Valores propios y vectores propios Diagonalización

Transcripción

1 CAPÍTULO Valores propios y vectores propios Diagonalización Este capítulo consta de cuatro secciones Con el fin de dar una idea de lo que se hará en las dos primeras secciones, se considerará un espacio vectorial U y una transformación lineal T : U U Ahora; si existe una base ordenada = {u u u n} de U tal que [T ] es una matriz diagonal, es decir, λ 6 λ entonces [T ] = D = 6 T u i) = λ iu i; λ n i = n esto es, T u i) es un múltiplo escalar de u i Este hecho da información inmediata acerca de la transformación lineal T Por ejemplo, la imagen de T es el espacio generado por los vectores u i para los cuales λ i = y el núcleo de T es el espacio generado por los restantes vectores u i En la sección se responderán las preguntas: Para qué transformaciones lineales T existe una tal base? y si existe, Cómo encontrarla? Las respuestas a estas preguntas están directamente ligadas a los conceptos de valor propio y vector propio, los cuales serán abordados en la sección Se verá en esta sección, de que el cálculo de los valores propios y los vectores propios de una transformación lineal T se reduce al cálculo de los valores propios y los vectores propios de una cierta matriz A Por otro lado, en las secciones y se consideraran los conceptos de valor propio, vector propio y diagonalización de matrices simétricas, los cuales son particularmente importantes en la teoría y en aplicaciones del álgebra lineal Valores propios y vectores propios Un problema que se presenta con frecuencia en el álgebra lineal y sus aplicaciones es el siguiente: Dado un espacio vectorial U y dada una transformación lineal T : U U, encontrar valores de un escalar λ para los cuales existan vectores u = tales que T u) = λu Tal problema se denomina un problema de valores propios (la figura ilustra las posibles situaciones) En esta sección se verá cómo resolver dicho problema Definición Sean U un espacio vectorial y T : U U una transformación lineal Se dice que el escalar λ es un valor propio de T, si existe un vector u = de U tal que T u) = λu A dicho vector no nulo u se le llama un vector propio de T correspondiente al valor propio λ, o se dice que es λ-vector de T Nota Los valores propios se denominan también eigenvalores o valores característicos y los vectores propios se denominan también eigenvectores

2 Valores propios y vectores propios Diagonalización de matrices T(u)= λu u u u u T(u)= λu T(u)= λu T(u)= λ> <λ< λ< λ= Figura Interpretación geométrica de vector propio Ejemplo Calcule los valores propios de la transformación lineal T : R R, dada por T x y) = x x + y) De acuerdo con la definición anterior; el escalar λ es un vector propio T sii existe un vector u = x y) = de R tal que T [x y)] = x x + y) = λx y) lo que equivale a que exista un vector u = x y) = de R que satisfaga el sistema x = λx x + y = λy Ahora, si x =, entonces se tiene que λ = y por lo tanto y = x Esto quiere decir que todos los vectores de la forma u = x y) = x x); x R x = son -vectores propios de T En efecto: T [x x)] = x x) = x x) De otro lado, si x = y y = entonces λ = Esto quiere decir que todos los vectores de la forma u = x y) = y); y R y = son -vectores propios de T En efecto: T [ y)] = y) = y) La figura ilustra el ejemplo anterior En el ejemplo anterior observamos que a cada vector propio de T le corresponde un número infinito de vectores propios (todo un subespacio de U R sin el vector nulo) Esto es válido en general, tal como se establece en la proposición siguiente Proposición Sean U un espacio vectorial, T : U U una transformación lineal y λ un valor propio de T El conjunto Sλ) de todos los λ-vectores propios de T junto con el vector, es un subespacio de U Demostración De acuerdo con la definición de transformación lineal, así como de vector y valor propio se tiene: Si u Sλ) y u Sλ) entonces Esto es, u + u Sλ) T u + u ) = T u ) + T u ) = λu + u )

3 Diagonalización de matrices Valores propios y vectores propios y, T(u ) = (, y), u = (, y) u = (x, x) x T(u) = (x, x) Figura Vectores propios de T x y) = x x + y) Si u Sλ) y α R entonces Esto es, αu Sλ) T αu) = αt u) = λα u) De acuerdo con el teorema, Sλ) es un subespacio vectorial de U Definición Sean U un espacio vectorial, T : U U una transformación lineal y λ un valor propio de T El subespacio de U Sλ) mencionado en el teorema anterior, se denomina espacio propio asociado al valor propio λ La dimensión de Sλ) se denomina multiplicidad geométrica del valor propio λ Nota Sean U un espacio vectorial, T : U U una transformación lineal, una base ordenada para U y A = [T ] la matriz de la transformación T referida a la base Entonces para cada u U se tiene [T u)] = A [u] ver teorema ) En particular, u es un λ-vector propio de T si y sólo si u = y A [u] = [T u)] = [λu] = λ [u] Esto es, u es un λ-vector propio de T si y sólo si u = y A [u] = λ [u] Por esta razón, y porque resulta en otros contextos, consideramos a continuación los conceptos particulares de valor propio y vector propio de una matriz cuadrada A 6 Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n Se dice que el escalar λ es un valor propio de A, si existe un vector n, x = tal que Ax = λx Si λ es un valor propio de A y si el vector n, x = es tal que Ax = λx Entonces se dice que x es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ, o que x es un λ-vector de A En el caso especial de la transformación lineal; A : R n R n ; x y = Ax esta la definición anterior concuerda con la definición (véase la sección ) De otro lado, según la definición anterior y la nota, se puede entonces enunciar el siguiente teorema Teorema Sean U un espacio vectorial, T : U U una transformación lineal, B una base ordenada para U y A = [T ] λ es un valor propio de T sii λ es un valor propio de A

4 Valores propios y vectores propios Diagonalización de matrices u U es un λ-vector propio de T sii x = [u] BB es un λ-vector propio de A Dicho teorema garatiza entonces, que el cálculo de los valores y vectores propios de una transformación lineal se reduce al cálculo de los valores y vectores propios de una cierta matriz A En lo que sigue, se verá cómo calcular los valores y vectores propios de una matriz Sea A una matriz n n Por definición, el escalar λ es un valor propio de A sii existe un vector n x = tal que Ax = λx lo cual equivale a que el sistema homogéneo de ecuaciones lineales A λi)x = tenga una solución no trivial x = Ahora por el teorema 6 del capítulo, el sistema de ecuaciones lineales A λi)x = tiene una solución x = sii A λi = En consecuencia, el escalar λ es un valor propio de A sii a λ a a a n a a λ a a n p Aλ) = A λi = a a a λ a n = a n a n a n a nn λ La expresión p Aλ) = A λi es un polinomio en λ de grado n (ejercicio ), el cual se puede escribir en la forma: p Aλ) = A λi = a + a λ + a λ + + a n λ n + ) n λ n En el caso particular de matrices se tiene además (ejercicio 6), de que el polinomio característico está dado por p Aλ) = A λi = λ + TrA)λ m + m + m )λ + deta) siendo m ii, (i = ) los menores principales de la matriz A (definición??) 8 Definición Sea A una matriz cuadrada El polinomio característico de A está dado por p Aλ) = A λi La ecuación característica de A está dada por p Aλ) = A λi = El siguiente teorema resume buena parte de la discusión anterior 9 Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n El escalar λ es un valor propio de A sii λ es una solución (real) de la ecuación característica de A A tiene a lo más n valores propios (reales) [?] Definición Sea A una matriz cuadrada y λ un valor propio de A La multiplicidad algebraica de λ es k si λ es una raíz del polinomio característico de A de multiplicidad k El siguiente algoritmo, recoge entonces un esquema para calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz A Paso Se determina el polinomio característico p Aλ) = A λi Paso Se resuelve la ecuación característica p Aλ) = A λi = Las soluciones (reales) de ésta, son los valores propios de A Aunque uno puede estudiar espacios vectoriales donde los escalares son números complejos, en estas notas sólo consideramos los valores propios de como escalares reales, salvo que se exprese lo contrario No sobra mencionar, que en cursos avanzados de espacios vectoriales, la única restricción para los escalares es que sean elementos de un sistema matemático llamado cuerpo o campo El teorema fundamental del álgebra establece que toda ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raí ces complejas, contadas con sus multiplicidades

5 Diagonalización de matrices Valores propios y vectores propios Paso Para cada valor propio λ de la matriz A, se resuelve el sistema de ecuaciones A λ I)x = Las soluciones no nulas de este sistema son los λ vectores propios de A Ejemplo Determine los valores propios y vectores propios de la matriz A = Se determina inicialmente, el polinomio característico de A p Aλ) = A λi Para ello se desarrolla el determinante A λi por cofactores por la primera fila (véase el teorema ) λ p Aλ) = A λi = λ λ = λ) λ λ λ λ = λ)λ λ + ) λ) λ + ) = λ)λ λ + ) = λ) λ ) De aquí se tiene, que λ = ó λ = son las soluciones de la ecuación característica p Aλ) = A λi = λ = y λ = so pues los valores propios de A con multiplicidades algebraicas k = y k = respectivamente Ahora se calculan los vectores propios de A Los vectores propios de A son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales A I)x = Dicho sistema se resuelve usando el método de eliminación de Gauss-Jordan (véase el teorema ) A I = = R Donde R es la forma escalonada reducida de la matriz A I (Teorema 8) Las soluciones del sistema A I)x = son, por lo tanto, los vectores de la forma: x x x = x = x = x x R x x En consecuencia, 8 < U λ = U = : 9 = ; es una base para Sλ ) = S) y la multiplicidad geométrica del valor propio λ = es De otro lado, los vectores propios de A son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales A I)x = Procediendo como en el cálculo anterior, se tiene: A I = = R Donde R es la forma escalonada reducida de la matriz A I Las soluciones del sistema A I)x =

6 Valores propios y vectores propios Diagonalización de matrices son los vectores de la forma: En consecuencia, x = x x x = x x = x 8 < U λ = U = : 9 = ; x R es una base para Sλ ) = S) y la multiplicidad geométrica del valor propio λ = es En el ejemplo anterior, la multiplicidad geométrica del valor propio λ = es menor que su correspondiente multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica del valor propio λ = es igual que su correspondiente multiplicidad algebraica (ver el ejercicio de la sección de ejercicios ) Ejemplo Calcule los valores y vectores propios de la matriz» A = Para ello se encuentra el polinomio característico de A p Aλ) = A λi p Aλ) = A λi = λ λ = λ + y se resuelve la ecuación característica de A p Aλ) = A λi = p Aλ) = λ + = λ + i)λ i) sii λ = i ó λ = i Puesto que las soluciones de la ecuación característica de A no son reales, entonces A no tiene valores propios y por lo tanto no tiene vectores propios, en el sentido considerado en este texto Ejemplo Sea T : P P la transformación lineal definida por: T ˆa + bx + cx = a + b c) + a + b c)x + a + b)x Determine los valores y los vectores propios de la transformación Sea = x x la base canónica de P, se tiene entonces que: [T ] = A = De acuerdo con el teorema (); los valores propios de la transformación lineal T son los valores propios de la matriz A los cuales son, según el ejemplo λ = y λ = De otro lado, del ejemplo se sabe que U λ = {x } es una base de Sλ ) y que U λ = {x } es una base de Sλ ), donde x = y x = Como se estableció en el teorema (), estos son respectivamente, los vectores de coordenadas respecto a la base (véase apartado ) de los vectores de P ; u = + x + x y u = x + x 6

7 Diagonalización de matrices Valores propios y vectores propios En consecuencia; U λ = {u } = + x + x es una base del espacio de vectores propios de T correspondientes al valor propio λ = y U λ = {u } = x + x es una base del espacio de vectores propios de T correspondientes al valor propio λ = Terminamos esta sección con dos resultados que involucran matrices semejantes El primero de ellos relaciona los polimomios característicos de matrices semenjantes y el segundo relaciona los vectores propios de dichas matrices Teorema Si A y B son matrices semejantes, entonces los polinomios caracterí sticos de A y B son iguales, y por consiguiente, las matrices A y B tienen los mismos valores propios Demostración Si A y B son matrices semejantes, entonces existe una matriz invertible P tal que B = P AP De aquí: p Bλ) = B λi = P AP λp P = P A λi)p = P A λi P = P P A λi = A λi = p Aλ) Nota El converso del teorema anterior no es cierto; o sea, si A y B son matrices con el mismo polinomio característico, no necesariamente A y B son matrices semejantes Para mostrar esto, basta considerar el siguiente ejemplo 6 Ejemplo Las matrices» A =» y B = tienen el mismo polinomio característico; explí citamente se tiene que p Aλ) = p Bλ) = λ ) Sin embargo, A y B no son matrices semejantes, pues para cualquier matriz invertible P de orden se tiene que: P AP = P IP = P P = I = B Proposición Si A y B = P AP son matrices semejantes, entonces x es un λ vector propio de A sii P x es un λ vector propio de B Demostración Por definición se tiene Ax = λx AIx = λx AP P x = λx P AP P x = λp x Tomando B = P AP se tiene entonces que: x = es un λ-vector propio de A si y sólo si P x = es un λ-vector propio de B = P AP

8 Valores propios y vectores propios Diagonalización de matrices Ejercicios En los ejercicios al, responda verdadero o falso, justificando su respuesta: El Polinomio pλ) = +λ λ +λ puede ser el polinomio característico de una matriz A Si pλ) = λ + λ λ + es el polinomio característico de una matriz A, entonces A = x = es un vector propio de M = 6 6 λ = es un valor propio de la matriz M anterior Sea A una matriz cuadrada de orden n Si C es una matriz cuadrada de orden n invertible, entonces las matrices A C AC y CAC tienen el mismo polinomio característico 6 Si la matriz A satisface la igualdad: A = A I entonces los posibles valores propios de A son λ =, λ = En los ejercicios al demuestre la afirmación correspondiente Si λ es un valor propio de A, entonces λ n es un valor propio de A n n = 8 Si x es un vector propio de A, entonces x es un vector propio de A n n = 9 λ = es un valor propio de una matriz A sii A = Si A es una matriz invertible y λ es un valor propio de A, entonces λ es un valor propio de A Si A y C son matrices cuadradas de orden n y si C es invertible entonces las matrices A A T C AC, CAC C A T C y CA T C tienen el mismo polinomio característico Si T es una matriz triangular superior, entonces los valores propios de T son los elementos de la diagonal principal de T Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces AB y BA tienen los mismos valores propios (sugerencia: Analice los casos λ = es un valor propio de AB y λ = es un valor propio de AB) Sean λ λ λ n los diferentes valores propios de una matriz A y sean β β β m son los diferentes valores propios de una matriz B, entonces los diferentes valores propios de una matriz de la forma» A C M = B son λ λ λ n, β β β m Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces p Aλ) = A λi es un polinomio de grado n en la variable λ que tiene la forma: p Aλ) = a + a λ + a λ + + ) n λ n (Sugerencia: usar inducción sobre n) 6 Si A es una matriz cuadrada de orden, entonces el polinomio característico de A, p Aλ) = A λi, tiene la forma p Aλ) = A λi = λ + TrA)λ m + m + m )λ + deta) siendo m ii (i = ) los menores principales de la matriz A (Sugerencia: plantee una matriz general A = a ij) y use las definiciones correspondientes) Para cada una de las siguientes matrices: encuentre el polinomio característico, los varolres propios y los correspondientes espacios propios asociados 8

9 Diagonalización de matrices Diagonalización» i) M =» iii) M = v) M = 6 6 vii) M = ix) M = 6» ii) M =» iv) M = vi) M = viii) M = x) M = Diagonalización En esta sección se responderan las preguntas siguientes: Dado un espacio vectorial U y dada una transformación lineal T : U U Existe una base de U tal que [T ] es una matriz diagonal? y si existe cómo encontrar una tal base? Como se estableció en el teorema 8(), si T : U U es una transformación lineal, y son bases ordenadas de U A = [T ] y P = [I], entonces D = [T ] = P AP esto es, las matrices A y D son semejantes Esta consideración permite formular las preguntas anteriores en términos de matrices, así: Dada una matriz cuadrada A, Existe una matriz diagonal D semejante a la matriz?, en otros términos, existirá una matriz invertible P tal que P AP = D sea una matriz diagonal? y si existe cómo encontrar una tal matriz P? 8 Definición Sea A una matriz cuadrada Se dice que A es diagonalizable si A es semejante a una matriz diagonal 9 Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n Si existen n vectores propios de A linealmente independientes, entonces A es diagonalizable; esto es, existe una matriz invertible P tal que P AP = D es una matriz diagonal Además, los vectores columna de P son los vectores propios de A y los elementos de la diagonal de D son los correspondientes valores propios de A Demostración Sean λ λ λ n los n valores propios de A los cuales no son necesariamente diferentes y sean x x x n, vectores propios de A linealmente independientes, correspondientes respectivamente a cada uno de dichos valores propios Sea ahora P la matriz cuya j ésima columna es el vector propio x j j = n, la cual particionamos como sigue: P = ˆ x x x n Puesto que las columnas de P son linealmente independientes, entonces P es invertible (teorema 6) 9

10 Diagonalización Diagonalización de matrices Ahora, AP = A ˆ x x x n = ˆ ˆ Ax Ax Ax n = λx λ x λ nx n λ = ˆ λ x x x n 6 λ = P D Donde D es la matriz diagonal indicada arriba Por lo tanto, P AP = D y el teorema queda demostrado El recí proco de este resultado también es válido y está dado por el siguiente teorema La demostración se deja como ejercicio Teorema Sea A una matriz cuadrada de orden n Si A es diagonalizable, es decir, si existe una matriz invertible P tal que P AP = D es una matriz diagonal, entonces existen n vectores propios de A linealmente independientes Además, los vectores columna de P son vectores propios de A y los elementos de la diagonal de D son los correspondientes valores propios de A Ejemplo Verifique que la matriz A = es diagonalizable y encuentre una matriz invertible P tal que P AP = D sea una matriz diagonal Para tal fin, veamos que A tiene vectores propios linealmente independientes En efecto: El polinomio característico de A está dado por λ p Aλ) = A λi = 6 λ 6 6 λ = λ ) λ ) La ecuación característica de A p Aλ) = A λi = tiene entonces como solución a λ = (de multiplicidad ) y a λ = (de multiplicidad ) Estos escalares son pues, los valores propios de A El paso siguiente es determinar los vectores propios asociados: Los -vectores propios de A son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones A I)x = y los -vectores propios de A son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones A I)x = Es decir, se debe resolver sistemas homogéneos de ecuaciones cuyas matrices de coeficientes son respectivamente: A I = y A I = Es fácil verificar que las soluciones del sistema homogéneo A I)x = son los vectores de la forma x x x x = x = x x x = x + x x x R

11 Diagonalización de matrices Diagonalización en consecuencia, es una base para Sλ ) = S) 8 < U λ = U = : 9 = ; De otra parte, se encuentra que las soluciones del sistema A I)x = son los vectores de la forma x x x = x = x = x x R x x En consecuencia, es una base para Sλ ) = S) Ahora, los vectores x = 8 < U λ = U = : x = 9 = ; y x = son vectores propios de A correspondientes a los valores propios y, respectivamente, y son linealmente independientes como se comprueba fácilmente De acuerdo con el teorema 9, la matriz A es diagonalizable Por otro lado, según la demostración del teorema, la matriz P = ˆ x x x = es invertible y es tal que: Ejemplo La matriz del ejemplo, P AP = D = A = no es diagonalizable, pues vimos en dicho ejemplo, que la matriz A tiene dos valores propios: λ = y λ =, y que < = < = U = y U = : ; : ; son bases para los espacios propios asociados, respectivamente Así que A sólo tiene dos vectores propios linealmente independientes Teorema Si λ λ λ k son los valores propios diferentes de una matriz A y si x x x k son vectores propios de A correspondientes a los valores propios λ λ λ k, respectivamente, entonces C = {x x x k} es un conjunto linealmente independiente

12 Diagonalización Diagonalización de matrices Demostración La demostración se hará utilizando inducción sobre el número k de vectores del conjunto C Si C = {x }, entonces C es linealmente independiente, pues x = El teorema es cierto para cuando k = En efecto: Si () α x + α x = premultiplicando () por el escalar λ se obtiene: () λ α x + λ α x = De otra parte; premultiplicando () por la matriz A se llega a: () λ α x + λ α x = Restando () de () se obtiene: λ λ )α x = Puesto que x = entonces λ λ )α = Dado que λ = λ se tiene entonces que α = Reemplazando este valor de α en () se llega a que α x = pero x = entonces α = Suponga ahora que el teorema es cierto para cuando k = j y verifique que el teorema es cierto para cuando k = j+ Si () α x + α x + + α jx j + α j+x j+ = premultiplicando () por el escalar λ j+ se obtiene: () λ j+α x + λ j+α x + + λ j+α jx j + λ j+α j+x j+ = De otra parte; premultiplicando () por la matriz A se llega a: (6) λ α x + λ α x + + λ jα jx j + λ j+α j+x j+ = Restando (6) de () se obtiene: Por hipótesis de inducción se tiene λ j+ λ )α x + λ j+ λ )α x + + λ j+ λ j)α jx j = λ j+ λ )α = λ j+ λ )α = = λ j+ λ j)α j = De otro lado, por hipótesis del teorema los escalares λ λ j λ j+ son diferentes, entonces se obtiene que α = α = = α j = Reemplazando estos valores en se llega a que α j+x j+ = pero x j+ = entonces α j+ = El teorema queda entonces demostrado La prueba del siguiente corolario es consecuencia inmediata de los teoremas y 9 Corolario Sea A una matriz cuadrada de orden n Si A posee n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable Ejemplo La matriz A = 6 es diagonalizable En efecto, la ecuación característica de A es: p Aλ) = A λi = ) λ )λ )λ 6) = De esto se sigue que A tiene tres valores propios distintos, a saber: λ = λ = y λ = 6

13 Diagonalización de matrices Diagonalización De acuerdo con los teoremas 9 y, dada la matriz cuadrada A de orden n; existe una matriz invertible P tal que P AP = D es una matriz diagonal sii A tiene n vectores propios linealmente independientes Además, si existe una tal matriz P, los vectores columna de P son vectores propios de A y los elementos de la diagonal de D son los valores propios de A Quedan así contestadas las preguntas propuestas al comienzo de esta sección sobre la diagonalización de matrices El siguiente teorema responde a las preguntas sobre diagonalización pero formuladas en el contexto de las transformaciones lineales 6 Teorema Sea U un espacio de dimensión n y sea T : U U una transformación lineal Existe una base ordenada de U tal que [T ] = D es una matriz diagonal sii T tiene n vectores propios linealmente independientes Además, si = {u u u n} es una base ordenada de U tal que λ 6 λ [T ] = D = 6 λ n es una matriz diagonal, entonces u i es un λ i-vector propio de T, o sea T u i) = λ iu i i = n Demostración Puesto que las matrices asociadas a transformaciones lineales y referidas a bases arbitrarias son semejantes, y puesto que el polinomio característico de matrices semejantes es el mismo (ver teorema ), se puede considerar una base arbitraria para U Sea pues A = [T ] la matriz de la transformación T referida a dicha base, Existe una base ordenada de U tal que D = [T ] = [I] A [I] es una matriz diagonal sii A es semejante a una matriz diagonal Ahora por los teoremas 9 y ; A es semejante a una matriz diagonal si y sólo si A tiene n vectores propios linealmente independientes, lo cual equivale a que T tenga n vectores propios linealmente independientes (ver el apartado ) Además, si = {u u u n} es una base ordenada de U tal que λ λ [T ] = D = 6 λ es una matriz diagonal, entonces, de acuerdo con la definición de la matriz [T ] T u i) = λ iu i ; o sea, u i es un λ i-vector propio de T, i = n Ejemplo Considere la transformación lineal T : P P definida por: T ˆa + bx + cx = a b + c) + 6a + b 6c)x + 6a + b c)x Encuentre una base ordenada de U = P tal que [T ] = D es una matriz diagonal Sea = { x x²} la llamada base canónica de P entonces: A = [T ] = que es la matriz del ejemplo De dicho ejemplo se sabe que x = x = y x =

14 Diagonalización Diagonalización de matrices son vectores propios linealmente independientes de A, correspondientes respectivamente a los valores propios y Tales vectores x x y x son los correspondientes vectores de coordenadas, respecto a la base, de los vectores u u y u de P para u = + x; u = + x y u = + x + x Ahora, los valores propios de T son los valores propios de A (ver teorema ), esto es, los diferentes valores propios de T son λ = y λ = De otro lado, por lo establecido en el apartado, u u y u son vectores propios de T linealmente independientes, correspondientes a los valores propios y, respectivamente En consecuencia, de acuerdo con el teorema anterior, = {u u u } es una base para P tal que: [T ] = D = Como se ha visto, dada una matriz cuadrada A de orden n existe una matriz invertible P tal que P AP = D es una matriz diagonal sii existen n vectores propios de A linealmente independientes En el caso en que A no posea n vectores propios linealmente independientes, es posible, bajo cierta condición, que A sea semejante a una matriz triangular superior T ; es decir, que A sea semejante a una matriz T = [t ij] n n para la cual t ij = si i > j El siguiente teorema explicita esta afirmación 8 Teorema Sea A una matriz cuadrada (real) de orden n Todas las soluciones de la ecuación característica de A son reales sii existe una matriz invertible P (real) tal que P AP = T es una matriz triangular superior Además, si existe una tal matriz P, entonces los elementos de la diagonal de T son los valores propios de A Demostración = ) La demostración en este sentido se hará, utilizando inducción sobre el orden n de la matriz A Para cuando n = la implicación es verdadera En efecto, de la hipótesis se sigue que A tiene dos valores propios (reales) los cuales no son necesariamente distintos Sea λ un valor propio de A Existe por lo tanto un vector x = tal que Ax = λ x Por el teorema(), existe un vector x = tal que = {x x } es una base para Ahora, la matriz P = [ x x ] es invertible; escribamos a P particionada por filas así:» P y = y y entonces se tiene que» P y AP = y es una matriz triangular superior y A ˆ» λ yax x x = y Ax = T Supongamos ahora que la implicación es verdadera para cuando n = j y demostremos que ésta es verdadera cuando n = j j Sea A una matriz cuadrada de orden j para la cual todas las soluciones de su ecuación característica son reales De ésto se sigue que A tiene j valores propios (reales) los cuales no son necesariamente distintos Sea λ un valor propio de A Existe por lo tanto un vector j x = tal que Ax = λ x Por el teorema (), existen j vectores x x x j de j tales que = {x x x x j} es una base para j Ahora por el teorema 6, la matriz P = ˆ x x x j = ˆ x M es invertible Escribamos la inversa P así:» P y = y N j y N j ) j

15 Diagonalización de matrices Diagonalización Entonces se tiene P AP =» y N es una matriz triangular superior por bloques A ˆ x M» λ y AM = NAM» λ B = C Ahora, las matrices A y T tienen el mismo polinomio característico (teorema ): p Aλ) = p λ) = λ λ) C λi = T De ésto se sigue, que todas las soluciones de la ecuación característica de la matriz cuadrada de orden j, C, son reales Por hipótesis de inducción, existe una matriz invertible Q tal que Q CQ = T es una matriz triangular superior Sea ahora:» P = Q entonces se tiene que la matriz invertible P = P P es tal que»»» P AP = P P λ B AP P = Q C Q es una matriz triangular superior =» λ BQ Q CQ» λ BQ = T = T La demostración de la otra implicación y de la segunda afirmación del teorema quedan como ejercicio para el lector 9 Ejemplo Todas las soluciones de la ecuación característica de la matriz del ejemplo A = son reales, pues: p Aλ) = λ ) λ ) = sii λ = ó λ = De otro lado, como lo establecimos en el ejemplo, la matriz A no es diagonalizable, pues A sólo posee dos vectores propios linealmente independientes En particular: x = y x = son vectores propios linealmente independientes correspondientes a los valores propios λ = y λ =, respectivamente Por el teorema anterior, existe una matriz invertible P tal que P AP = T es una matriz triangular superior Para encontrar una tal matriz P, basta proporcionar un vector x tal que = {x x x } sea una base para ; el vector x = sirve para tal efecto Ahora bien, la matriz P = ˆ x x x =

16 Diagonalización Diagonalización de matrices es invertible y es tal que P AP = T = es una matriz triangular superior De acuerdo con el teorema anterior, si A es una matriz cuadrada (real) cuyos valores propios no son todos reales entonces, no puede existir una matriz invertible P (real) tal que P AP = T sea una matriz triangular superior Ahora bien, como se ha mencionado se pueden estudiar espacios vectoriales donde los escalares sean números complejos (ver piés de página de la página ) y se pueden obtener resultados más generales En particular, se tiene que para toda matriz cuadrada A (real o compleja) existe una matriz invertible P (real o compleja) tal que P AP = T sea una matriz triangular superior Este resultado se tiene, gracias a la propiedad importante del sistema de los números complejos que establece, que todo polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces reales o complejas, contadas sus multiplicidades En el teorema siguiente se establece este resultado sin demostración Quien desee estudiar sobre éste, puede consultar las secciones y 6 de [] Teorema Para toda matriz cuadrada A (real o compleja) existe una matriz invertible P (real o compleja) tal que P AP = T es una matriz triangular superior Además, los elementos de la diagonal de T son las soluciones de la ecuación característica de A Ejemplo Considere la matriz (real) La ecuación característica de A es A = p Aλ) = A λi = λ )λ + ) = λ )λ i)λ + i) = De esto se sigue que A sólo tiene un valor propio real, a saber, λ = En este caso no es posible que exista una matriz invertible P (real) tal que P AP = T sea una matriz triangular superior Sin embargo, en el contexto de los espacios vectoriales donde los escalares son números complejos, se puede decir, que A tiene tres valores propios complejos λ = λ = i y λ = i Efectuando, en este contexto, los cálculos pertinentes, se encuentra que x = x = i y x = son tres vectores propios complejos de A linealmente independientes correspondientes a los valores propios complejos λ = λ = i y λ = i respectivamente Así que la matriz compleja: P = ˆ x x x = 6 i i i

17 Diagonalización de matrices Diagonalización es invertible y es tal que P AP = = i/ i/ i/ i/ i i = D es una matriz diagonal, y por lo tanto, es una matriz triangular superior Ejercicios En los ejercicios al responda verdadero o falso, justificando su respuesta: i i Si una matriz cuadrada A es diagonalizable, entonces existen infinitas matrices invertibles P tales que P AP = D es una matriz diagonal Si A es una matriz con valores propios λ = λ = y λ = entonces A es diagonalizable, det A = 6 y TrA) = Si A es una matriz invertible y λ es un valor propio de A entonces λ = y /λ)es un valor propio de A En los ejercicios al demuestre la afirmación correspondiente Sea A n n tal que p Aλ) = ) n λ λ )λ λ ) λ λ n), Demuestre que: (i) A = λ λ λ n y (ii) Tr A = λ + λ + + λ n Sea A una matriz cuadrada n n tal que nx a ii > a ij j=ij= para todo i = n, entonces A es invertible (Sugerencia: suponga que existe un vector x = [ x x x n ] T = tal que Ax = y que x i = máx{ x x x n } Despeje a iix i en la i-ésima ecuación del sistema Ax =, tome valor» absoluto y llegue a una contradicción) A C 6 Sean A n n; B m m; C n m y M = B a) Describa el conjunto de valores propios de M en términos de los valores propios de A y de B (Sugerencia: calcule p Aλ) = detm λi)) b) Demuestre que si x es un λ-vector propio de A entonces x = de M Si A es una matriz n n tal que A = ma entonces Tr A = mρa)» x es un λ-vector propio (Sug: considere (i) ρa) = (ii) ρa) = n y (ii) < ρa) < n, use el teorema 8) 8 Considere cada una de las matrices M del problema de la sección de ejercicios Encuentre, si es posible, una matriz invertible P tal que P MP sea una matriz diagonal 9 Sea T : P P la transformación lineal definida por T [a + bx + cx ] = a b + c) + a + b c)x + a + b c)x a) Calcule los valores propios y los vectores propios b) Dé, si existe, una base ordenada C de P tal que [T ] CC sea una matriz diagonal

18 Matrices simétricas Diagonalización de matrices Diagonalización de matrices simétricas En esta sección se limitará el estudio de los conceptos de valor propio, vector propio y diagonalización a matrices simétricas Dos resultados importantes que se verán en esta sección son los siguientes: (i) Todas las soluciones de la ecuación característica de toda matriz simétrica (real) son reales, y (ii) Toda matriz simétrica (real) es diagonalizable, y más aún, diagonalizable en una forma especial Como se verá en el capítulo, los valores propios de una matriz simétrica se utilizan como criterio para decidir cuándo una forma cuadrática es positivamente (negativamente) definida (semidefinida) o indefinida Como se estableció al final de la sección anterior, uno puede estudiar espacios vectoriales donde los escalares son números complejos únicamente en la demostración del teorema, se utilizarán los hechos siguientes que involucran números complejos El conjugado del número complejo z = a + bi a b R, se denota por z y se define así: z = a bi Un número complejo z es real sii z = z La matriz conjugada de la matriz compleja n n, A, se de nota por A y cuyos componentes son A ij = A ij i j = n Para todo vector complejo n x, se tiene: x T x = x T x y x T x = sii x = Para toda matriz cuadrada A con componentes complejas; A = sii existe un vector x = con componentes complejas, tal que Ax = Teorema Sea A una matriz (real) cuadrada de orden n Si A es una matriz simétrica, entonces todas las soluciones de la ecuación característica de A: p Aλ) = A λi = son reales Esto es, A tiene n valores propios (reales) los cuales no son necesariamente diferentes Demostración Si p Aλ) = A λi = entonces por (), existe un vector x = tal que: () Ax = λx de esto se sigue que, (ver () y ()): () Ax = λx Ahora, premultiplicando () por x T y () por x T se tiene () x T Ax = λx T x y x T Ax = λx T x puesto que x T Ax = x T Ax) T = x T A T x = x T Ax de () se sigue que: () λx T x = λx T x De () se tiene que x T x = x T x por lo tanto, de () se concluye que : λ λ)x T x = Ya que x =, de () se tiene que λ λ) = o sea, λ = λ en consecuencia, por (), λ es un número real En lo que resta de estas notas, no se hará más referencia al sistema de números complejos El teorema establece que, para cada matriz cuadrada A, los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son linealmente independientes Para matrices simétricas se tiene un resultado más fuerte Este resultado se establece en el teorema siguiente 8

19 Diagonalización de matrices Matrices simétricas Teorema Si λ λ λ k son los valores propios diferentes de una matriz simétrica A y si x x x k son vectores propios de A correspondientes a los valores propios λ λ λ k, respectivamente, entonces el conjunto de vectores C = {x x x k} es ortogonal Demostración Se debe demostrar que x i; x j = x T i x j = si i = j para i j = k Por la hipótesis se tiene que: () Ax i = λ ix i y (6) Ax j = λ jx j Ahora, premultiplicando () por x T j y a (6) por x T i se obtiene () x T j Ax i = λ ix T j x i y x T i Ax j = λ jx T i x j puesto que x T j Ax i = x T j Ax i) T = x T i A T x j = x T i Ax j de () se sigue que: (8) λx T j x i = λ jx T i x j Ya que x T j x i = x T i x j de (8) se concluye que: λ i λ j)x T i x j = Ahora bien, los valores propios son distintos, entonces x T i x j =, si i = j i j = k Definición Se dice que una matriz cuadrada P es ortogonal, si P es invertible y P = P T Ejemplo La matriz es ortogonal, pues: P P T = P = P = = = I 6 Proposición Una matriz P = ˆ x x x n es ortogonal sii el conjunto = {x x x n} constituye una base ortonormal de n Demostración La matriz P = ˆ x x x n es ortogonal sii P T P = I Ahora bien, P T P = 6 x T x T [x x x n] = 6 x T x x T x x T x n x T x x T x x T x n x T n x T n x x T n x x T n x n Es fácil entonces observar, que P T P = I si y sólo si se cumple que: ( x T si i = j i x j = ; i j = n si i = j lo cual equivale a que = {x x x n} es una base ortonormal de n (ver sección ) 9

20 Matrices simétricas Diagonalización de matrices Teorema Si λ es un valor propio de una matriz simétrica, entonces las multiplicidades algebraica y geométrica de λ son iguales Demostración Sea A una matriz simétrica de orden n y sea λ un valor propio de A Supongamos que la multiplicidad geométrica de λ es r Por el teorema, existe una base ortonormal = {x x x r} del espacio de vectores propios asociados a λ Sλ ) Si r = n la matriz P = [ x x x n] es ortogonal (proposición 6), y de acuerdo con el teorema 9, P T AP = P AP = D = λ I Ahora, las matrices A y D tienen igual polinomio característico: p Aλ) = p Dλ) = λ I λi = λ λ) n De esto se sigue que λ es un valor propio de A con multiplicidad algebraica r = n De otra parte, si r < n, existen n r vectores y y y n r de n tales que = {x x r y y n r} es una base ortonormal de n (teorema ) Por la proposición 6, la matriz P = ˆ x x x r y y y n r = ˆ X Y es ortogonal Considere ahora la matriz T = P T AP = P AP es decir, la matriz: T = = =» X T Y T A ˆ X Y» λ I X T AY Y T AY» λ I B C Puesto que A es simétrica, T T = P T AP ) T = P T A T P = P T AP = T o sea» λ I B C» λ I = B C T por lo tanto B = y» λ I T = C Puesto que las matrices A y T son semejantes, entonces tienen el mismo polinomio característico: p Aλ) = p T λ) = T λi = λ λ) r C λi De esto se sigue, que λ es un valor propio de A con multiplicidad algebraica k r Veamos que k = r Si k > r entonces se debe tener que C λ I = y por lo tanto existe un vector n r) w = tal que Cw = λ w

21 Diagonalización de matrices Matrices simétricas Considere ahora el vector no nulo u n dado por u = P u = P» w» w Es decir, = [x x x r y y y n r] 6 = w y + w y + w n ry n r Esto es, el vector u y y y n r y u / x x x r De otro lado, el vector u, es un λ -vector propio de A En efecto,»»» λ I Au = P P T λ I P = P C w C»» = P = P Cw λ w» = λ P = λ u w w w w n r» w Esto indica, que B = {x x x r u r+} es un conjunto de r + vectores propios linealmente independientes correspondientes al valor propio λ, lo cual contradice el hecho de que la multiplicidad geométrica de λ sea r 8 Teorema Si A es una matriz simétrica de orden n entonces A tiene n vectores propios ortogonales, y por tanto, linealmente independientes Demostración Sean λ λ λ k los diferentes valores propios de A Supongamos que la multiplicidad algebraica de λ i es m i m i = k; esto es, supongamos que donde m + m + + m k = n p Aλ) = ) n λ λ ) m λ λ ) m λ λ k) m k Por el teorema anterior, la multiplicidad geométrica de λ i es m i, i = k Sean ahora: U = {x x m } U k = {x k x k m k } bases ortogonales de Sλ ) Sλ k) respectivamente Entonces por el teorema, el conjunto de n vectores propios de A: es ortogonal U = U U U k = {x x m x x m x k x k m k } La demostración del siguiente corolario es consecuencia inmediata del teorema 8 y del teorema 9 9 Corolario Toda matriz simétrica es diagonalizable Definición Sea A una matriz cuadrada Se dice que A es ortogonalmente diagonalizable si existe un matriz ortogonal P tal que P T AP = D es una matriz diagonal

22 Matrices simétricas Diagonalización de matrices Teorema Si A es una matriz simétrica, entonces A es ortogonalmente diagonalizable; esto es, existe una matriz ortogonal P tal que P T AP = D es una matriz diagonal Más aún, las columnas de la matriz P son los vectores propios de A y los elementos de la diagonal de D son los valores propios de A Demostración Sea A es una matriz simétrica de orden n, entonces A tiene n vectores propios ortonormales x x x n (teorema 8) Supongamos que éstos corresponden a los valores propios λ λ λ n respectivamente La matriz P = [ x x x n] es ortogonal (proposición 6), y de acuerdo con la demostración del teorema 9, se tiene que P T AP = P AP = D = 6 λ λ λ n El recíproco del teorema también es válido y está dado por el siguiente Teorema Si una matriz A es ortogonalmente diagonalizable, entonces A es simétrica Demostración Por hipótesis, existe una matriz ortogonal P que diagonaliza a la matriz A esto es, se tiene que P T AP = D, siendo D una matriz diagonal De aquí que: o sea, A es una matriz simétrica Ejemplo Para la matriz simétrica: A = P DP T = P D T P T ) T = P DP T ) T = A T A = encontre una matriz ortogonal P tal que P T AP = D sea una matriz diagonal Para ello se debe encontrar tres vectores propios de A ortonormales El polinomio característico de A p Aλ) = A λi está dado por: λ p Aλ) = A λi = λ λ = λ + )λ 6) Se requiere ahora resolver la ecuación característica de A p Aλ) = A λi = Pero dado que p Aλ) = λ + )λ 6) = sii λ = ó λ = 6 se tiene entonces, que los diferentes valores propios de A son λ = y λ = 6 Por definición, los )-vectores propios de A son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales A + I) x = y los 6-vectores propios de A son las soluciones no nulas del sistema de ecuaciones lineales A 6I)x = Se tiene entonces: A + I = 8 y A 6I =

23 Diagonalización de matrices Matrices simétricas Es fácil verificar, que las soluciones del sistema homogéneo A + I)x = son los vectores de la forma: x x x = x = x = x ; x R x x En consecuencia, 8 bu λ = U b < = : 9 = ; es una base para Sλ ) = S ) Aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Scmidt a esta base (vea el teorema ), se llega a que: 8 9 bu λ = U b < = = : ; es una base ortonormal de Sλ ) = S ) De otra parte, se encuentra que las soluciones del sistema homogéneo A 6I)x = son los vectores de la forma: x x + x x = x = x En consecuencia, x = x +x 8 bu λ = U b < 6 = : x ; x x R 9 = ; es una base para Sλ ) = S6) Aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a esta base se llega a que: 8 9 bu λ = U b < = 6 = : ; es una base ortonormal de Sλ ) = S6) Según la demostración del teorema 8, 8 U = U b λ U b < λ = : 9 = ; es un conjunto ortonormal de vectores propios de A Ahora, según la demostración del teorema, la matriz, P = 6

24 Matrices simétricas Diagonalización de matrices es ortogonal tal que P T AP = P AP = D = 6 6 Teorema Sea A una matriz simétrica de orden n Supongamos que A que tiene p ( p n) valores propios, no necesariamente diferentes, estrictamente positivos y η ( η n) valores propios, no necesariamente diferentes, estrictamente negativos Entonces existe una matriz invertible P tal que: P T AP = Si además existe otra matriz invertible Q tal que entonces p = p y η = η Q T AQ = I p I η I p I η Demostración Sean λ λ λ ρ los valores propios de A estrictamente positivos (no necesariamente distintos) y sean x x x p vectores propios ortonormales de A asociados respectivamente a tales valores propios Sean además β β β η los valores propios de A estrictamente negativos (no necesariamente distintos) y y y y η vectores propios ortonormales de A asociados a dichos valores propios negativos y sean z z z γ γ = n p+η), vectores propios ortonormales de A asociados al valor propio nulo () Según la demostración del teorema, la matriz M, cuyas columnas son los correspondientes vectores propios organizados adecuadamente, es ortogonal Es decir, la matriz M = [ x x x p y y y η z z z γ ] es ortogonal De otro lado, se tiene que M T AM = D es una matriz diagonal con los valores propios en su diagonal y dispuestos así: D p M T AM = D = D η donde: λ β λ D ρ = 6 y Dη = β 6 λ p β η Sea ahora D la matriz diagonal: donde Dρ = 6 D = Dp Dη I γ λ λ p λp y

25 Diagonalización de matrices Matrices simétricas Dη = 6 β β p βη La matriz D es invertible y es tal que: D DD = D T M T AMD = = I p I η En consecuencia, la matriz invertible P = MD es tal que: I p P T AP = I η DpD pdp DηD ηdη I γ I γ Para la unicidad suponga ahora que las matrices invertibles P y Q son tales que: I p I p P T AP = I η y Q T AQ = I η Lo que se quiere probar ahora es que ρ = ρ y η = η Para ello se escribe las matrices P y Q particionadas por columnas así: Por hipótesis se tiene que: P = [ x x x p x p+ x n ] y Q = [ y y y p y p + y n ] 8 x T i Ax i = si i = p >< x T i Ax j = si i = j i j = n) yi T Ay i si i = p + p + n >: yi T Ay j = si i = j i j = n) Ahora, el conjunto de vectores de n : C = {x x x p y p + y p + y n} es linealmente independiente En efecto, si λ x + + λ px p + β y p β n p y n = entonces el vector U = λ x + λ x + + λ px p = β y p + β y p + β n p y n

26 Matrices simétricas Diagonalización de matrices es tal que: y U T AU = λ x + + λ px p) T Aλ x + + λ px p) = λ + λ + + λ p U T AU = β y p β n p y n) T Aβ y p β n p y n) = β y T p +Ay p + + β y T p +Ay p β n p yt n Ay n Por lo tanto U T AU = De esto se sigue que λ = λ = = λ p = En consecuencia, β y p + + β y p β n p y n = Puesto que la matriz Q es invertible, los vectores y p + y p + y n son linealmente independientes, y por lo tanto, β = β = = β n p = Ahora bien, como la dimensión del espacio vectorial n es n y C es un conjunto linealmente independiente de p + n p ) vectores en n, entonces por el teorema (): p + n p ) n o sea, p p Argumentando en forma similar se demuestra que p p de donde p = p De otro lado, de la hipótesis, se tiene que por lo tanto η = η ρa) = p + η = p + η Nota En la parte () del teorema anterior se tiene que P T AP es igual a: (i) I n si p = n (ii) I n si η = n» Ip (iii) si < p < n y η =» Iη (iv) si < η < n y p =» Ip (v) si < p < n y < η < n y p + η = n I η I p (vi) I η si < p < n y < η < n y p + η < n (vii) sii A = Ejemplo Para la matriz simétrica A = encuentre una matriz invertible P tal que P T AP sea una matriz diagonal con las características que se establecen en el teorema anterior 6

27 Diagonalización de matrices Matrices simétricas Efectuando los cálculos pertinentes se encuentra que los valores propios de A son: λ = λ = y λ = y que la matriz ortogonal: M = es tal que Ahora, la matriz diagonal es invertible y es tal que: M T AM = D = D = 6 D DD = D T M T AMD = = o sea, la matriz invertible P = MD es tal que P T AP = I I En relación con la primera parte del teorema (ver su demostración) y tal como aparece en el ejemplo anterior, un método para calcular una de tales matrices P consiste en encontrar una matriz ortogonal M que diagonalice a la matriz A y después postmultiplicar a M por una matriz diagonal conveniente D A continuación damos otro método para calcular, simultáneamente, una de tales matrices P y la matriz P T AP El método se basa en el hecho de que la matriz P es invertible y por ende se puede expresar como producto de un número finito de matrices elementales (véase teorema 9()); esto es, P = E E E k donde E E E k son matrices elementales Así que una forma de calcular la matriz P T AP = E T k E T E T A E E E k consiste en efectuar una sucesión de operaciones elementales en las filas de A y la misma sucesión de operaciones elementales en las columnas de A (véase teorema 6), hasta lograr lo deseado Esta misma sucesión de operaciones elementales en las filas de la matriz identidad I da P T El siguiente ejemplo ilustra el método para encontrar una tal matriz P 6 Ejemplo Para la matriz simétrica A = 9

28 Matrices simétricas Diagonalización de matrices encontre una matriz invertible P tal que P T AP sea una matriz diagonal con las características que se establecen en el teorema Se forma entonces la matriz [ A I ] = 9 Se efectua entonces, en las filas de la matriz ˆ A I, las operaciones elementales; E T ; multiplicar los elementos de la primera fila por α = y sumar los resultados con los correspondientes elementos de la segunda fila, E T ; multiplicar los elementos de la primera fila por α = y sumar los resultados con los correspondientes elementos de la tercera fila Así se obtiene la matriz [ E T E T A E T E T I ] = [ A B ] luego se efectuan las mismas operaciones elementales en las columnas de la matriz A para obtener: Se tiene: y [ E T E T A E E E T E T I ] = [ A B ] [ A B ] = [ A B ] = Se efectua ahora, en las filas de la matriz [ A B ], la operación elemental; E T ; multiplicar los elementos de la segunda fila por α = y sumar los resultados con los correspondientes elementos de la tercera fila Así se obtiene la matriz [ E T E T E T AE E E T E T E T I ] = [ A B ] luego se realiza la misma operación elemental en las columnas de la matriz A para obtener: Se tiene entonces: y [ E T E T E T AE E E E T E T E T I ] = [ A B ] [ A B ] = [ A B ] = Finalmente, se efectua en las filas de la matriz [ A B ] la operación elemental; E T ; multiplicar los elementos de la tercera fila por α = / Así se obtiene la matriz [ E T E T E T E T AE E E E T E T E T E T I ] = [ A B ] luego se realiza la misma operación elemental en las columnas de la matriz A para obtener: h i [ E T E T E T E T AE E E E E T E T E T E T I ] = A B Se tiene: 6 [ A B ] = 8

29 Diagonalización de matrices Matrices simétricas y [ A 6 B ] = Así que la matriz invertible es tal que P T = B = E T E T E T E T 6 = P T AP = D = A = Se puede decir entonces, que la matriz A tiene dos valores estrictamente positivos y un valor propio estrictamente negativo Nota En relación con el método ilustrado en el ejemplo anterior, si todos los elementos de la diagonal principal de la matriz simétrica A = [a ij] n n son nulos y si a ij = i = j, entonces sumando la fila j a la fila i y la columna j a la columna i se obtiene una matriz simétrica A = M T AM con a ij en el lugar i ésimo de la diagonal principal de A Una vez hecho esto, se sigue el proceso descrito en el ejemplo anterior 8 Ejemplo Para la matriz simétrica» A = encuentre una matriz invertible P tal que P T AP sea una matriz diagonal con las características que se establecen en el teorema Se forma ahora la matriz:» [ A I ] = Se efectua, en las filas de la matriz, [ A I ] la operación elemental M T ; sumar los elementos de la segunda fila con los correspondientes elementos de la primera fila Así se obtiene la matriz [ M T A M T I ] luego se efectua la misma operación elemental en las columnas de la matriz M T A para obtener la matriz: ˆ M T AM M T I = ˆ A M T Se tiene:» [ M T A M T I ] = y» [ A M T ] = 9