar Se defe como la raíz cuadrada co sgo postvo de la varaza x S x S + 4 Meddas de dspersó relatva Nos permte comparar la dspersó de dsttas dstrbucoes a) Coefcete de varacó de Pearso ( CVx ) Idca la relacó exstete etre la desvacó típca de ua muestra y su meda CV S x Al dvdr la desvacó típca por la meda se coverte e u valor exceto de udad de medda S comparamos la dspersó e varos cojutos de observacoes tedrá meor dspersó aquella que tega meor coefcete de varacó El prcpal coveete, es que al ser u coefcete versamete proporcoal a la meda artmétca, cuado está tome valores cercaos a cero, el coefcete tederá a fto Ejemplo: dstrbucó Calcula la varaza, desvacó típca y la dspersó relatva de esta Sea x el úmero de habtacoes que tee los 8 psos que forma u bloque de vecos X

20 Maual de Estadístca Pag 0 N 8 x x N * + 3 * + 5 * + 6 * habtacoes S r x N x * + 3 * + 5 *+ 6 *3 8 ( 45) 86 (habtacoes ) + x S x S habtacoes CV S x Meddas de forma Asmetría Curtoss o aputameto Hasta ahora, hemos estado aalzado y estudado la dspersó de ua dstrbucó, pero parece evdete que ecestamos coocer más sobre el comportameto de ua dstrbucó E esta parte, aalzaremos las meddas de forma, e el setdo de hstograma o represetacó de datos, es decr, que formacó os aporta segú la forma que tega la dsposcó de datos Las meddas de forma de ua dstrbucó se puede clasfcar e dos grades grupos o bloques: meddas de asmetría y meddas de curtoss 5 Meddas de asmetría o sesgo : Coefcete de asmetría de Fsher

21 Maual de Estadístca Pag Cuado al trazar ua vertcal, e el dagrama de barras o hstograma, de ua varable, segú sea esta dscreta o cotua, por el valor de la meda, esta vertcal, se trasforma e eje de smetría, decmos que la dstrbucó es smétrca E caso cotraro, dcha dstrbucó será asmétrca o dremos que preseta asmetría El coefcete de asmetría más precso es el de Fsher, que se defe por: g r ( x x) N 3 S 3 Segú sea el valor de g, dremos que la dstrbucó es asmétrca a derechas o postva, a zquerdas o egatva, o smétrca, o sea: S g > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha) S g < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda) S g 0 la dstrbucó puede ser smétrca; s la dstrbucó es smétrca, etoces s podremos afrmar que g 0

22 Maual de Estadístca Pag g <0 g 0 g >0 - S exste smetría, etoces g 0, y X Me ; s además la dstrbucó es umodal, també podemos afrmar que: X Me Mo - S g > 0, etoces : X > Me > Mo - S g < 0, etoces : X < Me < Mo 5 Meddas de aputameto o curtoss: coefcete de curtoss de Fsher Co estas meddas os estamos refredo al grado de aputameto que tee ua dstrbucó; para determarlo, emplearemos el coefcete de curtoss de Fsher (g)