Álgebra Lineal - Exámenes

Transcripción

1 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 1 Álgebra Lineal - Exámenes Ejercicio n o 1 Constrúyase una función f que, dada una matriz, nos devuelva su primera fila, el elemento que ocupa el lugar (1,1) en la misma y el determinante de la matriz que resulta al multiplicar la matriz dada por su traspuesta. Ejercicio n o 2 Constrúyase una función f que, dada una matriz A, de orden n n y un vector v, de orden n 1, nos devuelva una matriz tal que su columna enésima coincida con v y el resto de columnas coincida con las de la matriz A. Ejercicio n o 3 Constrúyase una función f que, dados dos números naturales n y m cualesquiera, nos devuelva una matriz de orden n m tal que el elemento que ocupa el lugar (n, m) valga 100 y el resto de los elementos valgan 5. Ejercicio n o 4 Constrúyase una función que, dada una matriz cualquiera, calcule su inversa cuando ésta exista, y que muestre un mensaje indicando que la matriz no es inversible en caso contrario. Ejercicio n o 5 Constrúyase una función que, dada una matriz, nos devuelva su última fila y el producto de dicha matriz por su traspuesta. Ejercicio n o 6 3x +y +z 7t 10w = 10 14x +12y +9z +23t 7w = 3 a) Pruébese que es compatible e indeterminado. b) Calcúlese una solución particular del mismo. c) Resuélvase completamente.

2 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 2 Ejercicio n o 7 4x 11y +3z 6t +11w = 3 17x +12y +2z +22t +w = 13 Discútase y resuélvase completamente. Ejercicio n o 8 5x +5y 2z 2t = 6 5x 10y +7z +7t = 9 5x +z +t = 7 5x 3z 3t = 1 Discútase y resuélvase completamente. Ejercicio n o 9 Resuélvase el sistema: 5x 4y +3z 6t +2w = 4 2x +y z t +w = 6 x +2y +z t +3w = 19 2x y z +t w = 12 x 6y +z +t +4w = 4 Ejercicio n o 10 3x +y +z 7t 10w = 10 14x +12y +9z +23t 7w = 3 a) Calcúlese una solución particular del mismo utilizando el comando rref y analizando adecuadamente el sistema equivalente que se obtiene. b) Resuélvase completamente el sistema dado.

3 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 3 Ejercicio n o 11 a) Constrúyase una función, f, que dados una matriz A y un vector columna b, con el mismo número de filas que A, discuta el sistema AX = b. b) Discútase, utilizando la función anterior, el siguiente sistema 4x 11y +3z 6t +11w = 3 17x +12y +2z +22t +w = 13 y resuélvase completamente. Ejercicio n o 12 Constrúyase un fichero.m que dados los generadores de dos subespacios vectoriales, U1 y U2, y un vector v de R n cualesquiera, nos diga si v pertenece o no a la intersección de ambos subespacios. Ejercicio n o 13 Constrúyase un fichero.m tal que dados dos vectores cualesquiera de R 4 nos indique si forman o no un sistema generador del subespacio : V = {(x, y, z, t) R 4 x + y = 0, z + t = 0} Ejercicio 14 Constrúyase un fichero que, dado un vector v cualquiera de R 4, nos indique si pertenece o no al subespacio V = {(x, y, z, t) R 4 x + z + t = 0} Ejercicio n o 15 Constrúyase un fichero.m tal que, dados tres vectores cualesquiera de R 4, nos indique si forman o no un sistema generador del subespacio : V = {(x, y, z, t) R 4 x = 0} Ejercicio n o 16 Constrúyase, usando la estructura f or...end, una función ejercicio2 que, dado un número natural, n, devuelva la suma de los cubos de todos los números naturales desde el 1 hasta el n, y que, en el caso de que el usuario metiera un número no natural, de un mensaje de error explicativo.

4 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 4 Ejercicio n o 17 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal cuya matriz asociada en las bases canónicas de ambos A = a) Calcular una base del subespacio Imf. b) Siendo V = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = 0}, calcular una base del subespacio V + Imf. Ejercicio n o 18 Constrúyase un fichero.m que, dada la matriz asociada a una aplicación lineal, nos indique si ésta es suprayectiva o no. Ejercicio n o 19 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal cuya matriz asociada en las bases B 1 de R 3 y B 2 de R 4 es A = Sabiendo que la matriz asociada a f en las bases C 1 (base canónica) de R 3 y B 2 de R 4 es : B = calcúlense las coordenadas de los vectores de B 1 en la base canónica. Ejercicio n o 20 Dada f : R 5 R 4, aplicación lineal cuya matriz asociada en las bases canónicas de R 5 y de R 4, respectivamente, es la matriz de coeficientes del sistema anterior, calcúlese una base del subespacio f(v ), siendo. V = {(x, y, z, t, w) R 4 x = 0, y = 0}

5 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 5 Ejercicio n o 21 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal cuya matriz asociada en las bases canónicas de ambos A = a) Calcular una base del subespacio Imf. b) Siendo V = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = 0}, calcular una base del subespacio V + Imf. Ejercicio n o 22 Sea f : R 4 R 3 la aplicación lineal cuya matriz asociada en las bases canónicas de ambos A = a) Calcular una base del subespacio V + Kerf, siendo V el subespacio de R 4 engendrado por los vectores v 1 = (0, 0, 0, 1) y v 2 = ( 1, 1, 1, 1). b) Dada la base U de R 4 formada por los vectores: u 1 = ( 1, 1, 0, 0), u 2 = (0, 0, 1, 1), u 3 = (1, 0, 0, 1), u 4 = (0, 0, 1, 1) calcular la matriz asociada a f respecto de las bases U de R 4 y canónica de R 3. Ejercicio n o 23 Sea f : R 3 R 4 la aplicación lineal cuya matriz asociada en las bases canónicas de ambos A = a) Calcular una base del subespacio Imf. b) Siendo V = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z t = 0}, calcular una base del subespacio V + Imf.

6 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 6 Ejercicio n o 24 Constrúyase un fichero.m que, dada la matriz asociada a una aplicación lineal, nos indique si ésta es suprayectiva o no. Ejercicio n o 25 Constrúyase, usando la estructura f or...end, una función ejercicio2 que, dado un número natural, n, devuelva la suma de los cubos de todos los números naturales desde el 1 hasta el n, y que, en el caso de que el usuario metiera un número no natural, de un mensaje de error explicativo. Ejercicio n o 26 La evolución del peso de un niño en sus primeros cuatro años de vida ha sido la siguiente: Años Peso(Kg) a) Calcular la parábola y = at 2 + bt + c que mejor ajusta estos datos mediante mínimos cuadrados. b) Utilizando el apartado anterior, estimar el peso del niño cuando tenga 8 años. Ejercicio n o 27 Una empresa ha obtenido los siguientes datos que relacionan el número de agentes de ventas con las ventas anuales. N o de Agentes Ventas anuales (millones de euros) 2, 3 3, 2 4, 1 5 6, 1 7, 2 Sean x el número de agentes de ventas e y las ventas anuales(en millones de euros). a) Determínese la recta, y = ax + b, de mínimos cuadrados que relaciona x con y. b) Utilícese el apartado anterior para estimar las ventas anuales que habría si se contara con 14 agentes.

7 Álgebra Lineal Dpto. de Matemáticas (EPSI Gijón) Página 7 Ejercicio n o 28 Encontrar la recta y = at + b de mejor ajuste mediante mínimos cuadrados para los siguientes datos experimentales relativos a la posición de un ciclista respecto de la línea de partida. Tiempo en horas 0, 5 1 1, 5 2 Posición en Km Ejercicio n o 29 Cierto experimento relaciona dos cantidades x e y mediante la siguiente ecuación: y = ax 2 + bx + c donde a, b, y c son parámetros a determinar. Los datos experimentales son los siguientes: x 2 3 1, , 6 0, 7 4, 1 1, 9 5 y 0, 1 2, 7 1, 1 5, 5 3, 4 3 2, 8 4 1, 9 5, 5 Calcúlense a, b y c por el método de los mínimos cuadrados.