3 AJUSTE DE FUNCIONES

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1 AJUSTE DE UNCIONES.. udametos de estadístca: cojuto de medcoes epermetales meda y desvacó estádar INTRODUCCION TEÓRICA E la mayoría de los procedmetos epermetales se gasta mucho esfuerzo para reur los datos y hoy e día la mayoría se ha covertdo e datos cuattatvos; esto quere decr que se derva de medcoes. Cuado se realza cualquer medcó es ecesaro cosderar que se puede cometer errores y es mportate desarrollar habldades para evaluar los datos y sacar coclusoes que esté realmete justfcadas. La mayoría de las téccas que cosderamos para dcha evaluacó de datos está basadas e coceptos estadístcos. Cada vez más se recooce que los métodos estadístcos so efcaces e la plafcacó de los epermetos que dará la mayor formacó a partr del mímo úmero de medcoes y para abrevar los datos e tal forma que su sgfcado se presete e forma cocsa. Por otro lado y como puto muy mportate o debe esperarse que la estadístca dsmuya la ecesdad de obteer bueas medcoes tomado e cueta que los métodos estadístcos so más poderosos cuado se aplca a datos váldos. E esta práctca es mposble eamar los fudametos de la teoría de probabldad e la cual se basa gra parte de la estadístca que se aplcará. Aquí debemos aceptar las coclusoes matemátcas y probablístcas y luego tetar ver como puede ser útles. ERRORES El térmo error se utlza para referrse a la dfereca umérca etre el valor meddo y el valor real. El valor real de cualquer catdad es e realdad ua abstraccó flosófca algo que el hombre o está destado a coocer auque los cetífcos sete que este y pesa que puede teer acceso a él más y más estrechamete cuado sus medces llega a ser más refadas. Errores determados Los errores que puede ser atrbudos a causas defdas se llama errores determados o sstemátcos. De acuerdo co su orge tee lugar debdo a: a el método de aálss que refleja las propedades de los sstemas químcos volucrados b la epttud del operador c la avería de los aparatos de medcó que o le permte fucoar de acuerdo a los estádares requerdos. Ejemplos de errores sstemátcos so el aalsta tee ua mala técca e la balaza el materal de vdro está suco etc.

2 Detro de los errores determados este otro tpo error strumetal que es muy fácl de determar e los strumetos de medda aalógca dcho error se estma de la sguete forma E A Dode A es la aprecacó del strumeto y puede determarse a partr de la dfereca de las lecturas de dos valores marcados e el strumeto y el úmero de dvsoes que este etre ellos de acuerdo a: Lectura Mayor Lectura Meor A de Dvsoes E alguos equpos volumétrcos empleados e químca tales como: ppetas volumétrcas el error cometdo e la lectura es especfcado por el fabrcate; los cuales oscla etre u 5% del volume leído e equpos de precsó y u % e equpos meos precsos. Para los equpos dgtales el error strumetal se toma el error e la últma cfra que aparece e la patalla. Así por ejemplo s e la patalla aparece 4 el error strumetal será ± y se debe reportar: 4 ±. Errores determados Los errores que se clasfca como determados so aquellos que ocurre a pesar de ser muy cudadoso y metculoso. So errores fortutos que o puede reducrse más. EXACTITUD Y PRECISIÓN Los térmos eacttud y precsó que e ua coversacó ordara se utlza muchas veces como sómos se debe dstgur co cudado e relacó co los datos cetífcos ya que o sgfca lo msmo. U resultado eacto es aquel que cocuerda de cerca co el valor real de ua catdad medda. La comparacó se hace co frecueca basádose e ua medda versa de la eacttud que es el error metras más pequeño es el error mayor es la eacttud. El error absoluto es la dfereca etre el valor epermetal y el valor real. Por ejemplo s u aalsta ecuetra 44% de herro e ua muestra que e realdad cotee.4% el error absoluto E a es E a 44% - 4% %

3 El error se epresa co mucha frecueca como relatvo al tamaño de la catdad medda por ejemplo e porcetaje. Aquí el error relatvo E R es E R % 5 % 4 % El térmo precsó se refere a la cocordaca que tee etre sí u grupo de resultados epermetales; o tee relacó co el valor real. Los valores precsos puede ser eactos ya que u error que causa desvacó del valor real puede afectar todas las medcoes e gual forma y por cosguete o perjudcar su precsó. La precsó se epresa por lo geeral e térmos de la desvacó estádar. Este térmo se defrá más adelate. Como e el caso del error mecoado aterormete precsó puede epresarse e forma absoluta o relatva. TRATAMIENTO ESTADISTICO DE MUESTRAS INITAS Después que se buscaro los errores determados hasta dode fue posble y se tomaro todas las precaucoes y se aplcaro las correccoes se ecuetra que las fluctuacoes restates e los datos so por aturaleza al azar. Los resultados o datos dspersos de ua maera al azar se aalza mejor por medo de las poderosas téccas de la estadístca. Nuestro objetvo será ahora mostrar como se aplca u pequeño úmero de estas téccas y qué formacó os proporcoa más allá de lo que se puede observar o coclur co ua speccó smple de los datos. Meddas de tedeca cetral La tedeca cetral de u grupo de datos es secllamete el valor alrededor del cual los resultados dvduales tede a amotoarse. La meda es ua medda de tedeca cetral y su cálculo solo mplca obteer el promedo de los resultados dvduales: X Por lo geeral la meda es la medda más útl de la tedeca cetral. També este la medaa que e u úmero mpar de datos es el dato del medo y la moda que

4 correspode al dato que más se repte. Hablado e térmos geerales la medaa y la moda so meddas de tedeca cetral mucho meos efcetes que la meda. Meddas de varabldad Para u úmero fto de valores la medda más smple de varabldad es el rago el cual es la dfereca etre el valor más grade meos el más pequeño. Al gual que la medaa el rago es útl alguas veces e la estadístca de muestras pequeñas pero hablado e geeral es ua medda efcaz de la varabldad. Notemos por ejemplo que u resultado dsparatado ejerce u fuerte mpacto sobre el rago. E estadístca la desvacó estádar es mucho más sgfcatva que el rago. Para u úmero fto de valores se utlza el símbolo s para deotar la desvacó estádar. La desvacó estádar se calcula empleado la sguete fórmula. S Cada uo de los valores observados Meda N Número de determacoes S N es grade dgamos que o más etoces por supuesto es mperceptble que el térmo e el deomador sea N- lo cual es estrctamete correcto o N recuerde esta premsa al mometo de realzar el cálculo drecto co la calculadora ya que la mayoría posee ambas formas de dcho cálculo. Cuado la desvacó estádar se epresa como u porcetaje de la meda se llama coefcete de varacó CV o desvacó estádar relatva DSR: CV DSR s La desvacó estádar relatva suele proporcoar más formacó que las desvacoes estádar absolutas ya que permte comparar varacoes de dos o más grupos de datos depedetemete de cada ua de las medas o promedos.

5 .. Iterpolacó E el subcampo matemátco del aálss umérco se deoma terpolacó a la costruccó de uevos putos partedo del coocmeto de u cojuto dscreto de putos. E geería y alguas cecas es frecuete dspoer de u certo úmero de putos obtedos por muestreo o a partr de u epermeto y preteder costrur ua fucó que los ajuste. Otro problema estrechamete lgado co el de la terpolacó es la apromacó de ua fucó complcada por ua más smple. S teemos ua fucó cuyo cálculo resulta costoso podemos partr de u certo úmero de sus valores e terpolar dchos datos costruyedo ua fucó más smple. E geeral por supuesto o obtedremos los msmos valores evaluado la fucó obteda que s evaluásemos la fucó orgal s be depededo de las característcas del problema y del método de terpolacó usado la gaaca e efceca puede compesar el error cometdo. E todo caso se trata de a partr de parejas de putos y obteer ua fucó f que verfque E todo este tema has vsto dsttas maeras de epresar ua fucó. Has vsto por ejemplo que e umerosas ocasoes las fucoes se epresa medate tablas de valores obtedos de la observacó o de la epermetacó. També has vsto que cuado la fucó puede ser epresada medate ua relacó matemátca e especal ua relacó matemátca seclla es muy fácl obteer formacó de la msma. Por lo tato u problema co el que os tedremos que efretar co frecueca es cómo obteer ua epresó matemátca que represete la fucó que estamos estudado cuado los datos los hemos obtedo epermetalmete o medate observacó de algú feómeo. E la mayoría de los casos este problema es demasado complejo para resolverlo por lo que os coformaremos co ua apromacó. El proceso por el que a ua tabla de valores se le asoca ua epresó matemátca que la represete se deoma Iterpolacó. La fucó obteda debe represetar de forma eacta los valores de la tabla pero o proporcoa más que ua estmacó de los valores que o aparezca e la tabla. Ua vez que hemos aceptado que o vamos a dar co ua epresó eacta so apromada surge otro problema. De qué tpo es la fucó co la que vamos a

6 realzar la apromacó? o dcho de ua maera más rgurosa qué tpo de terpolacó vamos a hacer?. La represetacó gráfca de los putos de la tabla os puede dar ua dea pues los putos que se represete puede mostrar ua tedeca. Por ejemplo s resulta que los putos parece estar aleados debemos buscar ua fucó leal para represetarlos. Dremos e ese caso que realzamos ua terpolacó leal. S la apareca de los putos se asemeja a ua parábola realzaríamos ua terpolacó cuadrátca. Y así co cualquer tpo de fucó cuyo aspecto coocéramos prevamete. E la práctca puede suceder que o dspogamos de putos sufcetes para advar la tedeca o que aú teedo putos sufcetes la gráfca o se parezca a ada coocdo. Este procedmetos bastate complejos para terpolar ese tpo de fucoes pero que o está a uestro alcace. E ua stuacó de este tpo osotros os coformaremos co ua terpolacó leal etre cada pareja de putos obteedo ua fucó defda a trozos y cada trozo defdo por ua fucó leal.... Drecta Este método es el resultado de cosderar que dos putos está ta cerca estadístcamete que la meda etre ellos supodrá u puto termedo.... Leal Método para estmar u valor que quede etre dos putos de datos trazado ua líea recta etre esos dos putos... Cuadrátca Hay casos e que o se observa ua varacó regular. Por ejemplo el preco medo e pts. de ua toelada de cobre etre 96 y 964 que se dca e la tabla : año : produccó :y Se observa u aumeto cosderable e el año 64 por lo que s aplcásemos ua terpolacó leal tomado como datos los de 96 y 964 y calculásemos el valor estmado para 96 veríamos que la

7 apromacó o es aceptable ya que se desvía mucho del valor real más de u %. E estos casos es acosejable hacer ua terpolacó cuadrátca que cosste e efectuar la apromacó a través de u polomo de segudo grado ua parábola. El proceso de terpolacó cosste e tomado tres putos coocdos y y y ecotrar la ecuacó de ua parábola ya. a.a que pase por ellos. Los coefcetes de este polomo se calcula resolvedo el sstema que resulta de susttur e la epresó ateror las coordeadas de los putos coocdos : Ua vez determados los coefcetes para hallar el valor correspodete a u del tervalo basta susttur e a. a.a. La terpolacó cuadrátca supoe u avace sobre la leal pues la gráfca de ua parábola se ajusta mejor a la dsposcó de los putos coocdos cuado éstos o preseta ua aleacó clara y sí u crecmeto o decrecmeto cada vez más proucado. La terpolacó versa ege despejar la e la gualdad ateror : y susttur aquí el valor y h coocdo para así hallar h. La etrapolacó se hace aplcado el polomo terpolador a u valor p o perteecete al tervalo. Este puto debe ser sufcetemete prómo a los etremos del tervalo para obteer resultados aceptables. f l Método de Newto Método de Lagrage P f P P f P

8 Apartado d: Estmacó del error del polomo de terpolacó de Newto de segudo orde R f * Cota del error del polomo de terpolacó de Newto de tercer orde R co etre y f R / para < <6 obteemos 6*5-4 E 6*4-4 es decr.96 E.475 Apartado e: Cota del error del polomo de terpolacó de Lagrage de tercer orde

9 R co etre y f R / para < <6 obteemos 6*5-4 E 6*4-4 es decr.96 E.475 Coclusoes a las que arrbaro los alumos luego de realzar esta actvdad:. E el apartado a se usa dos terpolacoes leales para apromar l. El tervalo más pequeño proporcoa ua mejor apromacó. Los resultados obtedos co el polomo de terpolacó de Lagrage está e estrecha cocordaca co los obtedos usado la terpolacó polomal de Newto co dferecas dvddas.. La terpolacó cuadrátca realzada e el apartado b mejora la terpolacó comparada co los resultados obtedos al usar ua líea recta. Los resultados obtedos co el polomo de terpolacó de Lagrage está e estrecha cocordaca co los obtedos usado la terpolacó polomal de Newto co dferecas dvddas.. La terpolacó cúbca realzada e el apartado c mejora la terpolacó comparada co los resultados obtedos al usar ua líea recta o ua parábola. Los resultados obtedos co el polomo de terpolacó de Lagrage está e estrecha cocordaca co los obtedos usado la terpolacó polomal de Newto co dferecas dvddas. 4. La estmacó del error obtedo e el apartado d es del msmo orde que el error verdadero obtedo e el apartado b. Las cotas del error obtedas e d y e e cocde como era de esperarse. 5. S o se cooce la fucó la fórmula de Newto es mejor porque permte r aalzado el polomo de terpolacó a partr de las dferecas dvddas de orde superor obtedas. Además a partr de las msmas se puede obteer ua estmacó del error cometdo e la apromacó.

10 ..4. Polomal de Lagrage Presetamos ahora ua forma alteratva del polomo de terpolacó P asocado co ua tabla de datos y co. Es mportate eteder que este uo y solo u polomo de terpolacó de grado asocado co los datos supoedo claro esta que las abscsas so dsttas. S embargo este certamete la posbldad de epresar este polomo de maeras dsttas y de llegar a el a través de dsttos algortmos. El problema al utlzar Polomo de Newto para apromar es que se debe teer la dervada y muchas veces este lado o se tee; ua forma de evtar esto es trabajar co ua terpolacó de Lagrage que es ua reformulacó del Polomo de Newto que evta las dferecas dvddas y se represeta como: R L... Dode j j j L Π ; es productora y R es el error. Para obteer el polomo de grado uo leal reemplazamos L L L L j j j j L f f

11 Ahora calcularemos el polomo de terpolacó de grado dos Cuadrátco hacedo : L L L L f f f La apromacó del polomo cúbco es: L L L L L f f f f La ecuacó... se obtee de maera drecta del polomo de Newto s embargo el razoameto detrás de la formulacó de lagrage se comprede drectamete al darse cueta que cada termo L será e y e todos los otros putosver fgura. De esta forma cada producto L f toma el valor de f e el puto E cosecueca la sumatora de todos los productos e la ecuacó.. es el úco polomo de -ésmo grado que pasa eactamete a través de todos los putos que se tee como datos.

12 Descrpcó vsual del razoameto detrás del polomo de Lagrage. Esta fgura muestra u caso de segudo grado. Cada uo de los tres térmos de la ecuacó.. pasa a través de uo de los putos que se tee como datos y es cero e los otros dos. La suma de los tres térmos por lo tato debe ser el úco polomo de segudo grado f que pasa eactamete a través de os tres putos. EJEMPLO Co u polomo de terpolacó de Lagrage de prmero segudo y tercer grado evalué 5 ; basádose e los datos dados a cotuacó: f f 44 f 75 4 f Solucó: Prmero hallamos el polomo leal: Ahora hallamos el polomo cuadrátco:

13 almete el polomo cúbco es: Como se esperaba ambos resultados cocuerda co los que se obtuvero ates al usar el polomo de terpolacó de Newto...5. Polomo de Newto Dferecas dvddas Uo de estas formas de terpolacó se deoma Polomos de Iterpolacó de Newto que trabaja drectamete e la tabla obteda medate el proceso de Dferecas Dvddas; E el desarrollo de estas dferecas ftas se obtuvo e prmer lugar las dferecas ftas ordaras y luego las dferecas ftas dvddas para lo cual haremos ua troduccó rápda a dchas dferecas: DIERENCIAS INITAS ORDINARIAS Estas se defa para fucoes evaluadas sobre valores dscretos equdstates es decr sea defda sobre X X X... X Se defe Dfereca fta haca adelate.. Propedades... c c c c c... G G G G G G G G m m... EJEMPLO:

14 m... m m DIERENCIAS INITAS DIVIDIDAS Sea ua fucó de valor real defda sobre... o ecesaramete equdstate. Se defe: grado Prmer grado grado S perder geeraldad teemos X X X X Hallar ; ; ; 5 4 5

15 EJERCICIO PROPUESTO Para hallar hasta el 4 grado co Observamos que tato las dferecas ftas ordaras como e las dvddas se cumple que dchas dferecas so costates e el orde correspodete a ua fucó polómca de grado. Esta propedad es muy mportate para la produccó del polomo que ajusta la tabla. La sguete propedad relacoa las dferecas ftas dvddas co las ordaras. TEOREMA Sea f ua fucó defda sobre X X X ; tal que h X K X K- ; etoces se cumple: f f! h X X... X

16 Método de Gregory-Newto Cuado los valores dela abcsas se ecuetre gualmete espacados la formula de Newto puede ser smplfcada resultado ua formula de Gregory-Newto. Por lo tato u polômo de Gregory-Newto qué e u caso partcular de u polômo de Newto para putos gualmete espacados. Operador de dfereca fta ascedete Sea la fucó y f que pasa por los putos... sedo. u operador de dfereca fta ascedete qué esta defdo como: a orde : b orde : c orde : d orde : órmula de Gregory-Newto Hacedo y usado la otaó de dfereças fta ascedete como u operador se tee u polômo de Gregory-Newto de grado.

17 dode se utlza uma varáble aular dode Temos abajo u compledadd de terpolacó de Gregory-Newto para u polômo de grado como relacoado a u úmero de operacoes: Operacoes Complejdad Adco Multplcacó Dvso.. Regresó Vamos a estudar e este apartado la posble relacó etre dos varables dferetes correspodetess a la msma poblacó. Estudaremos ahora dversos aspectos de la Lga de útbol de Prmera Dvsó española. Tees ua tablaa co los putos de cada equpo sus partdos gaados sus partdos perddos sus partdos empatados e el ejemplo de regresó. Pesa detedamete e teta cotestar las sguetes pregutas. El equpo co más putos es el que más partdos ha gaado?

18 Y el que meos putos tee meos partdos gaados tee? Cuatos más partdos gaados tee u equpo más putos tedrá? Cuatos más partdos gaados tee u equpo ormalmete más putos tedrá? Depede los putos que tee u equpo de los partdos que ha cosegudo gaar? Sería lógco cuatfcar de algua maera esa depedeca?. Las pregutas aterores juto co sus cotestacoes os lleva a pesar que certas varables está relacoadas a veces co otras. La varable putos de uestro ejemplo de la Lga Española tee certa relacó co la varable que cuatfca los partdos gaados o cluso co la varable de partdos perddos. Esta parte de la Estadístca llamada Regresó estuda estas relacoes e teta cuatfcar s la relacó es fuerte debl etc. De todas formas s tees dudas para cotestar las pregutas aterores tal vez te ayude la sguete gráfca. Es lo que llamamos: NUBE DE PUNTOS. La ube de putos es smplemete ua gráfca epresado e el eje OX ua varable y e el eje OY la otra varable. Por ejemplo e el eje OX los putos de los equpos y e el eje OY los partdos gaados por dchos equpos. Obteemos así la ube de putos co la putuacó y los partdos gaados També podemos y debemos fjaros e la ube de putos co la putuacó y los partdos perddos ya que ates hemos dcho que puede haber algua relacó.

19 La esteca de relacoes etre varables resulta fácl de eteder. El sguete paso sería cuatfcar s esta relacó es mucha o poca drecta o versa fuerte o débl etc. Para esto defmos el parámetro llamado covaraza. La covaraza de dos varables es la meda artmétca de los productos de las desvacoes de cada varable respecto a su meda co lo que su cálculo se puede realzar así: Dode j se llama frecueca absoluta cojuta del par de valores y j. El cálculo de la covaraza medate la epresó ateror lo dejaremos para u poco más adelate. Al cocete etre la covaraza y el producto de las desvacoes típcas de ambas varables se le deoma coefcete de correlacó r. Su cálculo també lo dejaremos para más adelate. Solamete dremos que el valor de r ha de estar ecesaramete compreddo etre - y. S r ó r- la depedeca etre ambas varables es perfecta fucoal. S 5<r< ó -<r<-5 la depedeca es sgfcatva. S -5<r<5 práctcamete se puede decr que o hay depedeca estadístca. Además el sgo postvo o egatvo dca relacó drecta o versa respectvamete. Otro cocepto teresate e la regresó es lo que llamamos:rectas de regresó. Deomaremos recta de regresó a la que mejor se ajuste a la ube de putos. Se dce que ua líea se ajusta lo mejor posble a ua ube de putos cuado la suma de las desvacoes de los putos de la ube a dcha recta es la meor posble. Lo que e realdad se busca es que la recta pase por el mayor

20 úmero de putos de la ube pero tetado que o hayas putos que se aleje de la recta. Es por esto que hacemos la suma de desvacoes. Podemos determar dos rectas de regresó dferetes. S deseamos saber el comportameto de la varable Y segú los valores que tome la varable X la recta se llama de regresó de Y sobre X y cuado buscamos el comportameto de la varable X segú los valores de Y la recta se llama de regresó de X sobre Y. Co ellas podemos apromar el valor de ua varable sabedo el valor de la otra auque ésta o se presete e la muestra elegda. Así s os pde determar la estatura de ua persoa de 8 g. de peso o el peso de ua persoa de 4 de estatura podremos susttur estos valores e la rectas respectvas s ates hemos tomado ua muestra represetatva de la poblacó a estudar. Estas dos rectas de regresó se cortará e u puto. A este puto se le suele llamar cetro de gravedad de la dstrbucó Esta es la parte teórca que debes coocer. Ahora puedes pasar a vstar los ejemplos y posterormete las actvdades... Regresó leal Regresó leal Abordaremos e esta pága las dstrbucoes bdmesoales. Las observacoes se dspodrá e dos columas de modo que e cada fla fgure la abscsa y su correspodete ordeada y. La mportaca de las dstrbucoes bdmesoales radca e vestgar como fluye ua varable sobre la otra. Esta puede ser ua depedeca causa efecto por ejemplo la catdad de lluva causa da lugar a u aumeto de la produccó agrícola efecto. O be el aumeto del preco de u be da lugar a ua dsmucó de la catdad demadada del msmo. S utlzamos u sstema de coordeadas cartesaas para represetar la dstrbucó bdmesoal obtedremos u cojuto de putos coocdo co el dagrama de dspersó cuyo aálss permte estudar cualtatvamete la relacó etre ambas varables tal como se ve e la fgura. El sguete paso es la determacó de la depedeca fucoal etre las dos varables e y que mejor ajusta a la dstrbucó bdmesoal. Se deoma regresó leal cuado la fucó es leal es decr requere la determacó de dos parámetros: la pedete y la ordeada e el orge de la recta de regresó yab. La regresó os permte además determar el grado de depedeca de las seres de valores X e Y predcedo el valor y estmado que se obtedría para u valor que o esté e la dstrbucó.

21 Vamos a determar la ecuacó de la recta que mejor ajusta a los datos represetados e la fgura. Se deoma error e a la dfereca y -y etre el valor observado y y el valor ajustado y a b tal como se ve e la fgura feror. El crtero de ajuste se toma como aquél e el que la desvacó cuadrátca meda sea míma es decr debee de ser míma la suma El etremos de ua fucó: mámo o mímo se obtee cuado las dervadas de s respecto de a y de b sea ulas. Lo que da lugar a u sstema de dos ecuacoes co dos cógtas del que se despeja a y b. El coefcete de correlacó es otra técca de estudar la dstrbucó bdmesoal que os dca la tesdad o grado de depedeca etre las varables X e Y. El coefcete de correlacó r es u úmero que se obtee medate la fórmula.

22 El umerador es el producto de las desvacoes de los valores X e Y respecto de sus valores medos. E el deomador teemos las desvacoes cuadrátcas medas de X y de Y. El coefcete de correlacó puede valer cualquer úmero compreddo etre - y. Cuado r la correlacó leal es perfecta drecta. Cuado r- la correlacó leal es perfecta versa Cuado r o este correlacó algua depedeca total de los valores X e Y Varates de la regresó leal La fucó potecal yc a Se puede trasformar e S usamos las uevas varables Xlog e Ylog y obteemos la relacó leal YaXb. Dode blog c Ejemplo: y Usar la calculadora para trasformar esta tabla de datos e esta otra Xlog Ylog y Calcular medate el programa regresó leal los parámetros a y c. ucó epoecal yce a Tomado logartmos eperaos e los dos membros resulta l yal c

23 S poemos ahora X e Yl y obteemos la relacó leal YaXb Dode bl c. Ejemplo: y Usar la calculadora para trasformar esta tabla de datos e esta otra X Yl y Calcular medate el programa regresó leal los parámetros a y c. La clase Regresó La clase Regresó que descrbe la regresó leal o dfere substacalmete de la clase Estadístca que se ha descrto e la seccó ateror. La dfereca estrba e que los membros datos so dos arreglos e y que guarda las seres de valores X e Y cuya depedeca fucoal deseamos determar. E los membros dato públcos a y b se guarda la pedete de la recta de regresó y la ordeada e el orge. La fucó membro leal calcula la pedete a y ordeada e el orge b de la recta de regresó. Se hace uso de varables aulares para guardar resultados termedos: s guarda la suma de todas las abscsas sy la suma de todas las ordeadas s la suma de los cuadrados de las abscsas sy la suma de las cuadrados de las ordeadas y py la suma de los productos de cada abscsa por su ordeada. Los valores calculados a partr de las fórmulas respectvas se guarda e los membros públcos a y b de la clase Regresó. Para obteer el coefcete de correlacó hemos de calcular prmero el valor medo <> de la sere de datos X y el valor medo <y> de Y. No calculamos las desvacoes cuadrátcas medas so que empleamos ua epresó equvalete a la dada aterormete para el coefcete de correlacó.... Regresó polomal Aquí se ajusta los datos y para a u polomo de la forma y β β β... β o debe ser mayor que de lo cotraro se tedría u overfttg total como lo muestra la fgura.

24 Cuado la varable depedete es cuattatva por ejemplo el úmero de especes y la relacó etre ambas varables sgue ua líea recta la fucó es del tpo y c b e dode c es el tercepto o valor del puto de corte de la líea de regresó co el eje de la varable depedete ua medda del úmero de especes estete cuado la varable ambetal tee su mímo valor y b es la pedete o coefcete de regresó la tasa de cremeto del úmero de especes co cada udad de la varable ambetal cosderada. S la relacó o es leal puede trasformarse los valores de ua o ambas varables para tetar learzarla. S o es posble covertr la relacó e leal puede comprobarse el grado de ajuste de ua fucó polomal más compleja. La fucó polomal más seclla es la cuadrátca y c b b que descrbe ua parábola pero puede usarse ua fucó cúbca u otra de u orde au mayor capaz de cosegur u ajuste cas perfecto a los datos. Cuado la varable depedete se epresa e datos cualtatvos presecaauseca de ua espece es acosejable utlzar las regresoes logístcas y [ ep c b] / [ ep c b]. Bueos ejemplos del uso de regresoes logístcas para predecr la dstrbucó de ua espece puede ecotrase e Waler 99 Osbore & Tgar 99 y Parer 999.

25 Supoga ahora que deseamos ajustar la ecuacó polomal m Y b b b.. b r r a los pares de observacoes { y ;... }. Cada observacó y satsface la ecuacó y b b b.. b r e o y b b b.. b r r e dode r es el grado del polomo y e y e so de uevo el error aleatoro y resdual asocados co la respuesta y. Aquí el úmero de pares debe ser al meos ta grade como r el úmero de parámetros a estmar. Nótese que el modelo polomal se puedee cosderar como u caso especal del modelo de regresó leal múltple más geeral dode hacemos... r. r. Las ecuacoes ormales toma la forma: que se resuelve como ates para b b... b r.. Regresó múltple Regresó leal múltple. E la mayor parte de los problemas de vestgacó dode se aplca el aálss de regresó se ecesta más de ua varable depedete e el modeloo de regresó. La complejdad de la mayor parte de los mecasmos cetífcos es tal que para ser capaces de predecr ua respuesta mportate se ecesta u modelo de regresó múltple. Cuado este modelo es leal e los coefcetes se

26 deoma modelo de regresó leal múltple. Para el caso de varables depedetes X X...X la meda de Y X X...X K está dada por el modelo de regresó leal múltple m Y b b.. b y la respuesta estmada se obtee de la ecuacó de regresó de la muestra dode cada coefcete de regresó b se estma por b de los datos de la muestra co el uso del método de mímos cuadrados. Como e el caso de ua sola varable depedete el modelo de regresó leal múltple a meudo puede ser ua represetacó adecuada de ua estructura más complcada detro de certos ragos de las varables depedetes. Téccas de mímos cuadrados smlares també se puede aplcar al estmar los coefcetes cuado el modelo leal volucra dgamos potecas y productos de las varables depedetes. Por ejemplo cuado el epermetador puede pesar que las medas m Y o cae e ua líea recta pero que se descrbe de forma más apropada co el modelo de regresó polomal m Y b b b.. b r r y la respuesta estmada se obtee de la ecuacó de regresó polomal E ocasoes surge cofusó cuado hablamos de u modelo polomal como de u modelo leal. S embargo los estadístcos por lo geeral se refere a u modelo leal como uo e el cual los parámetros ocurre lealmete s mportar cómo etra las varables depedetes al modelo. U ejemplo de u modelo o leal es la relacó epoecal m Y a b que se estma co la ecuacó de regresó

27 Este muchos feómeos e la ceca y e la geería que so heretemete o leales por aturaleza y cuado se cooce la estructura real desde luego se debe hacer u teto para ajustar el modelo presete. La lteratura sobre estmacó por mímos cuadrados de modelos o leales es volumosa. El estudate que quera ua buea eplcacó de alguos aspectos de este tema debe cosultar Classcal ad Moder Regresso wth Applcatos de Myers. Estmacó de los coefcetes. E esta seccó obteemos los estmadores de mímos cuadrados de los parámetros b b b... b medate el ajuste del modelo de regresó leal múltple a los putos de datos m Y... b b b b... y > } dode y es la respuesta observada para los valores... de las varables depedetes....cada observacó... y satsface la ecuacó y b b b. b e o y b b b. b e dode e y e so el error aleatoro y resdual respectvamete asocados co la respuesta y. Al utlzar el cocepto de mímos cuadrados para llegar a las estmacoes b b... b mmzamos la epresó

28 Al dferecar SSE a su vez co respecto a b b b...b e gualar a cero geeramos u cojuto de ecuacoes ormales Estas ecuacoes se puede resolver para b b b... b medate cualquer método apropado para resolver sstemas de ecuacoes leales. Ejemplo Se realzó u estudo sobre u camó de reparto lgero a desel para ver s la humedad temperatura del are y presó barométrca fluye e la emsó de ódo troso e ppm. Las medcoes de las emsoes se tomaro e dferetes mometos co codcoes epermetales varates. Los datos so los sguetes: Ódo troso y Humedad Temperatura Presó Ódo troso y Humedad Temperatura Presó

29 El modelo es: m Y b b b.. b Ajuste este modelo de regresó leal múltple a los datos dados y después estme la catdad de ódo troso para las codcoes dode la humedad es 5% la temperatura 76 y la presó barométrca 9. SOLUCIÓN Para las ecuacoes ormales ecotramos que La solucó de este cojuto de ecuacoes da las estmacoes úcas b b -.65 b.799 b Por tato la ecuacó de egresó es Para 5% de humedad ua temperatura de 76 y ua presó barométrca 9 la catdad estmadaa de ódo troso es.4 Ecuacoes Itroduccó: Ua epresó algebráca es ua combacó de úmeros y símbolos que represeta úmeros. Por ejemplo: 5 y z.

30 U térmo es ua combacó de úmeros y símbolos que represeta úmeros udos por operacoes de multplcacó o dvsó. Por ejemplo: 5 y z so los térmos de la epresó algebraca 5 y z. U factor es cada uo de los compoetes de u térmo. Por ejemplo: 5 y so los factores del térmo 5 de la epresó algebráca 5 y z. Elegdo u factor u coefcete es lo queda del térmo. Por ejemplo: es el coefcete de y z es el coefcete de y z z es el coefcete de y y así sucesvamete. S el coefcete es u úmero se le llama coefcete umérco. Dos térmos se dce que so smlares cuado sólo se dfereca e el coefcete umérco. El grado de u térmo es la suma de los epoetes de las varables. Por ejemplo: el grado del térmo y z es 7. El grado de ua costate es cero. Las ecuacoes so gualdades. Nuca debemos olvdar esto. Debemos dstgur etre detdades y ecuacoes. Cuado dos epresoes so guales para cualesquera valores que se poga e lugar de las letras que fgura e la epresó es ua detdad. Cuado la gualdad sólo se cumple para determados valores de la epresó es ua ecuacó. Por ejemplo: 5 8 es ua detdad y 5 es ua ecuacó. Clasfcacó Las ecuacoes se puede clasfcar de varas formas: a Por el úmero de cógtas. Las ecuacoes puede teer ua o más cógtas. Por ejemplo la ecuacó 4 sólo tee ua cógta la ecuacó - y 5 tee dos y 5y - z 8 tee tres cógtas. Las ecuacoes co ua cogta se puede magar como putos sobre el eje. Las de dos cógtas como curvas e u plao. Las de tres cógtas como curvas e u espaco de tres dmesoes. b Por el grado de la cógta. Las ecuacoes de ua cógta se puede clasfcar por el grado de la cógta el grado es el epoete más alto de la cógta. Hay fórmulas geerales para resolver las ecuacoes de grado a 4 pero las fórmulas so complcadas y dfícles de recordar para grado mayor que. S o se puede descompoer la ecuacó e factores cualquer ecuacó sea del grado que sea se puede resolver de esta forma: Sea la ecuacó: a - a -... a S... so las solucoes de la ecuacó se cumple las sguetes ecuacoes:... -a

31 a a a Utlzado estas ecuacoes tedríamos u sstema de ecuacoes que os permtría obteer las solucoes. c Por el úmero de térmos c Ecuacoes bómcas: Las ecuacoes co dos térmos se llama ecuacoes bómcas. c Ecuacoes polómcas: Las ecuacoes que tee tres térmos se llama trómcas y auque podríamos segur llamádolas e fucó del úmero de térmos se suele llamar polómcas.4.. ecuacoes de poteca.4.. ecuacoes epoecales Se llama ecuacoes epoecales a las ecuacoes e las que e algú membro aparece ua epresó epoecal poteca de base costate úmero y epoete varable y etc. Por ejemplo: a - b 4 5 5

32 c - 7 d e - 5e - 4e -. Icalmete como e cualquer ecuacó se trata de ecotrar algú valor de que cumpla la gualdad. E casos secllos eso se puede lograr por smple observacó. Por ejemplo s se os platea la ecuacó: 4 evdetemete el valor es ua solucó. Claro que o sempre será ta secllo. Pero veamos ya gráfcamete lo que esto sgfca S represetamos la fucó epoecal y y la recta y 4 el valor de la abscsa "" del puto de corte de ambas gráfcas será la solucó de la ecuacó. TIPO I Correspode a este tpo los dos prmeros ejemplos: a - y b E ambos casos a dfereca de los otros dos se observa que los dos membros de la ecuacó cotee u sólo térmo "o hay sumas". TIPO II. Se trata de ecuacoes epoecales e las que e algú membro aparece ua suma de epresoes epoecales que o se puede realzar. Es el caso de las ecuacoes c y d del prcpo. Gráfcamete se puede resolver como e el caso ateror represetado cada membro de la ecuacó como se ve e la patalla sguete co la ecuacó: - 7 dode se observa que la solucó es Solucó umérca :Supogamos la ecuacó - 7. Se trata de cosegur que todas las epresoes epoecales sea guales y lo más secllas posbles. E este caso para lo que basta usar adecuadamete las propedades de las potecas: / 7. Cosegudo esto llamamos a z co lo que os queda la ecuacó z/ z z 7; ecuacó de prmer grado que sabemos resolver Ver el tema de ecuacoes s se desea. Ua vez resuelta se obtee z co lo que volvedo al cambo realzado:. Ecuacó epoecal del tpo que hemos trabajado ates cuya solucó es.

33 TIPO II. EJEMPLO D Utlzado la escea vamos a resolver la ecuacó d del prcpo: d e - 5e - 4e -. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Como el ombre dca so sstemas de ecuacoes dode ua o más de ellas so de tpo epoecal. Los métodos de resolucó umércos so détcos a los epuestos para las ecuacoes. Gráfcamete basta represetar las ecuacoes correspodetes que se puede escrbr tal y como se os preseta

34 Bblografía. Soog West y Hollard: 994 Químca Aalítca. Edt. Mc. Graw Hll.. L. V. Atso y P. J. Harley. A Itroducto to Numercal Methods wth Pascal. Adso-Wesley 98.. R. L. Burde y J. D. ares. Aálss Numérco. Grupo Edtoral Iberoamérca B. W. Char K. O. Geddes G. H. Goet B. L. Leog M. B. Moaga y S. Watt. Maple V Laguage Referece Maual. Sprger-Verlag B. W. Char K. O. Geddes G. H. Goet B. L. Leog M. B. Moaga y S. Watt. rst Leaves: A Tutoral Itroducto to Maple V. Sprger-Verlag racs Shed Rosa Elea D Costazo. Métodos Numércos. McGraw Hll Staley I. Grossma. Algebra Leal. Grupo Edtoral Iberoamercaa Thomas Rchard McCalla. Itroducto to Numercal Methods ad ORTRAN Programmg. Wley Atoo Neves y ederco C. Domíguez. Métodos Numércos aplcados a la geería. CECSA Be Noble y James W. Dael. Algebra Leal. Pretce Hall tercera edto W. Alle Smth. Aálss Numérco. Pretce Hall 988. Actvdades complemetaras.-tomemos la fucó del ejemplo ateror f dode claramete f C. Supogamos que queremos calcular 5 y cosderamos los odos ; ; ; 4..- Co los sguetes datos halle los polomos de terpolacó de Newto de grado: auo b dos c tres; -; ;- ; 4; 47: