Números complejos. Exponencial compleja

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1 Capítulo3 Números complejos. Expoecial compleja El camio más corto etre dos verdades del aálisis real pasa co frecuecia por el aálisis complejo. Jaques Hadamard 3.1. U poco de historia Los úmeros que hoy llamamos complejos fuero durate muchos años motivo de polémicas y cotroversias etre la comuidad cietífica. Poco a poco, por la creciete evidecia de su utilidad, acabaro por ser comúmete aceptados, auque o fuero bie compredidos hasta épocas recietes. Nada hay de extraño e ello si pesamos que los úmeros egativos o fuero pleamete aceptados hasta fiales del siglo XVII. Los úmeros complejos hace sus primeras tímidas aparicioes e los trabajos de Cardao ( ) y Bombelli ( ) relacioados co el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuació de tercer grado. Fue Reé Descartes ( ) quie afirmó que ciertas ecuacioes algebraicas sólo tiee solució e uestra imagiació y acuñó el calificativo imagiarias para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta fiales del siglo XVIII los úmeros complejos o imagiarios so usados co recelo, co descofiaza. Co frecuecia, cuado la solució de u problema resulta ser u úmero complejo se iterpreta esto como que el problema o tiee solució. Para Leibiz el úmero imagiario es u recurso sutil y maravilloso del espíritu divio, casi u afibio etre el ser y el o ser. Las razoes de todo esto so claras. Así como los úmeros reales respode al problema bie cotidiao de la medida de magitudes, o ocurre ada similar co los úmeros complejos. Mietras los matemáticos ecesitaro iterpretar e térmios físicos sus objetos de estudio, o se avazó mucho e la compresió de los úmeros complejos. El éxito de Euler y Gauss al trabajar co úmeros complejos se debió a que ellos o se 64

2 Operacioes básicas co úmeros complejos 65 preocuparo de la aturaleza de los mismos; o se pregutaro qué es u úmero complejo?, sio que se dijero a ver, para qué sirve, qué puede hacerse co ellos. Es Gauss quie defiitivamete cocede a los úmeros complejos u lugar privilegiado detro de las matemáticas al probar e 1799 el resultado coocido como Teorema Fudametal del álgebra que afirma que toda ecuació poliómica de grado co coeficietes complejos tiee, si cada raíz se cueta tatas veces como su orde, raíces que tambié so úmeros complejos. Merece la pea que etiedas bie lo que afirma este resultado. Fíjate e cada ua de las ecuacioes: Cuyas solucioes x C 3 D 0; x C 3 D 0; x D 0; x C x C D 0 x D 3; x D 3=; x D p; x D 1 i tiee setido cuado x es, respectivamete, u úmero etero, racioal, real o complejo. Podría ocurrir que este proceso de ampliació del campo umérico cotiuara. Qué ocurrirá si ahora cosideramos ecuacioes poliómicas co coeficietes complejos? Por ejemplo: x 5 C.1 i/x 4 C.1=5 i p /x 8x C 3 i= p 3 D 0 Cómo será sus solucioes? Aparecerá tambié uevos tipos de úmeros? El Teorema Fudametal del álgebra os dice que esa ecuació tiee solucioes que tambié so úmeros complejos y, por tato, que o aparecerá ya por este procedimieto uevos tipos de úmeros. El térmio, hoy usado de úmeros complejos se debe a Gauss, quie tambié hizo popular la letra i que Euler ( ) había usado esporádicamete. E 1806 Argad iterpreta los úmeros complejos como vectores e el plao. La fecha de 185 es cosiderada como el acimieto de la teoría de fucioes de variable compleja, pues se publica e dicho año la Memoria sobre la Itegració Compleja que Cauchy había escrito ya e Los úmeros complejos so ua herramieta básica de cálculo. So especialmete útiles para trabajar co fucioes siusoidales, y por eso se hace uso costate de ellos siempre que represetamos ua señal por medio de dichas fucioes, y o hay que olvidar que ése es el propósito básico de los métodos de Fourier. La Trasformada de Fourier Discreta, ua herramieta fudametal e el tratamieto digital de señales, toma valores complejos. Las trasformadas de Fourier y de Laplace so fucioes complejas. La trasformada z, al igual que otras trasformadas de uso frecuete, se defie como ua serie de úmeros complejos. La fució expoecial compleja desempeña u papel fudametal e el estudio de los sistemas LTI (sistemas lieales ivariates e el tiempo) y tambié e la teoría de las ecuacioes difereciales lieales. 3.. Operacioes básicas co úmeros complejos 3.1 Defiició. Cosideremos e el cojuto R las operacioes de adició y producto defiidas por.x; y/ C.u; v/ D.x C u; y C v/ (3.1).x; y/.u; v/ D.xy uv; xv C yu/ (3.)

3 Cometarios a la defiició de úmero complejo 66 Es muy fácil comprobar las propiedades asociativa, comutativa y distributiva de las operacioes así defiidas. El elemeto eutro de la suma es.0; 0/ y.1; 0/ es la uidad del producto. Además,. x; y/ es el opuesto de.x; y/, y todo.x; y/.0; 0/ tiee iverso x.x; y/ x C y ; y x C y D.1; 0/ Todas estas propiedades se resume diciedo que.r ; C; / (léase el cojuto R co las operacioes de adició y producto ) es u cuerpo. Dicho cuerpo se represeta simbólicamete por C y sus elemetos se llama úmeros complejos Cometarios a la defiició de úmero complejo No debes olvidar que cada cocepto matemático tiee setido detro de ua determiada estructura. Co frecuecia, cuado sobre u mismo cojuto hay defiidas varias estructuras, la termiología que se usa idica la estructura a la que os referimos. Eso pasa e R dode covive varias estructuras cada ua co su termiología propia. Usualmete e R se cosidera las siguietes estructuras. Nigua. Es decir, solamete cosideramos que R es u cojuto. E tal caso llamamos a sus elemetos pares ordeados de úmeros reales. La estructura de espacio vectorial. Esto es, vemos R como u espacio vectorial real. E tal caso a sus elemetos los llamamos vectores. La estructura de espacio euclídeo que se obtiee añadiedo a la estructura de espacio vectorial la distacia euclídea defiida por el producto escalar usual. Esto es, vemos R como el plao euclídeo de la geometría elemetal. E este caso a sus elemetos los llamamos putos. La misma termiología se emplea cuado se cosidera e R la estructura de espacio afí o de espacio topológico. La estructura de cuerpo defiida por las operacioes (3.1) y (3.). E tal caso, a los elemetos de R se les llama úmeros complejos. Ocurre que estos térmios se usa a veces e u mismo párrafo lo que puede resultar cofuso. La regla que debes teer siempre presete es que todo cocepto matemático tiee setido propio detro de ua determiada estructura matemática. Por ello, a u elemeto de R se le llama úmero complejo cuado se va a usar el producto defiido e (3.) que es lo que e realidad distigue a los úmeros complejos de los vectores de R Forma cartesiaa de u úmero complejo El símbolo usual.x; y/ para represetar pares ordeados o es coveiete para represetar el úmero complejo.x; y/. Para covecerte calcula, usado la defiició (3.),.1; 1/ 4. Represetaremos los úmeros complejos co u simbolismo más apropiado e el que va a iterveir el producto complejo. Para ello, observa que:.x; 0/ C.y; 0/ D.x C y; 0/.x; 0/.y; 0/ D.xy; 0/

4 Cometarios a la defiició usual i D p 1 67 Esto idica que los úmeros complejos de la forma.x; 0/ se comporta respecto a la suma y la multiplicació de úmeros complejos exactamete de la misma forma que lo hace los úmeros reales respecto a la suma y multiplicació propias. E térmios más precisos, R f0g es u subcuerpo de C isomorfo a R. Por esta razó, e las operacioes co úmeros complejos podemos sustituir los complejos del tipo.x; 0/ por el úmero real x. Es decir, hacemos la idetificació.x; 0/ D x. Fíjate que co dicha idetificació el producto x.u; v/ tiee dos posibles iterpretacioes: producto del escalar real x por el vector.u; v/ (estructura vectorial de R ) y producto del complejo.x; 0/ por el complejo.u; v/. Pero ambos coicide y so iguales a.xu; xv/. El úmero complejo.0; 1/ lo represetaremos por i y lo llamaremos uidad imagiaria. Co ello teemos que i D.0; 1/.0; 1/ D. 1; 0/ D 1 Ahora podemos escribir.x; y/ D.x; 0/ C.0; y/ D.x; 0/ C.0; 1/.y; 0/ D x C iy Se dice que x C iy es la expresió cartesiaa (tambié se le llama expresió biómica) del úmero complejo.x; y/. El producto ahora es muy fácil de recordar pues.x C iy/.u C iv/ D xu C i yv C i.xv C yu/ D xu yv C i.xv C yu/ 3. Defiició. Se dice que x es la parte real e y es la parte imagiaria del úmero complejo x C iy. Naturalmete, dos úmeros complejos so iguales cuado tiee igual parte real e igual parte imagiaria. Notació. Es costumbre represetar los úmeros complejos co las letras z y w y reservar las letras x, y, u, v para represetar úmeros reales. Ua expresió de la forma z D x C iy se iterpreta como que z es el úmero complejo cuya parte real es x y cuya parte imagiaria es y. Se escribe Re.z/ e Im.z/ para represetar las partes real e imagiaria de z Cometarios a la defiició usual i D p 1 Acabamos de ver que i D 1 pero eso o os permite escribir así, si más i más, que i D p 1. Fíjate lo que ocurre si poemos i D p 1 y maejamos ese símbolo co las reglas a las que estamos acostumbrados: Luego 1 D 1 D i D i i D p 1 p 1 D p. 1/. 1/ D p 1 D 1 1. Por tato, las matemáticas so cotradictorias y aquí hemos acabado. Naturalmete, el error procede de que estamos haciedo disparates. Fíjate que e la expresió p 1 o puedes iterpretar que 1 es el úmero real 1 (porque, como sabes, los úmeros reales egativos o tiee raíz cuadrada real), sio que tiees que iterpretar 1 como el úmero complejo 1 (espero que ya tegas clara la diferecia). Resulta así que estamos usado raíces de úmeros complejos si haberlas defiido y dado por supuesto que dichas raíces verifica las mismas propiedades que las de los úmeros reales positivos.

5 No hay u orde e C compatible co la estructura algebraica 68 Ates de escribir p 1 hay que defiir qué sigifica p z para z C. Cuado lo hagamos veremos sorpresa! que la igualdad p z p w D p zw, válida cuado z; w R C, o es cierta e geeral cuado z; w C. Todavía más disparatado es defiir id p 1 si i siquiera haber defiido ates los úmeros complejos. Si embargo, y auque parezca metira, e muchos textos se defie (porque sí, si más explicacioes) id p 1 y a cotiuació se dice que los úmeros de la forma acib so los úmeros complejos. No es de extrañar que luego resulte que 1 D 1. Todavía puede hacerse peor las cosas. Recietemete he ecotrado e u texto de ua istitució de educació a distacia escrito por varios profesores la siguiete asombrosa defiició: i D C p No hay u orde e C compatible co la estructura algebraica Al ampliar R a C gaamos mucho pero tambié perdemos algo. Te recuerdo que R tiee dos estructuras: la algebraica y la de orde. Ambas estructuras está armoiosamete relacioadas. Pues bie, e C o hay ada parecido. Podemos defiir relacioes de orde e C, pero o hay igua de ellas que sea compatible co la estructura algebraica. Es decir, es imposible defiir u cocepto de úmero complejo positivo de forma que la suma y el producto de complejos positivos sea positivo. Por ello o se defie e C igú orde. Así que ya sabes: uca escribas desigualdades etre úmeros complejos! Naturalmete, puedes escribir desigualdades etre las partes reales o imagiarias de úmeros complejos, porque tato la parte real como la parte imagiaria de u úmero complejo so úmeros reales Represetació gráfica. Complejo cojugado y módulo Es usual represetar el úmero complejo z D x C iy como el vector del plao.x; y/ y, e ese setido, se habla del plao complejo. El eje horizotal recibe el ombre de eje real, y el eje vertical recibe el ombre de eje imagiario. y Y jzj z D x C iy x X z D x iy Figura 3.1. Represetació de u úmero complejo Si z D x C iy es u úmero complejo (co x e y reales), etoces el cojugado de z se defie como: z D x iy

6 Represetació gráfica. Complejo cojugado y módulo 69 y el módulo o valor absoluto de z, se defie como: q jzj D x C y Observa que p x C y está defiido si ambigüedad; es la raíz cuadrada del úmero real o egativo x C y. Geométricamete, z es la reflexió de z respecto al eje real, mietras que jzj es la distacia euclídea del puto.x; y/ a.0; 0/ o, tambié, la logitud o orma euclídea del vector.x; y/ (ver figura 3.1). La distacia etre dos úmeros complejos z y w se defie como jz wj y es la distacia euclídea etre los respectivos putos del plao. La represetació gráfica de la suma es la usual para la suma de vectores. Dos úmeros complejos z D x C iy y w D u C iv determia u paralelogramo cuya diagoal (ver figura 3.) es z C w (la otra diagoal es z w). Y z C w z w x u x C u X Figura 3.. Suma de úmeros complejos Las siguietes propiedades de la cojugació compleja so de comprobació muy secilla. 3.3 Proposició. Cualesquiera sea los úmeros complejos z y w se verifica que: z D z; z C w D z C w; zw D zw: (3.3) El siguiete resultado establece las pricipales propiedades del módulo de u úmero complejo. Como verás so muy parecidas a las propiedades del valor absoluto y su demostració es prácticamete la misma. 3.4 Teorema. Cualesquiera sea los úmeros complejos z; w C se verifica que: a) E particular, Re z D jzj si, y sólo si, z R C o. mkaxfjre zj; jim zjg 6 jzj 6 jre zj C jim zj (3.4)

7 Forma polar y argumetos de u úmero complejo 70 b) El módulo de u producto es igual al producto de los módulos. jzwj D jzjjwj (3.5) c) El módulo de ua suma es meor o igual que la suma de los módulos. jz C wj 6 jzj C jwj (desigualdad triagular) (3.6) La desigualdad triagular es ua igualdad si, y solamete si, alguo de los úmeros es cero o uo de ellos es u múltiplo positivo del otro; equivaletemete, está e ua misma semirrecta a partir del orige. Demostració. La demostració de a) es imediata. Para demostrar b) y c) usaremos la igualdad jzj D zz que se deduce directamete de la defiició de módulo de u úmero complejo, y la estrategia (1.8) que ya usamos para probar las propiedades aálogas del valor absoluto. b) Basta observar que jzwj y jzjjwj so úmeros positivos cuyos cuadrados coicide, pues jzwj D zwzw D zwzw D zzww D jzj jwj D.jzjjwj/ c) Es suficiete probar que jz C wj 6.jzj C jwj/. E efecto: jz C wj D.z C w/.z C w/ D.z C w/.z C w/ D zz C ww C zw C zwd D jzj C jwj C Re.zw/ 6 jzj C jwj C jre.zw/j6 6 jzj C jwj C jzwj D jzj C jwj C jzjjwj D jzj C jwj C jzjjwjd D.jzj C jwj/ Evidetemete, si zd0 o si wd0, se verifica la igualdad. Supogamos que z 0 y w 0. De lo aterior deducimos que se verifica la igualdad jz C wj D jzj C jwj si, y sólo si, Re zw D jzwj, esto es, si zw R C, o lo que es lo mismo zw D dode R C. Esta igualdad, puede escribirse de forma equivalete, multiplicado por w, como zjwj D w; y dividiedo ahora por jwj, obteemos z D w para algú R C, lo que quiere decir que z y w está e ua misma semirrecta a partir del orige. Observació. Para expresar u cociete de complejos e forma cartesiaa se multiplica umerador y deomiador por el cojugado del deomiador: u C iv x C iy.u C iv/.x D iy/ x C y ux C vy D x C y C i vx uy x C y : Forma polar y argumetos de u úmero complejo El uso de coordeadas polares e el plao facilita mucho los cálculos co productos de úmeros complejos. Para cualquier úmero complejo z D x C iy 0 podemos escribir x z D jzj jzj C i y jzj

8 Forma polar y argumetos de u úmero complejo 71 Como x jzj ; y es u puto de la circuferecia uidad, puede escribirse e la forma jzj x jzj ; y D.cos #; se #/ jzj para algú úmero # R. Resulta así que z D jzj.cos # C i se #/ Esta forma de expresar u úmero complejo recibe el ombre de forma polar, cuya iterpretació gráfica vemos e la figura (3.3). Y jzj # X Figura 3.3. Forma polar de u úmero complejo Dado z C, z 0, hay ifiitos úmeros t R que verifica la igualdad z Djzj.cos t; se t/ cualquiera de ellos recibe el ombre de argumeto de z. El cojuto de todos los argumetos de u úmero complejo o ulo se represeta por Arg.z/. Arg.z/ D ft R W z D jzj.cos t C i se t/g Observa que ( ) cos.t/ D cos.s/ s; t Arg.z/ s D t C k para algú k Z si.t/ D si.s/ Por tato, coocido u argumeto t 0 Arg.z/ cualquier otro es de la forma t 0 Ck para algú k Z, es decir, Arg.z/ D t 0 C Z. De etre todos los argumetos de u úmero complejo z 0 hay uo úico que se ecuetra e el itervalo ;, se represeta por arg.z/ y se le llama argumeto pricipal de z. No es difícil comprobar (véase el ejercicio resuelto (8)) que el argumeto pricipal de zdx Ciy 0

9 Observacioes a la defiició de argumeto pricipal 7 arg.z/ D arc tg.y=x/ C w D x C iv z D x C iy arg.z/ D arc tg.y=x/ arg.z/ D arc tg.y=x/ Figura 3.4. Argumeto pricipal viee dado por: 8 arc tg.y=x/ si y < 0, x < 0 ˆ< = si y < 0, x D 0 arg.z/ D arc tg.y=x/ si x > 0 = si y > 0, x D 0 ˆ: arc tg.y=x/ C si y > 0, x < 0 Igualdad de dos úmeros complejos e forma polar Para que dos úmeros complejos escritos e forma polar z D jzj.cos # C i se #/ y w D jwj.cos ' C i se '/, sea iguales es codició ecesaria y suficiete que los módulos sea iguales jzj D jwj, y los argumetos sea iguales, Arg.z/ D Arg.w/, y ésta codició equivale a que # ' sea u múltiplo etero de. jzj.cos # C i se #/ D jwj.cos ' C i se '/ jzj D jwj # ' D m.mz/ Observacioes a la defiició de argumeto pricipal Puede parecer u poco extraña la forma de elegir el argumeto pricipal de u úmero complejo. La elecció que hemos hecho supoe que medimos águlos e el semiplao superior de 0 a y e el semiplao iferior de 0 a. Fíjate que si tomas u úmero complejo que esté situado e el tercer cuadrate z D x C iy co x < 0; y < 0 y supoes que y es próximo a 0, su argumeto pricipal está próximo a, y si tomas u úmero complejo que esté situado e el segudo cuadrate, w D x C iv co x < 0; v > 0, y supoes que v es próximo a 0, su argumeto pricipal está próximo a. Además, la distacia jw zjdjv yjdv y es ta pequeña como quieras. Esto os dice que el argumeto pricipal tiee ua discotiuidad e el eje real egativo: salta de a cuado atravesamos dicho eje desde el tercer al segudo cuadrate.

10 Observacioes a la defiició de argumeto pricipal 73 Peor todavía dirás. Hasta cierto puto. Primero, la discotiuidad es ievitable. Si queremos elegir argumetos e u itervalo de logitud, digamos Œ ; C Œ, etoces dichos argumetos salta de a C cuado atravesamos la semirrecta.x; y/ D.cos ; se /,. > 0/. E particular, si tomamos argumetos e el itervalo Œ0; Œ (cosa que, a primera vista, parece lo razoable) os ecotramos co que etoces se produce ua discotiuidad de dichos argumetos e el eje real positivo. Bie, sucede que la extesió a C de alguas fucioes defiidas e R C (el logaritmo, las raíces) hace iterveir el argumeto pricipal. Naturalmete, queremos que dichas extesioes siga siedo cotiuas e R C y ello justifica que tegamos que tomar argumetos pricipales de la forma e que lo hemos hecho: porque preferimos itroducir ua discotiuidad e R a perder la cotiuidad e R C Fórmula de De Moivre Veamos cómo la forma polar permite hacer fácilmete productos de úmeros complejos. 3.5 Proposició. Sea z, w coplejos o ulos, # Arg.z/ y ' Arg.w/. Etoces se verifica que # C ' Arg.zw/. Demostració. Teemos que z D jzj.cos # C i se #/ w D jwj.cos ' C i se '/ Usado ahora las igualdades (.4) y (.5), obteemos: zw D jzjjwj.cos # C i se #/.cos ' C i se '/D D jzwjœ.cos # cos ' D jzwj.cos.# C '/ C i se.# C '// se # se '/ C i.se # cos ' C cos # se '/D Lo que os dice que # C ' Arg.zw/. Hemos probado que para multiplicar dos úmeros complejos se multiplica sus módulos y se suma sus argumetos. Así pues, el producto de dos úmeros complejos es geométricamete u giro (pues se suma los argumetos de los úmeros que estamos multiplicado) seguido de ua homotecia (el producto de los módulos de ambos úmeros). Observa que, como cosecuecia de la proposició (3.5), teemos que arg z C arg w Arg.zw/; es decir, arg z C arg w es u argumeto de zw, pero lo que o podemos afirmar es que arg z C arg w sea igual al argumeto pricipal de zw. Naturalmete, esto ocurrirá cuado < arg z C arg w 6. arg z C arg w D arg.zw/ < arg z C arg w 6 (3.7) La siguiete igualdad, muy útil, coocida como fórmula de De Moivre, se demuestra fácilmete por iducció a partir de la proposició (3.5).

11 Raíces de u úmero complejo Proposició (Fórmula de De Moivre). Si z es u complejo o ulo, # es u argumeto de z y es u úmero etero, se verifica que # Arg.z /, es decir: z D jzj.cos # C i se #/ D jzj.cos # C i se #/; # Arg.z/; Z (3.8) Raíces de u úmero complejo Se trata ahora de resolver la ecuació w D z dode es u úmero atural, >, y z 0 es u úmero complejo coocido. Escribamos w e forma polar: w D jwj.cos ' C i se '/ Ahora, usado la fórmula de De Moivre, podemos escribir la ecuació w D z e la forma equivalete: w D jwj.cos ' C i se '/ D jzj.cos # C i se #/ Dode # D arg z. Esta igualdad se da cuado jwj D jzj y ' D # C k dode k Z. Deducimos que jwj D p jzj (ojo: se trata de la raíz ésima de u úmero positivo, cosa ya coocida). Ahora bie, para cualquier úmero ' k de la forma ' k D.# C k/= teemos u úmero complejo w k D p jzj.cos ' k C i se ' k / tal que.w k / D z. Como ua ecuació poliómica de grado o puede teer más de solucioes, se sigue que distitos valores de k debe dar lugar al mismo úmero w k. Veamos: w k D w q, ' k ' q D m, k q D m Es decir, si k y q da el mismo resto al dividirlos por etoces w k D w q. Deducimos que para k D 0; 1; ; : : : ; 1 obteemos w k distitos y cualquier otro w q es igual a uo de ellos. Por tato hay raíces ésimas distitas de z. Hemos obteido que las raíces ésimas de z viee dadas por z k D jzj 1= arg z C k cos C i se arg z C k k D 0; 1; ; : : : ; 1 (3.9) Observa que defiiedo u D cos.=/ C i se.=/, los úmeros u 0 D 1; u; u ; : : : ; u 1 so las raíces ésimas de la uidad. Podemos escribir las raíces ésimas de z e la forma z k D z 0 u k. Como multiplicar por u es u giro de amplitud =, deducimos que las raíces de z se obtiee girado la raíz ésima pricipal, z 0, co giros sucesivos de amplitud =. Es decir, si represetamos todas las raíces ésimas de z obteemos putos sobre ua circuferecia de cetro.0; 0/ y radio p jzj que forma u polígoo regular de lados. De etre todas las raíces ésimas de z vamos a desigar co el símbolo p z a la raíz -ésima pricipal, que está defiida por p z D jzj 1= cos arg z arg z C i se (3.10)

12 Raíces de u úmero complejo 75 Observa que arg p z D arg z Figura 3.5. Raíces oveas de la uidad y, e cosecuecia: < arg p z 6 (3.11) Además, la raíz -ésima pricipal de z es la úica de las raíces -ésimas de z cuyo argumeto pricipal está e el itervalo =; =. Dicho de otra forma, la raíz -ésima pricipal de u úmero complejo está situada e ua regió agular, simétrica co respecto al eje real y de amplitud =, que icluye a su borde superior pero o icluye a su borde iferior Notació de las raíces complejas Observa que e el caso particular de que z sea u úmero real positivo, etoces la raíz pricipal de z (cosiderado como úmero complejo) coicide co la raíz de z (cosiderado como úmero real positivo). Es decir, acabamos de exteder la fució raíz -ésima de R C a todo C coservado el sigificado que esa fució teía e R C. Observa, si embargo, que si x R y es impar, la raíz real de orde de x o coicide co el valor pricipal de la raíz de orde de x cosiderado como úmero complejo. Este pequeño icoveiete o es tal si teemos claro dóde estamos trabajado si e R o e C; esto es, si cuado es impar estamos cosiderado fucioes raíces -ésimas defiidas e R, o si estamos cosiderado dichas fucioes defiidas e C. Observa que para par o hay cofusió algua, solamete cuado es impar y x es u úmero real egativo hay que teer cuidado. Por ejemplo, 3p 1 D 1 cuado cosideramos a la raíz cúbica como ua fució real, y 3p 1 D cos.=3/ C i se.=3/ cuado cosideramos a la raíz cúbica como fució compleja. Programas de cálculo simbólico, como Mathematica, sigue precisamete este coveio y usa la otació p z para el valor pricipal de la raíz -ésima del úmero complejo z. Mucho peor es lo que ocurre cuado se usa otacioes disparatadas como suele hacerse e muchos libros de texto. Como es posible que te las ecuetres, coviee que sepas a qué ateerte. El hecho es que e muchos textos se represeta co el símbolo p z el cojuto formado por todas las raíces -ésimas del úmero complejo z. Pues bueo... acabamos de perder la fució raíz -ésima real y compleja! Porque, digo yo, si hemos de ser coheretes, habrá que

13 Raíces de u úmero complejo 76 eteder que 7p 1 ya o vale 1 sio que es u cojuto formado por 7 úmeros complejos. Y las reglas que coocemos para las raíces reales ya i siquiera puede formularse. Qué setido tiee ahora escribir que 5p 5p 1 D 5p? Es ua igualdad etre cojutos? Debemos multiplicar cada elemeto del cojuto 5p por cada elemeto del cojuto 5p 1 y comprobar que de esa forma obteemos todos los elemetos de 5p? Cómo hay que sumar ahora 3p C 7p 3? Porque 3p debe etederse como u cojuto de 3 elemetos y 7p 3 como u cojuto de 7 elemetos. Estos ejemplos te habrá covecido de lo disparatado de esta forma de proceder. Pero hay más disparates. Alguie puede argumetar que todo esto se arregla iterpretado que cuado z es real, p z, represeta siempre la raíz -ésima real del úmero z. Bueo, pero esto o arregla el disparate de que p z o es ua fució, porque todavía persiste el hecho de que para z complejo o real, p z o es u úmero sio u cojuto de úmeros complejos. Lo peor de todo esto es que los autores que comete estos disparates i siquiera so coscietes de ellos, y usa el símbolo p z e sucesioes, límites o itegrales como si de ua fució usual se tratara. Habría que decirles oiga! si para usted p z so úmeros, qué sigificado tiee ua expresió como lkım!1 p z 1/? Pues eso, i se da cueta. Fialmete, observa que e la defiició (3.10) de p z iterviee el argumeto pricipal, arg.z/. Por la defiició dada de argumeto pricipal, teemos que < arg z 6 y, como ya hemos visto ateriormete, se produce ua discotiuidad del argumeto pricipal e el eje real egativo y, e cosecuecia, la fució z 7! p z es discotiua e el eje real egativo. Te iformo que o hay que preocuparse mucho por esta discotiuidad, de hecho es muy útil y, etre otras cosas, sirve para cotar ceros de fucioes. Lo que quiero es llamarte la ateció sobre lo que ocurre cuado se elige el argumeto pricipal e e el itervalo Œ0; Œ. Cuado se hace así, la fució z 7! p z resulta ser discotiua e el eje real positivo. Mala cosa; co esa elecció para el argumeto pricipal, ua fució que era cotiua e R C, al extederla a C ya o es cotiua e R C La igualdad p z p w D p zw E geeral, o es cierto que, dados dos úmeros complejos z y w, el producto de las raíces -ésimas pricipales de z y de w sea igual a la raíz -ésima pricipal de zw. Lo que, evidetemete, sí es cierto es que el producto de dos raíces -ésimas cualesquiera de z y de w es ua raíz -ésima de zw. Por tato, p z p w, es ua raíz -ésima de zw pero o tiee por qué ser la pricipal. Vamos a ver qué codicioes debe cumplirse para que p p z w sea la raíz -ésima pricipal de zw. Para ello, bastará co exigir que el argumeto pricipal de p z p w esté e el itervalo =; =. Como supoemos que es u úmero atural >, teemos que < arg z C arg w 6 y, por (3.7), deducimos que arg p z p w D arg z arg Hemos probado que p z p w D C arg w arg z C arg w D. Teemos que: arg z C arg w i ; i < arg z C arg w 6 p z p w D p zw < arg.z/ C arg.w/ 6

14 Ejercicios propuestos 77 Por ejemplo, si los úmeros z y w está e el semiplao de la derecha, es decir, Re z > 0, Re w > 0, etoces = < arg.z/ < = y = < arg.w/ < =; por tato e este caso arg.z/ C arg.w/ D arg.zw/ por lo que p z p w D p zw. E particular, esto es cierto cuado z; w R C. Por tato, o perdemos igua de las propiedades de las raíces reales positivas al exteder las raíces a C. E el caso e que D, z D w D 1, teemos que arg. 1/ C arg. 1/ D, y o se cumple la codició aterior. E este caso p p p p 1 1 D 1 1 D 1 D. 1/. 1/ es decir p 1 p 1 D 1 es ua raíz cuadrada de 1 D. 1/. 1/ pero o es la raíz cuadrada pricipal de 1. Ahora ya sabes dóde está el error e lo que sigue: 1 D i D i i D p 1 p 1 D p. 1/. 1/ D p 1 D Ejercicios propuestos 73. Realiza las operacioes idicadas y expresa el resultado e la forma a C i b. i).7 i/.5 C 3i/ ii).i 1/ 3 iii).1 C i/. C i/.3 C i/ iv) v).4 i/.1 3i/ 1 C i vi).1 C i/ vii) 1 C i i 3 C i C i viii) i.1 C i/ Calcula la parte real e imagiaria de las fucioes: a) f 1.z/ D z b) f.z/ D z 3 c) f 3.z/ D 1 d) f.z/ D 1 z 1 C z e) f 4.z/ D z C i z i 75. Calcula las siguietes catidades. a) j.1 C i/. i/j b) 4 3i ˇ i p ˇ c) j.1 C i/ 0 j d) j p C i. p C 1/j Calcula los úmeros complejos z tales que 1 C z 1 z es: a) U úmero real; b) U úmero imagiario puro. 77. Expresa e forma polar los siguietes úmeros complejos. a) p 3 i b) p 3 C i c) 3 p 3 C i d) 1 C ip 3.1 C i/ 78. Expresa los siguietes úmeros e la forma a C i b: a). 1 C i p 3/ 11 b) 1 C i 5 c) 1 i 1 C i p 3 1 i! 6 d). p 3 C i/ 13

15 Ejercicios propuestos Prueba que para z C R o el argumeto pricipal viee dado por arg z D arc tg Im z Re z C jzj Sugerecia. Ver el ejercicio resuelto (). z 80. Calcula arg.zw/ y arg supuestos coocidos arg z y arg w. w 81. Supuesto que jzj D 1, prueba que arg z 1 D z C 1 ( = si Im z > 0 = si Im z < 0 8. Sea z D x C i y. Supuesto que jzj D 1, z 1, z i, prueba que ( z 1 =4 si 1 x C y > 0 arg D z C i 3=4 si 1 x C y < Resuelve la ecuació cuadrática az Cbz Cc D0 dode a; b; c, so úmeros complejos coocidos y a Calcula todas las solucioes de las siguietes ecuacioes: a) z 3 D 1 C i b) z 4 D i c) z 3 D 1 C i p 3 d) z 8 D 1 e) z C iz p 3i D Prueba que si ua ecuació poliómica co coeficietes reales admite ua raíz compleja, z, etoces tambié admite como raíz a z. Da u ejemplo de ua ecuació poliómica de grado mayor que 1 que tega como raíz compleja 1 C i pero o admita como raíz a 1 i. 86. Calcula las solucioes de las ecuacioes: a) z 4 C z 3 C 7z 18z C 6 D 0I b) z 4 C.5 C 4i/z C 10i D 0 Sugerecia. El úmero 1 C i es raíz de la ecuació del apartado a). 87. Demuestra la llamada igualdad del paralelogramo : jz C wj C jz wj D.jzj C jwj /.z; w C/ y explica su sigificado geométrico. 88. Dados dos úmeros complejos y ˇ, calcula el míimo valor para z C de la catidad jz j C jz ˇj : Sugerecia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil. 89. Prueba que ˇ z a ˇ < 1 si jzj < 1 y jaj < 1 y tambié si jzj > 1 y jaj > 1. 1 a z Sugerecia: Ua estrategia básica para probar desigualdades etre módulos de úmeros complejos cosiste e elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.

16 Ejercicios propuestos Sea w u úmero complejo de módulo 1. Expresa los úmeros w 1 y w C 1 e forma polar. 91. Sea x u úmero real que o es múltiplo etero de. Prueba las igualdades C 1 se x a) 1 C cos x C cos x C C cos x D cos x x se C 1 se x b) se x C se x C C se x D se x x se Sugerecia: Si llamamos A a la primera suma y B a la seguda, calcula A C ib haciedo uso de la fórmula de De Moivre. 9. Calcula ua fórmula para la suma NX kd N cos.kt/ C i se.kt/ (tu respuesta debería de ser u cociete de seos). 93. Sea N, > y w D cos C i se valor de las expresioes:. Dado u úmero etero m Z, calcula el 1. 1 C w m C w m C C w. 1/m ;. 1 w m C w m C. 1/ 1 w. 1/m. 96. Haciedo uso de la fórmula de De Moivre prueba que: 1. se 3' D 3 se ' 4 se 3 '.. cos 4' D 8 cos 4 ' 8 cos ' C se 5' D 5 se ' 0 se 3 ' C 16 se 5 '. 97. Represeta gráficamete los cojutos de úmeros complejos z que verifica: jz 3j 6 3I < jz ij 6 3I jarg zj < =6I jz ij C jz C ij D 4 jz 1j D jz iji z i ˇz C i ˇ D I Im.z / > 6I jz ij D Im z C Ecuetra los vértices de u polígoo regular de lados si su cetro se ecuetra e el puto z D 0 y uo de sus vértices z 1 es coocido. 99. Resuelve la ecuació.z 1/ D.z C 1/, dode z C y N, > Sea jz 1 j D jz j D jz 3 j D 1. Prueba que z 1, z, z 3 so vértices de u triágulo equilátero si, y sólo si, z 1 C z C z 3 D Si 06arg w arg z <, prueba que el área del triágulo de vértices 0, z y w viee dada por 1 Im.zw/.

17 Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos Ates de ver la solució de u ejercicio debes itetar resolverlo! z Ejercicio resuelto 4 Calcula la parte real e imagiaria de dode z C fi; ig. 1 C z Solució. Todo lo que hay que hacer es realizar las operacioes idicadas. Pogamos para ello z D x C iy co x; y R. Teemos que z 1 C z D x iy 1 C.x C iy/ D x iy 1 C x y C xyi D.x iy/.1 C x y xyi/.1 C x y / C 4x y D Luego z Re 1 C z D Ejercicio resuelto 5 D x C x3 3xy C i. y 3x y C y 3 /.1 C x y / C 4x y D D x C x 3 3xy.1 C x y / C 4x y C i y 3x y C y 3.1 C x y / C 4x y x C x 3 3xy.1 C x y / C 4x y ; Im. C i p 5/.1 C i p 3/ 3 Calcula p p ˇˇˇˇˇ. ˇ 5 C i 3 z 1 C z D y 3x y C y 3.1 C x y / C 4x y Solució. Como lo que os pide es el módulo o es preciso realizar las operacioes idicadas. Basta teer e cueta que el módulo de u producto es el producto de los módulos y, por tato, el módulo de u cociete es el cociete de los módulos. E cosecuecia: ˇ. C i p 5/.1 C i p 3/ 3 p 5 C i p 3 ˇˇˇˇˇ D ˇ p p ˇˇ3 ˇ C i 5 ˇˇˇˇ1 C i 3 ˇ ˇp5 C i p 3 ˇˇ D 6 p Ejercicio resuelto 6 Calcula los úmeros complejos z tales que w D z i C iz es a) U úmero real; b) U úmero imagiario puro. Solució. Pogamos z D x C iy co x; y R. Teemos que wd x C i.y 1/ C i.y 1//. y ix/ D.x y C ix. y/ C x D 3x C i. x y C 5y /. y/ C x Por tato, w es real si, y sólo si x y C 5y D 0 x C.y 5=4/ D 9=16 Es decir, z está e la circuferecia de cetro.0; 5=4/ y radio 3=4. Aálogamete, w es imagiario puro si, y sólo si, x D 0, es decir, z está e el eje imagiario.

18 Ejercicios resueltos 81 Ejercicio resuelto 7 Calcula los úmeros complejos z tales que w D z 1 i z C 1 C i a) Es u úmero real; b) Tiee módulo 1. Solució. Pogamos z D x C iy co x; y R. Teemos que w D z 1 i z C 1 C i D x 1 C i.y 1/ x C 1 C i.y C 1/ x 1 C i.y 1/ x C 1 i.y C 1/ D.x C 1/ C.y C 1/ D D x C y C i.y x/.x C 1/ C.y C 1/ Por tato, w es real si, y sólo si, y D x cuadrates primero y tercero y z.1 C i/. Es claro que jwj D 1 si, y sólo si 1, es decir, z está e la bisectriz de los jz 1 i jdjz C 1 C i j.x 1/ C.y 1/ D.xC1/ C.y C1/ xcy D0 Es decir, z está e la bisectriz de los cuadrates segudo y cuarto. Ejercicio resuelto 8 por Comprueba que el argumeto pricipal de z D x C iy 0 viee dado 8 arc tg.y=x/ si y < 0, x < 0 ˆ< = si y < 0, x D 0 # D arc tg.y=x/ si x > 0 = si y > 0, x D 0 ˆ: arc tg.y=x/ C si y > 0, x < 0 Solució. Teiedo e cueta que para t < 0 es = < arc tg t < 0 y para 0 6 t es 0 6 arc tg t < =, se sigue que el úmero # defiido por las igualdades ateriores verifica que < #6. Por tato, para probar que #Darg.z/ bastará que comprobemos la igualdad z D jzj.cos # C i se #/, es decir, las igualdades x D jzj cos #, y D jzj se #. Para # D, # D = y # D = dichas igualdades so evidetes. Sea x > 0 e cuyo caso # Darc tg.y=x/. E este caso, como que tg # D y=x y deducimos = < # < =, teemos 1 cos # D 1 C tg # D 1 C y x D x C y x x D.x C y / cos # x D jzj cos # dode, e la última implicació, hemos teido e cueta que x > 0 y cos # > 0. Deducimos tambié que y D x tg # D x se # D jzj se # cos # Cosideremos x < 0 e y > 0. Teemos que = < # D arc tg.y=x/ C <, por lo que = < # < 0, y deducimos tg # D tg.# / D y=x. Razoado como ates obteemos que x D.x C y / cos #. Como x < 0 y cos # < 0, se sigue que x D jzj cos #. De esta igualdad deducimos, al igual que ates, que y D jzj se #.

19 Ejercicios resueltos 8 Cosideremos x < 0 e y < 0. Teemos que < # D arc tg.y=x/ < =, por lo que 0 < # C < =, y deducimos tg # D tg.# C / D y=x. Razoado como e el caso aterior volvemos a obteer las igualdades x D jzj cos #, y D jzj se #. Ejercicio resuelto 9 Expresa e forma polar los siguietes úmeros complejos. a) 1 C i b) p 3 C i 1 C i c) 1 1 C i p 3 Solució. a) Teemos que arg. 1 C i/ D arc tg. 1/ C D 3=4, por lo que 1 C i D p cos.3=4/ C i se.3=4/ b) Teemos que arg. p 3 C i/ D arc tg. 1= p 3/ C D arc tg.1= p 3/ C D =6 C D 5=6 1 arg.1 C i/ D arc tg.1/ D =4 arg D =4 1 C i deducimos que D 7 p! 3 C i 1 Arg. Por tato 1 C i p 3 C i 1 C i D p cos.7=1/ C i se.7=1/ c) arg. 1 C i p 3/ D arc tg. p 3/ C D arc tg. p 3/ C D =3 C D =3, por 1 lo que arg 1 C i p D =3. Por tato 3 1 Ejercicio resuelto 30 1 C i p 3 D 1 cos. =3/ C i se. =3/ z Calcula arg.zw/ y arg supuestos coocidos arg z y arg w. w Solució. Sabemos que arg z C arg w Arg.zw/; además < arg z C arg w 6. Teemos las siguietes posibilidades: < arg z C arg w 6 0 < arg z C arg w C 6 arg.zw/ D arg z C arg w C < arg z C arg w 6 arg.zw/ D arg z C arg w < arg z C arg w 6 < arg z C arg w 60 arg.zw/ D arg z C arg w z Para calcular arg se procede de forma aáloga teiedo e cueta ahora que w z arg z arg w Arg y que < arg z arg w <. w

20 Ejercicios resueltos 83 Ejercicio resuelto 31 Calcula los úmeros complejos z tales que w D z 1 z a) Tiee argumeto pricipal igual a =; b) Tiee argumeto pricipal igual a =. Solució. Pogamos z D x C iy co x; y R. Como z 1 z D x 1 C yi x C iy.x 1 C yi/.x iy/ D.x / C y D x C y 5x C 3yi.x / C y deducimos que arg w D = si, y sólo si, x C y 5x C D 0 e y < 0. Como x C y 5x C D 0.x 5=4/ C y D 9=16 deducimos que arg w D = cuado z está e la semicircuferecia de cetro.5=4; 0/ y radio 3=4 que está coteida e el semiplao iferior. Tambié Tambié deducimos que arg w D = cuado z está e la semicircuferecia de cetro.5=4; 0/ y radio 3=4 que está coteida e el semiplao superior. Ejercicio resuelto 3 Resuelve la ecuació cuadrática az C bz C c D 0 dode a; b; c, so úmeros complejos coocidos y a 0. Solució. Teemos que az C bz C c D 0 z C b a z C c a D 0 z C b a z C b b 4ac a 4a D 0 " z C b p b 4ac a a 8 ˆ< z D b C p b 4ac a ˆ: z D b p b 4ac a Las dos solucioes obteidas suele expresarse e la forma C c a # " z C b a az C bz C c D 0 z D b pb 4ac a b 4a D 0 p b C 4ac a Observa que hemos seguido el mismo procedimieto que e el caso real 1. Debes eteder bie la igualdad z D b pb 4ac (3.1) a Aquí b 4ac es u úmero complejo (e particular, puede ser real), p b 4ac es su raíz cuadrada pricipal y p b 4ac es la otra raíz cuadrada (todo úmero complejo # D 0

21 Ejercicios resueltos 84 tiee dos raíces cuadradas: la pricipal y su opuesta). Aquí o hay positivos i egativos, i ada parecido estamos trabajado co úmeros complejos! Cometo esto para volver a isistir e que los símbolos C y tiee u carácter puramete algebraico: o idica positivo y egativo. E geeral, para resolver ecuacioes co úmeros complejos o es buea estrategia separar la ecuació e su parte real y su parte imagiaria y resolver éstas por separado, sio que debes trabajar co la variable compleja z. No olvides que co los úmeros complejos puedes hacer las mismas operacioes que co los úmeros reales y alguas más que o siempre puedes hacer co los úmeros reales, como extraer raíces y otras que proto estudiaremos. Ejercicio resuelto 33 Calcula las solucioes de la ecuació z 4 C.1 C i/z C 5i D 0. Solució. Poiedo w Dz, la ecuació queda w C.1Ci/w C5i D0, cuyas solucioes so.1 C i/ p.1 C i/ 0i D.1 C i/ p 18i D D.1 C i/ p18.cos. =4/ C i se. =4// D D.1 C i/ p18.1= p i= p /.1 C i/ 3.1 i/ D 1 D i C i Las solucioes de la ecuació dada so las raíces p1 i y p C i. Teemos que arg.1 i/d arc tg y arg. Ci/D arc tg.1=/. Usado que cos.xc=/d se x y se.x C =/ D cos x, obteemos: p1 i D 4p arc tg arc tg 5 cos i se p C i D 4p arc tg.1=/ arc tg.1=/ 5 se C i cos Observa que las solucioes so úmeros complejos pero o so complejos cojugados. La ecuació dada tiee coeficietes complejos. Ejercicio resuelto 34 Calcula las solucioes de las ecuacioes: a) z 4 C z 3 C 7z 18z C 6 D 0I b) z 4 C.5 C 4i/z C 10i D 0 Sugerecia. El úmero 1 C i es raíz de la ecuació del apartado a). Solució. Haremos el apartado a). Para ello usaremos u resultado, que se supoe que debes coocer, segú el cual si u poliomio P.x/ se aula para u valor, P. / D 0, etoces es divisible por x, es decir P.x/D.x /Q.x/ dode Q.x/ es u poliomio de u grado meor que P.x/. 1 Ates, e la eseñaza media se resolvía la ecuació ax C bx C c D 0 dode a; b; c so úmeros reales, igual que lo hemos hecho aquí. He comprobado que ahora los estudiates llega a la Uiversidad si saberla resolver.

22 Ejercicios resueltos 85 Como la ecuació dada es poliómica co coeficietes reales y os dice que 1 C i es raíz, tambié es raíz 1 i. Por tato, el poliomio dado debe de ser divisible por.z.1 C i//.z.1 i// D z z C. Haciedo la divisió, obteemos que z 4 C z 3 C 7z 18z C 6 D.z C 4z C 13/.z z C / Lo que queda ya es imediato. Ejercicio resuelto 35 Demuestra la llamada igualdad del paralelogramo : jz C wj C jz wj D.jzj C jwj /.z; w C/ (3.13) y explica su sigificado geométrico. Demostració. Basta realizar las operacioes idicadas. Teemos que: jz C wj D.z C w/.z C w/ D zz C ww C zw C zw D jzj C jwj C Re.zw/ (3.14) jz wj D.z w/.z w/ D zz C ww zw zw D jzj C jwj Re.zw/ (3.15) Sumado estas igualdades se obtiee la igualdad del euciado. Su sigificado geométrico es que la suma de los cuadrados de las logitudes de las diagoales de u paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las logitudes de sus lados. w z C w z w z Figura 3.6. Igualdad del paralelogramo Ejercicio resuelto 36 Dados dos úmeros complejos y ˇ, calcula el míimo valor para z C de la catidad jz j C jz ˇj : Sugerecia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil. Solució. La sugerecia y u poco de ituició debe ser suficietes para hacer este ejercicio. La ituició lo que dice es que el puto que buscamos debe ser la el puto medio del segmeto de extremos y ˇ, es decir el puto u D C ˇ. Ahora debemos relacioar la catidad que os da co jz uj. Usado la igualdad del paralelogramo (3.13) co z sustituido por z y w por z ˇ y escribiédola de derecha izquierda, teemos que jz j C jz ˇj D jz ˇj C jˇ j

23 Ejercicios resueltos 86 de dode jz j C jz ˇj D ˇ ˇz C ˇ ˇ C 1 jˇ j Deducimos que jz j C jz ˇj > 1 jˇ j para todo z C y la igualdad se da si, y sólo si, z D C ˇ. Ejercicio resuelto 37 Prueba las desigualdades: a) jjzj jwjj 6 jz wj b) jz C wj > 1 ˇˇˇˇ.jzj C jwj/ z jzj C w jwjˇ dode z; w so úmeros complejos o ulos. Estudia tambié cuádo se da la igualdad e cada ua de dichas desigualdades. Sugerecia. Ua estrategia básica para probar desigualdades etre módulos de úmeros complejos cosiste e elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad. Solució. Siguiedo la sugerecia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartado b). Siguiedo la sugerecia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferecia es positiva. jz C wj 1.jzj C jwj/ 4 D jzj C jwj C Re.zw/ Djzj Cjwj C Re.zw/ D 1.jzj C jwj z ˇjzj C w jwjˇ D 1 4.jzj C jwj C jzjjwj/ 1 1 jzj jwj jzjjwj C Re.zw/ D jzjjwj 1 jzj Cjwj Cjzjjwj Re.zw/ jzjjwj D jzjjwj/ C Re.zw/ jzjjwj jzjjwj 1 jzj C jwj C jzjjwj Re.zw/ jzjjwj D D 1.jzj jwj/ 1 jzj C jwj jzjjwj Re.zw/ jzjjwj D D 1.jzj jwj/ 1 Re.zw/ jzjjwj > 0 Porque Re.zw/6jzwjDjzjjwj. La igualdad se da si, y sólo si, jzjdjwj o Re.zw/Djzwj lo que equivale a que zwd R C que equivale a que z y w esté e ua misma semirrecta a partir del orige, o sea, que tega los mismos argumetos. Ejercicio resuelto 38 Expresa e forma biómica los úmeros.1 C i/ 5 ;. p 3 C i/ 37 ; 1 C i p! C i Solució. Naturalmete, se trata de aplicar la fórmula de De Moivre y para ello todo lo que hay que hacer es expresar los úmeros e su forma polar. Cosideremos el úmero

24 Ejercicios resueltos 87 z D 1 C ip 3 1 C i. Teemos que jzj D p (cociete de los módulos) y u argumeto de z es arg.1 C i p 3/ arg. 1 C i/ D arc tg. p 3/.arc tg. 1/ C / D 3 Por tato 1 C i p! 4 3 D. p / 4 cos 1 C i 4 5 C i se D D 1 D Ejercicio resuelto 39 Haciedo uso de la fórmula de De Moivre prueba que: a) se 3' D 3 se ' 4 se 3 '. b) cos 4' D 8 cos 4 ' 8 cos ' C 1. c) se 5' D 5 se ' 0 se 3 ' C 16 se 5 '. Solució. La fórmula de De Moivre es ua herramieta excelete para obteer idetidades trigoométricas. Lo úico que hay que hacer es usar la igualdad.cos x C i se x/ D cos.x/ C i se.x/. N; x R/ Desarrollado la potecia del lado izquierdo por medio del biomio de Newto y agrupar la parte real, que será igual a cos.x/ y la parte imagiaria, que será igual a se.x/. Por ejemplo, para D se obtiee imediatamete que cos.x/ D cos x se x y se.x/ D se x cos x. Haciedo D 3 obteemos cos 3 x C 3i cos x se x 3 cos x se x i se 3 x D cos.3x/ C i se.3x/ Igualado partes imagiarias, resulta: se.3x/ D 3 cos x se x se 3 x D 3.1 se x/ se x se 3 x D 3 se x 4 se 3 x Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiee de forma parecida. Ejercicio resuelto 40 Sea N, >, y w Dcos Ci se mz, calcula el valor de las expresioes:. Dado u úmero etero, a) 1 C w m C w m C C w. 1/m. b) 1 w m C w m C. 1/ 1 w. 1/m. Solució. Necesitamos la expresió de la suma de ua progresió geométrica. Sea z u úmero complejo distito de 1 y N. Pogamos S D 1 C z C z C z 3 C C z. Teemos que S D 1 C z C z C z 3 C C z Sz D z C z C z 3 C C z C z C1 S.z 1/ D z C1 1

25 Ejercicios resueltos 88 Y deducimos que 1 C z C z C z 3 C C z D zc1 1 z 1 (3.16) La suma e a) es ua progresió geométrica de razó w m. Debemos distiguir el caso e que w m D 1, lo que ocurre cuado m es u múltiplo de, e cuyo caso la suma e a) es igual a. E los demás casos, teemos que 1 C w m C w m C C w. 1/m D wm 1 w m 1 D 0 E particular, haciedo md1, deducimos que la suma de las raíces -ésimas de la uidad es igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida. Ejercicio resuelto 41 Sea w u úmero complejo de módulo 1. Expresa los úmeros w 1 y w C 1 e forma polar. Solució. Sea w D cos t C i se t co t D arg.w/. Pogamos u D cos.t=/ C i se.t=/. Co lo que u D w y uu D 1. Teemos que w 1 D u uu D u.u u/ D i se.t=/u (3.17) Deducimos que jw 1jDjse.t=/j. Supodremos e lo que sigue que w 1. Observa que w 1 es producto de 3 úmeros: el úmero i, cuyo argumeto pricipal es =, el úmero u, cuyo argumeto pricipal es t= y el úmero se.t=/ cuyo argumeto pricipal es 0 cuado se.t=/ > 0, y cuado se.t=/ < 0. U argumeto de w 1 será = C t= C arg.se.t=//. Observa que < t 6 y t 0. Distiguiremos dos casos: 0 < t 6 se.t=/ > 0 arg.w 1/ D C t D t C w 1 D se.t=/ se.t=/ C i cos.t=/ < t < 0 se.t=/ < 0 arg.w 1/ D C t w 1 D se.t=/ se.t=/ i cos.t=/ D t Fíjate e que si e (3.17) hacemos el producto iu y distiguimos los casos se.t=/ > 0 y se.t=/ < 0, obteemos las mismas expresioes para w 1. Ejercicio resuelto 4 igualdades Sea x u úmero real que o es múltiplo etero de. Prueba las C 1 se a) 1 C cos x C cos x C C cos x D cos x x se C 1 se b) se x C se x C C se x D se x x se x x

26 Ejercicios resueltos 89 Solució. Si llamamos A a la primera suma y B a la seguda, podemos calcular ACiB haciedo uso de la fórmula de De Moivre. Solució. Pogamos w D cos x C i se x; u D cos.x=/ C i se.x=/. Teemos que w 1 porque x Z. A C ib D 1 C w C w C w 3 C C w D wc1 1 w 1 D (por (3.17)) D wc1 1 i se.x=/u Teiedo e cueta que w C1 Dcos.C1/x Ci se.c1/x es u úmero complejo de módulo 1 y que u C1 D cos. C 1/x= C i se. C 1/x=, podemos usar la igualdad (3.17) para obteer que: w C1 1 D i se. C 1/x= u C1 Deducimos que C 1 se x se ACiBDu C1 C 1 C 1 x D cos x C i se x se se C 1 x Igualado partes real e imagiaria, se obtiee las dos igualdades del euciado. Ejercicio resuelto 43 Dados dos úmeros complejos distitos a; b C, justifica que para z b el úmero z a es real si, y sólo si, z está e la recta que pasa por a y por b; y es z b real egativo si, y sólo si, z está e el segmeto que ue a co b. Solució. Sea t R, t 1. Teemos que z a z b D t z D a bt D a C t.a b/ 1 t 1 t La recta que pasa por a y b tiee la ecuació paramétrica z D a C.a b/, co R, por lo que la igualdad aterior os dice que z a es real si, y sólo si, z está e dicha z b recta. Si t < 0, la igualdad aterior puede escribirse, cambiado t por z a z b D s z D a C bs 1 C s D s 1 C s b C 1 1 C s a s, e la forma Lo que os dice que z es de la forma b C.1 /a co 0 < D s < 1 pero esos 1 C s so justamete los putos del segmeto que ue a co b (excluidos los extremos). Ejercicio resuelto 44 a) Sea jz 1 j D jz j D jz 3 j D 1. Prueba que z 1, z, z 3 so vértices de u triágulo equilátero si, y sólo si, z 1 C z C z 3 D 0. b) Deduce de lo aterior que si el baricetro y el circucetro de u triágulo coicide, dicho triágulo debe ser equilátero. Solució. a) Si z 1, z, z 3 so vértices de u triágulo equilátero, etoces cada uo debe estar girado u águlo de =3 radiaes respecto de otro. Sabemos que multiplicar x

27 Ejercicios resueltos 90 por u complejo, u, de módulo 1 es u giro de amplitud igual a arg.u/. Defiamos u D cos.=3/ C i se.=3/. Los tres vértices los podemos escribir como z 1, z 1 u, z u y, por tato: z 1 C z C z 3 D z.1 C u C u / D z u3 1 u 1 D 0 Supogamos ahora que jz 1 jdjz jdjz 3 jd1, y que z 1 Cz Cz 3 D0. Para probar que dichos úmeros so vértices de u triágulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar que so las raíces cúbicas de u úmero complejo. Es decir, se trata de probar que hay u úmero tal que z 1, z y z 3 so las raíces de la ecuació poliómica z 3 D 0. Para esto es ecesario y suficiete que el producto.z z 1 /.z z /.z z 3 / puede escribirse e la forma z 3. Teemos:.z z 1 /.z z /.z z 3 / D z 3.z 1 C z C z 3 /z C.z 1 z C z 1 z 3 C z z 3 /z z 1 z z 3 D D z 3 C.z 1 z C z 1 z 3 C z z 3 /z z 1 z z 3 Poiedo D z 1 z z 3, lo que hay que probar es que z 1 z C z 1 z 3 C z z 3 D 0. Todavía o hemos usado la hipótesis de que jz 1 j D jz j D jz 3 j D 1. Vamos a usarla ahora para itetar sacar factor comú e la suma z 1 z Cz 1 z 3 Cz z 3 D0 la expresió z 1 Cz Cz 3. Teemos que: z 1 z C z 1 z 3 C z z 3 D z 3 z 3 z 1 z C z z z 1 z 3 C z 1 z 1 z z 3 D.z 1 C z C z 3 /z 1 z z 3 D 0 Pues z 1 C z C z 3 D z 1 C z C z 3 D 0: El apartado b) se deduce fácilmete de a) siempre que sepas lo que es el baricetro y el circucetro de u triágulo. Ejercicio resuelto 45 Si 0 6 arg w arg z <, prueba que el área del triágulo de vértices 0, z y w viee dada por 1 Im.zw/. Solució. El área de todo triágulo es la mitad de la base por la altura. E la figura (3.7) se ha tomado como base el vector z co logitud jzj y la altura es h. Observa que se.' #/ D h. Por tato jwj área D 1 jzjh D 1 jzjjwj se.' #/ Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triágulo es igual a la mitad del producto de las logitudes de dos lados por el seo del águlo que forma. Pogamos z D x C iy, w D u C iv. Como # D arg.z/ y ' D arg.w/, teemos que área D 1 jzjjwj se.' #/ D 1 jzjjwj se.'/ cos.#/ cos.'/ se.#/ D D 1 v jzjjwj x u y D 1 jwj jzj jwj jzj.vx uy/ D 1 Im.zw/

28 Fucioes elemetales complejas 91 w h ' # z Figura 3.7. Área de u triágulo 3.4. Fucioes elemetales complejas Las fucioes complejas o so más que las fucioes defiidas e subcojutos de R co valores e R, cuado e R cosideramos su estructura compleja. Dado u cojuto A C, a toda fució compleja f W A! C se le asocia dos fucioes reales: la fució u D Re f parte real de f y la fució v D Im f parte imagiaria de f defiidas para todo.x; y/ D x C iy A por: u.x; y/ D Re f.x C iy/; v.x; y/ D Im f.x C iy/ Naturalmete, f.x C iy/ D u.x; y/ C i v.x; y/ La fució expoecial Defiimos la expoecial compleja de u úmero z D x C i y como Observa que e xci y D exp.x C i y/ D e x cos y C i se y (3.18) E particular, obteemos la llamada fórmula de Euler: j e z j D e Re z ; Im z Arg.e z / (3.19) e i t D cos t C i se t.para todo t R/ (3.0) que establece ua relació etre la expoecial compleja y las fucioes trigoométricas. De la fórmula de Euler se deduce fácilmete las llamadas ecuacioes de Euler: cos t D ei t C e i t ; se t D ei t e i t i.t R/ (3.1) Más adelate veremos la justificació de esta defiició.

29 Logaritmos complejos 9 La expoecial compleja tiee la propiedad fudametal de trasformar sumas e productos. Se prueba fácilmete, haciedo uso de la defiició (3.18 y de las igualdades (.4) y (.5) que e zcw D e z e w para todos z; w C (3.) Esta propiedad, juto co las ecuacioes de Euler (3.1), hace que la expoecial compleja sea la herramieta más usada para trabajar co las fucioes seo y coseo. Por ejemplo, de la fórmula de Euler (3.0) y de la igualdad aterior, se deduce eseguida la fórmula de De Moivre. cos.t/ C i se.t/ D e it D e it D cos t C i se t/ Igualmete, de las igualdades.z; t R/ (3.3) cos.a C b/ C i se.a C b/ D e.acb/i D e ia e ib D.cos a C i se a/.cos b C i se b/ se deduce e seguida, haciedo el producto idicado e igualado partes real e imagiaria, las igualdades (.4) y (.5). Otras idetidades trigoométricas se obtiee tambié muy fácilmete. Por ejemplo, para expresar u producto de seos o coseos como ua suma de seos o de coseos se puede hacer lo que sigue. e ia C e ib D e i.acb/= e i.a b/= C e i.b a/= D e i.acb/= cos..a b/=/ (3.4) Igualado partes real e imagiaria, deducimos que: cos a C cos b D cos..a b/=/ cos..a C b/=/ (3.5) se a C se b D cos..a b/=/ se..a C b/=/ (3.6) De la igualdad (3.), se deduce que para todo z C y todo k Z es e z D e zcki Lo que, e particular, os dice que exp.z/ D exp.z C i/, o sea, la expoecial compleja es ua fució periódica co período i. Naturalmete, esto supoe ua gra diferecia co la expoecial real que es ua fució iyectiva. La fució expoecial es particularmete útil para represetar los úmeros complejos de módulo 1, es decir los úmeros complejos de la forma cos t C i se t (t R). Recuerda que multiplicar por u úmero complejo de módulo 1 represeta u giro cuya amplitud es el argumeto de dicho úmero. Fíjate que el complejo cojugado de e it es e it. Ua expoecial real es siempre positiva. Para la expoecial compleja o tiee setido hablar de positiva, todo lo que podemos decir es que la expoecial compleja o se aula uca pues j e z j D e Re z > Logaritmos complejos El comportamieto periódico de la expoecial compleja se va a traducir, como vamos a ver eseguida, e que la ecuació e w Dz, dode z es u úmero complejo o cero, va a teer ifiitas solucioes w C. Como e w D e Re w cos.im w/ C i se.im w/

30 Logaritmos complejos 93 Para que e w Dz es ecesario y suficiete que: 1. je w j D jz j, esto es, e Re w Djzj, es decir, Re w D log jz j (logaritmo atural del úmero real positivo jz j).. Arg.e w / D Arg.z/. Como Im w Arg.e w /, esta igualdad equivale a Im w Arg z; y esto se cumple si, y sólo si Im w D arg.z/ C k, co k Z. Hemos probado que fw C W e w Dzg D flogjzj C i.arg.z/ C k/; k Zg Por tato, existe ifiitos úmeros complejos w que satisface la ecuació e w Dz. Cualquiera de ellos se llama u logaritmo de z. El cojuto de todos ellos lo represetaremos por Log z. Log z D flogjzj C i.arg.z/ C k/; k Zg Todos los logaritmos de z está situados e ua misma recta vertical de abscisa logjzj, y a partir de uo cualquiera de ellos podemos situar todos los demás, desplazádolo hacia arriba o hacia abajo ua distacia igual a u múltiplo etero de. De etre todos los logaritmos de z elegimos uo, llamado logaritmo pricipal, defiido por log z D log jzj C i arg.z/ para todo z C Cuado z es u úmero real positivo, z R C, el logaritmo pricipal que acabamos de defiir coicide co el logaritmo real de z. Es decir, acabamos de exteder la fució logaritmo real de R C a C. Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma log z Cik para algú etero k. Además, de todos los logaritmos de z, el logaritmo pricipal es el úico cuya parte imagiaria está e el itervalo ;. Es importate que observes que la igualdad log zw D log z C log w que es válida para los logaritmos de los úmeros reales positivos, o es siempre cierta para úmeros complejos. Por ejemplo: Y log e i =3 D i 3 ; log ei 3=4 D i 3 4 log e i =3 e i 3=4 D log e i 17=1 D log e i7=1 D i 7 1 i 3 C i 3 4 Lo que está claro es que el úmero log z C log w Log.zw/, es decir, log z C log w es u logaritmo de zw pero o tiee por qué ser el logaritmo pricipal de zw. Observació. Muchos libros usa la otació Log z para represetar el logaritmo pricipal de z y log z para represetar el cojuto de todos los logaritmos de z. De esta forma cosigue que la fució log, que era coocida para reales positivos, ya o pueda usarse más, porque ahora log 1 ya o será 0 sio el cojuto fki W k Zg; y lo que ates escribíamos log ahora tedremos que escribirlo Log. Es decir, o se gaa ada y se pierde todo. Es lo que yo digo, para qué hacer las cosas bie pudiedo hacerlas mal?

31 Potecias complejas Potecias complejas Recuerda que dados dos úmeros reales a > 0 y b R, la potecia de base a y expoete b se defie como a b D e b log a. Ahora, dados a; b C, co a 0, sabemos que hay ifiitos logaritmos de a, todos ellos de la forma log a C ik, co k Z. Por ello, cualquier úmero complejo de la forma e b.log aci k/ dode k Z, es ua potecia de base a y expoete b. Represetamos por Œa b el cojuto de todas ellas. o Œa b D e b.log aci k/ Wk Z Se destaca ua: a b D e b log a que se llama valor pricipal de la potecia de base a y expoete b. Observa que si b D 1= dode N, el úmero 1 log a a 1= D exp log a D exp C i arg a D jaj 1= cos arg a C i se arg a es el valor pricipal de la raíz -ésima de a que ates hemos otado por p a Ejercicios propuestos 10. Expresa los 8 úmeros 1 i, p3 i e la forma r e i' Calcula el módulo y los argumetos pricipales de los úmeros dode j'j 6 y a > 0. 1 C e i' ; 1 e i' ; a e i' 104. Calcula log z y Log z cuado z es uo de los úmeros siguietes i; i; e 3 ; e 5i ; 4; 5 e; 1 C i 105. Calcula log.3i/ C log. 1 C i p 3/ y log 3i. 1 C i p 3/. 1 i 106. Calcula log. 1 i/ log i y log. i 107. Calcula Œ. 4/ i ; i 3i ; Œi = ; Œi i ; 1 i ; 3 1 i ;.. i/ i / i ;.1 C i/ 1Ci 108. Estudia, para z C y N, las igualdades: a) log.e z / D z I b/ exp.log.z// D z I c/ log. p z/ D log.z/ I d/ log.z / D log.z/:

32 Ejercicios resueltos Prueba que la fució logaritmo pricipal establece ua biyecció etre los cojutos CR o y D fz C W < Im.z/ < g Estudia codicioes para que a b c D a bc Co ua iterpretació adecuada de la suma justifica que: a) Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/; b) Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/ 11. Estudia, iterpretádolas coveietemete cuado sea ecesario, las siguietes igualdades: a) LogŒa b D b Log.a/ b) logœa b D b Log.a/ c) log.a b / D b log a 113. Idica el error e los razoamietos siguietes:. z/ D z ; por tato Log. z/ D Log.z/ y, por cosiguiete, Log. z/ D Log.z/ Explica co detalle dóde está el error e las igualdades siguietes: i D. 1/ 1= D Œ. 1/ 3 1= D. 1/ 3= D i 3 D i Ejercicios resueltos Ates de ver la solució de u ejercicio debes itetar resolverlo! Ejercicio resuelto 46 Estudia, para z C y N, las igualdades: a) log e z D z I b/ exp.log.z// D z I c/ log p z D log.z/ I d/ log.z / D log.z/: Solució. a) Es evidete que z es u logaritmo de e z y será el logaritmo pricipal si, y sólo si, < Im z 6. E cosecuecia: log e z D z < Im z 6 b) Los logaritmos de z se defie como los úmeros cuya expoecial es z, luego, e particular, exp.log.z// D z cualquiera sea z C. c) log p z D log ˇˇ p zˇˇ p C i arg z D logjzj log.z/ D logjzj C i arg z La igualdad e c) se verifica siempre. d) C i arg z log.z / D log.jz j/ C i arg.z / D log.jzj/ C i arg.z / log.z/ D log.jzj/ C i arg.z/ La igualdad e d) equivale a que arg.z / D arg.z/. Como arg.z/ es u argumeto de z, para que sea el argumeto pricipal deberá ser < arg.z/ 6.

33 Ejercicios resueltos 96 Ejercicio resuelto 47 Estudia codicioes para que a b c D a bc. Solució. Teemos que Por otra parte a b c D exp.c log.a b //I a bc D exp.bc log a/ exp.c log.a b //Dexp c log.e b log a / Dexp c.b log acik/ Dexp.bc log acick/ Dode k es u etero que hay que elegir por la codició de que < Im.b log a C ik/ 6 Cocluimos que si k D 0, lo que ocurre solamete cuado < Im.b log a/ 6, etoces la igualdad del euciado se cumple para todo c. E otro caso, la igualdad del euciado se cumple solamete cuado c es u úmero etero. Ejercicio resuelto 48 Co ua iterpretació adecuada de la suma justifica que: a) Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/; b) Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/ Solució. La forma razoable de iterpretar la igualdad Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/, es que sumado cada uo de los elemetos de Arg.z/ co cada uo de los elemetos de Arg.w/ obteemos todos los elemetos de Arg.zw/. Que efectivamete esto es así es fácil de probar. Sea s Arg.z/ y t Arg.w/. Etoces, sabemos que s C t es u argumeto de zw, esto es s C t Arg.zw/. Luego hemos probado la iclusió Arg.z/ C Arg.w/ Arg.zw/. Recíprocamete, sea ' Arg.zw/. Elijamos cualquier elemeto s Arg.z/ y pogamos t D ' s. Etoces t es u argumeto de zw D w, esto z es, t Arg.w/; luego ' D s C t Arg.z/ C Arg.w/. Lo que prueba la otra iclusió Arg.zw/ Arg.z/ C Arg.w/. Aálogamete, La forma razoable de iterpretar la igualdad Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/, es que sumado cada uo de los elemetos de Log.z/ co cada uo de los elemetos de Log.w/ obteemos todos los elemetos de Log.zw/. Teiedo e cueta que Log.z/ D logjzj C i Arg.z/, la igualdad b) se deduce de a). Observació. Quie haya estudiado el cocepto de grupo cociete, puede iterpretar la suma Arg.z/ C Arg.w/ e el grupo cociete del grupo aditivo de los úmeros reales respecto del subgrupo de los múltiplos eteros de, esto es, el grupo G D R=Z. Si z es u complejo o ulo, se tiee que Arg.z/ G y, por defiició de suma e u grupo cociete, teemos que Arg.z/ C Arg.w/ es la clase que cotiee a arg.z/ C arg.w/ y, como arg.z/ C arg.w/ Arg.zw/, obteemos que Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/. Ejercicio resuelto 49 Idica el error e los razoamietos siguietes:. z/ D z ; por tato Log. z/ D Log.z/ y, por cosiguiete, Log. z/ D Log.z/. Solució. De la igualdad Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/, probada e el ejercicio aterior, se deduce que Log.z / D Log.z/ C Log.z/. Es decir, que sumado de todas las formas posibles dos logaritmos de z obteemos todos los logaritmos de z. Pero eso es muy distito a sumar cada logaritmo de z cosigo mismo. Es decir, el cojuto Log.z/ es solamete ua parte del cojuto Log.z/ C Log.z/.

34 Aplicacioes de los úmeros complejos Aplicacioes de los úmeros complejos Como ya hemos dicho ateriormete, la expoecial compleja es la herramieta más útil para trabajar co fucioes siusoidales, esto es, las fucioes seo y coseo. Muchísimos procesos aturales, etre los que destaca por su importacia y uiversalidad los movimietos oscilatorios y odulatorios, se describe adecuadamete por medio de fucioes siusoidales. Eso explica la presecia de la expoecial compleja y de los úmeros complejos e teorías que, a primera vista, ada tiee que ver co ellos. Veamos alguos ejemplos Movimieto armóico simple A O!t ' x.t/ r.t/ r.0/ A U úmero complejo es u vector del plao que, escrito e forma polar, tiee asociado u águlo y por eso, los úmeros complejos so muy apropiados para represetar giros y movimietos circulares. Cosideremos u móvil que recorre ua circuferecia cetrada e el orige y de radio R co ua velocidad agular costate!. Supogamos que su posició iicial para t D 0 viee dada por.a cos '; A se '/. La posició de dicho móvil e el tiempo t es r.t/ D A cos.!t C '/; A se.!t C '/ Usado úmeros complejos, podemos escribir Figura 3.8. Movimieto circular r.t/ D A cos.!t C '/ C ia se.!t C '/ Que se expresa mejor co la expoecial compleja: r.t/ D A cos.!t C '/ C ia se.!t C '/ D A e i.!tc'/ DA e i' e i!t Recuerda que multiplicar por e i!t es u giro de amplitud!t. La igualdad r.t/ D A e i' e i!t os dice que la posició del móvil e el tiempo t se obtiee girado el vector que represeta su posició iicial r.0/ D A e i' u giro de amplitud!t. La proyecció sobre el eje de abscisas del vector r.t/ es la primera compoete de dicho vector: x.t/ D Re r.t/ D A cos.!t C '/ (3.7) Iterpretamos jx.t/j como la distacia al orige e el istate t de u móvil que se desplaza sobre el eje de abscisas y cuya posició e el tiempo t viee dada por la igualdad (3.7). Observa que dicho móvil recorre el segmeto Œ A; A co u movimieto que se caracteriza porque se repite a itervalos regulares de tiempo, pues defiiedo T D =!, se tiee que: x.t C T / D A cos.!.t C T / C '/ D A cos.!t C C '/ D A cos.!t C '/ D x.t/ Dicho movimieto se llama movimieto armóico simple. Naturalmete, la proyecció sobre el eje de ordeadas del vector r.t/ tambié describe u movimieto armóico simple de ecuació y.t/ D Im r.t/ D A se.!t C '/ (3.8)

35 Movimieto armóico simple 98 Las ecuacioes (3.7) y (3.8) represeta u mismo tipo de movimieto pues u seo o es más que u coseo retrasado e =, como se sigue de la igualdad cos.x =/ D se x. E el movimieto armóico simple x.t/ D A cos.!t C '/ el úmero A se llama amplitud, el úmero!t C ' se llama fase, siedo ' la fase iicial;! es la frecuecia agular que se mide e radiaes por segudo. El úmero T D =! es el periodo, que es el tiempo, medido e segudos, que el móvil tarda e completar u ciclo. El úmero f D 1=T es la frecuecia, que es el úmero de ciclos recorridos e u segudo. La uidad de la frecuecia es el ciclo por segudo que se llama herzio. La represetació compleja proporcioa ua visualizació gráfica del movimieto que es muy útil para el estudio de la composició de movimietos armóicos simples. Cosideremos dos movimietos armóicos simples de igual frecuecia dados por x 1.t/ D A 1 cos.!t C ' 1 /; x.t/ D A cos.!t C ' / Queremos estudiar el movimieto dado por x.t/ D x 1.t/ C x.t/. La represetació compleja de los movimietos permite dar ua respuesta si ecesidad de hacer cálculos. Pogamos x 1.t/ D Re r 1.t/ D Re A 1 e i.!tc' 1/ I x.t/ D Re r.t/ D Re A e i.!tc' / Claramete, x.t/ D x 1.t/ C x.t/ D Re.r 1.t/ C r.t//. Como los vectores r 1.t/ y r.t/ gira co igual velocidad agular,!, el vector suma r.t/ D r 1.t/ C r.t/ tambié gira co la misma velocidad agular (el paralelogramo de lados r 1.t/ y r.t/ gira todo él co velocidad agular!). Deducimos que x.t/ D Re.r.t// es la ecuació de u movimieto armóico simple de frecuecia agular!, amplitud igual al módulo de r.t/ (que debe ser costate) y fase igual al argumeto del úmero complejo r.t/. El módulo de ua suma lo hemos calculado e (3.14). E uestro caso es jr.t/j D jr 1.t/j C jr.t/j C Re.r 1.t/r.t// D A 1 C A C A 1A cos.' 1 ' / r 1.t/ r.t/ r.t/ O x 1.t/ x.t/ x.t/ Figura 3.9. Composició de movimietos armóicos

36 Circuitos eléctricos 99 Como la frecuecia agular debe ser!, la fase será!t C ' dode ' es la fase iicial, que es el argumeto del úmero complejo r.0/dr 1.0/Cr.0/DA 1 e i' 1 CA e i' D.A 1 cos ' 1 CA cos ' /Ci.A 1 se ' 1 CA se ' / que ya debes saber calcular Circuitos eléctricos I.t/ V.t/ R L C Figura Circuito RLC E el aálisis de circuitos eléctricos los úmeros complejos, co el ombre de fasores, fuero itroducidos e 1863 por el matemático e igeiero Charles Proteus Steimetz ( ). U fasor es u úmero complejo que represeta la amplitud y fase iicial de ua siusoide. Los fasores proporcioa ua herramieta útil para estudiar circuitos eléctricos cuyo voltaje es de tipo siusoidal V.t/ D V m cos.!t C '/. Aquí V m > 0 es la amplitud o máximo valor del voltaje, y ' la fase iicial. Podemos asociar a V.t/ u fasor que represetamos V y es el úmero complejo V DV m e i'. De esta forma podemos escribir V.t/DRe.V e i!t / co lo que separamos la iformació de frecuecia y de fase. Observa que, coocida la frecuecia, la siusoide queda determiada de forma úica por su fasor asociado. La derivada de ua siusoide es otra siusoide. El fasor que represeta a la derivada se expresa muy fácilmete mediate el fasor que represeta a la siusoide. V 0.t/ D dv.t/ dt D V m! se.!t C '/ D V m! cos.!t C ' C =/ D Re.i!V e i!t / Deducimos que el fasor que represeta a V 0.t/ es i!v. Observa que i!v D!V m e i.'c=/, por lo que el fasor que correspode a la derivada de ua siusoide va adelatado 90 grados respecto a la siusoide. De la misma forma, el fasor que represeta a la primitiva de la siusoide V.t/ es 1 i! V y va retrasado 90 grados respecto a la siusoide. Supogamos que e el circuito de la figura (3.10) se tiee que la itesidad de la corriete viee dada por ua siusoide (lo cual se sabe que es así cuado la fuerza electromotriz aplicada es siusoidal). Pogamos I.t/ D I m cos.!t C '/ y sea I su fasor asociado. Expresemos la caída de potecial e cada uo de los elemetos que forma el circuito mediate los fasores de la corriete y el voltaje. Se trata de u circuito RLC que costa de ua resistecia de R ohmios, u codesador de capacitacia C y u iductor, co iductacia L. La diferecia de potecial e los extremos de la resistecia viee dada por V R.t/ D RI.t/ D RI m cos.!t C '/

37 Circuitos eléctricos 100 La relació etre los fasores respectivos es V R D RI: Como R > 0 se tiee que el voltaje a través de ua resistecia está e fase co la corriete. Es sabido que ua corriete variable e u iductor produce u campo magético que da lugar a ua fuerza electromotriz iducida que se opoe a la fuerza electromotriz aplicada, lo que origia ua caída de potecial dada por V L.t/ D L di.t/ dt Deducimos que la relació etre los correspodietes fasores es V L D i!li y por tato el voltaje a través de u iductor va adelatado 90 grados respecto a la corriete. Llamado Q.t/ a la carga que almacea el codesador e el tiempo t, se sabe que la diferecia de potecial etre los extremos del codesador viee dada por la igualdad V C.t/ D Q.t/ C D 1 C t 1 I.s/ ds Y deducimos que la relació etre los correspodietes fasores es V C D 1 i!c I D i!c I y por tato el voltaje a través de u iductor va retrasado 90 grados respecto a la corriete. La suma de las diferecias de potecial a través de los distitos elemetos del circuito debe ser igual al voltaje aplicado. E térmios de los fasores asociados, esto quiere decir que: RI C i!li R C i!l I D V (3.9) i!c I D El úmero complejo i Z D R C i!l!c se llama impedacia. La impedacia depede de la frecuecia de la fuerza electromotriz aplicada y de las características del circuito. Cuado se cooce la impedacia y el voltaje, podemos calcular el fasor de la corriete por la igualdad I D V Z D V R C i!l y la corriete e el circuito viee dada por I.t/ D I e i!t. Teemos que jv j jij D s R C!L i!c i!c 1!C

38 Procesamieto digital de señales El úmero!l se llama reactacia. El valor de la frecuecia para el que la reactacia!c se aula viee dado por! r D p 1 y se llama frecuecia de resoacia. Es el valor de la LC frecuecia para el cual el valor de jij es máximo Procesamieto digital de señales Como si duda sabes, los formatos digitales más frecuetes de audio e image so, respectivamete, MP3 y JPG. Cuesta trabajo imagiar cómo sería Iteret si estos formatos. Lo que quizás o sepas es que la codificació MP3 y la JPG se lleva a cabo co algoritmos que usa úmeros complejos. El hecho, por extraño que pueda parecer, es que las pricipales herramietas para trabajar co todo tipo de señales (audio, vídeo, voz, image,... ) so complejas. La trasformada Z, la Trasformada de Fourier e Tiempo Discreto, la Trasformada Discreta de Fourier, la Fució de Trasferecia, los modelos de polos y ceros, la Trasformada de Laplace y otras muchas herramietas básicas para el tratamieto de señales, so todas ellas trasformacioes que usa úmeros complejos. Todavía más, las propias señales se caracteriza por su espectro que es u cojuto de úmeros complejos! Si te sietes atraído por el apasioate mudo del tratamieto digital de señales, todo lo que sepas de úmeros complejos te será útil e tu trabajo. Como lectura adicioal te recomiedo el capítulo 4 del libro de Michael Spivak [16].