XXVI OMM Guanajuato. Tarea para el 25 de mayo Teoría de Números: Divisibilidad Eugenio Flores

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1 XXVI OMM Guanajuato Tarea para el 25 de mayo 202 Teoría de Números: Divisibilidad Eugenio Flores Busca el significado de las siguientes palabras y encuentra relaciones entre ellas: a. Múltiplo b. Divisor c. Factor d. Producto e. Divisor Común f. Múltiplo Común 2. Sugiere una razón de por qué nos interesa el mínimo común múltiplo y no el máximo común múltiplo. Análogamente, por qué nos interesa el máximo común divisor y no el mínimo común divisor. 3. Investiga o propón una definición de criterio de divisibilidad. 4. Investiga o propón dos criterios de divisibilidad para los siguientes números: a. 3 b. 4 c. 6 d. 7 e. 8 f. 9 g. 0 h. 5. Investiga o propón tres criterios de divisibilidad para los siguientes números: a. 2 b. 5 c El producto de tres enteros distintos entre sí, mayores que es 00. Cuáles son estos tres números? 7. Encuentra dos números enteros positivos tales que su producto sea y tales que ninguno de ellos termina en.

2 8. Cuántos enteros positivos cumplen que al dividir entre queda de residuo? 9. Al dividir 999 entre n quedan 2 de residuo. Si n es un número de dos cifras, cuánto queda al dividir 2009 entre n? 0. En el año Manuel se sacó la Lotería Dinosaurio apostando a las letras que son sus iniciales. Si son números enteros positivos distintos y su multiplicación, cuál es el valor más grande que puede tener?. Sean dos enteros tales que. Demostrar que no es primo. 2. Demuestre que para cualquier entero positivo n, el número es múltiplo de Demostrar que es múltiplo de 8 para cualquier n impar no negativo. Jorge Luis Borges La Biblioteca de Babel Jorge Luis Borges El Aleph Jorge Luis Borges El Libro de Arena Extra: Jorge Luis Borges El Otro Lecturas propuestas

3 XXVI OMM Guanajuato Entrenamiento de mayo 202 Teoría de Números: Divisibilidad Eugenio Flores Problemas Problema. Entre qué números del al 2 es divisible el número? Problema 2. Existe algún número de seis dígitos divisible por cuyos dígitos son, 2, 3, 4, 5 y 6 en algún orden? Problema 3. Encuentra todos los enteros positivos tales que es múltiplo de. Problema 4. Sea n un entero positivo. Encuentre todos los valores de n tales que entero. n es un 2n Problema 5. Para todo entero a demuestra que el número a(a 2 -) es divisible entre 2 y entre 3. Problema 6. Rubén le cambia dos dígitos al número 888 buscando un número de tres dígitos lo más grande posible que sea divisible entre 8. Javier le cambia dos dígitos al número 888 buscando un número de tres cifras lo más pequeño posible que sea divisible entre 8. Cuánto vale la diferencia entre ambos números? Problema 7. Raúl quiere llenar su cantimplora de L y lo único que puede hacer es llenar sus cubetas de 3L, 9L, 2L y 5L completas desde el río o pasar de una cubeta a otra cubeta agua siempre que se pase toda o toda la que cabe (no puede meter la cantimplora al río ni llenarla desde una cubeta si sobra en la cubeta). Cómo puede hacer esto Raúl? Problema 8. En el mundo mágico de Rabilia hay una hidra que tiene 8550 cabezas, el caballero de Rabilia tiene tres espadas, una de Oro, una de Plata y otra de madera. Con la espada de Oro puede cortarle 35 cabezas, pero le salen 27 o 3 cabezas. Con la de Plata puede cortarle 228 pero le salen 288 o 68, y con la de madera corta 7 pero le salen 5, podrá ser que después de cierto número de cortes la hidra tenga 202 cabezas?problema Monstruo Ranaballo

4 Problema 9. La leyenda del monstruo de Ranaballo dice que se despierta cada de vez en cuando y se come a todas las personas que están resolviendo este problema, luego se vuelve a dormir tantos años como la suma de los dígitos del año en que despertó. Por ejemplo, si se despierta en el año entonces se duerme años y despierta en el año. El monstruo atacó por vez primera en el año de nuestra era. Estamos a salvo este año? Justifica tu respuesta. Problema 0. Prueba que ninguno de los números 573, 57573, , es un número primo. Problema. El producto de las edades de mis hijas es 664. Si la edad de la más grande es el doble que la de la más pequeña, cuántas hijas tengo? Problema 2. Para qué enteros positivos n es n un cuadrado perfecto? Problema 3. Encontrar el menor número a tal que la suma resulte ser un número con todas sus cifras iguales. Problema 4. Determine el mayor entero positivo tal que existe una reordenación de los números para la cual es un entero. Problema 5. Sean y enteros tales que y son ambos divisibles por. Pruebe que también es divisible por. Problema 6. Sea un entero positivo y sea y. Demuestra que los únicos divisores positivos comunes posibles de y son, 2, 3 o 6. Problema 7. Sea p un número impar. Demuestra que la suma de los primeros p números consecutivos es múltiplo de p. Problema 8. Demuestra que el producto de cualesquiera 5 números consecutivos es múltiplo de 20. Problema 9. Demuestra que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional (que no puede expresarse como una fracción irreducible con denominador y numerador enteros). Problema 20. Generaliza el resultado anterior para la raíz de cualquier primo. Problema 2. Sea p un número primo mayor que 2. Si: p a b prueba que a es múltiplo de p.

5 Problema 22. Encuentra todos los enteros positivos para los que es un múltiplo de.encuentra dos números tales que tres veces el primero más seis veces el segundo sea igual a dos. Problema 23. Sea ab un número de dos dígitos. Un entero positivo n es pariente de ab si: El dígito de las unidades de n también es b. Los otros dígitos de n son distintos de cero y suman a. Por ejemplo, los parientes de 3 son 3, 2, 2 y. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes. Problema 24. En un cuarto gigantesco, hay 2008 focos, todos ellos encendidos. Debajo de esos focos, hay un apagador. Dos mil ocho niños ociosos juegan el siguiente juego: el primero empieza en el primer foco y corriendo apaga todos. El segundo cambia el segundo y uno no, uno sí, uno no. El tercero cambia el tercero y dos no, uno sí. Y así hasta que el dosmilochoavo niño cambia el foco Al final, cuáles focos quedan apagados? Problema 25. Se tienen tres cartas, una marcada con el número m, otra con el número n y otra con el número p, todos ellos enteros con 0 < m < n < p. Eugenio, Miguel y Pablo sostuvieron un juego de varias rondas que consiste en lo siguiente: Durante cada ronda, los jugadores toman una carta al azar y cada uno obtiene tantos puntos como indica la carta que toma y estos puntos se van acumulando. Eugenio ganó el juego con 20 puntos, Miguel se quedó con 0 puntos y Pablo con 9. Se sabe que en la última ronda Miguel obtuvo p puntos. (a) Cuántas rondas se jugaron? (b) Quiénes pudieron haber tomado la carta marcada con m en la primera ronda? Problema 26. Luis tiene un tablero cuadriculado con la misma cantidad de filas que de columnas. Las casillas del contorno del tablero están coloreadas de gris. También tiene suficientes fichas numeradas (, 2, 3, ) que coloca en las casillas grises de la siguiente manera: La ficha la pone en la casilla superior izquierda y a partir de ahí, el resto las coloca una en cada casilla, consecutivamente de menor a mayor en sentido de las manecillas del reloj. Una vez que llega a la posición inicial sigue colocando fichas sobre las que ya están puestas. Luis deja de poner fichas cuando observa que los números que están a la vista en las casillas de las esquinas del tablero suman 202. Cuáles son estos cuatro números? Determina todas las posibilidades. Problema 27. Si p y q son enteros positivos tales que p q prueba que p es divisible por

6 Repaso Qué asumimos que sabes para este entrenamiento? Dividir y multiplicar. Álgebra en general. Propiedades de los exponentes. Qué debes recordar de este entrenamiento? Fórmula general de la división. Cuando dividimos entre, enteros, tenemos que, donde. Notación. (se lee: a divide a b) cuando y (a no divide a b) cuando. Criterios de divisibilidad. Para los números del 2 al. Propiedades de la divisibilidad: () Para y enteros, si y sólo si. (2) Si y, entonces. (3) Para todo entero se tiene. (Propiedad reflexiva) (4) Si y son enteros tales que y, entonces. (Propiedad transitiva) (5) Es posible que pero que. (Propiedad no simétrica) (6) Para y enteros, y si y sólo si. (7) y si y sólo si para cualesquiera enteros. Definición. Un número es primo si y sólo si tiene únicamente dos divisores positivos. Lema de Euclides. Si es un número primo tal que, entonces o. Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número se puede expresar como producto de potencias de primos de manera única salvo orden y signo. Fórmula de Gauss. Fórmula para la cantidad de divisores. Qué sigue de aquí? Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Primos. Primos relativos. Residuos y Congruencias.