Estudio de eventos extremos enfocado a seguros y finanzas

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1 Cuestoes Ecoómcas Vol. 0 No :3004 Estudo de evetos extremos efocado a seguros y fazas KLEVER MEJÍA ADRIANA UQUILLAS * Resume Muchos campos de la ceca modera y la geería tee que ldar co evetos que so poco frecuetes pero que trae cosecuecas muy sgfcatvas. La teoría de valores extremos ofrece las bases para la modelzacó estadístca de tales extremos. El potecal de la teoría de valores extremos efocada a problemas de fazas ha sdo recoocdo recetemete. Este artículo busca troducr los fudametos teórcos de la teoría de valores extremos además de aspectos práctcos de estmacó. Prcpalmete presetamos dos estudos. El uo está basado e la dstrbucó astótca cojuta de las estadístcas de orde extremas. El otro método alteratvo se refere a modelar todos los excesos sobre u umbral usado la dstrbucó geeralzada de Pareto. Abstract May felds of moder scece ad egeerg have to deal wth evets whch are rare but have sgfcat cosequeces. Extreme value theory s cosdered to provde the bass for the statstcal modelg of such extremes. The potetal of extreme value theory appled to facal problems has oly bee recogzed recetly. Ths paper ams at troducg the fudametals of extreme value theory as well as practcal aspects for estmatg. Maly there have bee two ew approaches: Oe approach s based o the asymptotc jot dstrbuto of extreme order statstcs; ad a alteratve approach s model all the excedaces over a hgh threshold usg a Geeralzed Pareto Dstrbuto.. Itroduccó La Teoría de Valores Extremos o es u tema uevo pues se empezó a estudarlo * El presete trabajo es u resume de la tess presetada a la Escuela Poltécca Nacoal preva a la obtecó del título de geeros matemátcos.

2 36 CUESTIONES ECONÓMICAS desde el sglo XIX o obstate es e la actualdad e que ha tomado gra fuerza especalmete e lo que se refere a sus aplcacoes e fazas y seguros. Esta teoría es la que mejor uso hace de cualquera que sea los datos que se tega sobre feómeos extremos y dado que ayuda a aclarar quetudes respecto a lo que es la proyeccó de ocurreca de evetos poco frecuetes su uso es excepcoal e la estmacó de resgos faceros. E el presete documeto trataremos de explcar cómo y cuádo ocurre los evetos extremos se expodrá métodos matemátcos apropados para explcar aquellos evetos que ocurre co probabldad relatvamete pequeña pero que tee ua flueca sgfcatvamete grade e el comportameto de todo el modelo. Los métodos de extremos so de smple aplcacó y fucoa be e estudos de smulacó. E ocasoes esta explcacó teórca o se extede a stuacoes mucho más complcadas tales como modelos de regresó basados e dstrbucoes de valores extremos. Ua de las recetes aplcacoes e el campo de las fazas es el estudo de portafolos. Cosderado por ejemplo u portafolo facero que cotee u úmero determado de resgos dsttos e: boos de goberos accoes títulos de crédto prvados etc. podría estmarse las covarazas del portafolo para obteer la dstrbucó total de la pérddas o gaacas de las versoes. Empero los aalstas de resgos los supervsores y reguladores puede además estar teresados e la fjacó de requermetos mímos de utldad o alteratvamete e determar el límte máxmo para las pérddas potecales. E este últmo caso podría obteerse el valor e resgo (VaR del portafolo aplcado la técca de valores extremos dado u vel de cofaza. Así msmo podría obteerse ua dstrbucó de défct que estma la probabldad de exceder e u valor específco u umbral determado el prmer resultado tee que ver co la estmacó cuatl para ua fucó de dstrbucó estmada. El segudo resultado tee que ver co la estmacó de la fucó de dstrbucó de los excesos. La teoría recomeda para este caso usar la Dstrbucó Geeralzada de Pareto como u modelo paramétrco atural. Se debe advertr que exste ua gra varedad de respuestas que se puede obteer a través de esta teoría; ua vez coocdos la dstrbucó de los valores máxmos (mímos de los datos subyacetes se puede calcular la probabldad de que u valor exceda el máxmo(mímo e u certo período de tempo y por otro lado se podría estmar cuáto tempo habría que esperar ates de que ocurra ua catdad de pérdda alta ya especfcada además saber cuál es la probabldad para ua varable dada la máxma pérdda para que el sguete período de tempo exceda u

3 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 37 certo vel també se podrá saber la probabldad de que la máxma pérdda exceda todas las pérddas aterores. S las varables e estudo descrbe los gresos se puede calcular el volume ecesaro de gresos para el sguete año co el objeto de que cubra los futuros egresos co probabldad lo sufcetemete alta. Exste ua gra catdad de modelos probablístcos para descrbr por vía matemátca evetos extremos e el caso udmesoal. El mudo verdadero s embargo os forma a meudo sobre tales acotecmetos co datos estadístcos: dsmucoes grades de los valores del mercado sobre certo período del tempo o valores máxmos y mímos del redmeto de u portafolo. Estos ejemplos deftvamete se refere a pregutas sobre valores extremos de u certo sstema subyacete de datos de maera que sería absurdo tratar de aplcar efcetemete e estos temas la estadístca clásca... Prcpales Tópcos de la Teoría de Valores Extremos. Fluctuacoes del Máxmo.. Itroduccó Esta teoría es fudametal para muchos resultados aplcados e valores extremos. El resultado prcpal es el teorema de Fsher Tppett el cual especfca la forma de la dstrbucó límte para máxmos cetrados y ormalzados. Itroducmos e este capítulo la ocó de fucó de exceso meda. La msma que se probará que es ua herrameta útl para dstgur las f.d de sus colas derechas y juega u papel mportate e la estmacó de colas. La dstrbucó Geeralzada de Valores Extremos també coduce a la dstrbucó Geeralzada de Pareto... Probabldades límte para máxmos E el trascurso de esta seccó X X X... es ua sucesó de v.a d. o degeeradas co fucó de dstrbucó comú F. E esta seccó vestgamos la fluctuacó de los máxmos de ua muestra. Notamos: M X M max(x... X Los resultados correspodetes a los mímos fáclmete se los puede obteer de los máxmos se los obtee de la sguete maera

4 38 CUESTIONES ECONÓMICAS m(x... X - max(- X... - X. Nota: Posterormete aalzaremos estadístcas de orde superor de la muestra X... X. La fucó de dstrbucó exacta del máxmo M la podemos escrbr como: P(M x P(X x. X x F (x x y Los extremos se da cerca del f superor de la base de la dstrbucó aquí tutvamete el comportameto astótco de M deberá ser descrto de la f.d F e su cola derecha cerca del puto fal derecho. Deotamos por x F sup{ x : F(x <} el puto fal derecho de F. De dode medatamete obteemos para todo x < x F P(M x F (x 0 Y e el caso e que x F <. Teemos para x x F que P(M x F (x p Así M x F cuado dode x F. Ya que la sucesó (M es o decrecete e esto coverge c.s. y de aquí coclumos que M c. s x F (. Este hecho o os da mucha formacó. S embargo ua mayor compresó sobre la magtud del máxmo está dada por el resultado de la covergeca débl para máxmos cetrados y ormalzados. Este es uo de los tópcos mportates de la teoría de valores extremos clásca. Así por ejemplo el teorema fudametal de Fsher Tppett tee el sguete cotedo: S exste costates c > 0 y d tal que c ( M d H d (.

5 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 39 para algua fucó de dstrbucó H o degeerada etoces H debe ser del tpo de ua de las tres dstrbucoes llamadas de valores extremos estádar. Esto es smlar al Teorema Cetral del Límte. Dode la dstrbucó estable es solo posble para leyes de límtes o degeeradas. Cosecuetemete se debe cosderar las probabldades de la forma P( c ( M d x las cuales puede ser escrtas como dode u u (x u x + d. P(M u (.3 Para cotuar co esta teoría comezamos co u resultado elemetal el cual es crucal para eteder la teoría del límte débl del máxmo de ua muestra. Proposcó. Aproxmacó de Posso Dado τ [0 ] y la sucesó (u de úmeros reales las sguetes relacoes so equvaletes F (u τ (.4 P(M u e -τ (.5 Demostracó Cosderamos e prmer lugar que 0 τ. S (.4 se cumple etoces P ( M u F ( u ( F ( u + ο lo que mplca (.5. Iversamete s (.5 se cump le etoces ( 0 Cosecuetemete τ F. u

6 40 CUESTIONES ECONÓMICAS mplcaría que ( M u 0 P ( M u ( F ( u P. Tomado logartmos e (.5 teemos que l ( F ( u τ Como ( x l lm x 0 x ( τ + ο( u esto mplca que F obteedo etoces (.4 S τ y (.4 se cumple pero o se cumple (.5 puede haber ua subsucesó ( tal que ( M u exp{ τ' } P cuado para algú τ '<. co Pero etoces (.5 mplca (.4 y F ( τ' < τ. Smlarmete (.5 mplca (.4 para u cotradcedo (.4 τ. Por (. (M coverge cas seguramete al puto fal derecho x F de la f.d F de aquí 0 P ( M x s s x < x x > x El sguete resultado extede esta clase de comportameto 0. F F. Corolaro. Supogamos que x F < y F (x F - F(x F F(x F - > 0.

7 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 4 Etoces para toda sucesó (u se tee que co ρ 0 o ρ. P(M u ρ Demostracó Como 0 ρ podemos escrbr ρ exp{-τ} co 0 τ. Por la aproxmacó de Posso teemos F u τ cuado. S u < x F para grade teemos ( F ( u F( > 0 y de aquí τ. La otra posbldad es que u x F para todo x F sufcetemete grade co esa suposcó F ( 0. Así τ o 0 dado ρ 0 o. E la sguete caracterzacó teemos u resultado smlar para certas dstrbucoes co puto fal derecho fto. u Teorema.3 Sea F ua f.d co puto fal derecho x F y sea τ [0 ]. Exste ua sucesó (u que satsface F (u τ s y solo s F( x lm. x x F( x F (.6 E este caso creemos que es preferble expoer este ejemplo e vez de su demostracó. Ejemplo.4 Dstrbucó de Posso Etoces P(X x e -λ λ /! 0 λ > 0. F ( F ( F( F ( F (

8 4 CUESTIONES ECONÓMICAS r λ λ!! r r λ + r r + r! la últma suma puede ser estmada por s s λ λ ( + ( +...( + s s s λ / λ / > λ la cual tede a 0 cuado así que F (/ F (- 0. El teorema.3 muestra que la dstrbucó de límte o degeerada para el máxmo o exste y además que el límte de la forma P(M u ρ (0 o exste para la sucesó de costates (u. Este resultado se aplca e partcular a dstrbucoes dscretas co puto fal derecho fto. S las alturas del salto de la f.d o decae lo sufcetemete rápdo etoces la dstrbucó límte o degeerada para el máxmo o exste. Por ejemplo s X es u valor etero y x F etoces (.6 se trasforma e F (/ F (- cuado. Como ya se djo ates el sguete resultado es básco e la teoría de valores extremos clásca. Teorema.5 Teorema de Fsher Tppett ley límte para el máxmo Sea (X ua sucesó de v.a d. S exste costates ormalzadas c > 0 d y algua f.d. H o degeerada tal que d c (M d H (.7 etoces H perteece al tpo de ua de las tres sguetes dstrbucoes:

9 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 43 Fréchet: Φ 0 ( x exp { x } exp{ ( x } Webull: Ψ ( x x 0 x > 0 x 0 x > 0 y y > 0. > 0. Gumbel: Λ(x exp{-e -x } x. La demostracó de este teorema se la puede ecotrar e Resc S.I. (987 Extreme Values Regular Varato e la proposcó 0.3 Sabemos además que para t > 0 y por la covergeca débl exste ua fucó γ(t > 0 δ(t real que satsface y c d d [ t] lm γ ( t lm δ ( t t > 0 c c [ t] [ t] H t (x H(γ(tx + δ(t. (.8 Se puede decr de (.8 que para s t > 0 γ(st γ(s γ(t δ(st γ(sδ(s + δ(t (.9 Defcó.6 Dstrbucó de valores extremos y varables aleatoras extremas Las fucoes de dstrbucó Φ Ψ y Λ como las presetadas e el teorema.5 so llamadas dstrbucoes de valores extremos estádar las varables aleatoras correspodetes varables aleatoras extremas estádar. Las fucoes de dstrbucoes de tpo Φ Ψ y Λ so dstrbucoes de valores extremos; las varables aleatoras correspodetes so varables aleatoras extremas. Las dstrbucoes de valores extremos so precsamete las dstrbucoes maxestables. E partcular los tres casos del teorema ateror correspode a

10 44 CUESTIONES ECONÓMICAS Frechét: Webull: Gumbel: d M d M M / X -/ X d X + l...3 Máxmo domo de atraccó y ormalzacó de costates E esta seccó tratamos de respoder a las sguetes pregutas: Cómo escoger las costates ormalzadas c > 0 y d tal que d c (M d H? (.0 Dada ua dstrbucó de valor extremo H qué codcoes e la f.d. F mplca que el máxmo ormalzado M coverja déblmete a H? Defcó.7 Máxmo domo de atraccó Decmos que la v.a X (la dstrbucó de X perteece al Máxmo Domo de Atraccó de la dstrbucó de valores extremos H s exste costates c > 0 y d tal que (.0 se cumple. Escrbmos X MDA(H (F MDA(H. El sguete resultado es ua cosecueca de la proposcó. y lo usaremos e las sguetes seccoes. Proposcó.8 Caracterzacó del MDA(H La f.d. F perteece al Máxmo Domo de Atraccó de la dstrbucó de valores extremos H co costates ormalzadas c > 0 y d s y solo s lm F ( c x + d lm F ( c x + d H( x x. Cuado H(x 0 el límte es terpretado como. Para todas las dstrbucoes de valores extremos se puede caracterzar su

11 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 45 Máxmo Domo de Atraccó usado el cocepto de varacoes regulares. Recordemos que la dstrbucó de colas F es ua varacó regular co ídce - para algú 0. Escrbmos F R _ s F ( xt lm t t > 0 x F ( x El sguete cocepto defe ua relacó de equvaleca e el cojuto de todas las f.d. Defcó.9 Iversa geeralzada de ua fucó moótoa Supogamos que h es ua fucó o decrecete e los reales. A la versa geeralzada de h se la defe como h (t f{x : h(x t. Defcó.0 Fucó Cuatl La versa geeralzada de la f.d. F F { x R : F ( x t} 0 < t ( t f < es llamada fucó cuatl de la f.d. F. La catdad x t F (t defe el t _cuatl de F. Gráfco No.. Fucó Cuatl empírca F de u cojuto de 0 v.a expoecales estádar X(0

12 46 CUESTIONES ECONÓMICAS..3. Máxmo domo de atraccó de la dstrbucó de Fréchet E esta seccó caracterzamos del máxmo domo de atraccó de Φ para > 0 que es la dstrbucó más usada e las fazas especalmete para fluctuacoes grades de precos. Por extesó de Taylor - Φ (x exp{-x - } x - x De aquí que la cola de Φ decrece como ua ley fuerte. Para F MDA( Φ podemos elegr c por medo de la fucó cuatl más precsamete por c F ( f { x R : F ( x } f { x R : (/ F ( x } ( / F ( (. y d puede ser elegda como 0 auque o ecesaramete. Cabe otar que las f.d. de F coforma el MDA( Φ. Teorema. Máxmo domo de atraccó de Φ La f.d. F perteece al máxmo domo de atraccó de F( x x L( x para algua fucó suavemete varate L. Φ > 0 s y solo s

13 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 47 S F MDA( Φ etoces c M d Φ dode las costate ormalzadas c puede ser elegdas como e (.. Este resultado muestra que el puto fal derecho x F para toda F MDA( Φ y c / L ( para ua fucó suavemete varate L. Demostracó Sea F R para > 0. Co ua adecuada eleccó de c y varacó regular ( c F de aquí F ( 0 cuado c. Para x > 0 c F ( c x ( c x ( c F x F Para x < 0 se ve claramete que F ( c x F ( 0 0 regular requere F(0 <. Por la proposcó.8 F MDA Φ. ( ya que la varacó Iversamete supoemos que lm F ( c x + d ( x costates apropadas c > 0 d. Esto os lleva a Φ para todo x > 0 y lm F ( c / s / s x + d s Φ ( x Φ ( s x s > 0 x > 0. Por el teorema de covergeca a tpos (aexo A.7

14 48 CUESTIONES ECONÓMICAS c s c s / y ( d d / c 0. s (c es ua sucesó que varía regularmete co ídce e partcular c. F Supoemos prmero que d 0 etoces R F ( c x x así que debdo a la proposcó del aexo A.4. El caso de d 0 es más complcado e efecto se tee que mostrar que d /c 0. S esto últmo se cumple se puede repetr el argumeto de arrba reemplazado d por 0. Por otra parte F MDA Φ F R ( dca hasta dóde puede trasladarse s perder la codcó de perteeca a MDA( Φ. Estas clases de dstrbucoes cotee dstrbucoes de colas muy pesadas. Corolaro. Codcó de Vo Mses Sea F ua f.d. absolutamete cotua co desdad f que satsface xf ( x lm > 0 x F ( x (. F etoces F MDA( Φ. Proposcó.3 Propedad de ecerro del MDA( Φ Sea F y G dos f.d. y asumamos que F MDA( Φ co costates ormalzadas c > 0 es decr Etoces lm F ( c x Φ ( x x > 0.

15 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 49 lm G ( c x Φ ( cx x > 0 para algú c > 0 s y solo s F y G so colas equvaletes co Demostracó Codcó sufcete lm F( x / G( x x c. Supogamos que ( x qg ( x F cuado x para algú q > 0. Por la proposcó.8 la relacó límte lm F ( cx Φ ( x x > 0 es equvalete a lm F( c x x para todo x > 0. Para ese x c x cuado y aquí por colas equvaletes G ( c x q e.d. uevamete por la proposcó.8 lm G ( c x exp ahora fjamos c q / y así tedremos lm G ( c x exp F ( c x q x / / { ( q x } Φ ( q x / { ( q x } Φ ( cx El otro setdo de la demostracó se la puede ecotrar e Resc S.I. (986 Valores Extremos Varacó Regular y Procesos Putuales proposcó.9. De los teoremas aterores podemos resumr lo sguete:

16 50 CUESTIONES ECONÓMICAS El MDA( Φ cosste de f.d. que satsface la codcó de Vo Mses y sus f.d. de colas equvaletes...3. Máxmo domo de atraccó de la dstrbucó de Webull Aquí caracterzaremos el máxmo domo de atraccó de ψ para > 0. U hecho mportate auque de gua maera obvo es que todas las fucoes de dstrbucó F e MDA( Ψ tee puto fal derecho x F fto. Y como ya habíamos dcado que Ψ y Φ está estrechamete relacoadas e efecto Ψ (-x - Φ (x x > 0. De aquí podemos esperar que todo MDA( Ψ y MDA( Φ esté estrechamete relacoadas. Se cofrma esto e el sguete teorema. Teorema.4 Máxmo domo de atraccó de Ψ La f.d. F perteece al máxmo domo de atraccó de Ψ > 0 s y solo s x F < y F ( x F x - x - L(x para algua fucó suavemete varate L. S F MDA( Ψ etoces c (M x F d Ψ dode la costate ormalzada c puede ser elegda como c x F - d x F. F ( - y Su demostracó se puede ecotrar e Resc S.I. (987 Extreme Values Regular Varato Debdo a que las F MDA( Ψ preseta el puto fal derecho fto e alguas ocasoes o es ua buea opcó aplcar a modelos de fazas o modelos

17 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 5 de seguros ya que estos modelos o debe teer lmtacoes auque e la práctca todo tee límte. Aterormete hablamos de la codcó de Vo Mses para extedemos a Ψ. Φ ahora la Corolaro.5 Codcó de Vo Mses Sea F ua f.d. absolutamete cotua co desdad f que es postva e algú tervalo fto (z x F. S ( x ( lm F x f x > 0 x x F F ( x (. W etoces F MDA( ψ. Aplcado la trasformacó F*(x F(x F x - ser reformulada como sgue. x > 0 la proposcó.3 puede Proposcó.6 Propedad de ecerro del MDA( Ψ Sea F y G dos f.d. co puto fal derecho x F x G < y asummos que F MDA( Ψ co costate ormalzada c e.d. etoces lm F ( c x + x Ψ ( x x < 0. F lm G ( c x + x Ψ ( cx x < 0 para algú c > 0 s y solo s F y G so colas equvalete co F

18 5 CUESTIONES ECONÓMICAS lm F ( x/ G ( x c x x F. Notemos que el teorema de represetacó para fucoes suavemete varates mplca que toda F MDA( Ψ es cola equvalete de ua f.d. absolutamete cotua que satsface (. W...4 La dstrbucó geeralzada de valores extremos y la dstrbucó geeralzada de Pareto Aterormete habíamos presetado que la dstrbucó de valores extremos estádar provee solo las leyes límtes o degeeradas para máxmos trasformados de v.a d. La represetacó u - paramétrca de los tres casos estádar e ua famla de dstrbucoes resultará ser útl. Ellos puede ser represetados troducedo u parámetro tal que - > 0 correspode a la dstrbucó de Fréchet 0 correspode a la dstrbucó de Gumbel Λ - - < 0 correspode a la dstrbucó de Webull Φ Ψ Defcó.7 Represetacó de Jeso Vo Mses de las dstrbucoes de valores extremos: La dstrbucó geeralza de valores extremos (GVE. Defmos la f.d. H por H exp ( x exp / { ( + x } { exp{ x } s 0 s 0 dode + x > 0. Aquí la base de X > H correspode a para > 0

19 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 53 X < para < 0 X para 0. H es llamada la dstrbucó geeralzada de valores extremos estádar (GEV. Cosderamos la dstrbucó H o como el límte de terpretacó H ( x exp srve como ua represetacó para todo. / { ( + x } + x > 0 H cuado 0. Co esta El sguete teorema es uo de los resultados báscos de la teoría de valores extremos. De ua maera aalítca da la formacó esecal proporcoada por el máxmo domo de atraccó. Prmero recordamos la ocó de la fucó cuatl F de F y defmos U(t F ( t - t > 0. Teorema.8 Caracterzacó del MDA( H Para los sguetes lterales so equvaletes: a F MDA( H. b Exste ua fucó postva medble a(. tal que para + x > 0 lm u x F F ( u + xa( u F ( u ( + x x e / s s 0 0 (.3 c Para x y > 0 y

20 54 CUESTIONES ECONÓMICAS U( sx U ( s lm s U( sy U ( s x y l x l y s s 0 0. (.4 La demostracó de este teorema se la puede ecotrar e Haa L(984 E Varacó Regular y Sus Aplcacoes Nota: la codcó (.3 tee ua teresate terpretacó probablístca. E efecto sea X ua v.a co f.d. F MDA( H etoces a (.3 se la reformula como X u lm P > x X u x F ( u ( + x > u x e / s s 0 0. (.5 de aquí (.5 da ua dstrbucó aproxmada de excesos sobre u umbral u. El factor escalar apropado es a(u. Esta terpretacó será crucal e muchas aplcacoes. E esta ota usamos la ocó de exceso. La sguete defcó habla más de esto. Defcó.9 Fucó de Dstrbucó de Exceso fucó de exceso meda Sea X ua v.a co f.d. F y puto fal derecho x F. Para u < F u (x P(X u x X > u x 0 (.6 x F u fjo es la fucó de dstrbucó de exceso de la v.a X sobre el umbral u. La fucó e(u E(X u X > u es llamada fucó de exceso meda de X. Gráfco No.. Fucó de exceso meda

21 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 55 ME_PLOT e(u u Este gráfco represeta la fucó de exceso medo para dsttos valores del umbral u El exceso sobre el umbral juega u papel mportate e muchos campos. Tabla No..0 Fucó de exceso meda para alguas dstrbucoes estádar Pareto Burr Loggamma Logormal Betader-tpo-I Betader-tpo-II + u > u + o( τ u + o ( σ u l u µ u + β l u β u ( τ > ( > ( + o(

22 56 CUESTIONES ECONÓMICAS Webull u r + cτ λ Expoecal ( o( Gamma β + u β Normal Trucada u ( + o( + o u Ejemplo. Cálculo de la fucó de exceso meda Usado la defcó de e(u y la tegracó por partes las sguetes fórmulas so fácles de obteer. Ellas so útles para calcular la fucó de exceso meda e casos especales. Supogamos por facldad de represetacó que X es u v.a co f.d. F y esperaza fta. Etoces e( u xf u ( x u df ( x/ F ( u F ( u x F u F ( x dx 0 < u < x F. (.7 sempre que F sea cotua x e(0 F ( x exp > 0. ( du x e x e( u 0 (.8 Se sgue medatamete de (.8 que ua f.d. cotua es úcamete determada por su fucó de exceso meda. Defcó. La dstrbucó Geeralzada de Pareto (DGP Defmos la f.d. G por

23 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 57 ( + x G ( x x e / s s 0 0 (.9 dode x 0 s 0 0 x -/ s < 0. G es llamada la dstrbucó Geeralzada de Pareto estádar (DGP. Se puede troducr la famla de localzacó y escala ateror por (x v/ β para v β > 0. G reemplazado el argumeto de x Como e el caso de H o G o puede ser també terpretado como el límte de cuado 0. Etoces para ecoomzar la otacó otaremos ;v β G / x G ; β ( x + x D( β β (.0 dode x D( β [ 0 [ 0 β / ] s 0 s < 0. sempre que X tee ua DGP co parámetros y β esto es eteddo como que X tee f.d. G. ; β La dstrbucó de Pareto geeralzada ajustada es uo de los coceptos más útles e la estadístca de evetos extremos. Teorema.3 Propedades de la DGP a Supogamos que X sgue ua DGP co parámetros y β. Etoces EX < s y

24 58 CUESTIONES ECONÓMICAS solo s <. E el últmo caso r E + X r > / β + r E l + β X! úmero atural r β EX ( G; β ( x ( r + / > 0. ( r + ( r + s < /r co r etoces EX r β r+ b Para todo F MDA( H s y solo s Γ( r r!. Γ( + r lm sup Fu ( x G ; β ( u ( x 0 u x F 0< x< xf u para alguas fucoes postvas β. c Supogamos x D(β etoces (. G β G ( x β + x ( x G β + x ( x. (. d Supogamos que N es Po(λ depedete de la sucesó d. (X co ua DGP co parámetros y β. Escrbmos M max(x X... X N. Etoces / x P( M N x exp λ + H; u β ψ ( x

25 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 59 dode µ ( λ β y Ψ βλ. e Supogamos que X sgue ua DGP co parámetros < y β. Etoces para u < x F 0. ( ( > + + > β β u u u X u X E u e Demostracó a y c sgue por verfcacó drecta. b Prevamete hemos probado e el teorema.8 que ( ζ H MDA F s y solo s 0 ( ( lm ( x G x F u u x u F β dode β(u a(u. Porque la DGP es cotua la uformdad de la covergeca se obtee 0 ( ( sup lm ( ; 0 < < x G x F u u u x x x u F F β para alguas fucoes postvas β. d medatamete obteemos { } 0. ( exp ( exp exp (! ( / / βλ λ β λ λ β λ λ β β λ x x G x x G e x M P

26 60 CUESTIONES ECONÓMICAS el caso 0 reduce a P ( M ( x β lλ / β x exp{ e }. e este resultado sgue medatamete de e( u xf u F ( u ( x u df ( x / F ( u xf u df( x x > Vetajas y desvetajas del modelo de Pareto La dstrbucó de Pareto es muy útl e muchas stuacoes. Sus prcpales vetajas so las sguetes: La dstrbucó está caracterzada co u solo parámetro. Esto hace más fácl obteer ua tucó de su flueca. Matemátcamete ésta es fácl de maejar. Todos los problemas puede ser calculados co la ayuda de fórmulas relatvamete smples. Se usa exactamete y hay ua buea catdad de coocmetos e típcos valores de parámetros para certos perfles. S embargo la dstrbucó de Pareto tee ua desvetaja: La dstrbucó de Pareto tee sólo u parámetro. Así esto o es muy flexble al aproxmar ta cerca como sea posble la dstrbucó de pérdda que actualmete ocurre e el portafolo. Frecuetemete por ejemplo hay dstrbucoes de pérddas e el mudo real e las cuales tamaños de pérddas medaas so más probables que pérddas grades o pequeñas. Esto sgfca que las fucoes de dstrbucó de aquellas dstrbucoes tee ua flexó o putos de retoro. La dstrbucó de Pareto o puede satsfacer sus requermetos porque la probabldad decrece cotuamete coforme el tamaño de la pérdda crece.. Fluctuacoes de las estadístcas de orde.. Prelmares

27 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 6 A cotuacó se extede la teoría estudada e la seccó. al comportameto comú de muchas estadístcas de orde superor recalcado que estos provee formacó e la cola derecha de ua fucó de dstrbucó. Se habla de las propedades de las estadístcas de orde de u proceso homogéeo de Posso. Además se realza ua pequeña sítess de lo que so los extremos para datos depedetes y la Teoría de Valores Extremos para sucesoes estacoaras. A cotuacó se defe el cojuto ordeado X... X Dode X m (X...X y X M max(x...x. La varable aleatora X es llamada la estadístca de orde superor ésmo. Para x troducmos la fucó de dstrbucó empírca ( x card{ : X x} I{ } F x dode I A es la fucó dcadora del cojuto A. Ahora X x I X < X x s y sólo s { x } > lo que mplca que P ( X x P( F ( x >. Para u cojuto X... X se ota la fucó de cuatl empírca por Partcularmete F. F (t X para < t Nota: ( t f { x R : F( x t} 0 < t <. para... F Es la fucó cuatl de la fucó de dstrbucó F. Proposcó.4 Fucó de Dstrbucó de las estadístcas de orde superor

28 6 CUESTIONES ECONÓMICAS ésmo. Para... F es la fucó de dstrbucó de X. Etoces ( F es el complemeto de F. F - F r r a F ( x F ( x F (. x r 0 r b S F es cotua etoces F x ( x f ( z df ( z dode f! ( x x (! ( F! ( x F ( ; f es la desdad de F co respecto a F. Demostracó a Para N se defe B I { X > x}. Es decr que B es ua suma de varables d. de Beroull co probabldad de éxto EI{ } ( ( X > x P X > x F x. De esto se sgue que para todo x F (x P( B <

29 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 63 r 0 P ( B r r r F ( x F ( x. r 0 r b Usado la cotudad de F calculamos x! (! (! F! (!(! F ( x ( z F ( t ( z df( z t dt r r F ( x F ( x F ( x. r 0 r Teorema.5 Desdad cojuta de las estadístcas de orde superor S F es absolutamete cotua co desdad f etoces f! X (... F... x x x... X ( <! ( x f ( x x <. Lema.6 Trasformacó Cuatl Sea X...X d. co fucó de dstrbucó F. Además sea U...U v.a d. uformemete e (0 y deotadas por U <...< U las correspodetes estadístcas de orde. Etoces se obtee los sguetes resultados: F U X. (.. Para todo

30 64 CUESTIONES ECONÓMICAS ( ( F ( U F ( U X... X La v.a F(X tee ua dstrbucó uforme e (0 s y solo s F es ua fucó cotua. Observacó: La trasformacó cuatl lga la dstrbucó uforme a otra dstrbucó F. Ua aplcacó medata de este resultado es la geeracó de úmeros aleatoros. Así por ejemplo los úmeros aleatoros expoecales puede ser obtedos de úmeros aleatoros uformes utlzado la trasformacó E - l( - U. Teorema.7 Ley límte para el úmero de excedetes Supogamos que (u es ua sucesó e tal que F ( u τ [ 0 ] τ cuado. Etoces para algú Demostracó lm P r τ r! τ ( B e r 0 0 Para τ (0 es smple por el teorema de límte de Posso como dcamos aterormete. Para τ 0 teemos P ( B P ( B 0 ( F ( u + o. Para τ teemos para u θ > 0 arbtraro que que la f.d. bomal es decrecete e θ obteemos F u θ para grade. Ya ( P( B r r θ θ. r

31 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 65 Así para fja lm sup P ( B e θ r 0 r θ r! 0 θ. de aquí P(B 0 cuado r τ r! τ Para lo cotraro supoemos que lm P( B e o pero F u o tede a τ. ( r 0 se cumple para Etoces exste u τ τ e [0 ] y ua subsucesó ( tal que ' cuado y así B coverge déblmete a ua v.a de F( τ u Posso co parámetro τ cotradcedo a lm P τ ( B e N0 r 0 r τ r! Corolaro.8 Dstrbucó límte de ua estadístca de orde superor Supogamos F MDA(H co costates c > 0 y d. Se defe r ( l H ( x ( H ( x H ( x x. Etoces r 0 r! para cada se sgue que ( ( ( X d x H ( x. lm P c (.3 Por otro lado s para algú ( c ( X d x G( x lm P x

32 66 CUESTIONES ECONÓMICAS para ua fucó de dstrbucó G o degeerada etoces G H ( para algua dstrbucó de valor extremo H y (.3 se cumple para todo. Aplcacó.9 Estadístcas de orde superor de la dstrbucó de Gumbel Por tegracó parcal H ( ( x ( t e t dt Γ l H ( x (! l H ( x x dode Γ deota la fucó Gamma completa. E partcular s H es la dstrbucó de Gumbel etoces Λ ( ( x! ( x e e t t dt P E > e x para E...E v.a d expoecales estádar. Así s Y ( tee f.d. Y ( d l E. ( Λ etoces La dstrbucó límte de la ésma estadístca de orde superor fue obteda cosderado el úmero de excedetes del vel u de X...X. Teorema.30 Dstrbucó límte de la estadístca de orde -superor e u cojuto aleatoramete dexado Supogamos que fucó de dstrbucó F Z y que p N ( t / t Z se cumple para ua v.a o egatva Z co lm F ( c x + d l H ( x x se satsface. Etoces

33 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO lm 0 E A SEGUROS Y FINANZAS ( ( X d x P c Γ N ( ( zl H ( x df ( z Z [ Γ ( l H ( x ] Z x 67 Demostracó ( Escrbmos B I { X > c x+ d } obtee que P ( N j ( c ( X d x N ( P( B N ( 0 ( N ( ( ( F c x + d F ( c x + d j aplcado la probabldad codcoal se ( ( + ορ ( F( cx + d P H N N Z 0 ( x 0 N ( 0! Z l H x! ( ( Z ( l H ( x! N ( ( exp ( l ( F( c x + d e. Z l H ( x Luego tomado las esperazas se completa la demostracó..3 Sítess de la Teoría de Valores Extremos para sucesoes estacoaras Teorema.3 Ley límte para el máxmo de ua sere estacoara d Supogamos que c ( M d G para algua dstrbucó G y costates apropadas c > 0 d. S se cumple la codcó D(c x + d para todo real x etoces G es ua dstrbucó de valor extremo.

34 68 CUESTIONES ECONÓMICAS Demostracó Recalcamos e prmer lugar de lo estudado aterormete que F es ua dstrbucó de valor extremo s y solo s F es max estable. Luego P ( M c x + d P ( M c x + d + ο ( F ( x para todo y todo puto de cotudad x de F. Por otro lado P ( M c x + d F( x Por la covergeca del teorema del aexo A.7 exste costates c 0 y d ~ tal que ~ > c l m c~ c ~ y l m d d d c para Y...Y v.a d. co f.d. H d ~ max(y...y c Y d. La codcó D(u es ua codcó más débl que muchas de las formas cláscas de restrccoes de depedeca. D(u : Para eteros p q y + ~ p <... < < j <... < j q tal que j - p l se tee que P max X u P max X u P max X u A UA A A... p A {... p } l 0 cuado dode A { } y para algua sucesó l l o(. l

35 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 69 Ahora se quere ecotrar codcoes sufcetes para la covergeca de las probabldades P(M u para ua sucesó de umbrales dada (u que satsface para algú [ 0 τ. ( τ F (.4 u Desafortuadamete o se puede reemplazar ( M ~ lo que se puede dervar es por (M sobre D(u todo lm f P τ ( M u e A cotuacó se troduce ua seguda codcó técca D (u : La relacó lm lm sup [ / ] j P ( X > u X > u j 0 D (u es ua codcó de at agrupameto e la sucesó estacoara (X. Hay que otar que D (u mplca que [ / ] E I { X } [ / ] { > > } 0 > u X j > u EI X u X j u < j [ / ] j Teorema.3 Dstrbucó límte del máxmo de ua sere estacoara Sea (X ua sucesó estacoara co ua fucó de dstrbucó F MDA(H para algua dstrbucó de valor extremo H exste costates c > 0 d tal que lm F ( c x + d l H ( x x Asumedo que para x las sucesoes (u (c x + d satsface las codcoes D(u y D (u. Etoces la gualdad ateror es equvalete a cada ua de las sguetes relacoes:

36 70 CUESTIONES ECONÓMICAS c c ( M d H d ( M ~ d H. d Para falzar co este capítulo presetamos a cotuacó u lema dode se detalla las formas de chequear las codcoes D(u y D (u. Lema.33 estacoara Codcoes para D(u y D (u para ua sucesó gaussaa Asumamos que (X es Gaussaa estacoara y sea (u ua sucesó de úmeros reales. Supogamos que el lado derecho de P u ( M u Φ ( u cost ( h exp ( h + γ h cero cuado y sup ( h <. S adcoalmete lm sup Φ( u < γ tede a h γ Etoces D(u se cumple. 3 S γ ( l 0 y sup Φ( u <. Etoces D (u se cumple. lm etoces ambas codcoes D(u y D (u so satsfechas. γ l es llamada codcó de Berma y esta codcó La suposcó ( 0 es bastate débl especalmete e el caso gaussao..4 Estudo de los extremos por medo de procesos putuales La técca de los procesos putuales os da ua guía detro de la estructura de las varables límte y procesos límte los cuales ocurre e la Teoría de Sumas e la Teoría de Valores Extremos y e el aálss de Seres de Tempo. Medate dsttos métodos se puede ecotrar exceletes resultados e excedetes límtes de las estadístcas de orde superor covergeca cojuta del máxmo y mímo récord etc.

37 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 7 Para compreder de lo que trata las téccas de los procesos putuales es ecesaro coocer Aálss Fucoal Teoría de la Medda y certos argumetos de covergeca débl. E esta seccó hemos tratado de dsmur al mímo estos aspectos para que la compresó sea mayor. Ua dea smple de u proceso putual N es tomarlo como ua dstrbucó aleatora de putos X e el espaco. Para ua cofguracó dada (X y u cojuto A N(A cueta el úmero de X A. Es coveete magar la dstrbucó de N como las probabldades P(N(A...N(A m m de todas las posbles eleccoes de cojutos bueos A...A m y todos los eteros o egatvos... m. Los procesos putuales más mportates so aquellos para los cuales N(A sgue ua dstrbucó de Posso. Esto coduce a la medda aleatora de Posso N como 0. ua geeralzacó del clásco proceso homogéeo de Posso e [.4. Notas báscas sobre los procesos putuales.4.. Defcó Cosderemos ua sucesó (X de vectores aleatoros e el espaco de estado E dode A E. Naturalmete N(A N(Aω es aleatoro para u cojuto dado A y sobre certas codcoes N(.ω defe ua medda aleatora de coteo co putos X e ua σ - álgebra ε de subcojutos de E. El espaco de estado E es u subcojuto de u espaco eucldao de dmesó fta E está equpado co la σ - álgebra ε de los cojutos borelaos geerados por los abertos. Es coveete escrbr u proceso putual usado la medda de drac ε x para E: x ε x (A s 0s x A x A A ε Para ua sucesó (x e E

38 7 CUESTIONES ECONÓMICAS m x : x A ( A ( A card{ : x A} ε A ε defe ua medda cotable e ε la cual es llamada medda putual s m(k < para todos los cojutos compactos K E. M p (E es el espaco de todas las meddas putuales e E provstas de ua σ - álgebra apropada M p(e. Los procesos putuales que estamos teresados puede escrbrse a meudo de la forma N ε para ua sucesó (X de vectores aleatoros d dmesoales. Etoces para cada ω Ω X ( A ε ( ( A N ω defe ua medda putual e ε. ω X A ε Ejemplo.34 Procesos putuales de excedetes Estos procesos está muy relacoados co la Teoría de Valores Extremos. Sea u u úmero real y (X ua sucesó de v.a. Etoces el Proceso Putual de Excedetes N (. (. I { }... ε (.5 X > u co E ( ] Por ejemplo tomado todo el tervalo ( 0 ]. Etoces 0 cueta el úmero de excedetes del umbral u de la sucesó X...X.

39 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS N ( 0 ] card{ : 0 < y X > u} card{ : X > u}. 73 Se puede ver medatamete la relacó estrecha que exste co la TVE. Por ejemplo sea X la ésma estadístca de orde más grade del cojuto X...X. Etoces { N ( 0 ] 0} { card{ : X > u} 0} {Ngú X excede u} (.6 {max(x...x u} { N ( 0 ] < } { card{ : X > u} } < {Meos de etre los X excede u} {X u}. (.7 Notamos que el proceso putual de excedetes puede ser escrto de la forma co E ( ] ( N (. (.... X 0 u b dmesoal. ε (.8.4. Procesos putuales de excedetes E esta seccó se mostrará la covergeca débl de ua sucesó (N de los procesos putuales de excedetes a u Proceso de Posso Homogéeo N e el 0. espaco de estado E ( ] La sucesó (X es supoe que es d. o estrctamete estacoara que satsface dos suposcoes D y D Seccó Caso IID Asumamos que las X so v.a d. y sea (u ua sucesó de umbrales reales. De la proposcó. se tee que para cualquer τ [0 ] la relacó P exp τ se matee s y sólo s ( { } M u

40 74 CUESTIONES ECONÓMICAS F ( u E I{ X u } > τ (.9 Esta últma codcó asegura que hay e promedo de aproxmadamete τ excedetes sobre el umbral u. Teorema.35 Covergeca débl de procesos putuales de excedetes caso d. Supogamos que (X es ua sucesó de v.a d. co fucó de dstrbucó comú F. Sea (u ua sucesó de umbrales tales que (.7 se cumple para algú τ (0. Etoces el proceso putual de excedetes N coverge déblmete e 0 co tesdad τ. N es M p (E a u proceso de Posso Homogéeo N e E ( ] MAP(τ. dode. deota la medda de Lebesgue e E. Demostracó Asummos que el proceso límte N es u Proceso Homogéeo de Posso e 0. Aplcado el Teorema de Kalleberg (aexo A.8. [ Notamos que para A( b] a ( b] N a la v.a ( A ε ( A I { X > u } a< [ b] [ a] b I I + { X > u } { X > u } es bomal co parámetros ([ b ] [ a] F ( EN ( A (([ b] [ a] F ( u ( b a lo que prueba que EN ( A EN(A. u.asumedo (.9 ( ( τ τ ( b a EN( A

41 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 75 Así basta probar que ( N ( B 0 P( N( B 0 bomal y como se cumple (.9 teemos que P P. Como N (A es [ b] [ a ( N ( ] A 0 F ( u exp{ ([ b] [ a] l ( F ( u } exp{ τ ( b a }. Recordado la defcó del cojuto B del Teorema de Kalleberg y cosderado la depedeca de las X coclumos del resultado ateror que P ( N ( B 0 P( N ( c d ] 0... P max X j u... [ c ] < j [ d] P P [ c ] < j [ d ] u ( N ( c d ] 0 exp max { τ ( d c } X j Por otro lado por la propedad de Posso de N P Lo que prueba el teorema. d c ( N( B 0 exp{ τ B } exp τ ( Ejemplo.36 Cotuacó del ejemplo.34 Ua aplcacó de este últmo Teorema juto co las ecuacoes (.6 y (.7 os lleva a que

42 76 CUESTIONES ECONÓMICAS P ( X u P N ( 0 ] τ ( < ( ( 0 ] < P N e Esto os permte dervar la dstrbucó límte de la ésma estadístca de orde dado F e el MDA e ua dstrbucó de valor extremo. S se tee dos sucesoes de v.a (X (Y d. supoedo que Y es postva : T t defe co probabldad y fjado T Y Y. Etoces N (t card { } u proceso de reovacó. Aquí cosderamos el proceso putual de excedetes correspodete ( (. (. I { X > u } 0 τ! N ~ N ε (.30 T e el espaco de estado E ( 0 ]. La Ley fuerte de los grades úmeros mplca que T c. s [ x ] xey xλ para x ( 0 ] y etoces se puede esperar u resultado smlar al del teorema Caso estacoaro E esta seccó se hablará del problema de ecotrar la dstrbucó límte del máxmo M y de las estadístcas de orde superor de u cojuto de ua sucesó estrctamete estacoara (X. Asummos que las codcoes D(u y D (u se matee para la sucesó de umbrales (u. La codcó D (u tee ua terpretacó tutva e el leguaje de los procesos putuales: S (u es escogda F τ 0 etoces exste u promedo aproxmado de u para satsfacer ( ( τ excedetes sobre u para X...X y así τ / etre X...X [/]. Teorema.37 estacoaro. Covergeca débl de procesos putuales de excedetes caso Supogamos que (X es estrctamete estacoaro y (u es ua sucesó de umbrales tal que (.9 D(u y D (u se cumple. Sea (N el proceso (.5.

43 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 77 Etoces tesdad τ. N d N e M p(e dode N es ua MAP homogéea e E ( ] 0 co Demostracó Aplcamos el Teorema de Kalleberg (aexo A.8. La prueba de que ( A EN(A EN se la realza de la msma forma que e la demostracó del teorema.35. Etoces basta probar que ( N ( B 0 P( N( B 0 P hacedo uso de D(u y D (u. Por smplcdad os restrgmos a los cojutos B ( c d ] ( c d ] co 0 < c < d < c < d. El caso geeral puede ser demostrado por aalogía. Tomado ( b] ( 0 ] obteemos que P a. Usado la estacoaredad de (X y el Aexo A.9 ( N ( a b] 0 P exp max [ b] [ a] X u { τ ( b a } P( N( a b] 0 (* De la codcó D(u coclumos que P ( N ( B 0 P( N ( c d ] 0 N ( c d ] 0 P P max c < d max c < d X X u u P max c < d X max c < d u X u +ο (

44 78 CUESTIONES ECONÓMICAS La dstaca etre dos cojutos {[ c ] [ d ]} y A {[ c ] + [ d ]} A +... excede e (c - d > l (... ο lo que mplca que 0. Así por (* ( N ( B exp{ ( d c + ( d c } P N( B P τ l ( 0 0 Así por el teorema de Kalleberg se prueba este teorema. Ejemplo.38 Probabldades límte de las estadístcas de orde superor Supogamos que las suposcoes del teorema ateror se matee. Etoces P ( X u P N ( 0 ] τ ( < ( ( 0 ] < P N e Ahora es medato que osotros podamos dervar la dstrbucó límte de ua estadístca de orde superor X por la forma tradcoal. Sea ( X ~ 0 τ! ua sucesó asocada d. tal que X y X ~ tee la msma dstrbucó y se deota sus estadístcas de orde e la vía atural por X ~. El teorema del aexo A.5 muestra la semejaza etre el comportameto astótco de los extremos de la sucesó estacoara (X y de ua sucesó asocada d. ( X ~. Lo mportate ahora es geeralzar estos resultados a u vector fto de estadístcas de orde. Esto es obteer las probabldades de la forma P de sucesoes de úmeros reales ( ( ( X u X u u... ( ( u (.3...

45 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 79 Para esto es apropado troducr u vector de procesos putuales de excedetes uo para cada sucesó de umbrales. Como los excedetes de los veles ( u está muy relacoados uos co otros ya que u excedete de u (r es automátcamete u excedete de u (r+ es posble por u argumeto geométrco el reducr el problema de excedetes a la covergeca débl de u proceso putual sobre ( 0 ]. Ates de esto se troduce ua codcó aáloga a D(u dmesoal. Supoemos dadas las sucesoes de (.3. Codcó D (u : Para p q fjos y para eteros cualquera p <... < < j <... < tal que j - p l se tee que j q ( sm ( sr ( m u m... p X jr u r... q ( sm ( sr P( X u m... p P X u P X m ( r... q para cualquer etero s l s r y dado que l 0 cuado para algua sucesó l l o(. No es ecesaro exteder la codcó D (u pues se puede asumr que D (u ( se matee separadamete para cada... Así podemos escrbr como e la Seccó.. jr l B ( I ( { }.. X > u al úmero de excedetes de u ( para X...X. Teorema.39 estacoaro. Covergeca débl cojuta del úmero de excedetes caso

46 80 CUESTIONES ECONÓMICAS Sea (X ua sucesó estrctamete estacoara y supogamos que las sucesoes (u ( ( satsface (.3 y que F ( ( 0 Asummos que las codcoes D (u ( y D (u se satsface. τ... u P τ Etoces para l...l 0 ( ( ( ( B l B l + l... B l l l l l ( τ τ ( τ τ l!... l! l e τ. Corolaro.40 estacoaro. Ley límte cojuta de las estadístcas de orde superor caso Asumamos que F MDA(H co costates ormalzadas c > 0 y costates cetradas d. Además las codcoes D (u y D (u so satsfechas por todas las sucesoes u c x + d. Etoces la relacó límte d ( ( c ( X d ( Y se cumple dode (Y (...Y ( es la varable extrema dmesoal correspodete a la dstrbucó de valor extremo H. 3. Prcpales herrametas estadístcas para evetos extremos e fazas 3. Prelmares El problema esecal cosste e determar la dstrbucó de los valores mímos y máxmos e muestras de tamaño obtedas al azar de ua certa dstrbucó subyacete dada F(x. El puto mportate radca e que los extremos o está fjos pero so varables estadístcas uevas que depede de la dstrbucó subyacete y del tamaño muestral. E muchos problemas práctcos de geería o se cooce la forma exacta de la dstrbucó y tee que platearse supuestos co respecto a su forma. E geeral so tres las dstrbucoes estádar que sgue los valores extremos: Webull Fréchet y Gumbel.

47 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 8 E geeral cuado la fucó subyacete de desdad de probabldad es f(x y la fucó de dstrbucó acumulatva es F(x etoces la dstrbucó del valor mímo e muestras de tamaño está dada por la fucó de desdad de probabldad h ( x f ( x [ F ( x ] y la fucó de dstrbucó acumulatva correspodete es H ( x la moda de h (x es la solucó de la ecuacó [ F( x ] d h ( x 0 dx S la expereca muestra que los logartmos de ua sere de pcos está dstrbudos de maera aproxmadamete ormal que es lo que sucede e geeral e el caso de corretes fluvales la probabldad de exceder u flujo Q (eveto coocdo como excedeca es P( Q T r σ y π y e ( y y / σ y dy dode y log x (x varable orgal y T r es el período de retoro y se defe como el promedo esperado de tempo etre evetos extremos específcos. 3. Aálss exploratoro de datos Es ecesaro mrar los datos ates de ocuparse de los aálss estadístcos. E la actualdad co la facldad que os brda los sstemas de computacó la exploracó de los datos gráfcos se ha torado más y más mportate. E la seccó sguete dscutremos alguos de los métodos gráfcos más usados. 3.. Gráfcos de Cuatl y Probabldad

48 8 CUESTIONES ECONÓMICAS Dado u cojuto de datos a ser aalzados usualmete su aálss empeza co u hstograma uo o más gráfcos de caja u gráfco de la fucó de dstrbucó empírca; e el caso multdmesoal u gráfco de dspersó e forma de matrz. E el tema del proyecto os restrgmos s embargo al caso udmesoal y co ua preva dscusó al problema. Posterormete se ecuetra ua fucó de dstrbucó F que sea u bue modelo para los datos d. X X... X y se defe el cojuto ordeado X... X. La teoría básca que caracterza los gráfcos de probabldad es la trasformacó cuatl del lema.6 el cual mplca que para F cotua las v.a U F(X para... so d. uformes e (0. Sobre todo d ( F ( X... ( U... de esto se sgue que + EF( X També ote que F (X ( + / dode F es la fucó de dstrbucó empírca de F. Gráfco No. 3.

49 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 83 Este gráfco es llamado de probabldad (PP_Plot y se lo costruye grafcado F ( X + : +... s embargo más comú es grafcar + F :... + X (3. que ormalmete es coocdo como el Gráfco Cuatl (QQ_Plot. E ambos casos la aproxmacó leal del trazo es justfcada por el teorema de Glveo-Catell. Exste varas varedades de (3. del tpo {( X F ( p :... } (3. dode p es ua certa poscó del trazo. Normalmete so elegdos p + δ + γ co (δ γ. E la mayoría de casos tomamos (3. o (3. co

50 84 CUESTIONES ECONÓMICAS + p 0.5. Para la dstrbucó de Gumbel x ( x exp{ e } Λ x el método es aplcado fáclmete y lleva a la llamada grafcacó doble logarítmca. Supogamos por el mometo que X X... X provee de Λ. Co este f tomamos el cojuto ordeado y grafcamos X así Λ (p - l(- l p dode p es ua poscó e el gráfco como lo hemos dscutdo aterormete. S la dstrbucó de Gumbel provee u bue ajuste a uestros datos etoces este QQ_Plot debería verse más o meos leal. Gráfco No. 3. QQ_Plot QQ_Plot X E este gráfco se utlzó la trasformacó de Gumbel. S embargo los datos tee parámetros de escala y localzacó dode e alguos caso µ y ψ so la meda y la desvacó estádar de X. U QQ_Plot usado estos datos debe ser aú leal co pedete ψ e terseccó µ. Por ejemplo

51 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 85 usado regresó leal se puede deducr ua buea estmacó de los parámetros. Hemos cosderado solo famlas de escala y localzacó. E el caso de las dstrbucoes de valores extremos geeralzados (VEG (defcó.7 H µ ψ x µ exp + ψ / Φ ( + ( x µ /( Ψ Λ(( x µ / ψ ( ( ( x µ /( + para para para x µ 0 ψ x > µ x < µ + x real / > 0 / < 0 0 además del parámetro de localzacó µ del parámetro de escala ψ > 0 tervee u parámetro de forma hacedo que la terpretacó del QQ_Plot sea medata y más delcada. U método preferdo para pruebas gráfcas s las muestras provee de H µψ debería ser obteedo prmero u estmador ˆ de por uo de los métodos que expodremos a cotuacó y cosecuetemete se realza u QQ_Plot usado H 0 dode µ y ψ puede ser estmadas o por speccó smple o por medo de regresó leal. Estas estmacoes prelmares so frecuetemete usadas como valores cales e los procedmetos de teracó umérca. 3.. La Fucó de exceso meda Otra herrameta gráfca útl e partcular para dscrmacó e las colas es la fucó de exceso meda. Ya habíamos troducdo esta defcó e el cotexto de VEG defcó.9. La catdad e(u es frecuetemete referda a cómo el exceso medo pasa el valor del umbral u. Esta terpretacó será crucal e la seccó 3.5 e u cotexto de seguros. e(u puede ser terpretada como el tamaño de reclamo esperado e u tervalo lmtado sobre la prordad u. De aquí e(u es també llamada fucó de pérdda de exceso meda. E u cotexto médco y de segurdad e(u es llamada fucó de vda resdual de exceso medo. E el cotexto de admstracó de resgo facero cambado la cola derecha a la cola zquerda e(u es coocda como défct. U resume de la fucó de exceso meda más mportate podemos ecotrar

52 86 CUESTIONES ECONÓMICAS e la tabla.0. Ejemplo 3. Alguas propedades elemetales de la fucó de exceso meda S X está dstrbuda expoecalmete co tasa λ etoces e(u /λ para todo u > 0. Ahora supogamos que X es ua v.a o acotada a la derecha de la f.d. F. S para todo y F ( x u lm x F ( x e yγ (3.3 para algú γ [0 ] etoces lm x e(u γ - Ua prueba gráfca para el comportameto de la cola puede ahora ser basada e la fucó de exceso meda empírca e (u. Supogamos que X X... X so d. co f.d. F y deotamos F la f.d. empírca de F y (u { :... X > u} etoces e( u ( ( ( F y dy X F u card ( u u ( u u u 0 (3.4 co la covecó de que 0/0 0. U gráfco de exceso medo (ME_Plot cosste e {(X e (X :... }. Gráfco No. 3.3 ME_Plot

53 MEJÍA-UQUILLAS: ESTUDIO DE EVENTOS EXTREMOS ENFOCADO A SEGUROS Y FINANZAS 87 ME_Plot e(u u X ME_Plot 0 5 e(u u X E estos gráfcos se puede dar cueta que la cola de la dstrbucó de los datos perteecetes al ME_Plot de la derecha es más pesada que la cola de dstrbucó de los datos perteecetes al otro gráfco (observar las dsttas clacoes. Las propedades estadístcas de e (u puede ser uevamete dervadas por uso de teoría de procesos empírcos relevates. Para uestro propósto el ME_Plot es usado solo como u método gráfco especalmete para dstgur modelos de colas lvaas y colas pesadas. Ua precaucó que es mportate cosderar es que los gráfcos debe ser terpretados cudadosamete ya que debdo a la dspersó de los datos dspobles para el cálculo de e (u para valores grades de u los gráfcos resultates so muy sestvos a cambos e los datos haca el f del tervalo Método de Gumbel de excedetes Hay ua multtud de resultados aalítcos completamete fácles cocerete a

54 88 CUESTIONES ECONÓMICAS evetos extremos que produce formacó preva útl e los datos. El prmer método es el de Gumbel de excedetes que trata de aalzar el úmero de observacoes que e el futuro excederá los récord pasados (seccó Sea X <... < X las estadístcas de orde usuales de la muestra X X... X fjos e ua sucesó d. fta (X co f.d. cotua F. Tomamos la _ésma estadístca de orde superor X como u valor cal y deotamos S r ( r etoces el úmero de excedetes de X e las próxmas r observacoes X +... X +r es S r r ( + I{ X > X }. Posterormete por facldad de otacó escrbmos S por S r (. Lema 3. Estadístcas de orde y la f.d. hpergeométrca La v.a S defda como ates tee ua dstrbucó hpergeométrca e.d. P ( S r + j j + j r + j 0... r. (3.5 Demostracó. Codcoado teemos P( S j P( S j X u df ( u dode F deota la f.d. de X. Ahora usado el hecho que (X X... X y (X + r I X >... X +r so depedetes que { u} tee ua dstrbucó bomal co parámetro r y F (u y de la proposcó.4 que! df ( u F ( u F ( u df( u (!(!