MATEMÁTICA. Unidad 3 Utilicemos funciones Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tendencia central. Trabajemos con medidas de posición

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1 MATEMÁTICA Uidad Utilicemos fucioes Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tedecia cetral. Trabajemos co medidas de posició Objetivos de la Uidad: Resolverás situacioes que implique la utilizació de las fucioes matemáticas, aplicado correctamete procedimietos, coceptos y propiedades, y valorado el aporte de los demás. Resolverás problemas aplicado las medidas de tedecia cetral a los datos estadísticos que aparece e los medios de comuicació social, para opiar y participar de maera crítica ate su realidad. Aplicarás medidas de posició a series de datos uméricos obteidos de situacioes de la realidad, calculado cuartiles, deciles y percetiles, a fi de iterpretarlos segú el tipo de medida de la situació que represeta los datos.

2 Medidas estadísticas del tipo Fucioes Medidas de tedecia cetral Medidas de posició sus Geeralidades que so que so Media Aritmética Cuartiles del tipo Fucioes reales de variable real Mediaa Deciles Moda Percetiles Descripció del proyecto Al fial harás u aálisis del ivel de coocimietos co el que igresa los alumos de primer año de bachillerato a u cetro de estudios, comparadolos co el ivel de salida. 6 Matemática - Primer Año

3 Tercera Uidad Lecció Motivació Fucioes Busca tres recibos del cosumo de eergía eléctrica e tu hogar y completa la siguiete tabla. Cosumo e Kilo Watts por mes Pago e dólares Por cada mes ecuetra la relació: Pagoe $ Cosumoe kilowatts Qué observas e los resultados? Idicadores de logro Iterpretarás las propiedades de las fucioes y valorarás su importacia y utilidad al resolver diferetes situacioes relativas al etoro físico. Idetificarás y describirás, co seguridad, las variables depedietes e idepedietes e diferetes euciados cocretos y reales. Iterpretarás, platearás y resolverás, e cofiaza, fucioes reales de variable real a feómeos de la cotidiaidad. Graficarás co orde y aseo, fucioes de R e R y fucioes e otació de fucioes. Idetificarás y explicarás el domiio y recorrido de las fucioes, de maera correcta y co autoomía. Geeralidades de las fucioes Recuerda que relacioar es poer e correspodecia o e relació los elemetos de dos cojutos, por ejemplo. La correspodecia de A e B "es la mitad de" es la mitad de, es la mitad de 6, etc A B A B Se hace correspoder a cada úmero del cojuto A, co su respectivo sucesor del cojuto B. Primer Año - Matemática 7

4 Observa que e ambos casos, e el cojuto de partida, A, o sobra igú elemeto y cada uo de ellos se relacioa sólo co u elemeto del cojuto B. Dada ua relació, puedes determiar si es ua fució, observado los pares ordeados que la forma. Ejemplo Sea A = {x / x } y B = { x / x < 0} y R = {( x, y ) / y = x}. A = {,,, }; B = {,,,,, 6, 7, 8, 9} Los pares que cumple co la relació puedes obteerlos utilizado u tabla o mediate el producto cartesiao. E este caso: R = {(, ), (, ), (, 6), (, 8)}. Observa los pares ordeados que la forma, qué relació observas respecto al domiio y al recorrido? Notarás que a cada valor del domiio le correspode u úico valor e el recorrido. Relacioes como la aterior, recibe el ombre de fució. Ua fució es ua relació etre dos magitudes, de tal maera que a cada valor de la primera compoete del par ordeado le correspoda u úico valor de la seguda compoete del par ordeado. Las fucioes se puede represetar de diferetes maeras: Mediate ua expresió matemática, ecuació o fórmula. Por ejemplo y = x +. Como proposició: Ua descripció por compresió de lo que hace la fució. Ejemplo: "Para toda variable x que perteece al cojuto de úmeros eteros, existe u valor y tal que es igual a dos uidades más que x. Mediate ua represetació gráfica, permite visualizar el comportamieto global de ua fució. Por ejemplo el comportamieto del pago e los recibos por el cosumo de eergía e u hogar. Observa que el pago está e fució de los kw cosumidos. Precio $ Para coocer si ua gráfica costituye ua fució, basta co observar si a cada elemeto del domiio le correspode u úico elemeto del recorrido. Observa las siguietes gráficas: kmh Como ua tabla de valores que permite represetar alguos valores discretos de la fució. Para el ejemplo aterior tiees alguos datos: x 0 y 0 - Mediate pares ordeados: Ejemplo: A= {(, 0 ), (, ), ( 0, ), (, ),... ( x, x + )} Observa, a cada elemeto del domiio le correspode u úico elemeto del recorrido, etoces es fució. 8 Matemática - Primer Año

5 Actividad. Idetifica cuál de los siguietes gráficos es fució: a) y A cada elemeto del domiio le correspode u úico elemeto del recorrido, por lo tato es fució. y x b) y x x - No es fució, pues a u elemeto del domiio le correspode dos elemetos del recorrido y Es fució, observa a cada elemeto del domiio le correspode u úico elemeto del recorrido x c) - -. Determia cuál de las siguietes relacioes cumple co ser fució: a) R = {(x, y) Z Z/y > x} b) R = {(x, y) R R/y = x +} c) y = x + d) y = x - y x Primer Año - Matemática 9

6 Notació Como la relació R = {(x, y) N Z/y = x} es ua fució dada por y = x. Etoces la fució aterior puedes expresarla así: f( x ) = x, g( x ) = x, etc. Usarás reglas de correspodecia dode y, represeta elemetos del recorrido y x los elemetos del domiio. Fucioes reales de variable real La expresió que relacioa el valor del área de u cuadrado co la logitud de su lado es ua fució. Sabes que A = l. Observa que depediedo del valor o medida del lado de u cuadrado, así se obtedrá el valor de su área: Lado ( l ) Area ( A ) 9 E esta fució, el domiio será el cojuto de todos los úmeros reales positivos pues el lado de u cuadrado uca puede ser ua medida egativa. Su recorrido es tambié el cojuto de todos los úmeros positivos, ya que el área o puede ser egativa. Este es u ejemplo de fució real de variable real. Etoces, ua fució real de variable real, es aquella e la que el domiio y el recorrido lo costituye el cojuto o u subcojuto de los úmeros reales. Variables idepediete y depediete Ua fució real está defiida e geeral, por ua ley o criterio que se puede expresar por ua fórmula matemática. La variable x recibe el ombre de variable idepediete y la y o f( x ) variable depediete o image El cojuto de todos los valores que toma la variable idepediete forma el domiio de la fució y todos los valores que forma la variable depediete forma el recorrido de la fució, a partir de la regla de correspodecia dada. La expresió del área del cuadrado es A = l puede expresarse e otació de fució, dode la variable idepediete es l y A, la variable depediete, etoces tiees f( l ) =l Ejemplo Expresa e otació fucioal el área de u rectágulo cuya altura es el doble de su base. Sea x la logitud de la base y x la logitud de la altura, etoces el A = ( x ) ( x ) = x E este caso A represeta la variable depediete y x la variable idepediete, etoces tiees: f( x ) = x. Así, si el lado mide, el área es: f( x ) = ( ) = 8 E ua fució real de variable real es importate ecotrar el valor de la variable depediete, al sustituir e la regla de correspodecia el respectivo valor de la variable idepediete. Ejemplo Evalúa la regla de correspodecia f( x ) = x cuado: a) x = ; b) x =. Sustituye cada valor de x para la variable x e la regla de correspodecia así: a) f ( ) = ( ) = 9 = 8 f ( ) = 8 b) f ( ) = = = ; f ( ) = 60 Matemática - Primer Año

7 Ejemplo x Dada f ( x ) =, ecuetra: a) x = 0 b) x = c) x = 6 0 a) f ( 0) = simplificado b) f ( ) c) f ( 6) = = Ejemplo Evalúa la regla de correspodecia f ( x ) = e: a) x = a b) x = c) x = b + c a a) f ( a ) = ( a ) + a = ( a a + ) + a = a a + b) f ( ) = ( ) + = + = 7 = 7 b + c c) f ( b + c ) = ( b + c ) + b + c = ( b + bc + c ) + b + c = b + bc + c + x x + Evalúa la regla de correspodecia e cada caso:. f ( x ) = x x a) x = m b) x = 0 c) x = b. f ( x ) = x + a) x = b) x = c c) x = d) x = Observa las fucioes: Actividad Domiio a) f( x ) = x. Qué valores adquiere la variable x? Seguramete respodes que cualquier úmero real. b) f ( x ) = x, e este caso, los valores que puede tomar la variable x so los reales positivos y el cero, R + o, es decir, x 0 c) f ( x ) = e este caso, la variable x puede tomar cualquier valor de los reales meos el, o sea R {} A partir de los ejemplos ateriores tiees que cuado o se especifique igú domiio, trabajarás co el domiio atural de defiició de la fució que es el mayor cojuto de úmeros reales que al sustituirlos e la regla de correspodecia da como resultado u úmero real. Cuado se tiee fucioes e cuya regla de correspodecia, se icluye deomiadores, el domiio atural de la fució será todos los valores de la variable idepediete que evite que el deomiador sea igual a cero. Primer Año - Matemática 6

8 Ejemplo 6 Cuál es el domiio de la fució f (x) = x? Como e este caso o existe igua restricció; el domiio es el cojuto de los úmeros reales: D = R Ejemplo 7 Ecuetra el domiio de la fució f ( x ) = 8 x + El domiio, estará formado por todos los reales excluyedo el, porque cuado x =, el deomiador es cero y el valor de f (x) o está defiido. Sigifica que D = R { } Ejemplo 8 Ecuetra el domiio de la fució f ( x ) = x + Para ecotrar el domiio tiees que teer e cueta que al asigarle valores a x, la expresió x + debe ser cero 0 u úmero positivo e este caso el domiio será a partir de. Es decir D = [, [ Ecuetra el domiio de las siguietes fucioes: x a) f ( x ) = d) f(x) = x x + b) f(x) = x + e) f(x) =(x ) + c) f(x) = x Actividad Gráfica de ua fució Graficar ua fució sigifica ubicar los putos que satisface la regla de correspodecia, e el plao cartesiao. Para trazar el gráfico de ua fució, procedes como e las relacioes y tiees e el eje de abscisas o eje de las equis ( x ), represetas los valores de la variable idepediete. Y e el eje de las ordeadas o eje de la y, represetas las imágees, es decir los valores de la variable depediete. Ejemplo 9 Determia el domiio, gráfica y determia el recorrido de f( x ) = x No hay igua restricció referete a los valores que puede tomar la variable idepediete, etoces damos valores a x Al graficar tiees: Domiio = R Recorrido = R x f ( x ) = x f(x) = x - 6 Matemática - Primer Año

9 Ejemplo 0 Grafica y ecuetra el domiio y el recorrido de f ( x ) = Domiio todos los reales meos : R {} Recorrido los reales meos el cero: R {0} x Como el deomiador o puede ser cero, etoces e el domiio hay restriccioes, porque x o puede tomar el valor de. Ahora, ecuetras valores para x: x 0, x x f ( x ) = x + No existe y x= f (x)= x- x Represeta gráficamete las siguietes fucioes y determia su domiio y recorrido. a) f(x) = x c) f(x) = x + b) f(x) = x + Actividad d) f(x) = x + Resume Ua fució es ua relació etre dos magitudes, de tal maera que a cada valor de la primera le correspoda u úico valor de la seguda. Puede represetar de diferetes maeras: a) Mediate ua expresió matemática, ecuació o fórmula. b) Como ua tabla de valores que permite represetar alguos valores discretos de la fució. c) Como proposició: ua descripció por compresió de lo que hace la fució. d) Mediate ua represetació gráfica. Ua fució real de variable real, es aquella e la que el domiio y el recorrido lo costituye el cojuto o u subcojuto de los úmeros reales. Está defiida e geeral, por ua ley o criterio que se puede expresar por ua fórmula matemática. La variable x recibe el ombre de variable idepediete y la y ó f (x) variable depediete o image. El cojuto de todos los valores que toma la variable idepediete forma el domiio de la fució y el recorrido lo forma todos los valores que toma la variable depediete, a partir de la regla de correspodecia dada. Primer Año - Matemática 6

10 Autocomprobació Al graficar la fució f ( x ) = x verificas que el recorrido es: a) R b) [, [ c) [ 0, [ d) [, [ El domiio de la fució f ( x ) = { } a) R { } c) R b) R { } d) R { } x + es: De las siguietes relacioes, la que cumple co ser fució es: Dada la fució f ( x ) = x +, al evaluarla e f ( ) obtiees: a) {( x, y ) N Z/y x} b) {( x, y ) N R/y x + } c) {( x, y ) R Z/y > x} d) {(x, y) N N/y = x } a) b) c) d) 0 Solucioes. b.. d.. c.. a. LAS FUNCIONES EN LAS CIENCIAS Població e miles de milloes Població total mudial Crecimieto de la població Crecimieto e milloes Alguas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoció so fucioes biológicas que se lleva a cabo e casi todos los seres vivos. Así tambié e la vida cotidiaa los modelos de fució ha servido a las ciecias para explicar y predecir muchos feómeos, tato de la vida cietífica como de la vida social. La fució expoecial, por ejemplo, explica y predice feómeos de crecimieto de bacterias o del feómeo de desitegració radiactiva. Igualmete la fució expoecial puede reflejar el crecimieto de la població. 6 Matemática - Primer Año

11 Tercera Uidad Lecció Motivació Media aritmética U ecoomista está realizado ua ivestigació para lo cual ha recolectado el salario e dólares de trabajadores de ua empresa, estos so: 80, 0, 00, 80, 60, 0, 00, 0, 0, 00, 00, 80. Para su aálisis ecesita u valor represetativo de ellos y decide calcular el promedio. Podrías tú ayudarle a realizar ese cálculo? Idicadores de logro Resolverás problemas aplicado e iterpretado críticamete la media aritmética para datos o agrupados y agrupados. Aplicarás co perseveracia y autoomía la media aritmética poderada e la solució de ejercicios. Resolverás problemas, co perseveracia y autoomía, aplicado la media aritmética poderada. Para aalizar u cojuto de datos es coveiete orgaizarlos utilizado tablas y gráficas. Éstas técicas represeta medios visuales que permite eteder modos de comportamieto y tedecias e los datos. No obstate e geeral ecesario resumir más la iformació calculado alguas medidas descriptivas mediate valores que se iterpreta fácilmete y que sirve para u aálisis más profudo que el obteido mediate tablas y gráficas. Dichas medidas busca cierto lugar e el cojuto de datos y se les llama medidas de localizació. Si este lugar es el cetro de los datos se les llama medidas de tedecia cetral o promedios y las más comues so la media aritmética, la mediaa y la moda. Aplicarás y explicarás, co seguridad la propiedad: la sumatoria de las desviacioes co respecto a la media es igual a cero. Explicarás co esmero, la media aritmética de ua costate. Aplicarás y explicarás el cálculo de la media aritmética de medias aritméticas. Medidas de tedecia cetral o promedios Media Aritmética Media aritmética para datos o agrupados. Calcula la media aritmética de las edades e años de estudiates de 9º grado. Éstos so 8,, 6, 9, 7, 8,6, 7, 6,, 6 y. La media aritmética se obtiee sumado todos los datos y dividiedo esta suma etre el úmero de datos. Simbólicamete se expresa así: x X = dode: X : Represeta la media aritmética x : Suma o sumatoria de todos los datos : Número de datos Primer Año - Matemática 6

12 x x x x x Es decir, X = x X = = 6. La media aritmética es 6. años. Tiees que la media aritmética se deota por X, es la Media aritmética para datos agrupados más importate de las medidas de tedecia cetral, y es coocida como media. Ejemplo Calcula la media de los pesos e libras de ocho persoas dados a cotiuació: 0, 0,, 0, 8,, 0, 7. Ua forma más fácil de realizar este cálculo es orgaizado los datos e ua tabla, así: Utiliza la fórmula y luego sustituye los datos: x Calificació ( x ) F F x X = = Total = = 0 La media es 0 libras: E este caso, para calcular la media utilizas: 8 fx X = dode f represeta la frecuecia y x los Actividad valores de la variable. a) Cico empleados de ua fábrica ivierte e ua cooperativa de ahorro y préstamo. Las catidades so las siguietes: $ 0, $ 0, $ 60, $ 00, $ 00. Calcula el promedio de esta iversió. b) Berta ivestiga el precio de la libra de queso e 6 lugares diferetes y obtiee: $.7, $.00, $., $.80, $.0, $.0. Cuál es el precio medio de la libra de queso? c) Calcula la media aritmética de las estaturas, e cetímetros, de estudiates:,, 8,, 7, 0,,, 0, 8, 7, 8. d) Calcula la media aritmética del salario de los empleados plateados al iicio de esta lecció. E ua prueba de matemática, estudiates obtuviero ua calificació de 7; 6 estudiates obtuviero 9 y 0 estudiates ua calificació de 6. Cuál es la media de las calificacioes? Efectúa el cálculo como lo realizaste ateriormete. Cuál es tu resultado? Multiplicas cada dato por la frecuecia correspodiete y suma los resultados obteidos. 66 Matemática - Primer Año

13 fx Utilizas la fórmula y sustituye los datos X = 9 X = = 7. La media aritmética de las calificacioes es: X = 7. Nota que el úmero de datos es igual a la suma de las frecuecias f = Para el cálculo de la media aritmética de u cojuto de datos presetados e ua tabla de frecuecias, debes teer e cueta dos situacioes: ua, que los datos esté agrupados e forma simple y la otra, e itervalos de clases. La media calculada para u cojuto de datos agrupados e forma simple e ua tabla de frecuecia, se le cooce como media poderada; e dode la poderació de cada valor x es la frecuecia correspodiete. Ejemplo Calcula la media aritmética de los salarios de 0 empleados. Salario ( x ) F F x , ,00 0 8, , Total 0 9,80 Multiplicas cada salario por su respectiva frecuecia y totalizas los productos. f. x Utilizas la fórmula X = sustituyes los datos y obtiees 980 X = 0 = 7. La media aritmética de los salarios es $ 7. El profesor de Primer año de Bachillerato quiere teer e su registro de grado toda la iformació posible de sus estudiates, ayúdale calculado la media aritmética de los datos siguietes que correspode a sus estudiates. a) Peso e libra: b) Estatura (cm): c) Edad e años: Actividad Peso ( x ) F Total 0 Estatura ( x ) F Total 0 Edad ( x ) F Total 0 Primer Año - Matemática 67

14 Media aritmética para datos agrupados e itervalos de clase E este caso, como o cooces cada uo de los datos, tomarás como dato represetativo de cada itervalo de clase, su respectivo puto medio o marca de clase. Ejemplo Calcula la media aritmética e los datos siguietes. Salarios e dólares de 0 trabajadores de la empresa La mejor. Salarios F E este caso lo primero que tiees que hacer, es calcular el puto medio de cada itervalo de clase, el cual después tiee que multiplicarlo por su respectiva frecuecia. ( Pm). f La fórmula que utilizarás es X = Salarios F Pm Pm.f Ahora, que ya tiees los cálculos ecesarios, sustituyes los valores e la fórmula: ( Pm). f X =, 700 = 0 = 9. La media aritmética es $ 9.0 Ejemplo Calcula la media de los putajes obteido por 60 estudiates e u exame de admisió. Putajes ( x ) F Total 60 Completa la tabla, calculado el puto medio y luego multiplicas cada puto medio por su respectiva frecuecia. Putajes ( x ) F Pm Pm.f Ahora aplicas la fórmula y sustituye los datos correspodietes: ( Pm). f X = =. 60 = 70. La media de los putajes es Matemática - Primer Año

15 Calcula la media aritmética e cada ua de las situacioes siguietes: a) Putajes obteidos por 80 estudiates e ua prueba b) Estaturas e cetímetros de 60 estudiates uiversitarios de ortografía. Putajes ( x ) F Estaturas F Total 80 Total 60 Alguas propiedades matemáticas que posee la media aritmética so: Primera propiedad Calcula la media de las edades e años, de iños:,, 7,, X = Ahora, a cada ua de las edades réstales la media calculada y forma el siguiete cuadro, puedes colocar los datos e orde. Efectúa la suma de los resultados obteidos. Observa que la suma es igual a cero. Cocluyedo tiees: x x X = d = = = = 7 7 = Σ = 0 La suma de las desviacioes de cada dato (o valor de de la variable) respecto a la media aritmética, es siempre igual a cero. Propiedades de la media aritmética Simbólicamete se expresa así: ( x X ) = d = 0 Ejemplo ( ) = Comprueba que x X situació: 0 e la siguiete U estudiate de primer año de bachillerato obtuvo e asigaturas las siguietes calificacioes: 7, 9,, 6, 8. Actividad Calcula la media aritmética: x X = 7 Luego ecuetra las desviacioes y súmalas. x x X = d 7 = = = = = Σ = 0 Primer Año - Matemática 69

16 Seguda propiedad Cico empleados emergetes trabajaro u sábado por la tarde e u egocio obteiedo los siguietes pagos e dólares ($):,, 7, y 6. Cuál es el pago medio? La media aritmética es: X = x = = ( $ ) El dueño del egocio decidió multiplicarles la paga por u factor de. Calcula la ueva media. Multiplica cada dato por. Así: = 6, = 0, 7 = 8, =, 6 = Ahora, calcula la media de los resultados obteidos: Tercera propiedad Rosa obtuvo las calificacioes: 8, 8, 8, 8, 8 y 8. Calcula la media aritmética. x X = 6 = 8 6 = 8 Observa que el valor de la media aritmética es igual a las calificacioes. Etoces tiees: La media aritmética de u valor costate, es la misma costate. k k k X = X X k Cuarta propiedad Calcula la media aritmética de las calificacioes obteidas por alumos e ua materia: 7, 6, 8, 9 y. X = x = 00 = 0( $ ) X = x = = 7 Si la media aritmética origial, la multiplicas por el valor costate, tiees = 0, observa que llegas al mismo resultado. Es decir: Si cada valor de la variable ( x ) se multiplica por ua costate ( k ), la media de los valores resultates, es igual a la media aritmética origial por la costate. ( xk ) Y = Y = kx El profesor decide aumetar a cada alumo u puto. Determia las uevas otas y la ueva media. Suma a cada calificació u valor costate, e este caso,, así: 7 + = 8, 6 + = 7, 8 + = 9, 9 + = 0, + = 6 Ahora calcula la medida aritmética de estos resultados. x X = = 0 = 8 70 Matemática - Primer Año

17 Si sumas a la media, la costate, obtiees 7 + = 8, observa que es el mismo resultado obteido, etoces tiees que: La media de la suma de ua variable más ua costate, es igual a la media de la variable, más la costate. ( x + k ) X = = X + k Si a cada valor de la variable x se le suma ua costate k, la media de los valores resultates y es igual a la media aritmética origial más la costate: X = X + k Quita propiedad A cotiuació se te preseta los promedios obteidos por los estudiates de 7º, 8º y 9º grado de u cetro escolar. Calcula la media aritmética total del tercer ciclo de dicho cetro escolar. Grado Número de Calificació estudiates ( f ) media ( X i ) 7º 8. 8º º 7. Total ( 8. ) + 8( 7. ) + ( 7. ) X = X = 089. X = 77. E este caso obtuviste la media aritmética de las medias de cada grado etoces, esta propiedad dice así: La media poderada de las medias parciales es igual a la media geeral de todo el cojuto de datos. f i X i X = ó X = fx + f X + f X f + f + f Actividad Aplica las propiedades que se te idica e cada ua de las situacioes siguietes: Los salarios de seis trabajadores so: $0, $00, $80, $0, $70 y $0. a) Cuál es la media de los salarios? b) Si cada salario es icremetado e $, Cuál es la media de los uevos salarios? c) Si cada salario origial se icremeta e u % Cuál es la ueva media aritmética? d) Tomado los salarios origiales comprueba la propiedad ( x X ) = 0 Resume Las fórmulas ha utilizar e la media, depederá de la orgaizació de los datos: o agrupados o agrupados: x f. x Pm. f X =, X =, X = La media aritmética cumple co varias propiedades, alguas so: ( x X ) = 0, Y = ( x + k ) k ( xk) X + k, X k, Y Xk, X f X i i Primer Año - Matemática 7

18 Autocomprobació Los precios de u libro de Matemática I, del mismo autor, e diferetes librerías so: $.0, $.00, $0.00, $.0, $.0, $.00. La media aritmética de los precios es: a) $.67 b) $.7 c) $.8 d) $.9 La ueva media que obtiees cuado a cada uo de los precios ateriores le sumas $6.00 es: a) $8.7 b) $8.9 c) $8.67 d) $8.8 La media aritmética de los putajes obteidos por persoas, mostrados e la tabla es: a) 98. b) 87 c) 9. d) 97. Putajes F Total Solucioes. b.. a.. d. LA VIDA MEDIA EN FÍSICA ATÓMICA La vida media es el promedio de vida de u úcleo ates de desitegrarse. Se represeta co la letra griega τ. Como la desitegració uclear sigue leyes estadísticas, o se puede establecer que u determiado úcleo vaya a tardar ese tiempo e desitegrarse. La vida media o debe cofudirse co el semiperíodo, vida mitad, semivida o período de semidesitegració: so coceptos relacioados, pero diferetes. E particular, este último es de aplicació solamete para sustacias radiactivas. Qué puede decir de la vida media del úcleo de los elemetos de la tabla periódica? 7 Matemática - Primer Año

19 Tercera Uidad Lecció Motivació MEDIANA Y MODA U docete para realizar u aálisis del grupo de estudiates a su cargo, lo realiza a partir de ua de las medidas de cetralizació, que es la media aritmética de las calificacioes obteidas por ellos. Ahora decide realizarlo utilizado otra medida de cetralizació que es la mediaa y a partir de ua muestra de esas calificacioes que so: 7, 8, 6,,, 0, 9, 7, 8, 9,. Puedes tú ecotrar ese valor? Idicadores de logro Calcularás y aplicarás, co seguridad la mediaa para datos o agrupados y agrupados. Determiarás y aplicarás, co perseveracia la moda para datos o agrupados y agrupados. Mediaa Cuado e ua serie de datos existe valores extremos o alejados de la mayoría, ya sea a la izquierda o a la derecha, etoces la media es iflueciada por esos valores extremos y o es ua buea medida de tedecia cetral. Por ejemplo: Ua empresa da a coocer que el salario promedio de de sus trabajadores es $ 8. Cuál es la idea que te formas de los salarios? Lo más seguro es que pieses que los salarios ada por los $ 00 a $ 00 si embargo coociedo la realidad te das cueta que ese dato o es represetativo. E este caso u mejor promedio es la mediaa. La mediaa para u cojuto de datos es el valor que se ecuetra e el puto medio o cetro, después de ordear los datos e forma creciete o decreciete. Mediaa para datos o agrupados Para ecotrar la mediaa e series simples: primero ordear los datos de meor a mayor o viceversa, luego idetificas el valor que se ecuetra e el puto medio o cetro, de la serie. La mediaa es el dato que ocupa la posició. +, ua vez que los datos se ha obteido de meor a mayor. Primer Año - Matemática 7

20 Ejemplo Ecuetra la mediaa de las edades e años de 7 estudiates de u cetro escolar: 8, 8, 0,, 6,,. Primero ordeas los datos de meor a mayor: 8, 0,,,, 6, 8. Luego buscas la posició de la mediaa mediate la fórmula + Al sustituir los datos, tiees: etoces la mediaa será el dato que ocupa la cuarta posició. Observa, e este caso la mediaa es, es decir, Md = Ejemplo Ecuetra la mediaa de las calificacioes obteidas por María e el primer trimestre e 8 asigaturas 0, 9, 7,,, 6, 9, 8. Primero ordea los datos de meor a mayor:,, 6, 7, 8, 9, 9, 0; ahora busca la posició de la media es: = 9 = =. Como e esta posició o hay igú dato, etoces lo calculas sumado los dos valores que ocupa el cuarto y quito lugar, luego divides etre así: = = 7. Etoces la mediaa es 7.. Ejemplo El peso e libras de persoas es: 0, 0, 08, 0, 00, 98, 0, 0, 9, 00, 0, 06, 96. Calcula la mediaa. Ordea los datos e orde ascedete o descedete, busca la posició de la mediaa. Verifica que Md = 0 A partir de los ejemplos ateriores tiees que si el úmero datos o agrupados es impar, la mediaa, es el dato que aparece e el cetro de la serie y si es par, la mediaa es la semi-suma de los dos datos cetrales. Actividad Ecuetra la mediaa e las siguietes situacioes: a) De la muestra de calificacioes dada al iicio de esta lecció (datos dados por el docete). b) De los salarios e dólares de 9 trabajadores: 0, 0, 80, 0, 7, 00, 00, 90,. c) De las calificacioes e la asigatura de matemática de estudiates de primer año de bachillerato: 9,, 6, 7, 9, 8,,, 7, 0, 9, 6. d) De las estaturas e metros de 0 persoas:.,.6,.7,.67,.9,.70,.6,.66,.7, Matemática - Primer Año

21 Calcula la mediaa de los putajes obteidos por 60 estudiates e ua prueba de admisió: Mediaa para datos agrupados Es decir, la clase es la que cotiee el valor de la mediaa y se llama clase mediaa. Putajes ( x ) F Total 60 Observa que e este caso se trata de ecotrar la mediaa para series agrupadas e itervalos de clase. E ua serie de datos orgaizada e itervalos de clase, parte de la iformació o es idetificable, por lo que o es posible determiar la mediaa exacta, pero puedes hacer ua estimació. Etoces, tiee que proceder de la siguiete maera: primero ecuetras los límites reales de cada itervalo de clase, luego calculas las frecuecias acumuladas para buscar la posició de la mediaa. Para ubicar la posició de la mediaa utilizarás Para ubicar la clase mediaa divides e dos partes iguales la serie: El trigésimo valor (0º) se ecuetra e la cuarta clase de la distribució. Putajes ( x ) F F a Total 60 Ahora, utiliza la fórmula para su cálculo que es: faa Md = li + fm C Dode: li = Límite iferior de la clase mediaa. fa a = Frecuecia acumulada aterior a la clase mediaa. fm = Frecuecia absoluta de la clase mediaa. C = Tamaño del itervalo de clase. Sustituye los datos e la fórmula faa Md = li + fm C 0 6 Md = = = = = 707. Etoces Md = Primer Año - Matemática 7

22 Ejemplo Ecuetra la mediaa de las estaturas de 0 persoas. Estatura ( x ) F Primero ecuetras los límites reales de los itervalos de clase. faa La fórmula a utilizar es: Md = li + fm C Divide 0 luego idetificas la clase que cotiee la mitad de los datos, para lo cual debes calcular la frecuecia acumulada de la serie de datos, que e este caso se ecuetra e el itervalo de clase: Estatura ( x ) F F a Luego sustituye los valores e la fórmula: faa Md = li + C fm ( ) = = = = 608. Etoces tiees que Md = 60.8 cm Ejemplo Calcula la mediaa e la siguiete situació. Tiempo de trabajo e años, de los empleados de ua empresa: Años F Total Calcula los límites reales y la frecuecia acumulada de la serie. Divide luego idetificas la clase que cotiee la mitad de los datos. Años F F a Total E este caso la mediaa se ecuetra e el itervalo de clase 7 Luego sustituye los valores e la fórmula: faa Md = li + C fm ( ) Md = =. + 0 Md =. +. =.9 Etoces la mediaa del trabajo es.9 años. 76 Matemática - Primer Año

23 Actividad Ecuetra la mediaa e cada ua de las siguietes distribucioes de frecuecia a) Edades e años, de 80 estudiates Edades ( x ) F Total 80 b) Putajes obteidos e ua prueba de admisió Putajes F Total 00 Ejemplo 6 Moda para datos o agrupados Observa las calificacioes obteidas por 0 estudiates e ua prueba de estadística:, 7, 9, 8, 0, 6, 7,, 8, 7. Cuál es la moda? Notarás que la calificació que aparece más veces es el 7. Etoces 7 es la moda. Etoces tiees que la moda e ua serie de datos, es el que aparece co mayor frecuecia, es decir el dato más comú. Ejemplo 7 Determia la moda de edad e años de 9 jóvees 8,, 6,,, 7, 0, 7, 9. Observa que hay edades que se repite igual úmero de veces, que so y 7 años. E este caso hay dos modas. Moda Es uo de los coceptos bastate utilizado por la mayoría de persoas. Por ejemplo e expresioes como las siguietes: el color que está de moda es el verde, está de moda teer teléfoo celular, y otros. Es decir que al referirse que está de moda sigifica que so elemetos que aparece co mayor frecuecia. Este mismo cocepto es utilizado e estadística. Puto de apoyo Cuado ua serie de datos posee ua sola moda se dice que es uimodal, si tiee dos, se dice bimodal y si tiee muchas, etoces se llama multimodal. Primer Año - Matemática 77

24 Ejemplo 8 Calcula la moda e la siguiete distribució de frecuecias. Moda para datos agrupados e itervalos de clase Al sustituir los datos tiees B Mo = li + B + B C ( 6 0) = ( 6 0) + ( 6 ) Putajes obteidos e ua prueba para optar a ua plaza e ua empresa: Putajes F Total 80 6 Mo = = = = = 70. Etoces Mo = Observa que los itervalos de clase ya está expresados e límites reales, y que, la mayor frecuecia se ecuetra e el itervalo de clase Pero o se sabe cual es el dato que se repite más veces, pues las observacioes o datos de ua clase o está distribuidas e forma regular. Para efectuar los cálculos, tiees que tomar e cueta la clase que esta ates de la moda y la que está después. La fórmula que utilizarás es: Mo = B li + B + B C Dode: li: Límite iferior de la clase dode se ecuetra la mayor frecuecia o clase modal. B : Diferecia etre la mayor frecuecia absoluta y la frecuecia absoluta aterior. B : Diferecia etre la mayor frecuecia absoluta y la frecuecia absoluta posterior. C: Acho del itervalo de clase. Ejemplo 9 A cotiuació se preseta las cuotas que paga u grupo de estudiates uiversitarios. Calcula la moda. Cuotas F Total Matemática - Primer Año

25 Recuerda que debes calcular los límites reales; restado 0. al límite iferior y sumado 0. al límite superior. E este caso tiees que la mayor frecuecia está ubicada e el itervalo que es la tercera clase. Para realizar tu cálculo, tiees que utilizar la frecuecia absoluta del itervalo de clase aterior y posterior a la clase modal. La fórmula a utilizar es Mo = B li + B + B C Ahora, sustituye los datos: 8 Mo = ( 8) + ( 0) 6 = = = = 9. La moda es $9.0 Actividad Calcula la moda e cada ua de las situacioes siguietes:. Para series o agrupadas.: a) Los pesos, e libras, de persoas: 9, 0,6,, 98, 00, 0,, 6,,, 8, 6,,. b) Las edades e años de iños y iñas: 8,, 6, 7, 8,, 8, 9, 6, 8,, 8.. Para series agrupadas: a) Las edades e años, de 0 estudiates de u cetro escolar. Edades F Total 0 b) Putajes obteidos e la PAES, por u grupo de 0 estudiates. Putajes F Total 0 Resume Las medidas estadísticas estudiadas e esta lecció so la mediaa y la moda. La mediaa para u cojuto de datos ordeados e forma creciete o decreciete, es el valor que se ecuetra e el puto medio o cetro de la serie. La moda e ua serie de datos, es el que aparece co mayor frecuecia, es decir el dato más comú. Ambas medidas puede calcularse para series o agrupadas y agrupadas. Primer Año - Matemática 79

26 Autocomprobació Los precios, e dólares, cotizados de ua libra de café so:.80,.0,.0,.80,.0,.0,.7,.0,.80. A partir de esta iformació: La mediaa de los precios de la libra de café es: a) $.0 b) $.0 c) $.80 d) $.0 La siguiete distribució de frecuecias correspode a salarios semaales, e dólares, de 80 trabajadores: Tomado la iformació aterior: La mediaa de los salarios es a) 6.0 c) 68. b) d) 6.00 Salarios F Total 80 La moda de los precios es: a) $.0 b) $.80 c) $.80 y $.0 d) $.0 y $.0 El salario que represeta la moda es: a) 9.00 b).78 c).0 d) 77.0 Solucioes. a.. b.. a.. b. EL COEFICIENTE DE INTELIGENCIA Y LA ESTADÍSTICA % Co IQ = 00 igual a la mediaa y la media IQ Los métodos estadísticos tradicioalmete se utiliza para propósitos descriptivos, para orgaizar y resumir datos uméricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de la tabulació de datos, su presetació e forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas. Ahora bie, las técicas estadísticas se aplica de maera amplia e mercadotecia, cotabilidad, cotrol de calidad, para determiar el coeficiete itelectual (IQ) y e otras actividades; estudios de cosumidores; aálisis de resultados e deportes; admiistradores de istitucioes; e la educació; orgaismos políticos; médicos; y por otras persoas que iterviee e la toma de decisioes. 80 Matemática - Primer Año

27 Tercera Uidad Lecció Motivació Cuartiles y Deciles La persoa ecargada de la selecció de persoal para ua compañía, desea cotratar jóvees recié egresados de ecoomía de ua uiversidad X. Pero, para su selecció tiee iterés e algo más que la ota media de cada uo, ecesita coocer la ota de los egresados que está por ecima del 90% o del 80% de las otas del grupo de egresados. Sabes tú a que se refiere esta persoa? Qué procesos tiees que realizar y que cálculo aplicar? Idicadores de logro Determiarás y explicarás, co iterés, la utilidad de las medidas de posició y sus propiedades. Calcularás, co iterés, cuartiles y deciles e problemas de aplicació. Medidas de posició Además de las medidas de cetralizació que ya estudiaste, existe otras medidas útiles para ua posició o cetral que sirve para describir u cojuto de datos. Estas se llama cuatiles, cuatilos o medidas de posició. Las pricipales so: cuartiles, deciles y percetiles o cetiles. Su importacia radica e su aplicació e campos como ivestigació educativa y psicología. Dode a muchas persoas se les etrega pruebas estadarizadas. Se compara la posició relativa del redimieto de la persoa cotra el test. Cuartiles Si tiees ua regla de madera Cuátos cortes hay que hacerle para dividirla e cuatro partes iguales? Observa que so tres cortes, cada uo de ellos represeta el % del total. Los cuartiles divide ua serie ordeada e cuatro partes iguales, por lo tato se calcula tres Q Q Q Primer Año - Matemática 8

28 Ejemplo Calcula: El cuartil uo (Q ), cuartil dos (Q ) y el cuartil tres (Q ) de las edades, e años, de diez iños y iñas:,,, 8,, 0, 9,,,. Primero ordeas los datos de meor a mayor: Posició Datos Q Q Q Luego calculas la posició aproximada del cuartil de iterés ( Q i ), utilizado la expresió i., co = úmero total de datos. Fialmete calculas el valor de Q i mediate la siguiete regla: i. a) Si dio u úmero etero, etoces el cuartil Q i será el promedio de los datos e las posicioes i. y la siguiete i. + i. b) Si dio u úmero decimal, etoces el cuartil Q i será el dato que se ubica e la posició imediata superior al valor i.. Cálculo de Q : i. 0 = ( ) =. es decimal, etoces Q es el dato e la posició imediata superior a.. (Posició ) Q = Es decir que el % de los datos está por debajo de. Cálculo de Q i. 0 : = ( ) = es etero, etoces Q es el promedio de los datos e las posicioes y Q = = 9. Es decir que el 0% de los datos está por debajo de 9. Cálculo de Q i. 0 : = ( ) = 7. es decimal, etoces Q es el dato e la posició imediata superior a 7. (posició 8) Q = Es decir que el 7% de los datos está por debajo de. A partir del ejemplo aterior tiees que los cuartiles divide ua serie ordeada e cuatro partes iguales. Cuartil uo Q : se localiza dode la serie de datos acumula el %. Es decir, es el valor de la variable x que supera a o más del % y es superado por o más del 7%. Cuartil dos Q : se localiza dode la serie de datos acumula el 0%. y es el valor de x que divide exactamete a la serie e dos partes iguales. Es exactamete igual a la mediaa. Cuartil tres Q : se localiza dode la serie de datos acumula el 7%. Es el valor de la variable que supera a o más del 7% y es superado por o más del %. Para el cálculo de los cuartiles para series simples, primero ecuetras su posició aproximada, para lo cual utilizas,,, para los cuartiles uo, dos y tres respectivamete. Luego sigues la regla dada ateriormete. 8 Matemática - Primer Año

29 Ejemplo Calcula Q, Q y Q de los salarios de persoas: 00, Actividad 7, 80,, 00, 0, 0, 60, 80, 0, 00, 80, 60, 90, 70. Calcula Q, Q y Q e cada ua de las situacioes siguietes: a) Putajes obteidos por estudiates de uevo igreso: 8, 76, 6, 90, 8, 6, 70, 9, 8, 7, 68, 80, 78. b) Edades de empleados de ua empresa: 0, 6, 8,, 8,, 0, 7, 6,,,, 0,. c) Estaturas e cetímetros, de 0 estudiates de u cetro escolar: 0, 08, 0,, 0, 0, 8,, 0, 6. Cuartiles para datos agrupados e itervalos de clase Ordea los datos de meor a mayor 80, 00, 0, 60, 60, 7, 80, 90, 00, 0,, 0, 70, 80, 00. Para Q : ( )( ) 7. el valor de Q será el valor que se ecuetra e la ª posició, e este caso Q = 60. Tiees etoces que el % de los datos está por debajo de 60. Para Q : ( )( ) 0 7. el valor de Q será el valor que se ecuetra e la 8ª posició, e este caso Q = 90. Tiees etoces que el 0% de los datos está por debajo de 90. Para Q : ( )( ). el valor de Q será el valor que se ecuetra e la º posició, e este caso Q = 0. Tiees etoces que el 7% de los datos está por debajo de 0. Como so medidas de posició similares a la mediaa, etoces para su cálculo e ua distribució e itervalos de clase se utiliza ua fórmula similar, sólo que el total de datos e lugar de dividirlo etre dos, lo divides etre cuatro así tiees: i faa Qi = li + C dode i:,, fq i Tiees que para el cuartil dos, i =, etoces puedes simplificar y obtiees ua fórmula similar a la de la mediaa. Compruébalo. Recuerda que: li = Límite iferior real de la clase que cotiee al cuartil. fa a = frecuecia acumulada aterior a la clase del cuartil. C = Acho de la Clase. Puto de apoyo fq i = Frecuecia Absoluta de la Clase del cuartil. Primer Año - Matemática 8

30 Ejemplo Calcula Q, Q y Q e la siguiete distribució de frecuecias que correspode a los putajes obteidos por 60 estudiates. Putajes F Total 60 Primero calculas los límites reales y luego la frecuecia acumulada para determiar la posició Q : Calcula la posició: ( ) 60 Ésta se ecuetra e el itervalo de clase 60. La fórmula que utilizarás es: Q los datos so: li =., = li + =, faa = 9; fq = 7 Estatura ( x ) F F a Total 60 faa C fq Puto de apoyo Para ecotrar la clase que cotiee al cuartil se busca la primera clase cuya frecuecia acumulada es mayor o igual que esa posició. E el caso del ejemplo actual como la posició es utilizas 6 que correspode a la seguda clase. Ahora sustituye esos valores e la fórmula: faa Q = li + C fq ( )( ) 9 Q = = = + 7 = = 97. Lo que idica que el % de los datos está por debajo de 9.7. Para el cuartil dos, primero tiees que ecotrar el lugar del Q : 60 = = 0, buscas la frecuecia acumulada dode está este valor, observas que se ecuetra e el cuarto itervalo de clase: A partir de esto tiees li = 69., fa a = 6, fq =, C = 9. Ahora sustituyes los valores e la fórmula: faa Q = li + C fq 0-6 Q = = = Es decir, que el 0% de los datos está por debajo de Matemática - Primer Año

31 Para el cuartil tres: faa Q = li + C fq Ecuetras la posició ( ) y se ecuetra e el º itervalo de clase, etoces tiees: 0 Q = = = = = 8. O sea que el 7% de los datos está por debajo de 8. Actividad Calcule Q, Q y Q e las siguietes distribucioes de frecuecia.: a) Pesos ( lb ) F Total 00 b) Estatura F Total 9 Deciles Si tiees ua regla de madera : Cuátos cortes hay que hacerle para dividirla e diez partes iguales? Observa que se ha hecho ueve: D D D D D D6 D7 D8 D9 Etoces, tiees que si divides ua serie ordeada e 0 partes iguales, tiees ueve putos llamados deciles que se represeta por D, D, D, D 9. El decil que divide a la serie e dos partes iguales es el decil cico, y es el que coicide co la mediaa y el cuartil dos. Como es ua medida de posició, siempre lo primero que debes hacer es buscar la posició aproximada o lugar dode se ecuetra ubicado, utilizado la expresió: i D = i dode i =,,,, 9 0 Luego utilizas ua regla similar que e cuartiles: a) Si i 0 es etero, etoces el decil D será el promedio i de los datos e las posicioes i y e la siguiete i + 0. b) Si i 0 es decimal, etoces el decil D será el dato e la i posició imediata superior al valor i Primer Año - Matemática 8

32 Ejemplo Calcula el D y D 7 de los salarios de trabajadores: 0, 0, 600, 00, 680, 80, 90, 60, 60,0, 60, 700; Ordeas los datos de meor a mayor o viceversa, luego ecuetras la posició, así: D : ( )( ). 0 0 Es decir que D es el dato e la posició. D = 0 Sigifica que el 0% de los datos está por debajo de 0. Ahora, realiza tú el decil siete. Ejemplo Calcula los D, D 6 y D 8 de la siguiete distribució de frecuecias. Edades de 80 estudiates de u cetro escolar. Edades Total F Al igual que e la mediaa y los cuartiles, lo primero que debes hacer, es calcularlos límites reales y las frecuecias acumuladas. i faa La fórmula a utilizar es: Di = li + 0 C fm Edades F F a Total 80 Para el decil tres, buscas la posició: D = 0 ( )( 80) = 0 = Está posició, segú la frecuecia acumulada, está e el itervalo de clase 8.., al aplicar la fórmula tiees: D = 8. + = 8. + = 8. + = 9. Etoces D = 9.. O sea que el 0% de los datos está por debajo de 9.. Para el decil seis: D ( 6)( 80) 6: = 8 0 Sigifica que el D 6 está ubicado e el itervalo de clase.. Al sustituir los datos e la fórmula tiees: 6 faa D6 = li + 0 C fd6 8 =. + 7 =. + 7 =. + 7 D 6 =. +.7 =.97 El 60% de los datos está por debajo de.97. Para el decil ocho 8 80 D 8 : ( )( ) = 6 Se ecuetra e el itervalo de 0 clase fa D li a fd C 8 = =. + 0 = 6. Esto idica que el 80% de los datos está por debajo de Matemática - Primer Año

33 Calcula los deciles que se te idique e cada ua de las situacioes siguietes: Actividad. D, D 7 y D 9 de las estaturas de estudiates: 7, 6, 8, 60, 6, 70, 66, 69, 7, 7, 6, 70, 68, 7.. D, D 6, D 8 de las calificacioes de estudiates de º Año de Bachillerato e la asigatura de matemática: 9, 8, 7,, 6,, 0, 9, 6,, 7, 8, 7, 0, 9.. a) D, D 6, D 9 Putajes F Pesos F b) D, D, D Total Total 90 Puto de apoyo Hay documetos que trabaja los percetiles, deciles y cuartiles empleado la omeclatura utilizada e éste texto. + Hay textos que utiliza para todo dato i para cuartiles, + + i para deciles e i 0 para los percetiles. 00 Hay textos que hace ua diferecia asi: + i k para los cuartiles, deciles y cetiles cuado so pares y i k para cuado so úmeros impares. Resume Las pricipales medidas de posició so: Cuartiles, deciles y percetiles o cetiles. Su importacia radica e su aplicació e campos como ivestigació educativa y psicología. Dode a muchas persoas se les etrega pruebas estadarizadas. Se compara la posició relativa del redimieto de la persoa cotra el test. Las fórmulas que se utiliza so: Q i i faa = li + C fq D i i faa = li + 0 C fm Primer Año - Matemática 87

34 Los precios e dólares de televisores so: 80, 0, 00, 00, 00, 0, 00, 0, 7, 70, 600, 67, 80. Utiliza la iformació aterior y respode: El precio que correspode al cuartil tres es: a) 00 b) 0 c) d) 0 Al calcular el decil cuatro obtiees: a) b) 0 c) 00 d).0 La distribució dada e la tabla de la derecha preseta las estaturas, e cetímetros, de 0 estudiates de u cetro escolar. Ahora, respode: La estatura que correspode al cuartil uo es: a). c) 7. b). d).9 El decil ocho es: a) 6. b) 6. c) 6.9 d) 6. Autocomprobació Estaturas F Total 0 Solucioes. b.. c.. d.. b. EL APORTE DE GALTON A LOS DECILES El cietífico iglés, Fracis Galto (8-9), creador de la modera teoría de la Estadística y su aplicació a la Sociometría y a la Biometría. Ideó los deciles y cetiles, ya que llevar a cabo ivestigacioes fue ecesario costruir istrumetos de medició de las capacidades de los idividuos y desarrollar técicas y procedimietos estadísticos para la elaboració y aálisis de los datos recogidos. Galto tambie itrodujo el método de correlació Fracis Galto 88 Matemática - Primer Año

35 Tercera Uidad Lecció Motivació PERCENTILES Luisa obtiee 6.8 e ua prueba acioal de leguaje. Desea averiguar que porcetaje de estudiates obtuviero ua calificació mayor a la que ella obtuvo. Qué tiee que hacer Luisa? Para averiguarlo Luisa tiee que coocer u cocepto estadístico llamado escala percetilar. Idicadores de logro Calcularás, co seguridad, percetiles e problemas de aplicació. Costruirás y aplicarás, co orde, la escala percetilar. Calcularás, co seguridad, percetiles a partir de la escala percetilar. Resolverás, co seguridad, problemas que requiere de cuartiles, deciles y percetiles Percetiles Al igual que los cuartiles y los deciles, los percetiles so medidas de posició. Estos los obtedrás cuado dividas la serie de datos e 00 partes; por ejemplo, si tiees ua varilla y ecesitas dividirla e 00 partes iguales, cuátos cortes tedrás que hacer? Te darás cueta que so 99 cortes. Etoces tiees que los percetiles so oveta y ueve y los simbolizarás por P, P P, P, P P 98, P 99. Si estableces equivalecias de percetiles co cuartiles y deciles, tiees que el percetil veiticico es igual al cuartil uo, el percetil cuareta es igual al decil cuatro, es decir: P 0 = D ; P 0 = D ; P = Q ; P 7 = Q ; P 0 = Q = D = Md La fórmula utilizada para datos tabulados, es similar a la de los cuartiles y deciles: i faa Pi = li + 00 C fp i Primer Año - Matemática 89

36 Ejemplo Putajes obteidos e ua prueba de ortografía. Calcula P 8, P 0, P 6, P 88 Salarios F Total 80 Primero ecuetras los límites reales y la frecuecia acumulada. Luego la posició e cada caso. Para el percetil ocho, P 8 : 8 = 00 = ( 8 )( 80 ) 00 = 6. lo buscas e las frecuecias acumuladas y se ecuetra e el itervalo de clase. 0. Aplicas la fórmula: ( 8)( 80) 0 P 8 = = Putajes F F a Total P 8 = =. + 9 =. +. = 87. Sigifica que el 8% de los datos está por debajo de 8.7 Para el percetil 0 0 P0 : = ( )( ) 00 = buscas esta posició y observarás que está ubicado e el itervalo 6.., ahora aplicas la fórmula y sustituyes los datos. 0 faa P0 = li + 00 C fp0 9 = = = 6. + = 6. + = 8. Esto idica que el 0% de los datos está por debajo de 9 Para el percetil seseta y cico 6 P6 : = ( )( ) 00 = Es decir, se ecuetra ubicado e el itervalo de clase Matemática - Primer Año

37 6 P 6 = = = 8. + = = 67. Para el percetil 88, tiees: 88 P88 : = ( )( ) 00 = 70. Esta posició se ecuetra e el itervalo de clase Aplicas la fórmula correspodiete P 88 = = = = = 77. Esto idica que el 88% de los datos está por debajo de 7.7 Ejemplo E este ejemplo comprobarás alguas igualdades etre los cuartiles, deciles y percetiles mecioadas ateriormete. Estaturas e cetímetros, de estudiates. Calcula Q, P, D 8, P 80, Q, D, P 0 Putajes F F a Total Recuerda que para hacer los cálculos, primero tiees que calcular la frecuecia acumulada. Etoces tiees para el cuartil uo Q : ( )( ) = = = se ecuetra e el itervalo. 7. Ahora aplicas la fórmula: faa Q = li + C fq 7 Sustituye los valores Q =. + Q =. +. = La posició del Q =. + está ubicado e el itervalo. 7. La fórmula a utilizar es P sustituye los datos 7 P =. + =. + =. +. = 67. = li + Observa ambos resultados, so iguales faa 00 C fp Primer Año - Matemática 9