Sección III CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD I (Criterios Habituales)

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1 Sección III CRITERIOS DE I (Criterios Habituales) Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Llamaremos criterio de divisibilidad a toda regla u operación que nos permita conocer si un número es múltiplo (o divisible) entre otro dado. Para conocer si un número es múltiplo de otro, es decir para averiguar si es divisible por ese otro, no siempre es necesario hacer la división para ver si el cociente es exacto, pues se conocen ciertas características que deben poseer los números para ser múltiplos de otros determinados. Ahora veremos algunos criterios de divisibilidad. Al conjunto de condiciones que debe cumplir un número cualquiera para ser divisible por otro determinado, se le llama criterio de divisibilidad por este último número. A continuación se enuncian los criterios de divisibilidad más utilizados. Saber si un determinado número es divisible por otro, es muy importante. Sobre todo, es importante saber si un determinado número natural es divisible por un determinado número primo. Por qué es tan importante? Pues porque los números que no son primos, es decir, los compuestos, se pueden descomponer en producto de primos y esta descomposición factorial es muy necesaria para resolver múltiples problemas numéricos o algebraicos. En este capítulo trabajaremos con aquellos criterios de divisibilidad que involucran a números primos, es decir, estableceremos las condiciones necesarias para que cierto primo divida a otro número o de otro modo, que el número sea un múltiplo del número primo CRITERIOS DE DIVISIVILIDAD Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, es decir, un número es múltiplo por 2, si y sólo sí el dígito de las unidades es par. 31

2 Demostración. Sea un entero divisible por 2 es decir: 2 y Así es par. Sea un entero donde su último dígito es par decir: Luego, por teorema 2.1. página 15, se tiene que 2, es decir, es divisible por 2(4). Ejemplos 1) 764 es divisible por 2 (764 es múltiplo de 2), dado que termina en 4 y 4 es un número par ya que Recuerda que todo número par es de la forma 2. 2) 588 es divisible por 2 (588 es múltiplo de 2), dado que termina en 8 y 8 es un número par ya que Recuerda que todo número par es de la forma 2. 3) 250 es divisible por 2 (250 es múltiplo de 2), dado que termina en 0. 4 Revisar bibliografía [9] 32

3 Contra-ejemplos 1) 867 no es divisible por 2 (867 no es múltiplo de 2), dado que 867 termina en 7 y 7 no es un número par. 2) 295 no es divisible por 2 (295 no es múltiplo de 2), dado que 295 termina en 5 y 5 no es un número par. 3) 641 no es divisible por 2 (641 no es múltiplo de 2), dado que 641 termina en 1 y 1 no es un número par Criterio de divisibilidad por 3 Un número entero es divisible por 3 si y sólo sí la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. La demostración se hará para un entero de 4 dígitos, no obstante la demostración no pierde generalidad pues la demostración se puede implementar análogamente para cualquier otro numero entero. Demostración. Sea un entero de cuatro dígitos divisible por 3, es decir 3 y ( ) + (99 + 1) + (9 + 1) (Conmutando y asociando) ( ) ( ) ( ) Luego tenemos que: ( ) Dada esta igualdad, podemos notar que la expresión ( ) corresponde a la suma de los dígitos del número. Luego se cumple que la suma de los dígitos un número es múltiplo de 3 si éste es divisible por 3. 33

4 Sea un entero de 4 dígitos, donde ( ) + (99 + 1) + (9 + 1) ( ) ( ) ( ) ("# "ó"#$#) Luego, por teorema 2.1. página 15, se tiene que 3, es decir, es divisible por 3. Por lo tanto, se cumple que un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplos 1) 312 es divisible por 3 (312 es múltiplo de 3), dado que al sumar los dígitos que lo forman: y 6 es múltiplo de 3. 2) 165 es divisible por 3 (165 es múltiplo de 3), dado que al sumar los dígitos que lo forman: y 12 es múltiplo de 3. 3) 477 es divisible por 3 (477 es múltiplo de 3), dado que al sumar los dígitos que lo forman: y 18 es múltiplo de 3. Contra-ejemplos 1) 857 no es divisible por 3 (857 no es múltiplo de 3), que al sumar los dígitos que lo forman: y 20 no es múltiplo de 3. 2) 641 no es divisible por 3 (641 no es múltiplo de 3), que al sumar los dígitos que lo forman: y 11 no es múltiplo de 3. 3) 976 no es divisible por 3 (976 no es múltiplo de 3), que al sumar los dígitos que lo forman: y 22 no es múltiplo de 3. 34

5 Criterio de divisibilidad por 5 Un entero es divisible por 5 si el dígito de las unidades es 5 o 0. Demostración. Sea un entero positivo de donde: 10 + ; 0 < 10 donde representa el dígito de las unidades Así, con es múltiplo de 5, tenemos que los únicos múltiplos de 5 comprendidos entre 0 y 9 son 0 y 5, es decir; 0 ó 5. Si el dígito de las unidades es 0 ó 5, entonces 10 + con 0 ó 5, así ó , así 5(2) o 5(2 + 1), en cualquier caso es divisible por 5. Ejemplos 1) 765 es divisible por 5 (765 es múltiplo de 5), dado que termina en 5. 2) 480 es divisible por 5 (480 es múltiplo de 5), dado que termina en 0. 3) 985 es divisible por 5 (985 es múltiplo de 5), dado que termina en 5. Contra-ejemplos 1) 867 no es divisible por 5 (867 no es múltiplo de 5), dado que 867 termina en 7 y 7 no 5 ni 0. 2) 921 no es divisible por 5 (921 no es múltiplo de 5), dado que 921 termina en 1 y 1 no 5 ni 0. 3) 378 no es divisible por 5 (378 no es múltiplo de 5), dado que 378 termina en 8 y 8 no 5 ni 0. 35

6 Criterio de divisibilidad por 6 Un entero es divisible por 6, si y sólo síes divisible por 2 y por 3 a la vez. Demostración. Trivial. Dado que si es divisible por 2, entonces 2 y si es divisible por 3, entonces 3 h, luego por propiedad 4 de divisibilidad página 15, 6. Ejemplos 1) 864 es divisible por 6 (864 es múltiplo de 6), dado que su último dígito es par, lo que implica que es divisible por 2 y la suma de los dígitos del número: forman un múltiplo de 3, lo que implica que es divisible por 3 también. Como es divisible por ambos números a la vez, también es divisible por 6. 2) 756 es divisible por 6 (756 es múltiplo de 6), dado que su último dígito es par, lo que implica que es divisible por 2 y la suma de los dígitos del número: forman un múltiplo de 3, lo que implica que es divisible por 3 también. Como es divisible por ambos números a la vez, también es divisible por 6. 3) 912 es divisible por 6 (912 es múltiplo de 6), dado que su último dígito es par, lo que implica que es divisible por 2 y la suma de los dígitos del número: forman un múltiplo de 3, lo que implica que es divisible por 3 también. Como es divisible por ambos números a la vez, también es divisible por 6. Contra- ejemplos 1) 862 no es divisible por 6 (862 no es múltiplo de 6), ya que, aunque si bien es cierto que su ultimo dígito es par, y por lo tanto es divisible por 2, la suma de sus dígitos: no forman un múltiplo de 3, lo que implica que falta una de las condiciones necesarias para ser divisible por 6 y por lo tanto no es divisible por 6. 2) 825 no es divisible por 6 (825 no es múltiplo de 6), ya que, aunque si bien es cierto que la suma de sus dígitos: forman un múltiplo de 3, su ultimo dígito no es par, y por lo tanto no es divisible por 2, lo que implica que falta 36

7 una de las condiciones necesarias para ser divisible por 6 y por lo tanto no es divisible por 6. 3) 793 no es divisible por 6 (793 no es múltiplo de 6), ya que su ultimo dígitono es par, y por lo tanto no es divisible por 2 y la suma de sus dígitos: no forman un múltiplo de 3, lo que implica que no cumple con ni una de las dos condiciones necesarias para ser divisible por 6 y por lo tanto no es divisible por Criterio de divisibilidad por 9 Un entero es divisible por 9 si y sólo si la suma de todos sus dígitos es divisible por 9 (El criterio de divisibilidad por 9 es del todo similar al criterio de divisibilidad por 3). Sin pérdida de generalidad, se hará la demostración para un entero de 4 dígitos. Demostración. Por teorema 2.1. página 23, se tiene que 9, es decir, es divisible por 9. Luego podemos generalizar para un entero de dígitos, por lo tanto, se cumple que un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Sea un entero positivo de cuatro dígitos divisible por 9, es decir 9 y ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, por teorema 2.1. página 15, tenemos que la suma de los dígitos que forman el número es múltiplo de 9. 37

8 Sea un entero positivo de 4 dígitos, donde Luego, tenemos que ( ) + (99 + 1) + (9 + 1) ( ) ( ) ( ) ("# "ó"#$#) Luego, está demostrado el criterio. Ejemplos 1) es divisible por 3 (312 es múltiplo de 3), dado que al sumar los dígitos que lo forman: y 27 es múltiplo de 9. 2) es divisible por 9 (1.665 es múltiplo de 9), dado que al sumar los dígitos que lo forman: y 18 es múltiplo de 9. 3) 477 es divisible por 9 (477 es múltiplo de 9), dado que al sumar los dígitos que lo forman: y 18 es múltiplo de 9. Contra-ejemplos 1) 857 no es divisible por 9 (857 no es múltiplo de 9), que al sumar los dígitos que lo forman: y 20 no es múltiplo de 9. 2) no es divisible por 3 (6.410 no es múltiplo de 9), que al sumar los dígitos que lo forman: y 11 no es múltiplo de 9. 3) no es divisible por 9 (9.076 no es múltiplo de 9), que al sumar los dígitos que lo forman: y 22 no es múltiplo de 9. 38

9 Criterio de divisibilidad por 10 Un entero es divisible por 10 si y sólo si el dígito de las unidades es 0. Demostración. Sea un entero de cuatro dígitos divisible por 10 es decir: 10 y ( ) ( ) + Luego, por teorema 2.1. página 15, tenemos que en la igualdad múltiplo de 10, pero el único múltiplo de 10 comprendido entre 0 y 9 es 0. es Sea un entero de 4 dígitos, donde y por hipótesis 0 Luego ( ) Luego, 10, es decir, es divisible por 10. Por lo tanto, se cumple que un número es divisible por 10 si el dígito de las unidades es cero. Ejemplos 1) 760 es divisible por 10 (760 es múltiplo de 10), dado que el dígito de las unidades es 0. 39

10 2) 480 es divisible por 10 (480 es múltiplo de 10), dado que el dígito de las unidades es 0. 3) es divisible por 10 (1.290 es múltiplo de 10), dado que el dígito de las unidades es 0. Contra-ejemplos 1) 867 no es divisible por 10 (867 no es múltiplo de 10), dado que el dígito de las unidades es 7. 2) 921 no es divisible por 10 (921 no es múltiplo de 10), dado que el dígito de las unidades es 1. 3) 378 no es divisible por 10 (378 no es múltiplo de 10), dado que el dígito de las unidades es EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un número de tres cifras, divisible por 2, 3 y 6 tiene sus cifras iguales. Calcular la suma de las cifras de dicho número. Solución. Si el número de 3 cifras, las tiene todas iguales, nuestras opciones son: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 De estos descartamos todos los que no son divisibles por 2, es decir, que no terminen en dígito par. Luego tenemos 222, 444, 666, 888 Y luego, descartamos todos los que no son divisibles por 3, es decir, que al sumar sus dígitos no resulte un múltiplo de 3, luego tenemos 666 y como el criterio de divisibilidad de 6 requiere que sea divisible por 2 y 3 a la vez, el número pedido es

11 2) Sin tener que dividir, indicar si es divisible por 2, 3 y 5. Solución. Por 2: es par; por tanto, es divisible por 2. Por 3:la suma de sus cifras 4,1, 5 y 8 es18,que es un múltiplo de 3; por tanto, es divisible por 3. Por 5: no termina ni en 0 ni en 5; por tanto, no es divisible por 5. 3) Hallar el valor de x en el número 326x15, si se sabe que éste es divisible por 9. Solución. Si es divisible por 9, se tiene el criterio de que donde 0 9, luego, 1 dado que 9 18, además para cualquier otro valor de el criterio no se cumple. 4) Hallar + ; si ", siendo "# y siendo " donde,, dígitos entre. Solución. Si 45 "# 5 "# 9 "# Si 5 "# 0 ó 5. Además 8 " 0. Luego, 8 5 Si 9 "# Por lo tanto, ) Se llama capicúa a un número que se lee igual de izquierda a derecha y viceversa, como por ejemplo 212. Cuántos números capicúas de 4 cifras son divisibles por 15? Solución. Si 15 "" 3 "" 5 "" 41

12 Si 5 "" 0 ó 5, "#$ 0, ya que en ese caso el número sería de 3 cifras. Luego 5. Si 3 "" Luego 1 ó 4. Luego los números capicúas son y Por lo tanto hay 2 números EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determinar: a) Un número de tres de cifras que sea divisible por 2 y por 3. b) Un número de cinco cifras que sea divisible por 5 y por 3, pero no por 2. 2) Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Todos los números terminados en 3 son múltiplos de 3. b) Todos los números divisibles por 2 son divisibles entre 4. c) Todos los números divisibles por 4 son divisibles entre 2. d) Existen números que terminan en 4 y son divisibles entre 5. e) Todos los números divisibles entre 10 lo son entre 2 y 5. 3) Marta ha vendido papeletas de 3 para una rifa. Al contar el dinero recaudado, comprueba que tiene 124. Por qué sabe, sin hacer ninguna división, que le falta o le sobra dinero? 4) Sea un entero. Muestre que es divisible por 15 si, y sólo si, es divisible por 3 y por 5. 5) Encontrar la cifra p, para que 274p sea divisible por 2, 3 y 5. 6) Cuántos números de 5 cifras que terminan en 44 son divisibles entre 9? 7) Cuál es el valor de ( + + ), si se sabe que ". 8) Determinar un número de cuatro cifras divisible por 5 y 9, donde la primera y la última cifra son iguales. 9) Cuántos números capicúas de 5 cifras son divisibles por 6? 10) Sea un entero. Demostrar que es divisible por 15 si, y sólo si, es divisible por 3 y por 5. 42