TALLER DE ESTADÍSTICA 7. MUESTRAS Y ESTIMACIONES. INFERENCIA ESTADÍSTICA. MAURICIO CONTRERAS

Transcripción

1 TALLER DE ESTADÍSTICA 7. MUESTRAS Y ESTIMACIONES. INFERENCIA ESTADÍSTICA. MAURICIO CONTRERAS

2 MUESTRAS Y ESTIMACIONES EN LA ESO Itroducció Cómo debe seleccioarse la muestra para que sea represetativa de la població?. Qué tamaño debe teer?. Hasta qué puto es fiable la iformació obteida e la muestra?. Qué grado de error estaríamos dispuestos a admitir al extrapolar los datos de la muestra a toda la població?. Pregutas como éstas y otras parecidas so aalizadas por la Iferecia Estadística (tambié llamada Estadística matemática). El estudio de la Estadística iferecial es realmete muy difícil si o se utiliza recursos apropiados. E 3º y 4º de ESO y e Bachillerato se pretede que los estudiates realice actividades e las que, de ua forma u otra, tega que respoder a las pregutas ateriores. Por ejemplo, la realizació de ecuestas reales e el cetro sobre diversos temas (aficioes, uso del tiempo libre, etc) es ua buea ocasió para tratar cuestioes relativas al muestreo y es, además, muy motivador. La selecció de la muestra se puede hacer de diferetes maeras (y es iteresate recoger las propuestas de los alumos para discutir si hay aleatoriedad o o) y co geeradores muy variados (dados, ruletas, etc). La calculadora gráfica permite geerar úmeros aleatorios, seleccioar muestras, represetar los datos, calcular medidas de cetralizació y dispersió, hacer simulacioes, obteer estimacioes de parámetros, etc. Posteriormete el estudiate deberá tomar ua decisió a partir de la iformació obteida. Esta sesió se dedicará a aalizar las posibilidades de estos recursos e el aula. 1. Muestreo AFICIONES a) Cuáles so las aficioes de tus compañeros de cetro?. Cómo podrías saberlo?. Es ecesario pregutar a todos ellos? Para recoger iformació de ua població o es ecesario obteer todos los datos, sio solamete los correspodietes a ua parte de la població, a ua muestra. Posteriormete, usaremos los datos de la muestra para iferir coclusioes sobre el comportamieto de la població. Surge etoces alguas pregutas de iterés: Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que sea represetativa de la població?. Cómo debe seleccioarse la muestra para que la iformació o esté sesgada?. Hasta qué puto es fiable la iformació obteida de la muestra?. Es válido predecir el comportamieto de la població basádose e los datos de la muestra?. CEFIRE DE VALENCIA Págia 1

3 b) Vamos a diseñar ua ecuesta para coocer las aficioes preferidas e tu cetro. Piesa e cómo se puede diseñar la ecuesta: Qué pregutas hacer. Cómo formular las pregutas para que o codicioe la respuesta. A cuátas persoas hay que pregutar. A qué persoas hay que pregutar. Cómo debe seleccioarse la muestra. c) Co el modelo de ecuesta diseñado, recoge iformació de tu cetro sobre aficioes de tiempo libre. Costruye tablas de frecuecias como las siguietes: AFICIONES PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO TOTAL Cie Teatro TV Música Fútbol Balocesto Atletismo Motociclismo Iformática Excursioes TOTAL d) Represeta gráficamete la iformació obteida utilizado distitos diagramas: Dibuja, e uos mismos ejes, u diagrama de barras que muestre el úmero de aficioados a cada actividad para cada uo de los cursos. Dibuja, e uos mismos ejes, u diagrama de barras que muestre el úmero de aficioados a cada actividad para cuarto curso comparádolo co el total de ecuestados. Haz lo mismo para comparar el total co los estudiates de primero. Cometa las diferecias que observes. Dibuja u diagrama de sectores que muestre la iformació del total de ecuestados. Dibuja u diagrama de sectores que muestre la iformació de cuarto curso y compáralo co el correspodiete al total de ecuestados. e) Aaliza la iformació obteida: Qué proporció de estudiates de primero hay e la muestra?. Y de segudo?. Qué proporció de ecuestados so aficioados al cie?. Y a la música?. CEFIRE DE VALENCIA Págia

4 Qué proporció de estudiates de tercer curso so aficioados al cie?. Y al atletismo?. Si elegimos al azar u estudiate de tu cetro, cuál es la probabilidad de que sea aficioado a la Iformática?. Y al teatro?. Elegimos al azar u estudiate de segudo curso. Qué probabilidad hay de que sea aficioado al fútbol?. Y de que sea aficioado al balocesto?. Elegimos al azar u estudiate de tu cetro y resulta ser aficioado al motociclismo. Hay muchas posibilidades de que sea de primero?. Y de que sea de cuarto?. Elegimos al azar u estudiate de tu cetro. Desigamos: A = el estudiate elegido es de segudo curso. B = el estudiate elegido es aficioado al cie. Etoces el suceso que cosiste e que el estudiate elegido es aficioado al cie sabiedo que es de segudo curso, se represeta por B/A y se llama suceso B codicioado por A. La probabilidad de este suceso, es decir, la probabilidad de que el estudiate elegido sea aficioado al cie sabiedo que es de segudo curso, se represeta por p(b/a) y se llama probabilidad codicioada. SONDEO ELECTORAL Se ha realizado ua ecuesta para coocer las itecioes de voto de los españoles por u determiado partido político A. E la ficha técica del sodeo, leemos que el límite máximo de error es ± 8 %, es decir, ± 8 putos de porcetaje, co ua probabilidad del 95 %. E dicha ecuesta se estima que el partido A obtedrá u porcetaje de votos del 33 %. Etre qué valores míimo y máximo puede fluctuar el porcetaje de votos del partido A, co ua probabilidad del 95 %?. Si a es el porcetaje míimo y b el máximo, se cumple que a = 33 ' 8, b = 33 + ' 8. El itervalo (a, b) se llama itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 95%. Se cumple que la probabilidad de que el porcetaje p de votos del partido A esté etre a y b es del 95%, o sea: p a < p < b = 0'. ( ) 95 ESTATURA MEDIA a) Para estimar la estatura media de los 934 estudiates de u istituto, extraemos ua muestra de 53 de ellos. La media de la muestra es 17 6 cm. Expresa este resultado sabiedo que e la ficha técica se dice que el error máximo es de ± 1 8 cm, co ua probabilidad de b) Si co el mismo estudio aterior admitimos que se cometa u error de ± 6 cm, el ivel de cofiaza, será superior o iferior a 0 90?. c) Cómo podremos aumetar el ivel de cofiaza mateiedo la cota de error e ±1 8 cm?. CEFIRE DE VALENCIA Págia 3

5 JUDÍAS Para cotar el úmero de judías que hay e ua bolsa procedemos así: 1) Sacamos u puñado de ellas, las señalamos, las cotamos (187, por ejemplo) y las devolvemos a la bolsa. ) Revolvemos largamete para que se mezcle y volvemos a extraer u bue motó, 411, de las cuales hay 44 señaladas. Cuátas judías hay e la bolsa?. SONDEO DE OPINIÓN E u sodeo de opiió etre los jóvees valeciaos de 15 a 4 años, ua de las pregutas era: Justificas que alguie acepte u soboro e su trabajo?. Respuesta: (1, uca; 10, siempre). E ua muestra de 000 idividuos, se obtuvo ua putuació de 63. a) Expresa este resultado sabiedo que e la ficha técica se dice que el error máximo es de ± 1 co u ivel de cofiaza del 95 %. b) Si el error máximo fuera ± 0 6, el ivel de cofiaza sería mayor o meor?. COLONIA INFANTIL Ua empresa de cosmética y perfumería desea coocer la aceptació de su ueva coloia ifatil. Para ello decide pregutar a mil persoas sobre la utilizació y vetajas de dicha coloia. a) A qué mil persoas debe elegir?. A las mil primeras persoas que etre e ua boca de metro. A las mil primeras persoas que espere a sus hijos a la puerta del colegio. A las mil primeras persoas que salga del hipermercado. A las mil primeras persoas que abra la puerta a las diez de la mañaa, e diversos barrios de la ciudad. b) Qué població queda excluida e cada ua de las muestras ateriores?. c) A qué mil persoas pregutarías tú?. EQUIPO DE BALONCESTO Queremos seleccioar cico alumos de cada curso de ESO para realizar ua competició de balocesto. Carlos propoe el siguiete procedimieto para seleccioar a los cico alumos de etre los 30 que compoe el grupo de tercero de ESO C: Cojo 30 folios e blaco y e 5 de ellos pogo ua marca; los doblo varias veces y hago que cada compañero coja uo. Los cico de la señal formará el equipo de balocesto de la clase. a) Crees que esta muestra elegida por Carlos es represetativa de 3º de ESO C?. Por qué?. b) Iveta algú otro procedimieto para elegir a los 5 alumos de tercero de ESO C. CEFIRE DE VALENCIA Págia 4

6 ROPA DEPORTIVA Al director del Istituto le acaba de hacer ua oferta de chadalls. Debe decir e diez miutos cuátos ecesita de cada talla, para que grabe e ellos el ombre del Cetro. Piesa varias posibilidades para elegir ua muestra de 30 alumos: Ua clase de segudo de BUP. Las chicas de COU. Los tres primeros alumos que ecuetre de cada uo de los diez cursos del Istituto. Los 30 primeros alumos que ecuetre e el pasillo de la primera plata. a) Cuál crees que es la muestra más represetativa de todos los alumos?. Por qué?. b) A qué parte de los alumos excluye las restates muestras?. c) Elige otra muestra que tambié represete a todos los alumos del Cetro. EXTRAE MUESTRAS a) Utilizado la tabla de úmeros aleatorios extrae ua muestra de 1 idividuos de ua població de 70 habitates. Explica detalladamete el procedimieto usado. b) Co ayuda de la calculadora elige ua muestra aleatoria de 15 persoas, etre las 700 de u barrio determiado. c) De ua població de 1000 persoas queremos extraer ua muestra cuyo tamaño sea el 5 % de la població. Calcula el tamaño de la muestra y utiliza la tabla de úmeros aleatorios para obteer esa muestra. LISTA ALEATORIA? E u ordeador del Istituto apareció e patalla la siguiete colecció de úmeros: Se puede cosiderar esta colecció como ua tabla de úmeros aleatorios?. a) Haz u recueto del úmero de veces que aparece cada dígito, costruye la tabla de frecuecias correspodiete. Compara la frecuecia relativa de cada cifra co su probabilidad teórica. b) Aplica el test de poker: cueta el úmero de clases del tipo aabcd que hay cuado dividimos la tabla e grupos de cico dígitos. Compara la frecuecia relativa co la probabilidad teórica (0 5040). CEFIRE DE VALENCIA Págia 5

7 CIFRAS AL AZAR? So aleatorias las cifras del úmero π? a) Cueta el úmero de veces que aparece cada dígito y compara la frecuecia relativa co la probabilidad teórica (0 1). b) Aplica el test de poker. Cueta el úmero de clases del tipo abcde, aabcd y aabbc. Compara las frecuecias relativas co las probabilidades teóricas. Qué coclusioes obtiees?. CUÁL ES LA RULETA? Hemos girado cada ua de las ruletas 00 veces y hemos aotado los resultados e estas series: Serie Serie Cada serie se ha obteido girado ua de las ruletas. Cuál?. Explica. CEFIRE DE VALENCIA Págia 6

8 Muestreo sigifica obteció de iformació a partir de muestras. Població es el cojuto de datos o valores que se desea estudiar. Ua muestra es ua parte del cojuto de datos estadísticos que se desea estudiar. Geeralmete, el cojuto de datos es ta amplio que o se puede extraer la iformació directamete de todos ellos, sio que hay que seleccioar ua muestra y limitar el estudio estadístico a los valores de la muestra. Es posible obteer iformació bastate fiable de ua població estudiado muestras obteidas al azar. Esta iformació estará siempre afectada por u cierto grado de icertidumbre, pero el hecho de que las muestras sea extraídas al azar garatiza que las prediccioes acerca de la població tega algua fiabilidad. Debemos hacer la hipótesis de que las muestras aleatorias so represetativas de la població de que procede. Los elemetos e ua muestra obteida al azar está e parecida proporció que e la població de la que se ha obteido. Cuato mayor es el tamaño de la muestra, mayor es la cofiaza que podemos teer e uestra predicció. CÓMO ES EL DADO? U dado cúbico tiee todas sus caras marcadas co ceros y uos, pero o sabemos e cuátas caras hay 0 i e cuátas hay 1. Hemos lazado 300 veces el dado y éstos so los resultados: Al tirar otra vez 300 veces el dado hemos obteido la siguiete serie de ceros y uos: Cuátos ceros y cuátos uos crees que hay e el dado?. CEFIRE DE VALENCIA Págia 7

9 COMPOSICIÓN DE UNA BOTELLA Ua botella cotiee 0 bolas de colores egro, rojo y verde. No sabemos cuátas de cada color, i podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuado la tumbamos, el color de la bola que queda juto al tapó, que es trasparete. A lo largo de varios dias hacemos 1000 veces la experiecia de agitar, icliar la botella y aotar el color de la bola que se ve. Hemos obteido estos resultados: BOLA NEGRA ROJA VERDE FRECUENCIA Cuál crees que puede ser la composició de la botella? EL ESTANQUE Material: u sobre opaco co u úmero (descoocido para los alumos) de fichas de colores. Orgaizació: grupos de cuatro. E u estaque hay peces de distitas especies. Queremos saber qué proporció hay de peces de cada especie y cuátas especies diferetes hay, pero, como el agua está muy turbia, o podemos cotarlos a simple vista. Decidimos sacar u pez, aotar su especie (pero, para que o muera teemos que devolverlo imediatamete al agua) y repetir la misma operació varias veces. Qué porcetaje de peces de cada especie hay?. Se puede simular este problema utilizado u sobre co fichas de distitos colores (cada color represeta ua especie distita de peces) y extrayedo diferetes muestras co reposició. Después se traslada la iformació de la muestra a la població de peces. DADO OCTAÉDRICO Teemos u dado octaédrico (poliedro de 8 caras, triágulos equiláteros). Sus caras está umeradas co ceros y uos, pero o sabemos cuátos ceros i cuátos uos hay. Al lazarlo 300 veces, hemos obteido los resultados: Cuátos ceros y cuátos uos crees que hay e el dado?. CEFIRE DE VALENCIA Págia 8

10 DADO CÚBICO Cada ua de las caras de u dado cúbico se ha marcado co u 1 o co u 0, pero o sabemos cuátas de ellas se ha marcado co 1 y cuátas co 0. Al lazar este dado 50 veces se obtuvo: Cuátos ceros y cuátos uos podría teer el dado?. CUÁNTOS PECES HAY EN EL ESTANQUE? E u estaque hay peces de ua sola especie. Queremos saber cuátos hay, pero, como el agua está muy turbia, o podemos cotarlos a simple vista. Decidimos sacar uos cuatos, marcarlos para distiguirlos de los otros, devolverlos al agua, sacar ua seguda muestra e la que esperamos que haya peces marcados y si marcar. a) Co esta iformació, podrías dar dos valores (máximo y míimo) etre los cuales esté compredido el úmero de peces del estaque?. b) Supogamos que hemos marcado 10 peces, los hemos devuelto al agua y, e ua seguda muestra hemos extraído 0 peces de los que hay marcados. Cuátos peces crees que habrá aproximadamete e el estaque?. El problema puede ser simulado co ua botella opaca que cotega bolas de colores. Puede utilizarse tambié ua bolsa co bolas de la que se hará sucesivas extraccioes co devolució. Si se sustituye u úmero determiado de bolas por otras marcadas y se extrae muestras, el porcetaje de éstas e las muestras debe ser similar al de la botella. Si al sustituir, por ejemplo, diez bolas de la botella por diez bolas azules y extraer cada grupo 00 bolas, mediate 0 muestras de diez bolas cada ua, se obtiee e la clase ua media de bolas azules, el úmero total de bolas, N, debe verificar aproximadamete: / 00 = 10 / N de dode se puede determiar el tamaño de la població N. JUDÍAS Para cotar el úmero de judías que hay e ua bolsa procedemos así: I. Sacamos u puñado de ellas, las señalamos, las cotamos (187, por ejemplo) y las devolvemos a la bolsa. II. Revolvemos largamete para que se mezcle y volvemos a extraer u bue motó, 411, de las cuales hay 44 señaladas. Cuátas judías hay e la bolsa?. CEFIRE DE VALENCIA Págia 9

11 MUESTRAS Y ESTIMACIONES EN BACHILLERATO Itroducció E Bachillerato se puede profudizar e el estudio de las técicas de selecció y procedimietos de muestreo, así como e el aálisis de los datos obteidos y la formulació de cojeturas. Se trata de seleccioar ua muestra y utilizar los datos muestrales para realizar estimacioes sobre algú parámetro de la població. La calculadora gráfica es u poderoso istrumeto que permite aalizar fácilmete el comportamieto de los parámetros muestrales, así como obteer itervalos de cofiaza sobre los parámetros de estudio. E las siguietes actividades se muestra alguos ejemplos experimetados e 1º y º de Bachillerato e la asigatura de Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales. 1. Tipos de muestreo MUESTRAS ALEATORIAS Població es el cojuto de idividuos, cuyas características se pretede estudiar. Muestra es u subcojuto de la població. E Estadística se ecesita obteer ua muestra de elemetos de ua població de N idividuos co el propósito de extraer coclusioes sobre la població a través de la muestra. Si la població es muy umerosa o tiee setido obteer iformació de todos sus idividuos, por razoes de tiempo y diero. Para recoger iformació acerca de la població se seleccioa ua muestra, es decir u subcojuto de la població y se efectúa co sus idividuos ua ecuesta. Alguas pregutas de iterés : Cómo seleccioar la muestra para que sea represetativa de la població y o esté sesgada?. Cuál es el tamaño idóeo de la muestra?. Si la muestra es demasiado pequeña puede que la iformació obteida o sea represetativa de la població. Al aumetar el tamaño de la muestra se obtiee ua mejor iformació, pero el tamaño o puede ser excesivo, por razoes ecoómicas. Es fiable la iformació obteida e la muestra?. Hasta qué puto es represetativa de la població la iformació coteida e la muestra?. Estas cuestioes sobre tamaño y ivel de cofiaza de ua muestra se estudia e INFERENCIA ESTADÍSTICA. Cómo se seleccioa ua muestra? Para que la muestra sea represetativa, debe ser ua image miiaturizada de la població. Los caracteres iteresates e la muestra debe aparecer e la muestra co la misma proporció que e la població. CEFIRE DE VALENCIA Págia 10

12 Para que esto ocurra y la iformació o presete sesgos, seleccioamos los idividuos que compoe la muestra al azar, mediate u sorteo. La muestra obteida por este procedimieto se cooce co el ombre de muestra aleatoria. E el caso de muestra aleatoria, todos los elemetos de la població tiee la misma probabilidad / N de formar parte de ella. Para obteer ua muestra aleatoria se umera los elemetos de la població de forma que todos los úmeros idetificativos tega la misma catidad de dígitos. A cotiuació se elige elemetos co ayuda de la tabla de úmeros aleatorios, para lo que basta leer úmeros de la tabla de úmeros aleatorios (o de la calculadora), rechazado aquellos que o correspoda a iguo de los úmeros idetificativos de la població. La muestra estará formada por aquellos idividuos de la població cuyos úmeros de orde coicida co los úmeros aleatorios seleccioados. Ejemplo 1.- Para extraer ua muestra de 400 idividuos de ua població de tamaño umeramos sus elemetos y escogemos 400 úmeros diferetes de cuatro cifras de la tabla de úmeros aleatorios (el 0000 será el 10000). Durate el proceso de selecció de estos 400 úmeros elimiaríamos los que aparezca repetidos. A cotiuació realizaríamos ua ecuesta, pregutado a los 400 idividuos que compoe la muestra. Ejemplo.- Se desea cofeccioar ua apuesta de la lotería primitiva, e la que se señala 6 úmeros de 49. Para ello utilizamos la fució radit(1, 49, 6) de la calculadora gráfica TI 83. Así, pulsamos: MATH [5] 1, 49, 6 ) ENTER La apuesta estaría formada por los elemetos de esta lista, siempre que o haya repeticioes. a) E ua escuela hay 743 estudiates. Se debe elegir 0 alumos al azar. Explica el procedimieto más adecuado para efectuar la selecció. b) De ua població de 1800 idividuos queremos extraer ua muestra cuyo tamaño sea el 1,5 % del tamaño de la població. Halla el tamaño de la muestra y explica el procedimieto de selecció. SOLUCIÓN: a) Se umera los alumos del 001 al 743 y se lee los úmeros aleatorios e grupos de tres cifras. Se suprime los úmeros 000, 744, 745,..., 999 y las repeticioes. Por ejemplo, empezado por el pricipio y e direcció horizotal obteemos : b) El tamaño de la muestra es 1,5% de 1800 = 1,5 x 1800 /100 = 1,5 x 18 = 7. Para extraer la muestra, utilizamos la fució radit(1, 1800, 7) de la calculadora gráfica TI 83. Para ello pulsamos: MATH [5] 1, 1800, 7 ) ENTER La muestra está formada por los idividuos de la població cuyos úmeros de orde sea los de la lista obteida, siempre que o haya repeticioes. CEFIRE DE VALENCIA Págia 11

13 TIPOS DE MUESTREO MUESTREO ALEATORIO SIMPLE El muestreo aleatorio simple es u procedimieto para seleccioar ua muestra de ua població que cosiste e u sorteo e el que: a) Todos los elemetos de la població tiee las mismas posibilidades de ser elegidos, y b) Los elemetos de la muestra se elige idepedietemete uos de otros, es decir, las posibilidades de cada elemeto o depede de cuáles so los otros elemetos seleccioados. Podemos elegir los elemetos de la muestra de uo e uo, o seleccioarlos todos al mismo tiempo. Si el sorteo de los elemetos se hace de uo e uo, es ecesario que e cada etapa los elemetos de la població que o ha sido seleccioados ateriormete tega las mismas probabilidades de ser elegidos e la siguiete etapa. Esto se puede coseguir de dos formas : 1) Muestreo aleatorio simple co reemplazamieto : e cada etapa se devuelve a la població el elemeto elegido de forma que pueda participar tambié e la siguiete etapa. Cada etapa es idética a la aterior y u mismo elemeto puede ser elegido muchas veces. Se puede obteer así muestras co elemetos repetidos. ) Muestreo aleatorio simple si reemplazamieto : e cada etapa se separa el elemeto seleccioado y o vuelve a participar e las siguietes etapas del sorteo. Cada etapa es diferete a la aterior porque la població a sortear va dismiuyedo. E este caso, ya o se puede producir repeticioes e la muestra. Estos dos procedimietos se diferecia si la població de la que extraemos la muestra es pequeña. E cambio, cuado es muy grade, puede cosiderarse prácticamete iguales ya que las repeticioes so muy improbables. E la práctica los dos procedimietos utiliza la tabla de úmeros aleatorios o u geerador aleatorio adecuado (ordeador, calculadora) para seleccioar los elemetos que compoe la muestra. E el caso (1) se admite úmeros repetidos y e el caso () se rechaza las repeticioes. Si seleccioamos todos los elemetos de la muestra al mismo tiempo, debemos buscar u procedimieto que asegure que todas las muestras del mismo tamaño tega las mismas probabilidades de ser elegidas. a) El cetro Ximo Triquet tiee u equipo de fútbol sala y u equipo de balocesto. Los itegrates de cada uo de los equipos so: Fútbol sala : Balocesto : Pepe, Juaa, Aa, Javi, Ximo, Juajo, Vicete, Marta y Daiel. Jordi, Atoio, Asu, Erique, Mario, Ramó, Isabel y Maite. El programa deportivo de Caal 9 Avall la bola ivita a tres estudiates del equipo de fútbol sala y a dos del equipo de balocesto a participar e uo de sus programas. Utiliza el muestreo aleatorio simple para seleccioar a los cico estudiates ivitados. Explica detalladamete el procedimieto que sigues para realizar dicha selecció. CEFIRE DE VALENCIA Págia 1

14 MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO Dividimos el tamaño de la població etre el tamaño de la muestra: x= N. A cotiuació elegimos u úmero aleatorio de la tabla, A. Sumado y restado x a este úmero A, obteemos los elemetos de la muestra: A 3x A x A x A A+x A+x A+3x Por ejemplo, para seleccioar ua muestra de 400 idividuos de ua població de persoas, dividimos el tamaño de la població etre el tamaño de la muestra: / 400 = 5. Elegimos u úmero aleatorio de la tabla que tega cuatro cifras (el 0000 correspode al 10000), por ejemplo, el 47. Sumado y restado 5 a este úmero obteemos los elemetos de la muestra : MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO Cuado la població está dividida e grupos que so sigificativos para los datos estadísticos que se está estudiado, es coveiete que la muestra refleje la composició de la població. Cada grupo de la població proporcioa aleatoriamete ua parte de la muestra (cada parte proporcioal al tamaño del grupo de procedecia). Así, si queremos extraer ua muestra de tamaño 400 de ua població de idividuos e la que hay 6000 de estudios primarios, 3000 de estudios medios y 1000 de estudios superiores, elegimos al azar a, b y c persoas de cada grupo tales que: a 6000 b 3000 c 1000 de maera que a = 40 b = 10 c = 40 = = = MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADOS Se elige aleatoriamete uos grupos, cuyos elemetos costituye la muestra. Así, podemos elegir ficas y formar la muestra co los habitates de esas ficas (si excluir a iguo). MUESTREO ALEATORIO POR ETAPAS Se elige aleatoriamete ciertos grupos y e cada uo se toma aleatoriamete ciertos elemetos que compoe la muestra. Así, podemos elegir aleatoriamete calles; e ellas seleccioar ficas al azar y e éstas obteer tambié aleatoriamete idividuos de la muestra. CEFIRE DE VALENCIA Págia 13

15 b) E cierto barrio se quiere hacer u estudio para coocer mejor el tipo de actividades de ocio que gusta más a sus habitates. Para ello, va a ser ecuestados 100 idividuos elegidos al azar. 1) Explica qué procedimieto de selecció sería más adecuado utilizar: muestreo co o si reemplazamieto. Por qué?. ) Como los gustos cambia co la edad y se sabe que e el barrio vive 500 iños, 7000 adultos y 500 aciaos, posteriormete se decide elegir la muestra aterior utilizado muestreo estratificado..1) Defie los estratos..) Determia el tamaño muestral correspodiete a cada estrato. BIBLIOTECA Ua biblioteca pública está orgaizada e cico seccioes (e el cuadro adjuto se idica el úmero de libros existetes e cada secció). Secció 1 Secció Secció 3 Secció 4 Secció Co objeto de estimar el porcetaje de libros de edició española, se quiere seleccioar ua muestra de u 5% del úmero total de libros, a través de muestreo aleatorio estratificado, cosiderado como estratos las seccioes. Determia el úmero de libros que habría que seleccioar e cada secció si: a) Seleccioamos el mismo úmero de libros de cada secció. b) Utilizamos muestreo proporcioal. INSPECCIÓN FISCAL E u determiado país, el porcetaje de declaracioes fiscales que so correctas es del 60%, 40% y 80% segú se trate de idustriales, profesioales liberales o asalariados. Se sabe que del total de las declaracioes, el 10% so de idustriales y el 0% de profesioales liberales. Se va a realizar 1500 ispeccioes. a) Cuátos idustriales, profesioales liberales y asalariados ha de ser ispeccioados si se desea que la ispecció sea proporcioal a la probabilidad de declaració icorrecta e cada categoría socio profesioal?. b) Compara esta distribució de las 1500 ispeccioes co la que se tedría e el caso de hacerla proporcioal al úmero de declaracioes de cada categoría. CEFIRE DE VALENCIA Págia 14

16 MUESTRAS Y ESTIMACIONES ESTADÍSTICAS CON LA CALCULADORA GRÁFICA Itroducció La calculadora gráfica es ua herramieta potete que facilita eormemete los cálculos e Iferecia Estadística. La TI 83 dispoe de los meús DISTR y TESTS para trabajar esta parte de la Estadística. El meú DISTR permite calcular probabilidades asociadas a diversos modelos probabilísticos (los más usuales, como la distribució ormal, t de Studet, ji cuadrado, F, Poisso, etc). El meú TESTS cotiee los cotrastes de hipótesis más usuales (para ua y dos muestras), así como itervalos de cofiaza y aálisis de la variaza. E Bachillerato se trata de usar esta herramieta para itroducir los coceptos fudametales relacioados co la Iferecia Estadística, cetrádose especialmete e la estimació de parámetros. La eorme complejidad coceptual que supoe el estudio de los tests de hipótesis hace recomedable que se aalice las ideas básicas y se utilice directamete la calculadora gráfica para comprobar hipótesis y resolver problemas. Evidetemete, o es ecesario i tiee mucho setido estudiar los meús DISTR y TESTS e su totalidad, sio úicamete las opcioes ligadas a las distribucioes más importates (biomial, ormal, t de Studet, ) 1. Distribucioes muestrales A) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS El estudio de las propiedades de ua població se efectúa a través de diversas muestras extraídas de la població. Los estadísticos (media, mediaa, desviació típica, proporció, ) obteidos e la muestra permite decidir sobre los correspodietes parámetros e la població. Para ello ecesitamos saber cómo se distribuye dichos estadísticos e el cojuto de las posibles muestras. Supogamos que e ua població la variable aleatoria X tiee media µ y desviació típica σ. Extraemos ua muestra de tamaño y hallamos la media de la variable X e la muestra, X. Repetimos el proceso co otras muestras de tamaño, hallado la media, X, e cada ua de ellas. Etoces, se cumple que la media de todas las medias muestrales coicide co la media µ de la població. Además, la desviació típica de todas las medias muestrales es igual a σ. Si la distribució de la variable X e la població es ormal, etoces la distribució de las medias muestrales tambié es ormal. Es decir: Si e ua població la variable X es ormal de media µ y desviació típica σ, etoces las medias muestrales X sigue ua ormal de la misma media µ y desviació típica σ. Si X N(µ, σ) etoces X N µ, σ CEFIRE DE VALENCIA Págia 15

17 Si la variable X e la població o sigue ua distribució ormal, pero se toma muestras de tamaño > 30, etoces tambié se cumple que las medias muestrales sigue ua ormal de σ media µ y desviació típica. Este resultado se cooce como teorema cetral del límite. Si la desviació típica poblacioal, σ, es descoocida, puede sustituirse por la desviació típica s muestral, s, cumpliédose, e ese caso, que: X N µ,. Ejemplo.- La estatura media de la població de cierto barrio es de 176 cm, co ua desviació típica de 10 cm. a) Calcula la media y la desviació típica de la distribució de las medias de las muestras de tamaño 36. b) Halla la probabilidad de que ua muestra de 36 persoas tega ua estatura media de 176 cm o más. a) La distribució de las medias muestrales es ormal de media 176 cm y desviació típica σ = = 1,67 cm b) Si X es la estatura media de las muestras de tamaño 36, etoces se cumple X N(176, 1,67). Utilizado la calculadora gráfica: ormalcdf(176, 1E99, 176, 1.67) [ENTER] da como resultado =0.5. Por tato, la probabilidad de que la muestra tega ua estutura media de 176 cm o más es: p (X 176) = 0, 5 B) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES Cuado se trata de determiar la proporció o porcetaje de ua població que posee u cierto atributo (vota al partido A / o vota al partido A, ivierte e bolsa / o ivierte e bolsa, éxito / fracaso), utilizamos el modelo de la distribució biomial. Así, si la probabilidad de éxito es P y la de fracaso Q=1 P, y tomamos muestras aleatorias de tamaño 30, etoces las proporcioes P Q muestrales sigue ua distribució ormal de media P y desviació típica. Es decir: Si P es la proporció poblacioal y 30, etoces las proporcioes muestrales sigue ua distribució ormal P Q N P,. E la práctica ocurre que las proporcioes P y Q de la població so descoocidas. E estos casos se aproxima por las respectivas proporcioes de ua muestra, siempre que su tamaño sea > 100. CEFIRE DE VALENCIA Págia 16

18 Ejemplo.- E uas eleccioes a alcalde, el 56% de los votates optó por el cadidato A, mietras que el 44% lo hizo por el cadidato B. a) Halla la distribució de proporcioes de las muestras de tamaño 50 extraídas de la població. b) Calcula la probabilidad de que e ua muestra de 50 votates haya, al meos, 30 favorables al cadidato A. a) La proporció de la població, para el cadidato A, es p = 0,56; q = 0,44. La proporció de las muestras de tamaño 50 se distribuye segú la curva ormal p q 0,56 0,44 N p, N = 0,56, = N(0,56; 0,07) b) Treita votates a favor de A, etre 50, supoe ua proporció de p = = 0, 6. Como 50 p N( 0,56; 0,07), utilizado la calculadora gráfica: ormalcdf(0.6, 1E99, 0.56, 0.07) [ENTER] da como resultado: Etoces, la probabilidad pedida es: p( p 0,6) = 0,8. ACTIVIDADES RECIÉN NACIDOS E ua ciudad, el peso de los recié acidos se ha distribuido segú la ley ormal de media µ = 3100 gramos y desviació típica σ = 150 gramos. Halla los parámetros de la distribució que sigue las medias de las muestras de tamaño 100. ELECCIONES E las eleccioes a decao de ua facultad se presetaro dos cadidatos: A y B. El resultado de la votació fue del 60% para A y 40% para B. Si ates de la votació se hizo ua ecuesta a 36 votates, cuál habría sido la probabilidad de acertar el gaador?. (Es decir, p(votar A) > 0,5). OPOSICIONES Al acto de presetació de uas oposicioes asistió el 65% de los cadidatos. Si se hubiese tomado, elegidos al azar, 81 opositores, cuál es la probabilidad de que se presete meos de 55?. LA PRESA El 40% de los ciudadaos de ua comarca se opoe a la costrucció de ua presa. Si se preguta a 60 persoas de esa comarca, qué probabilidad hay de que gae los que se opoe?. PROGRAMAS CULTURALES Se sabe que el 60% de los adultos de u área geográfica asiste regularmete a programas culturales. Se obtiee ua muestra aleatoria de 150 adultos. Halla la probabilidad de que la proporció muestral esté compredida etre los valores 0,5 y 0,7. CEFIRE DE VALENCIA Págia 17

19 . Estimació de parámetros A) ESTIMACIÓN PUNTUAL Geeralmete o se suele coocer exactamete las características de ua població. Normalmete utilizamos muestras para describirlas, de maera que las características muestrales será ua estimació de las correspodietes características poblacioales. Para describir ua població compuesta por diversas categorías utilizamos las proporcioes o frecuecias relativas de cada categoría. La proporció exacta de ua categoría e la població, P, o es coocida y usamos la correspodiete proporció muestral, P, como estimador. Para describir ua variable cotiua e la població es usual recurrir a la media y a la desviació típica. Normalmete la media, µ, y la desviació típica, σ, poblacioales so descoocidas y utilizamos la media muestral, x, y la desviació típica muestral, s, como estimadores. Ejemplo 1.- U ivestigador mide la logitud total del tallo de 13 platas de soja de ua determiada especie a los 16 días de crecimieto, obteiedo los siguietes resultados: Cuál es la logitud media del tallo de las platas de soja de esa especie?. Cuál es la desviació típica e esta clase de platas?. Evidetemete, o podemos saber co certeza cuál es la logitud media poblacioal de esta especie de platas, i tampoco cuál es su desviació típica. Si embargo, podemos dar como estimadores putuales la media y la desviació típica muestral: x = cm. es ua estimació putual de µ. s = cm. es ua estimació putual de σ. Ejemplo.- E ua ecuesta aleatoria de 65 persoas de ua població se ecotraro 194 persoas favorables a ua determiada política. Qué proporció de ciudadaos de la població so favorables a dicha política?. Evidetemete, o podemos saber co certeza cuál es la proporció de idividuos favorables e la població, pero podemos dar como estimació putual la proporció muestral: 194 P = = % es ua estimació putual de P. 65 B) ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Como es lógico, resulta muy arriesgado trasladar mecáicamete a la població los parámetros obteidos e la muestra. Lo ormal es que haya desviacioes etre los parámetros muestrales y los poblacioales. Parece más acertado dar como estimació del parámetro u itervalo y o u úico valor. La estimació por itervalos de cofiaza cosiste e hacer razoamietos del siguiete tipo: CEFIRE DE VALENCIA Págia 18

20 No sabemos cuál es el valor buscado del parámetro w, pero la iformació coteida e la muestra idica que ese úmero está etre los valores a y b casi co seguridad. Los extremos del itervalo [a, b] será fucioes de la muestra y se trata de determiarlos co u cierto ivel de seguridad o NIVEL DE CONFIANZA. El ivel de cofiaza mide el grado de seguridad que teemos al afirmar que el valor del parámetro se ecuetra e el itervalo [a, b]. Se expresa así: p(a w b) = 1 α = ivel de cofiaza Dode α se llama ivel de error o ivel de sigificació. Por ejemplo, determiar u itervalo de cofiaza co u ivel de sigificació del 5% es equivalete a obteer u itervalo co u ivel de cofiaza del 95%. Esto sigifica que si extraemos ua muestra de la població y obteemos u itervalo de cofiaza para el parámetro buscado y volvemos a repetir el proceso de extraer muestras y obteer los correspodietes itervalos de cofiaza, 95 de cada 100 de estos itervalos cotedrá al verdadero valor de parámetro. Para determiar u itervalo de cofiaza para u parámetro w ecesitamos coocer la distribució muestral del correspodiete parámetro muestral w. Por ejemplo, si w sigue ua distribució ormal de media w y desviació típica ES w, ua medida de la discrepacia etre el estimador w y el parámetro w es ES w, que se llama ERROR TÍPICO DE MUESTREO. Si w N(w, ES w ) etoces, el itervalo w Z α ES w, w + Z α ESw es 1 1 u itervalo de cofiaza para el parámetro w co u ivel de cofiaza 1 α, siedo Z α el cuatil 1 α de la distribució N(w, ES w ). 1 E geeral, u itervalo de cofiaza para el parámetro w co u ivel de cofiaza 1 α, es u itervalo de la forma [ w k ES w, w + k ES w ], siedo w u estimador putual de w y k el cuatil correspodiete de la distribució muestral que siga el estimador. C) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Si la població tiee media µ descoocida y desviació típica σ coocida, y extraemos ua muestra de tamaño co media x y desviació típica s, para suficietemete grade se σ cumple que x N σ µ,. Por tato, el error típico de muestreo es, e este caso, ES x =. Etoces, aplicado lo visto e el apartado aterior, se cumple que: El itervalo σ σ x Z α, x + Z α es u itervalo de cofiaza 1 1 para la media µ co u ivel de cofiaza 1 α. CEFIRE DE VALENCIA Págia 19

21 Lo habitual es que la desviació típica poblacioal σ sea descoocida, e cuyo caso la media muestral x o sigue ua distribució ormal y etoces o se puede utilizar σ i el cuatil α 1 de la N(0, 1) para hallar el itervalo de cofiaza. Si σ es descoocida, la media muestral x sigue ua distribució T de Studet, que para valores de grades se puede aproximar por ua distribució ormal. E este caso se puede utilizar la desviació típica muestral s e lugar de σ, de forma que el itervalo de cofiaza para la media µ viee dado por: x Z α 1 s, x + Z α 1 s para u ivel de sigificació α. Ejemplo.- Se ha medido la logitud de 13 platas de ua especie de soja, obteiedo los siguietes resultados: Halla u itervalo de cofiaza para la logitud media de esta especie de platas, co u ivel de sigificació del 5%. Para α=0.05, el ivel de cofiaza es 1 α=0.95. El cuatil correspodiete de la N(0, 1) es Z = Z = 1.96, como puedes comprobar co la fució ivnorm(0.975) de la α 1 calculadora gráfica, pulsado [ d ] DISTR [3] ) ENTER. Además, sabemos que la media y la desviació típica muestrales so: x = cm. y s = cm. Por lo tato, el itervalo de cofiaza buscado es: , = [ ,.003] [ 0.68, ] Teemos ua cofiaza del 95 % de que el itervalo [0.68, ] cotega al verdadero valor de la media poblacioal. D) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN Si la proporció P co la que aparece ua categoría e la població es descoocida y extraemos ua muestra de tamaño 30 obteiedo dicha categoría co ua proporció muestral P, etoces se cumple que P Q P N P,, siedo Q=1 P. E este caso, el error típico de P Q muestreo es ES P =. Por tato, aplicado lo visto e el apartado aterior, se cumple: P Q P Q El itervalo P Z α, P + Z α es u itervalo de 1 1 cofiaza para la proporció P co u ivel de cofiaza 1 α. CEFIRE DE VALENCIA Págia 0

22 Lo habitual es que la proporció e la població, P, sea descoocida. Por tato se descooce P y Q. E este caso, se puede utilizar la proporció muestral P e lugar de P y Q = 1 P e lugar de Q. Así, el itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal P co u ivel de cofiaza 1 α es: P Q P Q P Z α, P + Z α 1 1 Ejemplo.- E ua ecuesta aleatoria de 65 persoas de ua població se ecotró que 194 de ellas se mostraro favorables a ua determiada política. Cuál es el itervalo de cofiaza del 95% para la proporció de la població total favorable a dicha política?. 194 La proporció muestral es, e este caso, P = = Por lo tato, 65 Q = 1 P = = Para u ivel de cofiaza del 95% se cumple: 0.95=1 α α=0.05 Z = Z = 1.96, como puedes comprobar co la fució ivnorm(0.975) de la α 1 calculadora gráfica. Etoces, el itervalo de cofiaza buscado es: , = [ , ] Es decir, teemos u 95 % de cofiaza de que la proporció de persoas favorables a dicha política está compredida etre el 67,9 % y el 78,5 %. ACTIVIDADES SELECTIVIDAD Ua muestra aleatoria de 100 alumos que se preseta a las pruebas de Selectividad, revela que la media de edad es de 18,1 años. Halla u itervalo de cofiaza de 90% para la edad media de todos los estudiates que se preseta a las pruebas, sabiedo que la desviació típica de la població es de 0,4. PRECIOS Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto alimeticio e 16 comercios, elegidos al azar e u barrio de ua ciudad, y se ha ecotrado los siguietes precios: Supoiedo que los precios de este producto se distribuye segú ua ley ormal de variaza 5 y media descoocida: a) Cuál es la distribució de la media muestral?. b) Determia el itervalo de cofiaza, al 95%, para la media poblacioal. CEFIRE DE VALENCIA Págia 1

23 ORDENADORES Se realizó ua ecuesta a 350 familias pregutado si poseía ordeador e casa, ecotrádose que 75 de ellas lo poseía. Estima la proporció real de familias que dispoe de ordeador co u ivel de cofiaza del 95%. LECTORES DE PRENSA Tomada al azar ua muestra de 500 persoas e la Comuidad Valeciaa, se ecotró que 0 leía algú periódico habitualmete. Calcula, co u ivel de cofiaza del 95 por cieto, el itervalo e el que se ecotrará la verdadera proporció de lectores de periódicos y explica el proceso seguido para dicho cálculo. 3. Itervalos de cofiaza co la calculadora gráfica Podemos obteer itervalos de cofiaza co ayuda de la calculadora gráfica TI 83. Para ello usaremos el meú TESTS que aparece al pulsar la tecla STAT. A) ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN Para obteer u itervalo de cofiaza para la proporció usaremos la fució 1 PropZIt, a la que puedes acceder a través del meú TESTS. E la patalla que aparece itroduce el úmero de casos, x, el tamaño de la muestra,, el coeficiete de cofiaza, C Level, sitúa el cursor sobre Calculate y pulsa ENTER. E la siguiete patalla se muestra el itervalo de cofiaza, la proporció y el tamaño muestral. Ejemplo.- E u sodeo electoral realizado a 73 persoas de ua població, se maifestaro 8 persoas favorables a u determiado partido político. Cuál es el itervalo de cofiaza del 95 % para la proporció de la població total que votará a dicho partido?. Pulsamos STAT [A] para activar la fució 1 PropZIt. E la siguiete patalla itroducimos los valores: x = 8, =73, C Level=0.95. Situamos el cursor sobre Calculate y pulsamos ENTER. E la siguiete patalla se muestra el itervalo de cofiaza, además de la proporció muestral y el tamaño de la muestra. B) ESTIMACIÓN DE UNA MEDIA Para obteer u itervalo de cofiaza para la media utilizaremos la fució Ziterval del meú TESTS. Este meú se obtiee pulsado la tecla STAT. Al activar esta fució aparece ua patalla que propoe dos métodos de trabajo diferetes: Data y Stats. E el primero (Data) hay que almacear todos los valores de la muestra e ua lista y especificar el ombre de la lista que cotiee los datos. E el segudo (Stats) basta dar u resume de los estadísticos de la muestra, como la media muestral y. E cada ocasió usaremos la parte del meú que os iterese. A cotiuació hay que idicar el ivel de cofiaza (C Level) y fialmete, desplazar el cursor a la opció Calculate y pulsar ENTER. El resultado es ua patalla dode se idica el itervalo de cofiaza, la media, la desviació típica y el tamaño de la muestra. CEFIRE DE VALENCIA Págia

24 Ejemplo.- Hemos pesado 8 corderos de ua misma especie criados e idéticas codicioes ambietales, obteiedo los siguietes resultados (e kg): Calcula u itervalo de cofiaza para la media µ de los pesos de los corderos de esa especie, co u ivel de cofiaza del 90%. Itroducimos los datos e la lista L 1 y a cotiuació pulsamos STAT [1] L 1 para seleccioar la fució 1 Var Stats del meú CALC. De esta forma obteemos los estadísticos muestrales, cocretamete: x = y S x = Podemos supoer que la desviació típica poblacioal coicide co la muestral, osea σ=s x =0.65. Etoces, activado el meú Ziterval, situaremos e cursor e Data y pulsaremos ENTER; itroduciremos como lista de datos L 1, co frecuecias iguales a 1 y u C Level igual a Situado el cursor sobre Calculate y pulsado ENTER, obteemos el itervalo de cofiaza, juto co la media, desviació típica y tamaño muestral. Haz este mismo ejercicio usado el meú Titerval, e lugar de Ziterval y compara los resultados obteidos. El meú Titerval se basa e usar la distribució T de Studet, e vez de la distribució ormal. ACTIVIDADES GAFAS GRADUADAS E ua determiada població se toma ua muestra al azar de 56 persoas. De esta muestra, el 0% de las persoas lleva gafas graduadas y el 80% restate o. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la proporció poblacioal de las persoas que lleva gafas graduadas para u ivel de cofiaza del 95%. LIBROS CIENTÍFICOS Se desea hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros cietíficos. Para ello, se elige ua muestra aleatoria formada por 34 libros y se determia que la media muestral es de 34'90 euros co ua desviació típica de 4'50 euros. Halla el itervalo de cofiaza para el precio medio de los libros cietíficos al ivel del 99%. 4. Tamaño de ua muestra Uo de los problemas fudametales de la Iferecia Estadística cosiste e determiar el tamaño idóeo de la muestra para que ésta sea represetativa de la població. Evidetemete, el tamaño muestral se obtiee teiedo e cueta el error máximo admisible. Distiguimos para ello dos casos, segú que se preteda estimar ua media o ua proporció. CEFIRE DE VALENCIA Págia 3

25 A) PARA UNA MEDIA Cuado estimamos ua media poblacioal co u ivel de sigificació α, el tamaño idóeo de la muestra es Z α 1 = E σ. B) PARA UNA PROPORCIÓN Cuado estimamos ua proporció poblacioal co u ivel de sigificació α, el tamaño idóeo de la muestra es Z α 1 = P Q. E Si utilizamos el límite máximo de error, obteemos otra aproximació al tamaño de la muestra: ACTIVIDADES BOMBILLAS Z α 1 = E U fabricate de bombillas sabe que la desviació típica de la duració de las bombillas es de 100 horas. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de someter a prueba para teer ua cofiaza del 95% de que el error de la duració media que se calcule sea meor que 10 horas. CONTROL DE CALIDAD De qué tamaño coviee tomar la muestra de ua líea de producció para teer ua cofiaza del 95% de que la proporció estimada o difiere de la verdadera e más de u 5%?. Se sabe, por estudios previos, que la proporció de objetos defectuosos es del orde del 0,05. ELECCIONES E ua població de de votates, se sospecha que el 35 % de ellos votará al partido A. Cuál debe ser el tamaño de la muestra, que se desea ecuestar, para que la proporció del úmero de persoas e la muestra que vota al partido A, o se aparte de la proporció correspodiete e la població e más de dos cetésimas, co ua probabilidad del 95 % al meos?. GRUPO SANGUÍNEO Queremos estimar la proporció de valeciaos que tiee el grupo saguíeo 0, co ua precisió (o marge de error) de 0 0. Cuál es el tamaño de la muestra que se debe utilizar, co ua certeza del 95%?. CEFIRE DE VALENCIA Págia 4