Superficies desarrollables y geodésicas en las imágenes

Transcripción

1 Universidad Nacional de Colombia- Sede Medellín Superficies desarrollables y geodésicas en las imágenes médicas Tesis presentada por José Fernando Ramírez Huaca para obtener el grado de Magister en Ciencias- Matemáticas Director Marco Paluszny Kluczynsky Facultad de Ciencias Escuela de Matemáticas 2012

2 Índice general 0.1. Introducción Preliminares Conceptos básicos de geometría diferencial Curvas Superficies Superficies desarrollables y geodésicas Conceptos básicos de CAGD Curvas de Bézier Superficies de Bézier Cúbicas de Overhauser Conceptos básicos de imágenes médicas Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas Algoritmo de Aumann Forma matricial del algoritmo de Aumann Superficies desarrollables a trozos usando cúbicas de Overhauser y el algoritmo de Aumann Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux Superficies desarrollables semidiscretas Parametrizaciones conjugadas y mallas-cp Superficie desarrollable semidiscreta M.A Interpolación con el algoritmo de Aumann Superficie moulding Construcción de la superficie desarrollable semidiscreta MA Superficie desarrollable semidiscreta TDE i

3 ii Índice general 4. Aplicaciones a las imágenes médicas Rodaja dental Cráneo Bibliografía 62

4 Índice de figuras 1.1. Triedro de Frenet y el plano osculador Superficie parametrizada regular, T P M, X u, X v,u-curva y v-curva Aplicación de Gauss Superficie desarrollable y geodésica Superficie reglada desarrollable Superficies desarrollables sobre la curva α (en verde). Cilindro (en rojo), cono (en azul) y tangente (en negro) Curva sobre dos superficies, vector normal a la curva en rojo, vector normal las superficies en negro Desarrollo de las superficies y la curva de la figura Polinomios de la base B 3 con u [0, 1] Curva de Bézier de grado 3 (en azul) y polígono de control (en rojo) Superficie de Bézier Superficie reglada de Bézier Cúbica de Overhauser Cúbica con dos polígonos de control, negro para la parametrizaciíon de Bézier, rojo para la de Overhauser Volumen DICOM obtenido por modalidad TAC Sección transversal de K Codificación de colores en una imagen médica Superficie tangente. λ = 0,6, µ = 1,2, curva b(u) en verde Cilindro. λ = 1, µ = 1, curva b(u) en verde Cono. λ = 1,4, µ = 1, curva b(u) en verde Superficies desarrollables sobre b(u). Cono (en azul), cilindro (en verde) y superficie tangente (en rojo) Diagrama conmutativo iii

5 iv Índice de figuras 2.6. Segmentos de cúbicas de Overhauser interpolantes, los puntos de control de b 1 (t) son A 0,.., A 3, los de b 2 (t) son A 1,.., A Trozos X(u, v) en rojo y X (u, v) en azul Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo) Desarrollo de la superficie de Darboux para α(u) Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo) Superficie traslacional en azul, envolvente de los planos tangentes de una curva isoparamétrica en rojo Modelo tangente en azul y polígono de regresión en rojo Refinamiento de una malla-cp Caso L 0 y L 1 alabeadas Curva α(u) en azul, offsets en negro y evoluta en rojo Superficie moulding M(u, v), en azul, q(v) en rojo, p(u) en negro, cilindro C(v, w) en verde, y un plano de la familia Π v en rojo Paso 1. Curva q(v) en verde, rectas r i en azul Paso 2. Polígonos C i en rojo Malla m del paso Superficie MA sobre dos trapecios consecutivos M 1,j, M 1,j Superficie MA Superficie T.D.E. formada por dos strips Rodaja dental Imagen DICOM del Scan dental Extración de los datos Rodaja en 3D Desarrollo de la rodaja Cráneo Imagen DICOM del cráneo con los puntos de control Imagen DICOM del cráneo con una curva t i + α i b(u) Cráneo modelado por 7 strips Cráneo Strip Desarrollo del strip

6 0.1. Introducción Introducción Las superficies desarrollables son aquellas que se pueden construir a partir del doblado curvo de un plano (o papel). Esta propiedad las hace muy atractivas para la construcción y la arquitectura. En la actualidad, dentro del diseño geométrico, hay gran interés en la investigación de este tipo de superficies. Las imágenes médicas son un campo interdisiplinar que se dedica al análisis de las estructuras internas del cuerpo mediante imágenes. Inició con el descubrimiento de los rayos X en 1895, en la actualidad la utilización de las tomografías computarizadas y resonancias magnéticas permiten el estudio y análisis en tres dimensiones del cuerpo humano. Dentro de las imágenes médicas se investiga basicamente sobre los siguientes tres problemas: 1. Segmentación- Métodos automáticos que permitan dividir las diferentes estructuras anatómicas dentro de las imágenes. 2. Visualización- Aprovechar y digerir la enorme cantidad de datos producidos por los modernos sistemas de imágenes médicas. 3. Simulación- Software que permite simular y planear tratatientos. En esta tesis abordaremos el problema de la visualización de imágenes médicas usando superficies desarrollables. Se usará en especial la teoría que en el diseño geométrico, se ha desarrollado sobre este tipo de superficies para aplicaciones a la arquitectura en [1], [4] y [7]. En la actualidad hay software que a partir de un conjunto de imágenes médicas, que conforman un volumen, nos permite visualizar la textura sobre cualquier plano. Tambíen es posible hacer la reconstrucción en 3D de cualquier esrtructura anatómica. Aquí usaremos las superficies desarrollables para visualizar estructuras anatómicas tridimensionales de forma plana sin que haya deformación, esto ayudará al diagnóstico a partir de imágenes médicas. La tesis se puede dividir en tres partes. En la primera (capítulo 1) se dan los conceptos básicos de geometría diferencial clásica, diseño geométrico e imágenes médicas que se usarán. En la segunda (capítulos 2 y 3) se desarrollan los algoritmos básicos y se construyen algunas superficies desarrollables. En la cuarta (capítulo 4) se muestran algunas superficies construidas anteriormente, aplicadas a las imágenes médicas.

7 Capítulo 1 Preliminares 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial Primero veremos los conceptos básicos de la geometría diferencial clásica de curvas y superficies que se utilizarán en este trabajo, nos basaremos en [5] Curvas Decimos que una función f : (a, b) R 3 es C k (k = 0, 1, 2,...) si f y sus primeras k derivadas son continuas. Decimos que f es suave si f es C k para todo entero positivo k. Una curva parametrizada es una función C 3 (o suave) α : I R 3 para algún intervalo I = (a, b) ó [a, b] en R que podría ser infinito, aquí usaremos principalmente I = [0, 1]. Se dice que α es regular si α (t) 0 t I 1. Longitud de arco. Si α : [a, b] R 3 es una curva parametrizada entonces t [a, b] definimos su longitud de arco desde a hasta t por s(t) = t a α (u) du (1.1) Decimos que una curva parametrizada α está parametrizada por longitud de arco si α (t) = 1 para todo t, por tanto s(t) = t a, en este caso usamos el parámetro s y escribimos α(s). Es importante notar que en teoría toda curva parametrizada regular se puede reparametrizar por longitud de arco. Si α es regular entonces es claro que la fución longitud de arco s(t) dada por (1.1) es creciente (pues s (t) = α (t) > 0 para todo t), luego 1 En caso de un extremo se consideran las derivadas laterales 1

8 2 Capítulo 1. Preliminares tiene inversa t = t(s), y con ésta podemos considerar la parametrización β(s) = α(t(s)). Notemos que aplicando la regla de la cadena tenemos β (s) = α (t(s))t (s) = α (t(s)) s (t(s)) = α (t(s)) α (t(s)) es decir β (s) = 1 para todo s. En la práctica es dificil encontrar la función t(s) de manera explícita. Triedro de Frenet. Sea α una curva parametrizada por longitud de arco, entonces α es su vector tangente unitario que denotaremos por T (s). Como T tiene magnitud constante entonces T (s) es ortogonal a T (s). Suponiendo que T (s) 0 se define el vector normal N(s) = T (s)/ T (s) y la curvatura κ(s) = T (s), luego tenemos T (s) = κ(s)n(s). Si κ(s) = 0 el vector normal no está definido. Suponiendo κ 0 se define el vector binormal B(s) = T (s) N(s). A la base ortonormal de R 3 {T (s), N(s), B(s)} se le denomina triedro de Frenet para la curva regular α. (α : [a, b] R 3 inyectiva). Definimos la torsión τ(s) = N (s) B(s). De lo anterior se deduce fácilmente lo siguiente (ver comentario 4) T (s) = κ(s)n(s). N (s) = κ(s)t (s) + τ(s)b(s). B (s) = τ(s)n(s). Las anteriores son conocidas como las fórmulas de Frenet (ó Frenet-Serret) que se pueden escribir en forma matricial como: 0 κ(s) 0 T (s) N (s) B (s) = T (s) N(s) B(s) κ(s) 0 τ(s) Notemos que la matriz de la derecha es antisimétrica. 0 τ(s) 0 Si la curva α(t) no está parametrizada por longitud de arco (que es lo más común)

9 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial 3 entonces el triedro de Frenet es: T (t) = α (t) α (t), B(t) = α (t) α (t), N(t) = B(t) T (t). (1.2) α (t) α (t) La curvatura y la torsión se expresan como: κ(t) = α (t) α (t) α (t) 3, τ(t) = α (t) (α (t) α (t) ) α (t) α (t) 2. (1.3) Los planos fundamentales de una curva α en un punto P = α(t) se definen como: (i) Plano osculador, generado por T (t) y N(t). (ii) Plano rectificante, generado por T (t) y B(t). (iii) Plano normal, generado por N(t) y B(t). Figura 1.1: Triedro de Frenet y el plano osculador

10 4 Capítulo 1. Preliminares Comentarios. 1. Notemos que por la definición se tiene κ 0, pero τ puede ser positiva o negativa. 2. La curvatura κ mide la razón de cambio del vector tangente unitario T respecto al parámetro t, por tanto κ = 0 sii la curva es una recta. 3. La torsión τ mide la razón de cambio del vector binormal B respecto al parámetro t, por tanto τ = 0 sii la curva es plana, y si esto ocurre ésta está contenida en el plano osculador. 4. Las fórmulas de Frenet se deducen fácilmente usando el siguiente resultado. Si f, g : (a, b) R 3 son diferenciables y f(t) g(t) es constante t (a, b) entonces f (t) g(t) = f(t) g (t) y en particular f(t) es constante sii f(t) f (t) = 0 t (a, b) 5. Toda curva está completamente determinada por su torsión y su curvatura. Dos curvas C, C son congruentes (difieren por un movimiento rígido) sii para sus correspondientes parametrizaciones por longitud de arco α, α se tiene κ(s) = κ (s) y τ(s) = τ (s) para todo s Superficies Superficies parametrizadas y primera forma fundamental. Sea U R 2 abierto, una función f : U R m es C k si f y sus derivadas parciales de orden k son continuas. Decimos que f es suave si es C k para todo entero positivo k. Usaremos m = 3 y supondremos que las funciones a tratar son C k para k 3; usaremos la notación (u, v) para las coordenadas del espacio de parámetros U, (x, y, z) para las coordenadas en R 3 y subíndices para las derivadas parciales. Una parametrización regular de un subconjunto M R 3 se define como una función inyectiva X : U M tal que X u X v 0 para algún U R 2 abierto. M es una superficie parametrizada regular si existe una parametrización regular X para ésta. Sea M superficie parametrizada regular, y sea P = X(u 0, v 0 ) M. El plano tangente de M en P denotado T P M se define como el generado por X u (u 0, v 0 ) y X v (u 0, v 0 ). Se define el vector normal a la superficie como n = X u X v X u X v.

11 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial 5 Para P, si fijamos u = u 0 y variamos v obtenemos una v-curva X(u 0, v) y X v (u 0, v 0 ) es el vector tangente a ésta, analogamente X u (u 0, v 0 ) es tangente a la u-curva X(u, v 0 ). A las u-curvas y las v-curvas se les denomina curvas isoparamétricas Figura 1.2: Superficie parametrizada regular, T P M, X u, X v,u-curva y v-curva Para una parametrización regular X de una superficie M, el conjunto {X u, X v } forma una base natural para T P M y con ésta se introduce la primera forma fundamental I P : T P M T P M R I P (U, V ) = U V y se definen E = I P (X u, X u ) = X u X u, F = I P (X u, X v ) = X u X v = X v X u = I P (X v, X u ), G = I P (X v, X v ) = X v X v, que es conveniente ubicar en las entradas de una matriz simétrica (ésta es la matriz de I en términos de la base {X u, X v }) [ ] [ ] E F I P = ya que I P (U, V ) = U T E F V F G F G

12 6 Capítulo 1. Preliminares Se dice que dos superficies M y M son localmente isométricas si P M hay una parametrización regular X : U M y una parametrización regular X : U M (usando el mismo abierto U R 2 ) tal que I P = IP siempre que P = X(u, v) y P = X (u, v) para algún (u, v) U. Esto significa que la función f = X X 1 : X(U) X (U) (1.4) es una correspondencia 1-1 que preserva la primera forma fundamental y por ende la distancia y los ángulos. La primera forma fundamental describe las propiedades métricas de una superficie parametrizada M. Si α(t) = X(u(t), v(t)) con t [a, b] es una curva parametrizada en M entonces la longitud L de α y el área A de M se calculan como: L(α) = = A(M) = a b a b U I α(t) (α (t), α (t))dt (1.5) E(t)(u (t)) 2 + 2F (t)u (t)v (t) + G(t)(v (t)) 2 dt (1.6) X u X v dudv = U EG F 2 dudv (1.7) Aplicación de Gauss y la segunda forma fundamental. Dada una superficie parametrizada regular M, la función n : M S 2 R 3 (donde S 2 es la esfera unitaria de R 3 ) que a cada punto de P M le asigna su vector normal unitario n(p ), se denomina aplicación de Gauss de M. Figura 1.3: Aplicación de Gauss

13 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial 7 Para todo V T P M la derivada direccional D V n(p) T P M y ésto permite introducir el operador de forma en P denotado por S P como la función lineal S P : T P M T P M definida por S P (V ) = D V n(p ). Esta función es simétrica, es decir, U, V T P M S P (U) V = U S P (V ) (1.8) Notemos que si P M se tiene que S P = 0 entonces M es un subconjunto de un plano. En una esfera de radio a centrada en el origen tenemos n = 1 X(u, v) luego para a todo P se tiene S P (X u ) = n u y S P (X v ) = n v de donde S P = 1 ID donde ID es la a función identidad en T P M. Ahora podemos introducir la segunda forma fundamental II P : S P M S P M R II P (U, V ) = S P (U) V Para todo V T P M ( con V = 1) II P mide la curvatura de las curvas α que están en la intersección de M y el plano generado por n(p) y V ya que II P (V, V ) = S P (V ) V = D v n(p ) V = ±κ. Al igual que para I P buscamos una representación matricial para II P, para esto definimos L = II P (X u, X u ) = D Xu n X u = X uu n M = II P (X u, X v ) = D Xu n X v = X vu n = X uv n = II P (X v, X u ) N = II P (X v, X v ) = D Xv n X v = X vv n y escribimos II P = [ L M M N ] = [ X uu n X uv n X uv n X vv n ] (1.9) y como en el caso de I P II P (U, V ) = U T [ L M M N ] V Para una base general de T P M {X u, X v } la matriz que representa al operador de forma

14 8 Capítulo 1. Preliminares S P está dada por las dos formas fundamentales así S P = I 1 P II P = [ E F F G ] 1 [ L M M N ] luego si {X u, X v } es una base ortonormal entonces II P es la representación matricial de S P. Como S P es una función lineal simétrica entonces tiene 2 valores propios reales denotados por k 1 (P ), k 2 (P ) y denominados curvaturas principales de M en P. Los correspondientes vectores propios son llamados direcciones principales, y son ortogonales. Al producto de las curvaturas principales se le denomina curvatura Gaussiana K = k 1 k 2 = det(s P ). El promedio de de las curvaturas principales se denomina curvatura media H = 1(k k 2 ). Se dice que M es una superficie minimal si H = 0. Dado P M fijo, se dice que P es un punto umbilical si k 1 = k 2. Si k 1 = k 2 = 0 el punto P se denomina punto plano. Si K = 0 pero P no es punto plano, P de denomina punto parabólico. Si K > 0 P es llamado punto elíptico, y si K < 0 P se denomina punto hiperbólico. Comentarios. 1. El plano tangente T P M de una superficie M en un punto P se definió para una base {X u, X v } dada por una parametrización regular X, pero realmente la definición de T P M independiente de la escogencia de parametrización regular Las curvaturas principales k 1, k 2 cambian de signo al cambiar la orientación del vector normal, pero K no cambia, o sea es independiente de la elección del vector normal. 3. S P (V ) mide a variación de el vector normal a la superficie (y por tanto la variación de T P M ) en dirección de V, describe como se curva la superficie. 4. La curvatura Gaussiana K está completamente determinada por I P, es decir, se puede expresar exclusivamente en términos de E, F, G. 5. Una superficie M está completamente determinada por las las formas fundamentales (salvo el signo de la segunda). Dos parametrizaciones regulares X, X son tal que I = I y II = ±II sii corresponden a superficies congruentes, es decir que difieran por un movimento rígido. 1 Para esto se puede consultar el libro de N. Hicks donde se define el espacio tangente en términos de operadores.

15 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial Superficies desarrollables y geodésicas Ahora vamos a tratar las curvas y superficies que serán de interés en este trabajo. Informalmente una superficie desarrollable es aquella que se puede llevar al plano sin estiramiento o desgarro, un ejemplo son los cilindros. Una geodésica es una curva sobre una superficie que mimimiza distancias sobre ésta, un ejemplo de geodésicas son los meridianos de una esfera. Figura 1.4: Superficie desarrollable y geodésica Debido a esta propiedad hay muchas aplicaciones de estas curvas en la industria, la arquitectura y la imagenología médica entre otras. Superficies regladas y desarrollables. En el contexto de lo visto anteriormente una superficie se denomina desarrollable si es localmente isométrica al plano, lo que es equivalente a tener curvatura Gaussiana K = 0. Otra forma de estudiar y caracterizar las superficies desarrollables es mediante envolventes de familias monoparamétricas de planos. Una familia monoparamétrica de planos se representa por la ecuación x n(u) = f(u) (1.10) donde n(u) es el vector normal al plano en el parámetro u. La envolvente de esta familia es la superficie S que es tangente en cada uno de sus puntos a uno de los planos, y además en todo entorno del punto de contacto de S con un plano de la familia existen mas puntos de contacto con otros planos de la familia.

16 10 Capítulo 1. Preliminares Luego los generadores de la envolvente, es decir, las rectas (o segmentos de recta) que conforman esta superficie, satisfacen las ecuaciones x n(u) = f(u) x n (u) = f (u) A continuación consideramos las superficies desarrollables en el contexto de las superficies regladas. Una superficie es reglada si se puede parametrizar de la forma X(u, v) = α(u) + vβ(u) (1.11) donde α, β son curvas parametrizadas regulares, β(u) 0 para todo u, u está en un intervalo y v R. Es claro que las v-curvas X(u 0, v) = α(u 0 ) + vβ(u 0 ) de la superficie dada por (1.11) son rectas que pasan por el punto α(u 0 ) con vector director β(u 0 ), luego por todo punto P = X(u 0, v 0 ) de una superficie reglada pasa al menos una recta (o segmento de recta) que está contenida en la superficie. A la curva α se le denomina directriz de la superficie y a las rectas (v-curvas), generatrices. Las superficies regladas también se pueden parametrizar como S(u, v) = (1 v)p(u) + vq(u) (1.12) con u, v en intervalos. En este caso las v-curvas son segementos de recta. Notemos que (1.12) es equivalente a (1.11) con p = α, q p = β. Las siguientes son condiciones necesarias y suficientes para que una superficie reglada parametrizada como (1.12) sea desarrollable. D1. El vector normal n y por tanto el plano tangente T P M a la superficie es constante sobre cada generador. D2. El generador q(u) p(u) y los vectores p (u), q (u) son coplanares para todo u. D3. En cada generador hay dos puntos con igual vector normal.

17 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial 11 La siguiente gráfica ilustra las condiciones anteriores. Figura 1.5: Superficie reglada desarrollable Hay 3 tipos de superficies desarrollables, el cilindro, el cono y la superficie tangente. Cilindro. Tiene parametrización X(u, v) = α(u) + vd con d un vector constante,es decir β constante en (1.11). Cono.Tiene parametrización X(u, v) = α(u) + v(w α(u)), donde w es un punto fijo llamado vértice, aquí se tiene (1.11) con β = w α. Superficie tangente. Es una superficie con parametrización X(u, v) = α(u) + vα (u), es decir (1.11) con β = α. Un punto P sobre una superficie parametrizada se llama singular si X u X v (P ) = 0. Es fácil ver que el cilindro no tiene puntos singulares. El único punto singular del cono es el vértice (v = 1), y para la tangente X u X v = vα (u) α (u) luego los puntos de la curva α (v = 0) son singulares. En una superficie desarrollable la curva formada por los puntos singulares se llama curva de regresión.

18 12 Capítulo 1. Preliminares Figura 1.6: Superficies desarrollables sobre la curva α (en verde). Cilindro (en rojo), cono (en azul) y tangente (en negro) Geodésicas. Para estudiar las geodésicas formalmente necesitamos los conceptos de campo vectorial, derivada covariante y paralelismo. Una función Φ : M R 3 se denomina campo vectorial en M si para todo P M Φ(P ) T P M, y para alguna parametrización X : U M la función Φ X : U R 3 es (continuamente) diferenciable. Dado un campo vectorial Φ y V T P M definimos la derivada covariante denotada V Φ como la proyección ortogonal de D V Φ sobre T P M, es decir V Φ = D V Φ (D V Φ n)n (1.13) Dada una curva α en M decimos que el campo vectorial Φ es covariante constante o paralelo a lo largo de α si α (t) Φ = 0, t (1.14) Esto significa que D α (t) Φ = (Φ α) (t) no tiene componente sobre T P M, es decir está en la misma dirección (multiplo escalar) del vector normal n(α(t)).

19 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial 13 Una curva parametrizada α sobre una superficie M se denomina geodésica si su vector tangente es paralelo a lo largo de la curva, es decir α α = 0. Notemos que la condición de ser geodésica para una curva parametrizada α depende de la superficie sobre la cual esté la curva y de su parametrización. Por extensión diremos que una curva no parametrizada por longitud de arco es una pregeodésica 1 si su parametrización por longitud de arco es una geodésica. Una curva α es geodésica sobre una superficie M si su vector normal N está en la misma dirección del vector normal a la superficie n, es decir si α(t) = X(u(t), v(t)) donde X es una parametrización de M entonces N(u(t), v(t)) = cn(t) para alguna constante c 0. Es posible que una curva sea geodésica sobre una superficie pero no lo sea sobre otra. En la siguiente gráfica vemos una curva sobre dos superficies diferentes, un cono y un cilindro. No es geodésica sobre el cono, es geosésica sobre el cilindro. En el cono vemos que N y n no están en la misma dirección, en el cilindro N y n son paralelos. Figura 1.7: Curva sobre dos superficies, vector normal a la curva en rojo, vector normal las superficies en negro Para estudiar una curva en el espacio se usa el triedro de Frenet {T, N, B} visto anteriormente, para estudiar una curva sobre una superficie (como una geodésica) se usa 1 El término pregeodésica fue introducido por B. O Neill en el libro Elementary Differential Geometry (Academic Press, New York. 1966).

20 14 Capítulo 1. Preliminares el triedro de Darboux {T, n T, n}. Al vector κn conocido como vector curvatura lo podemos descomponer como κn = (κn (n T ))(n T ) + (κn }{{}}{{ n} )n κ g κ n De donde es claro que κ n da la componente normal del vector curvatura y κ g, denominada curvatura geodésica, da la componente tangencial (sobre T P M). Luego una curva α es geodésica sii κ g = 0. Si M es una superficie desarrollable, α es una curva sobre M y M, α son el desarrollo de M y α (sin estiramiento o desgarre) sobre el plano dado por (1.4), entonces κ g de α es igual a κ de α. Luego si α es una geodésica sobre M entonces α es una recta pues κ = κ g = 0. En la siguiente gráfica vemos el desarrollo de las superficies de la figura 1.7, como la curva sobre el cilindro es una geodésica su desarrollo es una recta, lo contrario ocurre en el cono. Figura 1.8: Desarrollo de las superficies y la curva de la figura 1.7 Comentarios. 1. Hay que diferenciar entre una geodésica y su traza, pero en las aplicaciones lo importante es la traza y a veces por abuso de lenguaje se confunden estos dos términos.

21 1.1. Conceptos básicos de geometría diferencial Vimos las condiciones necesarias y suficientes para que una superficie reglada sea desarrollable y mencionamos que toda superficie desarrollable es reglada, esto se puede probar formalmente con la curvatura Gaussiana K y las direcciones principales.

22 16 Capítulo 1. Preliminares 1.2. Conceptos básicos de CAGD El diseño geométrico asistido por computadora ó CAGD por sus siglas en inglés (Computer Aided Geometric Design) se ocupa principalmente de describir curvas y superficies de manera matemática sencilla, pero eficiente y precisa, ya que éstas representan la forma de un objeto que debe ser construido. El CAGD tiene su origen en los años 50 y 60 del siglo pasado con los trabajos de Paul de Casteljau y Pierre Bézier quienes trabajaron para Citroën y Renault, respectivamente. Para la presentación de los siguientes conceptos nos basaremos en [8] y [2] Curvas de Bézier. Por el teorema de aproximación de Weierstrass sabemos que en un intervalo cerrado toda función continua se puede aproximar tanto como se quiera con un polinomio, por tanto para describir formas dadas por curvas (trazas de funciones continuas) es suficiente trabajar con curvas polinómicas (con parametrización polinómica). Las curvas de Bézier son curvas polinómicas que se expresan en términos de la base dada por los polinomios de Bernstein. La base de Bernstein para los polinomios de grado menor o igual a n B n = {B n 0 (u), B n 1 (u),..., B n n(u), } está dada por: B n i (u) = ( ) n u i (1 u) n i i con ( ) n = i n! i!(n i)! (1.15) a diferencia de la base canónica {u n, u n 1,..., u, 1}, cada elemento de B n tiene grado n. Algunas propiedades de estos polinomios para u [0, 1] son: Positividad: B n i (u) 0. Simetría: B n i (u) = B n n i(1 u). Recurrencia: Bi n (u) = (1 u)b n 1 i (u) + tb n 1 i 1 (u). Raíces: Sus únicas raíces son 0 y 1. B n i (0) = B n n i(1) = { 1 si i = 0 0 si i > 0 Partición de la unidad. n i=0 Bn i (u) = 1, esto se cumple para todo u.

23 1.2. Conceptos básicos de CAGD 17 En la siguiente gráfica desplegamos los polinomios de B 3 para u [0, 1] donde es fácil verificar las propiedades de positividad y simetría. Figura 1.9: Polinomios de la base B 3 con u [0, 1] Una curva de Bézier b(u) de grado n es una curva con parametrización de la forma b(u) = b 0 B n 0 (u) + b 1 B n 1 (u) + + b n B n n(u) = n b i Bi n (u) (1.16) i=0 donde los b i son puntos en R 3 llamados puntos de control y al polígono formado por éstos se le denomina polígono de control. Generalmente se toma u en [0, 1]. Algunas propiedades de las curvas de Bézier para u [0, 1] son: Interpolación: b(0) = b 0 y b(1) = b n. Convexidad: La curva está contenida en la cápsula convexa del polígono de control. Tangentes en los extremos: Las tangentes b (0), b (1) en los extremos u = 0 y u = 1 son paralelas a los segmentos (del polígono de control) b 1 b 0 y b n b n 1, respectivamente.

24 18 Capítulo 1. Preliminares Simetría: Si invertimos el polígono de control de una curva, es decir, si cambiamos {b 0, b 1,...b n } por {b n, b n 1,...b 0 }, la curva resultante es la misma (en el sentido de que describe los mismos puntos de R 3 ). En la siguiente gráfica vemos una curva de Bézier de grado 3 donde se ilustra las propiedades de interpolación y convexidad. Figura 1.10: Curva de Bézier de grado 3 (en azul) y polígono de control (en rojo) La derivada de una curva de Bézier se obtiene de manera sencilla gracias a las propiedades de los polinomios de Bernstein. Es fácil verificar que db n i (u) du = n ( B n 1 i 1 (u) Bn 1 i (u) ) de donde obtenemos la derivada de la curva de Bézier b(u) db(u) du = n i=0 n 1 = n i=0 b i db n i (u) du = n n i=0 ( b i B n 1 i 1 (u) Bn 1 i (u) ) (1.17) b i B n 1 i (u) (1.18) haciendo cambio de índice, i i + 1, en (1.17) y tomando b i = b i+1 b i en (1.18). De (1.18) podemos ver que la derivada de una curva (parametrización) de Bézier de grado n es otra curva de Bézier de grado n 1.

25 1.2. Conceptos básicos de CAGD Superficies de Bézier. Dado un polígono de control {b 0, b 1,..., b m } obtenemos una curva de Bézier de grado m. Si permitimos que cada vértice b i del polígono se mueva sobre una curva de Bézier b i (v) de grado n con polígono de control {b i,0, b i,1,..., b i,n } obtenemos una superficie con parametrización b(u, v) = m n b i,j Bi m (u)bj n (v) u, v [0, 1] (1.19) i=0 j=0 la cual se denomina superficie de Bézier de bigrado (m, n) y a los (m + 1)(n + 1) vértices {b 0,0,..., b m,n } se los llama malla de control. La expresión (1.19) se puede escribir matricialmente como b 0,0 b 0,n B0 n (v) b(u, v) = (B0 m (u) Bm(u)) m (1.20) b m,0 b m,n Bn(v) n Las u-curvas de esta superficie son curvas de Bézier de grado m con puntos de control b i dadas por b(u, v 0 ) = ( m n ) b i,j Bj n (v 0 ) Bi m (u) u [0, 1] i=0 j=0 } {{ } b i y las v-curvas son curvas de Bézier de grado n y puntos de control b j dadas por b(u 0, v) = ( n m ) b i,j Bi m (u 0 ) Bj n (v) v [0, 1] j=0 i=0 } {{ } b j Notemos que una superficie de Bézier de bigrado (1, n) (o (n, 1)) es una superficie reglada, ya que sus v-curvas son rectas. Esta superficie se puede parametrizar como (1.12) con p(u) y q(u) curvas de Bézier de grado n. Si {b 0,0,..., b 0,n, b 1,0,...b 1,n } es la malla de control de una superficie reglada de Bézier que además es desarrollable, y denotamos por Q i al cuadrángulo formado por los puntos b 0,i, b 1,i, b 1,i+1, b 0,i+1, entonces Q i es plano para todo i. El recíproco no es cierto.

26 20 Capítulo 1. Preliminares En la siguiente gráfica tenemos la superficie de Bézier de bigrado (2,3) dada por la malla de control (0, 0, 1) (1, 0, 4) (4, 0, 3) (6, 0, 3) (0, 2, 2) (1, 2, 5) (4, 2, 6) (7, 2, 3) (0, 4, 2) (1, 4, 4) (4, 4, 3) (4, 4, 3) Figura 1.11: Superficie de Bézier Ahora veamos la superficie reglada de bigrado (1,3) dada por la malla de control { } (0, 0, 1) (2, 0, 5) (6, 0, 4) (8, 0, 3) (0, 2, 2) (1, 2, 5) (4, 2, 6) (7, 2, 3)

27 1.2. Conceptos básicos de CAGD 21 Figura 1.12: Superficie reglada de Bézier Cúbicas de Overhauser. Son curvas con parametrización polinómica p(u) = 3 p i P i (u) i=0 Donde los p i son los puntos de control y los P i son los polinomios de Overhauser dados por: P 0 (u) = 1 ( u 3 + 2u 2 u ) 2 P 1 (u) = 1 ( 3u 3 5u ) 2 P 2 (u) = 1 ( 3u 3 + 4u 2 + u ) 2 P 3 (u) = 1 ( u 3 u 2) 2 Es fácil verificar que estos polinomios forman una base que denotaremos C. Algunas propiedades de estas curvas para u [0, 1] son:

28 22 Capítulo 1. Preliminares Interpolación. p(0) = p 1 y p(1) = p 2. Tangentes en los extremos. Los vectores tangentes p (0) y p (1) son paralelos a los vectores p 2 p 0 y p 3 p 1 respectivamente p (0) = 1 2 (p 2 p 0 ), p (1) = 1 2 (p 3 p 1 ) Lo anterior se verifica fácilmente en la sigiente gráfica Figura 1.13: Cúbica de Overhauser Podemos parametrizar una cúbica de Overhauser como curva de Bézier, los puntos de control para la parametrización de Bézier b 0,..., b 3 se calculan a partir de los puntos de control para la parametrización de Overhauser p 0,..., p 1 así. b 0 b 1 b 2 b = } 0 0 {{ 6 0 } M M es la matriz de cambio de base de C a B 3 p 0 p 1 p 2 p 3 6p 1 = 1 p 0 + 6p 1 + p 2 6 p 1 + 6p 2 p 3 6p 2 (1.21)

29 1.2. Conceptos básicos de CAGD 23 Figura 1.14: Cúbica con dos polígonos de control, negro para la parametrizaciíon de Bézier, rojo para la de Overhauser Comentarios. 1. La parametrización dada por (1.16) es solo un caso particular de la parametrización racional b(u) = n i=0 w ib i B n i (u) n i=0 w ib n i (u) (1.22) a los w i se les denomina pesos, es claro que (1.16) es el caso w i = 1 para todo i. 2. En la práctica casi siempre se trabaja con curvas de Bézier de grado 3 o menor. 3. Las superficies de Bézier dadas por (1.19) son un subconjunto de las denominadas superficies producto tensorial.

30 24 Capítulo 1. Preliminares 1.3. Conceptos básicos de imágenes médicas Cuando Wilhelm Conrad Röntgen descubrió los rayos X en 1895 se creó una nueva rama de la medicina, la radiología. Con el tiempo aparecieron más modalidades para obtención de imágenes del cuerpo usando radiación gamma, electromagnética y ultrasonido. En la actualidad el campo de las imágenes médicas no se queda relegado sólo a la radiología o la medicina, en su estudio se usan elementos de computación y matemáticas. Para la obtención de imágenes médicas se debe irradiar (con algún tipo de energía) una muestra o paciente. Según la naturaleza o tipo de energía usada las imágenes médicas se clasifican en: Radiografía, TAC. Usa rayos X. Medicina nuclear. Usa radiación gamma. Ecografía Usa ultrasonido (energia ultrasónica). Resonancia magnética Usa radiación electromagnética (ondas de radio). En esta tesis se trabajará con imágenes obtenidas en modalidad TAC y almacenadas en formato DICOM, vamos a tratar brevemente sobre estos dos términos. Figura 1.15: Volumen DICOM obtenido por modalidad TAC

31 1.3. Conceptos básicos de imágenes médicas 25 Tomográfía Axial Computarizada (TAC). Permite observar el interior del cuerpo humano a través de cortes milimétricos transversales al eje cefalo-caudal ( que une la cabeza con los pies), mediante el uso de rayos X. El principio básico del funcionamiento del TAC es la reconstrucción de la imagen en base a la cantidad de radiación que absorba, examinada en múltiples direcciones. Supongamos que K es un cuerpo convexo con una masa de densidad variable, dada por una función f. Si K es atravesado por una radiación (rayos X en este caso) en una dirección dada por una recta L, en esta dirección se puede medir la magnitud de entrada y la de salida (de la radiación). La diferencia entre estas dos intensidades, que denotaremos F (L), corresponde a la cantidad de radiación absorbida por K en la dirección de L.En [10] el matemático Johann Radon resolvió teóricamente este problema en 1917, pero lo hizo para infinitas direcciones. En la práctica se divide a K en secciones planas y se hace la reconstrucción de cada una de éstas, en cada sección se usa un número finito de rectas. Cada proyección de rayos X, p(s, θ), puede ser expresara como función de s, distancia a lo largo de la proyección, y θ, ángulo de rotación de la fuente de rayos X y el detector. p(s, θ) = R(f(x, y)) = f(x, y)dl A R se le conoce como la transformada de Radon. Para reconstruir la imagen, es decir hallar f(x, y), se debe encontrar la inversa de R, esto se hace por métodos como la retroproyección, retroproyección filtrada y métodos iterativos los cuales no detallaremos aquí. L Figura 1.16: Sección transversal de K

32 26 Capítulo 1. Preliminares El resultado final de la reconstrucción es una matriz de números M que se codifican como niveles de gris para formar los pixeles de la imagen. Si m 1 = min(m) y m 2 = max(m),entonces a m 1 le corresponde el color negro y a m 2 el blanco. Figura 1.17: Codificación de colores en una imagen médica Formato DICOM. También conocido como estándar DICOM (Digital Imaging and Communication in Medicine), es el mecanismo de codificación, almacenamiento y transmisión de imágenes aceptado universalmente por la comunidad médica. En este formato se puede almacenar información sobre el paciente, las condiciones en las que se tomó la imagen y el formato interno de ésta. Los arcivos en formato DICOM tienen extensión.dcm y pueden ser manipulados en MATLAB con los comandos dicomread y dicominfo. Si tenemos el archivo IM dcm, entonces la intrucción M=dicomread(ÍM dcm ) genera una matriz de números con la codificación de los colores de la imagen. La instrucción dicominfo(ím dcm ) muestra toda la información adicional sobre los datos del paciente y de la imagen. Para mas información sobre imágenes médicas ver [11].

33 Capítulo 2 Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas Sea α(u) una curva parametrizada, del capítulo anterior sabemos que es posible construir 3 tipos de superficies desarrollables que la contienen como u-curva. Cilindro. X(u, v) = α(u) + vd, con d vector constante. Cono. X(u, v) = α(u) + v(t 0 α(u)), con t 0 punto fijo llamado vértice. Superficie tangente. X(u, v) = α(u) + vα (u). Ahora vamos a ver mas técnicas para construir superficies desarrollables que contengan una curva α predeterminada. Consideraremos los mecanismos de control sobre la superficie construida y sobre la forma de la curva α en la superficie desarrollada (aplicada sobre el plano) X (u, v) Algoritmo de Aumann En [3] Günter Aumann propone un método para construir superficies desarrollables a partir de curvas de Bézier. Dada una curva de Bézier b(u) de grado n con u [0, 1], y polígono de control {b 0, b 1,..., b n }, se construye otra curva de Bézier c(u) de grado n con polígono de control {c 0, c 1,..., c n } de modo que la superficie reglada de Bézier X(u, v) = (1 v)b(u) + vc(u) u, v [0, 1] (2.1) 27

34 28 Capítulo 2. Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas sea desarrollable. El polígono de control de c(u) se construye de la siguiente manera: Se elige libremente c 0 de modo que c 0 b 0 no sea paralelo a b 1 b 0. Se eligen libremente dos constantes λ, µ 0 y se construyen c 1,..., c n mediante la recursión c i+1 = b i + λ(b i+1 b i ) + µ(c i b i ) (2.2) Notemos que la iteración anterior garantiza que el punto c i+1 (o el vector c i b i ) esté en el plano que contiene a los puntos b i, b i+1, c i (generado por los vectores c i b i, b i+1 b i ). La superficie de la ecuación (2.1) es un cilindro si y solo si λ = 1, un cono si y solo si µ = 1 y λ 1, y es una superficie tangente en otro caso. Lo anterior se demuestra en [3], no vamos a repetir las pruebas aquí. Las figuras 2.1, 2.2 y 2.3 muestran gráficas de superficies generadas por la curva b(u) con polígono de control {(1, 0, 0), (2, 1, 3), (3, 4, 0), (5, 2, 1)}, c 0 = (3, 1, 0) y diferentes valores de λ, µ. Figura 2.1: Superficie tangente. λ = 0,6, µ = 1,2, curva b(u) en verde

35 2.1. Algoritmo de Aumann 29 Figura 2.2: Cilindro. λ = 1, µ = 1, curva b(u) en verde Figura 2.3: Cono. λ = 1,4, µ = 1, curva b(u) en verde Las superficies anteriores tienen en común la curva b(u) y el generador c 0 b 0 (X(0, v) con v [0, 1]), es conveniente verlas en una sola gráfica.

36 30 Capítulo 2. Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas Figura 2.4: Superficies desarrollables sobre b(u). Cono (en azul), cilindro (en verde) y superficie tangente (en rojo) Forma matricial del algoritmo de Aumann La iteración (2.2) se puede reescribir como c i+1 = µc i + ρb i + λb i+1 con ρ = (1 λ µ) (2.3) aplicando (2.3) es posible escribir cada c i como combinación lineal de c 0, b 0,..., b n, lo que permite escribir el algoritmo de Aumann en forma matricial. Para n = 3 podemos escribir este algoritmo como c 0 c 1 c 2 c 3 c 0 = µc 0 µ 2 c + 0 } µ 3 c 0 {{ } C ρ λ 0 0 ρµ λµ + ρ λ 0 } ρµ 2 µ(λµ + ρ) {{ λµ + ρ λ } A(λ,µ) b 0 b 1 b 2 b 3 (2.4) En (2.4) los c i y los b i se expresan como vectores columna. Si P B = {b 0,..., b n } es el polígono de control de una curva de Bézier y definimos P B = [b 0,..., b n ] T, entonces podemos reescribir (2.4) como QB = C 0 + A(λ, µ)p B (2.5)

37 2.1. Algoritmo de Aumann 31 donde QB = {c 0,..., c n } es el polígono de control construido al aplicar a P B el algoritmo de Aumann, y A(λ, µ) es la matriz de (2.4) (en (2.4) se tiene n = 3 pero es fácil hallar esta matriz para cualquier n). Luego el algoritmo de Aumann es una transformación afín de M n 3 (R) en M n 3 (R). El algoritmo de Aumann se plantea para curvas de Bézier, pero también funciona para cúbicas de Overhauser si µ = 1. Si b 0,..., b 3 son los puntos de control de una cúbica de Overhauser p(t), es decir p(t) = b 0 P 0 (t) + b 1 P 1 (t) + b 2 P 2 (t) + b 3 P 3 (t) donde P 0,..., P 3 son los polinomios de la base de Overhauser, y construimos otra cúbica de Overhauser q(u) con puntos de control q 0,..., q 3 usando la recursión de Aumann con µ = 1, entonces la superficie reglada S(u, v) = (1 v)p(u) + vq(u) es desarrollable. S es cilindro si y solo si λ = 1, y es un cono si y solo si λ 1. Usando la forma matricial podemos dar una prueba de lo anterior. Sean B, C las bases de Bernstein y Overhauser para los polinomios de grado 3 respectivamente, y sea M la matriz de cambio de base de C a B. Sea p(u) una cúbica de Overhauser con polígono de control P C = {p 0,..., p 3 }, construimos QC = {q 0,..., q 3 } aplicando a P C el algoritmo de Aumann con un punto inicial q 0, λ libre y µ = 1, es decir QC = C 0 + A(λ, 1)P C, con C 0 = [q 0, q 0, q 0, q 0 ] T. Sea P B = {b 0,..., b 3 } el polígono de control para p(u) parametrizada como curva de Bézier, es decir P B = MP C, y p(t) = 3 b i Bi 3 (t) t [0, 1] (2.6) i=0 ahora, sea QB = {c 0,..., c 3 } el polígono de control obtenido al aplicarle la recursión de Auman a P B con c 0 = q 1 1, µ = 1 y el valor λ de la anterior, es decir QB = C0 + A(λ, 1)P B, con C0 = [q 1, q 1, q 1, q 1 ] T. La prueba se reduce a mostrar que QB = MQC, es decir C 0 + A(λ, 1)P B = MQC (2.7) C 0 + A(λ, 1)MP C = M(C 0 + AP C) (2.8) Notemos que la igualdad (2.8) equivale a decir que el siguiente diagrama conmuta, 1 Se toma este punto inicial para que las cúbicas inicien en el mismo punto

38 32 Capítulo 2. Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas Figura 2.5: Diagrama conmutativo es decir, se llega al mismo resultado el aplicar primero la iteración de Aumann y después cambiar de parametrización ( o de base ), que al cambiar de parametrización primero y después aplicar la iteración de Aumann. Para probar (2.8) la reescribimos así C0 MC 0 = (MA(λ, 1) A(λ, 1)M)P C (2.9) de (1.21) y (2.4) tenemos M = , A(λ, 1) = λ λ 0 0 λ 0 λ 0 λ 0 0 λ se tiene MC 0 = C 0, y [MA(λ, 1) A(λ, 1)M] P C = λ [p1 p0, p1 p0, p1 p0, p1 p0] T = C 0 C 0 de donde tenemos (2.9) Superficies desarrollables a trozos usando cúbicas de Overhauser y el algoritmo de Aumann La ventaja de la parametrización de Overhauser sobre la de Bézier es la interpolación. Si queremos interpolar n puntos A 1,..., A n con un spline, es decir, una familia de curvas con tangente común, resultante de la concatenación de segmentos de cúbicas con tangente continua, agregamos 2 puntos auxiliares A 0, A n+1, y construimos n 1 segmentos de cúbicas de Overhauser b 1 (t),..., b n 1 (t) donde cada b i (t) tiene puntos de

39 2.1. Algoritmo de Aumann 33 control p i,0,..., p i,3 dados por p i,0 = A i 2, p i,1 = A i 1, p i,2 = A i, p i,3 = A i+1 (2.10) Figura 2.6: Segmentos de cúbicas de Overhauser interpolantes, los puntos de control de b 1 (t) son A 0,.., A 3, los de b 2 (t) son A 1,.., A 4 En la gráfica anterior la tangente en el punto A 2 donde se conectan las dos curvas, es continua ya que por las propiedades de las cúbicas de Overhauser se tiene db 1 du (1) = 1 2 (A 3 A 1 ) = db 2 du (0) luego es claro que la tangente será continua sobre toda las cúbicas. El spline obtenido con el proceso anterior se le denomina spline de Overhauser 1. Ahora vamos a construir una superficie desarrollable a lo largo de un spline de Overhauser b 1 (t), b 2 (t),..., b n (t) (un trozo por cada cúbica), aplicando el algoritmo de Aumann con µ = 1 sobre cada curva. Para cada cúbica b i (t) debemos tomar un punto inicial c 0,i y un valor λ i, el valor de λ i será libre, el de c 0,i no. Es suficiente ver esta construcción para 2 cúbicas consecutivas que denotaremos b(u), b (u). Sean P C = {A 0,..., A 3 }, P C = {A 1,..., A 4 } los polígonos de control de b(u) y b (u) respectivamente, elegimos un punto c 0 y un valor λ, con estos aplicamos la iteración de Aumann a P C y obtenemos un polígono de control QC = {c 0, c 1, c 2, c 3 }. Con este polígono de control construimos una cúbica de Overhauser c(u), que junto con b(u) definen el trozo de superficie desarrollable X(u, v) = (1 v)b(u) + vc(u) con u, v [0, 1] 1 En la literatura matemática es mejor conocido como spline de Catmull-Rom

40 34 Capítulo 2. Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas Ahora debemos usar P C para construir un polígono de control QC = {c 0, c 1, c 2, c 3} tal que la cúbica c (t) que se obtenga con éste inicie en c 2, es decir c (0) = c 2, por tanto se debe dar c 1 = c 2. Como QC se construye aplicando la recursión de Aumann a P C con un punto c 0 y un valor λ,( y queremos c 1 = c 2 ) entonces de (2.2) c 1 = c 2 = A 1 + λ (A 2 A 1 ) + µ (c 0 A 1 ). Como µ = 1, al despejar c 0 de la ecuación anterior tenemos c 0 = c 2 λ (A 2 A 1 ) (2.11) luego, tomando este c 0 y λ libre garantizamos que la recursión de Aumann aplicada a P C genere QC con c 1 = c 2. Con QC construimos la cúbica de Overhauser c (u), y con ésta y b (u) el trozo X (u, v) = (1 v)b (u) + vc (u) para u, v [0, 1]. Así tenemos dos trozos de superficie desarrollable X(u, v), X (u, v), que se conectan por medio del generador común X(1, v) = X (0, v) para v [0, 1]. Los extremos de este generador son los puntos X(1, 0) = X (0, 0) = A 2 y X(1, 1) = X (1, 0) = c 2, es claro que en A 2 hay continuidad en la tangencia, pero además tenemos lo siguiente: (a) Las tangentes de c(u) y c (u) son paralelas en su punto común c 2 dc du (1) = 1 2 (c 3 c 1 ) = λ 2 (A 3 A 1 ), dc du (0) = 1 2 (c 2 c 0) = λ 2 (A 3 A 1 ). (b) El punto c 0 está sobre la recta que pasa por c 1 y tiene vector director c 2 c 1 y c 2 sobre la recta que pasa por c 2 con vector director c 3 c 2. Para probar (a) y (b) basta aplicar (2.2) con µ=1. Para c 3 tenemos c 3 = λ (A 3 A 2 ) + λ (A 2 A 1 ) + c 1 }{{} c 2 c 3 c 1 = λ (A 3 A 1 ). Análogamente se puede ver que c 2 c 0 = λ (A 3 A 1 ), de donde se tiene (a). Ahora, como c 2 c 1 = λ(a 2 A 1 ), es decir, c 2 c 1 es paralelo a A 2 A 1, entonces de (2.11) c 0 está en la recta que pasa por c 2 con vector director c 2 c 1, análogamente se prueba el resultado para c 2, lo que demuestra (b). En la siguiente gráfica vemos dos trozos X(u, v), X (u, v), construidos usando λ=0.8,

41 2.1. Algoritmo de Aumann 35 λ =0.5, es facil verificar las afirmaciones (a) y (b) en la figura 2.7. Figura 2.7: Trozos X(u, v) en rojo y X (u, v) en azul

42 36 Capítulo 2. Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas 2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux Sea α(s) una curva parametrizada por longitud de arco con α 0, sea Π s el plano rectificador ( generado por los vectores tangente T y binormal B) de ésta para el valor s del parámetro. Vamos a calcular la envolvente de la familia uniparámetrica de planos dada por Π s a lo largo de α(s). Para eso debemos encontrar el vector d(s) que da la dirección del generador, es decir el vector que permita expresar la envolvente como X(s, t) = α(s) + td(s) donde t es el parámetro para los generadores. Como el vector normal a la curva N(s) es también el vector normal a la familia Π s, entonces d(s) debe cumplir las ecuaciones d(s) N(s) = 0. d(s) N (s) = 0. Es claro que las anteriores ecuaciones se cumplen si d(s) está en la dirección de N(s) N (s), que es la misma dirección de α (s) α (s), así podemos expresar la envolvente como ( ) X(s, t) = α(s) + t α (s) α (s). (2.12) Ahora, es claro que la superficie X(s, t) es desarrollable ya que es una superficie reglada con vector normal constante N(s 0 ) a lo largo de cada generador X(s 0, t) para s 0 fijo, además la curva α(s) es una geodésica sobre esta superficie, ya que su vector normal está en la misma dirección del vector normal a la superficie (son iguales), por tanto tiene curvatura geodésica κ g = 0. Como el vector N(s) N (s) está en el plano rectificador entonces se puede expresar como combinación lineal de T (s) y B(s) (vectores tangente y binormal de α(s)), para esto usamos las fórmulas de Frenet así: N(s) N (s) = N(s) ( κ(s)t (s) + τ(s)b(s)) N(s) N (s) = κ(s)n(s) T (s) + τ(s)n(s) B(s) N(s) N (s) = κ(s)b(s) + τ(s)t (s) =: ω(s) Al vector ω(s) se le denomina vector de Darboux, y usando de nuevo las fórmulas de

43 2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux 37 Frenet se puede probar que ω(s) T (s) = T (s) ω(s) N(s) = N (s) ω(s) B(s) = B (s) Notemos que usando las fórmulas (1.2) y (1.3) podemos calcular el vector de Darboux ω para una parametrización cualquiera, así podemos expresar la superficie dada por la parametrización (2.12) para una curva α que no esté parametrizada por longitud de arco como X(u, v) = α(u) + v ( τ(u)t (u) + κ(u)b(u)) X(u, v) = (1 v)α(u) + v (α(u) + ω(u)) A la superficie X(u, v) la denominaremos superficie de Darboux para α. Es claro que si α es una curva plana entonces su superficie de Darboux será un cilindro con sus generadores en la dirección del vector normal al plano que contiene la curva, ya que ω(u) = κ(u)b(u). La figura 2.8 ilustra la superficie de Darboux de la curva α(u) = (u 3 2u, u 2, 2u 3 ) para u [0, 1]. Figura 2.8: Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo)

44 38 Capítulo 2. Construcción de superficies desarrollables por medio de curvas predeterminadas Como la superficie anterior es desarrollable y α(u) es una geodésica sobre ésta entonces en la superficie desarrollada α(u) se transformará en una recta,lo cual se ilustra en la figura 2.9 Figura 2.9: Desarrollo de la superficie de Darboux para α(u) Al igual que con el algoritmo de Aumann con el vector de Darboux partimos de una curva base α(u) y construimos otra curva β(u) tal que la superficie X(u, v) = (1 v)α(u) + vβ(u) sea desarrollable. Con el algoritmo de Aumann α(u) es una curva de Bézier de grado n, y β(u) es otra curva de Bézier del mismo grado. Con el vector de Darboux no sucede lo mismo, si α(u) es una curva polinómica de grado n, entonces β(u) será una curva algebraica racional de grado mayor que n, en general será una curva mucho mas compleja que α(u), por ejemplo la componente x para la curva β(u) de las gráficas anteriores es β x (u) = u3 Ω 2u Ω 24300u u u u 960u Ω = 45u 4 8u Γ = u u 4 Ω = ( Γ u u u u 8) Como la parametrización de la curva β(u) es muy compleja lo mismo ocurre con su traza, por eso es posible que las superficies de Darboux presenten autointersecciones, es decir, intersecciones entre sus generadores, veamos esto en la gráfica de la superficie

45 2.2. Superficie desarrollable dada por el vector de Darboux 39 de Darboux para la curva α(u) = (2u 3 4u 2 + u, u 3 + u, u 3 2u 1) para u [0, 1] Figura 2.10: Superficie de Darboux para la curva α(u) (en rojo)

46 Capítulo 3 Superficies desarrollables semidiscretas Vamos a denominar las superficies construidas en el capítulo anterior como D-strips, es decir, un D-strip es una superficie desarrollable a trozos formada por conos, cilindros o superficies tangentes que se conectan por medio de generadores comunes. Los D-strips se construyen sobre una familia de curvas dadas por polígonos de control. En este capítulo vamos a construir superficies formadas por D-strips conectados por medio de curvas comunes, y las vamos a denominar superficies desarrollables semidiscretas. En [4], [6] y [1] se estudian las aplicaciones de estas superfices como solución al problema de la panelización en arquitectura, es decir, cómo cubrir una estructura con páneles curvos obtenidos por medio del doblado de páneles planos. Aquí las usaremos para modelar órganos y estructuras anatómicas y visualizarlas de manera plana y sin distorsión Parametrizaciones conjugadas y mallas-cp Sea P un punto en una superficie parametrizada X(u, v) (P = X(u 0, u 0 )), se dice que U, V T P M son direcciones conjugadas sii II(U, V ) = 0. Una parametrización X(u, v) de una superficie se denomina conjugada si X u (u 0, v 0 ) y X v (u 0, v 0 ) son direcciones conjugadas para todo u 0, v 0, lo cual es equivalente a que X u, X v y X uv sean linealmente dependientes. A las familias dadas por u-curvas y v-curvas de una parametrización conjugada se les deonomida red de curvas conjugadas. Algunos ejemplos de parametrizaciones conjugadas son: La superficie desarrollable X(u, v) = (1 v)α(u) + vβ(u). Como el vector normal a lo largo de cada generador (v-curva) es constante, entonces para todo u 0, v 0 S p (X v (u 0, v 0 )) = 0, por tanto II(X u (u 0, v 0 ), X v (u 0, v 0 )) = 0.

47 3.1. Parametrizaciones conjugadas y mallas-cp La superficie traslacional X(u, v) = p(u) + q(v). Esta superficie es generada por el movimiento de una curva perfil p(u) a lo largo de una curva directriz q(v) (o viceversa). Las parametrizaciones conjugadas se caracterizan por (a) las envolventes de las familias de planos tangentes de las u-curvas (respectivamente v-curvas) son superficies desarrollables con generadores tangentes a las v-curvas (respectivamente u-curvas), es decir, si X(u, v) es una parametrización conjugada entonces para u = u 0 fijo, la envolvente de los planos tangentes sobre la v-curva X(u 0, v) es la superficie S(v, w) = X(u 0, v) + wx u (u 0, v). Una parametrización es conjugada si y solo si cumple (a). En la siguiente gráfica tenemos una superficie dada por una parametrización conjugada. Figura 3.1: Superficie traslacional en azul, envolvente de los planos tangentes de una curva isoparamétrica en rojo A continuación consideramos una versión discreta de las parametrizaciones conjugadas y los D-strips. Una malla de cuadriláteros es una función m : D Z 2 R 3, aquí usaremos D = {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} y lo interpretaremos como una matriz o arreglo de tamaño m n. Denotaremos por M i,j al cuadrángulo formado por los vértices

48 42 Capítulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas m(i, j), m(i + 1, j), m(i + 1, j + i), m(i, j + 1). Si para todo (i, j) D el cuadrángulo M ij es plano entonces diremos que m es una malla-cp (de cuadrángulos planos). Para cada fila i de D denotaremos por F i m al poliedro formado por los M i,j para j = 1,.., n, y para cada columna j denotaremos por C j m al poliedro formado por los M i,j para i = 1,...m. Denotaremos por ab al segmento que une los puntos a y b. En una malla-cp m podemos interpretar a cada F i m (y cada C j m) como una versión discreta de un D-strip con generadores m(i, j)m(i, j + 1) para i = 1,..., m con planos tangentes constantes M ij a lo largo de cada generador. Decimos que el poliedro formado por M i,k,..., M i,k+l es un modelo cilíndrico si todos sus generadores son paralelos, cónico si todos sus generadores se intersectan en un punto, y tangente si sus generadores se intersectan a lo largo de los vértices r 1,..., r l de un polígono. A éste se le denomina polígono de regresión y es la versión discreta de la curva de regresión. Es claro que cada F i m se puede dividir en modelos cónicos, cilíndricos y tangentes. En la siguiente gráfica vemos un modelo tangente (usamos a i = m(i, k), b i = m(i + 1, k)) Figura 3.2: Modelo tangente en azul y polígono de regresión en rojo Si aplicamos un proceso de refinamiento agregando nuevos generadores a F i m de modo que sus cuadrángulos sigan siendo planos entonces en el límite obtendremos un D-strip ya que el plano tangente sigue siendo constante sobre cada generador. Una malla-cp se puede también interpretar como una versión discreta de una parametrización conjugada. Los polígonos con vértices m(i, 1),..., m(i, n) (o m(1, j),..., m(m, j))

49 3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. 43 corresponden a las curvas isoparamétricas ( u-curvas, v-curvas ) y los F i m (o C i m) a las envolventes de los planos tangentes sobre éstas. De lo anterior es claro que una malla- CP cumple una versión discreta de (a), por tanto al aplicar un proceso de refinamiento a una malla-cp, es decir, agregarle vértices de modo que siga siendo una malla-cp, se obtiene en el límite una red de curvas conjugadas. Si el refinamiento se aplica solo a los F i m (o C i m) se obtiene una superficie formada por D-strips que denotaremos superficie desarrollable semidiscreta. Figura 3.3: Refinamiento de una malla-cp Un proceso de refinamiento se puede hacer altermando un método de subdivisión y uno de planarización, el método de subdivisión agrega nuevos vértices a la malla, y el de planarización reacomoda los vértices de modo que la malla resultante sea una malla-cp. En [7] se pueden ver los detalles de un método de planarización. Aquí construiremos superficies desarrollables semidiscretas usando mallas-cp pero sin aplicarle a éstas procesos de refinamiento, usaremos el algoritmo de Aumann y algunas superficies especiales Superficie desarrollable semidiscreta M.A. En esta sección vamos a construir una superficie desarrollable semidiscreta aplicando apropiadamente el algoritmo de Aumann sobre cada M ij (por secuencias M i,1, M i,2,..., M i,n ) en una malla-cp hecha de trapecios ( M ij es trapecio para todo i, j), construiremos esta malla usando una superficie especial denominada superficie moulding. La superficie estará formada por parches de Bézier de bigrado (3,1), y nos referimos a este tipo de superficie como superficie M.A. (Moulding-Aumann)

50 44 Capítulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas Interpolación con el algoritmo de Aumann En el capítulo anterior usamos el algoritmo de Aumann para construir superficies desarrollables a partir de una curva predeterminada, ahora lo usaremos para interpolar segmentos, es decir, construir una superficie desarrollable que contenga unos segmentos predeterminados como generadores. Dados dos puntos P, Q en una recta L 0, y dos puntos R, S en una recta L 1, queremos encontrar una superficie desarrollable X(u, v) = (1 v)b(u) + vc(u) tal que X(0, v) = L 0, X(1, v) = L 1 v R. (3.1) Más precisamente, queremos encontrar X(u, v) con u, v [0, 1] tal que X(0, 0) = P, X(0, 1) = Q, X(1, 0) = R, X(1, 1) = S (3.2) Usaremos una cúbica de Bézier b(u) con polígono de control b 0 = P, b 1, b 2, b 3 = R y aplicaremos el algoritmo de Aumann con punto inicial Q y valores apropiados de λ, µ (que debemos buscar), para construir una cúbica de Bézier c con polígono de control c 0 = Q, c 1, c 2, c 3. Para satisfacer (3.1) necesitamos valores de λ, µ tal que c 3 L 1, para (3.2) debemos escoger estos dos valores tal que c 3 = S. Hay dos casos respecto a la posición relativa de las rectas L 0, L 1 : que sean coplanares, y que sean alabeadas (no coplanares). Vamos a considerar el primer caso tomando µ = 1, y buscar un valor de λ tal que c 3 L 1. Sea T el punto de intersección entre L 1 y la recta que pasa por Q con vector director R P, tomamos λ = T Q R P. (3.3) Aplicando la iteración de Aumann ( ecuación (2.2)) con µ = 1 tenemos c 3 c 0 = λ(b 3 b 0 ) c 3 Q = T Q (R P ). R P De la última ecuación es claro que c 3 = T, es decir, al aplicar la iteración de Aumann al polígono de control b 0 = P, b 1, b 2, b 3 = R con µ = 1, λ como en (3.3) y punto inicial

51 3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. 45 Q obtenemos c 3 = T. Si queremos una superficie que cumpla (3.2) basta tomar X (u, v) = (1 v)b(u)+vc (u) donde c (u) es una curva sobre X(u, v) tal que c (0) = Q y c (1) = S, es fácil ver que esta curva se puede construir como c (u) = c(u) + ( i) j u S c 3 (c(u) b(u)) donde j = 0 si s Rc 3 y j = 1 si s / Rc 3. El problema es que la curva c (u) es de grado 4, por tanto la superficie X (u, v) no es un parche de Bézier de bigrado (3,1). El problema se simplifica si tenemos P R y QS paralelos, es decir, si el polígono P, R, S, Q es un trapecio. Consideremos ahora el caso en que L 0 y L 1 son alabeadas. Es claro que estas rectas se pueden parametrizar respectivamente como l 0 (w) = P + w(q P ), l 1 (w) = R + w(s R), w R Tomamos los puntos A = l 1 (w 0 ), B = l 0 (w 1 ) para w 0 > 1, w 1 < 0 y tomamos dos puntos E, F en AB dados por E = A + s(b A), F = A + t(b A) con s < t. Ahora, es claro que los segmentos P Q y EF son coplanares, al igual que los segmentos EF y RS, por tanto podemos aplicar la construcción anterior a los polígonos P, Q, E, F y F, E, R, S obteniendo dos conos que interpolan las rectas L 0 y L 1. Figura 3.4: Caso L 0 y L 1 alabeadas

52 46 Capítulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas Superficie moulding Una superficie moulding es la obtenida por el movimiento de una curva plana p(u) sobre planos ortogonales a una curva directriz q(v). Para tratar este tipo de superficie es conveniente definir los conceptos de offset y evoluta. Sea α(u) una curva parametrizada, un offset de ésta es una curva de la forma c d (u) = α(u) + dn(u) donde d es una constante y N(u) es el vector normal unitario de α(u). La evoluta de α(u) es la curva E(u) dada por E(u) = α(u) + 1 κ(u) N(u). Usando las fórmulas de Frenet podemos ver que E (u) = κ (u) κ(u) 2 N(u), luego el vector tangente a E(u) es paralelo a N(u), y tenemos lo siguiente: (b) La recta que pasa por α(u) con vector director N(u) es tangente a E(u). En la siguiente gráfica vemos una curva α(u) con 3 offsets para d = 1, 1, 3 y su evoluta. Figura 3.5: Curva α(u) en azul, offsets en negro y evoluta en rojo Una superficie moulding es generada por una curva directriz q(v) con v [a, b], una curva perfil plana p(u) = (p 1 (u), p 2 (u)) con u [c, d] y una base ortonormal {T (v), e 1 (v), e 2 (v)},

53 3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. 47 donde T (v) es el vector tangente unitario a q(v), e 1 (v) es un vector unitario ortogonal a T (v) y e 2 (v) = e 1 T (v). Suponemos que e 1 (v) proviene de una función continua e 1 : [a, b] R 3. Con los anteriores elementos se construye la superficie moulding M(u, v) como M(u, v) = q(v) + p 1 (u)e 1 (v) + p 2 (u)e 2 (v) u [c, d], v [a, b]. (3.4) Aquí usaremos el caso particular donde q(v) es una curva plana contenida en un plano que denotaremos Π y e 1 (v) = N(v) (vector normal unitario a q(v)), por tanto e 2 (v) = n donde n es el vector normal a Π, es decir, usaremos una superficie moulding M(u, v) dada por M(u, v) = q(v) + p 1 (u)n(v) + p 2 (u)n u [c, d], v [a, b]. (3.5) Algunas características de la superficie de la ecuación (3.5) son: (1) Las u-curvas son congruentes a la curva perfil p(u), ya que para cada v 0 fijo M(u, v 0 ) es p(u) en el sistema de coordenadas dadas por q(v 0 ) (como origen) y la base ortonormal N(v 0 ), n. Cada u-curva está contenida en un plano con vector normal T (v 0 ), por tanto todas las u-curvas están contenidas un una familia monoparamétrica de planos que denotaremos Π v (v [a, b]) y cada plano de esta familia es ortogonal a Π. Para cada v 0 fijo los vectores tangentes y normales de M(u, v 0 ) están contenidos en Π v0. (2) Las v-curvas están contenidas en una familia de planos paralelos a Π, ya que para cada u 0 fijo tenemos M(u 0, v) = q(v) + p 1 (u 0 )N(v) + }{{} p 2 (u)n }{{} offset traslación es decir, cada v-curva se puede construir como un offset de q(v) mas una traslación en la dirección de n. El vector M (u 0, v) = q (v)+p 1 (u 0 )N (v), es paralelo a T (v) ya que q (v) y N (v) lo son, por tanto M(u 0, v) es ortogonal a Π v v [a, b]. para cada (3) Las u-curvas son geodésicas sobre M(u, v). Para v 0 fijo de (1) y (2) tenemos que M u (u, v 0 ) M v (u, v 0 ) y si N(u) es el vector normal de M(u, v) entonces M v (u, v 0 ) N(u). De lo anterior tenemos N(u) M u (u, v 0 ) y N(u) M v (u, v 0 ) lue-

54 48 Capítulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas go N(u) es paralelo a M u (u, v 0 ) M v (u, v 0 ), es decir, el vector normal a la u-curva es paralelo al vector normal a la superficie. (4) Sea C(v, w) el cilindro dado por la extrusión de la evoluta de q(v) en la dirección de n, es decir C(v, w) = q(v) + 1 N(v) + wn, κ(v) entonces se deduce de (b) que para todo v 0, Π v0 es tangente a C(v, w) a lo largo del generador C(v 0, w), es decir, el cilindro C(v, w) es la envolvente de la familia de planos Π v. Así q(v) es un segmento de círculo entonces C(v, w) es una recta y M(u, v) es una superficie de revolución. (5) Si la curva perfil p(u) es un segmento de recta entonces M(u, v) es una superficie desarrollable, ya que el vector normal N(u) sobre cada u-curva (generador) al estar contenido en un plano se mantiene constante. En la siguiente gráfica tenemos la superficie moulding de la ecuación (3.5) con q(v) = (v, 0,3v 2, 0), p(u) = (0, u, u 2 ), u, v [ 1, 1]. Figura 3.6: Superficie moulding M(u, v), en azul, q(v) en rojo, p(u) en negro, cilindro C(v, w) en verde, y un plano de la familia Π v en rojo

55 3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. 49 Para la superficie moulding de la ecuación (3.4) se verifican (1), (3) y (5), además la envolvente de Π v es una superficie desarrollable que contiene a la evoluta de q(v). En [9] se puede ver más sobre estas superficies Construcción de la superficie desarrollable semidiscreta MA Si tenemos una superficie moulding M(u, v) con v [a, b], u [c, d], y discretizamos [a, b] [c, d] por medio de las particiones P U : c = u 1 < u 2 < < u m = d, P V : a = v 1 < v 2 < < v n = b obtenemos de manera natural una malla m : Z 2 R 3 m(i, j) = M(u i, v j ). En general m no es una malla-cp. Usaremos a M(u, v), P V y P U para construir una malla-cp m formada por trapecios, la construcción de m se basará en la propiedad (2), y por eso podremos interpretar a m como una versión discreta de una superficie moulding. Usaremos un algoritmo dado por los siguientes 3 pasos. Paso 1. Usando P V construimos la poligonal dada por los puntos q(v 1 ), q(v 2 ),..., q(v n ), y para cada j construimos la recta normal a q(v) en el punto q(v j ) que denotaremos r j. Figura 3.7: Paso 1. Curva q(v) en verde, rectas r i en azul

56 50 Capítulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas Paso 2. Ahora usamos P U y para cada i construimos el polígono q i,1, q i2,..., q i,n que denotaremos C i, con q i,j r j, q i,1 como la proyección ortogonal de M(u i, a) sobre Π y cada q i,k q i,k+1 paralelo a q(v k )q(v k+1 ). Notamos que cada C i se puede interpretar como una versión discreta de un offset de la poligonal q(v 1 ), q(v 2 ),..., q(v n ). Figura 3.8: Paso 2. Polígonos C i en rojo Paso 3. Con cada C i construimos C i = C i + d i n, donde d i es una distancia (que definiremos mas adelante) tal que C i esté cerca de M(u, v). Sobre cada r j los puntos q 1,j, q 2,j,..., q m,j forman una discretización de [c, d] con puntos que denotaremos u ij dados por u i,j = c + δ i δ m (d c) con δ i = i q k,j q k 1,j si i > 1, δ 0 = 0 (3.6) k=1 De (3.6) es claro que u 1,j = c, u m,j = d y u i,j [c, d] para todo i. Definimos la distancia d i como d i = 1 n n q 2 (u i,j ) (3.7) j=1 Notemos que cada C i del paso 3 está dado por los vértices que denotaremos q i,j, dados por q i,j = q i,j + d i n, y éstos forman de manera natural una malla m : Z 2 R 3 m(i, j) = q i,j.

57 3.2. Superficie desarrollable semidiscreta M.A. 51 Es claro que m es una malla-cp formada por trapecios. Figura 3.9: Malla m del paso 3 La definición de d i se podría hacer buscando minimizar la distancia entre la poligonal C i y la superficie M(u, v), pero para las aplicaciones que trabajaremos aquí es suficiente definir d i como en (3.7). Ahora vamos a construir la superficie MA aplicando la interpolación con el algoritmo de Aumann considerada en la sección sobre cada trapecio M i,j. Esto se hace construyendo un D-strip sobre cada F i m. Iniciamos con F 1 m construyendo una familia de cúbicas de Overhauser b j (u) sobre los puntos q 1,1, q 1,2,..., q 1,n como en (2.10) tomando A j = q 1,j ( ver figura 2.6), notemos que cada b j (u) interpola los dos puntos de uno de los segmentos paralelos de M 1j. Para cada trapecio M ij tomamos λ j como en (3.3) y un punto inicial c 0,j como en (2.11), es decir λ j = q 2,j q 2,j+1 q 1,j+1 q 1,j, c 0,j = q 2,j λ j (q 1,j c 0,j 1 ) (3.8) Ya tenemos la cúbica b j (u) que interpola los puntos q 1,j, q 1,j+1 de M ij, al aplicar el algoritmo de Aumann con los valores de (3.8) obtenemos una cúbica c j (u) que interpola los puntos q 2,j, q 2,j+1, teniendo así una cúbica para cada uno de los segmentos paralelos del trapecio M ij. Además según lo visto en la sección 2.1.2, las curvas de la familia c j (u) para j = 1,.., n tienen tangentes paralelas en sus puntos comunes q 2,j (ver figura 2.7). En la figura 3.10 vemos la construcción anterior sobre dos trapecios consecutivos M 1,j, M 1,j+1 de F 1 m

58 52 Capítulo 3. Superficies desarrollables semidiscretas Figura 3.10: Superficie MA sobre dos trapecios consecutivos M 1,j, M 1,j+1 Construimos el D-strip sobre F 2 m usando como base las curvas c j (u) del D-strip anterior, y continuando con este procedimiento construimos la superficie MA. Figura 3.11: Superficie MA

59 3.3. Superficie desarrollable semidiscreta TDE Superficie desarrollable semidiscreta TDE Ahora vamos a construir una superficie que denominaremos TDE (traslacional discreta con escalonamiento), ésta se construirá a partir de una curva base b(u) y una serie de traslaciones t i y escalonamientos α i. Sabemos que una curva b(u) y un vértice x 0 generan un cono que podemos parametrizar como X(u, v) = b(u) + v(x 0 b(u)) (3.9) Ahora, consideremos las curvas b(u) y c(u) = t + αb(u), con α 0 y t R 3, es decir, c(u) se obtiene a partir de un escalonamiento más una traslación de b(u). Es claro que la superficie reglada X(u, v) = (1 v)b(u) + vc(u) es un cono ya que ésta se puede expresar como ( ) x0 X(u, v) = b(u) + (1 α)v (1 α) b(u). (3.10) Notemos que el vétice de la anterior superficie es ( α = 1 ) este vértice está en el infinito. x 0, luego si X(u, v) es un cilindro (1 α) Usando lo anterior podemos construir una superficie formada por strips de la forma (3.10). La siguiente gráfica muestra una superficie TDE formada por dos superficies X 1 (u, v) y X 2 (u, v) donde X 1 (u, v) = (1 v)b(u) + v [t 1 + α 1 b(u)] }{{} c(u) X 2 (u, v) = (1 v)c(u) + [t 2 + α 2 b(u)] Figura 3.12: Superficie T.D.E. formada por dos strips

60 Capítulo 4 Aplicaciones a las imágenes médicas Ahora vamos a utilizar algunas de las superficies tratadas los capítulos 2 y 3 para modelar estructuras anatómicas en volúmenes DICOM Rodaja dental Figura 4.1: Rodaja dental En un volumen DICOM de 166 rodajas correspondiente a un scan dental tomamos las imágenes correspondientes al maxilar superior para construir una rodaja curva que permita visualizar los 16 dientes de este maxilar. 54

61 4.1. Rodaja dental 55 Figura 4.2: Imagen DICOM del Scan dental Sobre cada uno de los 16 dientes tomamos una nube de puntos (esto se hace manualmente con el comando ginput de Matlab), construimos el plano π que mejor los aproxime según los mínimos cuadrados y le damos a éste la textura del volumen DICOM. Si P es el promedio de la nube de puntos, tomamos un segmento en π que pase por P y sea un eje de simetría apropiado para la textura del diente sobre π. Después de obtener los 16 segmentos aplicamos el procedimiento descrito en la sección para cada par de segmentos consecutivos y así construimos un strip como el de la sección que interpola los 16 segmentos, para visualizar los dientes 1 y 16 se toma dos segmentos auxiliares (punteados en la gráfica)

62 56 Capítulo 4. Aplicaciones a las imágenes médicas Figura 4.3: Extración de los datos

63 4.1. Rodaja dental 57 Al strip construido la damos la textura del volumen DICOM para formar la rodaja y visualizar la textura de los dientes Figura 4.4: Rodaja en 3D Figura 4.5: Desarrollo de la rodaja

64 58 Capítulo 4. Aplicaciones a las imágenes médicas 4.2. Cráneo Ahora vamos a modelar el cráneo mediante una superficie T.D.E (sección 3.3). Figura 4.6: Cráneo En un volumen DICOM tomamos 101 rodajas correspondientes a una parte del cráneo. Sobre la primera rodaja, que vemos en la siguiente gráfica, tomamos 14 puntos (de control) sobre el cráneo y construimos un spline de Overhauser que denotaremos b(u). Figura 4.7: Imagen DICOM del cráneo con los puntos de control Después mediante 7 traslaciones y escalonamientos apropiados que denotaremos t i y α i respectivamente (para i = 1, 2..., 7), construimos 7 curvas de la forma t i + α i b(u), de tal manera que cada una se ajuste al interior del cráneo en su correspondiente rodaja.

65 4.2. Cráneo 59 Figura 4.8: Imagen DICOM del cráneo con una curva t i + α i b(u) Con las curvas de la forma t i + α i b(u) construimos una superficie como la de la sección 3.3 formada por 7 strips. Figura 4.9: Cráneo modelado por 7 strips

66 60 Capítulo 4. Aplicaciones a las imágenes médicas Figura 4.10: Cráneo Las siguientes gráficas corresponden al strip 5 (contando de abajo hacia arriba en la figura 5.9) y su desarrollo. Figura 4.11: Strip 5