Geometría de Curvas y Superficies. Pablo Esquer Castillo, mayo de 2018

Transcripción

1 Geometría de Curvas y Superficies Pablo Esquer Castillo, mayo de

2 Índice de contenidos Capítulo 1: Curvas y superficies. Derivadas primeras. Objetos paramétricos.. 3 Difeomorfismos... 5 Descripciones locales como grafo.. 6 Longitud de arco.. 8 Modelos como subconjuntos y definición implícita Caminos en superficies. 12 Recta y plano tangente Envolventes Capítulo 2: Segundas derivadas. Curvatura general.. 18 Una fórmula explícita para el vector de curvatura Diedro y ecuaciones de Frenet.. 20 Capítulo 3: Curvas en el espacio. Terceras derivadas. Teorema de proyección Triedro de Frenet: Torsión.. 25 Capítulo 4: Geometría intrínseca. Métricas y otros campos. La diferencial y sus casos particulares Campos importantes La métrica de Riemann La primera forma fundamental

3 Capítulo 5: Geometría extrínseca. Curvatura. Endomorfismo de Weingarten: Midiendo el cambio de forma La segunda forma fundamental Interpretando la segunda forma fundamental Curvatura de Gauss Líneas de curvatura y líneas asintóticas Capítulo 6: Cálculo de variaciones. Geodésicas (I): Definición mediante funcionales.. 47 Origen analítico de la primera variación y la ecuación Euler Lagrange Geodésicas (II): Definición mediante transporte paralelo Capítulo 8: Más sobre geodésicas. Propiedades básicas Lema de Gauss y coordenadas de Fermi Deducción lagrangiana de las ecuaciones de un camino geodésico Los símbolos de Christoffel

4 Capítulo 1: Curvas y superficies. Derivadas primeras Las curvas y las superficies son objetos matemáticos y los objetos matemáticos se representan mediante modelos. Los modelos que usaremos serán: Funciones paramétricas y subconjuntos. Objetos paramétricos. Elegido un intervalo real que llamaremos J, una parametrización o camino es una función: α: J R n Que supondremos siempre suave, esto es: infinitamente derivable. Definición: Dada una parametrización α, dado que es una función suave existe la derivada primera, que es un vector. Por tanto, dicho vector α (t) es lo que se denomina velocidad, y si le hacemos la norma α (t) a ese escalar no nulo se le denominará rapidez. Recordemos que se puede expresar como: α (t) = α (t) α (t) El elemento α(t) para cada t real está definido por n funciones escalares. α(t) = (x 1 (t),, x n (t)) Todas ellas, las funciones, se suponen suaves, por supuesto. 2 Definición: Para un subconjunto U del plano R u,v con puntos de coordenadas (u, v) se puede definir una función suave Φ: U R 3 que se llama parametrización de dos variables o superficie paramétrica. En la imagen Φ(U) existen dos subconjuntos de interés: Definición: Las líneas coordenadas a los caminos Φ(u, k) o bien Φ(k, v) donde k es una constante. Es considerar una curva contenida íntegramente en un plano, convirtiendo la parametrización en dos variables en una parametrización de una variable. 4

5 Definición: Decimos que una parametrización es regular en un punto si la derivada no se anula en ese punto. Decimos que una parametrización es regular si la derivada nunca se anula. En dos variables, entendemos como derivada la Jacobiana, y entendemos por no anularse tener rango 2. Ejemplo: Un camino α(t) perfectamente diferenciable con imagen no diferenciable en un punto. La parábola definida por: Se llama parábola semicúbica. α(t) = (at 3, bt 2 ) En el caso a = b = 1 es inyectivo e infinitamente diferenciable. Pero el dibujo tiene un pico en el origen, luego como bien se sabe en ese punto no existe vector tangente. Advertencia! Una función puede no ser suave pero tener un grafo sin puntos 3 angulosos. Es lo que le ocurre a la función y = x Observación: En la parábola semicúbica el punto anguloso aparece en t = 0, justo donde el camino deja de ser regular. Ejemplo: Existe una curva descrita por la función y 2 = x 2 (x + 1). Cómo la parametrizamos? Como quiero parametrizar, quiero una función: α: R R 2 t (x(t), y(t)) Es decir que quiero expresar cada coordenada en función del parámetro. Probaré (porque ya sé que va a dar resultado, pero en general no se sabe ni se puede saber) tomando t = y x. Esto quiere decir que y = tx, es decir que y 2 = t 2 x 2. Y, a su vez, y 2 = x 2 (x + 1). Se deduce entonces que x = t 2 1, con lo que ya se tiene una coordenada expresada en función de t. Vamos a por la otra. Como ya tenemos cuánto es x en cada valor de t sólo hay que despejar y. Para sustituir. y = x 2 (x + 1) y = (t 2 1) 2 t 2 = t(t 2 1) 5

6 Por tanto la parametrización buscada viene dada por: α(t) = (t 2 1, t(t 2 1)) Observamos que es una parametrización regular. Y observamos también que es una curva suave pero no es inyectiva, tiene autointersecciones. Estudiaremos más adelante la relación entre estos hechos. Observación: Un camino en R 2 puede ser regular e inyectivo, pero no tener parametrización bicontinua. Un tipo interesante de superficies parametrizadas son los cilindros generalizados. Son interesantes entre otras cosas porque ocurre que cualquier curva plana es el perfil de algún cilindro generalizado. El perfil es el resultado de proyectar el cilindro sobre un plano ortogonal a la dirección de la recta que lo define. Difeomorfismos Definición: Dados dos abiertos de R n, llámense U 1, U 2, un difeomorfismo local es una aplicación suave σ: U 1 U 2 tal que su jacobiana Dσ x es invertible para cualquier x en U 1. Si, además σ es biyectiva, entonces se dice que es un difeomorfismo. Para comprobar si una aplicación suave es un difeomorfismo se hacen dos comprobaciones independientes: que todas sus jacobianas sean invertibles y que sea globalmente biyectiva. Una definición equivalente es la siguiente: Un difeomorfismo es una biyección suave con inversa suave entre dos abiertos. Un comentario sobre difeomorfismos e inyectividad Supongamos un difeomorfismo local unidimensional definido en un intervalo J, esto es: una función: Tal que su derivada σ no se anula en J. σ: J R Si no se anula en todo el intervalo quiere decir que: o bien siempre es positiva, o bien siempre es negativa. Entonces σ es inyectiva. Entonces: σ : J σ(j) Es biyectiva, con inversa suave. Por tanto es un difeomorfismo. 6

7 Analicemos qué puede ocurrir en el caso multidimensional. Supongamos un difeomorfismo local: σ: U 1 U 2 Como la matriz Dσ es invertible en cualquier punto, el teorema de la función inversa garantiza que todo par de puntos x, σ(x) tienen entornos V 1, V 2 en los que σ es biyectiva, por tanto inyectiva. Entonces en estos casos se tiene un difeomorfismo, pero sólo localmente. Desarrollando esta idea con un ejemplo: Sea la transformación: σ: (1, + ) R R 2 (r, θ) (r cos(θ), r sin(θ)) Asociada a la conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Es inyectiva, siempre que la variación de θ no exceda 2π. En términos informales, se puede decir que en el caso unidimensional todo difeomorfismo local es inyectivo porque no hay sitio para que el grafo se autointerseque, pero en dimensiones mayores sí. Descripciones locales como grafo Definición: Sea φ una parametrización de uno o dos parámetros, entonces una reparametrización de φ es φ T, donde T es difeomorfismo. El siguiente es un método para reparametrizar que consiste en usar una función como parámetro nuevo. 1. Caso unidimensional. Sea α: J 0 R n suave. Sea J J 0 en el que está definida ψ: J R función escalar con derivada no nula en cualquier punto. Como ya se ha visto, ψ: J J = ψ(j) es un difeomorfismo. Entonces podemos usar ψ como la reparametrización T descrita. Concretamente, la reparametrización sería: β(ψ) α(ψ 1 (t) ) 2. Caso bidimensional. Sea U 0 un abierto del plano. Sea φ: U 0 R 3 una parametrización y U U 0. En U está definida una función vectorial σ: U R 2 y ocurre lo siguiente: La diferencial tiene rango 2 en todo U. Efectúa la transformación (u, v) (u, v ) (u (u, v), v (u, v)). Denominamos U al conjunto imagen σ(u). 7

8 Y por cierto, el teorema de la función inversa garantiza: 1) U es un abierto. 2) En cada subdominio U U se tiene inyectividad. 3) La inversa σ 1 es suave. Entonces la reparametrización es la composición: Ψ: U R 3, Ψ ϕ(σ 1 ) Nota: Lógicamente no se puede reparametrizar todo, sino el más pequeño de los φ U, la imagen de aquellos dominios en los que la inyectividad está garantizada por el teorema de la función inversa. Vemos ahora en qué consisten las parametrizaciones grafo. Sea α: J 0 R 2 un camino suave en el plano. Sea t 0 J 0 un valor paramétrico en el que α es regular. Esto es α (t 0 ) 0. Así que si definimos que α(t) = (x(t), y(t)) necesariamente se cumple una de las siguientes. 1. x (t 0 ) 0 2. y (t 0 ) 0 Supongamos que ocurre 1. Entonces existe un entorno J J 0 de t 0 en el que x no se anula. Por tanto, puedo usar x: J R como función suave que reparametrice α. Aplico el método descrito. Denomino J al conjunto imagen de J por x. La reparametrización está descrita por la composición: (α x 1 )(t), esto es: x 1 : J J Que aplica, en definitiva, la transformación: α: J R 2 x(t) (x(t), h 2 (x(t))) β (x, h 2 (x)) Por construcción es, entonces, una parametrización grafo. Quién es h 2 (t)? Es y x 1, una prueba redundante de ello es: x(t) x 1 t α (x(t), y(t)) = (x (x 1 (x(t))), y (x 1 (x(t)))) = = (x, h 2 (x) x(t) x y x 1 h 2 = 8

9 Entonces h 2 es una función suave, lo cual tiene dos consecuencias. Primera consecuencia: Igualdad de imágenes. α(j) = β(j ) Segunda consecuencia: Por suavidad, no existen puntos angulosos. Como última observación podemos decir que β, y las parametrizaciones grafo en general, son bicontinuas. De forma análoga se puede hacer suponiendo y 0 y se puede también generalizar a R n. En definitiva se deduce el siguiente resultado: Lema1: En tramos suficientemente cortos, un camino regular en R n es bicontinuo y carente de puntos angulosos. Observación: El término suficientemente cortos hace referencia al intervalo J en el que podíamos asegurar que no se anulaba x. Cómo no, se tiene el mismo resultado para superficies paramétricas. Lema2: En dominios suficientemente pequeños, una parametrización regular de dos parámetros en R 3 es bicontinua sin puntos angulosos. En esta ocasión, el término suficientemente pequeño surge de las condiciones necesarias del teorema de la función inversa. Longitud de arco. Definición: Sea α: J R n un camino y t 1, t 2 J valores paramétricos t 1 < t 2. Entonces, la longitud del camino entre ambos valores es: t 2 L = α (t) dt t 1 Observación: La longitud es una propiedad del camino, no del conjunto imagen. La circunferencia unidad definida por {(cos(t), sin(t))} tiene longitud 7 entre los valores 0,7 pero longitud 11 entre 0,11. Aunque ambas imágenes sean, aparentemente, una misma circunferencia. Definición: Se dice que un camino β es una parametrización por longitud de arco si cumple: β (t) 1 Lema Un camino α se puede reparametrizar a una parametrización por longitud de arco si, y sólo si, α es regular. 9

10 Demostración. Supongamos que α(t) se reparametriza a β(s). Entonces β(s) se puede reparametrizar a α(t). Prueba de esto último: Supongamos que α se reparametriza a β. Quiere decirse que β = α T para algún difeomorfismo T. Como T es difeomorfismo, T 1 también lo es. Por tanto, componiendo con T 1 : β T 1 = α T T 1 = α Continuando con la demostración: Si β se reparametriza a α y β claramente es regular (la norma de la derivada siempre es la unidad), dado que las reparametrizaciones conservan la regularidad entonces α tiene que ser regular. QED. Ejercicio: Prueba que las reparametrizaciones conservan regularidad. Solución: Sea α parametrización regular. Supongamos que la reparametrizamos a β. Se tiene que β = α T para algún difeomorfismo T. Supongamos que β no es regular, es decir, existe t 0 tal que β (t 0 ) = 0. Desarrollando con la regla de la cadena: β (t 0 ) = α (T(t 0 )) T (t 0 ) Suponiendo regularidad en α se deduce la regularidad en β por ser T un difeomorfismo. QED. Vamos a demostrar ahora que si α es regular entonces α se reparametriza por longitud de arco a β. Para ello introducimos primero la siguiente noción. Definición: Se define como función longitud de arco a cualquier integral indefinida de ± α (t) : cualquier función s tal que s (t) = ± α (t). Sea pues α regular, su derivada nunca se anula, así que su función longitud de arco nunca se anula tampoco, por tanto así sirve como función que reparametrice. Pero es cierto que la reparametrización es por longitud de arco? 10

11 Veámoslo. Hemos escogido T s(t) Denominamos t(s) a la inversa. Y entonces β α(t(s)). Así que: β (s) = α (t(s)) t (s) = α 1 (t(s)) s (t(s)) Entonces: β (s) = α 1 (t(s)) s (t(s)) = α (t) ±α (t) = 1 QED Comentario sobre las reparametrizaciones por longitud de arco. Si escogemos s tal que s (t) = α (t) entonces α y β definen el mismo sentido de recorrido, mientras que si s (t) = α (t) los sentidos son opuestos. Lema: Unicidad de la reparametrización por longitud de arco. Si β y γ reparametrizan por longitud de arco un mismo camino, entonces una es la reparametrización de la otra. Demostración: 1 = β (s) = σ (s) γ (s) = σ (s) γ (s) = σ (s) Por tanto, se deduce que σ(s) = ±s + k donde k constante. Como sólo existen dos posibilidades, una tiene que ser la otra reparametrizada. 11

12 Modelos como subconjuntos Definición: Se dice que un subconjunto Γ R 2 es una curva buena si para cada punto p de la curva existe una caja que contiene a p en la que Γ es un solo grafo suave como función de x o un solo grafo suave como función de y. Observaciones: La caja protege al grafo: impide que dentro de la misma haya más puntos de la curva, impidiendo así autointersecciones. Una curva regular α no tiene necesariamente por qué ser una curva buena: las imágenes de tramos cortos son grafos de funciones en cierta caja, pero puede tener autointersecciones. Se puede generalizar la definición de curva buena a R 3 : en este caso el grafo de la caja sería una función suave de una de las dos aristas en el producto de las dos restantes. Proposición: Sea α un camino y J un intervalo. Supongamos que α J es regular y bicontinuo. Entonces α(j) es una curva buena. El recíproco no es cierto. Demostración: Ejercicio De la misma manera que se define curva buena en el espacio, se puede definir superficie buena en el espacio, pero en vez de pedir una función suave de una arista en el producto de las dos restantes se pide la existencia de una función suave (de dos variables) del producto de dos aristas en la restante. De la misma manera, una superficie parametrizada será buena si su parametrización es regular y bicontinua. Definición implícita. En tanto que decidir la bicontinuidad de una curva puede ser muy difícil, la proposición que se acaba de enunciar no acaba de ser útil. Entonces, para saber si una curva o una superficie es buena, lo que nos soluciona bastante la tarea es el teorema de la función implícita. La clave nos la da el gradiente. Recordatorio de qué es un gradiente: Es el vector cuyas componentes son las derivadas direccionales. Por tanto, el gradiente no señala más que la dirección de una curva en un punto o instante determinado. Recordatorio del teorema de la función implícita: Establece condiciones suficientes para escribir una variable en función de las demás. Concretamente son estas: Se pide una función F: R m R n R n continuamente diferenciable. Se pide un punto cuya imagen por F sea no nula y cuya jacobiana tampoco lo sea, y que en la Jacobiana la submatriz de la segunda variable sea invertible. 12

13 Entonces en un entorno de (a, b) es posible escribir la segunda variable en función de la primera. Ahora, volviendo a nuestro estudio. 2 Teorema: Sea U R xy un abierto del plano. Sea h: U R una función suave y sea Γ U el subconjunto definido por: Γ {(x, y): h(x, y) = c R} Si h 0 en cualquier punto de Γ, entonces Γ es una curva buena. 3 El teorema se puede extender a una función V R xyz y una función h en tres variables con salida real. Vamos a ver tres ejemplos de aplicación del teorema. Primer ejemplo: La circunferencia unidad. h(x, y) = x 2 + y 2 es una función suave, cuyo gradiente = (2x, 2y) se anula únicamente en el origen, que es un punto que no está en la curva. Por tanto es una curva buena. Segundo ejemplo: La cúbica nodal sin el punto correspondiente al origen es una curva buena. Su función es y 2 x 2 (x + 1) = 0, cuyo gradiente se anula en dos puntos, uno que no pertenece a la curva y el origen. Por tanto, quitando el origen, es una curva buena. Tercer ejemplo: El cilindro es una superficie buena porque su gradiente se anula en el origen cartesiano, que no pertenece al cilindro. Caso muy parecido al de la circunferencia. Caminos en superficies Definición: Sea Φ: U uv R 3 una superficie paramétrica. Decimos que un camino α: J R es un camino en Φ si existe un camino suave β: J U con entradas de la forma (u(t), v(t)) tal que α Φ. Observación: Puede existir un camino cuya imagen esté contenida íntegramente en la imagen de una superficie, pero que no sea suave, por tanto no ser un camino en Φ. En el caso de que la parametrización Φ sea regular y bicontinua, en tal caso sí que cualquier camino definido en ella es un camino en Φ por definición de Φ. Además las funciones u, v tales que α(t) Φ(u(t), v(t)) son únicas. 13

14 Recta tangente y plano tangente Definición: Sea α: J R n un camino suave y t 0 en J un valor paramétrico en el que α es regular. Entonces la recta tangente vectorial es el subespacio vectorial: T t0 (α) α (t 0 ) Mientras tanto, la recta tangente afín es aquella que pasa por el punto p = α(t 0 ) y tiene la dirección de α (t 0 ), esto es: T p + α (t 0 ) Observación: La recta tangente vectorial pasa por el origen pero no tiene por qué pasar por el punto de tangencia. La recta tangente afín pasa por el punto de tangencia, pero no tiene por qué pasar por el origen. Observación: Dado que los elementos de tangencia se definen en función del valor paramétrico t 0 y no de su imagen por α no hay problema si el camino es no inyectivo. En cada valor está definida la recta tangente. Proposición: Si C es una curva buena y α, β parametrizan de forma regular e inyectiva el mismo trozo, entonces una es la reparametrización de la otra. Demostración: Ejercicio. Para definir la recta tangente vectorial en una curva buena. Sea C una curva buena. Tomamos C 0 C tal que contenga al punto de tangencia p, y una reparametrización cualquiera α regular e inyectiva (siempre será inyectiva). Sea aquel valor paramétrico t 0 tal que α(t 0 ) = p. Entonces la recta tangente vectorial es T C0 (p) α (t 0 ). Esta recta sólo depende de la curva y del punto. Prueba: cambiamos a una parametrización regular β del mismo tramo y tomamos aquel valor t 0 tal que β(t 0 ) = p, dado que α, β son reparametrizaciones una de la otra, esto es decir que α = β T, se cumple que: α (t 0 ) = T (t 0 ) β (t 0 ) donde T(t 0 ) = t 0, así que α y β generan el mismo espacio vectorial. Observación: T p C = T p C 0 solo depende de p y un tramo arbitrariamente corto C 0. Sea α la parametrización regular de un tramo corto de una curva C 0, definida implícitamente, y sea t 0 tal que α(t 0 ) = p C 0. Ocurre que como la curva está definida de forma implícita, h(α(t 0 )) = c, por tanto h (α(t 0 )) α (t 0 ) = 0 y h está denotando el gradiente. Se deduce que el gradiente y el vector tangente son ortogonales. Recuérdese lo que se decía en los primeros cursos de cálculo de que el gradiente denota la dirección de máximo crecimiento de una función. 14

15 Definición: Sea Φ: U R 3 una superficie parametrizada y (u 0, v 0 ) un punto en el que Φ es regular. El espacio vectorial tangente es aquel subespacio generado por T u0,v 0 Φ = Φ u (u 0, v 0 ), Φ v (u 0, v 0 ). De manera evidente se define el espacio afín tangente. Observación: Decir que Φ es regular en (u 0, v 0 ) es decir que Φ u, Φ v son linealmente independientes en ese punto. De nuevo se extiende el resultado visto para caminos: dos parametrizaciones regulares e inyectivas del mismo trozo de una superficie buena son reparametrizaciones la una de la otra. La definición del plano tangente vectorial en cierto punto también es totalmente análogo. Sea α(t) Φ ((u(t), v(t))) un camino en una superficie Φ. Se tiene que el vector: α (t) = u (t) Φ u + v (t) Φ v Es tangente tanto al camino como a la superficie. Y recordemos que Φ u (u 0, v 0 ), Φ v (u 0, v 0 ) es una base para el plano tangente. Y para cada camino en Φ existe un vector (a, b) que es su vector tangente en cierto punto. Se deduce que el plano tangente es el conjunto de todas las velocidades de los posibles caminos que pasan por el punto de tangencia en una superficie Φ. Por razones análogas a las expuestas en caminos, el ángulo entre un plano tangente y el gradiente siempre es recto. Dada una parametrización regular Φ, el producto vectorial Y(u, v) = Φ u Φ v es un campo de vectores normal a cada plano tangente T Φ (u, v). La normal unitaria a una superficie la definimos como: N(u, v) Y Y Para una superficie S = {φ = c} dada implícitamente la normal unitaria se define restringiendo a S el campo φ. φ Comentario: La banda de Möbius es una superficie buena que no admite normal unitaria que sea función continua cada punto de la superficie porque el vector normal unitario cambia el sentido de manera continua sólo una vez, no dos, luego en algún punto tiene que cambiarlo de nuevo haciéndolo de forma brusca. Corolario: No existe una definición implícita con gradiente no nulo de la banda de Möbius, de ser así su gradiente unitario sería la normal unitaria continua. 15

16 Corolario: Existen más superficies buenas que las que pueden definirse implícitamente. Función del punto, función de los parámetros Como las parametrizaciones y las definiciones implícitas son modelos diferentes, esto es: objetos matemáticos diferentes, existen ciertas disonancias entre una cosa y la otra. Por ejemplo, el campo de vectores tangentes a una curva en cierto punto es diferente dependiendo de si la curva es una curva buena o una curva paramétrica. Aún así se mantiene cierta lógica, en el sentido de que: El campo de vectores tangentes depende de un parámetro o parámetros si la definición del objeto es paramétrica, y depende del punto si es una curva o superficie buena. Resultados globales Un interesante resultado global: Teorema: Desigualdad isoperimétrica. Dado un valor real l, las curvas cerradas que encierran el máximo área conservando longitud l son las circunferencias, y además son las únicas. Grados de regularidad He aquí una condición más fuerte de suavidad, más que la dada de C. Definición: Decimos que una función de una o varias variables es C ω o lo que es lo mismo, analítica real, si es C y en cada punto del dominio existe un desarrollo de Taylor centrado en ese punto que de hecho es convergente a la función en algún entorno del punto. Son ejemplos de funciones analíticas reales: los polinomios, la exponencial, el seno y el coseno La composición, suma y producto de analíticas reales produce nuevas funciones analíticas reales. Un ejemplo clásico de función que es C pero no es analítica real es: 0, x 0 h(x) = { e 1 x, x > 0 16

17 Envolventes Definición: Sea α λ (t) una familia uniparamétrica de curvas regulares en el plano, es decir que para cada valor λ 0 la función: Nunca es nula. t α λ0 (t) Se dice que la curva α λ depende suavemente del parámetro λ si la aplicación: Φ: U R 2 Φ(t, λ) α λ (t) Es suave como función de dos variables. Se define intuitivamente como envolvente aquella curva o curvas (si es que existe) como aquella que es tangente a cada α λ. Informalmente hablando: si la familia uniparamétrica rellena con sus curvas una porción del plano, la envolvente es la frontera de esa porción como conjunto. Advertencia: Esta explicación informal es muy mala, pues la envolvente puede ser atravesada, de rebote anulando dicha explicación, pero sirve para entender el concepto. También se puede definir la superficie envolvente para una familia de superficies en el espacio. 17

18 Capítulo 2: Segundas derivadas Se van a introducir algunos conceptos que requieren ya las segundas derivadas. El primero es el de curvatura. Definición: Se denomina campo de vectores curvatura k al formado por aquellos que constituyen la derivada segunda de una curva β reparametrizada por longitud de arco. k = β (s) Y esto también nos lleva a la introducción del concepto de tangente unitaria. Definición: Dada una curva regular α, el campo tangente unitario es un campo de vectores: τ(t) = α (t) α (t) Toda curva tiene dos campos tangentes, dependiendo del sentido en el cual la parametrización recorra la curva. Sin embargo, lo que se cumple siempre es: τ (s) = α (s) = k(s) Y también se cumple que el vector curvatura es normal a la misma en todo punto. Demostración: Entonces: 1 τ(t) 1 τ(t) 2 = τ(t) τ(t) 0 = τ (t) τ(t) + τ(t) τ (t) = 2 τ (t) τ(t) = 2 k τ QED Otra propiedad: Una curva regular es un trozo de recta afín si, y sólo si, tiene curvatura k 0. Prueba: Supongamos que la recta es una recta afín. Calculemos la curvatura. Ésta es la derivada de: τ(t) = α (t) α (t) Al ser una recta es constante, por tanto su derivada es cero. Por otra parte, si τ 0 se prueba el recíproco invirtiendo los pasos. QED. 18

19 Curvatura de curvas que no están parametrizadas por longitud de arco Y si la parametrización no es por longitud de arco? Naturalmente podemos aun así manejar el concepto de curvatura. Vamos a desarrollar esto para ver un significado geométrico de curvatura. Los vectores tangente unitaria (t(t)) y curvatura (k(t)). Sea una curva α(t) no necesariamente parametrizada por longitud de arco. Expresemos el campo tangente y el campo de curvatura como funciones de t. Sea s = s(t) = α (t) dt un parámetro arco. Sea t(s) el difeomorfismo inverso y β(s) = α(t(s)) la parametrización por longitud de arco. Entonces: τ(t) = def β (s) s=s(t) = α (t(s)) t (s) = α (t) s (t) = k(t) = def β (s) = α (t(s)) t (s) t(s) + α (t(s)) t (s) = Concretamente, operando, k se queda así: k(t) = α (t) α (t) 2 ( α 2) τ (t) α (t) α (t) α (t) 1 α (t) d dt ( α (t) α (t) ) Y aquí queda explícito el significado geométrico de la curvatura: La curvatura es el resultado de quitarle a: α (t) α (t) 2 Su componente tangencial a la curva, quedando por consiguiente la componente normal. De hecho, esa última expresión de k es una descomposición de k en partes ortogonales: esquemáticamente es un proceso de Gram-Schmidt aplicado al par de vectores: {α α (t) (t), α (t) 2} Pues se le quita al segundo vector su componente en la dirección del primero. Se obtiene de la ortogonalización un vector k, el de curvatura, ortogonal al primero que genera el mismo subespacio vectorial. Esto es válido en R n general. Observación: Para encontrar el vector k no es necesario calcular la integral indefinida s(t) ni la inversa t(s) puesto que todo se puede expresar como función de α (t), α (t). 19

20 El vector de curvatura qué follón! Una fórmula explícita. Vamos más allá. Se acaba de ver que la fórmula: k(t) = α (t) α (t) 2 ( α 2) τ (t) α (t) Da una descomposición de: α (t) α (t) 2 En componentes ortogonales. Veamos que se llega a lo mismo así, derivando implícitamente la paramétrica: α (t) = β (s) s (t) = s (t) t α (t) = β (s) s (t) s (t) + β (s) s (t) = s (t) 2 k + s (t) t { α (t) = s (t) t α (t) = s (t) t + s (t) 2 k Congelamos esto para introducir una definición muy trivial. Definición: La normal unitaria (o normal de Frenet), denotada n(s) es la tangente unitaria t girada π 2 (en sentido antihorario, claro). Se puede expresar entonces el vector k de esta manera: k = k n Por tanto interesaría saber calcular una fórmula del valor escalar k, denominado curvatura escalar para no arrastrar el vector en los cálculos en los que no se necesite, y porque teniendo el diedro de Frenet nos da la misma información que el vector k. Esa fórmula se puede sacar de estas: { α (t) = s (t) t α (t) = s (t) t + s (t) 2 k Calculando el determinante de dichos vectores, por bilinealidad del operador determinante y teniendo en cuenta que det(t t) = 0 (trivial): det(α α ) = s (t) s (t) 2 det (t k) Como t = def 1 y el determinante expresa el área del paralelogramo que determinan dos vectores, en este caso t y k, perpendiculares se tiene que dicho área es la longitud de k, precisamente lo que buscamos. Por tanto: 20

21 k(t) = det(t k) = det(α (t) α (t)) s (t) 3 k(t) = x (t) y (t) x (t) y (t) (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3 2 n t α (t) α (t) k(t) α(t) Caso general de la relación vectorial en una curva no parametrizada por longitud de arco. En una curva con parámetro longitud de arco α (t) coincide con k(t). El diedro de Frenet y las ecuaciones de Frenet El par {t, n} que aparece en el dibujo es llamado en ocasiones diedro de Frenet. Cada curva plana tiene dos diedros de Frenet: uno para cada sentido del recorrido, y cuando se cambia dicho sentido ambos vectores se multiplican por 1. Teorema: Sean α(t) y h: R 2 R 2 una curva regular en el plano y un movimiento rígido, respectivamente. Consideremos la curva β = h α. Si h es directo la curvatura permanece invariante. Si h es inverso, la curvatura cambia de signo. En particular, la curvatura escalar es invariante por rotaciones y traslaciones. 21

22 Demostración: Sea h(x) = c + M x con c vector constante y M matriz ortogonal constante. Se tiene: β(t) = c + M α(t) Y calculamos las derivadas: β (t) = M α (t) β (t) = M α (t) Ahora: det(β (t) β (t)) = det(m α (t) M α (t)) = det(m) det(α α ) det(β β ) = β (t) 3 k β (t) = α (t) 3 k β (t) = det(m) det(α α ) k β = det(m) k α De donde se deduce el resultado del teorema. Sea una curva regular α(s) parametrizada por longitud de arco. Sea en un punto de la curva la tangente unitaria es un radio de una circunferencia con centro la unidad y centrada en dicho punto. La posición de dicha tangente en la circunferencia queda determinada por: t = (cos(φ), sin(φ)) Para alguna función suave φ(s). En otras palabras, φ es el ángulo que forma la tangente con el eje de abscisas. Dado que la normal de Frenet es la tangente rotada π 2, entonces: Notamos que se verifica: n = ( sin(φ), cos(φ)) { t = k n n = k t Son las Ecuaciones de Frenet en el plano. Es imposible terminar esta sección sin enunciar el Teorema Fundamental de las curvas planas. Teorema: Teorema fundamental de las curvas en el plano. Dados una función escalar k: J R y un punto p del plano, un vector unitario u y un valor s 0 en J, entonces existe una única parametrización por longitud de arco α(s) definida en J que satisface que k α (s) k(s) y los datos iniciales: { α(s 0) = p α (s 0 ) = u 22

23 En otras palabras: k(s) determina la curva α con unicidad, salvo traslaciones y rotaciones. Demostración: El teorema parece evidente, o al menos creíble, de ante mano: fijemos en el plano un punto y una recta que pase por ese punto. Existen infinitas curvas, unas más cerradas que otras que pasan por ese punto tangentes a la recta (desde la propia recta hasta una curva tan cerrada que tiende a la perpendicular a la recta en el punto). Así que añadiendo como dato una curvatura escalar automáticamente infinitas curvas quedan descartadas, quedando tan sólo una posible. Formalmente se demuestra por resultados de existencia-unicidad de soluciones de EDOs. Para terminar éste capítulo un último resultado que se deja como ejercicio. Proposición: Una curva plana regular es un trozo de circunferencia, o bien una recta, si, y sólo si, tiene curvatura escalar constante. Demostración: Ejercicio Solución: Como es regular podemos suponerla parametrizada por longitud de arco α(s). Supongamos que la curvatura es constante no nula. Entonces: α (s) = t = (cos(φ(s)), sin(φ(s))) Donde φ(s) cumple que φ (s) = k(s). Como k es constante, digamos c 0 R, entonces: Integrando para obtener la posición: φ(s) = c 0 s α(s) = (p 1, p 2 ) + ( 1 c 0 sin(c 0 s), 1 c 0 cos(c 0 s)) Donde p 1, p 2 reales son constantes de integración y se traducen en un desplazamiento de la circunferencia que no afecta al problema. Entonces se cumple: 1. α(s) = 1 c 0 y α (s) = k(s) son inversos. 2. Derivando α se comprueba que el vector posición invertido y el vector curvatura son proporcionales. Estas dos condiciones caracterizan las circunferencias. QED. También podía demostrarse por teorema fundamental de curvas planas. 23

24 Capítulo 3: Curvas en el espacio. Las derivadas terceras El capítulo 3 lo abre el siguiente teorema. Implica también una definición. Teorema: Teorema de proyección. Sea α una curva regular en R 3, sea P un plano afín paralelo a la recta tangente a α en t 0, y sea P el plano vectorial paralelo a P. La proyección ortogonal de α sobre P es una curva plana, α 0, contenida en P que cumple lo siguiente: 1. α 0 es regular en t 0 2. El vector curvatura de α 0 en t 0 es la proyección ortogonal sobre P del vector curvatura de α en t 0. Demostración: Sea β(s) una reparametrización de α por longitud de arco, y sea s 0 el valor imagen por difeomorfismo de t 0. Sea t 0 = β (s 0 ). Por hipótesis, se cumple que t 0 P (claro, el vector tangente y el plano son paralelos, vectorialmente son lo mismo). Sea π: R 3 P la proyección ortogonal del espacio sobre P, y sea π : R 3 P la parte lineal de π. Entonces: β 0 (s) = π β(s) es una reparametrización de α 0, y la aceleración β 0 (s) es la proyectada π (β (s)) de la aceleración de β (s). Pareciera que ya está todo hecho, pero ocurre lo siguiente: β 0 (s) ya no es necesariamente reparametrización por longitud de arco. Entonces para hallar el vector de curvatura de β 0 (s) se recurre a la fórmula general y hay que hallar: β 0 (s) β 0 (s) 2 Ahora: Dado que P es paralelo a t 0 y π devuelve la parte lineal de proyecciones ortogonales sobre P, β 0 (s 0 ) es la imagen de t 0 por π, esto es, la identidad, el mismo t 0. Por consiguiente, β 0 tiene rapidez 1 en s 0. β 0 (s 0 ) β 0 (s 0 ) 2 = β 0 (s 0 ) Quién es β 0 (s 0 )? La imagen por π de β (s 0 ). Pues ya está. en este nivel de generalidad no podemos averiguar nada más y ya hemos demostrado lo que se pretendía. k β0 (s 0 ) = π (β (s 0 )) QED 24

25 Ahora introducimos un concepto más fuerte que el de regularidad: la birregularidad. Definición: Decimos que una curva regular α es birregular en t 0 si el vector de curvatura no se anula en ese punto. Entonces, hay que calcular k siempre que queramos analizar si una curva es birregular? No. Proposición: Las siguientes son equivalentes. 1) Los vectores α, α son linealmente independientes. 2) Lo son de hecho en cualquier reparametrización. 3) El vector de curvatura no es nulo. Demostración: La 1) es equivalente a la 3) de manera evidente en tanto que: k(t) = det (α α ) s (t) 3 Lo que no está tan claro es la segunda. Sólo hay que recurrir a las expresiones: α (t) = s (t) t α (t) = s (t) t + s (t) 2 k Por regla de la cadena que hace que las derivadas que aparecen sean producto de las derivadas originales, se deduce la equivalencia con la segunda afirmación. Definición: Se define como plano osculador de una curva espacial birregular α en el punto t 0 al que generan, equivalentemente: 1. Los vectores t, k 2. La velocidad y la aceleración. π t, k = α, α Puede ser vectorial, si pasa por el origen, o afín si se exige que pase por un punto. Definición: Se define como normal unitaria al vector: n = k k Ahora, y no como en el plano, la curvatura escalar es: k = k 25

26 Como en el plano sólo teníamos dos direcciones perpendiculares bastaba con girar la tangente unitaria en la única dirección posible, por tanto no se necesitaba la segunda derivada. Aquí sí, y además la curvatura escalar siempre es positiva. Entonces cómo sabemos hacia dónde se está recorriendo la curva y en qué sentido gira? El triedro de Frenet y la torsión Definición: Se define como triedro ortonormal directo al formado por tres vectores que constituyen una base ortonormal: {u 1 u 2 u 3 } Cumple que el determinante es la unidad. Si u 1, u 2 son ortonormales, entonces u 3 queda automáticamente determinado. u 3 = u 1 u 2 Vuelve a pasar algo similar al caso de dos dimensiones: el último elemento que se necesita queda determinado en función de los anteriores. Sólo que como tenemos una dimensión, una dirección más, necesitamos un elemento más. Obviamente u 3 queda unívocamente determinado por los dos primeros vectores. Definición: Dada una curva birregular en el espacio, se define como su binormal al siguiente vector: Sorprendentemente, a la 3-upla: Se le denomina: triedro de Frenet. b = t n {t, n, b} El triedro de Frenet induce dos definiciones nuevas. Si el plano osculador es ortonormal a b, también: Definición: 1. Al plano ortogonal a t se le llama plano normal. 2. Al plano ortogonal a n se le llama plano rectificante. Por supuesto estos tres planos tienen sus versiones afines y vectoriales. 26

27 Necesitamos más información para saber cómo se mueve la curva. La torsión. Como se vio en el teorema fundamental de curvas en el plano, teniendo una tangente, una curvatura y un punto ya está todo dicho en dos dimensiones. Sólo existe una curva, salvo rotaciones y traslaciones, que cumple esas condiciones esa ecuación. Al introducir una nueva dirección en el espacio existen infinitas curvas con una dirección y una curvatura determinadas en un punto determinado. En lo que difieren todas ellas es en que unas están más aplastadas y otras están más estiradas (imagina un muelle). Sea α(s) una curva birregular con parámetro por longitud de arco. Se cumple, en primer lugar, que: En otros términos: k = k n t = k n Veamos qué ocurre con las derivadas de los otros dos elementos del triedro de Frenet. Se cumple que: Derivando: n n = b b 1 n n = b b 0 Y n tiene que verificar, siendo normal a n: Para ciertas dos funciones a, τ. Por otra parte, t n 0, entonces: Por tanto: n = a t + τ b t n + t n = 0 = k + a n = k t + τb Y del mismo modo (ejercicio) puede deducirse: b = τ n Esto son las ecuaciones del triedro de Frenet, o ecuaciones de Frenet Serret: t = kn { n = kt + τb b = τn Dicha función τ, que por ortogonalidad tiene que existir, se llama torsión. Es, como se ha dicho, una medida de cuán aplastada o no está la curva. 27

28 Teorema: Una curva birregular es plana si, y sólo si, tiene torsión idénticamente nula. Demostración: Ejercicio. Solución: Supongamos que τ 0. Entonces se cumple: { t = kn n = kt Que son las ecuaciones de Frenet en el plano. Una demostración más elegante: Si la torsión es nula entonces b es un vector constante. Entonces: Por tanto: 0 = b t = c α c α = r R Es decir está contenida en el plano de ecuación: c x = r Recíprocamente, si la curva está contenida en un plano P ese mismo plano es el plano osculador afín en cualquier punto, por lo que la normal b es constante, así que, por las ecuaciones de Frenet Serret la torsión tiene que ser nula. QED. Ya, pero cuánto vale la torsión? Igual que deducíamos una fórmula explícita para la torsión a partir de: α (t) = s (t) t { α (t) = s (t) t + s (t) 2 k En este caso, se demuestra (cálculo puro y duro) que: De donde se deduce: α (t) = s (t) t { α (t) = s (t) t + s (t) 2 k α (t) = (s (t) s (t) 3 k 2 ) t + τ = det(α α α ) α α 2 28

29 Por último, naturalmente las curvas en el espacio tienen su teorema fundamental. Teorema: Dada una pareja de funciones: k, τ definidas en el mismo intervalo entonces existe una curva espacial que tiene arco s y curvatura y torsión k(s) y τ(s) respectivamente. Dicha curva es única salvo traslaciones y rotaciones. Se omite la demostración de este teorema. 29

30 Capítulo 4: Métricas y otros campos. Recordamos primero el concepto de diferencial de una aplicación. Definiciones previas Dada S una superficie regular, una aplicación h de S en cualquier espacio se dice suave si depende suavemente de los parámetros, es decir, si h(φ) depende suavemente de los parámetros (es infinitamente derivable). La derivada de h en un punto p según un vector v es el siguiente elemento: d dt t=t 0 (h(α(t))) Donde α(t 0 ) = p y α (t 0 ) = v. La diferencial Si se puede considerar la derivada de una aplicación según un vector entonces podemos considerar una aplicación que transforme vectores en derivadas según ese vector. Eso es la diferencial. Definición: La diferencial transforma vectores en derivadas de aplicaciones (de la cual se hace la diferencial) según cada vector. Qué características tiene la diferencial en función de h? Casos particulares de la diferencial Si h: S V donde V espacio vectorial, entonces (dh) p : T p S V Definición: En particular, si h: S R entonces (dh) P : T p S R es una forma lineal. Caso primero: h: S S donde S es otra superficie. Entonces: (dh) p : T p S T h(p) S Esto es porque si α es cualquier camino en S que pasa por p con velocidad v entonces la diferencial coge dicho vector v y deriva h con respecto a ese vector. Esto es, calcula: d dt t=t 0 (h(α(t))) Pero como h: S S entonces h(α) es un camino en S que en particular pasa por h(p), así que se está calculando un vector tangente en h(p). Cuál? El vector velocidad que depende del α escogido. 30

31 Supongamos que Ψ(λ, μ) es una parametrización de S. Entonces tienen que existir un par de funciones suaves: λ(u, v), μ(u, v) Tales que: h(φ) Ψ(λ(u, v), μ(u, v)) Esto es porque h Φ lleva puntos (u, v) del plano de parámetros en la superficie S del espacio, e inmediatamente cada uno de esos puntos en un punto de S que expresamos como Ψ(λ, μ), que es su parametrización. Luego se deduce que Ψ(λ, μ) es función de (u, v). Así, en la base {Φ u, Φ v } de T p S y {Ψ λ, Ψ μ } de T p S, la matriz de (dh) p, que se calcula por derivadas parciales de h es: λ v (dh) p = ( λ u ) μ u μ v Si el determinante de esta matriz no se anula en ningún punto, entonces es invertible y se tiene un difeomorfismo de un entorno de (u 0, v 0 ) en un entorno de (λ 0, μ 0 ). Pero h Ψ. Entonces h es un difeomorfismo local de p en h(p). Caso segundo: Supongamos S 1 porción arbitrariamente pequeña de S parametrizada de manera bicontinua por Φ. En tal caso se definen así las funciones coordenadas curvilíneas: Y lo mismo para v. u: S 1 R 2 Φ(u, v) u Qué ocurre al calcular la diferencial según u (y según v) del vector tangente general? Este vector se expresa como: v = a Φ u + b Φ v Y la diferencial es una función lineal, así que aplicando definición: (du) p (a Φ u + b Φ v ) = a (du) p (Φ u ) + b (du) p (Φ v ) Cuánto vale la siguiente expresión? (du) p Φ u 31

32 No hay más que encontrar una trayectoria cuya velocidad en todo punto (u, v) sea Φ u. La trayectoria más inmediata es Φ(u, k) donde k constante real, que es por cierto la curva de nivel de la función coordenada curvilínea v. En efecto, sea: Entonces: α(u) = Φ(u, k) (du) p Φ u = d du (u(α(u))) = d du u = 1 Por tanto, queda aplicando y extrapolando esto: (du) p (a Φ u + b Φ v ) = a (du) p (Φ u ) + b (du) p (Φ v ) = a (dv) p (a Φ u + b Φ v ) = a (dv) p (Φ u ) + b (dv) p (Φ v ) = b Se deduce entonces que (du) p, (dv) p son las funciones coordenadas lineales respecto de la base {Φ u, Φ v } en T p S. Por consiguiente, cualquier forma lineal: l p : T p S R Se puede expresar como combinación lineal así: l p (v) = l p (a Φ u + b Φ v ) = a l p (Φ u ) + b l p (Φ v ) Y a, b son, como acabamos de ver, funciones coordenadas del vector de T p S, escalares en este contexto e iguales a du, dv. En conclusión, cualquier forma lineal se representa como: Donde c 1, c 2 son únicos y valen: l p c 1 du + c 2 dv c 1 = l p (Φ u ), c 2 = l p (Φ v ) 32

33 Campos importantes El campo de formas lineales o 1-forma: Generalización de lo que acabamos de ver. Un campo de formas lineales asocia a cada punto (u, v) del plano de parámetros una forma lineal: l p : T u,v Φ R Si el campo dh está formado por diferenciales de alguna función escalar h(u, v) entonces la forma se llama exacta los campos du, dv son una base del espacio de formas lineales, y cualquier campo de formas se expresa como: En particular: h 1 = l(φ u ) y h 2 = l(φ v ). l h 1 (u, v) du + h 2 (u, v) dv Forma cuadrática: Es una función: q( ): T p S R Tal que existen tres números c 1, c 2, c 3 que cumplen: q(a Φ u + b Φ v ) = c 1 a 2 + c 2 2ab + c 3 b 2 Forma bilineal polar de una forma cuadrática dada: Es la única forma bilineal q(, ) que cumple: 1. q(v, w) = q(w, v) 2. q(v, v) = q(v) Para cualesquiera v, w. La base de esta forma bilineal es: ( c 1 c 2 c 2 c 3 ) Cada matriz real simétrica tiene su forma bilineal polar y viceversa, y cada forma cuadrática tiene su forma bilineal, y viceversa. Campo de formas cuadráticas: Es un objeto que intuitivamente asocia a cada (u, v) una forma cuadrática. Es relevante decir que se pueden multiplicar dos formas lineales perfectamente y como resultado queda una forma cuadrática. Por extensión, también existe el campo polar ya que cada forma cuadrática tiene su forma polar. 2-forma: Es un objeto Ω que a cada (u, v) le asocia una forma bilineal antisimétrica. 33

34 La métrica de Riemann Definición: La métrica de Riemann en una superficie S es un campo definido en el espacio tangente que asocia a cada punto p una forma cuadrática Q p : T p S R definida positiva y que depende suavemente del punto p. Más sobre formas cuadráticas. Repasando conceptos del álgebra lineal recordamos que existen objetos: En concreto, para el caso: B: V V K B: T p S T p S R Que cumplen linealidad en cada uno de sus dos argumentos. Estos objetos eran las formas bilineales. Además, es cierto que toda matriz cuadrada es la matriz asociada de alguna forma bilineal. Entonces dicha forma bilineal se define matricialmente por: Donde M matriz asociada. B(v, w) = v T M w Existen dos tipos formas bilineales (por tanto, de matrices) en función de cómo se comporte el cambio de argumentos. 1. Simétricas: B(v, w) = B(w, v) 2. Antisimétricas: B(v, w) = B(w, v) Existen formas bilineales que no son ni simétricas ni antisimétricas. Pero sí que es cierto que toda forma bilineal se descompone en la suma de una forma simétrica y otra antisimétrica. B(v, w) = S(v, w) + At(v, w), v, w Si en una forma bilineal se introduce el mismo argumento en cada una de las dos entradas, ésta define un nuevo objeto: las formas cuadráticas Q. B(v, v) Q(v) Toda forma bilineal induce una forma cuadrática (el recíproco es cierto). De hecho existen infinitas formas bilineales tales que al hacer B(v, v) se define la misma forma Q. 34

35 Pero ocurre que si B = S + At y At antisimétrica, entonces A(v, v) = 0 por la propiedad 2 (por eso existen infinitas formas bilineales que generan una misma Q: una por cada forma At en la que At(v, v) = 0). Esto quiere decir que las formas cuadráticas quedan definidas por la parte simétrica de su forma bilineal, y que aunque infinitas formas bilineales induzcan la misma forma cuadrática, sólo existe una que sea simétrica. La única forma bilineal simétrica que induce una forma cuadrática Q se llama forma polar de una forma cuadrática. Tenemos entonces una correspondencia 1:1 entre formas bilineales simétricas (polares) y formas cuadráticas, y podemos considerar que una representa a la otra cuando nos convenga. Así, las formas cuadráticas tienen una representación matricial: la de su forma polar (i.e. su forma bilineal simétrica). Como toda matriz define una forma bilineal, en particular toda matriz simétrica define una forma cuadrática. Si M es una matriz simétrica, entonces: Q(v) = v T M v Y en particular, si M es de orden 2 esto se desarrolla como: Q(v) = v T M v = a 11 v a 12 v 1 v 2 + a 22 v 2 2 Donde a 11, a 12, 22 coeficientes de M. De aquí sale la definición dada de forma cuadrática. Decimos más: En nuestro caso v T p S porque es donde está definida la forma cuadrática. Y v 1, v 2 son sus coordenadas. Y sabemos ya cuáles son las funciones coordenadas del espacio tangente. Así, la expresión general de una forma cuadrática va a ser: Q c 1 (du) c 2 du dv + c 3 (dv) 2 Para c 1, c 2, c 3 únicos por que corresponden con los coeficientes de la matriz que representa la única forma simétrica que induce la forma cuadrática, siendo por tanto única también dicha matriz. Pero cuáles serán c 1, c 2, c 3? Por cálculo algebraico se obtiene: c 1 = Q(Φ u, Φ u ), c 2 = Q(Φ u, Φ v ), c 3 = Q(Φ v, Φ v ) Donde Q su forma polar y {Φ u, Φ v } base del espacio tangente. Ahora: Resulta que las propiedades que cumplen las formas bilineales, las definidas positivas, son las mismas propiedades que cumplen los productos escalares. Entonces se puede interpretar que toda forma bilineal simétrica y definida positiva es un producto escalar. 35

36 Si la métrica de Riemann asocia a cada punto p de una superficie S una forma cuadrática Q definida en T p S automáticamente se le asocia una forma polar Q. Si una forma polar es una forma bilineal simétrica y definida positiva, por tanto un producto escalar, entonces la métrica de Riemann no solo es un campo polar sino un campo de productos escalares. Esto significa que teniendo definido un campo escalar que es un campo de productos escalares la métrica de Riemann nos legitima para definir: 1. Longitud de vectores. v = Q(v) 2. Ángulo entre vectores. Q(v, w) Q(v) Q(w) 3. Rapidez riemanniana de un camino α r = α = Q(α ) 4. Parámetro longitud riemanniana de arco: como la integral indefinida de la rapidez riemanniana (forma totalmente análoga a lo visto). Decimos más: La métrica de Riemann dota a una superficie del concepto de área, y de integral respecto del área. Sea: Q A(u, v) (du) B(u, v) (du)(dv) + C(u, v) (dv) 2 El campo polar definido por una métrica Riemanniana. Sea a: S R una función escalar en la superficie. Entonces, se define la integral de Riemann como: a d área Pero cuánto vale un diferencial de área? Se trata de calcular cuánto vale la unidad elemental de área de la superficie, que es prácticamente idéntica a la unidad elemental de área en el espacio tangente en cada punto. Esa es la esencia de la geometría de Riemann: asemejar curvas a rectas para tener un lugar de trabajo en el que las cosas funcionen bien. 36

37 Dicho área será igual al producto: Y por otra parte, es conocido: Entonces: d área = Φ u Φ v = Φ u Φ v sin( π 2 ) = Φ u Φ v Φ u Φ v 2 + Φ u, Φ v 2 = Φ u 2 Φ v 2 d área = Φ u Φ v = Φ u 2 Φ v 2 Φ u, Φ v 2 Está dicho que la métrica de Riemann es un campo de formas cuadráticas: Q c 1 (du) c 2 du dv + c 3 (dv) 2 Para c 1, c 2, c 3 constantes únicas que dependen del punto (u, v), y resulta que, desarrollando lo ya mencionado: c 1 = Q(Φ u, Φ u ) = Φ u 2 = A c 2 = Q(Φ u, Φ v ) = Φ u, Φ v = B c 3 = Q(Φ v, Φ v ) = Φ u 2 = C Así: d área = AC B 2 Donde A, B, C son los coeficientes de la matriz asociada al campo polar. Por tanto: a AC B 2 dudv O más bonito todavía, llamando M a tal matriz asociada al campo polar: a det (M) dudv 37