UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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1 UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN VARIABLES ESTADÍSTICAS. PARÁMETROS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Distribució Biomial Distribució Normal Aproximació de la Biomial por la Normal MUESTREO DISTRIBUCIONES MUESTRALES Distribució muestral de medias Distribució muestral de proporcioes ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Estimació putual Estimació por itervalos de cofiaza CONTRASTES DE HIPÓTESIS ACTIVIDADES SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES INTRODUCCIÓN. Durate buea parte de la historia de las Matemáticas, la Estadística se ha dedicado fudametalmete al desarrollo de la Estadística Descriptiva, cuya pricipal tarea ha sido recopilar datos, clasificarlos, tabularlos y relacioarlos. Esta cocepció ta limitada de la Estadística ha veido cambiado radicalmete a partir de los años 3 del siglo XX co el acimieto de la estadística iductiva o Estadística Iferecial, co la que se busca métodos que permita obteer coclusioes válidas para toda la població a partir del estudio de muestras. Esta iferecia o iducció ecesita de ua rama ta importate y compleja como la Probabilidad para sosteer los cálculos y coclusioes, lo que establece ua coexió clara etre la estadística tradicioal y el cálculo de probabilidades dado lugar al complejo campo de la Iferecia Estadística. Durate esta uidad, repasaremos coteidos sobre estadística descriptiva y distribucioes de probabilidad muy utilizadas como la Normal y la Biomial trabajados e cursos ateriores, para coectar después co los coteidos propios de º curso de Bachillerato: Técicas de Muestreo, Iferecia Estadística y Cotraste de Hipótesis. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 1

2 .- VARIABLES ESTADÍSTICAS. PARÁMETROS. E este puto de la uidad o pretedemos, e absoluto, desarrollar todo el coteido sobre variables estadísticas y parámetros, ya que estos se ha veido trabajado durate toda la ESO y el primer curso de Bachillerato. Úicamete vamos a pasar a describir de maera breve y cocisa los aspectos ecesarios que hay que recordar para afrotar la presete uidad. Fudametalmete vamos a recordar las variables estadísticas y los parámetros: media, variaza y desviació típica de u cojuto de datos si agrupar e itervalos. Defiició 1: Llamamos variable estadística a cualquier característica que se observa y estudia e u estudio de tipo estadístico. Al cojuto total objeto del estudio estadístico se le llama població. Llamaremos muestra de dicha població a cualquier subcojuto de la població. Atediedo al tipo de variable, se llama: Variable cualitativa a toda variable estadística que o se puede medir co u úmero. Cuatitativa discreta cuado se puede medir co u úmero y toma valores putuales, es decir, etre dos valores cosecutivos de la variable o hay otro valor. Cuatitativa cotiua, cuado se puede medir co u úmero y puede tomar ifiitos valores de u itervalo. Ejemplo 1: Veamos alguos ejemplos de variables estadísticas: a) El color del pelo de ua persoa, su sexo o el partido político al que ha votado so variables cualitativas porque o se puede medir co u úmeros, ya que describe ua cualidad o ua catidad. b) El úmero de hijos de ua persoa o el úmero materias suspesas, por ejemplo, so variables cuatitativas discretas, ya que toma valores a saltos :, 1,, 3. c) El tiempo que emplea u atleta e correr los 1 metros lisos o la estatura de ua persoa so variables cuatitativas cotiuas ya que etre dos valores de la variable, hay ifiitos otros que puede tomar. Defiició : Sea X ua variable estadística cuatitativa que toma los valores X1, X,... X co frecuecias absolutas respectivas(º de veces que se repite) f1, f,... f. Defiimos: a) La media aritmética como: X X f = = f X f + X f X f N i i i = i i = 1 b) La variaza como: ( ) X X f X f X f + X f X f S X X N N f i i i i i= 1 i= x = = = i i= 1 c) La desviació típica como: S x = + S x Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia

3 S c) El coeficiete de variació como: CV X porcetajes. Para ello, basta multiplicar el resultado por 1. x x =. Frecuetemete se expresa e Ejemplo : Cosideremos que las calificacioes e Matemáticas de los alumos/as de u curso de º de Bachillerato so:,, 1,,,, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9, 9, a) La ota media sería: X = = = 4,45 b) Co ua variaza de: S x = 4,45 = 4,45 = 7,6475 c) La desviació típica sería: S = 7,6475,77 d) El coeficiete de variació: u 6,5%. Se propoe la actividad DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. x,77 CV x =,65. Expresado e porcetajes, sería de 4,45 Defiició 3: Sea X ua variable aleatoria discreta. Llamamos fució de probabilidad f x = P X = x a la fució: ( ) ( ) i i Defiició 4: Sea X ua variable aleatoria cotiua. Llamamos fució de desidad a la fució f ( x ) que permite hallar mediate el cálculo de áreas las probabilidades de las distribucioes cotiuas. Defiició 5: Sea X ua variable aleatoria. Llamamos fució de distribució a la F x = P X x, tato para el caso discreto como para el caso cotiuo. fució ( ) ( ) Proposició 1: Sea X ua variable aleatoria y F su fució de distribució. Etoces: P a < X b = F b F a ( ) ( ) ( ) Nota 1: Los coceptos y propiedad aterior se puede desarrollar mucho más para su completa compresió. No obstate, como se aleja de los objetivos de la presete uidad, os limitaremos a ver brevemete, y si etrar e detalles, aquello que ecesitamos para los objetivos de la uidad. Si coviee observar que mietras que e el caso discreto, la probabilidad de la proposició 1 correspode a ua suma de probabilidades, e el caso cotiuo correspode al área ecerrada por la curva de la fució de desidad etre dos valores. Por ello, estas áreas las calcularemos utilizado ua tabla asociada. Defiició 6: Sea X ua variable aleatoria discreta. Se defie: a) La esperaza matemática o media de la variable como: ( ) , siedo p f ( x i i ) P ( X x i ) µ = E X = x p = x p + x p + + x p x i i i = 1 = = =. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 3

4 b) La variaza de la variable como: ( ) ( ) x = = i x i = ( i i x ) = x i = 1 i = 1 σ Var X x µ p x p µ x p x p x p µ c) La desviació típica de la variable como: σ x = + σ x Nota : Cuado o haya cofusió co otra variable, se puede omitir el subídice y escribir simplemete µ o σ. Ejemplo 3: Cosideremos la variable aleatoria discreta correspodiete a la putuació e el lazamieto de u dado. = = = 1 = = = 1 = = = b) U ejemplo de u valor de su fució de distribució es: F ( 3.5) = P ( X 3.5) = = c) Su media será: µ = = = 3, a) Su fució de probabilidad f será: f ( 1) P( X 1 ), f ( ) P( X ),..., f ( 6) P( X 6) d) Su variaza: e) Su desviació típica será: σ = = =, σ = ,71 La iterpretació de la media es que correspode co el valor esperado al lazar u dado. Sería el valor al que se aproxima las medias de las putuacioes que se obtiee a medida que aumetamos el úmero de lazamieto. La desviació típica sería el valor al que se acerca las desviacioes etre las putuacioes obteidas y el valor cetral de la media. Nota 3: E el caso de las variables cotiuas tambié existe los coceptos de media, variaza y desviació típica. No vamos a ver sus expresioes porque ecesitamos del cálculo itegral y se escapa de los coteidos de la uidad Distribució Biomial. Defiició 7: Llamamos experimeto de Berouilli a todo experimeto e el que se puede dar úicamete dos resultados, uo de ellos es cosiderado como éxito, co probabilidad p y otro como fracaso, co probabilidad q = 1-p. Ejemplo 4: Dos experimetos de Berouilli so los siguietes: a) Lazar u dado y ver si sale u. E este caso la probabilidad de éxito p = 1/ 6 y la de fracaso q = 5 / 6 b) E ua clase de alumos/as e la que hay 1 chicas, elegir al azar a ua persoa y ver si es chica. E este caso la probabilidad de éxito p = = y la de fracaso q = = 5 5 Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 4

5 Defiició 8: Se dice que ua variable estadística X sigue ua distribució biomial de parámetros y p si X mide el úmero de éxitos que se obtiee al realizar veces u X Bi, p experimeto de Berouilli co probabilidad de éxito p. Se expresa: ( ) Proposició : Sea ua variable Biomial X Bi (, p). Etoces, la probabilidad de P X = k = p q k k k obteer k éxitos (fució de probabilidad) viee dada por: ( ) Siedo el úmero combiatorio k! = k k! ( k )! Proposició 3: Sea ua variable Biomial X Bi (, p). Etoces:. a) µ = p b) σ = p q Ejemplo 5: Si retomamos el ejemplo 3, apartado b y cosideramos la variable X que mide el úmero de chicas que se obtiee al elegir al azar 5 persoas de la clase, es evidete 3 que X sigue ua distribució biomial. Cocretamete: X Bi 5, 5, ya que el experimeto se realiza = 5 veces y si cosideramos como éxito elegir a ua chica, 3 hemos visto ya e el ejemplo 3b que su probabilidad es p =. Calculemos alguas 5 probabilidades asociadas a esta distribució: a) La probabilidad de elegir 1 chica sería: P ( X 1) b) La probabilidad de elegir 3 chicas sería: P ( X 3) ! = = 1 5 = = 5 1! 4! ! = = 3 5 = = 5 3!! c) La media y la desviació típica será: µ = 5 = 3, mietras que: σ = 5 = 1,1 que sigifica que el úmero medio de chicas que se espera escoger so 3 co ua desviació de algo más de ua chica. Nota 4: Como es evidete, el cálculo de probabilidades co la fórmula de la proposició 1 que acabamos de llevar a cabo, se hace bastate ardua e el caso de valores de mayores. Por ello, existe tablas que os permite calcular las probabilidades ateriores co bastate precisió e icluso, muchas calculadoras actuales so capaces de hacer el cálculo muy rápidamete y co mucha precisió. De todas formas, para valores grades (se cosiderará grades para 3 ), la aproximaremos por otra distribució llamada distribució ormal y que veremos a cotiuació. Se propoe la actividades y 3. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 5

6 3..- Distribució Normal. Ejemplo 6: Se dice que ua variable aleatoria cotiua sigue ua distribució ormal de parámetros µ y σ cuado su fució de desidad viee dada por la expresió: ( x µ ) 1 σ f ( x) = e. π σ Su gráfica se llama campaa de Gauss: Abreviadamete lo expresaremos: X N ( µ, σ ) Proposició 4: La fució de desidad de ua distribució ormal cumple las siguietes propiedades: a) La media, variaza y desviació típica de ua variable ormal so µ, σ y σ. b) El área ecerrada bajo la campaa de Gauss es 1. c) La campaa de Gauss es simétrica respecto de la recta vertical x = µ, co lo que el área ecerrada a izquierda y derecha de la media es igual a,5. d) Al tratarse de ua variable cotiua, la probabilidad de que la ua variable ormal tome u valor putual es siempre. Nota 5: Las distribucioes ormales so las distribucioes más importates, co diferecia, de toda la estadística debido a que la mayoría de los feómeos que se estudia, so o se acerca, al modelo de distribució ormal. Variables como la edad, estatura, peso,.. se comporta ormalmete de ahí su ombre. Nota 6: Como ya hemos visto ates, la probabilidad de que el valor de ua variable ormal esté etre dos correspode co la diferecia de la fució de distribució e dichos valores. Para este cálculo se suele utilizar tablas e lugar de cálculo itegral. Como es evidete, para cada valor de la media y la desviació típica, la fució de desidad y, por tato, la tabla tedría que se distita. Como e la práctica esto es iviable, vamos a ver ua propiedad que permite reducir todos los casos a uo. Proposició 5: (Tipificació de ua distribució ormal) Sea X ua variable aleatoria X µ ormal X N ( µ, σ ). Etoces, la variable Z = cumple que Z N (,1). E σ resume, el cambio de variable del recuadro, trasforma cualquier variable ormal de cualquier media y desviació típica e ua co media y desviació típica 1. Esto permite que todos los cálculos los podamos llevar a cabo co ua úica tabla. A esta variable se le llama distribució ormal estádar o tipificada. Ejemplo 7: Veamos e el siguiete ejemplo, el maejo de la tipificació y de la tabla ormal. Supogamos que ua variable X, que describe la ota media de º de Bachillerato del alumado de u istituto sigue ua distribució ormal de media 6.4 años X N 6.4,. Elegido u alumo al azar, co desviació típica. Abreviadamete ( ) calculemos las probabilidades siguietes: Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 6

7 a) Tega ua ota media de u 7. 7 P X = 7 = ya que se trata de u valor putual y la distribució ormal Evidetemete ( ) es cotiua. b) Tega ua ota media de meos de 7.. Tipificado Tabla X P ( X 7.) = P = P ( Z.4) =.6554 c) Tega más de u 7.75 de ota media. Tipificado X P( X 7.75 ) = P = ( ) P( Z ) Tabla P Z.675 == = =.483 d) Sabiedo que hay 76 alumos e total, Cuatos/as alumos/as habrá co meos de u 5 de ota media? Tipificado Simetría X P ( X 5) = P = P ( Z.7) = ( ) P ( Z ) Tabla = P Z,7 = 1.7 = = =.4. Por lo tato, habrá.4 76 = alumos/as e) Tega más de u 4 de ota media. Tipificado X P ( X 4) = P = P ( Z 1.) = ( ) Tabla = P Z 1. =.8849 Simetría f) Tega u otable (etre 7 y 9) X P ( 7 X 9) = P = ( ) ( ) P.3 Z 1.3 = P Z 1.3 P Z.3 Tabla = = =.853 ( ) g) Tega etre u.38 y u X P (.8 X 3.7) = P = Simetría ( ) ( P.6 Z 1.34 = P.6 Z 1.34 = ( ) P ( Z ) Tabla P Z = =.74 ) Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 7

8 h) ) Tega u suficiete o u bie (etre u 5 y u 7) X P ( 5 X 7) = P = P.7 Z.3 = P Z.3 P Z.7 = ( ) ( Simetría ( ) ( ) = P Z.3 P Z.7 = P Z.3 1 P Z.7 = Tabla = =.3759 ) ( ) ( ) ( ) ( ) i) Se sabe que sólo u 5% % del alumado puede obteer ua matrícula de hoor. Halla la ota media que debe alcazar u alumo/a para que se le coceda. Buscamos ua ota k que cumpla: Tipificado X 6.4 k 6.4 P( X k) =.5 P( X k) =.95 P.95 = Tabla k 6.4 k 6.4 P Z =.95 = k = = 9.69 Los dos elaces siguietes puede ser de gra ayuda para eteder toda la casuística que os podemos ecotrar, además de las expuestas e este ejemplo. Icluye represetacioes gráficas iteractivas. i a) b) Se propoe las actividades 4, 5 y Aproximació de la Biomial por la Normal. Como ya se cometó e el puto de la distribució biomial, al aumetarse el parámetro de la biomial, los cálculos utilizado la fució de probabilidad se complica sustacialmete. Para evitar este problema, vamos a proporcioar ua herramieta que permite aproximar los valores de la distribució biomial por la ormal e determiados casos. La siguiete proposició es cosecuecia directa de u teorema más geeral llamado Teorema Cetral del Límite. Esto os permitirá determiar probabilidades de la distribució biomial utilizado la distribució ormal estádar. Proposició 6: (Aproximació de la biomial por la ormal). Sea X Bi, p tal que 3 ; p 5 y q 5. Etoces la variable X se puede aproximar por ua distribució ormal X ' N ( p, pq ). ( ) Nota 7: Como es lógico, el hecho de aproximar ua variable discreta como la biomial, por ua cotiua como la ormal, da lugar a u problema. El problema es que mietras sí existe la probabilidad de que ua biomial tome u valor cocreto, e el caso de la ormal, esta probabilidad es cero. Para resolver este problema, se itroduce las Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 8

9 llamadas correccioes de Yates, que cosiste e cosiderar los valores de la variable discreta X como marcas de clase de itervalos de la forma siguiete: Si X Bi (, p), etoces X ' N ( p, pq ), co 3 ; p 5 y q 5 correccioes de Yates cosiste e tomar: P ( X = k ) P ( k.5 X ' k +.5). Las Ejemplo 8: Se sabe que la probabilidad de que u piloto de Fórmula 1 sufra u revetó e u circuito es de.4. Si e ua carrera participa coductores, calcula: a) La probabilidad de que se registre etre 1 y 18 revetoes. Si cosideramos como éxito el que sufra u revetó, es evidete que la variable X Bi,.4. Evidetemete, calcular esta probabilidad co la fució de ( ) distribució o la de probabilidad de la biomial es ua tarea bastate larga. Vemos si cumple las hipótesis para aproximarla por ua ormal: = 3 ; p =.4 = 8 5 y q =.96 = Así pues, podemos aproximar la variable X por la ormal ( ) ( ) X ' Bi.4,.4.96 Bi 8,.77. Así pues, la probabilidad pedida será, aproximadamete: Yates X ' P ( 1 X 18) P ( 11.5 X ' 18.5) = P P ( 1.6 Z 3.79) = = P Z = =.137 ( ) P ( Z ) Si lo calculamos co Geogebra, el valor utilizado la biomial sale.17, que es bastate aproximado. b) La probabilidad de que se registre exactamete 5 revetoes. Yates Tipificado ( 5) ( 4.5 ' 5.5) ( 1.6.9) ( 1.6.9) ( 1.6) (.9) P X = P X = P Z = P Z = P Z P Z = = Auque este cálculo sí se podría hacer fácilmete co la calculadora: P ( X = 5) = Se propoe las actividades 7 y MUESTREO. A partir de este puto, vamos a comezar a trabajar específicamete los coteidos más relevates de la uidad relativos a la Iferecia Estadística, comezado por el muestreo. Ya defiimos al comiezo de la uidad los coceptos de població y muestra. La primera preguta a la que os efretamos es la de cómo elegir ua muestra de la població y de qué tamaño debe tomarse. A estas pregutas iremos respodiedo a lo largo de los siguietes putos y vamos a comezar describiedo las pricipales técicas de muestreo. Hay muchas maeras de elegir ua muestra de ua població y lo que debemos tratar siempre es que la muestra sea lo más represetativa posible de toda Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 9

10 la població y co u úmero de elemetos co el que se pueda trabajar de maera cómoda y fiable. Para que ua muestra sea represetativa, es imprescidible que el muestreo sea aleatorio, es decir, que los idividuos de la població, e la medida de lo posible, tega las mismas posibilidades de ser elegidos. Por ello, os cetraremos e los llamados muestreos probabilísticos, e los que la persoa que realiza el estudio, elige al azar a los idividuos que coformará la muestra. E lo que sigue, desigaremos por N al tamaño de la població y por al tamaño de la muestra. Defiició 9: U muestreo se llama: a) Aleatorio simple, cuado cada idividuo de la població tiee la misma probabilidad de ser elegido. b) Sistemático, cuado se elige al azar a u idividuo de la població y, a partir de este, se elige los demás a itervalos costates. c) Estratificado, cuado se divide a la població e clases o estratos y se escoge aleatoriamete u úmero de idividuos de cada estrato mediate muestreo aleatorio simple o sistemático. Puede ser: Co afijació igual si se toma el mismo úmero de idividuos de cada estrato si teer e cueta su tamaño. Co afijació proporcioal, si se toma el úmero de idividuos de cada estrato proporcioalmete al tamaño del mismo. d) Por coglomerados, si se divide la població e cojutos o coglomerados, se elige al azar alguos de estos coglomerados y se escoge ua muestra úicamete de estos coglomerados por muestreo aleatorio simple. Nota 8: No se debe cofudir estrato co coglomerado. Mietras que u estrato es homogéeo (sus idividuos tiee características del estudio comues), el coglomerado es heterogéeo (sus idividuos o tiee porqué teer características del estudio comues para que represete bie a la població) Ejemplo 9: Supogamos que de los 6 alumos/as de ESO de u istituto, queremos escoger ua muestra de 3 para hacer u estudio sobre la edad. a) U muestreo aleatorio simple se podría hacer utilizado u ceso del alumado (e el que aparece ordeado alfabéticamete) y escoger al azar 3 úmeros del 1 al 6. b) U muestreo aleatorio sistemático se podría hacer eligiedo al azar u úmero del 1 al 6 y tomar a los 9 restates separados por itervalos de 6 = e. Si, por 3 ejemplo, sale e el sorteo el 457, elegiríamos a los/as alumos/ que tega los úmeros 477, 497, 517, 537, 557, 577, 597, 17, 37, 57, 77, 97, 117,, 417, 437. c) Uo estratificado sería, por ejemplo, cosiderar los estratos: 1º ESO (e el que hay 19), º ESO (e el que hay 173), 3º ESO (e el que hay 149) y 4º ESO (e el que hay 86). Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 1

11 Co afijació igual, escogeríamos a 3 = 7.5 de cada ivel. Como esto es imposible, 4 tedríamos que elegir etre 7 u 8 alumos/as de cada ivel. Como hay más e 1º y º, lo lógico sería escoge 8 de 1º, 8 de º, 7 de 3º y 7 de 4º mediate muestreo aleatorio simple o sistemático. Co afijació proporcioal, escogeríamos u úmero de alumos/as e cada muestra proporcioal al úmero de alumos que tiee el estrato. Para ello, basta co hacer ua regla de tres para cada estrato: Total Muestra = 1 = = alumos/as de 1º ESO Aálogamete, tomaríamos 9 de º ESO, 7 de 3º y 4 de 4º ESO. d) Uo por coglomerados sería escoger, por ejemplo, los coglomerados de chicas y chicos y escoger uo de ellos al azar, por ejemplo el de las chicas. Después, se toma 3 chicas mediate muestreo aleatorio simple. Es algo similar a lo hecho e el apartado a pero sólo co las chicas. Nota 9: Además de esto, hemos de teer e cueta que todo muestreo se puede llevar a cabo co reemplazamieto (cuado u mismo idividuo puede aparecer varias veces e la muestra. E este setido, ua població fiita puede ser cosiderada como ifiita) o si reemplazamieto (cuado o puede aparecer más que ua vez). Siguiedo las directrices de las PAU, os cetraremos siempre e muestreos co reemplazamieto y úicamete estudiaremos muestreos aleatorios simples o estratificados, e la imesa mayoría de los casos, co afijació proporcioal. Se propoe la actividad DISTRIBUCIONES MUESTRALES. Ua vez vistas las pricipales técicas de muestreo, el siguiete paso e u estudio de iferecia estadística es realizar iferecias sobre ciertos parámetros poblacioales a partir de datos muestrales. Los parámetros muestrales habituales (media, desviació típica y proporció habitualmete) os va a permitir decidir sobre la aproximació más coveiete de los correspodietes parámetros poblacioales. Por ello es ecesario que estudiemos, como primer paso, las distribucioes que sigue estos parámetros. E esta uidad, os cetraremos e estudiar los parámetros media y proporció asociados a las dos distribucioes habituales: la ormal y la biomial Distribució muestral de medias. Si cosideramos todas las posibles muestras de tamaño que se puede extraer de ua població, podemos cosiderar como ua variable aleatoria a la media X cuyo valor sería la media aritmética de cada muestra. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 11

12 Defiició 1: Llamamos distribució muestral de medias a la distribució de la variable X descrita ateriormete. Proposició 7: (Propiedades de la distribució muestral de medias) La distribució muestral de medias defiida ateriormete verifica: a) La media o esperaza de X coicide co la media poblacioal µ, es decir, µ = µ X X X b) La desviació típica de X coicide co σ, es decir, σ X σ = (siempre que la X muestra sea co reemplazamieto) c) Si X N ( µ, σ ), etoces X N µ, σ Para salvar el icoveiete de cálculos e poblacioes que o se distribuya ormalmete, es de eorme importacia el siguiete teorema, que es ua cosecuecia del llamado Teorema Cetral del Límite. Proposició 8: Sea X ua variable estadística y cosideramos la distribució muestral de medias co suficietemete grade ( 3 ), etoces la distribució muestral de medias se aproxima a ua distribució ormal y podemos cosiderar e la práctica que X N µ, σ. Nota 1: E las actividades de este curso cosideraremos siempre distribucioes ormales o o ormales co tamaño muestral 3, por lo que siempre podremos cosiderar la distribució muestral de medias como ua ormal por el teorema aterior. Nota 11: E alguos casos prácticos, la desviació típica poblacioal σ X es descoocida. E estos casos, si el tamaño de la muestra es suficietemete grade, ormalmete 1, podemos tomar como aproximació la desviació típica de la muestra S X. Ejemplo 1: Las estaturas de 1 estudiates de u cetro de eseñaza se distribuye ormalmete co ua media de 1,7 m y desviació típica,9. Si se toma al azar ua muestra de 36 estudiates. Hallemos: a) La probabilidad de que la media sea iferior a 1,75 m Como hemos visto, la distribució muestral de medias sigue ua distribució ormal:.9 X X N 1.7, = N( 1.7,.15 ) P( X 1.75 ) = P = P( Z ) = b) La probabilidad de que la media esté etre 1,68 m y 1,73 m X P ( 1,68 X 1.73) = P = P (.67 Z.67) = ( ) (.67) (.67) (.67) (.67) (.67) 1 (.67) = P Z P Z = P Z P Z = P Z P Z = = =.7448 Se propoe las actividades 1, 11 y 1. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 1

13 5..- Distribució muestral de proporcioes. De maera aáloga a lo hecho co las medias, podemos cosiderar todas las posibles muestras de tamaño de ua població co ua distribució biomial de probabilidad de éxito p y cosiderar las proporcioes muestrales ˆp como ua variable aleatoria. Defiició 11: Llamamos distribució muestral de proporcioes a la distribució de la variable ˆp descrita ateriormete. Proposició 9: (Propiedades de la distribució muestral de proporcioes) La distribució muestral de proporcioes defiida ateriormete verifica: a) La media o esperaza de ˆp coicide co la media poblacioal p, es decir, ˆp = p b) La desviació típica de ˆp coicide co muestra sea co reemplazamieto) p q, es decir, σ ˆp p q = (siempre que la Proposició 1: Sea X ua variable biomial y cosideramos la distribució muestral de proporcioes co suficietemete grade ( 3 ), siedo además p 5 y q 5 Etoces la distribució muestral de proporcioes se aproxima a ua distribució ormal y p q podemos cosiderar e la práctica que pˆ N p,. Nota 1: Auque es poco habitual, si e algú caso práctico, es descoocido el parámetro p, lo aproximaremos por la proporció muestral siempre que el tamaño sea suficietemete grade, ormalmete 1. Ejemplo 11: Ua máquia fabrica piezas de precisió. E su producció habitual, fabrica u 3% de piezas defectuosas. U cliete recibe ua caja de 5 piezas procedetes de la fábrica. Calculemos la probabilidad de que: a) Haya más de u 5% de piezas defectuosas e la caja. De acuerdo co lo visto ateriormete, la distribució muestral de proporcioes sigue ua distribució ormal.3 ˆ.3,.97 p N = N (.3,.76). Así pues, la 5 probabilidad pedida será: pˆ P ( pˆ >.5) = P > = P ( Z >.63) = 1 P ( Z.63) = = b) Haya meos de 1 piezas defectuosas e la caja. 1 Como 1 piezas costituye el % de las piezas (a saber: =. ), la probabilidad 5 pˆ.3..3 pedida es: P ( pˆ <.1) = P < = P ( Z < 1.3) = P ( Z > 1.3) = = 1 P Z 1.3 = =.934. ( ) Se propoe las actividades 13 y 14. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 13

14 6.- ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS. Ya hemos estudiado la base de la Estadística Iferecial, que so la teoría de muestreo y las distribucioes muestrales. El pricipal problema de las distribucioes muestrales es que lo ormal es que o se tega datos exactos de los parámetros poblacioales. Para ello, se utiliza la estimació de parámetros, tato putual como por itervalos, que vamos a abordar a cotiuació, y el cotraste de hipótesis que veremos al fial de la uidad Estimació putual. Defiició 1: Llamamos estadístico a toda fució de los datos muestrales que asiga a cada muestra de tamaño u valor umérico. Defiició 13: U estimador para u parámetro poblacioal descoocido es u estadístico que os proporcioa ua aproximació de dicho parámetro poblacioal. Ejemplo 1: U estimador para la media poblacioal µ es la media muestral X Estimació por itervalos de cofiaza. Evidetemete, e la mayoría de las ocasioes, o tiee mucho setido llevar a cabo ua estimació putual sio más bie ua estimació de etre qué dos valores se puede ecotrar u cierto parámetro co ua probabilidad prefijada. A esto os dedicaremos e este puto e el que abordaremos la estimació mediate itervalos de cofiaza. Defiició 14: Llamamos itervalo de cofiaza para u parámetro poblacioal al itervalo que cotiee a dicho parámetro co ua probabilidad, tambié llamada ivel de cofiaza N = 1 α. Al valor de α se le llama ivel de sigificació. c Nota 13: E este curso úicamete abordaremos los itervalos de cofiaza para la media µ y la proporció p de distribucioes ormales (o co tamaño suficietemete grade para aproximarlas a ua ormal) y biomiales (que tambié la aproximamos a la ormal). Nota 14: Obsérvese que el itervalo de cofiaza o es más que u itervalo e el que se ecotraría el parámetro poblacioal co ua probabilidad o cofiaza de Nc = 1 α. Además, como es lógico, o tiee mucho setido hallar itervalos de cofiaza co poca cofiaza ya que o aportaría mucha iformació precisa. Por ello, los valores más comues del ivel de cofiaza so 9%, 95% y 99%, que correspode a los valores.9,.95 y.99 de N = 1 α. c Como es lógico tambié, e virtud de los resultados cosecuetes del Teorema Cetral del Límite usados para describir las distribucioes muestrales, hemos de pesar que dichos itervalos va a estar asociados a ua distribució Normal. Por ello, el primer paso lógico es determiar el valor z α / de la tabla de la Normal asociado a cada ivel de P z Z z = α, ya que es lógico que esté cofiaza y que debe cumplir: ( ) cetrado e la media. α / α / 1 Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 14

15 Ahora bie, como pretedemos determiar u itervalo de cofiaza para la media poblacioal a partir de la media muestral y sabemos por el puto aterior que la distribució de medias muestrales sigue ua distribució ormal X N µ, σ. Etoces, la expresió es equivalete a: Simetría X µ σ σ P zα / zα / = 1 α P zα / X µ zα / 1 α σ = σ σ σ σ P z α / µ X zα / = 1 α P X z α / µ X + zα / = 1 α Así pues, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal co u ivel de cofiaza σ σ Nc = 1 α, viee dado por la fórmula: Ic = X zα /, X + zα / que será la que usemos directamete e las actividades. Nota 15: Como es evidete, el valor z α /, al que llamamos valor crítico asociado al ivel α 1+ Nc de cofiaza 1 α P Z z = 1 =. No hay más que usar la tabla verifica que ( ) α / de la Normal para determiar el valor crítico z α / que ecesitamos para determiar el itervalo de cofiaza. Nota 16: Segú hemos visto e la costrucció del itervalo de cofiaza, la diferecia σ máxima etre la media muestral y la poblacioal, es E = zα / y se le llama error σ máximo admisible y es la mitad de la amplitud del itervalo A = zα /. De la expresió del error, podemos despejar el tamaño muestral z σ E α / = Ejemplo 13: Ua muestra aleatoria de 1 alumos/as que se preseta a las PAU revela que la media de edad es de 18,1 años. Halla u itervalo de cofiaza del 9% para la media de edad de todos los estudiates, sabiedo que la desviació típica de la població es de,4 Evidetemete, los datos so: = 1 ; X = 18.1 ; N c = 1 α =.9 ; σ =.4, así pues, el úico dato que ecesitamos para aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza es el valor crítico α / z que cumplirá e este caso que: ( ) Tabla P Z z =.95 z = Así pues, el α / α / itervalo de cofiaza será = , = ( 18.34, ) I c Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 15

16 cuyo sigificado es que la media de la edad de todo el alumado de la població se ecuetra etre y co ua probabilidad de.9, correspodiete al 9%. Ejemplo 14: Se sabe que la dedicació media de los jóvees al ocio sigue ua distribució ormal de desviació típica 63 miutos. Hallemos la media muestral y el tamaño míimo de la muestra de jóvees que garatiza co ua probabilidad de.95 que el tiempo medio de ocio está etre 38 y 418 miutos. σ = = =. Como la media es el puto medio del Los datos so 63 ; N.95 ; I ( 38, 418) c c itervalo de cofiaza, teemos que X = = 4. Por otra parte, el error máximo admisible será: E = = 18. Además, el valor crítico correspodiete a u.95 de Tabla P Z z =.975 z = Así pues, de la ivel de cofiaza viee dado por: ( ) α / α / expresió del error máximo admisible, obteemos la igualdad: que despejar, obteemos: = = = 18 muestral míimo es de 48 jóvees. Se propoe las actividades 15 y = Si más. Así pues, el tamaño Vamos a ver ahora cómo se costruye el itervalo de cofiaza para la proporció e el caso de ua Biomial. El puto de partida, como e el caso de la Normal, es que los valores críticos ha de P z Z z = α. Ahora bie, hemos visto durate la uidad cumplir la igualdad ( α / α / ) 1 que, para poblacioes grades ( 3), la distribució muestral de proporcioes sigue p q ua ormal pˆ N p,. Como o dispoemos de p, se estima putualmete por la proporció muestral ˆp. Etoces, la expresió es equivalete a: pˆ p pˆ qˆ pˆ qˆ P z ˆ α / z α / = 1 α P zα / p p zα / = 1 α pˆ qˆ Simetría pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ qˆ pˆ qˆ P z ˆ ˆ ˆ α/ p p zα/ = 1 α P p zα / p p + zα/ = 1 α Así pues, el itervalo de cofiaza para la proporció co u ivel de cofiaza N = 1 α, p viee dado por la fórmula: ˆ q ˆ ˆ p ˆ ˆ q ˆ Ic = p zα /, p + zα / que será la que usemos directamete e las actividades. c Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 16

17 Nota 17: Como es evidete, el valor crítico z α /, asociado al ivel de cofiaza 1 α α 1+ Nc P Z z = 1 =. No hay más que usar la tabla de la Normal para verifica que ( ) α / determiar el valor crítico z α / que ecesitamos para determiar el itervalo de cofiaza. Nota 18: Segú hemos visto e la costrucció del itervalo de cofiaza, la diferecia máxima etre la proporció muestral y la poblacioal, al que ya ates hemos llamado pˆ qˆ error máximo admisible, es E = zα / y es la mitad de la amplitud del itervalo pˆ qˆ A = zα /. De la expresió del error, podemos despejar el tamaño muestral z ˆ ˆ / p q = α E Nota 19: Coviee teer e cueta que, tato e el caso de la ormal, como e el de la biomial: a) Mateiedo el mismo ivel de cofiaza y tamaño muestral, a medida que aumeta la desviació típica (e el caso ormal) o el producto pˆ qˆ (e el caso biomial), aumeta el error máximo admisible y la amplitud del itervalo de cofiaza; y viceversa. b) Mateiedo la misma desviació típica (e el caso ormal) o el producto pˆ qˆ (e el caso biomial) y tamaño muestral, a medida que aumeta el ivel de cofiaza, aumeta el error máximo admisible y la amplitud del itervalo de cofiaza; y viceversa. c) Mateiedo el mismo ivel de cofiaza y desviació típica (e el caso ormal) o el producto pˆ qˆ (e el caso biomial), a medida que aumeta el tamaño muestral, dismiuye el error máximo admisible y la amplitud del itervalo de cofiaza; y viceversa. Si lo pesamos deteidamete es lógico y atural lo que hemos expresado, ya que: a) Si aumeta la desviació, la muestra es más dispersa y, al estar meos cocetrada e toro a la media, es lógico que os equivoquemos más al hacer iferecia sobre el comportamieto de la població. Lo cotrario ocurre si dismiuye, ya que al estar más cocetrada, se comete meos error. b) Si aumeta el ivel de cofiaza lo que hacemos es aumetar la seguridad co que queremos que esté el parámetro e u itervalo. Eso hace que dicho itervalo sea meos preciso y por tato, co mayor error de equivocaros. Lo cotrario ocurre si se dismiuye la cofiaza ya que lo volvemos más exigete y, por tato, co meos error. c) Si aumeta el tamaño, la muestra se parecerá más a la població y, por tato, es lógico que se cometa meor error. Lo cotrario ocurre al dismiuir el tamaño muestral, ya que, al ser meos represetativa de la població, aumeta el error. Ejemplo 15: Se seleccioa ua muestra de 5 alumos/as de ESO y se les preguta si tiee smartphoe co coexió de datos, cotestado afirmativamete 5. Veamos cuál es el itervalo de cofiaza para la proporció de alumos/as que tiee smartphoe co coexió de datos co u ivel de cofiaza del 95% Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 17

18 5 Evidetemete, los datos so: = 5 ; pˆ = =.45 ; N c = 1 α =.95, así pues, el 5 úico dato que ecesitamos para aplicar la fórmula del itervalo de cofiaza es el valor z que cumplirá e este caso que: ( ) crítico α / P Z zα / =.95 zα / = Así pues, el itervalo de cofiaza será I c = , = (.464,.4936 ) 5 5, cuyo sigificado es que la proporció de todo el alumado de la població que tiee smartphoe co datos se ecuetra etre.464 y.4936 co ua probabilidad de.95, correspodiete al 95%, o dicho de otra maera que hay etre u 4.64% y u 49.36% de alumado que tiee smartphoe co datos co ua probabilidad del 95%. Ejemplo 16: Deseamos coocer el úmero de iños que hay que icluir, como míimo, e ua ecuesta sobre la adecuada alimetació e el desayuo, sabiedo que, co u ivel de cofiaza del 99.73%, ha resultado el itervalo de cofiaza para la proporció de iños que lleva a cabo ua adecuada alimetació e el desayuo el siguiete: (.4,.5 ) Los datos so N.9973 ; I (.4,.5) c = =. Como la proporció muestral es el puto c medio del itervalo de cofiaza, teemos que X = =.46. Por otra parte, el.5.4 error máximo admisible será: E = =.4. Además, el valor crítico correspodiete a u.9973 de ivel de cofiaza viee dado por: ( ) Tabla P Z z =.9973 z = 3 α / α /. Así pues, de la expresió del error máximo admisible, obteemos la igualdad: Tabla = 3. Si más que despejar, obteemos: = =. Así pues, el tamaño muestral míimo es de 1398 iños..4 Se propoe las actividades 17 y CONTRASTES DE HIPÓTESIS. El último paso e el estudio de la Iferecia Estadística que vamos a abordar es el llamado Cotraste de Hipótesis, cuyo pricipal objetivo es tomar decisioes sobre si determiadas hipótesis o supuestos a partir de muestras, puede extrapolarse a la població co u determiado ivel de cofiaza. Defiició 15: U cotraste o test de hipótesis es el procedimieto estadístico mediate el cual se ivestiga la veracidad o falsedad de ua hipótesis acerca de algú parámetro poblacioal. Llamaremos hipótesis ula H a la hipótesis que se formula y que se desea cotrastar, y llamaremos hipótesis alterativa H 1 a cualquiera otra situació que sea cotraria a la hipótesis ula. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 18

19 Defiició 16: Se llama pruebas de hipótesis a los procedimietos que permite decidir si ua hipótesis se acepta o rechaza o determiar si las muestras observadas difiere sigificativamete de los resultados esperados. Nota : Hemos de teer e cueta alguas cosideracioes que tedremos para esta uidad. a) E esta uidad os cetraremos e hipótesis sobre los parámetros habituales co los que hemos trabajado e la uidad: µ parar la media poblacioal de variables ormales o aproximables por ua ormal y p para la proporció poblacioal e el caso biomial.. b) Abordaremos dos tipos de cotrastes de hipótesis: el cotraste uilateral, que implica ua desigualdad e la hipótesis ula y el bilateral, que implica ua igualdad. Ambos lo veremos detalladamete e lo que sigue. c) Como e todo estudio, podemos cometer errores debidos a que la iformació muestral os da a pesar e algo distito a las hipótesis debido a que la muestra, por el motivo que sea, o es lo más represetativa que debe ser de la població estudiada. Estos errores los podemos clasificar e: H es verdadera H es falsa Se acepta H Acierto ERROR DE TIPO II Se rechaza H ERROR DE TIPO I Acierto E la siguiete ota, vamos a ver la parte más importate e la práctica de este puto de la uidad, ya que vamos a describir paso a paso, las etapas e las pruebas de hipótesis. Nota 1: (Etapas e las pruebas de hipótesis) ETAPA 1: FORMULAR LAS HIPÓTESIS E este paso, que habitualmete os vedrá dado e las actividades, se debe formular las hipótesis ula y alterativa que será objeto del cotraste. Ambas hipótesis, que como hemos visto debe ser excluyetes, puede ser euciadas para u cotraste uilateral y bilateral. Los casos que abordaremos e esta uidad so: Media ( µ ) Proporció (p) Cotraste bilateral H : µ = µ H : µ µ 1 H : p = p H : p p 1 Cotraste uilateral Derecho Izquierdo H : µ µ H : µ µ H : µ > µ 1 H : p p H : p > p 1 H : µ < µ 1 H : p p H : p < p 1 ETAPA : DETERMINAR LAS REGIONES DE ACEPTACIÓN Y RECHAZO (O CRÍTICA) A partir de cierto ivel de sigificació Ns = α, que es u valor muy pequeño correspodiete a la probabilidad de rechazar la hipótesis ula siedo verdadera, es decir, es la probabilidad de cometer u error de tipo I, hemos de determiar las zoas de Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 19

20 aceptació y rechazo, que estará limitadas por uo o dos valores críticos segú el cotraste sea uilateral o bilateral. E u cotraste bilateral, tedremos que obteer dos valores zα / y zα / que verifique P z Z z = α. ( ) α / α / 1 E u cotraste uilateral derecho, tedremos que obteer u valor z α que verifique ( ) P Z z = α. α / 1 E u cotraste uilateral izquierdo, tedremos que obteer u valor z α que verifique ( ) P Z z = α. α / 1 ETAPA 3: DETERMINAR EL ESTADÍSTICO APROPIADO PARA EL CONTRASTE Como ya hemos cometado ates, los estadísticos de cotraste que vamos a utilizar so X µ Z = para el caso de distribucioes ormales o que se aproxime a la ormal y σ Z = ˆp p p q para el caso de distribucioes biomiales. Por lo que hemos visto ya e la uidad, sabemos que ambos sigue ua distribució N (,1) problemas para el cotraste., podremos utilizarlo si ETAPA 4: CALCULAR EL VALOR OBSERVADO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA. E esta etapa simplemete debemos determiar el valor z correspodiete a sustituir X o p ˆ e el estadístico de prueba, segú el tipo de distribució sea ormal (o aproximada a la ormal) o biomial. ETAPA 5: TOMAR LA DECISIÓN E INTERPRETARLA. E esta etapa, simplemete observaremos si el valor observado z del estadístico de prueba perteece a la regió de aceptació (e cuyo caso se aceptará la hipótesis ula Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia

21 H, rechazado la hipótesis alterativa H 1) o e la regió de rechazo (e cuyo caso se rechazará la hipótesis ula H y, por tato, se aceptará la hipótesis alterativa H 1). Nota : Ua pequeña variate e el proceso del cotraste de hipótesis cosiste e, ua vez determiada la regió de aceptació para la variable Z, determiar cuál sería para la variable X o p ˆ, segú sea ormal (o aproximada) o biomial. E este caso, simplemete determiaríamos la regió y veríamos si el valor observado de X o p ˆ está detro o fuera de dicho itervalo. De forma secilla, utilizado los estadísticos de cotraste y las regioes de aceptació y rechazo vistas e la etapa, obteemos las regioes críticas ya destipificadas que mostramos e la tabla a cotiuació: Media ( µ ) Cotraste bilateral H : µ = µ H : µ µ 1 Cotraste uilateral Derecho Izquierdo H : µ µ H : µ > µ 1 H : µ µ H : µ < µ 1 REGIÓN DE ACEPTACIÓN σ µ z α/, µ + zα/ σ, µ + zα σ σ µ zα, + Proporció (p) H : p = p H : p p 1 H : p p H : p > p 1 H : p p H : p < p 1 REGIÓN DE ACEPTACIÓN p q p z, p + z p q α/ α/, p + zα p q p q p zα, + Veamos, a cotiuació, u ejemplo de cada caso y hecho de las dos formas: Ejemplo 17: (Cotraste bilateral e distribució Normal) Las estaturas de 16 alumos/as de º de Bachillerato so: 156, 185, 193, 164, 186, 17, 168, 174, 163, 157, 178, 168, 169, 17, 174, 18. Sabemos, además, que las estaturas del alumado de Bachillerato sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica 8,44. Sosteemos que la media poblacioal es 171,51 y queremos cotrastar esta hipótesis para u ivel de sigificació del 5%. 1ª FORMA: Es evidete que el cotraste de hipótesis sería: H : µ = H : µ El ivel de sigificació es α =.5. Como se trata de u cotraste bilateral, hemos de hallar el valor z α / tal que P ( zα / Z zα / ) =.95 P ( Z zα / ) =.975. Este valor correspode, segú la tabla de la ormal, a z α / = Así pues, la regió de aceptació correspodiete a Z sería ( 1.96, 1.96). Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 1

22 X µ Como se trata de ua distribució ormal, el estadístico de cotraste sería: Z =. σ X X E uestro caso: Z = = Si determiamos el valor de la media muestral: X = = Sustituyedo e el estadístico de cotraste: z =.3791 que es u valor , 1.96, por tato, se acepta la detro de la regió de aceptació, ya que: ( ) hipótesis ula H y podemos aceptar, a u 95% que la estatura media de la població es de m. ª FORMA: La otra forma de efocar el cotraste es utilizado las regioes de aceptació ya destipificadas expresadas e la variable del problema. E uestro caso (ver ota 1) σ σ sería: µ z α/, µ + zα/ = , = ( , ) , , se acepta la Como el valor de la media muestral calculado: ( ) hipótesis ula H y podemos aceptar, a u 95% que la estatura media de la població es de m. Ejemplo 18: (Cotraste uilateral e distribució Normal) Ua ecuesta a 64 profesioales de ua istitució reveló que el tiempo medio de empleo e dicho campo era de 5 años, co ua desviació típica de 4. Cosiderado u ivel de sigificació del.5, Supoiedo que el tiempo de empleo se distribuye ormalmete, sirve estos datos para cotrastar si el tiempo medio de empleo de los profesioales de esta istitució está por debajo de los 6 años? 1ª FORMA: Los datos de la muestra os hace pesar que el tiempo de empleo puede ser meor que 6 años (ya que la media obteida es de 5 años por ello plateamos el siguiete cotraste H : µ 6 de hipótesis: H : µ > 6 1 El ivel de sigificació es α =.5. Como se trata de u cotraste uilateral derecho, hemos de hallar el valor P ( Z z α ).95 z α tal que z =. =. Este valor correspode, segú la tabla de la ormal, a / Así pues, la regió de aceptació correspodiete a Z sería (, 1.645). α Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia

23 X µ Como se trata de ua distribució ormal, el estadístico de cotraste sería: Z =. σ X 6 X 6 E uestro caso: Z = = Sustituyedo e el estadístico de cotraste: z = = que es u valor detro de la.5 regió de aceptació, ya que: (, 1.645), por tato, se acepta la hipótesis ula H y podemos aceptar, a u 95% que el tiempo medio de empleo de la població está por debajo de 6 años. ª FORMA: La otra forma de efocar el cotraste es utilizado las regioes de aceptació ya destipificadas expresadas e la variable del problema. E uestro caso (ver ota 1) σ 4 sería:, µ + zα =, = (, 6.85) 64 5, 6.85, se acepta la hipótesis Como el valor de la media muestral calculado: ( ) ula H y podemos aceptar, a u 95% que el tiempo medio de empleo de la població está por debajo de 6 años. Ejemplo 19: (Cotraste bilateral e ua distribució Biomial) Al lazar 5 veces ua moeda al aire saliero 3 caras. Se puede aceptar, co u ivel de sigificació del.4, que la moeda o está trucada? 1ª FORMA: Como la moeda o trucada tiee probabilidad de salir cara.5, es evidete que el H : p =.5 cotraste de hipótesis sería: H1 : p.5 El ivel de sigificació es α =.4. Como se trata de u cotraste bilateral, hemos de hallar el valor z α / tal que P ( zα / Z zα / ) =.96 P ( Z zα / ) =.98. Este valor correspode, segú la tabla de la ormal, a z α / =.5. Así pues, la regió de aceptació correspodiete a Z sería (.5,.5). ˆp p Como se trata de ua distribució biomial, el estadístico de cotraste sería: Z = p q pˆ.5 pˆ.5 E uestro caso: Z = Si determiamos el valor de la proporció muestral: p ˆ = = Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 3

24 .6.5 Sustituyedo e el estadístico de cotraste: z = 14 que es u valor fuera de la.71, por tato, se rechaza la hipótesis ula regió de aceptació, ya que: 14 (.5,.5) H y podemos aceptar, a u 96% que la moeda está trucada. ª FORMA: La otra forma de efocar el cotraste es utilizado las regioes de aceptació ya destipificadas expresadas e la variable del problema. E uestro caso (ver ota 1) es: p q p q p zα /, p + zα / =.5.5, = (.4855,.5145 ) ,.5145, se rechaza la Como el valor de la proporció muestral calculado: ( ) hipótesis ula H y podemos aceptar, a u 96% que la moeda está trucada. Ejemplo : (Cotraste uilateral e ua distribució Biomial) U experto, basado e los ateriores comicios, sostiee que si se celebra eleccioes geerales e este mometo, ta solo acudiría a votar el 48% de la població. No obstate, e u sodeo electoral realizado recietemete, etre 15 persoas, 8 de ellas tiee iteció de votar. Supoe esto, co u ivel de cofiaza del 99%, que el experto se equivoca y la iteció de voto es mayor? 1ª FORMA: 8 Como la proporció muestral es: p ˆ =.5333, parece lógico pesar que el 15 H : p.48 supuesto del experto sea cierta, por ello plateamos el cotraste: H1 : p <.48 El ivel de sigificació es α = 1.99 =.1. Como se trata de u cotraste uilateral izquierdo, hemos de hallar el valor z α tal que P ( Z zα ) =.99 P ( Z zα ) =.99. Este valor correspode, segú la tabla de la ormal, a z α =.33. Así pues, la regió de aceptació correspodiete a Z sería (.33, + ). Como se trata de ua distribució biomial, el estadístico de cotraste sería: Z = ˆp p p q. pˆ.48 pˆ.48 E uestro caso: Z = Sustituyedo la proporció muestral e el estadístico de cotraste: z = que es u valor detro de la regió de aceptació, ya que: (.33, + ), por tato, se acepta la hipótesis ula H y podemos aceptar, a u 99% que el experto tiee razó. Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 4

25 ª FORMA: La otra forma de efocar el cotraste es utilizado las regioes de aceptació ya destipificadas expresadas e la variable del problema. E uestro caso (ver ota 1) es: p q.48.5 p zα, + = = (.4499, + ) , +, se acepta la Como el valor de la proporció muestral calculado: ( ) hipótesis ula H y podemos aceptar, a u 99% que el experto tiee razó. Se propoe las actividades de la 19 a la ACTIVIDADES. ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Actividad 1: Las edades de 7 iños/as escogidos durate el recreo de ifatil e u colegio so las que aparece e la siguiete tabla: Edad Nº iños/as a) Halla la edad media de los iños/as. b) Determia la desviació típica. Actividad : Supogamos que estudios hechos, determia que aprueba Matemáticas de º de Bachillerato u 7%. Si escogemos u grupo de 8 alumos/as, calcula la probabilidad de que: a) Apruebe 5 alumos/as. b) Apruebe más de alumos/as. Actividad 3: E ua clase hay u 67% de alumos/as que estudia iglés y el resto estudia fracés. Si tomamos u grupo de 15 alumos/as de la clase, determia la probabilidad de que : a) Haya al meos tres alumos de iglés. b) Los 15 alumos sea de iglés. c) Haya etre 7 y 1 alumos de iglés. d) Cuál es el úmero medio de alumos de iglés? Actividad 4: Las estaturas de 6 soldados se distribuye de acuerdo co ua ormal de media 168 cm y desviació típica 8 cm. Determia redodeado a uidades: a) Cuátos soldados mide más de 161 cm b) Cuátos mide meos de 165 cm c) Cuátos mide etre 166 cm y 17 cm. Actividad 5: Se ha aplicado a 3 alumos/as de 4º de ESO u test de agresividad y se ha observado que se distribuye ormalmete co media 3 y variaza 144. Se cosidera potecialmete agresivos si obtiee ua putuació superior a 4. Se pide: Matemáticas II CCSS. º de Bachillerato B. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 5