Mó duló 18: Sumatória

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Benito Pérez Herrero
hace 9 años
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1 INTERNADO MATEMÁTICA 2016 Guía del estudiante Mó duló 18: Sumatória Objetivo: Familiarizarse con la notación matemática de sumatoria. En ocasiones es necesario escribir y calcular algunas sumas de números tales como: o bien Para a simple vista se puede verificar que se trata de la suma de los primeros cuatro números naturales. En el caso de se trata de la suma de los primeros seis números pares. Una de las posibles preguntas que surge es Existe alguna manera abreviada de escribir, por ejemplo, la suma de los primeros números naturales? La respuesta a esta interrogante es afirmativa. La sumatoria es un operador matemático que permite representar una suma con grandes cantidades de sumandos generados por una sucesión de forma abreviada y se denota por la letra griega sigma mayúscula. Notar que representa la suma de los primeros cuatro términos generados por la sucesión, pues Así mismo, representa la suma de los primeros seis términos generados por la sucesión, pues Dentro de la nomenclatura de la sumatoria es posible identificar cuatro elementos: El símbolo Sigma, límite inferior, límite superior y una sucesión. Elementos de una sumatoria Índice Superior Índice n ip a i Sucesión 1

2 La expresión anterior se lee como Sumatoria desde igual a hasta de sub. El índice inferior indica desde qué término generado por la sucesión comienza la suma y el índice superior indica cual es el último término. El índice recorre en este caso desde hasta de uno en uno. De esta manera, la sumatoria dada por representa la suma de los primeros términos de la sucesión Es decir A continuación algunos ejemplos. Ejemplo 1 Cuál es la sucesión que genera los números naturales? Cómo se representa la suma de los primeros 2016 números naturales en notación de sumatoria? La sucesión que genera los números naturales corresponde a. Pues Ejemplo 2 Cuál es la sucesión que genera las potencias de 2? Cómo se representa la suma de las primeras 100 potencias de 2 en notación de sumatoria? La sucesión que genera las potencias de está dada por, puesto que De esta manera, la suma de las primeras 100 potencias de 2 se puede representar como 2

3 Ejemplo 3 Considerar la siguiente sumatoria: ( i ) i Cuál es la sucesión? Cuántos sumandos tiene? Cuál es la suma total? En este caso, la sucesión corresponde a y la sumatoria tiene sumandos, pues el índice inferior indica que la suma comienza en el término y el índice superior indica que termina en el término. Por ahora, para determinar el valor de la sumatoria, se desarrollará por definición, es decir, término a término y se calculará su suma como sigue a continuación: Es importante notar que Puesto que La diferencia en términos coloquiales radica en que para el número se encuentra fuera de la sumatoria, es decir, el sumatoria. no es parte de la sucesión que genera cada uno de los sumandos de la 3

4 De esta manera se entenderá que ( ) Ejemplo 4 Considerar la sumatoria: i i Cuál es la sucesión de la sumatoria? Cuáles son los términos que se suman? Cuál es el valor de dicha sumatoria? Aquí la sucesión es y la sumatoria indica que la suma comienza a partir del quinto hasta el décimo término de dicha sucesión. En este caso, es sencillo calcular su suma pues Ejemplo 5 Considerar la sumatoria: i i i Cuál es el valor de dicha sumatoria? Notar que en una sumatoria el resultado final de la suma no siempre es un número positivo. 4

5 Actividad VERDADERO O FALSO. Para cada una de las siguientes afirmaciones, determine si es verdadera (V) o falsa (F) justificando su elección. 1. La sumatoria tiene exactamente 14 sumandos. 2. La sumatoria posee n sumandos. 3. La sumatoria es igual a la suma 4. El índice superior de la sumatoria indica la cantidad de términos que se suman. _ 5. El primer sumando de la sumatoria tiene signo negativo. _ 5

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