A2 Apéndice de matemáticas financieras
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- Lucas Rubio Aranda
- hace 6 años
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1 A Apédce de matemátcas faceras E este apédce se preseta las fórmulas tradcoales para hallar las sumas equvaletes e el tempo y ua coleccó de fórmulas para equvaleca de tasas omales y efectvas. Para usar estas fórmulas se maejará las sguetes varables: Tabla A. Varables Varable Símbolo Excel Tempo N Nper Tasa de terés Tasa Suma presete P VA Suma futura F VF Cuota o sere uforme C Pago A. Suma presete a suma futura Para hallar el valor de ua suma futura F al fal de períodos, equvalete a ua suma presete, a ua tasa de terés compuesto %, se utlza la sguete fórmula: F=P(+) (A.) Las varables correspode a las dcadas e la tabla. El cálculo del valor futuro se hace aplcado e forma sucesva la fórmula básca F=Px(+). Esta aplcacó se hzo e el ejemplo sobre terés compuesto e el capítulo. E Excel (e español) = VF(;;C;P;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular F a partr de C o de P. També permte calcular el valor de F dcado s es cuota atcpada (tpo = ) o vecda (tpo = 0). S se desea calcular F a partr de P, se omte el valor de C. S se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. E la versó 97 de Excel se recomeda el uso del botó Pegar fucó o Asstete de fucoes, e versoes aterores, que se actva co u botó de la barra de herrametas de Excel. Al oprmr este botó aparece el meú de fucoes y allí se escoge la fucó que se desea. 68
2 Gráfcamete se tee: 0 0 P F Para trabajar los ejemplos que se preseta a cotuacó se recomeda usar la hoja de cálculo y costrur ua tabla como ésta: Ejemplo Supoga que se verte $ e ua cueta de ahorros que produce el % aual. S o se retra gua catdad y se paga terés compuesto, cuáto se podrá retrar al falzar el año 5? 69
3 E ua hoja de cálculo, el flujo de caja sería: Año Flujo F =? = VF(%;5;; ) = $ ,08 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Excel es cosstete co la covecó que se adoptó arrba. Cosdere que u greso es ua cfra postva y que u egreso es ua cfra egatva, de maera que cuado se troduce los valores de los flujos e las fucoes, se debe teer e cueta el sgo egatvo s so egresos y Excel calculará el resultado como u greso y vceversa. S embargo, se da casos e los cuales, por ejemplo, o se desea saber cuáto hay que vertr para obteer certos beefcos, so a cuáto equvale hoy certos beefcos futuros o a cuáto equvale hoy certos pagos futuros; e estos casos o se aplca lo dcho, so que es ecesaro ajustar los sgos, para que se produzca el resultado deseado. S se desea saber a cuáto equvale uos gresos futuros, esos gresos habrá que troducrlos a la fucó, co sgo egatvo, para que arroje u resultado postvo. Ejercco de autocorreccó. La solucó se ecuetra al fal del apédce. Cuáto se tedrá al cabo de meses, s se ha depostado ua suma de $ a ua tasa del % mesual? 70
4 A. Suma futura a suma presete Para hallar la suma presete e el período cero, equvalete a ua suma futura stuada al fal del período, a ua tasa de terés compuesto %, se utlza la sguete fórmula, que se desprede de la ateror (A.): P F = ( + ) (A.) Dode las varables correspode a las dcadas e la tabla A.. El cálculo del valor futuro se hace aplcado e forma sucesva la fórmula básca F = P/(+). E Excel = VA(;;C;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular P a partr de C o de F; també permte calcular el valor de P, dcado s es cuota atcpada (tpo = ) o vecda (tpo = 0). S se desea calcular P a partr de F, se omte el valor de C; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: 0 0 F P Ejemplo S se ecesta teer $ detro de 3 años para pagar ua matrícula, cuáto debe ahorrarse hoy, por ua sola vez, e ua cueta de ahorro que ofrece ua tasa de terés de 5% aual? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo 0 P =? = VA(5%;3;; ) = -$ Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó. La solucó se ecuetra al fal del apédce. 7
5 Cuáto se debe depostar hoy a ua tasa del 3% mesual, para teer $ al fal de meses? A.3 Sere de cuotas uformes a suma presete A su vez, para hallar la suma al fal del período cero (o sea hoy) a la tasa de terés compuesto %, que sea equvalete a ua suma uforme durate períodos al fal de cada uo,,...,, se utlza la fórmula: P = C ( + ) ( + ) (A.3a) Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. Esta fórmula resulta de la sucesva aplcacó de la expresó ya coocda F = P(+) o de su versa P = F/(+). Ua vez hecho esto, se utlza el maejo de seres y progresoes de artmétca de escuela secudara. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca (cocepto de equvaleca) de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta (hay varos textos que sí lo hace ). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. Co detalle: C C C C P = L+ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + C (A.3b) Esta expresó orga la ecuacó A.3. E Excel = VA(;;C;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular P a partr de C o de F. També permte calcular el valor de P, dcado s es cuota atcpada (tpo = ) o vecda (tpo = 0). S se desea calcular P a partr de C, se omte el valor de F; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: 0 0 C C C C C P Dode P es la suma stuada al fal del período cero; C, la suma uforme al fal de cada período,..., ;, la tasa de terés, y el úmero de períodos. Cuado es muy grade, etoces: Baca Currea (998a, 998b y 999). 7
6 P = lm C P = lm C ( + ) ( + ) ( + ) = lm C 0 = C = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) C (A.4) Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. E este caso se llama costo captalzado. Se puede demostrar que cuado las sumas de dero futuras expermeta u crecmeto porcetual de g, etoces esta expresó queda modfcada así: P = C g (A.5) Esto es váldo para > g; para g =, el valor de P o está determado. Tato la ecuacó A.4 como la A.5 puede ser útles cuado se trata de calcular el valor de salvameto o fal de u proyecto o frma (véase capítulos 6 y 8). Ejemplo 3 S hoy se debe 0 cuotas de $43.077,8, calculadas al,76% mesual, cuáto se debe pagar e este mometo, para cacelar la totaldad de la deuda? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año 0 P =? Flujo , , , , , , , , , ,8 73
7 Esta fórmula (A.3) resulta de la sucesva aplcacó de la expresó ya coocda F = P(+) o de su versa, P = F/(+). Ua vez hecho esto, se utlza el maejo de seres y progresoes de artmétca de escuela secudara. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca (cocepto de equvaleca) de todo el aálss que se trata de hacer, por lo tato, o se preseta (hay varos textos que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. = VA(,76%;0;43077,8) = -$37.999,9 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Calcule el valor de P, cuado es muy grade, por ejemplo, = 500. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo, el valor. Camba el resultado? Por qué camba? Ejercco de autocorreccó 3. La solucó se ecuetra al fal del apédce. A cuáto equvale hoy ua sere de gresos de $.000 mesuales, recbdos al fal de cada mes, durate meses, s la tasa de terés es del,5% mesual? A.4 Suma presete a sere de cuotas uformes Para hallar la suma uforme durate determado úmero de períodos,...,, equvalete a ua suma presete e cero a ua tasa de terés compuesto %, se utlza la fórmula: C ( + ) ( + ) = P (A.6) Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. Esta fórmula es la versa de la ateror. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca (cocepto de equvaleca) de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta (hay varos textos, ya mecoados, que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. C C C C C P = L+ + 3 S se despeja C de ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ), se tee P C = L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cuado se hace smplfcacoes, se obtee la ecuacó A.6. E Excel = PAGO(;;P;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular C a partr de P o de F. També permte calcular el valor de C, dcado s es cuota atcpada (tpo = ) o vecda (tpo = 0). S se desea calcular C a partr de P, se omte el valor de F; s se desea que sea vecda, se omte el valor tpo. 74
8 Cuado es muy grade, de maera smlar al caso ateror: C = lm P lm P ( + ) ( + ) ( + ) = lm P = lm P = P 0 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (A.7) Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. Gráfcamete se tee: 0 0 P C C C C C Ejemplo 4 Exste la posbldad de dferr ua compra co tarjeta de crédto por valor de $ e cuotas guales, a,76% mesual. Cuál es el valor de la cuota C? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo C =? C =? 3 C =? 4 C =? 5 C =? 6 C =? 7 C =? 8 C =? 9 C =? 0 C =? La ecuacó A.6 se deduce de la msma expresó de la ecuacó A.3, y es exactamete la versa: 75
9 E Excel: = PAGO(,76%;;435000) = -$43.077,8 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Esta cuota se compoe de dos partes: u aboo a captal que aumeta co el tempo y u pago de terés que dsmuye. E geeral, es certo que ua cuota para pagar u préstamo se compoe de u aboo o amortzacó más los tereses pactados; esto es certo e todos los casos. Hay u caso muy partcular, que es el estudado aquí, e que la suma de esas dos compoetes es sempre gual, porque se trata de ua cuota uforme. Para eteder esto, se sugere resolver el ejercco 3 del fal del capítulo. E forma matemátca, sempre se tedrá: Cuota = tereses + aboo o amortzacó Co los datos del Ejemplo 4, se tee: Mes Saldo cal Itereses Aboo Cuota Saldo fal Tasa ,0.006,0 3.07, , ,7,76% ,7.48,4 3.98, , ,9,76% ,9 0.67, 3.80, , ,8,76% ,8 9.36, , , ,,76% , 8.43, , , ,0,76% , , , ,3 35.5,6,76% ,6 6.49, , , ,5,76% ,5 5.48, , , ,7,76% , , , ,3.43,3,76% 0.43, , , ,3 8.74,6,76% 8.74,6.8, , ,3 4.90,3,76% 4.90,3.57,0 4.90, ,3 0,0,76% Calcule el valor de C cuado es muy grade, por ejemplo, = 500. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo el valor. Camba el resultado? Por qué? Ejercco de autocorreccó 4. La solucó se ecuetra al fal del apédce. S se deposta $ e ua caja de ahorros al,5% mesual, cuáto se podrá retrar mesualmete durate meses, al fal de cada mes, de modo que después del últmo retro el saldo sea cero? A.5 Sere de cuotas uformes a suma futura Para calcular la suma futura al fal del período, equvalete a ua sere uforme durate períodos, a la tasa de terés compuesto %, al fal de cada uo,,...,, se utlza la fórmula: 76
10 F ( + ) = C (A.8) Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. Esta fórmula resulta de la sucesva aplcacó de la expresó ya coocda F = P(+) o de su versa, P = F/(+). Ua vez hecho esto, se utlza el maejo de seres y progresoes de artmétca de escuela secudara. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca (cocepto de equvaleca) de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta (hay varos textos, ya mecoados, que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas: F = = C C( + ) + C( + ) + L+ C( + ) + C( + ) ( + ) + ( + ) + L + ( + ) + ( + ) o [ ] Al hacer las smplfcacoes se llega a la fórmula A.8. E Excel = VF(;;C;P;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular F a partr de C o de P; també permte calcular el valor de F, dcado s es cuota atcpada (tpo = ) o vecda (tpo = 0). S se desea calcular F a partr de C, se omte el valor de P; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: o 0 0 C C C C C F Ejemplo 5 Se desea calcular cuáto se tedrá e ua cueta de ahorros al fal de 7 meses, s se deposta $ mesuales y la cueta de ahorros paga el,5% mesual. E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: 77
11 Año Flujo F =? = VF(,5%;7;-35000) = $.36.90,03 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo el valor. Camba el resultado? Por qué? Ejercco de autocorreccó 5. La solucó se ecuetra al fal del apédce. S ua persoa ahorra mesualmete $.500 y le lquda tereses mesuales del 3%, cuáto podrá retrar al fal de 4 meses? A.6 Suma futura a sere de cuotas uformes Para obteer el valor de la sere uforme al fal de cada período,...,, equvalete a ua suma futura al fal del período, a la tasa de terés compuesto %, se utlza la fórmula: C = F ( + ) (A.9) Esta fórmula es la versa de la fórmula (A.8). Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. La deduccó matemátca de esta expresó o aporta a la compresó de la dea básca (cocepto de equvaleca) de todo el aálss que se trata de hacer; por lo tato, o se preseta (hay varos textos, ya mecoados, que sí lo hace). Se debe sstr al lector e que o es ecesaro memorzar las fórmulas. C = F ( + ) + ( + ) + L + ( + ) + ( + ) 78
12 E Excel = PAGO(;;P;F;tpo). Esta fucó e Excel srve para calcular C a partr de P o de F; també permte calcular el valor de C, dcado s es cuota atcpada (tpo = ) o vecda (tpo = 0). S se desea calcular C a partr de F, se omte el valor de P; s se desea que la cuota sea vecda, se omte el valor tpo. Gráfcamete se tee: 0 0 F C C C C C Ejemplo 6 Supógase ahora, que se desea retrar de ua cueta de ahorros la suma $ , después de haber ahorrado ua cuota mesual durate 36 meses, a ua tasa de,5% mesual. Cuál debe ser esa cuota? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo 0 0 C =? C =? 3 C =? C =? 3 C =? 33 C =? 34 C =? 35 C =? 36 C =? E Excel: = PAGO(,5%;36; ) = -$60.805,9 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Explore qué sucede cuado troduce e la caslla tpo el valor. Camba el resultado? Por qué? Ejercco de autocorreccó 6. La solucó se ecuetra al fal del apédce. Cuáto debe ahorrar mesualmete esa msma persoa durate 36 meses, s quere retrar al fal $ y la cueta de ahorros le paga 3% mesual? 79
13 A.7 Cálculo de úmero de períodos E estos factores sólo se ha trabajado e el cálculo de P, F o C, pero se puede també calcular las otras varables e. Para calcular, se utlza la fucó de Excel: = NPER(;C;P;F;tpo) Dode las varables correspode a las dcadas e la Tabla A.. Ejemplo 7 Supógase ahora que se desea retrar de ua cueta de ahorros la suma $ después de haber depostado $5.000 por ua sola vez a ua tasa de,5% mesual. Cuáto se debe esperar? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: Año Flujo =? = NPER(,5%;;-5000;35000) = 78,8 Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó 7. La solucó se ecuetra al fal del apédce. E cuáto tempo se duplca u ahorro de $ s se recooce tereses de 3,5% mesual? La fucó que calcula el úmero de períodos, que se expresa = NPER(tasa;pago;va;vf;tpo), cotee las varables P (VA), C (pago) y F (VF), lo cual sgfca que se puede ecotrar el úmero de períodos combado o sólo P y F, como e el ejemplo ateror, so també P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercco de jugar co esta fucó. A.8 Cálculo de tasa de terés E el caso del cálculo de, vale la pea precsar que dados valores de P, F, C y, el valor calculado es aquella tasa de terés que hace equvaletes dos flujos de caja de dstto sgo. Por lo tato, los sgos de las cfras volucradas e el cálculo debe ser cosstetes co el dagrama de flujo de caja respectvo; esto es, ua versó debe ser u egreso (co sgo egatvo) y u greso (co sgo postvo). 80
14 Cuado se trabaja co Excel, se utlza = TASA(;C;P;F;tpo; semlla) o = TIR(rago; semlla). La prmera se utlza, como ya se lustró, e el caso e que hay cuotas uformes; la seguda, cuado los flujos de caja o so uformes. E Pegar fucó o Asstete de fucoes para la fucó TIR aparece estmar e lugar de semlla. Cuado o se escrbe gú valor, el programa supoe que es 0,. Esta tasa de terés cal que se le troduce a la fucó es el valor que utlza el programa para car ua secueca de teracoes. Por ejemplo, s se tee la sguete versó: Período Flujo ($) El lector, que es telgete, sabrá de medato que la tasa que hace equvalete el flujo postvo co el flujo egatvo es 40%. El computador, que es torpe, pero veloz, tedrá que hacer u proceso de prueba y error e tetará co 0% y después co 50%, etc., hasta que después de varos tetos, descubrrá que es 40%. La tasa de terés que utlza para la prmera prueba es la semlla o estmar de las fucoes TASA o TIR de Excel. La fucó de Excel TASA se utlza cuado se tee flujos de caja uformes y sólo hay que troducr u valor C o PAGO e Excel, para dcar el flujo de caja uforme. Cuado el flujo de caja o es uforme, obvamete o hay u valor úco, uforme, para troducr e la fucó. E ese caso o es posble utlzar la fucó TASA y deberá utlzarse la fucó TIR. Co esa fucó hay que dcar el rago dode se halla los valores, desde el state cero hasta el fal del período. E el caso de la fucó de Excel TIR, se le debe dcar al programa el rago dode aparece todos los flujos que se desea aalzar. Rago se refere al rago cotuo e la hoja de cálculo dode se ecuetra los datos. Este rago debe clur todos los valores, desde el período cero hasta el fal, o período. Las cfras de las versoes debe escrbrse co sgo egatvo. S e los flujos aalzados se ecuetra u período co valor cero (0), debe escrbrse como tal. Excel o cosdera ua celda e blaco como cero. E caso de hallar ua celda e blaco, o la toma e cueta como período del flujo de caja lbre aalzado. Co las fucoes que utlza rago e sus parámetros se puede utlzar u flujo de caja lbre o uforme. Estas fucoes respode a la preguta a qué tasa de terés se vrtó u dero que produjo determado flujo de beefcos? Ejemplo 8 S ua persoa puede retrar la suma de $ después de haber depostado $5.000 hace 36 meses, a qué tasa de terés mesual ahorró? E ua hoja de cálculo el flujo de caja sería: 8
15 Año Flujo = = TASA(36;;-5000;35000) =,38% Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó 8. La solucó se ecuetra al fal del apédce. S ua persoa ahorra $5.000 mesuales durate 36 meses y retra $ el últmo mes a qué tasa de terés ahorró? La fucó que calcula la tasa de terés, que se expresa =TASA(per;pago;va;vf;tpo; semlla), cotee las varables P (VA), C (pago) y F (VF), lo cual sgfca que se puede ecotrar la tasa de terés combado o sólo P y F, como e el ejemplo ateror, so també P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercco de jugar co esta fucó. Ejemplo 9 S ua persoa verte $0.000 y recbe e el prmer mes $9.000, e el segudo mes $5.000 y e el tercer mes $7.000, a qué tasa de terés mesual vrtó? B C 30 Mes Flujo ($)
16 = TIR(Rago) =,6% Rago se refere al rago cotuo e la hoja de cálculo dode se ecuetra los datos. Este rago debe clur todos los valores, desde el período cero hasta el fal, o período. Las cfras de las versoes debe escrbrse co sgo egatvo. Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó 9. La solucó se ecuetra al fal del apédce. S se recbe u préstamo de $0.000 y se paga e cuatro cuotas así: la prmera, $3.400; la seguda, $3.75; la tercera, $.950, y la cuarta, $.75, a qué tasa de terés prestaro? A.9 Suma presete equvalete a flujo o uforme Exste u caso muy comú y cosste e saber cuál es el equvalete e pesos de hoy (valor actual o valor presete) de u flujo de caja lbre que o tee u patró determado; es decr, los flujos de caja puede ser dferetes. E Excel esto se calcula co la fucó = VNA(;rago). Estas fucoes calcula la suma equvalete e el período cero de u flujo de caja lbre a la tasa de terés dcada y lo expresa e udades moetaras del período medatamete ateror al que ca el rago que se dcó e la fucó. Esto es, s se calcula el valor presete de ua sere de flujos desde hasta, el resultado será ua cfra e valor presete o actual, e el período 0. El lector debe pesar qué sucede (e udades moetaras de qué período) s se utlza todo el rago desde 0 hasta. Gráfcamete: 83
17 0 3 0 P Ejemplo 0 Co los datos de la tabla s se desea veder el derecho a recbr los flujos de caja futuros de su versó y su tasa de terés es de % mesual, por cuál suma míma debe hacer la trasaccó? Mes Flujo ($) = VNA(%;Rago [desde hasta 3]) = $0.5,63 Rago se refere al rago cotuo e la hoja de cálculo dode se ecuetra los datos. Este rago debe clur sólo los valores, desde el período uo hasta el fal, o período. Las cfras de las versoes debe escrbrse co sgo egatvo. Sugerecas: dbuje el dagrama de flujo de caja lbre y escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel. Al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó 0. La solucó se ecuetra al fal del apédce. Calcule la suma presete e período cero 0 del sguete flujo de caja lbre a ua tasa de terés de 5% por período: Año Flujo ($) Resume Obsérvese que e Excel sólo se requere tres fucoes para maejar los casos de trasformacó etre sumas de dero P, F y C. Éstas so: = VF(;;C;P;tpo) para trasformar P a F o C a F. 84
18 = VA(;;C;F;tpo) para trasformar F a P o C a P. = PAGO(;;P;F;tpo) para trasformar P a C o F a C. Obsérvese que estas fucoes se puede utlzar co más de ua varable; por ejemplo, se puede calcular ua cuota uforme equvalete a ua suma cal (VA o P) y ua suma futura (VF o F). Se puede calcular ua suma presete equvalete a ua sere de cuotas uformes (pago o C) y ua suma futura (VF o F), etc. Al llegar a este puto es posble que alguos lectores famlarzados co el tema haya extrañado que certas fórmulas tradcoales, como los gradetes, o aparezca e el texto. La razó es muy smple: muchas de las smplfcacoes que se ha vedo utlzado e este tema, como los gradetes, era váldas hace más de ccueta años. E esa época era ecesaro asmlar el comportameto de costos o gresos crecetes (o decrecetes) a ua líea recta que aumeta o decrece por u gradete costate g, para poder codesar su cálculo e ua fórmula compacta. Después de que se ha desarrollado el cojuto de fucoes de hojas electrócas, como Excel, que se presetó arrba, se tee la esperaza de que ya o se utlce más estos malabarsmos algebracos que cumplero su fucó muy be e la prmera mtad del sglo XX y comezos de la seguda. Las fucoes, e forma resumda y e fucó de los patroes típcos cuado hay cuota uforme, suma presete o suma futura, so: Tabla A. Fucoes Operacó Patró típco (a partr de P, F, C, NPER y/o %) Patró o típco (rregular) A suma presete VA VNA A suma futura VF No hay A cuota uforme PAGO No hay Tasa de terés TASA TIR Número de períodos NPER No hay A.0 Factores y fucoes de Excel = VF(;;;P) coverte ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del período 0 a ua suma futura F al fal del período. = VA(;;;F) coverte ua suma futura F al fal del período a ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del período 0. = VA(;;C) coverte ua sere uforme de valor C, que se ca al fal del período y terma al fal del período, a ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del período 0. = PAGO(;;P) coverte ua suma presete P al comezo del período, o sea fal del período 0 a ua sere uforme de valor C, que se ca al fal del período y terma al fal del período. = VF(;;C) coverte ua sere uforme de valor C, que se ca al fal del período y terma al fal del período, a ua suma futura F, al fal del período. = PAGO(;;;F) coverte ua suma futura de valor F, stuada e el fal del período a ua sere uforme de valor C, que se ca e el fal del período y terma al fal del período. = TASA(per;pago;va;vf;tpo;semlla), = TIR(rago; semlla) calcula la tasa de terés que hace equvaletes uos flujos egatvos a uos postvos. Respode a la preguta a qué tasa de terés se vrtó u dero que produjo determado flujo de beefcos? Para la fucó TASA se le debe dcar los parámetros C, F, P e semlla. Para la fucó TIR se le debe dcar al programa ua tasa de terés cal ( semlla), co la cual ca los cálculos y el rago dode aparece todos los flujos que se desea aalzar. = VNA(;rago) calcula el valor presete de u flujo de caja lbre a la tasa de terés dcada y lo expresa e udades moetaras del período medatamete ateror al que ca el rago que se dcó e la fórmula. = NPER(tasa;pago;va;vf;tpo;semlla) ecuetra el úmero de períodos que se requere para que ua versó se coverta e u determado moto al fal de esos períodos o el úmero de cuotas que se requere para pagar u préstamo co ua cuota determada o el úmero de depóstos guales ecesaros para obteer ua certa suma de dero al fal de los períodos calculados. E todos los casos se debe estpular ua tasa de terés. 85
19 Estos factores se ecuetra e calculadoras faceras y otras hojas electrócas, de maera que puede obteerse co gra precsó y rapdez. També se puede utlzar tablas de factores de terés que se ecuetra e los lbros vejos de matemátcas faceras. A. Tasas de terés omal y efectva E el texto del capítulo se presetaro las fórmulas báscas que relacoa las tasas atcpadas y vecdas y las tasas omales y las efectvas. A cotuacó se preseta otras fórmulas que permte hallar e forma drecta las equvalecas etre cualquer tasa omal y su efectva correspodete y vceversa. S se desea calcular la tasa omal atcpada a partr de ua tasa de terés efectva, se despeja de (.8) y se obtee: om A Escoja el lector la que sea meos agresva. = = = ( + ) ef ( + ) ef ( + ) ( ) ef + ef (A.0) Ejemplo Se tee ua tasa de terés omal del 4% aual, mes vecdo ( = ), etoces la tasa de terés efectva es: = INT.EFECTIVO(4%;) = 6,8% Sugerecas: escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejemplo S la tasa de terés omal fuera 3% y se lquda trmestralmete por atcpado, la tasa de terés efectva aual será: Tasa de terés trmestral atcpada = 0,3/4 = 0,08 = 8% Tasa de terés trmestral vecda = 0,08/(,08) = 0,087 = 8,7% Esta fórmula la dedujo Fabá Ruz Gutérrez, estudate de m curso e la Uversdad Javeraa, e II
20 Tasa de terés efectva aual = (+,087) 4 =,39588 = 0,39588 = 39,59% efectvo aual Obsérvese que sempre hay que reducr el terés omal al terés peródco que se dca e la forma de lqudar. E Excel: ef = INT.EFECTIVO(8,7%*4;4) = 39,59% o = VF(-3%/4;-4;;-) = 39,59% Sugerecas: escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó. La solucó se ecuetra al fal del apédce. S u préstamo está pactado al 36% aual, trmestre vecdo, cuál es la tasa de terés efectva que se está pagado aualmete? Recuerda la cfra que se le pdó guardar e el Ejemplo del cuerpo del capítulo. Basádose e este ejercco de autocorreccó se puede coclur que cuado se calcula la tasa de terés efectva aual, se supoe, e el caso de u préstamo, por ejemplo, que que recbe el dero prestado tee la posbldad de ahorrar a la msma tasa que a la que le presta. Es este supuesto razoable? Para el caso de ua persoa que guarda su dero e ua caja fuerte (o e ua lata de galletas, que para el caso es lo msmo) Qué sgfcado tedrá decr que s el préstamo es de 36% TV, etoces la tasa de terés efectva aual es el obtedo e el ejercco de autocorreccó? Ese dvduo, cuál de las dos formas de pago preferrá, e el caso del Ejemplo 8? Se podrá decr que la tasa de terés efectva aual es la msma para él, que para aquel que puede ahorrar al 9% trmestral? Ejemplo 3 S u baco dce cobrar ua tasa de terés de 4,87% efectva aual, a qué tasa de terés mes atcpado correspode esa tasa de terés efectva? La tasa de terés omal mes vecdo es 36,%. La tasa de terés peródca, mesual vecda es 3,0%. La tasa de terés peródca mesual atcpada es: ma 3,0% = =,93% + 3,0% E Excel: mv = TASA.NOMINAL(4,87%;)/ = 3,0% La tasa de terés peródca mesual atcpada es: ma 3,0% = =,93% + 3,0% 87
21 Sugerecas: escrba e celdas los datos que etra e la fucó de Excel y al utlzar Pegar fucó o Asstete de fucoes, troduzca las celdas y o los valores. Ejercco de autocorreccó. La solucó se ecuetra al fal del apédce. S la tasa de terés efectva aual de u préstamo es de 4% y se sabe que se lqudó por trmestre atcpado, cuál fue la tasa omal de terés que se pactó? Así msmo, s se quere covertr drectamete ua tasa omal atcpada co períodos a ua tasa omal atcpada co períodos, se puede utlzar esta ecuacó: oma = oma (A.) El lector puede verfcar el resultado de esta fórmula co el del Ejemplo. del cuerpo del capítulo De gual maera, para trasformar ua tasa omal vecda co períodos a ua tasa omal vecda co períodos se puede utlzar la sguete relacó: omv omv = + (A.) Para trasformar ua tasa omal vecda co períodos a ua tasa omal atcpada co períodos se puede utlzar la sguete relacó: oma = + omv (A.3) Para trasformar ua tasa omal atcpada co períodos a ua tasa omal vecda co períodos se puede utlzar la sguete relacó: omv = oma (A.4) Estas fórmulas muestra que la utldad de la tasa de terés efectva queda reducda a hacer comparacoes etre tasas que se lquda de maera dferete. No es ecesaro squera el cálculo de la tasa de terés efectva para hacer las trasformacoes etre tasas. El lector debe comprobar estas fórmulas co los datos del Ejemplo del cuerpo del capítulo. 88
22 89 Para recordar De A Fórmula Efectva Nomal atcpada ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + = + = ef ef ef ef om A Nomal atcpada co períodos Nomal atcpada co períodos = oma oma Nomal vecda co períodos Nomal vecda co períodos + = omv omv Nomal vecda co períodos Nomal atcpada co períodos + = omv oma Nomal atcpada co períodos Nomal vecda co períodos = oma omv La relacó etre tasas se puede vsualzar co el sguete esquema elaborado por Adrés Mejía, profesor del Departameto de Admstracó de la Uversdad Javeraa, e mayo de 000. Esquema A. Trasformacó de tasas equvaletes
23 N ( + ) E FECTIVO = P ERIODICO TASA EFECTIVA ANUAL N EFECT IVO = ( PERIOD ICO )! El sgo Negatvo muestra que se está trabajado Tasas Atcpadas! El sgo Postvo muestra que se está trabajado Tasas Vecdas PERIODICO ( + ) = N EFECTIVO PERIODICO = ( + EFECT IVO )! Nótese que la operacó que determa las tasas efectvas es la potecacó, puesto que se basa e el cáclculo de tasas compuestas TASA PERIODICA VENCIDA VENCIDO NO MINAL = PERIODICO N = PERIO DICO = ANTICIPAD O ANTICIPADO NO MINAL N ANTICIPADO = + VENCIDO NOMINAL = PERIODICO N TASA NOMINAL ANUAL VENCIDO TASA PERIODICA ANTICIPADA PERIO DICO = NOMINAL N! Nótese que la operacó que deter ma las tasas Nomales es la multplcacó, puesto que se basa e el cáclculo de tasas smples A. Solucó a los ejerccos de autocorreccó. Cuáto se tedrá al fal de meses, s se ha depostado ua suma de $ a ua tasa del % mesual? F = VF(%;;; ) = $ Cuáto se debe depostar hoy a ua tasa del 3% mesual para teer $ al fal de meses? P = VA(3%;;;000000) = -$ ,76 3. A cuáto equvale hoy ua sere de gresos de $.000 mesuales, recbdos al fal de cada mes, durate meses, s la tasa de terés peródca es del,5% mesual? P = VA(,5%;;-000) = $0.57,76 4. S se deposta $ e ua caja de ahorros al,5% mesual, cuáto se podrá retrar mesualmete durate meses, al fal de cada mes, de modo que después del últmo retro el saldo sea cero? C = PAGO(,5%;; ) = $37.59,98 5. S ua persoa ahorra mesualmete $.500 y le lquda tereses mesuales del 3% cuáto podrá retrar al fal de 4 meses? F = VF(3%;4;-500) = $86.066,7 6. Cuáto debe ahorrar mesualmete esa msma persoa durate 36 meses, s quere retrar al fal $ ? C = PAGO(3%;36;300000) = -$4.74,4 90
24 7. E cuáto tempo se duplca u ahorro de $ , s se recooce tereses de 3,5% mesual? = NPER(3,5%; ; ) = 0,5 meses 8. S ua persoa ahorra $5.000 mesuales durate 36 meses y retra $ el últmo mes a qué tasa de terés peródca ahorró? = TASA(per;-5.000;; ) =,73% 9. S se recbe u préstamo de $0.000 y se paga e cuatro cuotas, así: la prmera, $3.400; la seguda, $3.75; la tercera, $.950, y la cuarta, $.75, a qué tasa de terés peródca prestaro? = TIR(Rago desde período 0 a 4) = 9,0% Período Flujo de caja ($) Calcule la suma presete e período cero (0) del sguete flujo de caja lbre a ua tasa de tasa de terés peródca de 5% por período: Año Flujo $ = VNA(5%,rago desde período hasta 4) = $7,97. S u préstamo está pactado al 36% aual, trmestre vecdo, cuál es la tasa de terés efectva que se está pagado aualmete? = INT.EFECTIVO(36%;4) [4,6%]. S la tasa de terés efectva aual de u préstamo es de 4% y se sabe que se lqudó por trmestre atcpado, cuál fue la tasa de terés omal que se pactó? om trm vec = TASA.NOMINAL(4%;4) = 36,65% trm at = (36,65/4)/(+36,65/4) = 8,39% om aual trm at = 8,39%*4 = 33,57% A.3 Ejerccos.. Por qué es dstto el valor del derecho a $ hoy de u derecho gual detro de u año? De acuerdo co esto, qué es el terés?. Qué se etede por el cocepto de equvaleca?. Cuátos flujos de caja etos e años podría ser equvaletes a ua suma presete de $P al % aual? Descrba el pla de pago de $0.000 para pagar esta deuda e cuatro pagos trmestrales guales (cuota uforme), que cluye tereses de 9% trmestral y se paga al fal de cada trmestre, sobre el saldo o cacelado, al comezo del período. 9
25 Trmestre Saldo al co del trmestre Iterés Aboo a la deuda Cuota uforme Saldo al fal del trmestre Tasa 3. Resuelva també a partr del supuesto de que los aboos a la deuda so guales: Trmestre Saldo al co del trmestre Iterés Aboo a la deuda Cuota Saldo al fal del trmestre Tasa Juegue co los aboos y ajuste los valores hasta lograr que el saldo fal se matega e cero. Al hacer esto e forma repetda, usted podrá verfcar la respuesta del Ejercco. Este ejercco 3 equvale a lo que e los textos tradcoales se llama tablas de amortzacó. 4. Las sguetes afrmacoes so certas o falsas? Argumete la respuesta. 4. La tasa de terés es costate a través del tempo. 4. Para u aálss de u flujo de caja por períodos auales sólo puede cosderarse tasas de terés auales. 4.3 La dfereca etre ua tasa terés omal y ua tasa de terés efectva radca e que la tasa de terés efectva es sempre u múltplo etero de la tasa omal. 5. E ua casa de cambos de Bogotá le djero a ua secretara que le prestaba $ al 5%. Cuado llevó a su fador para recbr el dero y etregar los cheques para el pago del préstamo, se eteró de que le etregaría $ , pues le descotaba $.000 por cocepto de estudo del crédto. Debó grar estos cheques: Mes $ Mes $ Como ecestaba el dero, ella y su fador le dero las gracas al amable señor de la casa de cambos. Verdaderamete le prestaro el dero al 5%? A qué tasa le prestaro? R. No. 9,7%. 6. La empresa debe pagar el mpuesto predal de su sede, el cual ascede a $ al año. E caso de que la ofca de recaudacó le ofrezca u descueto por proto pago de 5% s cacela ates del 30 de abrl de ese año, a qué tasa terés aual efectva correspode ese descueto s el pago se hcera el 30 de marzo? S, por el cotraro, o se acoge al descueto y debe pagar tereses de mora del 36% aual, lqudado mesualmete sobre el moto debdo, a partr del de mayo, cuál es la suma total que deberá cacelar el de agosto? 7. S la lqudacó es mesual, a qué tasa de terés debe colocarse $ para: Acumular $ de tereses e años? 9
26 Acumular $ de tereses e 3 años y medo? 8. Cuál es el valor de la tasa de terés efectva cuado ua tasa de terés omal del 5% se lquda: (a) aualmete; (b) semestralmete; (c) trmestralmete, y (d) mesualmete. Haga el cálculo para dferetes tasas de terés omal, por ejemplo, 0%, 5%, 30%, 30%, 40%, 45%, 50%. E la hoja de cálculo, utlce pasos de %. 9. Cuál es la tasa de terés efectva semestral y la tasa de terés efectva aual de los sguetes certfcados de depósto a térmo: 90 días, 5% aual omal, trmestre atcpado. 80 días, 6% aual omal, trmestre vecdo. 0. Cuál es la tasa de terés efectva semestral y aual de los sguetes títulos de ahorro acoal: 90 días,,86% aual omal, trmestre vecdo. 80 días, 5,4% aual omal, semestre vecdo. 360 días, 9,45% aual omal, año vecdo.. Cuál es la tasa de terés efectva aual de ua versó que ofrece ua tasa de terés omal aual del 8%, pagado por semestre atcpado?. Exste títulos valores que se egoca e la Bolsa que tee la estructura geérca de u boo. U boo es la promesa de pago que hace ua frma co la cual se compromete a pagar el valor omal (valor del boo) al vecmeto (maduracó o redecó) y uos tereses pactados (cupoes) que se paga peródcamete. La frma los puede veder a descueto o o (a descueto sgfca que los vede por meor valor que el omal). Así msmo, puede ofrecer tereses peródcos (cupoes) o o. Co qué descueto debe adqurr u versosta u título que se debe redmr a los 5 años, s al fal de cada año recbe tereses del % co respecto al valor omal del documeto mecoado y aspra obteer u redmeto aual del 35%? Sugereca: el redmeto es la tasa de terés de equvaleca, o sea, hace equvaletes los flujos etos postvos y los flujos etos egatvos. 3. Ua versó ofrece ua tasa de terés omal aual del 3%, pagado cada mes al vecmeto; s otra alteratva paga los tereses por trmestre atcpado, qué retabldad omal aual TA se debe exgr e esta seguda opcó para que las dos sea equvaletes? 4. Ua posbldad de facacó es la emsó de boos o títulos egocables e bolsa. Co qué descueto se debe emtr u título que o paga tereses, s se desea que su vecmeto ocurra a los 90 días y que el redmeto para el comprador sea del 8,5% omal aual? 5. S la cueta Protoahorro ofrece ua tasa de terés de 39% aual lqudado trmestralmete y vecdo y la cueta Ahorre-Ya ofrece 37% aual lqudado mesualmete y vecdo, e cuál de las dos abrría ua cueta de ahorros para mateer allí u depósto durate dos años? 6. Cuál es la tasa de terés efectva trmestral y aual, s ua tasa de terés omal aual del 48% se lquda mesualmete? 7. Ua persoa recbe e caldad de préstamo $ de ua corporacó, para ser pagados e pagos guales al fal de cada mes, co ua tasa de terés de % por mes. Sus pagos mesuales fuero calculados de la sguete maera: 93
27 Suma del préstamo ($) Iterés al % mesual ($) Estudo de la solctud ($) Total ($) Pagos mesuales $ / = Qué opa usted de esta forma de lqudar los pagos? Determe la tasa de terés efectva y omal por año que esa persoa pagó. 8. E u almacé deportvo le ofrece ua bccleta cuyo preco de lsta es de $ y se puede comprar a través de ua tarjeta de crédto a 6 y meses. No obstate, s usted paga de cotado, le hace u descueto y la bccleta valdría $6.00. Los factores que utlza la tarjeta de crédto para calcular la cuota mesual (multplca el valor del pagaré por el factor para calcular la cuota mesual) que se debe pagar e cada caso, so: Pla Factor 6 meses 0,804 meses 0,09699 Cuál es la tasa de terés que dce cobrar la tarjeta de crédto? Cuál es la verdadera tasa de terés que usted paga al comprar co la tarjeta? Supoga que se dfere la totaldad de la compra. R.,4%, 5,65% (6 meses), 4,0% ( meses). 9. Supoga que u baco auca que las tasas auales de terés e cada uo de los próxmos cuatro años será 8%, 30%, 35% y 3%. 9. Elabore ua tabla que muestre la catdad acumulada al fal de cada año por cada peso depostado hoy. 9. Cuáto habrá que depostar hoy para teer $ al falzar el cuarto año? R. $ ,. 9.3 Qué tasa de terés aual costate sería equvalete a la sere de las tasas dadas, para algue que desea vertr hoy y recbr la versó después de cuatro años (e otras palabras, qué tasa de terés trasformaría la suma presete que se ecotró e el puto b9. e $ detro de cuatro años?). R. 3,%. 9.4 A la tabla del puto) 9. añada ua columa que muestre la catdad que se debe depostar ahora, s se desea teer u saldo de $ al fal de los años,, 3 y Supoga que ua corporacó de ahorros paga ua tasa del 5% de terés aual y usted verte $ e eero de 99 y desea hacer tres retros auales guales a partr de 994, de tal maera que al hacer el últmo retro (e 996) la cueta queda e $0. Cuál es el valor de los retros guales que se podría hacer?. Cuál es el costo efectvo aual de u crédto de $ que se paga al fal de u año, co ua tasa de terés del 8% aual omal, co tereses pagaderos por trmestre atcpado?. Ua corporacó paga ua tasa de terés del,5% mesual.. A qué tasa de terés efectva aual equvale esa cfra?. Cuál es la tasa de terés omal aual correspodete al,5% mesual?.3 S usted verte $ y o retra ada, cuáto tedrá detro de 6 meses? Detro de 3 años? 3. E cuáto tempo se duplcará ua versó de $ s la tasa de terés es del 0% semestral? E cuáto tempo se trplca? Se cuadruplca? 94
28 4. S usted verte hoy $ y desea que e 0 años tal suma se haya trplcado, a qué tasa de terés deberá hacer su versó? S desea que su captal se duplque e ese msmo período, a qué tasa de terés debe vertrlo? 5. E cuáto tempo se duplcará u captal a ua tasa de terés del 8% aual? Del % aual? Del 8% aual? Del 4% aual? Del 30% aual? 6. S u captal se duplca cada cuatro años, qué tasa de terés está gaado? Qué pasa s se duplca cada 0 años? 7. Ua aceptacó bacara es u documeto que expde u baco a favor de u tercero por cueta de u clete. El tercero puede hacer efectva la aceptacó y presetarse a cobrar al baco e la fecha de vecmeto de este título valor o descotarla e el mercado de valores. Las tasas a las que se descueta estos documetos varía depededo de la escasez o abudaca de efectvo e el mercado. S se tee ua aceptacó bacara a 90 días y se descueta al 38% aual trmestre atcpado, a qué tasa de terés efectva aual correspode esta operacó? 8. Co la formacó del ejercco ateror, s se desea obteer eto $ , cuáto debe ser el valor de la aceptacó bacara ates del descueto? 9. Cuáto se acumulará e u fodo al fal de 5 años s se verte hoy $ al 4% aual? 30. Cuál es el valor presete de $ , que se recbrá detro de 37 años, s la tasa de terés es del 30% aual? 3. Se desea teer $ al fal de 30 años, qué suma uforme de dero se debe vertr al fal de cada uo de los 30 años s la tasa de terés es del 8% aual? 3. Qué catdad de dero se debe vertr ahora para recbr $ al año a perpetudad, s la tasa de terés es del 0% aual? Cuáto debe ser el ahorro recbdo al fal de 5 años, para justfcar u gasto de $ ahora, otro gasto de $ al fal del tercer año y de $ al fal del cuarto año, teedo e cueta que la tasa de terés es del 36% aual? 33. Cuál es la suma acumulada de $ al fal de 60 años, s la tasa de terés es del 5%? 33.3 Cuáto estaría dspuesto a pagar usted hoy por la promesa de recbr $ durate 5 años, al fal de cada año, s su tasa de terés es del 8% aual? Qué ocurría s su tasa de terés fuera 4% o s fuera %? 34. S la tasa de terés es del 0%, hasta qué catdad se podría pagar hoy por $ auales (pagaderos al fal de cada año, empezado el año hoy) durate: (a) 5 años; (b) 0 años; (c) tempo defdo? 35. S usted deposta $ al fal de 998 e ua cueta de ahorros a ua tasa de terés del 8% aual lqudado trmestralmete, cuáto tedrá usted e su cueta al fal del 006? 36. S usted deposta e su cueta de ahorros $ al fal de cada año, comezado al fal de 998 y falzado e el 004, qué suma tedrá usted e su cueta etoces, s el terés aual es del 5%? 37. S usted desea dspoer al fal del 000 de ua suma de $ e ua cueta de ahorros al 4% aual, cuádo debería depostar la suma de $ ? 38. Qué catdad debe depostarse e ua cueta de ahorros a ua tasa de terés aual del 8% a fales de 998, para que se pueda retrar de la cueta $ auales, comezado al fal de 00 y termado a fes de 08? 39. S usted se etera de que algue ha depostado $ e ua cueta bacara al fal de 998, 000 y 00 y que esa cueta ha alcazado la suma de $ al falzar 004, qué tasa de terés devegó esa cueta? 40. E septembre de 994 la Cooperatva Cafetera Cetral publcó u avso, cuya parte pertete dce: 95
29 La Cooperatva Cafetera Cetral [ ] ofrece BONOS EL CAFETERO 994 cuyas característcas [ ] so las sguetes: [ ]. Valor Nomal: la emsó costará de boos de u valor omal de $ cada uo. [ ] 6. Vecmeto: el plazo de los boos será de 60 meses cotados a partr de la fecha de su suscrpcó. 7. Tasas de Iterés: la tasa de terés será del (DTF+3,00%) TA. Se etede por DTF la tasa promedo de captacó a 90 días de los bacos, corporacoes faceras, corporacoes de ahorro y vveda y compañías de facameto comercal, dvulgadas semaalmete por el Baco de la Repúblca o, e caso de desaparecer, por aquella tasa promedo de captacó que la susttuyó. Para la lqudacó de los tereses se tomará el DTF vgete el día e el cual se ca el período de causacó de los tereses, adcoado e los putos pactados. 8. Pago de Itereses: los tereses se pagará trmestre atcpado, trmestre vecdo, semestre atcpado o semestre vecdo a eleccó del suscrptor. [ ] Aalce esta oferta y s hacer gú cálculo decda cuál es la mejor forma de lqudar los pagos de tereses del boo (cupoes), supoedo que el pago de los tereses e las modaldades ofrecdas debe mateer la tasa de terés efectva que resulta del puto 7 y que el comprador o tee problemas de lqudez. S la tasa DTF fuera de 6,% aual trmestre atcpado, calcule la tasa de terés aual efectva, desde el supuesto que los tereses se lqudara tal y como dce la oferta. Cuál es la tasa de terés omal para cada modaldad de pago ofrecda, sabedo que la tasa de terés efectva debe ser la msma para cada caso? S su tasa de equvaleca (tasa de descueto o tasa de retabldad míma aceptable) fuera de 35% aual efectva cuál modaldad de pago le covee más? S usted matee el boo durate los prmeros cuatro pagos y decde vederlo medatamete después de recbr el cuarto pago de tereses (bajo la modaldad de TA), cuál sería el mímo valor por el cual lo vedería, s su tasa de equvaleca (tasa de descueto o tasa míma aceptable) fuera de 35% aual? Usualmete ua emsó de boos se vede e u período corto y después de comprados los boos se puede decr que o puede volver a comprar los msmos boos e lo que se cooce como mercado prmaro, es decr, comprar los boos a su emsor. Sugereca: lea el texto del Ejercco de esta msma seccó para formarse, s lo ecesta, sobre lo que es u boo. 4. Su empresa ha solctado ua facacó de cartera ordara a u baco al 36% aual, trmestre atcpado, co u plazo de 3 años, le cobra ua comsó del,5% del total del préstamo, por ua sola vez y la deuda la debe cacelar trmestralmete; el gerete del baco ha sstdo e que es u préstamo muy barato, pues calcula que como máxmo le va a costar 36,5% al año, teedo e cueta que la comsó es por ua sola vez. Cuáto es el verdadero costo del préstamo e térmos de tasa de terés efectva aual? 4. Cuál es la retabldad de u papel de descueto a año, s se ha comprado co u descueto del 5% del valor omal? 43. Ua uversdad ha emtdo boos covertbles e matrícula, cuya adquscó se puede hacer por medo de ua facacó (u préstamo) del 70% del moto a ua tasa del 4% aual, pagadera por trmestre atcpado; la uversdad ofrece ua tasa de terés mesual del 3,5% vecdo sobre el valor omal y espera recbr al fal de los 36 meses de plazo, sus boos por matrícula, cuyo valor es equvalete al 05% del valor omal de los boos. Usted ha estudado esta posbldad y decde comprar $ e boos. Qué retabldad le produjero los $ que le correspodó aportar de su bolsllo? Supoga que el préstamo se devuelve al fal de los 36 meses. Sugereca: lea el texto del ejercco de esta msma seccó para formarse, s lo ecesta, sobre lo que es u boo. 44. Cuáto es la retabldad efectva aual de u CDT de $ al 30% trmestre atcpado? 96
30 45. U amgo está ecestado de dero y lo úco co que cueta es u CDT de u baco muy coocdo. Le pde que sobre ese documeto le preste u dero y le dce que él está dspuesto a edosárselo, para que lo cobre posterormete. El CDT se emtó a 90 días al 30% trmestre atcpado, por $ ; ese certfcado fue emtdo hace 48 días. S el dero que usted le puede prestar a su amgo lo tee vertdo a ua tasa de terés del 36% aual efectvo, Cuáto es lo máxmo que usted podría ofrecerle por el CDT? Cuáto sería s el CDT fuera a 30% trmestre vecdo? 46. U amgo le dce que es mejor pagar de cotado u carro que vale $ a pagar ua cuota cal de $ y 0 cuotas de $36.000, porque co el sstema a plazos usted terma pagado $ por u carro que vale $ Qué le cotestaría usted? Qué tasa de terés estaría cobrado por la facacó del saldo del carro? 47. Carlos acó el 7 de octubre de 99. Al cumplr año, ua tía le abró ua cueta de ahorros a su ombre y cosgó $00.000; cosgó sumas auales de $ e la caja de ahorros, hasta que él tuvo la edad de 8 años. E esa cueta se le recooce ua tasa de terés peródca del 8% aual lqudado aualmete. Carlos espera comezar a retrar sumas auales de $ a partr del 7 de octubre de 0 y a los 3 años, espera retrar el saldo. (a) Calcule este saldo. (b) S la tía deseara hacer sólo u depósto el 7 de octubre de 99 y que Carlos pudera hacer todos los retros mecoados y termar co el msmo saldo calculado, cuál sería esa suma de dero? R: (a) $8.75.6, Ua empresa es propetara de ua flota de buses y tee su propo taller de matemeto. U certo tpo de bus usado ormalmete durate 5 años tee u costo cal de $ y al fal de esos 5 años se puede veder e $ Los costos de matemeto so de $ el prmer año y crece e $ cada año. S se supoe ua tasa de terés del 36% aual, cuáto sería lo máxmo que se puede pagar por u servco equvalete, es decr, por arredar aualmete u bus smlar e lugar de comprarlo? 49. Su empresa recbe u préstamo de $ y lo debe pagar e 6 años e pagos guales, que cluye el terés sobre saldos. S la tasa de terés es del 5% aual, cuál es la cuota que debe ser cacelada al fal de cada año? De esa cuota uforme, cuáto es la suma que se amortza cada año y cuáto es el moto de los tereses que se cacela cada año? 50. Supoga que su empresa compró u papel comercal de Avaca a descueto, e $7,95, y después de 365 días lo vede por su valor omal de $00,00. Qué tasa de terés aual obtuvo? S ese papel lo compró a $79,65 y lo vedó a los 70 días e su valor omal de $00,00, qué terés aual omal y efectvo obtuvo? Qué pasa s lo compró e $86,00 y lo vedó e $00,00 a los 80 días? 5. El Dstrto Captal de Bogotá lazó los Boos Pro-Urbe e las sguetes codcoes: se vede a descueto e $9,00, se lquda tereses del 6% aual sobre el valor omal, trmestre vecdo, y se redme, o sea, los compra al año por $00, que es su valor omal. Cuál es el terés trmestral producdo por esa versó? Cuál es la tasa de terés efectva aual? 5. E u almacé de electrodoméstcos del cetro de Bogotá se obtuvo la sguete formacó (ovembre de 987): Se ofrecía u televsor de 4", a color, co cotrol remoto, y la etqueta decía que el preco de cotado era de $ Al averguar s había algua forma de facacó, se desarrolló el sguete dálogo etre el vededor y el clete: Vededor: Le ofrecemos crédto a 0 meses de plazo s facacó. El pla es ua cuota cal de $43.08 y 0 cuotas de $0.00. Clete: (después de hacer uas cuetas) Pero, el preco o es de $96.000? Vededor: Sí, pero a crédto es de $ Clete: Vededor: Muy be, pero, o hay u plazo más largo? Por supuesto, caballero; le ofrezco u plazo de 5 meses co ua cuota cal de $5.08 y 5 cuotas de $
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