TEORÍA DE NÚMEROS II

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1 TEORÍA DE NÚMEROS II Cristian Arturo Chaparro Acosta Universidad Distrital Francisco José de Caldas Proyecto curricular de Matemáticas Bogotá D.C. 7 de octubre de Demuestre, refute o solucione: 1.1. Congruencias y aplicaciones 1. Hallar la solución general de las ecuaciones Diofánticas 10x+14y=8. 20y-15x= Una señora compro 100 frutas por $5000. Las ciruelas le costaron $25, las manzanas $150 y las pitahayas $500. Cuantas frutas de cada clase compro?. 3. Demostrar que 6 n, si y solo si, 2 n y 3 n. 4. Expresando los enteros positivos en el sistema de numeración con base 100, deducir un criterio de divisibilidad por En Z 7 resolver las ecuaciones 3x + 4 = 1 y x 2 + 2x + 6 = Si a 0(mód m) y b 0(mód m), entonces ab 0(mód m). 7. Si a 2 1(mód p) con p primo, entonces a ±1(mód p). 8. Si ac bc(mód p) y p no divide a c donde p es un número primo, entonces a b(mód p). 9. (a + b) p a p + b p (mód p) con p primo. 10. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros y a b(mód m). Entonces f(a) f(b)(mód m). 11. Si f(x) es un polinomio con coeficientes enteros y f(a) k(mód n), entonces f(a + tn) k(mód n) para cada t entero. 1

2 12. Cada primo > 3 es congruente con ±1 módulo ( 2p p ) 2(mód p), donde p > 2 y número primo. 14. Si a b(mód p) y a b(mód q) donde p y q son números primos. Entonces a b(mód pq). 15. Si p n denota el n esimo primo. Entonces p 1 p 2... p n +1 no es un cuadrado. 16. Sea p 2 p(mód p). Entonces p 2n 1 + p 2n p + n 0(mód 3) 17. Encuentre los últimos tres dígitos del numero Encuentre el último dígito de la suma 1! + 2! !. 19. Si 2n+1 es un primo entonces los números 1 2, 2 2, 3 2,..., n 2, tienen residuos diferentes al dividirlos por 2n Construir las tablas de adición y multiplicación, módulo 1, módulo 2, módulo 5, módulo 7 y módulo 17. Realizar un diseño de colchas para el modulo 21 con la tabla de multiplicación. Un conjunto C se llama un sistema completo de residuos módulo n, si C contiene exactamente un elemento de cada clase residual módulo n. 21. Construir un sistema completo de residuos módulo 7 formado por números primos. 22. Un conjunto C de enteros es un sistema completo de residuos módulo n si y solo si dos elementos cualesquiera de C no son congruentes módulo n y C tiene n elementos. 23. Si C es un sistema completo de residuos módulo n y (a, n) = 1 entonces, para cada b el conjunto C = {ax + b; x C} también es un sistema completo de residuos módulo n. 24. Pruebe que rd(n) (e.d. raíz digital de n) es múltiplo de tres si y solo si, n es divisible por tres (No use congruencias). 25. Demuestre que la raíz digital de un número perfecto par diferente de 6 es Sistemas de congruencias, teoremas clásicos, funciones multiplicativas 1. Encuentre el menor entero positivo mayor a tal que 3 n, 4 n + 3, 5 n + 4, 7 n + 5, y 11 n Encuentre el entero más pequeño n tal que 3 2 n, 4 2 n + 1, 5 2 n + 2 y 7 2 n

3 3. (p 1)(p 2)... (p k) ( 1) k k! (mód p), donde 1 k < p 4. Un entero positivo n > 1 es primo si y solo si, (n 2)! 1 (mód n). 5. ( ) np p n (mód p) 6. Por inducción pruebe que a p a (mód p). 7. (a + b) p a p + b p (mód p). 8. si a y b son primos relativos, entonces a ϕ(b) + b ϕ(a) 1 (mód ab). 9. Demuestre por medio de ϕ la generalización del Teorema Chino de los Residuos. 10. Resolver los sistemas de congruencias x 2(mod 3) x 5(mod 7) x 5(mod 8). x 3(mod 5) x 6(mod 7) x 4(mod 9) x 8(mod 11). x 2(mod 7) x 6(mod 9) x 9(mod 14). 4x + 5y 7(mod 17) 7x + 12y 4(mod 17) x + 2y + 16z 4(mod 19) x + 3y + z 11(mod 19) 2x + 5y + 15z 9(mod 19). 11. Hallar el menor entero positivo que deja residuos 2, 7 y 10 cuando se divide por 3, 10 y 13. 3

4 12. Hay una pila de ladrillos. Si se divide en dos partes sobra un ladrillo, si se divide en tres partes sobran 2 ladrillos, cuando se divide en cuatro partes sobran 3 ladrillos, si se divide en doce partes sobran 11 ladrillos, pero cuando se divide en trece partes no sobran ladrillos. Cuál es el menor número de ladrillos que puede haber en la pila?. 13. Probar que para todo entero positivo n, existen n enteros consecutivos a 1, a 2,..., a n tales que p i a i donde p i representa el i ésimo primo. 14. Demostrar que para cada entero positivo n, se pueden encontrar n enteros consecutivos divisibles por cuadrados perfectos. 15. Sea p un número primo y a, b enteros no negativos tales que a + b = p 1. Demuestre que a!b! ( 1) b+1 (mod p) 16. Encuentre el n tal que ϕ(n) = ϕ(2 k ) = 2 k Si (m, n) = d entonces ϕ(mn) = d ϕ(d) ϕ(m)ϕ(n). 19. ϕ(n k ) = n k 1 ϕ(n) 20. Si n es el producto de k diferentes números primos, calcule τ(n). 21. σ(p k ) p k = pk 1 p Si n = 2 p 1 (2 p 1) donde p y 2 p 1 son primos, calcule τ(n) y σ(n). 23. Si n es impar, entonces τ(n) es impar. 24. Si m n entonces σ(m) m σ(n) n. 25. Muestre que 2 10 (2 11 1) no es perfecto. 26. El producto de dos numeros perfectos pares no es perfecto. 27. Si (a, p) = 1 entonces a ϕ(pk) 1(mód p k ). 28. Hallar el número de divisores positivos de 4320 y calcular su suma. 29. Resolver la ecuación σ(x) = 36. Sugerencia: Descomponer 36 en factores que se puedan expresar en la forma 1 + p + p p k con p primo y usar una formula conveniente. 30. Probar que todo número perfecto par se puede escribir en la forma n para algún entero positivo n. 31. Sean a y n enteros positivos mayores que 1. Probar que si a n 1 es primo entonces a = 2 y n es primo. 4

5 32. Si f es una función multiplicativa diferente de la función 0, entonces f(1) = Si f es multiplicativa, m n, y (m, n m ) = 1. Probar que f( n m ) = f(n) f(n). 34. Probar que para todo entero a, a 561 a(mód 561). 35. Si p y q son primos diferentes, probar que p q + q p (p + q)(mód pq). 36. Si p es un primo impar y p no divide a a, probar que a p 1 2 ±1(mód p). 5