Aplicaciones lineales.

Transcripción

1 Capítulo 5 Aplicaciones lineales. 5. Definición. Núcleo e imagen. Definición 23.- Sea f: V W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W. Se dice que f es una aplicación lineal si: () f(u + v ) = f(u) + f(v ); u, v V, (2) f(ku) = kf(u); u V y k IR. Estas dos propiedades se pueden reunir en: y, en general, se tiene: f(ku + lv ) = kf(u) + lf(v ); u, v V, k, l IR. f(k u + k 2 u k r u r ) = k f(u ) + k 2 f(u 2 ) + + k r f(u r ) u i V, k i IR Si V = W la aplicación lineal también se dice que es un operador lineal. Ejemplos 24 Las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales.- f: V V definida por f(v ) = 2v : f(λv + µw) = 2(λv + µw) = λ2v + µ2w = λf(v ) + µf(w) ( ) ( ) x Dada A =, la aplicación f: IR 3 IR 2 0 con f(x) = Ax = x : x 3 f(λx + µy ) = A(λx + µy ) = A(λx) + A(µy ) = λax + µay = λf(x) + µf(y ) Proposición 25.- Si f: V W es una aplicación lineal, entonces: a) f(0) = 0; b) f( v ) = f(v ); v V Definición 26.- Dada una aplicación lineal f: V W, se define el núcleo o ker(nel) de f, que se denota por ker(f) ó ker f, como el conjunto: ker f = v V : f(v ) = 0 y se define la imagen de f, que se denota por Img(f) ó Img f, como el conjunto Img f = w W : v V tal que w = f(v ) El ker f es un subespacio vectorial de V y la Img f es subespacio vectorial de W (ver ejercicio 5.79). Definición 27.- Si f: V W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f. Proposición 28.- Sea f: V W es una aplicación lineal y B = v, v 2,..., v n una base de V, entonces Img f = linf(v ), f(v 2 ),..., f(v n )

2 47 Matemáticas I 5. Definición. Núcleo e imagen. En efecto, todo v V puede escribirse como v = k v + k 2 v k n v n, luego f(v ) = f(k v + k 2 v k n v n ) = k f(v ) + k 2 f(v 2 ) + + k n f(v n ) En consecuencia, si w Img f, w = f(v ) = k f(v ) + k 2 f(v 2 ) + + k n f(v n ), para algún v. Ejemplo Tomemos el ejemplo 2) de los Ejemplos 24 anteriores: ker f = x IR 3 : f(x) = 0 = x IR 3 : Ax = 0 luego son las soluciones del sitemas de ecuaciones lineales AX = 0, es decir, todos los vectores de la forma (z, z, z), para cualquier valor de z IR. Es decir, ker f = (z, z, z) IR 3 : z IR = lin(,, ). Para la imagen, tomemos en IR 3, la base canónica, entonces Img f = linf(e ), f(e 2 ), f(e 3 ) = linae, Ae 2, Ae 3 = lin(0, ), (, 0), (, ) = lin(0, ), (, 0) = IR 2 pues (, ) = ( )(0, ) + ( )(, 0). Se tiene además, que dim(ker f) = y dim(img f) = 2. No por casualidad, sucede que dim(ker f) + dim(img f) = + 2 = 3 = dim IR 3 : Teorema de la dimensión 29.- Si f: V W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, dim V = dim(ker f) + dim(img f) Si la dim(ker f) = n = dim V, entonces ker f = V, y f(v ) = 0 v V, luego Img f = 0 que tiene dimensión cero, por lo que se cumple dim(ker f) + dim(img f) = dim V (n + 0 = n) Si la dim(ker f) = r < n, tomemos B ker = u,..., u r una base del ker f V que podemos completar con n r vectores hasta una base de V, B V = u,..., u r, v r+,..., v n, y el conjunto imagen será por tanto Img f = linf(u ),..., f(u r ), f(v r+ ),..., f(v n ) = lin0,..., 0, f(v r+ ),..., f(v n ) = linf(v r+ ),..., f(v n ) Si probamos que el conjunto formado por esos n r vectores es linealmente independiente, será una base de la Img f y habremos probado que dim(ker f) + dim(img f) = dim V ; (r + n r = n) como queríamos. Veamoslo, por ser f una aplicación lineal, λ r+ f(v r+ )+ +λ n f(v n ) = 0 f(λ r+ v r+ + +λ n v n ) = 0 λ r+ v r+ + +λ n v n ker f Ahora bien, como B ker es una base del ker f, se tiene λ r+ v r+ + +λ n v n = µ u + +µ r u r, para ciertos µ,..., µ r. Luego µ u µ r u r + λ r+ v r+ + + λ n v n = 0 y µ = = µ r = λ r+ = = λ n = 0 por formar esos vectores una base de V. En particular, con λ r+ = = λ n = 0 se prueba que el conjunto f(v r+ ),..., f(v n ) es un conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser también generador de la Img f es una base de ella.

3 48 Matemáticas I 5.2 Matrices de una aplicación lineal 5.2 Matrices de una aplicación lineal Teorema 30.- Sean V y W espacios vectoriales con dim V = n y dim W = m, y sea f: V W, una aplicación lineal. Si B = v, v 2,..., v n es una base de V y B 2 = w, w 2,..., w m una base de W, entonces la matriz ( ) A m n = [f(v )] B2 [f(v 2 )] B2 [f(v n )] B2 es la única matriz que verifica que [f(v )] B2 = A[v ] B, para cada v V. Todo v V se escribe de forma única como una combinación lineal de los vectores de la base, v = k v + k 2 v k n v n, luego su imagen f(v ) = k f(v ) + k 2 f(v 2 ) + + k n f(v n ). Como los vectores f(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) son de W, sean sus coordenadas en la base B 2 : ( ) f(v ) = (a, a 2,..., a m ) ( ) B 2 f(v ) = a w + a 2 w a m w m f(v 2 ) = (a 2, a 22,..., a m2 ) f(v B 2 2 ) = a 2 w + a 22 w a m2 w m ( ) f(v n ) = (a n, a 2n,..., a mn ) f(v n ) = a n w + a 2n w a mn w m B 2 Entonces, sustituyendo en f(v ), se tiene f(v) = k (a w + a 2 w a m w m ) + k 2 (a 2 w + a 22 w a m2 w m ) + + k n (a n w + a 2n w a mn w m ) = (k a + k 2 a k n a n )w + (k a 2 + k 2 a k n a 2n )w (k a m + k 2 a m2 + + k n a mn )w m por tanto, las coordenadas de f(v ) en la base B 2 son k a + k 2 a k n a n a a 2 a n k [f(v )] B2 = a 2 + k 2 a k n a 2n = a 2 a 22 a 2n... k a m + k 2 a m2 + + k n a mn a m a m2 a mn k k 2. k n = A[v ] B y la matriz A, tiene por columnas las coordenadas en la base B 2 de las imágenes de los vectores de la base B. Definición 3.- Sean B una base de V, B 2 base de W y f: V W una aplicación lineal. A la única matriz A, tal que [f(v )] B2 = A[v ] B, para cada v V, se le llama matriz de f respecto de las bases B y B 2. Si f: V V es un operador lineal y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B. Ejemplo Sea f: P 2 [X] P [X] dada por f(p (X)) = P (X). Sean B =, X, X 2 y B 2 =, X bases respectivas de P 2 [X] y P [X]. Entonces, ( como f() ) = 0, f(x) = y f(x 2 ) = 2X se tiene que ( ) 0 0 A = [f()] B2 [f(x)] B2 [f(x 2 )] B2 = es la matriz de f asociada a B y B 2. En efecto ( ) a ( ) 0 0 f(a + bx + cx 2 ) = b + 2cX y A[a + bx + cx 2 b ] B = b = = [b + 2cX] c B2 c

4 49 Matemáticas I 5.2 Matrices de una aplicación lineal Observación 32.- Si f: V W es una aplicación lineal y A la matriz de f asociada a las bases B y B 2, entonces ker f = v V : f(v ) = 0 = v V : [f(v )] B2 = [0] B2 = v V : A[v ] B = 0 luego las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0 son las coordenadas en la base B de los vectores del ker f. w Img f = lin f(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) [w] B2 lin [f(v )] B2, [f(v 2 )] B2,..., [f(v n )] B2 luego el espacio de las columnas de la matriz A, E c (A), está compuesto por las coordenadas en la base B 2 de los vectores de la Img f. En consecuencia, dim(img f) = dim E c (A) = rg(a). Ejemplo Sean B = v, v 2, v 3 una base de V, B 2 = w, w 2, w 3 una base de W, f: V W 0 una aplicación lineal y A = la matriz de f respecto de las bases B y B 2. Encontrar 3 un base del ker f y otra de la Img f. Como A[v ] B = [f(v )] B2, los vectores de ker f son aquellos v 0 tales que A[v 0 ] B = 0, luego resolviendo el sistema AX = 0: 0 0 A = = x = z y = 2z z = z = [v 0 ] B = x y = z z luego el vector (, 2, ) genera las coordenadas en la base B de los vectores del ker f, con lo que se tiene que ker f = lin v 2v 2 + v 3. Además, dim(ker f) = luego dim(img f) = 3 = 2 = rg(a). Y una base de la imagen se obtendrá a partir de una base del espacio de las columnas de A (para hacer operaciones sobre las columnas de A, hacemos operaciones sobre las filas de su traspuesta A t ). Así: A t = 0 3 t = luego los vectores (,, ) y (0,, ) generan las coordenadas en la base B 2 de los vectores de la Img f. En consecuencia, Img f = linw w 2 + w 3, w 2 + w 3. Definición 33.- Si f: IR n IR m es una aplicación lineal, a la matriz de f asociada a las bases canónicas de IR n y IR m, se le llama la matriz estándar. Definición 34.- Para cada matriz A m n, la aplicación f: IR n IR m definida por f(x) = Ax es lineal y A es la matriz estándar de f. Se dice que f es una aplicación matricial Composición de aplicaciones lineales Aplicación y función tienen el mismo significado (aunque esta última denominación es la que suele usarse en los temas de Cálculo) por lo que la definición siguiente no debe plantear sorpresas: Definición 35.- Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales. compuesta de f y g, a la aplicación g f: V U definida por Llamaremos aplicación (g f)(v ) = g(f(v )), v V.

5 50 Matemáticas I 5.3 Teorema de Semejanza Proposición 36.- Sean f: V W y g: W U aplicaciones lineales, con dim V = n, dim W = m y dim U = p, y sean B, B 2 y B 3 bases de V, W y U, respectivamente. Entonces: a) g f es una aplicación lineal. b) Si A m n es la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 2, y C p m es la matriz asociada a g respecto de las bases B 2 y B 3, entonces CA p n es la matriz asociada a g f respecto de las bases B y B 3. a) (g f)(λu + µv) = g(f(λu + µv)) = g(λf(u) + µf(v)) = λg(f(u)) + µg(f(v)) = λ(g f)(u) + µ(g f)(v). b) Teniendo en cuenta que [g(w)] B3 = C[w] B2 y [f(v )] B2 = A[v ] B, [(g f)(v)] B3 = [g(f(v))] B3 = C[f(v)] B2 = CA[v] B ; v V. 5.3 Teorema de Semejanza Proposición 37.- Sean V y W dos espacios vectoriales, B y B dos bases de V, B 2 y B2 dos base de W y f: V W una aplicación lineal. Si A es la matriz de f asociada a las bases B y B 2, P la matriz de cambio de la base B en B y Q la matriz de cambio de la base B 2 en B2 ; entonces la matriz, A, de f asociada a las bases B y B 2 viene dada por A = QAP QAP [v ] B = QA[v ] B = Q[f(v )] B2 = [f(v )] B 2 = A [v ] B 2, v V, luego A = QAP. Teorema de semejanza 38.- Sean f: V V, con dim V = n, un operador lineal, A la matriz de f respecto de la base B de V y A 2 la matriz de f respecto de la base B 2. Entonces A 2 = P AP siendo P la matriz de paso de la base B 2 a la base B. Este resultado es un caso particular de la proposición anterior. Observación: Una manera de recordar bien este proceso es tener en cuenta los diagramas siguientes, donde la obtención de las nuevas matrices se reduce a la búsqueda de caminos alternativos: A = QAP P V B B f W A B2 Q A B2 P V f V A B B P A B 2 2 B2 A 2 = P A P No hay que olvidar, que las matrices se operan en orden inverso (las matrices multiplican a los vectores por la izquierda, sucesivamente).

6 5 Matemáticas I 5.4 Ejercicios Definición 39.- Dadas dos matrices A y B de orden n se dice que A y B son semejantes si, y sólo si existe una matriz P inversible tal que B = P AP. Corolario 40.- Dos matrices A y B son semejantes si y sólo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases. Corolario 4.- Si A y B son matrices semejantes, entonces tienen el mismo rango. 5.4 Ejercicios 5.78 Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales: a) f: IR 2 IR 2 definida por f(x, y) = ( 3 x, 3 y) b) f: IR 3 IR 2 definida por f(x, y, z) = (2x + y, 3y 4z). ( ) a b c) f: M 2 2 IR definida por f = a c d 2 + b Sea f: V W una aplicación lineal. a) Probar que ker f es un subespacio de V b) Probar que Img f es un subespacio de W 5.80 Sean V un espacio vectorial y T : V V la aplicación lineal tal que T (v ) = 3v. Cuál es el núcleo de T? Cuál es la imagen de T?. 5.8 Sea A una matriz de tamaño 5 7 con rango 4. a) Cuál es la dimensión del espacio de soluciones de Ax = 0?. b) Ax = b tiene solución para todo b de IR 5? Por qué?. 3 4 x 5.82 Sea T : IR 3 IR 3 la aplicación lineal dada por la fórmula T (x, y, z) = y z a) Demostrar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas. b) Demostrar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación (cartesiana) Sea B = v = (, 2, 3), v 2 = (2, 5, 3), v 3 = (, 0, 0) una base de IR 3 y f: IR 3 IR 2 una aplicación lineal para la que f(v ) = (, 0), f(v 2 ) = (0, ) y f(v 3 ) = (0, ). a) Encontrar una matriz de la aplicación f indicando las bases a las que está asociada. b) Calcular f(v 3 v 2 2v ) y f(,, ) Encontrar la matriz estándar de cada una de las aplicaciones lineales siguientes: a) f x x 2 = x 3 x + 2x 2 + x 3 x + 5x 2 x 3 x x 4 x b) f 2 x 3 = x x 3 x 4 x x 3 Encontrar una base del nucleo y otra de la imagen, para cada una de ellas x x c) f 2 x 3 = x 4 x 4 x x + x 2 x 2 x Sea T : IR 3 W la proyección ortogonal de IR 3 sobre el plano W que tiene por ecuación x + y + z = 0. Hallar una fórmula para T y calcular T (3, 8, 4).

7 52 Matemáticas I 5.4 Ejercicios 5.86 Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f(u) = f(v ) = u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker f = Sea T : IR 2 IR 3 la transformación lineal definida por T (x, x 2 ) = (x + 2x 2, x, 0). a) Encontrar la matriz de la aplicación T en las bases: B = u =(, 3), u 2 =( 2, 4) y B 2 = v =(,, ), v 2 =(2, 2, 0), v 3 =(3, 0, 0). b) Usar la matriz obtenida en el apartado anterior para calcular T (8, 3). ( ) ( ) ( ) a a 5.88 Sea f: M 2 2 M 2 2 definida por: f 2 2 a a = 2 y sean las a 2 a 22 0 a 2 a 22 bases ( B c (hace ) el ( papel) de( la canónica) ) ( y ) B de M 2 2 :( ) ( ) ( ) ( ) B c =,,, B =,,, a) Demostrar que f es lineal. b) Cuál será el tamaño de la matriz de f asociada a la base B c? Hallarla. c) Hallar el núcleo y la imagen de f así como sus dimensiones y bases. d) Hallar la matriz de f respecto de la base B Sea A = 6 2 la matriz de la aplicación lineal T : IR 4 IR 3 respecto de las bases: B = v = (0,,, ), v 2 = (2,,, ), v 3 = (, 4,, 2), v 4 = (6, 9, 4, 2) y B = w = (0, 8, 8), w 2 = ( 7, 8, ), w 3 = ( 6, 9, ). a) Hallar [T (v )] B, [T (v 2 )] B, [T (v 3 )] B y [T (v 4 )] B. b) Encontrar T (v ), T (v 2 ), T (v 3 ) y T (v 4 ). c) Hallar T (2, 2, 0, 0) Sea T : IR 2 IR 2 la aplicación lineal definida por ( ) ( ) x x + 7x T = 2. x 2 3x + 4x 2 Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base B, siendo B = u = (2, 2), u 2 = (4, ) y B = v = (, 3), v 2 = (, ). 5.9 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(a) = det(b) Probar que si A y B son matrices semejantes entonces A 2 y B 2 también lo son Dado el operador lineal T : IR 3 IR 3 tal que [T (x)] B = A[x] B siendo: 2 a A = 2a y B = u = (,, 0), u 2 = (0,, ), u 3 = (, 0, 0) a 2 a) Calcular los subespacios ker(t ) y Img(T ) según los valores de a. b) Hallar la matriz estándar de T Sean f: V W una aplicación lineal y S = v, v 2,..., v n un conjunto de vectores de V. Probar que si el conjunto f(v ), f(v 2 ),..., f(v n ) es linealmente independiente, entonces S es linealmente independiente. Es cierto el recíproco? Justificar la respuesta.

8 53 Matemáticas I 5.4 Ejercicios 5.95 Sea T : IR 3 IR 3 la aplicación lineal T x x 2 = x 3 λx + µx 2 + x 3 x + λµx 2 + x 3. Se pide: x + µx 2 + λx 3 a) Encontrar los valores de λ y µ para los cuáles la imagen de T sea IR 3. Quién es en ese caso el núcleo? b) Para λ =, encontrar una base del núcleo. c) Sea λ = y µ = 0. Se pide: (c.) Encontrar la matriz de T respecto de la base B = u = (, 0, ), u 2 = (0,, 0), u 3 = (4,, 2). (c.2) Dada la base B = v =(,, 2), v 2 =(,, 0), v 3 =(,, ), encontrar la matriz de paso de B a B. (c.3) Encontrar la matriz de T en la base B aplicando el teorema de semejanza Sea T : IR 3 IR 2 una aplicación lineal tal que: 0 x + 2y + z = 0 (i) ker(t ) = (ii) T 0 2x + y + z = 0 = ( ) 0 (iii) T ( ) 2 0 = a) Obtener una matriz asociada a T, indicando respecto a que bases. b) Calcular las ecuaciones paramétricas de la imagen del subespacio x + y + z = Sean B p = p, p 2, p 3, p 4 una base de P 3 [X] (polinomios de grado menor o igual a 3), B = v = (0,, 0), v 2 = (,, ), v 3 = (0, 0, ) una base de IR 3 y f: P 3 [X] IR 3 una aplicación lineal verificando: (i) f(p )=f(2p 2 +p 4 )=f(p 2 p 3 ) (ii) f(p 2 )=v +v 3 v 2 (iii) f(p 4 )=(3, 3, 2) a) Encontrar A p la matriz de la aplicación f en las bases B p y B. 0 b) Es 0 0 la matriz de paso, P c, de la base canónica de IR 3 a B? Justificar la 0 respuesta y, en caso negativo, hallar P c. c) Sea B q = q =X X 3, q 2 =X 2, q 3 = X, q 4 =X 2 +X otra base de P 3 [X] para la cuál, las matrices M qp = y A q = son respectivamente, la matriz de paso de B q a B p y la matriz de f en las bases B q y B. Con estos nuevos datos, cómo se puede comprobar que la matriz A p calculada antes es la correcta? d) Hallar bases de ker(f) e Img(f), obteniendo los vectores concretos que las forman. e) Probar que B 2 = w = (, 2, ), w 2 = (0,, ), w 3 = (2,, 0) es base de IR 3 y obtener la matriz de paso, P 2, de la base B 2 en la base B. f) A partir de las matrices anteriores, dar la expresión del cálculo de las matrices: A p2 de la aplicación f en las bases B p y B 2 M pq de paso de la base B p en la base B q A q2 de la aplicación f en las bases B q y B 2 g) Pueden conocerse los vectores que forman B p? Cómo?, de ser posible o, por qué no?