GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. NÚMEROS COMPLEJOS. ECUACIONES EN C. TEORÍA.

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1 GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. NÚMEROS COMPLEJOS. ECUACIONES EN C. TEORÍA. ÍNDICE:. Números complejos. Itroduccó.. Defcoes. El cuerpo de los Números Complejos.. Represetacoes cartesaa, trgoométrca y polar.. Fórmula de De Movre.. Ecuacoes e C.. Apédce: Traslacoes, gros y smetrías y su relacó co los úmeros complejos.

2 .- NÚMEROS COMPLEJOS. INTRODUCCIÓN. Los úmeros complejos hace su aparcó e la matemátca justo ates del Reacmeto cuado, e Itala, los matemátcos Tartagla y Cardao etre otros, comea a dar métodos para resolver las ecuacoes de tercer y cuarto grado. Pero o será hasta el sglo XVIII cuado sea troducdos y estudados realmete. Dos de los más grades matemátcos de la hstora, prmero Leohard Euler y después Carl Fredrch Gauss, será quees poga las bases y descubra las prcpales propedades de los úmeros complejos. Es ecesaro eteder que alguas cosas muy poco tutvas ecestaba de mucho valor por parte de u matemátco para ser mostradas al resto de sus colegas. No obstate, la talla ovadora de estos dos geos hace que sus deas sea sempre cosderadas, por muy raras que pudera parecer. Los úmeros complejos se utla para muchas cosas puesto que tee muchas propedades. Ua de ellas es su utlacó para represetar fáclmete movmetos e el plao, como los gros, las traslacoes o las smetrías. Alguas más complcadas so aplcacoes a la Teoría de Señales o a las Ecuacoes e Dervadas Parcales, para cambar el domo sobre el que aplcamos uestra ecuacó, pasado por desarrollos e sere de Taylor, descomposcó de matrces e cajas de Jorda o descompoer cualquer polomo e producto de polomos de grado. Durate los sglos XIX y XX, los úmeros complejos y las fucoes de varable compleja ha sdo profudamete estudados, quedado hoy día úcamete problemas muy complcados de resolver. E la actualdad, hay ua parte de las matemátcas que cobró mucha mportaca desde la seguda mtad del sglo XX y que estuda las fucoes de varas varables complejas. Esta parte de las matemátcas está ítmamete relacoada co la Geometría Dferecal.

3 .- DEFINICIONES. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Como e cas todas las ramas de las matemátcas, hay varas formas dsttas de car ua dea o u cocepto. Alguas so muy precsas, pero o so claras e su eposcó. Mucho meos cuado se ha de hacer a u vel de Bachllerato. Optaremos aquí por ua troduccó clásca. Defcó: (udad magara) Llamamos úmero magaro a aquél úmero que cumple. Claramete o es u úmero real. Así que cosderamos el meor cojuto que cotee a todos los reales y a. A dcho cojuto lo deotamos por C y le llamaremos el cojuto de los úmeros complejos. Ahora habrá que defr operacoes e ese cojuto y estudar sus propedades. Las operacoes deberá respetar las operacoes que había e R. Defcó: (úmero complejo) Llamamos úmero complejo al úmero a b dode a y b so úmeros reales. U úmero complejo també se puede escrbr como u par ordeado ( a; b) dode a y b so reales. Así pues, el cojuto de los úmeros complejos es equvalete (como cojuto) al plao, y hablaremos del plao complejo. Al úmero real que o lleva, se le deoma parte real y al úmero real que sí la lleva se le deoma parte magara. Así, s a b, escrbmos Re a e Im b. Todos los úmeros reales se puede ver como úmeros complejos hacedo la parte magara. Defcó: (suma) Dados dos úmeros complejos a b, w c d, defmos la suma como ( a b) ( c d ) ( a c) ( b d ) w es decr, es el resultado de sumar las partes reales y las partes magaras etre sí, ( w ) Re Rew y Im ( w ) Im Imw Re Propedades de la suma:. Operacó tera: w C El resultado es u elemeto de uestro propo cojuto. Toda suma de complejos es, de uevo, u úmero complejo.. Comutatvdad: w w ( a b) ( c d ) ( a c) ( b d ) ( c a) ( d b) ( c d ) ( a b) w w. Asocatvdad: ( w ) t ( w t ) ( w ) t [( a b) ( c d )] ( e f ) [( a c) ( b d )] ( e f ) [( a c) e] [ ( b d ) f ] [ a ( c e) ] [ b ( d f )] ( a b) [( c e) ( d f )]. Elemeto eutro: C tal que, para todo C. E efecto, ese úmero es el propo de los úmeros reales: ( w t )

4 . Elemeto opuesto: C, w C tal que w w. A ese úmero w se le llama opuesto de y se escrbe. Es claro que s a b etoces a ( b). Trabajar co las bases de las matemátcas o es sempre fácl. Por ejemplo, e la últma propedad, la del elemeto opuesto, parece que hemos multplcado a b por y éste ha multplcado a la parte real y a la parte magara. Pero o es así. Aú o hemos defdo el producto. Lo que hemos hecho ha sdo defr como opuesto de a aquél úmero complejo cuya parte real es el opuesto de la parte real de e gualmete co la parte magara. Al úmero complejo resultate le hemos llamado. Es decr, por ahora, el sgo meos es sólo u ombre. La suma de úmeros complejos respeta la suma que había e R, es decr, s e y so dos úmeros. El resultado o sólo es u reales, escrtos como complejos, etoces ( ) ( y ) ( y ) ( ) y úmero real, so que es y escrto como complejo. Defcó: (producto) Dados dos úmeros complejos a b, w c d, defmos el producto de forma que se tega la propedad dstrbutva y utlado que, es decr, : ( a b) ( c d) ac ad bd bd ( ac bd ) ( ad bc) w Propedades del producto:. Operacó tera: w C E efecto, la propa defcó os deja ver que el resultado obtedo es u úmero complejo.. Comutatvdad: w w w. Asocatvdad: ( w ) t ( w t ) ( a b) ( c d ) ( ac bd ) ( ad bc) ( ca db) ( da cb) ( c d ) ( a b) w ( w ) t [( a b) ( c d )] ( e f ) [( ac bd ) ( ad bc) ] ( e f ) ( ac bd ) e ( ad bc) f ( ( ac bd ) f ( ad bc) e) ace bde adf bcf ( acf bdf ade bce) a ( w t) ( a b) [ ( c d ) ( e f )] ( a b) [ ( ce df ) ( cf de) ] ( ce df ) b ( cf de) ( a ( cf de) b ( ce df )) ace adf bcf bde ( adf ade bce bdf ). Elemeto eutro: C tal que para todo C E efecto, el de los úmeros reales també es el eutro para el producto detro de los úmeros complejos. Así, teemos el otro lado es smlar. y, por tato, ( ) ( a b) a b ( b a) a b. El producto por. Elemeto verso: Para cada C,, C tal que a b E efecto, dado cualquer úmero complejo,, a b cosderamos el complejo a b ser, dcho úmero complejo está be defdo. Etoces ( a b) El producto por el otro lado es smlar. a b a b a b a ( ab ab) b. Al

5 . Dstrbutvdad (del producto respecto de la suma): ( w t) w t ( w t ) ( a b) [ ( c d ) ( e f )] ( a b) ( c e ( d f )) a ( c e) b ( d f ) [ a ( d f ) b ( c e) ] w t ( ad af bc be) ac ae bd bf ( a b) ( c d ) ( a b) ( e f ) ac bd ( ad bc) ae bf ( af be) ( ad bc af be) ac bd ae bf El producto de úmeros complejos respeta el producto que había e R. ( ) ( y ) ( y ) ( ) y. Puede parecer que u producto parecdo a la suma, partes reales etre ellas y partes magaras etre ellas, tedría más lógca, pero ese producto tee el problema de que el producto de dos úmeros puede salr s que guo de ellos sea. Por todo lo vsto hasta ahora, el cojuto de los úmeros complejos es u cuerpo (tee dos operacoes co las propedades que acabamos de demostrar) y cotee a los úmeros reales. Además, tedrá ua maravllosa propedad, que es algebracamete cerrado. Esto quere decr que cualquer ecuacó polómca de grado que tega coefcetes e C, tedrá eactamete solucoes e C. Este hecho se llama e matemátcas el Teorema Fudametal del Cálculo, fue demostrado por prmera ve (co rgor sufcete) por Gauss e su tess de doctorado. Por cotra, los úmeros complejos perde ua propedad co respecto a los reales. Los úmeros complejos o está ordeados. Sabemos que e R hay u orde, es decr, dados dos úmeros cualesquera, dsttos, podemos decr cuál de los dos es el mayor. E C o es posble dar u orde que se comporte co las dos operacoes que hemos defdo y respete el orde que había e R. Como mucho podemos ordearlos por módulos. Defcó: (cojugado) Dado u úmero complejo, a b, llamamos cojugado de, y se escrbe, al umero complejo que tee la msma parte real que, pero la parte magara está cambada de sgo, es decr, a b. Defcó: (módulo) Dado u úmero complejo, a b, llamamos módulo de, y se escrbe al úmero que se obtee como a b. Este úmero o está cosderado al aar. De hecho, s represetamos e u plao como el puto de coordeadas [ a; b], etoces, el módulo de es la dstaca de dcho puto al orge de coordeadas. Y també podemos terpretar geométrcamete w como la dstaca etre los putos del plao complejo y w. Propedades: Cosderemos dos úmeros complejos.. w w.. w w, w C :

6 .. w w 7. R. 9. Re. Im. w w. w w. Los úmeros complejos (compleí čslo) so todos aquellos de la forma a b co a, b R cualesquera. A, se le llama udad magara (magárí jedota). Cuado b teemos u úmero real puro (reála část). Cuado a teemos u úmero magaro puro (rye magárí). S b decmos que es u úmero magaro (magárí číslo). Ejemplo : Dados y w, hallar: a) w b) w c) Solucó: d) w a) w ( ) b) w ( ) ( ) c) d) 7 7 w e) Re e) f) g) f) ( ) ( ) ( ) 7 9 g) Ejemplo : Represeta e el plao de Gauss el cojuto de los úmeros complejos C que cumple: a) < b) < c) > d) Re e)

7 f) g) h) ) Im ( ) Solucó: Estas represetacoes se puede hacer be a través de la terpretacó del módulo como dstaca etre dos putos del plao, be pasado a partes real e magara y establecedo las ecuacoes correspodetes. E geeral es más fácl (y sobre todo más rápdo) la terpretacó geométrca, pero alguas veces es dfícl saber de que tpo de curva algebraca estamos hablado y es mejor pasar a las ecuacoes. a) < Iterpretacó geométrca: < es el cojuto de putos C cuya dstaca al es meor que. Por lo tato estamos hablado de ua crcufereca de cetro el orge de coordeadas y de rado. Ecuacoes: < y <. Como ambas epresoes so postvas, podemos elevar al cuadrado y la desgualdad se matee. y < y <. Así que teemos los putos terores de la crcufereca de ecuacó y. b) < Iterpretacó geométrca: Es u cojuto parecdo al ateror. Al estar co dos desgualdades sólo hay que tomar el teror de la crcufereca mayor y el eteror de la crcufereca meor. Así, teemos ua coroa crcular de cetro y rados y. Ecuacoes: Teemos u sstema de ecuacoes. Quás podamos resolver ambas ecuacoes smultáeamete. < < y ( ). Como las tres epresoes tee el msmo sgo (so postvas) podemos elevar al cuadrado y las desgualdades se matee. ( y ) < ( ) 9 < y. Y ahora vemos que teemos la parte termeda etre las crcuferecas ( y ) y ( y ) 9, es decr, de cetro [ ] ; y rados y.

8 c) > Iterpretacó geométrca: Para poder asocar la epresó > a ua crcufereca, ecestamos que tega coefcete, así pues, dvdremos la desgualdad por. > >. Ahora sí, teemos la oa eteror a ua crcufereca de cetro y de rado. Ecuacoes: > ( ) ( y ) >. Al ser ambas epresoes postvas, podemos elevar al cuadrado y la desgualdad se matee. ( ) ( y ) > ( y ) > y, dvdedo por la ecuacó, queda ( y ) > decr, es el eteror de la ecuacó de cetro [ ], es ; y rado. d) Re Iterpretacó geométrca: S teemos e cueta que Re es el cojuto de los putos del plao cuya pare real es y la parte magara tee lbertad, es decr, ua recta vertcal que corta al eje real e, etoces Re es el semplao de la derecha, pues estamos cosderado el cojuto de putos co parte real mayor que. Ecuacoes: Re. Como e la ecuacó la varable y o tervee, ésta puede tomar todos los posbles valores e R. Así pues, teemos el semplao de la derecha respecto de la recta vertcal. e) Iterpretacó geométrca: Teedo e cueta que el módulo de la dfereca etre dos úmeros complejos se puede terpretar como la dstaca etre ellos, s escrbmos la gualdad como ( ) ( ) vemos que uestro cojuto es el de aquellos putos que equdsta de dos putos fjos, e este caso y medatr del segmeto que ue dchos putos. Ecuacoes:. Por tato es la

9 ( ) ( y ) ( ) ( y ), Elevamos al cuadrado la ecuacó y obteemos y y y y, que es la ecuacó de ua recta. f) Iterpretacó geométrca: Ates de poder trabajar co esta epresó ecestamos poder trasformarla para teer sempre y o su cojugado. Utlamos la propedad ateror que os dce que el módulo de u úmero complejo y el de su cojugado so guales. Así,. Por tato y 9. Smplfcamos térmos y escrbmos todo e u msmo membro.. S pesamos e la gualdad vemos que uestro cojuto es el de aquellos putos cuya suma de dstacas a dos putos fjos, e este caso y, es gual a. Pero este cojuto es ua elpse de focos y y co a. Como la desgualdad requere meor que, teemos la parte teror a dcha elpse. Ecuacoes: ( ) ( y ) ( ) ( y ). Pasamos ua de las raíces al segudo membro y elevamos al cuadrado. y y ( ) ( y ) y y smplfcamos térmos y queda ( ) ( y ) Elevado uevamete al cuadrado teemos ( y y ) [ ; ] ( y ) y. Dvdmos por y queda S, horotal, de eje mayor y eje meor. Por tato, el cojuto dado es el teror de dcha elpse. ( ) y.. Reordeado térmos,. Por tato teemos ua elpse de cetro g) Iterpretacó geométrca: Aálogamete al caso ateror, teemos que la dfereca de dstacas a dos putos fjos, e este caso y es mayor o gual a. S pesamos e la gualdad, estaríamos hablado de ua hpérbola. Así pues, la desgualdad es la parte teror a la hpérbola, es decr, la que o cotee al cetro de ésta, puesto que e el cetro de la hpérbola la dfereca de dstacas es. No obstate, hay que teer e cueta que la dstaca de a debe ser mayor, e udades, que la dstaca de a. Por tato, estamos

10 hablado de ua de las ramas de la hpérbola, la que está más alejada de y más cerca de. Ecuacoes: Aálogamete al apartado ateror, podemos deducr la ecuacó de dcha hpérbola. Esta deduccó es smlar a como se hace el caso geeral (ver tema de cócas, apartado de la hpérbola). E este caso obteemos que el cetro es [ ;] S, es ua hpérbola horotal, a, c y desgualdad dada os dará la ecuacó ( ) ( y ) b. Por tato ( ) ( y ). Así, la. Al susttur las coordeadas del cetro vemos que se obtee y, por tato, o se cumple la desgualdad. De aquí que la parte buscada es la oa que cotee a los focos. h) Iterpretacó geométrca: Esta es la úca de los ejemplos que o tee ua terpretacó geométrca clara. Esto es debdo a que o podemos trasformar la ecuacó para cosegur coefcete de smultáeamete e las dos epresoes. Ecuacoes: ( ) y ( ) ( ) y. Elevado al cuadrado y smplfcado térmos queda ( ) ( ) ( ) y y 7 y, es decr, es la ecuacó de ua crcufereca de cetro [ ; ] S y rado r. ) Im ( ) Iterpretacó geométrca: Al gual que e el apartado (d) dode salía la parte real, Im ( ) os va a dar ua recta, pero e este caso horotal. Reescrbmos la epresó para etederla mejor. Cocretamete como dfereca de dos complejos: ( ) ( ) Im( ( )) Im. Así, uestro cojuto es el de los putos del plao complejo cuya dstaca al puto es mayor que la dstaca a la recta horotal de altura. Esto o es so ua parábola de foco el puto Ecuacoes: y de drectr la recta horotal de altura. ( ) ( y ) Im y. Elevado ambos membros al cuadrado teemos y y y y y y. Así, la parábola dvde al plao complejo e dos

11 cojutos. E uo de ellos es y > y e el otro es y < y el foco,. La desgualdad orgal es Im ( ), o la cumple, pues el membro de la querda es gual a metras que el de la derecha queda. Por tato, la oa buscada es dode está la drectr y o el foco.

12 .- REPRESENTACIONES CARTESIANA, POLAR Y TRIGONOMÉTRICA. Hemos vsto que u úmero complejo es de la forma a b dode a, b R. Todo úmero complejo se puede detfcar uívocamete (medate ua byeccó) co u puto del plao cuyas coordeadas so, precsamete, [ a; b]. A esta represetacó la llamaremos represetacó cartesaa. a b S el úmero complejo es dstto del, etoces la semrrecta que ue el orge de coordeadas co el puto forma co el semeje postvo OX u águlo llamado argumeto de. Este águlo se mde sempre de forma postva, es decr, desde el semeje postvo OX e setdo athoraro hasta la semrrecta que ue el orge co el puto. Como sumar o restar u múltplo de al argumeto hace que el puto permaeca dode está, tomaremos ormalmete el valor prcpal del argumeto, es decr, ϕ ; ), pero podemos tomar otro valor equvalete s es ecesaro. Llamado r, podemos escrbr las sguetes relacoes: a r cosϕ b r sϕ y r a b ϕ ta a b ( ) dode la tagete versa, ta o está defda cuado Además, como la rama prcpal de la tagete versa os da valores e ϕ ( ; ) que esté e el segudo o el tercer cuadrate. Así, teemos que ta ϕ ta ta b a a, e cuyo caso es ϕ s b > y ϕ s b <. b a b a s a >, b > s a, b > s a < s a, b < s a >, b <, hay que tomar otras ramas e caso de Co estas relacoes etre las coordeadas cartesaas de y su módulo y argumeto, podemos troducr dos a b r cos ϕ r sϕ r cosϕ sϕ r. Llamamos represetacó represetacoes más. Así, ( ) ϕ trgoométrca de a ( cosϕ sϕ ) r y represetacó módulo-argumetal o represetacó polar de a r ϕ Estas represetacoes so muy útles para operacoes de productos, potecas y raíces, como veremos más adelate. S embargo, la represetacó cartesaa es más útl para operacoes de suma y resta.

13 .- FÓRMULA DE DEMOIVRE. Abraham de Movre fue u matemátco fracés de prcpos del sglo XVIII y afcado e Iglaterra que, etre otras cotrbucoes, observó el comportameto de los úmeros complejos e forma trgoométrca respecto del producto y la dvsó y os dejó ua fórmula muy útl para realar potecas y raíces de úmeros complejos. Sea r ( cosϕ sϕ ) y w s ( cosφ sφ) Etoces, su producto es w r dos úmeros complejos escrtos e forma trgoométrca. ( cos ϕ sϕ ) s ( cosφ sφ) rs ( cosφ cosϕ sφ sϕ ( cosϕ sφ sϕ cosφ) ) Teedo e cueta las fórmulas del coseo y del seos de la suma de dos águlos, queda: r w rs ( cos ( φ ) s( ϕ φ) ) rsϕ φ Aálogamete, para dvdr, observamos que ( cos( ϕ) s( ϕ) ), es decr, ϕ ( cosϕ sϕ ) r ϕ r r ( cosϕ s ) r ϕ Esto os da ua fórmula teresate para el verso de u úmero complejo. Vmos que e la represetacó cartesaa, multplcado y dvdedo por el cojugado, podemos hallar la parte real y la magara del verso de. Pero la fórmula ateror os permte localar e el plao al verso de. E efecto, podemos ver que el verso está stuado e ua crcufereca de rado r y el argumeto es ϕ pero cotado e setdo cotraro. La dvsó de dos úmeros complejos es r r w s s ( cos ϕ sϕ ) ( cosφ sφ) ( cosϕ cosφ sϕ sφ ( cosϕ sφ sϕ cosφ )) Nuevamete, teemos e cueta las fórmulas del coseo y el seo de la dfereca de dos águlos para escrbr que w r s ( cos ( ϕ φ ) s( ϕ φ )) r s ϕ φ S e la fórmula del producto tomamos w queda r ( cos ϕ s ϕ ) ( r ) ϕ. Por duccó, se prueba etoces que ( cos ( ϕ) ( ϕ) ) ( r ) ϕ r s Esta fórmula os srve para calcular potecas de u úmero complejo. També podemos utlar el teorema del bomo para calcular potecas de u úmero complejo escrto e forma cartesaa. Para ello, ecestamos coocer el comportameto de las potecas de la udad magara,. Cocretamete, teemos por defcó de. Multplcado por, queda. Multplcado uevamete por queda ( ) y, falmete, llegamos a

14 que, cerrado el cclo. Es decr, las cuatro prmeras potecas de so dsttas y después se repte de forma cíclca. Así, para calcular cualquer poteca etera de basta co hallar el resto de la dvsó por. Ejemplo : Calcular a) Solucó: ; b) a) 7, por tato, ( ) b) 7 9 7, luego ( ) ( ) resto salga postvo). (hemos hecho ua dvsó por defecto para que el E deftva, cualquer poteca etera de es sempre,, ó utlar para hallar potecas.. Dcho esto, el teorema del bomo se puede Ejemplo : Calcular ( ) a) Utlado el teorema del bomo b) Escrbedo e forma polar y utlado la fórmula de de Movre. Solucó: a) ( ) Podemos observar cómo las potecas cosecutvas de so sempre,,, b) r y ϕ ta ta, puesto que perteece al prmer cuadrate. ( ) ( ) ( cos s ) ( ). Ejemplo : Dado el úmero complejo, a) Epresarlo e forma trgoométrca y e forma polar. b) Represetar e el plao de Gauss. Idetfcar Re, Im, α y r. c) Represetar e el plao los úmeros, y s hallar sus epresoes. d) Hallar las epresoes cartesaa y trgoométrca de, y Solucó: a) r ( ), y comprobar que cocde co el apartado ateror. y α Arg ta. d) b) y c)

15 Aú más teresate que el cálculo de potecas de u úmero complejo es la posbldad del cálculo de las raíces de u úmero complejo. Como djmos aterormete, ua de las propedades más teresates de los úmeros complejos es que cualquer polomo co coefcetes e C tee todas sus raíces e C. Tatas como dque su grado. E partcular, dado u úmero complejo cualquera -ésmas de w. w C, la ecuacó w tee solucoes. Es decr, este e C, raíces Supogamos que w sφ. Etoces, s, r ϕ C, se debe teer que w. Por la fórmula de de Movre, r ϕ s. Por lo tato r s y ϕ φ, Z. Hay que teer e cueta todos los posbles argumetos debe ser ( ) φ de w. Etoces, despejado, teemos decr, Metras ϕ φ r s y ϕ sea meor que, estaremos obteedo argumetos dsttos detro de ua prmera vuelta, es φ φ φ φ φ ( ), ϕ, ϕ, ϕ, K, ϕ so todos argumetos dsttos y o equvaletes. Por tato, da lugar a raíces dsttas s φ,, s φ,..., s φ ( ) s φ Podemos observar fáclmete que s segumos aumetado, etoces obteemos u argumeto equvalete al prmero, después al segudo y así sucesvamete, co lo que o obteemos uevas raíces. Al gual que e el caso de las potecas, este u método alteratvo para trabajar eclusvamete co represetacoes cartesaas. Pero es sólo recomedable para raíces cuadradas. Dado u úmero complejo w a b queremos ecotrar u úmero complejo y de forma que ( y ) a b. Medate el teorema del bomo epadmos la poteca y, segudamete, gualamos las partes reales y las magaras etre sí, obteedo u sstema de dos ecuacoes de grado.

16 Ejemplo : Hallar las raíces cuadradas de a) medate la fórmula de de Movre. b) medate el teorema del bomo. Solucó: a). Por tato ( ) s cos y b) ( y ) y De la prmera ecuacó llegamos a s y s y y o hay solucó. Luego las solucoes so [ ] ; y [ ] y y y. Susttuyedo e la seguda queda ;, es decr, y. es fácl comprobar que so los msmos úmeros complejos escrtos e forma polar y cartesaa respectvamete. Ejemplo 7: Hallar las raíces cúbcas de - a) Medate la fórmula de DeMovre b) Medate el teorema del bomo Solucó: (a), luego sus raíces cúbcas so ω, ω y ω cartesaas so: ω ( cos s ) ( ) ω, que epresadas e coordeadas ω ω (b) Buscamos u úmero partes reales e magaras: w y tal que w ( y ) y ( y y ), es decr, ( y ) y y y. Desarrollamos el bomo e gualamos Resolver estas ecuacoes es e geeral complcado. No obstate, la seguda o es dfícl. Así, teemos y y y ( y ) de dode o be y, o be y y y w. Susttumos e la prmera ecuacó y teemos que y 9 w y 9 w

17 Solucó:,. Ejemplo : Hallar las raíces cuadradas de. a) Medate la fórmula de DeMovre. b) Medate el teorema del bomo. Solucó: (a) tee módulo r 9, s embargo, su argumeto o es fácl de hallar, al meos aparetemete. E efecto, α ta. Así que teemos que trabajar co esa epresó y decr que las raíces cuadradas de so ta ( ) ta ω y ω ω ( ) cuyas epresoes dsta mucho de ser "agradables". Se puede, cluso, hallar su epresó cartesaa, pero es demasado laboroso. (b) S buscamos u úmero complejo w y tal que ( y ) llegamos al sstema y y y Es ua ecuacó bcuadrátca, cuyas raíces reales so y φ y w y w w Solucó: ( ). Cometaro: Para hallar raíces, es más coveete utlar el teorema del bomo cuado se trate de raíces cuadradas y de la fórmula de DeMovre cuado sea raíces de orde ó más.

18 .- ECUACIONES EN C: E este apartado os teresará resolver ecuacoes dode las solucoes podrá estar e C. Los coefcetes de la ecuacó podrá estar e C o e cualquer cojuto más pequeño, R, Z, etc. Hay varos teoremas y resultados fudametales que veremos a cotuacó. Teorema : (Teorema fudametal del Álgebra): U polomo de grado co coefcetes e C tee eactamete raíces e C, cotadas segú su multplcdad. Las cosecuecas del teorema fudametal del álgebra so eormes como, por ejemplo, s,, K, P a a a a so las raíces de ( ) s,, K, a a L, dode a a a,k,, C, etoces ( ) K ( ) ( ) L a a a P a a a a so las raíces de ( ) ( ),,, y P( ), {, K } P, K L, dode a a a,k,, C, etoces Teorema : (ecuacó polómca co coefcetes reales): Dada ua ecuacó polómca a a L a a co coefcetes a a a,k,, R, s u úmero complejo ecuacó. Demostracó: w C es ua solucó de la ecuacó, etoces su cojugado, w C, també es solucó de la E efecto, como w es solucó, teemos que aw a w L aw a. Tomado cojugados e los dos membros de la ecuacó teemos aw a w L aw a. Por las propedades de la cojugacó, podemos separar las sumas y los productos, así teemos aw a w L aw a. El cojugado de los úmeros reales es el propo úmero real. De hecho R. Así que queda a w a w a w a L lo que dca que w es ua solucó de la ecuacó. Las cosecuecas de este teorema so també muy teresates (sobre todo s se ue co el ateror). Las raíces de u polomo cuyos coefcetes está e R, so úmeros reales o parejas de úmeros complejos cojugados. Las raíces reales de u polomo co coefcetes e R es gual al grado de este. S o, las va "perdedo" de e, e favor de parejas de complejos cojugados. S u polomo tee todos sus coefcetes reales, etoces se puede factorar, e C, como producto de polomos de grado o, e R, como producto de polomos de grado ó de grado cuyas raíces so úmeros complejos cojugados. Como sempre, hallar esas raíces o solucoes de la ecuacó es muy complcado e geeral y hay poquísmas téccas que ayude a resolverlas e los casos de grado alto. Nosotros veremos téccas o deas:

19 . Hallar las raíces -ésmas de u úmero, es decr, resolver ecuacoes del tpo a, co cógta C.. Resolver ua ecuacó de segudo grado, es decr, ua ecuacó del tpo a b c, co cógta C y coefcetes reales o complejos a, b, c C.. Utlar las téccas ya coocdas de ecuacoes geerales: Ruff, coefcetes smétrcos, factoracó (cludo sacar factor comú) y cambo de varable, para resolver ecuacoes e C. Cometaro: Ua cosa teresate que ocurre e los úmeros reales pero o e los complejos es que e los úmeros reales tee setdo hablar de como la raí postva y de como la raí egatva de. Esto se debe eclusvamete a que e R hay u orde y los úmeros so comparables. Así podemos compararlos co y clasfcarlos e postvos y egatvos y, por tato, hablar de la raí postva y de la egatva de. E cambo, e C o este gú orde que matega las propedades algebracas de las operacoes, es decr, s queremos que C cotega a R, que las operacoes se "herede" de las de R y que cotega a ( o que cotega a la solucó de ), etoces o es posble dar gú orde e C y, por tato, o tee setdo hablar más de úmero complejo "postvo" o "egatvo". Teorema : (sobre las raíces de u úmero real) Demostracó: La suma de todas las raíces -ésmas de u úmero complejo es. Sea N. Las raíces -ésmas de, so las solucoes de la ecuacó, es decr,. Como, las raíces so ξ, ξ, ξ, ξ ( ). Llamamos raí prmtva -ésma de, a cualquera de las raíces -ésmas que geera todas las demás, es decr, cuyas potecas os da todas las demás raíces -ésmas. Se tee que s mcd ( ),, etoces ξ, es ua raí prmtva -ésma de (o es dfícl probarlo, pero os lo podemos creer). Lo bueo que tee es que, las potecas de esta raí os va dado todas las otras raíces hasta llegar al, e últmo lugar. Así, la suma de todas las raíces es L ( ) ( ) L ( ) ( ξ ( ξ ) ( ξ ) L ( ξ ) ) ( ξ ) ( ξ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Veamos que es certo ahora para cualquer úmero complejo. Sea r y sea ( ) α r α ω. Etoces las raíces -ésmas de so ( ) ( ) ( ) ω ω, ω ξ, ω ξ, ω ξ, K, ω ξ, que al sumarlas queda ( ) ω ( ξ ) ω ( ξ ) K ω ( ξ ) ω ξ ( ξ ) ( ξ ) K ( ξ ) ω ξ ω Tpo I: Ecuacoes de la forma a. Estas ecuacoes equvale a hallar las raíces -ésmas de a. Se resuelve utlado e setdo verso la fórmula de DeMovre para la potecacó ( s ) ( s ) s ( cos φ sφ ). Dado u úmero a r ϕ estamos buscado φ φ

20 úmeros complejos tales que a. Dos úmeros complejos so guales s, e forma cartesaa, sus partes reales sφ e magara cocde, respectvamete y, s está e forma trgoométrca, tee el msmo módulo y la dfereca de sus argumetos es u múltplo de, es decr, u argumeto es gual que el otro tras haber dado varas vueltas e u setdo u otro. Por tato, a os lleva a s r s r φ, ϕ ϕ, Z φ Z. Respecto al módulo o hay mucho que podamos decr, puesto que hay ua úca raí postva real que cumple eso. Pero e cuato al argumeto, está la posbldad de elegr dsttos valores de Z que os de dsttos argumetos φ pero, al multplcarlos por, se obtega el msmo argumeto ϕ. Hay eactamete eleccoes dsttas de, a saber,,,, K,. Ejemplo 9: Resolver la ecuacó ( ) Solucó: ( ) ( ), dode C. Por tato teemos que hallar las raíces de. Al ser u úmero real, tee ua forma modulo-argumetal muy fácl. Cocretamete pues su parte real es postva. La ses raíces so, por tato:,,,,,. Pero la cógta aú o está totalmete despejada, pues hay u factor por el que aú hay que dvdr. S observamos, ( ). Es decr, es lo msmo dvdr por que multplcar por. Pero así que multplcar por equvale a aumetar el argumeto e. E cosecueca, dvdr las raíces halladas por equvale a aumetar e el argumeto de cada ua de ellas. E uestro caso las raíces smplemete rota etre ellas. Solucó:,,,,, Tpo II: Ecuacoes cuadrátcas. Se resuelve medate la fórmula cuadrátca y, por tato, hay que hallar las raíces cuadradas del dscrmate. S el dscrmate es real, o hay mucho problema y la ecuacó se resuelve rápdamete. S el dscrmate es u úmero magaro, etoces podemos proceder báscamete de dos formas, a saber, Epresar el dscrmate e forma trgoométrca y hallar sus raíces cuadradas medate la fórmula de DeMovre de potecacó / raíces, como e el tpo I. Por su seclle, las raíces cuadradas de u úmero complejo se puede resolver drectamete medate u sstema de ecuacoes. Cocretamete, s queremos hallar las raíces cuadradas de a b, estamos buscado úmeros complejos y tales que ( y ) a b y y a b, de dode a y ; b y y se resuelve el sstema.

21 Ejemplo : Resolver, co cógta C, la ecuacó. Solucó: La ecuacó tee coefcetes reales. Por tato, sus solucoes so o dos úmeros reales o dos úmeros complejos cojugados, depededo de s el dscrmate es egatvo o o. Aplcamos la fórmula cuadrátca: ( ) Solucó:, Ejemplo : Resolver, co cógta C, la ecuacó 9 Solucó I (co u sstema de ecuacoes): (Método geeral de resolver ecuacoes cuadrátcas) Aplcamos la fórmula cuadrátca y, el radcado es u úmero complejo. Hay que hallar sus raíces cuadradas. 9 ( ) 9 Ahora hay que hallar las raíces cuadradas de. Buscamos ( ) y y y y y y : C Despejamos y de la seguda ecuacó y despejamos e la prmera, obteedo 9 y M 9 M 9. S m y S R 9, puesto que debe ser u úmero real. Así, las raíces del dscrmate so y y y. La ecuacó cuadrátca tee solucoes ( ) Solucó:,. Solucó II: (fórmula de DeMovre): (Sólo lo haremos así s el águlo del dscrmate es fácl de hallar). Aplcamos la fórmula cuadrátca y, el radcado es u úmero complejo. Hay que hallar sus raíces cuadradas. 9 ( ) 9

22 . Pogámoslo e forma módulo-argumetal. r y taϕ ϕ ta que o es u águlo coocdo. Cocretamete ta º ' ' '. Como está e el tercer cuadrate, su argumeto es el suplemetaro de ese águlo, es decr, º. Etoces, las raíces cuadradas de so º ' ' ' y º ' ' ' (que es lo msmo que sumar º e el argumeto). Así, uestra solucó sería: Solucó:. º ' ' ' Observacó: Vemos que este úmero es mucho meos "claro" e el setdo de que es más dfícl saber por dóde está, pues mecla sumas y restas co complejos e forma trgoométrca y eso hace que o podamos saber be por dóde está stuado. Para resolver este problema se puede hacer muchas cosas: pasar la solucó a forma cartesaa y operar (eso da solucoes apromadas y estétcamete feas), utlar trgoometría para trabajar co ϕ ta ates de dar su valor apromado y esto, a su ve, se puede hacer de varas formas. Veremos dos de ellas. Solucó III (fórmula de DeMovre co solucó eacta): (métodos trgoométrcos muy complcados) Partmos de que las raíces cuadradas de so ( ) ta. Epresadas e forma trgoométrca epadda, esto quere decr, trgoométrcas. ( ) ( ta ) ta cos s. Así pues, uestro problema estrba e hallar esas raoes Prmero os "deshacemos" de ese epresoes trgoométrcas queda: utlado que cos( α ) sα y s ( α ) cosα. Así, uestras ( ) ta ( ) ta cos s y ( ) ta ( ) ta s cos Segudo, os "desharemos" de ese factor que dvde e el argumeto. Para ello utlamos que cosα cos α y cosα s α. Así, las raoes trgoométrcas queda: [ ] ( ) cos ta ( ) s ta y [ ] ( ) cos ta ( ) cos ta Tercero. Ya teemos ua raó trgoométrca seguda de la otra. Ahora ecestamos que sea la versa, es decr, ta co ta, etc. Para ello hay que relacoar el coseo co la tagete, es decr, vamos a utlar las detdades cosα secα y sec α ta α. Ahora, uestras epresoes queda: Parte real: ( ta ( )) sec ta ( ) ( ) ta ( ta ( )) cos

23 Parte magara: cos( ta ( )) sec ta ( ) ta ( ) ta ( ( )) Ahora que teemos tagete y arco tagete segudas ua de la otra, podemos aplcar que so fucoes versas recíprocas y por tato se aula mutuamete. Queda etoces Parte real: ( ) 9 Parte magara: ( ) Falmete podemos decr que las raíces de por tato, las solucoes de la ecuacó so ( ) ( ) Solucó:,. so ( ) ( ), es decr ta, Solucó IV (fórmula de DeMovre co solucó eacta pero co trgoometría fácl): Observado atetamete la fórmula de DeMovre e el caso de raíces cuadradas otamos que las raíces de r so ϕ r ϕ puesto que al ser raíces cuadradas, la seguda de las raíces se obtee de la prmera sumado e el argumeto, es decr, sumado. Pero sumar equvale a multplcar por y, por tato, s la prmera raí de r es ϕ r ϕ seguda es r ϕ ϕ r ϕ ϕ. Por tato, las raíces so r ϕ r ( cos s )., etoces la Pero deshacer esta trgoometría es mucho más fácl que la ateror. De hecho, sólo hay que utlar que cosα cosα cos α y s α y que, e la epresó de uestro dscrmate e su forma trgoométrca está precsamete cos ϕ. Veámoslo co u ejemplo. Queremos resolver la ecuacó 9. Aplcamos la fórmula cuadrátca llegado a. Escrbmos el dscrmate e forma trgoométrca: ( ) ( ), pues su módulo es. De aquí vemos que ϕ cosϕ cos ϕ. Por tato ϕ cosϕ cos y s 9. Hay que teer e cueta que ϕ está e el tercer cuadrate, es decr, ϕ de dode de sus raíces está e el segudo cuadrate y la otra, que es su opuesta, está e el cuarto. Esto os dce que ϕ cosϕ ϕ cosϕ cos y la ecuacó so ( ) Solucó:.,. s. Luego las raíces so ( ) ( ), es decr, ua y las solucoes de

24 Cometaro: (Metodología para las ecuacoes de segudo grado) Hemos vsto varos procedmetos para resolver ua msma ecuacó de segudo grado. Alguos de ellos parece bastate complcados. Etoces, cuál debemos utlar? La regla geeral debería ser: S uestro dscrmate (el úmero al que le queremos hallar las raíces cuadradas) tee ua epresó fácl de su argumeto, etoces la fórmula de DeMovre es lo más rápdo y acosejable (método II). S uestro dscrmate o tee u argumeto fáclmete detfcable, etoces lo más recomedable es establecer u sstema de ecuacoes y hallar e y drectamete (método I) o be la forma fácl de utlar la fórmula de DeMovre y la trgoometría (método IV). Tpo III: Ecuacoes co téccas geerales. Ejemplo : Resolver, co Solucó: C, la ecuacó. U prmer aálss os dce que la ecuacó tee coefcete reales y smétrcos. Esto os dce que sus raíces so reales o complejas cojugadas. Además, al teer todos sus coefcetes postvos, s hay algua raí real, ésta debe ser egatva, pero al ser todos los epoetes pares, la "fucó" asocada es par y por tato o puede teer solucoes egatvas por o haber gua postva. E coclusó todas las raíces so complejas cojugadas. U segudo aálss os dce que los grados aumeta de dos e dos lo que permte u cambo de varable que reduca el grado. Se puede tetar por Ruff o aplcar que tee los coefcetes smétrcos y de grado mpar, por lo que ó debe ser solucó. Fáclmete vemos que la solucó es. Deshacedo el cambo queda. Etrayedo raíces cuadradas queda:. Dvdedo etre (be por Ruff, be de la forma clásca) obteemos y de resto (el resto teía que ser porque es ua raí). Podemos hallar las raíces e y deshacer el cambo o al revés, es decr, deshacer el cambo y segur resolvedo. Lo prmero es mucho más recomedable, pues deshacer prmero os dará ua ecuacó de grado que puede ser complcada. es decr, hay que hallar las raíces cuadradas de y de más rápdo. ( cos s ) ( ) Para las de. Como sus águlos so coocdos, la fórmula de DeMovre es lo podemos hacer lo msmo o, de forma muy hábl, decr que al ser los coefcetes reales, las cojugadas de las raíces halladas tee que ser raíces també, de dode sale las dos que falta, es decr, ( ) parejas cojugadas la solucó queda:. Poédolas por Solucó:,,,,,.

25 Ejemplo : Resolver, co cógta Solucó: C, la ecuacó Medate u prmer aálss observamos que todos los coefcetes so reales y el grado es mpar. Esto dca que hay, al meos ua raí real y el resto so complejas cojugadas o be reales cuyo úmero debe aumetar de dos e dos. No parece haber ada que se pueda aplcar salvo Ruff. La suma de los coefcetes es, de dode es ua raí. Tras hacer Ruff dos veces, por y por, vemos que el cocete es aú de grado y o se puede segur. Afortuadamete el cocete es, es decr, la ecuacó equvale a hallar las raíces cúbcas de, que al teer u águlo fácl, lo más rápdo es la fórmula de DeMovre. Cocretamete, luego las raíces cúbcas de so,, o, epresadas e forma cartesaa, cos s y. ; ( ) ( ),,,, cos s. Solucó: ( ) ( ) Ejemplo : Sabedo que es ua de las solucoes de la ecuacó, hallar las otras tres solucoes complejas. Solucó: Observado la ecuacó vemos que tee sus coefcetes reales y por tato sus raíces so reales o complejas cojugadas (por parejas). Además, los coefcetes so smétrcos, de dode s u úmero es solucó, su verso també lo es. Cualquera de las dos deas os permte ecotrar ua seguda solucó. Esto os da, dvdedo, u cocete de grado dos que, co la fórmula cuadrátca se podría resolver del todo. E uestro caso es mucho más secllo. S jugamos co las dos deas teemos que, por ser los coefcetes reales, ua seguda raí debe ser. Además, por ser los coefcetes smétrcos, teemos que el verso també es solucó, de dode. Y, falmete, la cuarta raí es la cojugada de,, que es, a su ve, la versa de. Solucó:,,,.