BOLETINES DE PROBLEMAS DE

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE GESTIÓN BOLETINES DE PROBLEMAS DE INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA DISCRETA Curso 2008/2009 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA I

2 Aritmética entera Usar el principio de inducción para probar que para todo n 0 se tiene: a) n 2 + 3n es divisible por 2. b) n 3 + 3n 2 + 2n es divisible por Demostrar por inducción que 2 n > n + 1 para todos los enteros n Probar, por inducción en n, la igualdad (2n 1) + (2n 3) = n Resolver las siguientes cuestiones: a) Hacer una tabla de valores de S n = n 3 para 1 n 6. b) Inducir de la tabla una fórmula para S n. c) Demostrar por inducción matemática la validez de la fórmula anterior. Si no se consigue, repetir la etapa b Demostrar por inducción que si u n es la sucesión definida por: u 1 = 3, u 2 = 5, u n = 3u n 1 2u n 2 ( n 3), entonces, u n = 2 n + 1 para todos los números naturales n Demostrar por inducción que si F n es la sucesión de Fibonacci definida por: F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1, F n = F n 1 + F n 2 ( n 3), entonces, F n = 1 ( ) n ( ) n 1 5 para n N Usar la identidad 2 rs 1 = (2 r 1)(2 (s 1)r + 2 (s 2)r r + 1) para demostrar que si 2 n 1 es primo entonces n es primo. Probar que la afirmación recíproca no es cierta. 1

3 2 Introducción a la Matemática Discreta Demostrar que todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n + 1 ó 6n Probar que si el mcd (a, b) = d entonces a/d y b/d son primos entre sí Definimos el mínimo común múltiplo de dos enteros m, n como mcm (m, n) = mn mcd (m, n) a) Dar un algoritmo para calcular el mcm de dos números. b) Usar el algoritmo anterior para hallar el mcm de 1769 y Sean a y b dos números enteros positivos. Demostrar que si m = mcm (a, b), entonces mcd (m/a, m/b) = Demostrar que si x es primo con a, y es primo con b y a, b son primos entre sí, entonces el resto de dividir ay + bx entre ab es primo con ab Sean a, b Z +, d = mcd (a, b) y A = {(α, β) Z Z : αa + βb = d}. a) Probar que si (α, β) A entonces, α es primo con β. b) Probar que si a y b son primos entre sí y los pares (α 1, β 1 ) y (α 2, β 2 ) pertenecen a A, existe k Z tal que α 2 = α 1 + kb β 2 = β 1 ka c) Probar que, en general, si (α 1, β 1 ), (α 2, β 2 ) A existe k Z tal que α 2 = α 1 + k b d β 2 = β 1 k a d Estudiar las dificultades de hallar el término 1000 de la sucesión de Fibonacci. (Todo está permitido, incluido calculadoras y ordenadores) Demostrar que la sucesión de Fibonacci verifica que mcd (F n, F n+1 ) = 1 para todo n Demostrar que en la sucesión de Fibonacci se tiene que F n es el entero más cercano a 1 ( ) n

4 Aritmética Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones independientes. a) Es cierto que dos números enteros positivos y consecutivos son siempre primos entre sí? y dos impares consecutivos? b) Se dice que dos números primos son gemelos si son impares consecutivos, por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc. Es posible encontrar tres números impares consecutivos (además de 3, 5 y 7) de forma que los tres sean primos? c) Puede hacerse la diferencia entre dos números primos consecutivos tan grande como se quiera (mayor que cualquier entero positivo n por grande que éste sea)? Demostrar que el exponente del número primo p en la descomposición en factores primos de n! viene dado por la suma finita: n n n p p 2 p 3 donde x designa a la parte entera de x En cuántos ceros termina la expresión decimal de 1000!? Demostrar que si i y n son enteros con 1 i n, entonces i(n i + 1) n. Deducir que n! n n/2 si n es par, y que por tanto Concluir que 2 n n! n n Se considera la sucesión: 1 2 n log 2 n log 2 (n!) n log 2 n. e 1 = 2 e n+1 = e 1 e 2 e n + 1 n 1 a) Son primos todos los números e i? b) Demostrar que si i j entonces mcd(e i, e j ) = 1 c) Sea p i el menor primo que aparece en la descomposición en factores primos de e i. Demostrar que p 1,p 2,,p n, es una sucesión infinita de primos distintos. d) Demostrar la igualdad e n+1 = e n 2 e n Se considera la sucesión definida recursivamente por a 1 = 0, a n = a n Demostrar por inducción completa que a n = log 2 n.

5 4 Introducción a la Matemática Discreta El druida de una aldea gala ha preparado 75 litros de poción mágica que se dispone a embotellar, disponiendo para ello de recipientes de 6 litros y de 9 litros. De cuántas maneras puede repartir la poción de forma que todos los recipientes usados queden completamente llenos?. Si para acceder a los almacenes de recipientes necesita recorrer 30 metros para los de 6 litros y 40 metros para los de 9, cuál es la menor distancia que deberá recorrer nuestro druida? En la industria cárnica Serranillo se explotan dos razas de cerdos, los de tipo A, que producen 52 kilogramos de embutido por animal, y los de tipo B, que producen 41 kilogramos cada uno. Si se han obtenido 730 kilogramos al final de una jornada, calcular cuántos animales de cada tipo han sido sacrificados.

6 Congruencias Si x 2 (mod 3) y x 3 (mod 5), cuánto es x mod 15? Demostrar que en Z p, con p primo, se verifica la igualdad (x + y) p = x p + y p Sea n un entero positivo. Probar que las expresiones decimales de n y n 5 terminan en el mismo dígito Deducir una regla para decidir si un entero es divisible por 11, basada en la expresión decimal del número Sean: p > 2 un número primo, a un entero cualquiera y b = a (p 1)/2. Probar que b mod p es 0, 1 o p Sea p un número primo. Probar que los únicos elementos de Z n iguales a su propio inverso son 1 y p 1. Encontrar un contraejemplo para el caso en que p no sea primo Demostrar que si p es primo, entonces p ((p 1)! Para todo n N, sea A n = 2 n + 4 n + 8 n. a) Probar que si n m (mod 3) entonces A n A m (mod 7). b) Probar, sin hallar su expresión decimal, que el número cuya expresión en binario viene dada por , es divisible entre Sean n Z y j, k, m N. Probar que si se tiene que n j 1 (mod m) n k 1 (mod m) } entonces: n mcd (j,k) 1 (mod m). 5

7 6 Introducción a la Matemática Discreta Usar el Teorema de Fermat para calcular el resto de la división entera de 3 47 entre Probar que la ecuación ax = b tiene solución en Z n si, y sólo si, b es un múltiplo del mcd (a, n) (Teorema chino del resto) Sean a, b enteros primos entre sí. Para todo par de enteros α 1, α 2 existe α tal que α α 1 (mod a) y α α 2 (mod b) Hallar la solución general de la congruencia 54x 342 (mod 23400) Resolver el siguiente sistema de congruencias lineales. x 4 (mod 7) x 4 (mod 9) x 2 (mod 11) Siete ladrones tratan de repartir, entre ellos y a partes iguales, un botín de lingotes de oro. Desafortunadamente, sobran seis lingotes y en la pelea que se desata muere uno de ellos. Como al hacer de nuevo el reparto sobran dos lingotes, vuelven a pelear y muere otro. En el siguiente reparto vuelve a sobrar una barra y sólo después de que muera otro es posible repartirlas por igual. Cuál es el mínimo número de barras para que esto ocurra? Realizar la codificación RSA de HELLO utilizando r = 1, q = 101, s = 3. Comprobar decodificando el resultado Decodificar el mensaje 1914, sabiendo que la clave pública es (2803, 113) Realizar la codificación RSA tomando r = 4, s = 5 y q el producto de los dos primos q = = de la palabra HOLA. Comprobar el resultado decodificando Utilizando el alfabeto {, E, M, N, O, P, R, S} (donde designa el espacio en blanco), y numerando sus elementos del 0 al 7 respectivamente, decodificar el mensaje sabiendo que fue codificado mediante un código RSA con r = 2 y que la clave es (q, s) = (101, 67).

8 Congruencias Con el alfabeto de 5 caracteres A = 0, B = 1, C = 2, D = 3, E = 4 utilizamos una clave RSA con (n, e) = (10, 3) y empaquetamos los caracteres de dos en dos: a) Cifra la palabra BECA. b) Halla la clave privada y descifra el mensaje obtenido en el apartado anterior. c) Explica razonadamente qué es lo que va mal Encontrar los valores de φ(19), φ(20) y φ(21) En una isla desierta cinco hombres y un mono recogen cocos todo el día y después se duermen. El primer hombre se despierta y decide tomar su parte: hace 5 grupos iguales y le sobra un coco, que da al mono; después de tomar su parte se duerme. Se despierta a continuación el segundo hombre, y haciendo un montón con los cocos que quedan, lo divide en 5 partes iguales y le sobra un coco, que da al mono. Sucesivamente ocurre lo mismo con cada uno de los hombres. Encontrar el número mínimo de cocos que formaban el montón original Demostrar que todo número primo, distinto de 2 y de 5, tiene un múltiplo cuya expresión decimal está formada sólo por unos. p Dado el número N = a i 10 i con a i Z y p N. Probar que existen enteros, no i=0 p negativos, b i con b 0 = 1, y a lo sumo k de ellos distintos, tales que si M = a i b i i=0 entonces N M (mod k) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en congruencias: } x + 2y 4 (mod 7) 4x + 3y 4 (mod 7) Existe alguna solución en Z 5? Enumerar todas las posibilidades para n de modo que φ(n) sea múltiplo de Sea p un número primo mayor que 3 y α, β dos enteros positivos. Si la descomposición en factores primos de un número n es n = 2 α 3 α p β, se pide: a) Hallar n sabiendo que φ(n) = 216, siendo φ la función de Euler. b) En el caso de existir más de una solución del apartado anterior, elegir dos de ellas, n 1 y n 2 y hallar φ( n 1 n 2 ).

9 8 Introducción a la Matemática Discreta Dada la tabla siguiente: Se pide: x x 1 = x mod 3 x 2 = x mod a) Demostrar que a partir del par (x 1, x 2 ) es posible encontrar el valor de x en Z 15. Encontrar una fórmula explícita y demostrar que la función f(x) = (x 1, x 2 ) de Z 15 en Z 3 Z 5 es biyectiva. b) Demostrar que siempre se verifica que f(x+y) = f(x)+f(y), y que f(x y) = f(x) f(y), donde las operaciones con los pares se realizan siempre coordenada a coordenada. Si x tiene inverso x 1 en Z 15, qué se puede decir de f(x 1 ) sin consultar la tabla? c) Algunos números, como por ejemplo 13, tienen la propiedad de que f(13) = (1, 3). Si un número tiene esta propiedad y su expresión decimal es ab, es decir el número es 10 a + b, aparecería en la tabla como x x 1 = x mod 3 x 2 = x mod 5 10 a + b a b Enunciar esta propiedad como un par de ecuaciones en congruencias con incógnitas a y b. Resolverlas para determinar todos los números con esa propiedad sin examinar la tabla Los precios de dos productos son 18 y 33 euros por unidad. Cuál es el número de unidades vendidas si se han cobrado 639 euros y han sido más de 30? Dada la ecuación diofántica 11x + 29y = m se pide: a) Encontrar en función de m la solución general de la ecuación. b) Hallar todas las soluciones no negativas. c) Determinar el menor valor positivo de m para el cual la ecuación tiene exactamente una solución de enteros no negativos El identificador ISBN de los libros es un código de 10 dígitos (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 ) con identificadores por bloques, donde el último x 10 es un dígito de control (un dígito o la letra X), que verifica 10 i=1 ix i 0 (mod 11)

10 Congruencias 9 a) Si los nueve primeros valores del ISBN de un libro es Cuál es el valor de x 10 b) Si para otro libro, su ISBN es a89 1. Encontrar el valor de a a) Utiliza el Teorema de Fermat para calcular (mod 5), (mod 7) y (mod 11) b) Utilizando el resultado del apartado anterior y el teorema chino del resto calcular (mod 385)

11 Combinatoria Cuáles de las siguientes funciones de Z en Z son inyectivas o sobreyectivas? f(x) = 1 + x 2, g(x) = 1 + x 3, h(x) = 1 + x 2 + x Las siguientes fórmulas definen funciones de Z en Z. Decidir cuáles de ellas son inyectivas o sobreyectivas: f(x) = x 2 g(x) = 2x h(x) = x + 2 i(x) = x 3 j(x) = 3x + 1 k(x) = x Sean a, b Z. Discutir para qué valores de a y b la función f : Z Z definida por f(x) = ax + b es inyectiva y para qué valores es sobreyectiva Sean f y g dos aplicaciones tales que existe fg. Demostrar que si f y g son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas entonces también lo es la composición f g Probar que si X es un conjunto finito y f : X X es inyectiva o sobreyectiva, entonces es biyectiva Demostrar que el conjunto de aplicaciones biyectivas de X = {1, 2,, n} en si mismo, tiene n! elementos Decidir qué realiza el siguiente algoritmo que recibe n 2 como entrada, y demostrar que es correcto: P1 p 1 2, p 2 3, l 2, m 3 P2 si l = n retorna (p 1... p n ). FIN P3 m m + 2 P4 para j 1 hasta l P5 si p j m ir al Paso 3 P6 l l + 1, p l m, ir al Paso 2. 10

12 Combinatoria Se considera el siguiente algoritmo para hallar u m : P1 q m, b 1, t u P2 mientras q > 0 P3 si q mod 2 = 1 entonces b t b P4 t t 2 P5 q q/2 P6 retorna b. FIN a) Demostrar que el valor retornado es u m. b) Probar que el número de operaciones que se realizan es O(log m) Estimar el tiempo requerido para calcular n usando el algoritmo del ejercicio anterior y comparar con el tiempo necesario si se realizan las multiplicaciones (para simplificar se puede suponer que se realiza una multiplicación por segundo) Sea F n la sucesión de Fibonacci, definida como F 1 = F 2 = 1, y n > 2, F n = F n 1 + F n 2. Se considera el siguiente algoritmo: P1 leer un entero positivo M P2 l () (lista vacía), i 0 P3 mientras M 0 P4 elegimos n tal que F n M < F n+1 P5 añadimos F n a la lista l P6 M M F n P7 i i + F n P8 retorna l. FIN a) Demostrar que todos los pasos pueden ejecutarse y que en cada iteración M y n decrecen sin ser nunca negativos. Deducir de aquí la finitud del algoritmo. b) Demostrar que i + M es un invariante y deducir que la suma de los elementos de la lista retornada es exactamente M. c) Deducir de los apartados anteriores que todo entero positivo se puede expresar como suma de términos de la sucesión de Fibonacci sin repetir ninguno. Es única esta descomposición? Sean m y n dos números enteros no negativos con n m. Se considera el siguiente algoritmo:

13 12 Introducción a la Matemática Discreta P1 leer m y n P2 p n, q 1 P3 si m = 0 retorna 1. FIN P4 mientras m > 1 P5 q q + 1 P6 n n 1 P7 m m 1 P8 p p n/q P9 retorna p. FIN a) Probar que la expresión p q! (n 1)! permanece invariante en todo el proceso y utilizar dicho invariante para deducir qué realiza el algoritmo. b) Comprobar que el algoritmo siguiente produce el mismo resultado. P1 leer m y n P2 i 1, p n, q 1 P3 si m = 0 retorna 1. FIN P4 mientras i < m P5 p p(n i) P6 i i + 1 P7 q q i P8 retorna p/q. FIN c) Por qué, siendo ambos algoritmos del mismo orden, es más eficaz el primero de ellos? Los antiguos egipcios representaban cualquier fracción n/m entre 0 y 1 como una suma de fracciones r r k con numerador 1. Este ejercicio pretende estudiar el algoritmo siguiente, que hace dicha descomposición P1 q n/m, k 0 P2 mientras q > 0 P3 k k + 1, r k 1/ 1/q P4 q q r k a) Probar la igualdad b mod a = b a b/a. b) Si f(a, b) = a b/a b, probar que 0 f(a, b) < a. c) Hacer un seguimiento del algoritmo para descomponer la fracción 5/13. d) Probar que el algoritmo es finito y que r r k = n/m.

14 Combinatoria Se considera el algoritmo siguiente, que pretende descomponer un entero positivo n en k sumandos n = s 1 + s s k, (1 k n) lo más iguales posible: P1 r n, d k P2 mientras r > 0 P3 s d r/d P4 r r s d P5 d d 1 a) Probar que el algoritmo es finito, carece de errores, se obtienen k sumandos y su suma es n. b) Probar que el número de operaciones realizadas es O(k) pero no depende de n. c) Demostrar que si n es múltiplo de k entonces todos los sumandos que se obtienen son iguales Se considera el siguiente algoritmo: lee n entero positivo x = 0 i = 0 mientras i n ( ) n x = x + i retorna x n = n 1 i = i + 1 a) Demostrar que el algoritmo es finito. Cuántas veces se pasa por el bucle? b) Hacer un seguimiento del algoritmo para los valores de entrada n = 1,2,3 y 4. Qué valor retorna en cada caso? c) Llamando x n al valor retornado correspondiente a la entrada n, demostrar que x n+2 = x n + x n+1. d) Deducir de los apartados anteriores el valor de x n Se considera el siguiente algoritmo: Si n = 1 retorna 2

15 14 Introducción a la Matemática Discreta Si n = 2 retorna 1 x = 0 para i = 0 hasta n 2 x = x + L(i) retorna L(n) = x + 1 a) Establecer el seguimiento del algoritmo para n 5. b) Demostrar que el algoritmo es finito. c) Demostrar que L(n + 1) = L(n) + L(n 1) para n 2. d) Demostrar que si F n es la sucesión de Fibonacci, se tiene que L(n + 2) = F n 1 + F n+1. e) Existen enteros positivos m y n tales que F n = L(m)? Razona la respuesta Cuántos números de teléfono de 5 dígitos tienen un dígito que aparece más de una vez? Si V nk designa en número de posibles elecciones de k objetos de entre n, importando el orden, probar que V n(n 1) = V nn, interpretando el por qué De cuántas maneras se pueden ordenar las letras XSIAON de modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan? De cuántas maneras diferentes se le pueden poner cuatro neumáticos a un coche? Definimos la distancia entre dos secuencias binarias de longitud n como el número de lugares en que difieren. Cuántas secuencias están a una distancia d de una secuencia dada? Obtener una expresión para el número de secuencias que están a una distancia d de una dada Describir un método para generar todas las permutaciones de n elementos a partir de las de n 1 elementos Sean a, k N. Probar que p = a(a + 1)... (a + k 2)(a + k 1) es divisible por k! Indicación: Cuánto vale (a 1)! p?

16 Combinatoria Probar las igualdades: ( ) r a) = r ( ) r 1 k k k 1 ( ) r 1 b) r k ( ) r = (r k) k Probar la identidad: ( ) r Probar la identidad: ( ) 2 n + 0 ( r Indicación: ((a + b) n ) 2 = (a + b) 2n. ) + + ( r + n n ) = ( ) r + n + 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) n n n 2n = 1 2 n n ( ) ( ) k k Usar la igualdad k 2 = 2 + para demostrar la fórmula: n 2 = 1 ( 3 n n + 1 ) (n + 1) 2 n En una clase de música con 73 alumnos hay 52 que tocan el piano, 25 el violín, 20 la flauta, 17 tocan piano y violín, 12 piano y flauta, 7 violín y flauta y sólo hay 1 que toque los tres instrumentos. Hay algún alumno que no toque ninguno de los tres instrumentos? a) Probar que si n es un entero positivo, entonces ( ) 2(n + 1) = 2 2n + 1 ( 2n n + 1 n + 1 n b) Probar por inducción sobre n que para todo n 2 se verifica que ( ) 2n 2 n < < 4 n n Usando que el exponente del número primo p en la descomposición en factores primos de n! viene dado por la suma finita n/p + n/p 2 + n/p 3 + ( ) 100 hallar el máximo común divisor de y )

17 16 Introducción a la Matemática Discreta Hallar cuántos enteros hay en el rango 1 n 1000 que no son divisibles ni por 2 ni por 3 ni por Demostrar que φ(n) es par para todo n Usar la fórmula del cardinal de una unión para encontrar el valor de φ(60) Se pide: a) Utilizar el principio de inclusión y exclusión para hallar cuántos enteros positivos y menores que son primos con b) Utilizar la función de Euler para hallar cuántos de ellos son mayores que Hallar el mínimo común múltiplo de dos números a y b sabiendo que la descomposición en factores primos de cualquiera de los dos posee sólo dos factores primos, que su máximo común divisor es 3 y que φ(a) = 72 y φ(b) = 4. (La función φ es la función de Euler) Por un canal de comunicación se va a transmitir un mensaje usando 12 símbolos diferentes. Además de estos 12 símbolos, el transmisor también enviará un total de 45 espacios en blanco entre los símbolos, con tres espacios como mínimo entre cada par de símbolos consecutivos. De cuántas formas distintas se puede mandar el mensaje? Encontrar dos aplicaciones f y g tales que: a) fg es inyectiva, pero f no lo es. b) fg es sobreyectiva, pero g no lo es Una función u de N en N está definida recursivamente por: u(1) = 1, u(n + 1) = 1u(n) si u(n) es par 2 5u(n) + 1 Probar que u no es ni inyectiva, ni sobreyectiva. si u(n) es impar Probar que en cualquier un conjunto de personas X hay, al menos, dos personas que tienen, exactamente, el mismo número de amigos en X.

18 Combinatoria Sea f : Z Z la aplicación definida por f(n) = n 4 + 2n 3 + n 2 9 y sea P el conjunto de números primos. a) Probar que P Im f =. b) Demostrar que f no es inyectiva. c) Calcular P Im g, siendo g(n) = n 4 + 2n 3 + n Se define una función τ : Z + Z + como τ(n) = número de divisores positivos de n. a) Probar que si n = p α 1 1 p α 2 2 p α k k es la descomposición en factores primos de n, entonces τ(n) = (α 1 + 1) (α 2 + 2) (α k + 1). b) Hallar el menor entero n tal que τ(n) = 6. c) Demostrar que si k > 1 entonces, el conjunto τ 1 (k) es infinito Sea C un conjunto de 5 enteros positivos menores o iguales que 9. Demostrar que existen, al menos, dos subconjuntos de C cuyos elementos suman lo mismo Sea u n el número de palabras de longitud n en el alfabeto {0, 1} con la propiedad de no tener ceros consecutivos. Probar que: u 1 = 2, u 2 = 3, u n = u n 1 + u n 2 (n 3) Sea f : N N la aplicación que asocia a cada número natural el número máximo de sumandos naturales consecutivos en que puede ser descompuesto. Así, por ejemplo, como 15 = 15 = = = f(15) = 5 a) Es f inyectiva?, y sobreyectiva? b) Probar que si n es primo mayor que 2 entonces f(n) = 2. c) Es f 1 (2) el conjunto de números primos mayores que 2? Llamamos D n al número de formas en que pueden distribuirse n cartas en n sobres sin que ninguna esté en el sobre correcto. a) Demostrar que para todo n > 2 se verifica la relación D n = (n 1)(D n 1 + D n 2 ). b) Hallar una expresión para D n que sólo dependa de n.

19 Recursión Encontrar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por: u 0 = 0, u 1 = 1, u n = 5u n 1 6u n 2 (n 2) a) Haciendo uso de las funciones generatrices. b) Teniendo en cuenta que es una recurrencia lineal homogénea Hallar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por: u 1 = 1, u 2 = 0, u n = 6u n 1 8u n 2 (n 2) a) Haciendo uso de las funciones generatrices. b) Teniendo en cuenta que es una recurrencia lineal homogénea Deducir la fórmula explícita dada para los términos de la sucesión definida por recurrencia en el Ejercicio Obtener la función generatriz de la sucesión de Fibonacci, definida por recurrencia en el Ejercicio Obtener la función generatriz de la sucesión definida por: u 0 = 1, u 1 = 2, u 2 = 3, u n = 5u n 1 8u n 2 + 4u n 3 (n 3) y hallar una fórmula explícita para el termino general de la sucesión Los dos primeros términos de una sucesión valen, respectivamente, 1 y 2. Sabiendo que cada término es la media aritmética del anterior con la media aritmética de los dos adyacentes (anterior y posterior), se pide: a) hallar una fórmula explícita para los términos de dicha sucesión, b) probar, mediante inducción completa, la validez de la fórmula obtenida y 18

20 Recurrencias Lineales 19 c) describir un procedimiento para calcular el término 40 realizando, a lo más, 10 operaciones (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones) Encontrar la función generatriz para las sucesiones: ( ) ( ) ( ) ( ) a),,,, ( ) ( ) ( ) b), 2,, c) 1, 1, 1, 1, 1, 1,... d) 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1,... e) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, Determinar la sucesión generada por cada una de las siguientes funciones generatrices a) f(x) = (2x 3) 3 b) f(x) = x4 1 x c) f(x) = x3 1 x 2 d) f(x) = 1 1+3x e) f(x) = 1 1 x + 3x Hallar el coeficiente de x 7 en: a) (1+x+x 2 + ) 1 5 b) (1+x+x 2 + ) k, k N Cómo se pueden distribuir 25 caramelos entre cuatro niños? Y si se añade la condición de que cada niño recibe al menos tres caramelos y no más de ocho? Hallar una fórmula explícita para los términos de la sucesión definida por: u 0 = 1, u n 3u n 1 = n (n 1) obteniendo previamente su función generatriz Haciendo uso de la función generatriz, resolver la recurrencia definida por: u 0 = 1, u 1 = 5, u n+1 8u n + 7u n 1 = 6 (n 1) Haciendo uso de la función generatriz, resolver la recurrencia definida por: u 0 = 2, u 1 = 9, u n+1 6u n + 9u n 1 = (n + 2)3 n (n 1)