Manual de Estadística

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1 Maual de Estadístca Pag Maual de Estadístca Davd Ruz Muñoz Edtado por eumed et 004 ISBN:

2 Maual de Estadístca Pag ÍNDICE Capítulo I: Capítulo II: Capítulo III: Capítulo IV: Capítulo V: Capítulo VI: Capítulo VII: Hstora de la Estadístca Característcas de ua dstrbucó de frecuecas Dstrbucoes bdmesoales Números ídces Seres temporales Varables aleatoras Probabldad Davd Ruz Muñoz Profesor Departameto Ecoomía y Empresa Uversdad Pablo de Olavde

3 Maual de Estadístca Pag 3 Capítulo I HISTORIA DE LA ESTADISTICA Como djera Hutsberger: "La palabra estadístca a meudo os trae a la mete mágees de úmeros aplados e grades arreglos y tablas, de volúmees de cfras relatvas a acmetos, muertes, mpuestos, poblacoes, gresos, deudas, crédtos y así sucesvamete Hutsberger tee razó pues al state de escuchar esta palabra estas so las mágees que llega a uestra cabeza La Estadístca es mucho más que sólo úmeros aplados y gráfcas botas Es ua ceca co tata atgüedad como la escrtura, y es por sí msma auxlar de todas las demás cecas Los mercados, la medca, la geería, los goberos, etc Se ombra etre los más destacados cletes de ésta La auseca de ésta collevaría a u caos geeralzado, dejado a los admstradores y ejecutvos s formacó vtal a la hora de tomar decsoes e tempos de certdumbre La Estadístca que coocemos hoy e día debe gra parte de su realzacó a los trabajos matemátcos de aquellos hombres que desarrollaro la teoría de las probabldades, co la cual se adhró a la Estadístca a las cecas formales E este breve materal se expoe los coceptos, la hstora, la dvsó así como alguos errores báscos cometdos al mometo de aalzar datos Estadístcos Defcó de Estadístca La Estadístca es la ceca cuyo objetvo es reur ua formacó cuattatva cocerete a dvduos, grupos, seres de hechos, etc y deducr de ello gracas al aálss de estos datos uos sgfcados precsos o uas prevsoes para el futuro La estadístca, e geeral, es la ceca que trata de la recoplacó, orgazacó presetacó, aálss e terpretacó de datos umércos co e f de realzar ua toma de decsó más efectva Otros autores tee defcoes de la Estadístca semejates a las aterores, y alguos otros o ta semejates Para Chacó esta se defe como la ceca que tee por objeto el estudo cuattatvo de los colectvos ; otros la defe como la expresó cuattatva del coocmeto dspuesta e forma adecuada para el escruto y aálss La más aceptada, s embargo, es la de Mguez, que defe la Estadístca como La ceca que tee por objeto aplcar las leyes de la catdad a los hechos socales para medr su tesdad, deducr las leyes que los rge y hacer su predccó próxma Los estudates cofude comúmete los demás térmos asocados co las Estadístcas, ua cofusó que es coveete aclarar debdo a que esta palabra tee tres sgfcados: la palabra estadístca, e prmer térmo se usa para referrse a la formacó estadístca; també se utlza para referrse al cojuto de téccas y métodos que se utlza para aalzar la formacó estadístca; y el térmo estadístco, e sgular y e masculo, se refere a ua medda dervada de ua muestra Utldad e Importaca Los métodos estadístcos tradcoalmete se utlza para propóstos descrptvos, para orgazar y resumr datos umércos La estadístca descrptva, por ejemplo trata de la tabulacó de datos, su presetacó e forma gráfca o lustratva y el cálculo de meddas descrptvas Ahora be, las téccas estadístcas se aplca de maera ampla e mercadoteca, cotabldad, cotrol de caldad y e otras actvdades; estudos de cosumdores; aálss de resultados e deportes; admstradores de sttucoes; e la educacó; orgasmos polítcos; médcos; y por otras persoas que tervee e la toma de decsoes

4 Maual de Estadístca Pag 4 Hstora de la Estadístca Los comezos de la estadístca puede ser hallados e el atguo Egpto, cuyos faraoes lograro recoplar, haca el año 3050 ates de Crsto, proljos datos relatvos a la poblacó y la rqueza del país De acuerdo al hstorador grego Heródoto, dcho regstro de rqueza y poblacó se hzo co el objetvo de preparar la costruccó de las prámdes E el msmo Egpto, Ramsés II hzo u ceso de las terras co el objeto de verfcar u uevo reparto E el atguo Israel la Bbla da referecas, e el lbro de los Números, de los datos estadístcos obtedos e dos recuetos de la poblacó hebrea El rey Davd por otra parte, ordeó a Joab, geeral del ejércto hacer u ceso de Israel co la faldad de coocer el úmero de la poblacó També los chos efectuaro cesos hace más de cuareta sglos Los gregos efectuaro cesos peródcamete co fes trbutaros, socales (dvsó de terras) y mltares (cálculo de recursos y hombres dspobles) La vestgacó hstórca revela que se realzaro 69 cesos para calcular los mpuestos, determar los derechos de voto y poderar la poteca guerrera Pero fuero los romaos, maestros de la orgazacó polítca, quees mejor supero emplear los recursos de la estadístca Cada cco años realzaba u ceso de la poblacó y sus fucoaros públcos teía la oblgacó de aotar acmetos, defucoes y matrmoos, s olvdar los recuetos peródcos del gaado y de las rquezas cotedas e las terras coqustadas Para el acmeto de Crsto sucedía uo de estos empadroametos de la poblacó bajo la autordad del mpero Durate los ml años sguetes a la caída del mpero Romao se realzaro muy pocas operacoes Estadístcas, co la otable excepcó de las relacoes de terras perteecetes a la Iglesa, compladas por Ppo el Breve e el 758 y por Carlomago e el 76 DC Durate el sglo IX se realzaro e Fraca alguos cesos parcales de servos E Iglaterra, Gullermo el Coqustador recopló el Domesday Book o lbro del Gra Catastro para el año 086, u documeto de la propedad, extesó y valor de las terras de Iglaterra Esa obra fue el prmer compedo estadístco de Iglaterra Auque Carlomago, e Fraca; y Gullermo el Coqustador, e Iglaterra, trataro de revvr la técca romaa, los métodos estadístcos permaecero cas olvdados durate la Edad Meda Durate los sglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leoardo de Vc, Ncolás Copérco, Galleo, Neper, Wllam Harvey, Sr Fracs Baco y Reé Descartes, hcero grades operacoes al método cetífco, de tal forma que cuado se crearo los Estados Nacoales y surgó como fuerza el comerco teracoal exstía ya u método capaz de aplcarse a los datos ecoómcos Para el año 53 empezaro a regstrarse e Iglaterra las defucoes debdo al temor que Erque VII teía por la peste Más o meos por la msma época, e Fraca la ley exgó a los clérgos regstrar los bautsmos, fallecmetos y matrmoos Durate u brote de peste que aparecó a fes de la década de 500, el gobero glés comezó a publcar estadístcas semaales de los decesos Esa costumbre cotuó muchos años, y e 63 estos Blls of Mortalty (Cuetas de Mortaldad) coteía los acmetos y fallecmetos por sexo E 66, el captá Joh Graut usó documetos que abarcaba treta años y efectuó predccoes sobre el úmero de persoas que morría de varas efermedades y sobre las proporcoes de acmetos de varoes y mujeres que cabría esperar El trabajo de Graut, codesado e su obra Natural ad Poltcal ObservatosMade upo the Blls of Mortalty (Observacoes Polítcas y Naturales Hechas a partr de las Cuetas de Mortaldad), fue u esfuerzo ovador e el aálss estadístco Por el año 540 el alemá Sebastá Muster realzó ua complacó estadístca de los recursos acoales, compresva de datos sobre orgazacó polítca, struccoes socales, comerco y poderío mltar Durate el sglo XVII aportó dcacoes más

5 Maual de Estadístca Pag 5 cocretas de métodos de observacó y aálss cuattatvo y ampló los campos de la fereca y la teoría Estadístca Los erudtos del sglo XVII demostraro especal terés por la Estadístca Demográfca como resultado de la especulacó sobre s la poblacó aumetaba, decrecía o permaecía estátca E los tempos moderos tales métodos fuero resuctados por alguos reyes que ecestaba coocer las rquezas moetaras y el potecal humao de sus respectvos países El prmer empleo de los datos estadístcos para fes ajeos a la polítca tuvo lugar e 69 y estuvo a cargo de Gaspar Neuma, u profesor alemá que vvía e Breslau Este vestgador se propuso destrur la atgua creeca popular de que e los años termados e sete moría más gete que e los restates, y para lograrlo hurgó pacetemete e los archvos parroquales de la cudad Después de revsar mles de partdas de defucó pudo demostrar que e tales años o fallecía más persoas que e los demás Los procedmetos de Neuma fuero coocdos por el astróomo glés Halley, descubrdor del cometa que lleva su ombre, que los aplcó al estudo de la vda humaa Sus cálculos srvero de base para las tablas de mortaldad que hoy utlza todas las compañías de seguros Durate el sglo XVII y prcpos del XVIII, matemátcos como Beroull, Fracs Maseres, Lagrage y Laplace desarrollaro la teoría de probabldades No obstate durate certo tempo, la teoría de las probabldades lmtó su aplcacó a los juegos de azar y hasta el sglo XVIII o comezó a aplcarse a los grades problemas cetífcos Godofredo Achewall, profesor de la Uversdad de Gotga, acuñó e 760 la palabra estadístca, que extrajo del térmo talao statsta (estadsta) Creía, y co sobrada razó, que los datos de la ueva ceca sería el alado más efcaz del goberate coscete La raíz remota de la palabra se halla, por otra parte, e el térmo lato status, que sgfca estado o stuacó; Esta etmología aumeta el valor tríseco de la palabra, por cuato la estadístca revela el setdo cuattatvo de las más varadas stuacoes Jacques Quételect es que aplca las Estadístcas a las cecas socales Este terpretó la teoría de la probabldad para su uso e las cecas socales y resolver la aplcacó del prcpo de promedos y de la varabldad a los feómeos socales Quételect fue el prmero e realzar la aplcacó práctca de todo el método Estadístco, etoces coocdo, a las dversas ramas de la ceca Etretato, e el período del 800 al 80 se desarrollaro dos coceptos matemátcos fudametales para la teoría Estadístca; la teoría de los errores de observacó, aportada por Laplace y Gauss; y la teoría de los mímos cuadrados desarrollada por Laplace, Gauss y Legedre A fales del sglo XIX, Sr Fracs Gasto deó el método coocdo por Correlacó, que teía por objeto medr la flueca relatva de los factores sobre las varables De aquí partó el desarrollo del coefcete de correlacó creado por Karl Pearso y otros cultvadores de la ceca bométrca como J Pease Norto, R H Hooker y G Udy Yule, que efectuaro amplos estudos sobre la medda de las relacoes Los progresos más recetes e el campo de la Estadístca se refere al ulteror desarrollo del cálculo de probabldades, partcularmete e la rama deomada determsmo o relatvdad, se ha demostrado que el determsmo fue recoocdo e la Físca como resultado de las vestgacoes atómcas y que este prcpo se juzga aplcable tato a las cecas socales como a las físcas Etapas de Desarrollo de la Estadístca La hstora de la estadístca está resumda e tres grades etapas o fases - Prmera Fase: Los Cesos: Desde el mometo e que se costtuye ua autordad polítca, la dea de vetarar de ua forma más o meos regular la poblacó y las rquezas exstetes e el terrtoro está lgada a la coceca de soberaía y a los prmeros esfuerzos admstratvos

6 Maual de Estadístca Pag 6 - Seguda Fase: De la Descrpcó de los Cojutos a la Artmétca Polítca: Las deas mercatlstas extraña ua tesfcacó de este tpo de vestgacó Colbert multplca las ecuestas sobre artículos maufacturados, el comerco y la poblacó: los tedetes del Reo evía a París sus memoras Vauba, más coocdo por sus fortfcacoes o su Dme Royale, que es la prmera propuesta de u mpuesto sobre los gresos, se señala como el verdadero precursor de los sodeos Más tarde, Bufó se preocupa de esos problemas ates de dedcarse a la hstora atural La escuela glesa proporcoa u uevo progreso al superar la fase puramete descrptva Sus tres prcpales represetates so Graut, Petty y Halley El peúltmo es autor de la famosa Artmétca Polítca Chaptal, mstro del teror fracés, publca e 80 el prmer ceso geeral de poblacó, desarrolla los estudos dustrales, de las produccoes y los cambos, hacédose sstemátcos durates las dos terceras partes del sglo XIX 3- Tercera Fase: Estadístca y Cálculo de Probabldades: El cálculo de probabldades se corpora rápdamete como u strumeto de aálss extremadamete poderoso para el estudo de los feómeos ecoómcos y socales y e geeral para el estudo de feómeos cuyas causas so demasados complejas para coocerlos totalmete y hacer posble su aálss Dvsó de la Estadístca La Estadístca para su mejor estudo se ha dvddo e dos grades ramas: la Estadístca Descrptva y la Iferecal Estadístca Descrptva: cosste sobre todo e la presetacó de datos e forma de tablas y gráfcas Esta comprede cualquer actvdad relacoada co los datos y está dseñada para resumr o descrbr los msmos s factores pertetes adcoales; esto es, s tetar ferr ada que vaya más allá de los datos, como tales Estadístca Iferecal: se derva de muestras, de observacoes hechas sólo acerca de ua parte de u cojuto umeroso de elemetos y esto mplca que su aálss requere de geeralzacoes que va más allá de los datos Como cosecueca, la característca más mportate del recete crecmeto de la estadístca ha sdo u cambo e el éfass de los métodos que descrbe a métodos que srve para hacer geeralzacoes La Estadístca Iferecal vestga o aalza ua poblacó partedo de ua muestra tomada Método Estadístco El cojuto de los métodos que se utlza para medr las característcas de la formacó, para resumr los valores dvduales, y para aalzar los datos a f de extraerles el máxmo de formacó, es lo que se llama métodos estadístcos Los métodos de aálss para la formacó cuattatva se puede dvdr e los sguetes ses pasos: Defcó del problema Recoplacó de la formacó exstete 3 Obtecó de formacó orgal 4 Clasfcacó 5 Presetacó 6 Aálss Errores Estadístcos Comues Al mometo de recoplar los datos que será procesados se es susceptble de cometer errores así como durate los cómputos de los msmos No obstate, hay otros errores que o tee ada que ver co la dgtacó y que o so ta fáclmete detfcables Alguos de éstos errores so: Sesgo: Es mposble ser completamete objetvo o o teer deas precocebdas ates de comezar a estudar u problema, y exste muchas maeras e que ua perspectva o

7 Maual de Estadístca Pag 7 estado metal pueda flur e la recoplacó y e el aálss de la formacó E estos casos se dce que hay u sesgo cuado el dvduo da mayor peso a los datos que apoya su opó que a aquellos que la cotradce U caso extremo de sesgo sería la stuacó dode prmero se toma ua decsó y después se utlza el aálss estadístco para justfcar la decsó ya tomada Datos o comparables: el establecer comparacoes es ua de las partes más mportates del aálss estadístco, pero es extremadamete mportate que tales comparacoes se haga etre datos que sea comparables Proyeccó descudada de tedecas: la proyeccó smplsta de tedecas pasadas haca el futuro es uo de los errores que más ha desacredtado el uso del aálss estadístco Muestreo Icorrecto: e la mayoría de los estudos sucede que el volume de formacó dspoble es ta meso que se hace ecesaro estudar muestras, para dervar coclusoes acerca de la poblacó a que perteece la muestra S la muestra se seleccoa correctamete, tedrá báscamete las msmas propedades que la poblacó de la cual fue extraída; pero s el muestreo se realza correctamete, etoces puede suceder que los resultados o sgfque ada

8 Maual de Estadístca Pag 8 Capítulo II CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Itroduccó La fase preva de cualquer estudo estadístco se basa e la recogda y ordeacó de datos; esto se realza co la ayuda de los resúmees umércos y gráfcos vsto e los temas aterores Meddas de poscó So aquellas meddas que os ayuda a saber dode está los datos pero s dcar como se dstrbuye Meddas de poscó cetral a) Meda artmétca ( X ) La meda artmétca o smplemete meda, que deotaremos por X, es el úmero obtedo al dvdr la suma de todos los valores de la varable etre el umero total de observacoes, y se defe por la sguete expresó: x x N Ejemplo: S teemos la sguete dstrbucó, se pde hallar la meda artmétca, de los sguetes datos expresados e kg x x N0 60 X x 60 0 N 60, kg S los datos está agrupados e tervalos, la expresó de la meda artmétca, es la msma, pero utlzado la marca de clase (X) Ejemplo: (L -,L ] x x

9 Maual de Estadístca Pag 9 [30, 40] (40, 50] (50, 60] X x N Propedades: ª) S sometemos a ua varable estadístca X, a u cambo de orge y escala Y a + b X, la meda artmétca de dcha varable X, varía e la msma proporcó Y a + bx Y a + bx ª) La suma de las desvacoes de los valores o datos de ua varable X, respecto a su meda artmétca es cero ( x x) 0 Vetajas e coveetes: - La meda artmétca vee expresada e las msmas udades que la varable - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Es el cetro de gravedad de toda la dstrbucó, represetado a todos los valores observados - Es úca - Su prcpal coveete es que se ve afectada por los valores extremadamete grades o pequeños de la dstrbucó Meda artmétca poderada Es ua meda artmétca que se emplea e dstrbucoes de tpo utaro, e las que se troduce uos coefcetes de poderacó, deomados ω, que so valores postvos, que represeta el úmero de veces que u valor de la varable es más mportate que otro W x w w b) Meda geométrca

10 Maual de Estadístca Pag 0 Sea ua dstrbucó de frecuecas (x, ) La meda geométrca, que deotaremos por G se defe como la raíz N-ésma del producto de los N valores de la dstrbucó G N x x x k k S los datos está agrupados e tervalos, la expresó de la meda geométrca, es la msma, pero utlzado la marca de clase (X) El empleo más frecuete de la meda geométrca es el de promedar varables tales como porcetajes, tasas, úmeros ídces etc, es decr, e los casos e los que se supoe que la varable preseta varacoes acumulatvas Vetajas e coveetes: - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Los valores extremos tee meor flueca que e la meda artmétca - Es úca - Su cálculo es más complcado que el de la meda artmétca Además, cuado la varable toma al meos u x 0 etoces G se aula, y s la varable toma valores egatvos se puede presetar ua gama de casos partculares e los que tampoco queda determada debdo al problema de las raíces de ídce par de úmeros egatvos c) Meda armóca La meda armóca, que represetaremos por H, se defe como sgue: N H r x Obsérvese que la versa de la meda armóca es la meda artmétca de los versos de los valores de la varable No es acosejable e dstrbucoes de varables co valores pequeños Se suele utlzar para promedar varables tales como productvdades, velocdades, tempos, redmetos, cambos, etc Vetajas e coveetes: - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Su cálculo o tee setdo cuado algú valor de la varable toma valor cero - Es úca Relacó etre las medas:

11 Maual de Estadístca Pag H G X d) Medaa ( Me ) Dada ua dstrbucó de frecuecas co los valores ordeados de meor a mayor, llamamos medaa y la represetamos por Me, al valor de la varable, que deja a su zquerda el msmo úmero de frecuecas que a su derecha Calculo de la medaa: Varara segú el tpo de dato: a) Varables dscretas o agrupadas: N º) Se calcula y se costruye la columa de las N ( frecuecas acumuladas ) º) Se observa cual es la prmera N que supera o guala a casos: N N p N, dstguédose dos - S exste u valor de X tal que, etoces se toma como p N Me x - S exste u valor tal que N N, etoces la Me x + x + Ejemplo: Sea la dstrbucó x N lugar que ocupa N 35 7, 5 N como se produce que N < < N 6 < 7,7 < 6 Me x El otro caso lo podemos ver e la sguete dstrbucó:,por lo tato Me 7 x N

12 Maual de Estadístca Pag x + x Me 6 Lugar que ocupa 3/ 6 > Notar que e este caso se podría haber producdo que hubera ua frecueca absoluta acumulada superor a 6 E este caso se calcularía como e el ejemplo ateror b) Varables agrupadas por tervalos E este caso hay que detectar e que tervalo está el valor medao Dcho tervalo se deoma tervalo medao Cada tervalo I vedrá expresado segú la otacó I ( L -, L ]; observado la columa de las frecuecas acumuladas, buscaremos el prmer tervalo cuya N sea N mayor o gual que, que será el tervalo modal; ua vez detfcado dcho tervalo, procederemos al cálculo del valor medao, debedo dferecar dos casos: N N p p N º) S exste I tal que, etoces el tervalo medao es el ( L -, L ] y la medaa es: M e L + N N c º) Aálogamete s exste u I tal que Ejemplo: N N, la medaa es Me L ( L-, L] N [0, 5] (5, 30] (30, 35] (35, 40] (40, 45] 4 67 N 67 67/ 3355 ; Me estará e el tervalo (30-35 ] Por tato realzamos el cálculo:

13 Maual de Estadístca Pag 3 Me L N N 33, * a 3,38 Vetajas e coveetes : - Es la medda más represetatva e el caso de varables que solo admta la escala ordal - Es fácl de calcular - E la medaa solo fluye los valores cetrales y es sesble a los valores extremos u outlers - E su determacó o tervee todos los valores de la varable e) Moda La moda es el valor de la varable que más veces se repte, y e cosecueca, e ua dstrbucó de frecuecas, es el valor de la varable que vee afectada por la máxma frecueca de la dstrbucó E dstrbucoes o agrupadas e tervalos se observa la columa de las frecuecas absolutas, y el valor de la dstrbuc6 al que correspode la mayor frecueca será la moda A veces aparece dstrbucoes de varables co más de ua moda (bmodales, trmodales, etc), e cluso ua dstrbucó de frecuecas que presete ua moda absoluta y ua relatva E el caso de estar la varable agrupada e tervalos de dstta ampltud, se defe el tervalo modal, y se deota por ( L -, L ], como aquel que posee mayor desdad de frecueca ( h ); la desdad de frecueca se defe como : h a Ua vez detfcado el tervalo modal procederemos al cálculo de la moda, a través de la fórmula: h + Mo L + c h + h + E el caso de teer todos los tervalos la msma ampltud, el tervalo modal será el que posea ua mayor frecueca absoluta ( ) y ua vez detfcado este, empleado la fórmula: + Mo L c Vetajas e coveetes: - Su cálculo es secllo - Es de fácl terpretacó

14 Maual de Estadístca Pag 4 - Es la úca medda de poscó cetral que puede obteerse e las varables de tpo cualtatvo - E su determacó o tervee todos lo valores de la dstrbucó Meddas de poscó o cetral ( Cuatles ) Los cuatles so aquellos valores de la varable, que ordeados de meor a mayor, dvde a la dstrbucó e partes, de tal maera que cada ua de ellas cotee el msmo úmero de frecuecas Los cuatles más coocdos so: a) Cuartles ( Q ) So valores de la varable que dvde a la dstrbucó e 4 partes, cada ua de las cuales egloba el 5 % de las msmas Se deota de la sguete forma: Q es el prmer cuartl que deja a su zquerda el 5 % de los datos; Q es el segudo cuartl que deja a su zquerda el 50% de los datos, y Q 3 es el tercer cuartl que deja a su zquerda el 75% de los datos (Q Me) b) Decles ( D) So los valores de la varable que dvde a la dstrbucó e las partes guales, cada ua de las cuales egloba el 0 % de los datos E total habrá 9 decles (Q D 5 Me ) c) Cetles o Percetles ( P ) So los valores que dvde a la dstrbucó e 00 partes guales, cada ua de las cuales egloba el % de las observacoes E total habrá 99 percetles (Q D 5 Me P 50 ) Cálculo de los cuatles e dstrbucoes o agrupadas e tervalos - Se calcula a través de la sguete expresó: rn, sedo : q r el orde del cuatl correspodete q el úmero de tervalos co guales frecuecas u observacoes ( q 4, 0, ó 00 ) N úmero total de observacoes - La ateror expresó os dca que valor de la varable estudada es el cuatl que os pde, que se correspoderá co el prmer valor cuya frecueca acumulada sea mayor o gual a rn q Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: E la sguete dstrbucó

15 Maual de Estadístca Pag 5 x N N 0 Calcular la medaa (Me); el prmer y tercer cuartl (C,C3); el 4º decl (D4) y el 90 percetl (P90) Medaa (Me) Lugar que ocupa la medaa lugar 0/ 0 Como es gual a u valor de la frecueca absoluta acumulada, realzaremos es x x + Me,5 cálculo: Prmer cuartl (C) rn Lugar que ocupa e la dstrbucó ( ¼) 0 0/4 5 Como N- < < N q, es decr 3 < 5 < 0 esto mplcara que C x 0 Tercer cuartl (C3) Lugar que ocupa e la dstrbucó (3/4)0 60/4 5, que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: x x C + 7,5 Cuarto decl (D4) rn Lugar que ocupa e la dstrbucó (4/0) 0 80/0 8 Como N- < < N q ya que 3 < 8 < 0 por tato D4 0 Noagésmo percetl (P90) Lugar que ocupa e la dstrbucó (90/00) 0 800/00 8 que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: x x P +,5 Cálculo de los cuatles e dstrbucoes agrupadas e tervalos - Este cálculo se resuelve de maera détca al de la medaa - El tervalo dode se ecuetra el cuatl -esmo, es el prmero que ua vez ordeados los datos de meor a mayor, tega como frecueca acumulada ( N ) u valor superor o gual a q rn ; ua vez

16 Maual de Estadístca Pag 6 detfcado el tervalo I ( L-, L ], calcularemos el cuatl correspodete, a través de la fórmula: C r q L + rn q N q0; Percetl: q00 c r,,,q- Cuartl: q4; Decl: Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el prmer cuartl, el cuarto decl y el 90 percetl de la sguete dstrbucó: [L-, L) N [0, 00] (00, 00] (00, 300] (300, 800] N Prmer cuartl (Q) - Lugar ocupa el tervalo del prmer cuartl: (/4) /4 5 Por tato Q estará stuado e el tervalo (00 00]Aplcado la expresó drectamete, tedremos: Q Cuarto decl (D4) - Lugar que ocupa: (4/0) Por tato D4 estará stuado e el tervalo D (00 00] Aplcado la expresó tedremos: - - Noagésmo percetl (P 90) Lugar que ocupa: (90/00) , por tato P90 estará stuado e el tervalo ( ] Aplcado la expresó tedremos: P 78, ,67 3 Mometos potecales Los mometos so meddas obtedas a partr de todos los datos de ua varable estadístca y sus frecuecas absolutas Estas meddas caracterza a las dstrbucoes

17 Maual de Estadístca Pag 7 de frecuecas de tal forma que s los mometos cocde e dos dstrbucoes, dremos que so guales 3 Mometos respecto al orge Se defe el mometo de orde h respecto al orge de ua varable estadístca a la expresó: a h x h N Partculardades: S h, a es gual a la meda artmétca S h 0, a0 es gual a uo ( a0 ) 3 Mometos cetrales o mometos co respecto a la meda artmétca m h ( x x) N h Partculardades: - S h, etoces m 0 - S h, etoces m S 4 Meddas de dspersó Las meddas de dspersó trata de medr el grado de dspersó que tee ua varable estadístca e toro a ua medda de poscó o tedeca cetral, dcádoos lo represetatva que es la medda de poscó A mayor dspersó meor represetatvdad de la medda de poscó y vceversa 4 Meddas de dspersó absoluta a) Recorrdo ( Re ) Se defe como la dfereca etre el máxmo y el mímo valor de la varable:

18 Maual de Estadístca Pag 8 R máx x m x Ej: Sea X, las demzacoes recbdas por cuatro trabajadores de dos empresas A y B A B Re ( A) Re ( B) Dstrbucó meos dspersa - Otros recorrdos: tervalo tercuartílco I Q Q 3 tervalo terdecílco I ( D D ) tervalo tercetílco I ( P P ) 9 99 b) Desvacó absoluta meda co respecto a la meda ( d e ) Nos dca las desvacoes co respecto a la meda co respecto a la meda artmétca e valor absoluto d e r x N x c) Varaza La varaza mde la mayor o meor dspersó de los valores de la varable respecto a la meda artmétca Cuato mayor sea la varaza mayor dspersó exstrá y por tato meor represetatvdad tedrá la meda artmétca La varaza se expresa e las msmas udades que la varable aalzada, pero elevadas al cuadrado r r ( x x) x S S x N N Propedades:

19 Maual de Estadístca Pag 9 ª) La varaza sempre es mayor o gual que cero y meor que fto ( S x 0) ª) S a ua varable X la sometemos a u cambo de orge a y u cambo de escala b, la varaza de la ueva varable Y a + bx, será: ( S b S ) y x d) Desvacó típca o estádar Se defe como la raíz cuadrada co sgo postvo de la varaza x S x S + 4 Meddas de dspersó relatva Nos permte comparar la dspersó de dsttas dstrbucoes a) Coefcete de varacó de Pearso ( CVx ) Idca la relacó exstete etre la desvacó típca de ua muestra y su meda CV S x Al dvdr la desvacó típca por la meda se coverte e u valor exceto de udad de medda S comparamos la dspersó e varos cojutos de observacoes tedrá meor dspersó aquella que tega meor coefcete de varacó El prcpal coveete, es que al ser u coefcete versamete proporcoal a la meda artmétca, cuado está tome valores cercaos a cero, el coefcete tederá a fto Ejemplo: dstrbucó Calcula la varaza, desvacó típca y la dspersó relatva de esta Sea x el úmero de habtacoes que tee los 8 psos que forma u bloque de vecos X

20 Maual de Estadístca Pag 0 N 8 x x N * + 3 * + 5 * + 6 * habtacoes S r x N x * + 3 * + 5 *+ 6 *3 8 ( 45) 86 (habtacoes ) + x S x S habtacoes CV S x Meddas de forma Asmetría Curtoss o aputameto Hasta ahora, hemos estado aalzado y estudado la dspersó de ua dstrbucó, pero parece evdete que ecestamos coocer más sobre el comportameto de ua dstrbucó E esta parte, aalzaremos las meddas de forma, e el setdo de hstograma o represetacó de datos, es decr, que formacó os aporta segú la forma que tega la dsposcó de datos Las meddas de forma de ua dstrbucó se puede clasfcar e dos grades grupos o bloques: meddas de asmetría y meddas de curtoss 5 Meddas de asmetría o sesgo : Coefcete de asmetría de Fsher

21 Maual de Estadístca Pag Cuado al trazar ua vertcal, e el dagrama de barras o hstograma, de ua varable, segú sea esta dscreta o cotua, por el valor de la meda, esta vertcal, se trasforma e eje de smetría, decmos que la dstrbucó es smétrca E caso cotraro, dcha dstrbucó será asmétrca o dremos que preseta asmetría El coefcete de asmetría más precso es el de Fsher, que se defe por: g r ( x x) N 3 S 3 Segú sea el valor de g, dremos que la dstrbucó es asmétrca a derechas o postva, a zquerdas o egatva, o smétrca, o sea: S g > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha) S g < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda) S g 0 la dstrbucó puede ser smétrca; s la dstrbucó es smétrca, etoces s podremos afrmar que g 0

22 Maual de Estadístca Pag g <0 g 0 g >0 - S exste smetría, etoces g 0, y X Me ; s además la dstrbucó es umodal, també podemos afrmar que: X Me Mo - S g > 0, etoces : X > Me > Mo - S g < 0, etoces : X < Me < Mo 5 Meddas de aputameto o curtoss: coefcete de curtoss de Fsher Co estas meddas os estamos refredo al grado de aputameto que tee ua dstrbucó; para determarlo, emplearemos el coefcete de curtoss de Fsher (g)

23 Maual de Estadístca Pag 3 g r ( x x) N 4 S 4 S g > 3 la dstrbucó será leptocúrtca o aputada S g 3 la dstrbucó será mesocúrtca o ormal S g < 3 la dstrbucó será platcúrtca o meos aputada que lo ormal 6 Meddas de cocetracó Las meddas de cocetracó trata de poer de releve el mayor o meor grado de gualdad e el reparto del total de los valores de la varable, so por tato dcadores del grado de dstrbucó de la varable Para este f, está cocebdos los estudos sobre cocetracó Deomamos cocetracó a la mayor o meor equdad e el reparto de la suma total de los valores de la varable cosderada (reta, salaros, etc) Las ftas posbldades que puede adoptar los valores, se ecuetra etre los dos extremos: - Cocetracó máxma, cuado uo solo percbe el total y los demás ada, e este caso, os ecotraremos ate u reparto o equtatvo: x x x3 x- 0 y x - Cocetracó míma, cuado el cojuto total de valores de la varable esta repartdo por gual, e este caso dremos que estamos ate u reparto equtatvo x x x3 x- x De las dferetes meddas de cocetracó que exste os vamos a cetrar e dos: Idce de G, Coefcete, por tato será u valor umérco Curva de Lorez, gráfco, por tato será ua represetacó e ejes coordeados Sea ua dstrbucó de retas (x, ) de la que formaremos ua tabla co las sguetes columas: - Los productos x, que os dcará la reta total percbda por los retstas de reta dvdual x

24 Maual de Estadístca Pag 4 - Las frecuecas absolutas acumuladas N 3- Los totales acumulados u que se calcula de la sguete forma: u x u x + x u3 x + x + x3 3 u4 x + x + x3 3 + x4 4 u x + x + x3 3 + x x Por tato podemos decr que u x 4- La columa total de frecuecas acumuladas relatvas, que expresaremos e tato por ceto y que represetaremos como p y que vedrá dada por la sguete otacó p N La reta total de todos los retstas que será u y que dada e tato por ceto, la cual represetaremos como q y que respoderá a la sguete otacó: u q u 00 Por tato ya podemos cofeccoar la tabla que será la sguete: x x N u N u p 00 q 00 u p - q x x N u p q p - q x x N u p q p - q x x N u p q p - q Como podemos ver la últma columa es la dfereca etre las dos peúltmas, esta dfereca sera 0 para la cocetracó míma ya que p q y por tato su dfereca sera cero S esto lo represetamos gráfcamete obtedremos la curva de cocetracó o curva de Lorez La maera de represetarlo será, e el eje de las X, los valores p e % y e el de las Y los valores de q e % Al ser u %, el gráfco sempre será u cuadrado, y la gráfca será ua curva que se urá al cuadrado, por los valores (0,0), y (00,00), y quedará sempre por debajo de la dagoal La maera de terpretarla será: cuato más cerca se stúe esta curva de la dagoal, meor cocetracó habrá, o más homogeedad e la dstrbucó Cuato más se acerque a los ejes, por la parte feror del cuadrado, mayor cocetracó

25 Maual de Estadístca Pag 5 Los extremos so q % q p % p % Dstrbucó cocetracó míma de Dstrbucó de cocetracó Aalítcamete calcularemos el ídce de G el cual respode a la sguete ecuacó I G k ( p q ) k p Este ídce tomara los valores de I G 0 cuado p q cocetracó míma y de I G cuado q 0 Esto lo veremos mejor co u ejemplo :

26 Maual de Estadístca Pag 6 Frecueca marca x Σu q (u/u)* 00 L- - L x N p(n/) *00 p - q ,48 8,85 7, ,38 36,54, ,33 60,38 5, ,95 78,85, ,95 86,5 8, ,6 89,3 5, ,33 94,6 9, ,08 97,3 5, ,55 99,3, ,00 00,00 0, ,5 5, 48 Se pde Idce de cocetracó y Curva de Lorez correspodete Idce de cocetracó de GINI I G k del 0 ( p q ) k p 5,48 0,93 65,5, Observamos que hay poca cocetracó por ecotrarse cerca

27 Maual de Estadístca Pag 7 Curva de Lorez La curva la obteemos cerca de la dagoal, que dca que hay poca cocetracó: Curva de Loretz Curva de Loretz % de los gresos Desgualdad EstadístcaTrabajo Socal % de la poblacó Curva de Loretz Tema 3 36

28 Maual de Estadístca Pag 8 Capítulo III DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 3 Itroduccó Estudaremos dos característcas de u msmo elemeto de la poblacó (altura y peso, dos asgaturas, logtud y lattud) De forma geeral, s se estuda sobre ua msma poblacó y se mde por las msmas udades estadístcas ua varable X y ua varable Y, se obtee seres estadístcas de las varables X e Y Cosderado smultáeamete las dos seres, se suele decr que estamos ate ua varable estadístca bdmesoal 3 Tabulacó de varables estadístcas bdmesoales Vamos a cosderar tpos de tabulacoes: º) Para varables cuattatvas, que recbe el ombre de tabla de correlacó º) Para varables cualtatvas, que recbe el ombre de tabla de cotgeca 3Tablas de correlacó Sea ua poblacó estudada smultaeamete segú dos caracteres X e Y; que represetaremos geércamete como (x ; y j ; j ), dode x ; y j, so dos valores cualesquera y j es la frecueca absoluta cojuta del valor -ésmo de X co el j-ésmo de Y Ua forma de dspoer estos resultados es la coocda como tabla de doble etrada o tabla de correlacó, la cual podemos represetar como sgue:

29 Maual de Estadístca Pag 9 Y X y y y j y s f x j k f x j k f x j k f x r h h hj hk h f h j j k N f j f f f j f k E este caso, os dca el úmero de veces que aparece x cojutamete co y ;, os dca la frecueca cojuta de x co y, etc Tpos de dstrbucoes Cuado se estuda cojutamete dos varables, surge tres tpo de dstrbucoes: Dstrbucoes cojutas, dstrbucoes margales y dstrbucoes codcoadas a) Dstrbucó cojuta - La frecueca absoluta cojuta, vee determada por el úmero de veces que aparece el par ordeado ( x, y j ), y se represeta por j - La frecueca relatva cojuta, del par ( x, y j ) es el cocete etre la frecueca absoluta cojuta y el úmero total de observacoes Se trata de f j Se cumple las sguetes relacoes etre las frecuecas de dstrbucó cojuta: ª) La suma de las frecuecas absolutas cojutas, extedda a todos los pares es gual al total de observacoes r s j j N

30 Maual de Estadístca Pag 30 ª) La suma de todas las frecuecas relatvas cojutas extedda a todos los pares es gual a la udad r s j f j b) Dstrbucoes margales Cuado trabajamos co más de ua varable y queremos calcular las dstrbucoes de frecuecas de cada ua de maera depedete, os ecotramos co las dstrbucoes margales Varable X Varable Y x f y j j f j x f y f x f y f x 3 3 f 3 y 3 3 f 3 x 4 4 f 4 y 4 4 f 4 N N - Frecueca absoluta margal: el valor Represeta el úmero de veces que aparece el valor x de X, s teer e cueta cual es el valor de la varable Y A se le deoma frecueca absoluta margal del valor x de X, de forma que: por j De la msma maera, la frecueca absoluta margal del valor y j de Y se deotará j j j s rj - Frecueca relatva margal La frecueca relatva margal de x de X, vee dada por: f N La frecueca relatva margal de y j de Y, vee dada por: f j j N

31 Maual de Estadístca Pag 3 - Se cumple las sguetes relacoes etre las frecuecas de dstrbucó margales: ª) La suma de frecuecas absolutas margales de la varable X, es gual al úmero de observacoes que compoe la muestra ª) La suma de las frecuecas relatvas margales de la varable X, es gual a 3ª) Las dos propedades aterores se cumple també para la varable Y c) Dstrbucoes codcoadas Cosderemos a los j dvduos de la poblacó que represeta la modaldad y j de la varable Y, y obsérvese la columa j-esma de la tabla Sus j elemetos costtuye ua poblacó, que es u subcojuto de la poblacó total Sobre este subcojuto se defe la dstrbucó de X codcoada por y j, que se represeta por X / y j ;su frecueca absoluta se represeta por / j, y su frecueca relatva por f / j, para,, 3,, j r sedo f / j j El razoameto es aálogo cuado codcoamos la varable Y a u determado valor de X, es decr Y /x Ejemplo: Sea X salaro e um Sea Y atgüedad e la empresa (años) X / Y f , , , , , ,58 j fj 0,05 0,3 0, 0,3 0,68 0,053 Cuál es la dstrbucó de la retrbucó, pero úcamete de los empleados co ua atgüedad de 5 años?, es decr cual es la dstrbucó codcoada de la varable X codcoada a que Y sea gual a 5?

32 Maual de Estadístca Pag 3 X / Y / y5 f/ y5 90 / / / / /0 90 /0 j 0 Covaraza La covaraza mde la forma e que varía cojutamete dos varables X e Y E el estudo cojuto de dos varables, lo que os teresa prcpalmete es saber s exste algú tpo de relacó etre ellas Veremos ahora ua medda descrptva que srve para medr o cuatfcar esta relacó: r s ( x x)( y j y) j S xy N j S S xy >0 hay depedeca drecta (postva), es decr las varacoes de las varables tee el msmo setdo S S xy 0 las varables está correladas, es decr o hay relacó leal, pero podría exstr otro tpo de relacó S S xy < 0 hay depedeca versa o egatva, es decr las varacoes de las varables tee setdo opuesto Gráfcamete, dcaría la Covaraza, que los datos, se ajusta a ua recta, e los sguetes casos: S xy >0 S xy <0 - Otra forma de calcular la Covaraza sería: S xy m x y Será la que r s j utlzaremos e la práctca - La covaraza o es u parámetro acotado, y puede tomar cualquer valor real, por lo que su magtud o es mportate; lo sgfcatvo es el sgo que adopte la msma x y N j j

33 Maual de Estadístca Pag 33 Ejemplo: Sea X el tempo de vda de u secto ( años ) e Y la logtud del msmo, podrías deducr s exste relacó etre la edad del secto y su tamaño X / Y j x y r s j x N y N * 4 + *5 + 3* 4 años 3 j j cms * * * **3+ *3*+ *4*0+ **+ *3*3+ *4*+ 3**0+ 3*3*+ 3*4*3 S xy * Al teer la covaraza etre ambas varables sgo postvo, podemos deducr que exste ua relacó drecta o postva etre ambas varables, es decr, cuado aumeta la edad del secto també aumeta su tamaño 3Tablas de cotgeca Cuado teemos la formacó de varables de tpo cualtatvo o de ua varable cualtatva y otra cuattatva, se dspoe de ua tabla de cotgeca Nos lmtaremos al caso de varables Es ua tabla de doble etrada e la que e las flas se ubca las modaldades de ua de las varables ( atrbutos ) y e las columas las del otro; e las celdas resultates del cruce de las flas y las columas se cluye el úmero de elemetos de la dstrbucó que preseta ambas modaldades S se tee formacó de N elemetos acerca de las varables A y B de tal forma que preseta r y s modaldades respectvamete, la tabla de cotgeca sería de la forma: B B B B j B s f A A j s f A j s f

34 Maual de Estadístca Pag 34 A j s f A r r r rj rs r f r s j s N f s f f f j f s tabla de cotgeca r x s j úmero de elemetos de la dstrbucó que preseta la modaldad ésma del atrbuto A y la modaldad j esma del atrbuto B s -- úmero de elemetos de la dstrbucó co la ésma modaldad del atrbuto A Como a las varables cualtatvas o se les puede someter a operacoes de sumas, restas y dvsoes, al ver expresadas e escalas omales u ordales o tee setdo hablar de medas margales, codcoadas, varazas, etc; s podríamos calcular la moda e el caso de que se empleara ua escala omal y de la medaa s utlzamos escalas ordales 33 Depedeca e depedeca 33Idepedeca Cuado o se da gú tpo de relacó etre varables o atrbutos, dremos que so depedetes Dos varables X e Y, so depedetes etre s, cuado ua de ellas o fluye e la dstrbucó de la otra codcoada por el valor que adopte la prmera Por el cotraro exstrá depedeca cuado los valores de ua dstrbucó codcoa a los de la otra Dada dos varables estadístcas X e Y, la codcó ecesara y sufcete para que sea depedetes es: j N N N j, j Propedades:

35 Maual de Estadístca Pag 35 ª) S X es depedete de Y, las dstrbucoes codcoadas de X/Y j so détcas a la dstrbucó margal de X ª) S X es depedete de Y, Y es depedete de X 3ª) S X e Y so varables estadístcamete depedetes, su covaraza es cero La recíproca de esta propedad o es certa, es decr, la covaraza de varables puede tomar valor cero, y o ser depedetes 33Depedeca fucoal ( exste ua relacó matemátca exacta etre ambas varables ) El carácter X depede del carácter Y, s a cada modaldad y j de Y correspode ua úca modaldad posble de X Por lo tato cualquera que sea j, la frecueca absoluta j vale cero salvo para u valor de correspodete a ua columa j tal que j j Cada columa de la tabla de frecuecas tedrá, por cosguete, u úco térmo dstto de cero S a cada modaldad x de X correspode ua úca modaldad posble de Y, será Y depedete de X La depedeca de X respecto de Y o mplca que Y depeda de X Para que la depedeca sea recíproca, los caracteres X e Y debe presetar el msmo úmero de modaldades ( debe ser m) y e cada fla como e cada columa de la tabla debe haber uo y solo u térmo dferete de cero Sea X el salaro de u empleado e Y la atgüedad del msmo e la empresa X \ Y Depedeca fucoal recíproca: X depede de Y e Y depede de X X \ Y Y depede de X pero X o depede de Y

36 Maual de Estadístca Pag Depedeca estadístca ( exste ua relacó aproxmada ) Exste caracteres que so depedetes, se da etre ellos ua relacó de depedeca fucoal, pero s se percbe ua certa relacó de depedeca etre ambos; se trata de ua depedeca estadístca Cuado los caracteres so de tpo cuattatvo, el estudo de la depedeca estadístca se cooce como el problema de regresó, y el aálss del grado de depedeca que exste etre las varables se cooce como el problema de correlacó 34Regresó y correlacó leal smple 34Itroduccó a la regresó leal smple Cuado se estuda dos característcas smultáeamete sobre ua muestra, se puede cosderar que ua de ellas fluye sobre la otra de algua maera El objetvo prcpal de la regresó es descubrr el modo e que se relacoa Por ejemplo, e ua tabla de pesos y alturas de 0 persoas Altura Peso se puede supoer que la varable Altura fluye sobre la varable Peso e el setdo de que pesos grades vee explcados por valores grades de altura (e geeral) De las dos varables a estudar, que vamos a deotar co X e Y, vamos a llamar a la X VARIABLE INDEPENDIENTE o EXPLICATIVA, y a la otra, Y, le llamaremos VARIABLE DEPENDIENTE o EXPLICADA E la mayoría de los casos la relacó etre las varables es mutua, y es dfícl saber qué varable fluye sobre la otra E el ejemplo ateror, a ua persoa que mde meos le supodremos meor altura y a ua persoa de poca altura le supodremos u peso más bajo Es decr, se puede admtr que cada varable fluye sobre la otra de forma atural y por gual U ejemplo más claro dode dstgur etre varable explcatva y explcada es aquel dode se aota, de cada alumo de ua clase, su tempo de estudo (e horas) y su ota de exame E este caso u pequeño tempo de estudo tederá a obteer ua ota más baja, y ua ota buea os dcará que tal vez el alumo ha estudado mucho S embargo, a la hora de determar qué varable explca a la otra, está claro que el tempo de estudo explca la ota de exame y o al cotraro, pues el alumo prmero estuda u tempo que puede decdr lbremete, y luego obtee ua ota que ya o decde arbtraramete Por tato, X Tempo de estudo Y Nota de exame (varable explcatva o depedete) (varable explcada o depedete) El problema de ecotrar ua relacó fucoal etre dos varables es muy complejo, ya que exste fdad de fucoes de formas dsttas El caso más secllo de relacó etre dos varables es la relacó LINEAL, es decr que Y a + b X

37 Maual de Estadístca Pag 37 (es la ecuacó de ua recta) dode a y b so úmeros, que es el caso al que os vamos a lmtar Cualquer ejemplo de dstrbucó bdmesoal os muestra que la relacó etre varables NO es EXACTA (basta co que u dato de las X tega dos datos dsttos de Y asocados, como e el ejemplo de las Alturas y Pesos, que a 80 cm de altura le correspodía u dvduo de 8 kg y otro de 78 kg) Dagrama de dspersó o ube de putos E u problema de este tpo, se observa los valores ( x,y j ) y se represeta e u sstema de ejes coordeados, obteedo u cojuto de putos sobre el plao, llamado dagrama de dspersó o ube de putos Y Y X X E los dagramas de arrba se puede observar cómo e el de la zquerda, ua líea recta clada puede aproxmarse a cas todos los putos, metras que e el otro, cualquer recta deja a muchos putos alejados de ella Así pues, el hacer u aálss de regresó leal sólo estaría justfcado e el ejemplo de la zquerda Como se puede ver e ambos dagramas, gua recta es capaz de pasar por todos los putos, y segur sedo recta De todas las rectas posbles, la RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X es aquella que mmza u certo error, cosderado a X como varable explcatva o depedete y a Y como la explcada o depedete Recta de mímos cuadrados o recta de regresó de Y sobre X (y * a + b x) Sea y a + b x ua recta arbtrara Para cada dato de X, es decr, para cada x de la tabla teemos emparejado u dato de Y llamada y, pero també teemos el valor de susttur la x e la ecuacó de la recta, al que llamaremos y * y x a + b x y * Cuado se toma el dato x, el error que vamos a cosderar es el que se comete al elegr y * e lugar del verdadero y Se deota co e y vale e y - y*

38 Maual de Estadístca Pag 38 Esos errores puede ser postvos o egatvos, y lo que se hace es escoger la recta que mmce la suma de los cuadrados de todos esos errores, que es la msma que la que mmza la varaza de los errores Usado téccas de dervacó se llega a que, de todas las rectas y a + b x, co a y b úmeros arbtraros, aquella que mmza el error elegdo es aquella que cumple s a y s xy xy x y x s x s b por lo tato a y bx Así pues, susttuyedo e y a + b x, la ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X es y s xy sxy * y x + x s x s es decr y a + bx x y recolocado los térmos se puede escrbr de la forma s y y s xy x ( x x ) Recta de regresó de X sobre Y S se hubese tomado Y como varable depedete o explcatva, y X como depedete o explcada, la recta de regresó que se ecesta es la que mmza errores de la X Se llama RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y y se calcula fáclmete permutado los puestos de x e y, obteédose sxy * x x ( y y ) es decr x a + b y s y S xy Sabedo que : b y que a x b y S y PROPIEDADES: - Ambas rectas de regresó pasa por el puto ( x, y ) - La pedete de la recta de regresó de Y sobre X es b y la de X sobre Y es b Dado que las varazas so postvas por defcó, el sgo de las pedetes será el msmo que el de la covaraza, y así, las rectas será ambas crecetes o decrecetes, depededo de s la covaraza es postva o egatva, respectvamete, es decr b y b tedrá el msmo sgo

39 Maual de Estadístca Pag 39 - Los térmos de las rectas a y a costtuye los orígees de las rectas, es decr, so los valores que adopta respectvamete y* ó x* cuado x o y toma el valor cero e sus correspodetes rectas de regresó - Las rectas de regresó las emplearemos para realzar predccoes acerca de los valores que adoptara las varables - Puede darse el caso, de o exsteca de correlacó leal etre las varables, lo cual o mplca que o exsta otro tpo de relacoes etre las varables estudadas: relacó expoecal, relacó parabólca, etc 34Correlacó leal smple ( r ó R ) Para ver s exste relacó leal etre dos varables X e Y, emplearemos u parámetro que os mda la fuerza de asocacó leal etre ambas varables La medda de asocacó leal mas frecuetemete utlzada etre dos varables es r o coefcete de correlacó leal de Pearso; este parámetro se mde e térmos de covaraza de X e Y S xy R R S S x y S R, exste ua correlacó postva perfecta etre X e Y S R -, exste ua correlacó egatva perfecta etre X e Y S R 0, o exste correlacó leal, pudedo exstr otro tpo de relacó S p R p 0, exste correlacó egatva y depedeca versa, mayor cuato más se aproxme a - S 0 p R p, exste correlacó postva, y depedeca drecta, mayor cuato más se aproxme a - Varaza resdual y varaza explcada por la regresó Coefcete de determacó leal (R ) S teemos dos varables X e Y relacoadas lealmete, parte de la varabldad de la varable Y, vedrá explcada por varacoes de X ( varabldad explcada por el modelo), metras que el resto respoderá a varacoes de feómeos relacoados co la varable Y o co el azar ( varabldad o explcada por el modelo) Por tato os covee dspoer de ua medda que dque el porcetaje de la varabldad de la varable explcada que se debe a la varabldad de la varable explcatva Esta medda es el coefcete de determacó leal (R ), y s su valor es alto os dcará que el ajuste leal efectuado es bueo E la regresó leal de Y sobre X, la varaza de la varable Y, puede descompoerse e la suma de varazas: S y S r + S e dode: S es la varaza total de la varable Y y S r es la varaza explcada o varabldad de Y explcada por la regresó S r bs xy

40 Maual de Estadístca Pag 40 S e es la varaza resdual (e) o varabldad de Y o explcada por la regresó S e S bs y xy R S S 0 R S S r y e y S xy R S x S y també podemos afrmar que R b b Es ua medda de la bodad del ajuste leal efectuado S lo expresamos e porcetaje, dcho coefcete os dca el % de la varaza de la varable explcada ( Y) que se ha cosegudo explcar medate la regresó leal S R, exste depedeca fucoal; la totaldad de la varabldad de Y es explcada por la regresó S R 0, depedeca ula; la varable explcatva o aporta formacó válda para la estmacó de la varable explcada S R 0 75, se acepta el modelo ajustado Relacó exstete etre los coefcetes de determacó y correlacó leal: R ± R El sgo del coefcete de correlacó leal será el msmo que el de la covaraza 35 Estudo de la asocacó etre varables cualtatvas E el estudo vsto de regresó y correlacó se ha tratado solo el caso de varables cuattatvas ( gresos, salaros, precos, etc) Co varables de tpo cualtatvo se puede costrur tablas de cotgeca, a través de las cuales se puede estudar la depedeca estadístca etre los dsttos atrbutos S dos atrbutos so depedetes, se puede costrur ua sere de coefcetes que os mda el grado asocacó o depedeca etre los msmos Partmos de la tabla de cotgeca e la que exste r modaldades del atrbuto A y s del atrbuto B El total de observacoes será: N r s j j j j La depedeca estadístca se dará etre los atrbutos s : para todo, j ; N N N s esta expresó o se cumple, se drá que exste u grado de asocacó o depedeca etre los atrbutos j j ---- ' j j N N N N

41 Maual de Estadístca Pag 4 El valor ' j es la frecueca absoluta cojuta teórca que exstría s los atrbutos fuese depedetes El valor j es la frecueca absoluta cojuta observada El coefcete de asocacó o cotgeca es el llamado Cuadrado de Cotgeca, que es u dcador del grado de asocacó: χ ( ' ) j j j ' j sedo ' j j N ' El campo de varacó va desde cero ( cuado exste depedeca y j j ), hasta determados valores postvos, que depederá de las magtudes de las frecuecas absolutas que lo compoe Este coveete de los límtes varables se elmará co el empleo del Coefcete de cotgeca de Pearso: C χ N + χ Varía etre cero y uo El valor cero se dará e el caso de depedeca ( ' j j ) Cuato más se aproxme a más fuerte será el grado de asocacó etre los dos atrbutos Estudo de la asocacó etre dos atrbutos - Para tablas de cotgeca x Sea A y B dos varables cualtatvas o atrbutos tales que preseta modaldades cada ua La tabla de cotgeca correspodete es la sguete: A \ B B B A A,, N A y B so depedetes s: N A las expresoes por E j j N se les deoma frecuecas esperadas y se deota por j o

42 Maual de Estadístca Pag 4 S falmete podemos coclur que los dos atrbutos está asocados, se puede platear dos pregutas: ª) Cual es la tesdad de la asocacó etre los dos atrbutos? ª) Cual es la dreccó de la asocacó detectada? Asocacó perfecta etre dos atrbutos Ocurre cuado, al meos, ua de las modaldades de uo de los atrbutos queda determada por ua de las modaldades del otro atrbuto Esto ocurre cuado exste algú cero e la tabla x La asocacó perfecta puede ser: a) Asocacó perfecta y estrcta Ocurre cuado dada modaldad de uo de los atrbutos queda medatamete determada la modaldad del otro Es decr, cuado 0 ó 0 Ejemplo: A tpo de trabajo ( temporal ó defdo ) B Sexo ( hombre ó mujer ) Sexo \ Tpo Temporal Idefdo trabajo Hombre 0 0 Mujer 0 80 Co estos datos sabemos que s u dvduo es hombre el tpo de trabajo sera temporal y s es mujer su cotrato será defdo Asocacó perfecta e mplcta de tpo Ocurre cuado: º) S se toma la modaldad de u atrbuto queda determada la modaldad del otro atrbuto al que perteece la observacó º) S se toma la otra modaldad, o queda determada la modaldad del otro atrbuto al que perteece la observacó Es decr, esta asocacó se produce cuado algua de las frecuecas observada es cero Ejemplo: A tpo de trabajo ( temporal ó defdo ) B Sexo ( hombre ó mujer ) Sexo \ Tpo Temporal Idefdo trabajo Hombre 5 5 Mujer S la persoa observada es mujer sabremos que su cotrato es defdo; s es varó puede ser defdo o temporal - S el cotrato aalzado es temporal perteecerá a u hombre; s es u cotrato defdo, podrá ser de u hombre o ua mujer També podemos delmtar s la asocacó es postva o egatva:

43 Maual de Estadístca Pag 43 - Asocacó postva Cuado se verfca que : a) La modaldad del atrbuto A está asocada a la modaldad del atrbuto B b) La modaldad del atrbuto A está asocada a la modaldad del atrbuto B - Asocacó egatva: Cuado se verfca que: a) La modaldad del atrbuto A está asocada a la modaldad del atrbuto B b) La modaldad del atrbuto A esta asocada a la modaldad del atrbuto A Para medr el setdo de la asocacó etre dos atrbutos emplearemos el dcador Q de Yule: Q + Q S Q 0, etoces exste depedeca S Q > 0, etoces exste asocacó postva S Q < 0, etoces exste asocacó egatva Tablas de cotgeca R x S Para determar la tesdad de dcha asocacó, calculamos la V de Cramer, que se defe como: V r s j ( j Nm E ) E j j m m ( r-, s- ) V (0,) j Ej N Exstrá ua mayor tesdad e la asocacó etre varables a medda que el dcador adopte valores próxmos a

44 Maual de Estadístca Pag 44 Capítulo IV NÚMEROS ÍNDICES Aplcacó Exste u gra úmero de feómeos ecoómcos cuyo sgfcado y estudo alcaza dsttos veles de complejdad (so los que se cooce como coyutura ecoómca, vel de flacó, vel de desarrollo, etc) Los úmeros ídce costtuye el strumetal más adecuado para estudar la evolucó de ua sere de magtudes ecoómcas que os de respuesta a cuestoes tales como: Es la coyutura ecoómca postva o egatva? Es el vel de flacó el adecuado o o? etc Defcó U úmero ídce puede defrse como ua medda estadístca que os proporcoa la varacó relatva de ua magtud (smple o compleja) a lo largo del tempo o el espaco Sea X ua varable estadístca cuya evolucó se pretede estudar Llamaremos: Perodo cal o base, es aquel mometo del tempo sobre el que se va comparado la evolucó de la magtud o varable estadístca X 0 Perodo de comparacó, es aquel mometo del tempo e el que el valor de la magtud X t se compara co el del perodo base El ídce de evolucó de 0 a t expresado e %: I t 0 X t X 00 0 t I 0 t I 0 t I 0 toma el valor 00 e el perodo base < 00 mplca que X t < X 0 (dcado ua evolucó egatva del perodo 0 al t ) > 00 mplca que X t > X 0 (dcado ua evolucó egatva del perodo 0 al t ) La elaboracó de úmeros ídces tee setdo e varables de aturaleza cuattatva El ídce, por estar defdo por u cocete, es depedete de las udades de medda e las que vega expresada la varable, co lo que se pueda efectuar agregacoes de dsttos ídces, costruyédose dcadores de evolucó geeral de feómeos ecoómcos Los úmeros ídces se clasfca atededo a: La aturaleza de las magtudes que mde E el segudo caso, a la mportaca relatva de cada compoete Smples Complejas S poderar Poderados

45 Maual de Estadístca Pag 45 Tpos de Idces Números Idces Smples Estuda la evolucó e el tempo de ua magtud que sólo tee u compoete (s desagregacó) Se emplea co gra dfusó e el mudo de la empresa a la hora de estudar las produccoes y vetas de los dsttos artículos que fabrca y laza al mercado I 0 t Número ídce e el perodo t de la magtud X X t Valor de la magtud X e el perodo t X 0 Valor de la magtud X e el perodo base 0 I t 0 X t X 00 0 Números Idces Complejos S Poderar Estuda la evolucó e el tempo de ua magtud que tee varos compoetes y a los cuales se asga la msma mportaca o peso relatvo (sedo esta últma hpótess ada realsta) Por su aturaleza so de poco uso e el mudo de la ecoomía Sea ua magtud compleja agregada de N compoetes (,,, N ) Sea I 0 t los úmeros ídces smples de cada compoete e el perodo t I 0 t Número ídce total e el perodo t de la magtud agregada t I 0 Número ídce smple del compoete e el perodo t X t Valor del compoete e el perodo t X 0 Valor del compoete e el perodo base 0 I t 0 Ν t I0 Ν Ν Ν X t X 00 0 Números Idces Complejos Poderados Estuda la evolucó e el tempo de ua magtud que tee varos compoetes y a los cuales se asga u determado coefcete de poderacó w So los que realmete se emplea e el aálss de la evolucó de feómeos complejos de aturaleza ecoómca (IPC, IPI, etc) Sea ua magtud compleja agregada de N compoetes (,,, N ) t Sea I 0 los úmeros ídces smples de cada compoete e el perodo t Sea (w, w,,w N ) los coefcetes de poderacó de los compoetes I 0 t Número ídce total e el perodo t de la magtud agregada t I 0 Número ídce smple del compoete e el perodo t X t Valor del compoete e el perodo t X 0 Valor del compoete e el perodo base 0 I t 0 Ν t I 0 w Ν w Ν X X t 0 Ν 00 w w

46 Maual de Estadístca Pag 46 w Coefcete de poderacó del compoete Propedades que cumple e geeral los ídces smples (pero o todos los complejos) Exsteca: el ídce debe cocretarse e u valor real y fto y: Idetdad: s cocde el perodo base y el de comparacó, etoces: Iversó: el producto de dos ídces vertdos de dos perodos es: Crcular: la geeralzacó de la versó para varos perodos Proporcoaldad: S la magtud varía e proporcó +K, el ídce: I 0 t I 0 t 0 00 t I 0 I 0 t t I ' 0 0 I ' I tt t t t X' 0 X 0 +Κ X t t t I' I +Κ I o o o t 0 3 Idces de Precos Estos ídces mde la evolucó de los precos a lo largo del tempo Los ídces de precos se clasfca e: Smples Sauerbeck Números ídce de precos S poderar Bradstreet-Dutot Complejos Poderados Laspeyres Paasche Edgeworth Fsher 3 Idces Smples de Precos P t Idce smple de precos e el perodo t p 0 Preco e el perodo base 0 p t Preco e el perodo t P t 0 pt p Idces Complejos de Precos S Poderar a) Idce meda artmétca de ídces smples o de Sauerbeck Es la meda artmétca de los ídces de precos smples para cada compoete Ν t P S Idce de Sauerbeck PS P0 Ν Ν Ν pt p 00 0 b) Idce meda agregatva smple o de Bradstreet-Dutot Es el cocete etre la meda artmétca smple de los N precos e el perodo t y e el 0

47 Maual de Estadístca Pag 47 P BD Idce de Bradstreet-Dutot P BD Ν Ν pt pt Ν Ν 00 Ν 00 p0 p0 Ν 33 Idces Complejos de Precos Poderados Cada uo de los métodos aputa ua forma dstta para establecer los coefcetes de poderacó w P X Ν pt p w 0 Ν 00 w a) Idce de precos de Laspeyres P L Utlza como coefcetes de poderacó el valor de las trasaccoes e el perodo base Tee la vetaja de que las poderacoes del perodo se matee fjas para todos los perodos pero por cotra el coveete de que su represetatvdad dsmuye segú os alejamos w p 0 q 0 b) Idce de precos de Paasche P P Utlza como coefcetes de poderacó el valor de las trasaccoes, co las catdades del perodo de comparacó y los precos del perodo base Las poderacoes so por ello varables Tee la vetaja de que los pesos relatvos de los dsttos compoetes se actualza cada perodo co el agravate de complejdad y costes dervados de este cálculo w p 0 q t c) Idce de precos de Edgeworth P E Utlza como coefcetes de poderacó la suma de los dos aterores w p 0 q 0 + p 0 q t d) Idce de precos de Fsher P F Se defe como la meda geométrca de los ídces de Laspeyres y Paasche P P P F L P

48 Maual de Estadístca Pag 48 4 Idces de Catdades o Cuátcos Los ídces cuátcos mde la evolucó de catdades a lo largo del tempo Para cualquer magtud y por supuesto las catdades, sempre se puede elaborar úmeros ídces smples, complejos s poderar y complejos poderados empleado las msmas cosderacoes y la msma formulacó que la vsta para ídces de precos Cada uo de los métodos aputa ua forma dstta para establecer los coefcetes de poderacó w Q X Ν qt q w 0 Ν 00 w a) Idce cuátco de Laspeyres Q L w q 0 p 0 b) Idce cuátco de Paasche Q P w q 0 p t c) Idce cuátco de Edgeworth Q E w q 0 p 0 + q 0 p t d) Idce cuátco de Fsher Q F QF Q L QP 5 Propedades de los Idces Complejos Los úmeros ídces debe cumplr ua sere de propedades deales: exsteca, detdad, versó, crcular y de proporcoaldad Así como los ídces smples las cumple e su mayoría, los complejos y poderados o cumple alguas de ellas Sobre los dos ídces más mportates, los de Laspeyres y Paasche podemos decr: Cumple: la exsteca, detdad y proporcoaldad No cumple: la versó y por tato tampoco la crcular El ídce de Laspeyres (tato de precos como cuátco) es el más utlzado e los dcadores geerales de precos y produccó Su dseño y posteror cálculo requere ua rgurosa seleccó de sus compoetes y poderacoes Ahora be, a medda que os alejamos del perodo base, la estructura de coefcetes de poderacó de este ídce (y de los demás) es cada vez meos represetatva co lo que es ecesaro fjar u uevo perodo base y establecer ua ueva estructura de poderacoes 5 Cambo de Base e ua Sere de Números Idces E los elaces de seres de úmeros ídces que tee dstta base, os apoyamos e la propedad de versó que, como se ha dcado, o la cumple el ídce de Laspeyres, pero que se actúa e la práctca como s se cumplera, ate la ecesdad de efectuar dchos elaces 0 Sea ua sere de úmeros ídces cuyo perodo base es o: I, I, I,, I

49 Maual de Estadístca Pag 49 Puede teresar cambar la base o s está muy alejada e el perodo t de comparacó Para ello o es ecesaro efectuar u profudo estudo para determar uevos coefcetes de poderacó (e el caso de ídces complejos) so úcamete apoyaros e la propedades de versó y crcular que os permte obteer el coefcete técco que trasforma la sere dada e ua ueva co u perodo base dstto t a) Valor de cada ídce e la ueva base t t' Para el perodo t exstrá u ídce I 0 que srve de elace técco para trasformar la sere Se cumple que para expresar cada ídce atguo e la ueva base: t' t 0 t' t t I 0 I t' I t I 0 I t' 0 I 0 I t I t I t' 00 I t 0 t' 0 b) Cálculo del coefcete de trasformacó Este coefcete, multplcado por cada ídce atguo permte obteer el ídce e la ueva base I 0 I t' Coefcete de Trasformacó: I I 0 0 t' 0 0 t' 00 t' I 0 5 Reovacó o Elace de Seres de Números Idces co Dsttas Bases La ecesdad de la reovacó peródca de ua sere de úmeros ídces os puede llevar a cotar co dos seres que tee períodos base dsttos y hay que elazarlos o empalmarlos para poder estudar el feómeo, comparado su evolucó co ua úca base El perodo base que se matee es el de la sere que lo tee más cercao al mometo actual, aplcado el coefcete de elace o empalme a la sere más atgua El cocepto o defcó de este coefcete de elace es el msmo empleado e los cambos de base detro de la msma sere, aplcádose ahora sólo a los elemetos de la sere que tega la base más atgua 0 t Sea la sere de úmeros ídces más atgua e base o: I0, I0, I0,, I0,, I0 Sea t el perodo de la sere atgua al que se quere actualzar los ídces de esta sere El coefcete de elace, multplcado por cada ídce de la sere atgua permte obteer el ídce e la ueva base I 0 I t' Coefcete de Elace : I I 0 0 t' 0 0 t' 00 t' I 0

50 Maual de Estadístca Pag 50 6 Idces de Valor y Deflactacó de Seres Ecoómcas E ecoomía, los bees y servcos producdos so adqurdos por las famlas, empresas, etc Estos bees preseta gra heterogeedad y para agregarlos hay que someterlos a u proceso de homogeezacó a través de la obtecó de su valor, aplcado u sstema de precos El proceso de multplcar (catdades x precos respectvos) de los dsttos compoetes trasforma catdades físcas heterogéeas (leche, pescado, etc) e valores ecoómcos homogéeos (euros, dólares, etc) Los ídces de valor os permte estudar la evolucó a lo largo del tempo de la cuatfcacó moetara de u cojuto de bees Este valor se llama omal o e pesetas corretes o de cada año cuado los precos so los del perodo de comparacó Valor e el perodo base 0 : Ν Valor e el perodo t : V Ν p q V p q El ídce complejo de valor, para N compoetes: I Ν V t Ν p q p t 0 q t 0 t t t La evolucó de los ídces a lo largo del tempo está motvado, segú la expresó ateror, por varacoes cojutas de precos y catdades, o pudedo aslarse la flueca de cada ua E ecoomía teresa aalzar la evolucó del cojuto de N mercacías bajo lo que se deoma a precos costates, es decr, s que se produzca varacoes e los precos de los dsttos compoetes Para hacerlo se realza la operacó deomada deflactacó de seres de valores expresadas e precos o pesetas corretes de cada año Para comparar el valor de u cojuto de bees e dos perodos dsttos teresa aslarlo de la subda, flacó, o de la bajada, deflacó, de sus respectvos precos De esta maera, se cosgue aslar el cálculo de la dstorsó que las subdas de precos, que o sea debdas a ua mejora e la caldad de los bees y los servcos Para poder efectuar u aálss comparatvo de ua sere de valor etre dsttos perodos, hay que pasarla de pesetas corretes o de cada año a pesetas costates o del perodo que se cosdere como base Esto es lo que se deoma deflactar la sere, dvdédola por el ídce de precos que se cosdere más adecuado llamado deflactor de la sere Los ídces de Laspeyres y Paasche so los que más se utlza como deflactores de seres

51 Maual de Estadístca Pag 5 a) Deflaccó por u Idce de Laspeyres S el valor a precos corretes se dvde por u ídce de precos de Laspeyres tedremos: V P t L Ν p t qt Ν p t qt Ν p t q0 Ν V Q p q p q Ν p t 0 q 0 0 Ν t 0 0 P Al deflactar ua sere de valor a precos corretes por u ídce de precos de Laspeyres o se obtee ua sere de valor a precos costates so V 0 Q p que es el producto del valor e el año base por u ídce cuátco de Paasche El P L o es por tato u verdadero deflactor, auque e la práctca se cosdera como tal por ser el ídce que se suele elaborar b) Deflaccó por u Idce de Paasche Este s es u verdadero deflactor ya que la expresó os da el valor actual de u cojuto de N mercacías a precos costates del año p 0 base: V P t P Ν p t qt Ν p q Ν p t 0 q t t Ν p 0 q t Segú sea la sere ecoómca que se desea deflactar, así habrá que elegr el ídce de precos más adecuado: Para deflactar la reta dspoble de ua famla e pesetas costates de u determado año, el deflactor adecuado será el IPC (Idce de Precos de Cosumo) Para deflactar ua sere del valor de u cojuto de productos dustrales, su deflactor adecuado será el IPI (Idce de Precos Idustrales) 7 Idce de Precos de Cosumo (IPC) FICHA TÉCNICA Tpo de ecuesta: cotua de perodcdad mesual Período base: 00 Perodo de refereca de las poderacoes: desde el º trmestre de 999 hasta el º de 00

52 Maual de Estadístca Pag 5 Muestra de mucpos: 4 para almetacó y 97 para el resto Número de artículos: 484 Número de observacoes: aproxmadamete precos mesuales Clasfcacó fucoal: grupos, 37 subgrupos, 80 clases y 7 subclases; 57 rúbrcas y 37 grupos especales Método geeral de cálculo: Laspeyres ecadeado Método de recogda: agetes etrevstadores e establecmetos y recogda cetralzada para artículos especales Característcas prcpales INDICE DE PRECIO DE CONSUMO (IPC) El Idce de Precos de Cosumo es ua medda estadístca de la evolucó del cojuto de precos de los bees y servcos que cosume la poblacó resdete e vvedas famlares e España El Idce de Precos de Cosumo Armozado es u dcador estadístco cuyo objetvo es proporcoar ua medda comú de la flacó que permta realzar comparacoes etre los países de la Uó Europea Este dcador de cada país cubre las parcelas que supera el uo por ml del total de gasto de la cesta de la compra acoal Haca u dcador más modero y dámco Desde eero de 993 ha estado vgete e España el Ídce de Precos de Cosumo (IPC) Base 9 La cesta de la compra, a partr de la cual se calcula el IPC, se obtee báscamete del cosumo de las famlas e u mometo determado y debe actualzarse cada certo tempo E este caso o sólo se reueva la cesta so que se troduce ovedades e la forma de calcular el IPC por lo que o estamos ate u «cambo de base» so ate u «cambo de sstema», Sstema de Idces de Precos Base 00, que etra e vgor co la publcacó del IPC de eero de 00 Se ha cosegudo u dcador más dámco, ya que se podrá actualzar las poderacoes más frecuetemete y se adaptará mejor a la evolucó del mercado Además, se podrá clur uevos productos e la cesta de la compra e el mometo e que su cosumo comece a ser sgfcatvo El uevo Sstema també será téccamete más modero, ya que permtrá la clusó medata de mejoras e la metodología que ofrezca los dsttos foros académcos y de orgasmos acoales e teracoales, especalmete las decsoes que favorezca la armozacó de los IPC de los países de la Uó Europea A partr del de febrero de 00, el INE ha llevado a cabo la mplatacó deftva del uevo sstema de Ídces de Precos de Cosumo Base 00 El uevo Sstema se ha llevado a efecto e dos fases, a lo largo de dos años E la prmera (hasta 0-00) se trodujero alguas mejoras, que se ha completado e 0-00 Se ha cosegudo u dcador más dámco, ya que se podrá actualzar las poderacoes más frecuetemete y se adaptará mejor a la evolucó del mercado Además, se podrá clur uevos productos e la cesta de la compra e el mometo e que su cosumo comece a ser sgfcatvo

53 Maual de Estadístca Pag 53 Itroduccó El Ídce de Precos de Cosumo (IPC) requere para su elaboracó la seleccó de ua muestra de bees y servcos represetatva de los dsttos comportametos de cosumo de la poblacó, así como la estructura de poderacoes que defa la mportaca de cada uo de estos productos Como e la mayoría de los países, el IPC español obtee esta formacó de la Ecuesta de Presupuestos Famlares (EPF), que fue realzada por últma vez e el perodo compreddo etre abrl de 990 y marzo de 99; esta ecuesta es la que se utlzó para llevar a cabo el ateror cambo de base del IPC Desde etoces, el comportameto de los cosumdores ha cambado cosderablemete, ya sea porque vararo los gustos o las modas, su capacdad de compra, o porque ha aparecdo uevos productos e el mercado haca los que se desvía el gasto Todos estos cambos debe reflejarse e la composcó del IPC y e su estructura de poderacoes; es por ello por lo que se hace precso realzar u cambo de base que permta ua mejor adaptacó de este dcador a la realdad ecoómca actual A partr del º trmestre de 997 se mplató la ueva Ecuesta Cotua de Presupuestos Famlares (ECPF), co el f de susttur a la que se veía realzado de forma trmestral y a la Ecuesta Básca que se hacía e perodos de etre ocho y ueve años, que era la utlzada para los dsttos cambos de base del IPC Esta ueva ecuesta permte dspoer de formacó sobre el gasto de las famlas de forma más detallada que su predecesora y co ua perodcdad mayor que la Ecuesta Básca Esto hace que el uevo Sstema del IPC, cuyas líeas geerales se preseta e este documeto, parta de u plateameto coceptual dferete a todos los Sstemas aterores Por u lado, destaca su damsmo, ya que se podrá actualzar las poderacoes e perodos cortos de tempo, lo que s duda redudará e ua mejor y más rápda adaptacó a la evolucó del mercado Además, esta adaptacó a la evolucó del mercado y al comportameto de los cosumdores se cosegurá també co la posbldad de clur uevos productos e el mometo e que su cosumo comece a ser sgfcatvo Por otro lado, el uevo Sstema será téccamete más modero, ya que permtrá la clusó medata de mejoras e la metodología que ofrezca los dsttos foros académcos y de orgasmos acoales e teracoales E este setdo, se valorará especalmete las decsoes proveetes del Grupo de Trabajo para la armozacó de los IPC de la Uó Europea (UE) Co este propósto, se creará u proceso de actualzacó cotua de la estructura de cosumo, basado e u flujo cotuo de formacó etre el IPC y la ECPF, como fuete fudametal de formacó Característcas más mportates Período base El período base es aquél para el que la meda artmétca de los ídces mesuales se hace gual a 00 El año 00 es el perodo base del uevo Sstema, esto quere decr que todos los ídces que se calcule estará referdos a este año Período de refereca de las poderacoes Es el período al que está referdas las poderacoes que srve de estructura del Sstema; dado que éstas se obtee de la ECPF, el período de refereca del IPC

54 Maual de Estadístca Pag 54 es el período durate el cual se desarrolla esta ecuesta El actual cambo de Sstema se ha realzado co la formacó proveete de la ECPF, que proporcoa la formacó básca sobre gastos de las famlas e bees y servcos de cosumo Así, el perodo de refereca del uevo Sstema es el compreddo etre el º trmestre de 999 y el º trmestre de 00 Para el cálculo de las poderacoes se ha dado más mportaca a la formacó correspodete a los trmestres más cercaos al mometo de la actualzacó Muestra Para obteer dcadores sgfcatvos para todos los veles de desagregacó fucoal y geográfca para los que se publca el IPC, se ha estructurado el proceso de seleccó de la muestra e tres grades apartados, cada uo de los cuales tee como objetvo la seleccó de los dferetes compoetes de la msma Estos so los sguetes : Seleccó de mucpos Seleccó de zoas comercales y establecmetos Determacó del úmero de observacoes Para la seleccó de mucpos, como e bases aterores, se ha utlzado crteros poblacoales, y se ha tedo e cueta la stuacó de las prcpales zoas comercales e cada ua de las provcas La muestra de mucpos ha aumetado respecto a la base 9, pasado de 30 a 4 (para almetacó) y de 70 a 97 ( para resto) Por otro lado, se ha prestado especal atecó a los dsttos tpos de establecmeto exstete, así como a la recogda de precos de los artículos perecederos e mucpos o captales Co todo ello, se ha aumetado el úmero de precos procesados respecto a la base ateror, pasado ahora a ser aproxmadamete precos mesuales Campo de cosumo Es el cojuto de los bees y servcos que los hogares desta al cosumo; o se cosdera, pues, los gastos e bees de versó los autocosumos, autosumstros alquleres mputados E la ECPF los bees y servcos ha sdo clasfcados segú la clasfcacó teracoal de cosumo COICOP (e glés, Classfcato Of Idvdual Cosumpto by Purpose) Así, cada parcela de cosumo de la ECPF debe estar represetada por uo o más artículos e el IPC, de forma que la evolucó de sus precos represete la de todos los elemetos que tegra dcha parcela Cesta de la compra Es el cojuto de bees y servcos seleccoados e el IPC cuya evolucó de precos represeta la de todos aquellos que compoe la parcela COICOP a la que perteece El proceso para determar la composcó de la cesta de la compra y su estructura de poderacoes utlza como fuete fudametal de formacó la ECPF; así, e fucó de la mportaca de cada parcela se ha seleccoado uo o más artículos para el IPC El úmero total de artículos que compoe la ueva

55 Maual de Estadístca Pag 55 cesta de la compra es 484 Para cada uo de los artículos se elabora su descrpcó o especfcacó co el f de facltar su detfcacó por parte del ecuestador y permtr la correcta recogda de los precos Estas especfcacoes tee e cueta las partculardades propas de cada regó Clasfcacó fucoal El IPC base 00 se adapta completamete a la clasfcacó teracoal de cosumo COICOP Así, la estructura fucoal del IPC costará de grupos, 37 subgrupos, 80 clases y 7 subclases Además, se matee las 57 rúbrcas exstetes y se amplía el úmero de grupos especales Método geeral de cálculo Hasta ahora, todos los sstemas españoles aterores utlzaro lo que se deoma u ídce tpo Laspeyres co base fja, al gual que otros muchos países de la Uó Europea La vetaja fudametal de u ídce de este tpo es que permte la comparabldad de ua msma estructura de artículos y poderacoes a lo largo del tempo que esté e vgor el Sstema; s embargo, tee u coveete y es que la estructura de poderacoes perde vgeca a medda que pasa el tempo y evolucoa las pautas de cosumo de los cosumdores El uevo Sstema utlzará la fórmula de "Laspeyres ecadeado", que cosste e referr los precos del perodo correte a los precos del año medatamete ateror; además, co ua perodcdad que o superará los dos años se actualzará las poderacoes de las parcelas co formacó proveete de la ECPF La utlzacó de las poderacoes proveetes de la ECPF para calcular los ídces ecadeados evta la auto-poderacó de las parcelas del IPC por medo del vel de los ídces, es decr, las parcelas o rá gaado peso e la cesta de la compra a medda que vaya alcazado mayor magtud su ídce Por otro lado, la actualzacó aual de poderacoes tee las sguetes vetajas: El IPC se adapta a los cambos del mercado y de los hábtos de cosumo e u plazo muy breve de tempo; Se puede detectar la aparcó de uevos bees o servcos e el mercado para su clusó e el IPC, así como la desaparcó de los que se cosdere poco sgfcatvos Báscamete, el proceso de cálculo es el msmo que el de u Laspeyres: se calcula medas poderadas de los ídces de los artículos que compoe cada ua de las agregacoes fucoales para las cuales se obtee ídces, y se comprara co los calculados el mes ateror E este caso las poderacoes utlzadas o permaece fjas durate todo el período de vgeca del sstema Otra ovedad mportate e el uevo Sstema es la utlzacó de la meda geométrca para el cálculo de los precos medos provcales de todos los artículos de la cesta de la compra, que tervee e la elaboracó del ídce mesual

56 Maual de Estadístca Pag 56 Cambos de caldad El tratameto de los cambos de caldad es uo de los temas que más afecta a cualquer ídce de precos U cambo de caldad ocurre cuado camba algua de las característcas de la varedad para la que se recoge el preco y se cosdera que este cambo mplca u cambo e la utldad que le reporta al cosumdor Para la correcta medcó de la evolucó de los precos es precso estmar e qué medda la varacó observada del preco es debda al cambo e la caldad del producto y qué parte de esta varacó es achacable al preco, depedetemete de su caldad Los métodos más utlzados e el IPC so la cosulta a expertos, que cosste e solctar a los propos fabrcates o vededores la formacó para poder estmar el cambo de caldad; los precos de las opcoes, que aalza los elemetos compoetes del atguo producto y del uevo para establecer el coste de las dferecas etre ambos; y el preco de solapameto, basado e supoer que el valor de la dfereca de caldad etre el producto que desaparece y el uevo es la dfereca de preco etre ellos e el perodo de solapameto, es decr, e el perodo que esté e vgeca los precos de ambos El uevo Sstema troduce ua ovedad e los métodos de ajustes de caldad que se vee utlzado hasta ahora e el IPC, y es la utlzacó de la regresó hedóca para realzar ajustes de caldad e determados grupos de productos, como los electrodoméstcos Dcho método se utlza como complemeto a los ctados aterormete Durate el año 00 se cotuará los estudos que permtrá determar la vabldad de aplcar este uevo método de ajuste de caldad a otros artículos de la cesta de la compra, e fucó de la formacó dspoble Iclusó de las ofertas y rebajas Uo de los cambos más mportates que se producrá e el IPC co la etrada e vgor del uevo Sstema, base 00, es la clusó de los precos rebajados El IPC, base 99, o cotemplaba la recogda de estos precos por lo que su clusó e el uevo Sstema producrá ua ruptura e la sere de este dcador, que o es posble solucoar totalmete co el método de los elaces legales, utlzado cada vez que se lleva a cabo u cambo de base No obstate el INE facltará los datos correspodetes a las tasas de varacó a largo plazo, para evtar la falta comparacó por la ruptura de la sere Elace de seres Como e los aterores cambos de base el INE publcará las seres elazadas, así como los coefcetes de elace que permte su cálculo, e aquellos casos e los que sea posble dar cotudad a la sere E los casos e los que o exsta ua equvaleca exacta se dcará oportuamete El coefcete de elace legal se calcula como el cocete etre el ídce del mes de dcembre de 00 e base 00 y e base 9 Es por este coefcete por el que se multplca los ídces e base 9 y se obtee los ídces e base 00

57 Maual de Estadístca Pag 57 Perodcdad del cambo de Sstema Debdo a la dspobldad de datos auales sobre poderacoes proveetes de la Ecuesta Cotua de Presupuestos Famlares, ua de las modfcacoes más mportates e este uevo proceso de cambo de sstema es la actualzacó cotua de poderacoes Ua vez establecdo el uevo Sstema de IPC, el proceso costará de dos partes: A) Adaptacó cotua del IPC Cosstrá e la revsó aual de las poderacoes para determados veles de desagregacó geográfca y fucoal; e ella se estudará cada año la coveeca o o de amplar la composcó de la cobertura de productos así como la posbldad de modfcar alguo de los tratametos empleados e el cálculo del ídce B) Revsó estructural del IPC Cada cco años se realzará u completo cambo de base; por tato, las operacoes a realzar cosstrá e determar la composcó de la cesta de la compra, las poderacoes para los veles más desagregados y la seleccó de la muestra També vedrá acompañada de ua revsó mucho más profuda de todos los aspectos metodológcos que defe el IPC De esta forma, se cosegurá u dcador más dámco y que se adapte de forma más rápda a los movmetos del mercado y a la aparcó de ovacoes metodológcas Además, se cumplrá co las exgecas de la UE a través de Eurostat Se establece a partr de ahora u marco de actuacó totalmete dstto al exstete hasta el mometo, al o tratarse de u mero cambo de base y sí de u proceso mucho más amplo Poderacoes El IPC es u ídce de precos de Laspeyres (luego complejo y poderado) Segú la metodología del INE, la poderacó del artículo, w, se obtee como cocete del gasto realzado e las parcelas represetadas por dcho artículo (durate el perodo de referecas de la EPF 990/99) y el gasto total realzado e ese msmo perodo Las poderacoes permaece fjas a lo largo del perodo de vgeca del sstema de dces de precos al cosumo U msmo artículo puede teer poderacoes dferetes e las dsttas agrupacoes geográfcas Elaces de seres Hasta 976, el IPC elaborado por el INE se deomaba Idce de Coste de la Vda Co este ombre se creó y se matuvo e sus dferetes revsoes: Desde 939 a 960 (base 936) Desde 96 a 968 (base 958) Desde 969 a 976 (base 968) Co el ombre de Idce de Precos al Cosumo (IPC): Desde 977 a 985 (base 976) Desde 985 a 99 (base 983)

58 Maual de Estadístca Pag 58 Desde 993 hasta uestros días (base 99) La ctada Metodología del INE (99) propoe los sguetes coefcetes de elace de seres: K 9/ K 9/ K 9/ K 9/ Otros Idcadores de Coyutura e España Idces de Produccó Idustral (IPI) Es u ídce de aturaleza cuátca que estuda la evolucó de los volúmees de produccó físca de los dsttos sectores dustrales Se elabora co perodcdad mesual a través de 600 productos dustrales represetatvos del cojuto El orgasmo resposable es el INE Idce de Precos Idustrales Completa co el ateror la paorámca coyutural de la dustra e uestro pas El preco que se mde es el de salda de fabrca y cubre las msmas ramas que el IPI Es el deflactor que debe utlzarse para obteer la evolucó del valor real de los bees de produccó termeda Idce de Vetas al Por Meor El INE está costruyedo u uevo dcador de las vetas al por meor tomado datos e las grades superfces Ecuestas de coyutura Ecuesta de coyutura Idustral del Mstero de Idustra y Eergía Ecuesta de coyutura de la costruccó elaborada por el MOPTMA Ecuesta de coyutura laboral del Mstero de Trabajo Idces de Cotzacó Bursatl Mde las fluctuacoes de la cotzacoes de las accoes e los dsttos mercados bursátles de forma dara A partr de las cotzacoes de cada valor se elabora ídces de grupo (baca, comucacoes, etc) que coveetemete poderados da lugar al ídce geeral de cada mercado EL EFECTO DE LA INCLUSIÓN DE LAS REBAJAS EN EL IPC00 SOBRE EL CALCULO DE LAS TASAS Cálculo de tasas de varacó etre perodos de dsttas bases Cuado el perodo cal sea ateror al año 00, los úcos ídces dspobles o cluye precos rebajados, por ello, es ecesaro utlzar u método de cálculo de

59 Maual de Estadístca Pag 59 varacoes que solucoe el problema ctado aterormete: las tasas de varacó de precos se calculará por partes Es decr, s se quere saber cuál ha sdo la varacó del IPC desde el mes m del año t (t < 00) hasta el mes m del año t (t > 00) se cosderará los sguetes tramos temporales: m' 00 y& m t m t / m' 00 m' 00 y& m' 00 m 00 t / m 00 m' t y& m' 00 m 00 t / m t Compara meses dferetes, dado que se trata de perodos aterores a eero de 00 y guo vee afectado por el efecto rebajas Calculada co datos públcos Compara el msmo mes de 00 co el de 00 Las varacoes reales para estos perodos será publcadas por el INE pero o se podrá calcular a partr de los ídces publcados Compara el msmo mes de dsttos años, ambos posterores a 00 (cluye precos rebajados), pero al tratarse del msmo mes la tasa o se ve afectada Calculada co datos públcos Ejemplo del efecto de la clusó de precos rebajados e el IPC Se ha cosderado ua sere de IPC - base 99 desde eero de 000 hasta dcembre de 00 (e la tabla, se ha deomado Sere Publcada base 99) Durate 00 ha sdo recogdos los precos y calculados los ídces meddos segú el uevo Sstema auque o se publca (e la tabla, a la sere de estos ídces se le ha deomado Sere o Publcada base 00, y está sombreada, cluye los precos rebajados) Debdo a que etre estas dos seres se ha producdo u cambo de base, es ecesaro elazarlas para obteer ua úca sere cotua medda e la base 00 Así, la Sere Publcada base 9 se trasformará e ua sere e base 00 a través de u elace legal Sere Publcada Sere NO Publcada Sere Publcada Base 9900 Base 0000 (cluye rebajas) Base 0000 (elazada) Año Eero,6 4,0 95, 98,8 0,05 99, 03,9 Febrero,3 4, 95,0 98,84 0,3 99,3 03,9 Marzo,5 4,47 99, ,4 04,38 Abrl,03 5,8 99,97 99,43 0,99 04,59 Mayo,3 5,47 00,7 99,59 0,4 04,59 Juo,3 5,56 00,47 99,65 0,3 05,0 Julo,34 5,64 96,76 99,68 0,37 00,9 Agosto,36 5,67 96,56 99,7 0,39 00,9 Septembre,65 6,0 03,8 99,93 0,68 08,8 Octubre 3,3 7,09 03,9 00,4 03,55 08,4 Novembre 3,84 7,77 04, 00,9 04, 08,5

60 Maual de Estadístca Pag 60 Dcembre 3,94 7,9 04, 00,99 04, 08,7 El elace legal cosste e calcular u coefcete que relacoe los ídces e ambas bases e el mes de dcembre de 00 Su cálculo se realza como el cocete del ídce de dcembre de 00, e base 00 (Sere No Publcada base 0 (cluye rebajas) y el ídce de dcembre de 00 e base 99 (Sere Publcada base 99) E el ejemplo, este coefcete sería: 04, 7,9 0,84797 Los ídces elazados se obtee como producto de los ídces e base 9 por el coefcete de elace legal Así, por ejemplo: Ídce elazado eero 000,6 x 0, ,8 Ídce elazado febrero 000,30 x 0, ,84 La sere que aparece e la Tabla co el ombre Sere Publcada Base 00 (sere elazada) cotee los ídces base 99 trasformados co el coefcete de elace legal, hasta dcembre de 00 y los ídces calculados e la ueva base a partr de eero de 00 Cálculo de la tasa de varacó etre marzo de 000 y febrero de 003 Se cosdera tres tramos temporales para los que se obtedrá las tasas de varacó del IPC: Tramo : marzo 000 febrero 00 (a partr de los ídces publcados) Tramo : febrero 00 febrero 00 (varacó publcada por el INE) Tramo 3: febrero 00 febrero 003 (a partr de los ídces publcados) La varacó de precos para el prmer y tercer tramo se calculará a partr de los ídces publcados, metras que para el segudo tramo se tomará la (es ua tasa aual) & feb 0 y mar 00 Tramo : La varacó para el prmer tramo se puede obteer a partr de los ídces publcados e base 99 o a partr de los ídces elazados e base 00 al cocdr las tasas de varacó e ambos casos ( Marzo Febrero 00 ) Así: mar 00 feb 0 mar 00 feb 0 I00 99,00 I00 0, 3 I99, 50 I99 4, 0,3 99,00 00,% & 99,00 o lo que es lo msmo feb 0 y mar 00 4,,50 00,%,50 Tramo : El cálculo de la tasa de este tramo se realza co los ídces o publcados para el período cal y co los ídces de la sere publcada co base 00 para el perodo fal Esta tasa será publcada por el INE La forma de calcularla es la sguete: ( Febrero 00 - febrero 00 )

61 Maual de Estadístca Pag 6 feb 0 feb 0 I * 95,0 I 99, & feb 0 y feb 0 99,3 95,0 00 4,3% 95,0 Tramo 3: La varacó para el tercer tramo se obtee a partr de los ídces publcados e base 00 ( Febrero 00 - febrero 003 ) feb 03 03,9 99,3 feb 0 feb 03 y& ,0% I 99,3 I 03, 9 feb 99, Co las tasas de varacó calculadas para los tres tramos, se obtee la tasa de varacó para el perodo completo: feb 0 feb 0 feb 03 y feb 0 y feb y& & & mar feb 0 y& mar , 4, ,7% S e lugar de realzar el cálculo por tramos se hubera hecho como es habtual, es decr, co el ídce elazado de marzo de 000 e base 00 y el ídce de febrero de 003 e base 00, la tasa hubera sdo: mar 00 feb 03 I 99,00 I 03, & feb 03 y feb 0 03,9 99, ,3% 99,00 Como se observa el valor obtedo por el método habtual (4,3%) es muy dferete de la real (0,7%) Capítulo V SERIES TEMPORALES 5 Itroduccó Toda sttucó, ya sea la famla, la empresa o el gobero, ecesta realzar plaes para el futuro s desea sobrevvr o progresar La plafcacó racoal exge prever los sucesos del futuro que probablemete vaya a ocurrr La prevsó se suele basar e lo ocurrdo e el pasado La técca estadístca utlzada para hacer ferecas sobre el futuro teedo e cueta lo ocurrdo e el pasado es el ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES

62 Maual de Estadístca Pag 6 NUMEROS ÍNDICES Tratamos de estudar la evolucó de ua determada magtud a lo largo del tempo SERIES TEMPORALES Tratamos de hacer predccoes sobre esa magtud, teedo e cueta sus característcas hstórcas o del pasado 5 CONCEPTO DE SERIE TEMPORAL Y DEFINICIÓN DE SUS COMPONENTES- Se defe ua sere temporal (també deomada hstórca, croológca o de tempo) como u cojuto de datos, correspodetes a u feómeo ecoómco, ordeados e el tempo Ejemplos Nº de accdetes laborales graves e las empresas de más de 500 empleados de Sevlla, durate los últmos 5 años Vetas de uestra empresa e los últmos 0 años Catdad de lluva caída al día durate el últmo trmestre Los datos so de la forma (y t, t) dode: y t t Varable edógea o depedete Varable exógea o depedete Nota: realmete sólo hay ua varable a estudar que es y t E el aálss de regresó teíamos dos varables (explcábamos ua varable a partr de la otra) Aquí sólo hay ua varable (explcamos ua varable a partr de su pasado hstórco) Ejemplo Los datos sguetes correspode al úmero de cotratos uevos realzados por las empresas de meos de 0 empleados, e Sevlla, durate el período º Trmestre º Trmestre º Trmestre º Trmestre 0 8 9

63 Maual de Estadístca Pag 63 Nº de cotratos uevos Nº de cotratos Período Nº de cotratos Compoetes de ua sere temporal: - La tedeca - Las varacoes cíclcas - Las varacoes estacoales - Las varacoes accdetales LA TENDENCIA (T) Es ua compoete de la sere temporal que refleja su evolucó a largo plazo Puede ser de aturaleza estacoara o costate (se represeta co ua recta paralela al eje de abcsas), de aturaleza leal, de aturaleza parabólca, de aturaleza expoecal, etc Ejemplo para la tedeca

64 Maual de Estadístca Pag 64 Supogamos que teemos el úmero de kg de care de vaca cosumdos por trmestre durate los últmos años e uos grades almacees º Trmestre 6 º Trmestre 4 5 3º Trmestre º Trmestre Kg de care cosumdos Kg Período Kg de care LAS VARIACIONES CÍCLICAS (C) Es ua compoete de la sere que recoge osclacoes peródcas de ampltud superor a u año Estas osclacoes peródcas o so regulares y se preseta e los feómeos ecoómcos cuado se da de forma alteratva etapas de prosperdad o de depresó Ejemplo para las varacoes cíclcas Supogamos que teemos las vetas trmestrales de u supermercado e el período , expresadas e mlloes de pesetas costates del año º Trmestre º Trmestre º Trmestre º Trmestre

65 Maual de Estadístca Pag 65 Vetas trmestrales Vetas Mlloes de ptas Período LAS VARIACIONES ESTACIONALES (E) Es ua compoete de la sere que recoge osclacoes que se produce alrededor de la tedeca, de forma repettva y e períodos guales o ferores a u año Su ombre provee de las estacoes clmatológcas: prmavera, verao, otoño e vero Ejemplos de varacoes estacoales - E Navdad las vetas de establecmetos se suele cremetar - El cosumo de gasola aumeta la prmera decea del mes y dsmuye e la últma - El clma afecta a la veta de determados productos: los helados se vede fudametalmete e verao y la ropa de abrgo e vero LAS VARIACIONES ACCIDENTALES (A) Es ua compoete de la sere que recoge movmetos provocados por factores mprevsbles (u peddo esperado a uestra empresa, ua huelga, ua ola de calor, etc) També recbe el ombre de varacoes rregulares, resduales o errátcas Cómo actúa estas 4 compoetes?

66 Maual de Estadístca Pag 66 Modelo Adtvo : y t T+C+E+A Modelo Multplcatvo: y t T C E A Modelo Mxto : y t T C E+A Cómo detectamos el modo e que teractúa las compoetes de ua sere temporal? Esquema adtvo o multplcatvo? º) Calculamos tpos de dcadores: C Y(,t+) / Y(,t) dy(,t+) / Y (,t) º) Calculamos los coefcetes de varacó para las seres formadas por los dos dcadores, y s: CV C < CV d Esquema multplcatvo CV d < CV C Esquema adtvo EJEMPLO: Segú la ECL, las horas o trabajadas por trmestre y trabajador etre 99 y 997 so: TRIM I 46 45,7 44,6 45,4 35,6 53,8 TRIM II 5,7 49,8 38,8 50,8 49,3 47 TRIM III 06,4 00,7,4 96,7 00, 84,8 TRIM IV 68,7 7, 67,6 6,6 69,5 5 Qué esquema de agregacó es el más apropado? º) Calculamos los tpos de dcadores: d TRIM I -0,3 -, 0,8-9,8 8, TRIM II -,9 - -,5 -,3

67 Maual de Estadístca Pag 67 TRIM III -5,7,7-5,7 3,5-5,4 TRIM IV 3,4-4,5-5 6,9-7,5 c TRIM I 0,993 0,976,08 0,784,5 TRIM II 0,963 0,779,309 0,970 0,953 TRIM III 0,946,6 0,860,036 0,846 TRIM IV,049 0,938 0,96,0 0,748 º) Calculamos los Coefcetes de varacó de ambas dstrbucoes: d 76 Sd 97; CV d 567 c Sc 074; CV c 074 METODOS PARA DETERMINAR LA TENDENCIA º) METODO GRAFICO a) Se efectúa la represetacó gráfca de la sere ordeada Yt b) Se ue medate segmetos rectlíeos todos los putos altos de la sere, obteédose ua polgoal de cmas c) Se realza lo msmo co los putos bajos, obteédose la líea polgoal de fodos d) Se traza perpedculares al eje de abscsas por los putos cmas y fodos

68 Maual de Estadístca Pag 68 e) La tedeca vee dada por la líea amortguada que ue los putos medos de los segmetos EJEMPLO: Dada la sguete sere trmestral de vetas de u supermercado, represeta gráfcamete la tedeca: Trmestres / Años TRIM I TRIM II TRIM III TRIM IV VENTAS TENDENCIA GRAFICA TRIMESTRES º) METODO DE LAS MEDIAS MOVILES *** Empleado 3 observacoes a) Partmos de la sere temporal observada Yt Trmestres / Años TRIM I

69 Maual de Estadístca Pag 69 TRIM II TRIM III TRIM IV b) Se obtee sucesvas medas artmétcas para cada Yt, co u úmero de observacoes aterores y posterores fjado de atemao - S el úmero de observacoes es mpar la meda Yt, está cetrada y cocde co el período t y y y y y + y + y y y y y y y y + y3 + y y3 + y4 + y y4 + y5 + y y5 + y6 + y y6 + y7 + y y7 + y8 + y y8 + y9 + y y9 + y0 + y y0 + y + y c) La sere formada por las medas de Yt, os dca la líea amortguada de la tedeca

70 Maual de Estadístca Pag TENDENCIA MEDIAS MOVILES (3 OBSERV) VENTAS TRIMESTRES *** Empleado 4 observacoes a) Partmos de la sere temporal observada Yt Trmestres / Años TRIM I TRIM II TRIM III TRIM IV b) Se obtee las sucesvas medas artmétcas S el úmero de observacoes empleados para obteer la meda es par, yt o está cetrada y o cocde co el período t, y habrá que volver a calcular ua ueva meda artmétca yt, utlzado los yt, obteedo de esta maera ua ueva sere de medas móvles cetradas y y y y y ( ) / 4 5 ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / y ( ) / y ( ) /

71 Maual de Estadístca Pag 7 y y ( ) / 4 ( ) / Como se puede observar la sere de las medas obtedas o está cetrada, y debemos obteer ua ueva sere de medas cetradas, a partr de la sere descetrada y y y y y y y y ( ) / 3 ( ) / 4 ( ) / 5 ( ) / 6 ( ) / 7 ( ) / 8 ( ) / 9 ( ) / c) La sere formada por Yt, os dca la líea amortguada de la tedeca VENTAS TENDENCIA MEDIA MOVIL (4 OBSERV ) TRIMESTRES 3º) MÉTODO ANALÍTICO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

72 Maual de Estadístca Pag 7 a) Obtedremos la tedeca a partr de la recta Yt a+ bt, sedo Yt, la meda aual de las observacoes trmestrales de los casos aterores y(y+y+y3+y4) / 4 55 y(y5+y6+y7+y8) / y3(y9+y0+y+y) / umero de observacoes y cocde co el º de períodos ( e uestro caso 3) t t Ot S el umero de observacoes es mpar Ot es el valor que ocupa el lugar cetral(000) t (t O t) S el úmero de observacoes es par O t es la meda de los lugares cetrales de la sere de perodos t b) Calculamos los coefcetes a y b de la recta de regresó a Σ yt / b Σyt * t / Σ t T Yt t Yt* t t Yt 999 5,5 - -5,5 356, , , TOTAL 473,75 0, ,3 a /3 579 b 5 / 65 y t t Deshacedo el cambo de varable, tedremos la sguete predccó de la tedeca: Predccó de las vetas para el año 00 y * Hemos calculado la meda trmestral meda aual 704 * mlloes um Es fable la predccó realzada? R ( S t yt ) / S t * S yt R (46) / 066 * DETERMINACION DE LAS VARIACIONES ESTACIONALES

73 Maual de Estadístca Pag 73 - Método de la razó a la meda móvl para determar la compoete estacoal e ua sere temporal º) Se determa la tedeca por el método de las medas cetradas e los períodos (Yt) ( estamos aplcado cuatro observacoes para el cálculo de la meda artmétca) Trmestres / Años TRIM I 56,5 60,65 TRIM II 56,875 63,5 TRIM III 53,5 56,875 TRIM IV 54,375 58,75 º) Cómo este método se basa e la hpótess multplcatva, s dvdmos la sere observada Yt, por su correspodete meda móvl cetrada, elmamos de forma cojuta las compoetes del largo plazo ( tedeca y cclo ), pero la sere segurá mateedo el efecto de la compoete estacoal Trmestres / Años Trmestres / Años TRIM I 55/56,5 60/60,65 TRIM I 0,99 0,997 TRIM II 70/56,875 80/63,5 TRIM II,035 TRIM III 5/53,5 35/56,875 TRIM III 0,863 0,8606 TRIM IV 70/54,375 65/58,75 TRIM IV,0,04 3º) Para elmar el efecto de la compoete estacoal, calcularemos las medas artmétcas a vel de cada estacó (cuatrmestre) Estas medas represeta de forma aslada la mportaca de la compoete estacoal M ( ) / M ( ) / 0936 M3 ( ) / M4 ( ) / º) Calcularemos los ídces de varacó estacoal, para lo que prevamete calcularemos la meda artmétca aual de las medas estacoales ( M, M, M3, M4 ), que será la base de los ídces de varacó estacoal MA ( M+M+M3+M4) / 4 ( ) / I M / MA 09945/ I M / MA 0936/ I3 M3 / MA 08385/ I4 M4 / MA 0706/ Exstrá tatos ídces como estacoes o medas estacoales tega las observacoes

74 Maual de Estadístca Pag 74 5º) Ua vez obtedos los ídces de varacó estacoal puede desestacoalzarse la sere observada, dvdedo cada valor de la correspodete estacó por su correspodete ídce Trmestres / Años Trmestres / Años TRIM I 50/0, / /0,9953 TRIM I 50,7 55,73 60,8 TRIM II 65/, /, /,0944 TRIM II 50,77 55,34 64,5 TRIM III 5/0,839 35/0,839 40/0,839 TRIM III 48,97 60,89 66,9 TRIM IV 70/,074 65/,074 80/,074 TRIM IV 58, Método de la Tedeca por Ajuste Mímo-Cuadrátco El objetvo sgue sedo aslar la compoete estacoal de la sere por elmacó sucesva de todos los demás La dfereca co el método ateror es que, e este caso, las compoetes a l/p (tedeca-cclo) las obteemos medate u ajuste mímocuadrátco de las medas artmétcas auales y t calculádose bajo la hpótess adtva Sgue los sguetes pasos: Se calcula las medas auales de los datos observados y t : y, y, y3, S las observacoes so trmestrales estas medas se obtee co 4 datos, s so mesuales co datos, etc para el caso de que el perodo de repetcó sea el año Se ajusta ua recta por mímos cuadrados y a b t t + que os represeta, como sabemos, la tedeca, sedo el coefcete agular de la recta el cremeto medo aual de la tedeca, que flurá de forma dstta al pasar de ua estacó a otra Se calcula, co los datos observados, las medas estacoales (M, M, M 3, ) co objeto de elmar la compoete accdetal Estas medas so brutas pues sgue cluyedo los compoetes a l/p (tedeca-cclo) que debe someterse a ua correccó Empleado el cremeto medo aual dado por el coefcete, se obtee las medas estacoales corregdas de las compoetes a largo plazo (M, M, M 3, ) bajo el esquema adtvo: Para la r-ésma estacó, la meda estacoal corregda de la tedeca terestacoal será M ' r (r - )b Mr º estacoes Los ídces de varacó estacoal se obtee co la msma sstemátca del método ateror: co las medas estacoales corregdas se obtee la meda artmétca aual M A que srve de base para calcular los ídces: I M' M' 00 I 00 (expresados e %) M' A M' A Obtedos estos ídces, podemos desestacoalzar la sere como e el método ateror

75 Maual de Estadístca Pag DETERMINACIÓN DE LAS VARIACIONES CÍCLICAS Cuado hemos defdo esta compoete se ha dcho que recoge las osclacoes peródcas de larga duracó El problema es que estos movmetos o suele ser regulares como los estacoales y su determacó ecerra dfcultades de forma que como se ha aputado e los casos práctcos se suele tratar cojutamete co la tedeca llamado compoete extraestacoal al efecto (TxC) s estamos e el marco multplcatvo o (T+C) s es el adtvo A pesar de estas dfcultades se puede tratar de aslar el cclo bajo la hpótess multplcatva dejádola como resduo co la elmacó de la tedeca y la varacó estacoal Pasos a segur: - Estmar la tedeca - Calcular los ídces de varacó estacoal - Se desestacoalza la sere observada - Se elma la tedeca dvdedo cada valor desestacoalzado por la sere de tedeca Expresado el proceso e forma de cocete sería: y t TxExCxA CxA TxE TxE El proceso falzaría tetado elmar la compoete accdetal A y determado el perodo de los cclos que os llevaría a u tratameto de aálss armóco que superaría el vel descrptvo que estamos dado al tratameto clásco de las Seres temporales

76 Maual de Estadístca Pag 76 Capítulo VI VARIABLES ALEATORIAS Itroduccó Detro de la estadístca se puede cosderar dos ramas perfectamete dferecadas por sus objetvos y por los métodos que utlza: Estadístca Descrptva o Deductva Ifereca Estadístca o Estadístca Iductva Se utlza cuado la observacó de la poblacó o es exhaustva so sólo de u subcojuto de la msma de forma que, los resultados o coclusoes obtedos de la muestra, los geeralzamos a la poblacó La muestra se toma para obteer u coocmeto de la poblacó pero uca os proporcoa formacó exacta, so que cluye u certo vel de certdumbre S embargo sí será posble, a partr de la muestra, hacer afrmacoes sobre la aturaleza de esa certdumbre que vedrá expresada e el leguaje de la probabldad, sedo por ello u cocepto muy ecesaro y muy mportate e la fereca estadístca Segú V Barett (98): -La estadístca es la ceca que estuda como debe emplearse la formacó y como dar ua guía de accó e stuacoes práctcas que evuelve certdumbre- Las stuacoes práctcas que evuelve certdumbre so lo que osostros llamaremos expermetos aleatoros Feómeos Aleatoros U expermeto es cualquer stuacó u operacó e la cual se puede presetar uo o varos resultados de u cojuto be defdo de posbles resultados Los expermetos puede ser de dos tpos segú s, al repetrlo bajo détcas codcoes: Determístco Se obtee sempre los msmo resultados Ej: medr co la msma regla e detcas codcoes la logtud de ua barra Aleatoro No se obtee sempre los msmo resultados Ej: el lazameto de ua moeda observado la sucesó de caras y cruces que se preseta Las sguetes so característcas de u expermeto aleatoro: El expermeto se puede repetr defdamete bajo détcas codcoes Cualquer modfcacó a las codcoes cales de la repetcó puede modfcar el resultado Se puede determar el cojuto de posbles resultados pero o predecr u resultado partcular

77 Maual de Estadístca Pag 77 S el expermeto se repte gra úmero de veces etoces aparece algú modelo de regulardad estadístca e los resultados obtedos 3 Espaco Muestral Se deoma resultado básco o elemetal, comportameto dvdual o puto muestral a cada uo de los posbles resultados de u expermeto aleatoro Los resultados báscos elemetales será defdos de forma que o pueda ocurrr dos smultáeamete pero s uo ecesaramete Se deoma cojuto uversal, espaco muestral o espaco de comportameto E al cojuto de todos los resultados elemetales del expermeto aleatoro Puede ser de varos tpos: Espaco Muestral Dscreto Espaco muestral fto Tee u úmero fto de elemetos Espaco muestral fto umerable Tee u úmero fto umerable de elemetos es decr, se puede establecer ua aplcacó byectva etre E y N Ejemplo: Expermeto aleatoro cosstete e lazar u dado El espaco muestral es E{,,3,4,5,6} Ejemplo: Expermeto aleatoro cosstete e lazar u dado hasta que sea obtedo el úmero E{{},{,},{3,} {,,},{,3,},} Espaco Muestral Cotuo S el espaco muestral cotee u úmero fto de elemetos, es decr, o se puede establecer ua correspodeca buívoca etre E y N Ejemplo: Expermeto aleatoro cosstete e trar ua bola perfecta sobre u suelo perfecto y observar la poscó que ocupará esa bola sobre la superfce E{Toda la superfce del suelo} 4 Sucesos U suceso S es u subcojuto del espaco muestral, es decr, u subcojuto de

78 Maual de Estadístca Pag 78 resultados elemetales del expermeto aleatoro Dremos que ocurre o se preseta el suceso cuado al realzarse el expermeto aleatoro, da lugar a uo de los resultados elemetales perteecetes al subcojuto S que defe el suceso Se puede cosderar cuatro tpos de sucesos segú el º de elemetos que etre a formar parte: Suceso elemetal, suceso smple o puto muestral es cada uo de los resultados posbles del expermeto aleatoro luego los sucesos elemetales so subcojutos de E co sólo u elemeto Suceso compuesto es aquel que costa de dos o más sucesos elemetales Suceso seguro, certo o uversal es aquel que costa de todos los sucesos elemetales del espaco muestral E, es decr, cocde co E Se le deoma seguro o certo porque ocurre sempre Suceso mposble es aquel que o tee gú elemeto del espaco muestral E y por tato o ocurrrá uca Se deota por 5 Operacoes co sucesos Co los sucesos se opera de maera smlar a como se hace e los cojutos y sus operacoes se defe de maera aáloga Los sucesos a cosderar será los correspodetes a u expermeto aleatoro y por tato será subcojutos del espaco muestral E Suceso Cotedo e Otro Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: Dremos que A está cludo e B s: Cada suceso elemetal de A perteece també a B, es decr, sempre que ocurre el suceso A, també ocurre el suceso B Dremos també que A mplca B A B ó A B Igualdad de Sucesos Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: Dremos que A y B so guales s: Sempre que ocurre el suceso A també ocurre B y al revés Uó de Sucesos Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: La uo de ambos sucesos A y B es: Otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elemetales perteecetes a A, a B, o a los dos a la vez A B A B B A A B

79 Maual de Estadístca Pag 79 (terseccó) E geeral, dados sucesos A, A, A 3,, A, su uó es otro suceso formado por los resultados o sucesos elemetales que perteece al meos a uo de los sucesos A Iterseccó de Sucesos Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: La terseccó de ambos sucesos A y B es: Otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elemetales que perteece a A y a B, smultáeamete U A A B E geeral, dados sucesos A, A, A 3,, A, su terseccó es otro suceso formado por los resultados o sucesos elemetales que perteece a todos los sucesos A Sucesos Dsjutos, Icompatbles o Excluyetes Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: Dremos que estos sucesos A y B so dsjutos, compatbles o mutuamete excluyetes cuado: No tee gú suceso elemetal e comú o dcho de otra forma, s al verfcarse A o se verfca B, al revés I A A B I A Sstema Exhaustvo de Sucesos Dados sucesos A, A, A 3,, A de u expermeto aleatoro: Dremos que estos forma ua coleccó o sstema exhaustvo de sucesos s la uó de todos ellos es gual al espaco muestral E Dremos que estos forma u sstema completo de sucesos o ua partcó de E s, además de la ateror, codcó, se cumple que so dsjutos dos a dos, es decr, so mutuamete excluyetes, dsjutos o compatbles A A A A E A A j j U El cojuto de todos los sucesos elemetales que costtuye u espaco muestral forma ua coleccó de sucesos mutuamete excluyete y exhaustvo ya que, de todos ellos, sólo uo debe ocurrr y o puede ocurrr dos smultáeamete Suceso Complemetaro o Cotraro Dado u suceso A de u expermeto aleatoro: A

80 Maual de Estadístca Pag 80 Se defe como suceso complemetaro o cotraro de A a: Otro suceso que ocurre cuado o ocurre el suceso A, o be, es el suceso costtudo por todos los sucesos elemetales del espaco muestral E que o perteece a A Dfereca de Sucesos Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: A B A B Se defe como la dfereca de ambos sucesos A y B a: Otro suceso costtudo por los sucesos elemetales que perteece a A, pero o a B Dfereca Smétrca de Sucesos Dados dos sucesos A y B de u expermeto aleatoro: A B (A B) (B A) A B (A B) (B A) Se defe como dfereca smétrca de ambos sucesos A y B a: Otro suceso costtudo por los sucesos elemetales que perteece a A, o a B, pero que o smultáeamete a ambos 6 Propedades de las Operacoes co Sucesos Los sucesos asocados a u expermeto aleatoro verfca las sguetes propedades: E E A A E A E A A A A E E A A A A A Propedad dempotete: A A A A A A Propedad comutatva: A B B A A B B A Propedad asocatva: A (A A 3) (A A ) A 3 A (A A 3) (A A ) A3 Propedad dstrbutva: A (A A )(A A ) ( A A ) 3 3 A (A A )(A A ) ( A A ) 3 3

81 Maual de Estadístca Pag 8 Propedad smplfcatva: A (A B) A A (A B) A Leyes de Morga: ( A B ) A B ( A B ) A B 7 Sucesó de Sucesos Llamaremos sucesó de sucesos a ua famla de sucesos A, A, A 3,, A e la que éstos aparece ordeados por el subídce La represetaremos por { A },,3, Sucesó Crecete Ua sucesó de sucesos { A } dremos que es crecete s se verfca: Sucesó Decrecete Ua sucesó de sucesos { A } dremos que es decrecete s se verfca: Límte de ua Sucesó El límte de ua sucesó crecete / decrecete de sucesos { A } / { A } : A A A 3 la represetamos por { A } A A A 3 la represetamos por { A } lm A U A / lm A I A Límtes Iferor y Superor de ua Sucesó de Sucesos 0 A 0 lm f A U I Ak A lm sup A I U Ak k k El límte feror de la sucesó es u suceso El límte superor de la sucesó es u formado por los resultados o sucesos suceso formado por todos los elemetales que perteece a todos los resultados o sucesos elemetales que sucesos de la sucesó excepto quzá a u perteece a ua fdad de sucesos úmero fto de sucesos de la sucesó E el supuesto que se verfque dremos que la sucesó es covergete y se expresa como: 0 A lm f A lm sup A A A A A lm A A 0 8 Algebra de Sucesos Como se ha vedo observado, los sucesos los cosderamos como cojutos, sedo váldo para éstos todo lo estudado e la teoría de cojutos Para llegar a la costruccó axomátca del Cálculo de Probabldades, ecestamos dar uas estructuras algebracas báscas costrudas sobre los sucesos, de la msma maera que se costruye sobre los cojutos

82 Maual de Estadístca Pag 8 Coleccó de Cojutos o Sucesos Es otro cojuto cuyos elemetos so cojutos y lo llamaremos cojuto de las partes de E, es decr, AP(E) es el cojuto formado por todos los subcojutos de E o por todos los sucesos cotedos e el espaco muestral E Algebra de Sucesos o Algebra de Boole Sea AP(E) ua coleccó de sucesos dode se ha defdo las operacoes: - Uó de sucesos - Iterseccó de sucesos - Complemetaro de u suceso y que ademá verfca las propedades defdas al expoer las operacoes co sucesos Dremos que la coleccó de sucesos o vaca A tee estructura de Algebra de Boole s A es ua clase cerrada frete a las operacoes de complemetaro, uó e terseccó de sucesos e úmero fto, es decr s se verfca las codcoes sguetes: A A P(E) se verfca que su complemetaro A A P(E) A,A AP(E) se verfca que A A A P(E) Lo relatvo a que la terseccó sea cerrada y que el úmero de sucesos sea fto se obtee como cosecueca de las codcoes aterores, como ahora se dcará De las dos codcoes cales, se deduce las sguetes cosecuecas: El espaco muestral E A P(E) S los sucesos A, B A P(E) se verfca que A B A P(E) El suceso mposble A P(E) S A,A,A 3,,A A P(E) se verfca que A A P(E) y A A P(E) S hacemos la extesó al caso de u úmero fto umerable de sucesos, etoces aparece ua ueva estructura algebraca que recbe el ombre de α-algebra o Campo de Borel, que es ua geeralzacó de la ateror Cuado el espaco muestral E es fto, todos los subcojutos de E se puede cosderar como sucesos Esto o ocurre cuado el espaco muestral es fto (o umerable), pues es dfícl cosderar el cojuto formado por todos los subcojutos posbles, exstedo subcojutos que o puede cosderarse como sucesos E resume, podemos decr que a partr del espaco muestral E, hemos llegado a defr la coleccó de sucesos AP(E) que tee estructura de Algebra de Sucesos o Algebra de Boole s el espaco muestral es fto o be tee la estructura de α- Algebra s el espaco muestral es fto Al par (E, A) e dode E es el espaco muestral y A ua α-algebra sobre E, le llamaremos espaco o cojuto medble, e el cual será posble establecer ua medda o probabldad, como se verá después U I 9 Métodos de Eumeracó o Coteo

83 Maual de Estadístca Pag 83 Las sguetes so alguas téccas útles para cotar el úmero de resultados o sucesos de u expermeto aleatoro Tablas de Doble Etrada Es útl para relacoar dos pruebas, dcádoos los resultados que tegra el espaco muestral, pudedo dcar sobre la tabla determados sucesos e los que estemos teresados E geeral co m elemetos a, a, a 3,, a m y elemetos b, b, b 3,, b es posble formar m x pares (a r, b s ) tales que cada par tee al meos algú elemeto dferete de cada grupo Prcpo de Multplcacó Sea los cojutos C, C, C 3,, C k que tee respectvamete,, 3,, k k- uplas dode, e cada k-upla, el prmer elemeto perteece a C, el segudo a C, etc E el caso partcular de que 3 k el úmero posble de k-uplas sera k E el caso geeral, el úmero de posbles resultados será x x 3 x x k Este prcpo es de utldad e el caso de u expermeto aleatoro compuesto por otros k expermetos Dagramas de árbol Este dagrama os permte dcar de maera seclla el cojuto de posbles resultados e u expermeto aleatoro sempre y cuado los resultados del expermeto pueda obteerse e dferetes fases sucesvas Ej: Expermeto aleatoro cosstete e lazar al are u dado y después 3 veces cosecutvas ua moeda Combacoes, Varacoes y Permutacoes Combacoes Llamaremos combacoes de m elemetos C m, tomados de e al úmero de subcojutos dferetes de elemetos que se puede formar co los m elemetos del cojuto cal m m!!(m - )! Combacoes co repetcó S e los subcojutos aterores se puede repetr los elemetos Varacoes Llamaremos varacoes de m elemetos tomados de e a los dsttos subcojutos dferetes de elemetos que se puede formar co los m elemetos, fluyedo el orde e el que se toma Varacoes co repetcó S e los subcojutos aterores se puede repetr los elemetos CR m+- (m + - )! m,!(m - )! Vm, m(m - )(m - )(m - m + ) VR m, m m! (m - )!

84 Maual de Estadístca Pag 84 Permutacoes Llamaremos permutacoes de elemetos a las varacoes de elemetos tomados de e Permutacoes co repetcó Llamaremos permutacoes co repetcó de elemetos k-dsttos que se repte uo x veces, otro x veces, y el últmo x k veces P! x!,x,,xk P x! x!x! k x + x + + x k

85 Maual de Estadístca Pag 85 Capítulo VII PROBABILIDAD Itroduccó Se dcaba e el capítulo ateror que cuado u expermeto aleatoro se repte u gra úmero de veces, los posbles resultados tede a presetarse u úmero muy parecdo de veces, lo cual dca que la frecueca de aparcó de cada resultado tede a establzarse El cocepto o dea que geeralmete se tee del térmo probabldad es adqurdo de forma tutva, sedo sufcete para maejarlo e la vda correte Nos teresa ahora la medda umérca de la posbldad de que ocurra u suceso A cuado se realza el expermeto aleatoro A esta medda la llamaremos probabldad del suceso A y la represetaremos por p(a) La probabldad es ua medda sobre la escala 0 a de tal forma que: Al suceso mposble le correspode el valor 0 Al suceso seguro le correspode el valor El resto de sucesos tedrá ua probabldad compredda etre 0 y El cocepto de probabldad o es úco, pues se puede cosderar desde dsttos putos de vsta: El puto de vsta objetvo Defcó clásca o a pror Defcó frecuetsta o a posteror El puto de vsta subjetvo Defcó Clásca de la Probabldad Sea u expermeto aleatoro cuyo correspodete espaco muestral E está formado por u úmero fto de posbles resultados dsttos y co la msma probabldad de ocurrr {e, e,, e } S resultados costtuye el subcojuto o suceso A, resultados costtuye el subcojuto o suceso A y, e geeral, k resultados costtuye el subcojuto o suceso A k de tal forma que: k Las probabldades de los sucesos A, A,, A so: p(a ) p(a ) p(a ) k k es decr, que la probabldad de cualquer suceso A es gual al cocete etre el úmero de casos favorables que tegra el suceso A Regla de Laplace para E ftos

86 Maual de Estadístca Pag 86 y el úmero de casos posbles del espaco muestral E p(a) Nº de casos favorables de A Nº de casos posbles de E Para que se pueda aplcar la regla de Laplace es ecesaro que todos los sucesos elemetales sea equprobables, es decr: p(e ) p(e ) p(e ) y por tato p(e )/,,, Sedo A{e, e,, e k } el suceso formado por k sucesos elemetales sedo k tedremos: k p(a) p(e j ) j Nº casos favorables Nº casos posbles La probabldad verfca las sguetes codcoes: La probabldad de cualquer suceso es sempre u úmero o egatvo etre 0 y p(a), 0 La probabldad del suceso seguro E vale La probabldad del suceso mposble es 0 La probabldad de la uó de varos sucesos compatbles o excluyetes A, A,, A r es gual a la suma de probabldades de cada uo de ellos p(e) p( ) 0 0 p(a A ) p(a ) + p(a ) + + p(a ) r r Esta defcó clásca de probabldad fue ua de las prmeras que se dero (900) y se atrbuye a Laplace; també se cooce co el ombre de probabldad a pror pues, para calcularla, es ecesaro coocer, ates de realzar el expermeto aleatoro, el espaco muestral y el úmero de resultados o sucesos elemetales que etra a formar parte del suceso La aplcacó de la defcó clásca de probabldad puede presetar dfcultades de aplcacó cuado el espaco muestral es fto o cuado los posbles resultados de u expermeto o so equprobables Ej: E u proceso de fabrcacó de pezas puede haber alguas defectuosas y s queremos determar la probabldad de que ua peza sea defectuosa o podemos utlzar la defcó clásca pues ecestaríamos coocer prevamete el resultado del proceso de fabrcacó Para resolver estos casos, se hace ua extesó de la defcó de probabldad, de maera que se pueda aplcar co meos restrccoes, llegado así a la defcó frecuetsta de probabldad 3 Defcó Frecuetsta de la Probabldad La defcó frecuetsta cosste e defr la probabldad como el límte cuado tede a fto de la proporcó o frecueca relatva del suceso

87 Maual de Estadístca Pag 87 Sea u expermeto aleatoro cuyo espaco muestral es E Sea A cualquer suceso perteecete a E S repetmos veces el expermeto e las msmas Codcoes, la frecueca relatva del suceso A será: Cuado el úmero de repetcoes se hace muy grade la frecueca relatva coverge haca u valor que llamaremos probabldad del suceso A (A) p(a) lm (A) Es mposble llegar a este límte, ya que o podemos repetr el expermeto u úmero fto de veces, pero s podemos repetrlo muchas veces y observar como las frecuecas relatvas tede a establzarse Esta defcó frecuetsta de la probabldad se llama també probabldad a posteror ya que sólo podemos dar la probabldad de u suceso después de repetr y observar u gra úmero de veces el expermeto aleatoro correspodete Alguos autores las llama probabldades teórcas 4 Defcó Subjetva de la Probabldad Tato la defcó clásca como la frecuetsta se basa e las repetcoes del expermeto aleatoro; pero exste muchos expermetos que o se puede repetr bajo las msmas codcoes y por tato o puede aplcarse la terpretacó objetva de la probabldad E esos casos es ecesaro acudr a u puto de vsta alteratvo, que o depeda de las repetcoes, so que cosdere la probabldad como u cocepto subjetvo que exprese el grado de creeca o cofaza dvdual sobre la posbldad de que el suceso ocurra Se trata por tato de u juco persoal o dvdual y es posble por tato que, dferetes observadores tega dsttos grados de creeca sobre los posbles resultados, gualmete váldos 5 Defcó Axomátca de la Probabldad La defcó axomátca de la probabldad es quzás la más smple de todas las defcoes y la meos cotrovertda ya que está basada e u cojuto de axomas que establece los requstos mímos para dar ua defcó de probabldad La vetaja de esta defcó es que permte u desarrollo rguroso y matemátco de la probabldad Fue troducda por A N Kolmogorov y aceptada por estadístcos y matemátcos e geeral Defcó Dado el espaco muestral E y la α-algebra AP(E) dremos que ua fucó p: A [

88 Maual de Estadístca Pag 88 0, ] es ua probabldad s satsface los sguetes axomas de Kolmogorov: p(a) 0 para cualquer suceso A AP(A) p(e) Dada ua sucesó umerable de sucesos compatbles A, A, A, se verfca que p(a A ) p U A p(a)+p(a)+ A la fucó p: A [ 0, ] A p p(a) se deoma probabldad del suceso A La tera (E, A, p) formada por el espaco muestral E, la α-algebra AP(E) y la probabldad p se deoma espaco probablístco 6 Teoremas Elemetales o Cosecuecas de los Axomas Los sguetes resultados se deduce drectamete de los axomas de probabldad Teorema I La probabldad del suceso mposble es ula p( ) 0 S para cualquer suceso A resulta que p(a)0 dremos que A es el suceso ulo, pero esto o mplca que A S para cualquer suceso A resulta que p(a) dremos que A es el suceso cas seguro, pero esto o mplca que AE Teorema II Para cualquer suceso A AP(A) se verfca que: La probabldad de su suceso complemetaro es p(a) - p(a) Teorema III La probabldad P es moótoa o decrecete, es decr: A,B AP(A) co A B p(a) p(b) y además p(b - A) p(b) - p(a) Teorema IV Para cualquer suceso A AP(A) se verfca que: p(a)

89 Maual de Estadístca Pag 89 Teorema V Para dos sucesos cualesquera A,B AP(A) se verfca que: p( A B ) p(a) + p(b) - p( A B ) Esta propedad es geeralzable a sucesos: + p UA p(a ) - p(a A j ) + p(a A j A k ) ++(-) p I A < j < j<k Teorema VI Para dos sucesos cualesquera A,B AP(A) se verfca que: p( A B ) p(a) + p(b) Esta propedad es geeralzable a sucesos: p U A p(a ) Teorema VII Dada ua sucesó crecete de sucesos A, A,, A (abrevadamete represetado por { A }) se verfca que: lm p(a ) p( lm A ) p U A Teorema VIII Dada ua sucesó decrecete de sucesos A, A,, A (abrevadamete represetado por { A }) se verfca que: lm p(a ) p( lm A ) p I A 7 Probabldad Codcoada Hasta ahora hemos troducdo el cocepto de probabldad cosderado que la úca formacó sobre el expermeto era el espaco muestral S embargo hay stuacoes e las que se corpora formacó suplemetara respecto de u suceso relacoado co el expermeto aleatoro, cambado su probabldad de ocurreca El hecho de troducr más formacó, como puede ser la ocurreca de otro suceso, coduce a que determados sucesos o puede haber ocurrdo, varado el espaco de resultados y cambado sus probabldades Defcó Dado u espaco probablístco (E, A, p) asocado a u expermeto aleatoro Sea A u suceso tal que A Ap(A) y p(a) 0 Sea B u suceso tal que B Ap(A)

90 Maual de Estadístca Pag 90 Se defe la probabldad codcoada de B dado A o probabldad de B codcoada a A como: p(b / A) p(a B) p(a) La probabldad codcoada cumple los tres axomas de Kolmogorov: p(a B) B A P(E) p(b / A) 0 p(a) p(a E) p(e / A) p(a) Sea { A } ua sucesó de sucesos dsjutos dos a dos, etoces: p U A/A p(a/a) Regla de Multplcacó de Probabldades o Probabldad Compuesta Partedo de la defcó de la probabldad codcoada p(b/a) podemos escrbr: p(a B) p(a) p(b / A) 8 Teorema de la Probabldad Compuesta o Producto Sea sucesos A, A,, A AP(A) y tales que p I A > 0 Se verfca que: p(a A A ) p(a ) p(a / A ) p(a / A A ) p(a / A A ) 3-9 Teorema de la Probabldad Total Sea sucesos dsjutos A, A,, A AP(A) tales que p( A )>0,,, y tales que forma u sstema completo de sucesos Para cualquer suceso B AP(A) cuyas probabldades codcoadas so coocdas p( B/A ), se verfca que: p( B) p(a ) p(b / A ) 0 Teorema de Bayes Sea sucesos dsjutos A, A,, A AP(A) tales que p( A )>0,,, y tales que forma u sstema completo de sucesos Para cualquer suceso B AP(A) se verfca que: p( A / B) p(a ) p(b / A ) p(a ) p(b / A ) y aplcado el teorema de la probabldad total: p(a ) p(b / A ) p( A / B) p(b)

91 Maual de Estadístca Pag 9 Sstema completo de sucesos A, A,, A Las probabldades p( A )>0,,, Las probabldades p( B/A )>0,,, Se deoma hpótess Se deoma probabldades a pror ya que so las que se asga calmete al los sucesos A Se deoma verosmltudes del suceso B admtedo la hpótess A Las verosmltudes p( B/A ) os permte modfcar uestro grado de creeca orgal p( A ) obteedo la probabldad a posteror p( A / B ) El teorema de Bayes, además de ser ua aplcacó de las probabldades codcoadas, es fudametal para el desarrollo de la estadístca bayesaa, la cual utlza la terpretacó subjetva de la probabldad Idepedeca de Sucesos Teedo e cueta la defcó de la probabldad del suceso B codcoada a A se puede decr: Cuado p( B/A ) > P( B ) etoces el suceso A favorece al B Cuado p( B/A ) < P( B ) etoces el suceso A desfavorece al B Cuado p( B/A ) P( B ) etoces la ocurreca de A o tee gú efecto sobre la de B Dremos que dos sucesos A y B so depedetes s se verfca ua cualquera de las sguetes codcoes equvaletes: p( B / A) p( B) s P( A )>0 p( A / B) p( B) s P( B )>0 p( A B) p(a) p( B) Podemos decr por tato que s el suceso B es depedete del suceso A, etoces el suceso A també es depedete del suceso B, lo que equvale a decr que ambos sucesos so mutuamete depedetes La depedeca de sucesos puede extederse a más de dos sucesos: p( A B C) p(a) p( B) p( C) Además, se cumple el sguete teorema: S A y B so dos sucesos depedetes, etoces també lo so los sucesos A y B A y B A y B