Definición: f(x) f(z) x z. x z. f(x) f(z) x z. x z. f(z+h) f(z) h 0. Interpretaciones de la derivada: f(x) f(z) f(x) f(z) - 1 -

Transcripción

1 LA DERIVADA Defiició: Sea f: [ a,b] R y z [ a,b]. U úero L es la derivada de f e z, si dado u ε > 0 eiste u δ( f, ε ) > 0 talque si z < δ etoces f() f(z) L < ε. Es decir, la fució f es z f() f(z) derivable e z si Lí L. El líite L se siboliza tabié f (z). Si se ace la z z f(z+) f(z) sustitució -z, etoces la defiició queda f (z) Lí. 0 Si y f(), etoces la derivada de f co respecto a la variable idepediete se deota coo: y f() dy f () d Iterpretacioes de la derivada: dyf ()d dyd( f() ) Geoétrica: La derivada de f cuado z se puede iterpretar coo la pediete de la recta tagete a la curva de ecuació yf() e el puto (z,f(z)). E las figuras y se ilustra el proceso del paso de la recta secate PQ a la recta tagete e P a edida que 0. Así, la ecuacioes de las rectas tagete y oral a la curva yf() e el puto (a,f() so y-f(f ((- y y-f( f( (-. Física: Si yf() represeta la posició de ua partícula, la velocidad edia e el itervalo de tiepo [ z,] es la epresió cuado z es f() f(z) V, y la velocidad istatáea z f() f(z) V i (z) Lí. (Ver figuras y ). z z Figura Figura - -

2 Derivadas laterales: Ua fució es derivable e u puto (z,f(z)) si y sólo si, es derivable por la izquierda y f(z+) f(z) por la dereca e dico puto, es decir, si los líites laterales f (z ) Lí y 0 + f(z+) f(z) f (z ) Lí so iguales. 0+ Derivada siétrica: Sea f : R f s (z) R. La derivada siétrica de f cuado z se desiga por f s (z) y se defie coo f(z+) f(z ) Lí 0, si el líite eiste. Teoreas sobre derivadas: Si k R y f()k u(), etoces f ()k u (). Si f() u() + v(), etoces f () u () + v (). Si f() u()v(), etoces f () u ()v() + u()v (). Si f() u() v(), etoces u () v(x)- v () u() f (). v() Sea g: [ a,b] R y f: [ c,d] R fucioes tales que f( [ c,d] [ a,b ] y sea k [ ] c,d. Si f es derivable e k y g es derivable e f(k), etoces la fució copuesta derivable e k, y ( g f ) ( k) ( ) g f(k) f (k). g f es f) Dadas dos fucioes F:R R y f:r R, la ecuació F(,y)0 defie iplícitaete la fució yf() si F(,y)0 para todo e el doiio de f. Si yf() es derivable etoces eiste ua epresió G(,y) talque dy G(,y). d Si f :[ a,b] R tiee ua derivada e c [ a,b], etoces f es cotiua e c. Reglas de derivació: Si f() (+) -, etoces f () Lí. 0 Se(+)-Se() Si f()se(), etoces f () Lí Cos(). 0 Cos(+)-Cos() Si f()cos(), etoces f () Lí -Se(). 0 Ta(+)- Ta() Si f()ta(), etoces f () Lí Sec (). 0 Cot(+)- Cot() Si f()cot(), etoces f () Lí -Csc ()

3 Sec(+)-Sec() f) Si f()sec(), etoces f () Lí Sec()Ta(). 0 Csc(+)-Csc() Si f()csc(), etoces f () Lí -Csc()Cot(). 0 log a(+)-log a() ) Si f()log a (), etoces f () Lí log a(. 0 i) Si f()a + a -a, etoces f () Lí a l(. 0 j) Si yse () Se(y) d -. k) Si ycos () Cos(y) - d -. l) Si y Ta () Ta(y). d + ) Si ycot () Cot(y) -. d + ) ysec () Sec(y). d o) ysec () Sec(y) -. d Ejercicio : Deterie si la fució dada es derivable e el puto dado: e, e. log( ), e. Se( ), e π/4. Ta( ), e π/. e, e 0. f), e., e 0. ) 4, e 4. i), e /. j) /, e. k) + e 0 l) 4 e. - -

4 Ejercicio : Use la defiició de derivada siguietes fucioes: f ( + ) f ( ) li, para obteer la derivada de las 0 + a e f + f) log ( ) ( ) a Se ( ) ) + f Sec ( ) ( ) Ejercicio : Use la defiició de derivada siétrica derivada de las siguietes fucioes: f ( + ) f ( ) fs ( ) li, para obteer la 0 e f 4 ( ) + f) log ( ) a Se ( ) ) + f Ta ( ) ( ) Ejercicio 4: Sea f ua fució tal que f ( + u) f () Lí u 0. Calcule: u f ( + ) f ( + ) Lí 0 4 f ( + ) f ( + 9 ) Lí 0 f ( + ) f ( ) Lí 0 f) f ( + 4 ) f ( + 7 ) Lí 0 f + f + 4 Lí 0 f ( + ) f ( ) Lí 0 Ejercicio : Qué valores debe toar a y b, para que las fucioes dadas sea derivables e R? 4

5 a+b, f(), > a+b, < f(), a +b, f() Se, > π a+b, < f(), a+b, < 0 f() f) acos()+bse(), 0 Ta(, f() b, e,. +, > Ejercicio 6: E la figura, la recta AB es perpedicular al eje X, la recta DE es ediatriz del segeto CB, las rectas FI y FJ pasa por el puto F(0,-) y so tagetes a la curva los putos I y J respectivaete. f() e 4 Si y so las logitudes de los segetos CA y CD respectivaete, eprese e fució de. Calcule (+)-() Lí. 0 Ecuetre las coordeadas de los putos de tagecia I y J. Ecuetre las ecuacioes de las rectas tagetes a la curva tagecia I y J. f() e los putos de 4 Ejercicio 7: Hallar las ecuacioes de las rectas tagete y oral a la curva dada:

6 + 4 cuado. + 4 cuado. 4 + cuado cuado f(). 4 + f() ( 4 ) cuado f() 9. f) 4 0 e el puto P,. 6 f() Se () cuado π/. ) f ( ) l ( Sec() ) e los putos dode f (). i) f() Arcta(), cuado f() π/4. Ejercicio 8: Use las reglas de derivació que correspoda para obteer la derivada de las siguietes fucioes algebraicas: ( a + ) ( a ) ( + ) ( ) ( ) a + a + ( a + ) ( + ) Ejercicio 9: a f) 4 a + ) i) a b a + b b + a a b b + a a + b a + b + c 4 a b c a a a + j) + + Use las reglas de derivació que correspoda para obteer la derivada de las siguietes fucioes trigooétricas: Se( + Se( Cos( Cos( f) 4 a Se( a + Se( Sec ( + Csc ( Sec( + Csc( Cos( a Se( a + 6

7 Ta( + Cot( Ta( + Cot( ( ) Se( ) + Cos( ) + ( Ta( ) ) ( + Ta( ) ) Ta ( ) ) i) j) Ta( + a Cot( a Se ( a ) ( ) a + Cos a Sec( ) Sec( ) + Ejercicio 0: Use las reglas de derivació que correspoda para obteer la derivada de las siguietes fucioes trigooétricas: f() ArcSe( ) Se() f() ArcCos( ) ArcTa f() ArcC tg Sec() + Csc() f() ) ArcSec( ) i) f() ArcSec( ) j) f) f() ArcSec( ) f() Csc( )ArcCsc( ) a ArcSec b f() b ArcCsc a f() ArcCsc( ) ArcSe( ) f() ArcSec Ejercicio : Use las reglas de derivació que correspoda para obteer la derivada de las siguietes fucioes logaríticas: + f() log + f() l - + f() lo( ) f() log log log4 - log() + log4() f() log() + log() + log() f) f() log () log () log () log 4() f() log 8 ( ) + log 4 ( ) + log ( ) ) f() 6 log () log () 8 6 7

8 Ejercicio : Use las reglas de derivació que correspoda para obteer la derivada de las siguietes fucioes: f() Se() Cos() ta Arc f() f() 4 6 e e e f() e Se( ) f() f) ( Cos( ) ) f() ( + ) ( + ) ( + ) Ejercicio : Use las reglas de derivació que correspoda para obteer dy e las epresioes de la d fora F(,y)0, e dode yf() está iplícita: + y Se( y ) log + y + y + y y y + Se() y Cos(y) ( ) y ( + y) e + e e e e y Ejercicio 4: Resolver los siguietes probleas: f) y y + y Cuál debe ser el valor de a para que la recta tagete a la curva f() a + tega u valor de e el puto P(,a+)? Ecuetre ua ecuació de la recta tagete a la curva y + que sea paralela a la recta 8 y + 0. Deterie ua ecuació de cada recta tagete a la curva y que sea perpedicular a la recta + 8y 9 0. Deterie la ecuació de cada ua de las rectas que pasa por el puto P(4,) y so tagetes a la curva y. Obtega la ecuació de la recta tagete a la curva y (4 + y) e el puto P(,-). f) E que puto de la curva + y + y es la recta tagete paralela a la recta y+0? Hay dos rectas que pasa por el puto (,) que so tagetes a la curva + 4y 4 8y + 0. Cuáles so sus ecuacioes? 8