Curvas de Sa Calobra (Mallorca) 1. CURVAS EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS

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1 Matemáticas II GITI ( ) Lección 5. CURVAS Curvas de Sa Calobra (Mallorca) 1. CURVAS EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS En la Lección 1 hemos visto la representación paramétrica de una curva plana, en la que las coordenadas cartesianas x e y vienen dadas como funciones de una variable independiente t, denominada parámetro de la curva, de manera que el punto (x(t), y(t)) describe la curva conforme el parámetro t recorre un cierto intervalo. En particular, si t es el tiempo, entonces la curva es la trayectoria descrita por un objeto que se mueve en el plano y las coordenadas cartesianas x = x(t) e y = y(t) dan la posición del móvil en cada instante. Qué hacemos si la curva no es plana o si el objeto se mueve en el espacio tridimensional? Basta con añadir una tercera coordenada z = z(t). Vamos a dedicar esta lección a estudiar las curvas paramétricas en el espacio tridimensional y los principales conceptos geométricos relacionados que son de aplicación en otras disciplinas. Funciones vectoriales. Una función vectorial de una variable real es una función r definida para t en un intervalo I cuyos valores son vectores r(t) en R 2 o en R 3. Funciones componentes. Si escribimos r(t) usando sus coordenadas en la base canónica de R 3 r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) = x(t) ı + y(t) ȷ + z(t) k = x(t) e 1 + y(t) e 2 + z(t) e 3, las funciones x, y, z: I R que nos dan las coordenadas se llaman funciones componentes de r. La función vectorial r(t) es continua o es derivable en I si lo son sus funciones componentes y cuando r(t) es derivable en I la derivada de r(t) es la función vectorial r (t) = ( x (t), y (t), z (t) ). 83

2 84 Matemáticas II GITI ( ) Las definiciones y los resultados que veamos a continuación se enunciarán para funciones vectoriales tridimensionales r(t) R 3 y valen para funciones bidimensionales sin más que suprimir la tercera coordenada (o considerar que vale 0 y nos movemos en el plano del suelo). Curva en coordenadas paramétricas. Una curva en coordenadas paramétricas o curva parametrizada en R 3 es la imagen C de una función vectorial continua r definida en un intervalo I. La variable independiente t de la función vectorial r se llama parámetro de la curva y la propia función r recibe el nombre de parametrización de la curva. Si usamos las funciones componentes r(t) = x(t) ı + y(t) ȷ + z(t) k, entonces la curva es el conjunto de puntos C = {( x(t), y(t), z(t) ) R 3 : t I }. Curva en coordenadas paramétricas. Como hemos dicho antes, las curvas aparecen como imágenes geométricas estáticas o bien, cuando el parámetro t es el tiempo, como caminos que se recorren, en cuyo caso r(t) = x(t) ı + y(t) ȷ + z(t) k representa la posición en el instante t de una partícula que se mueve. En Física I, la curva C es la trayectoria de la partícula, las funciones componentes se llaman ecuaciones horarias del movimiento, v(t) = r (t) es la velocidad instantánea de la partícula y a(t) = v (t) = r (t) es su aceleración ( atención!: en física es habitual denotar las derivadas con respecto al tiempo con un punto, siguiendo la notación de Newton, de manera que ẋ(t) es lo mismo que dx/dt = x (t)). Punto inicial y punto final de una curva. Curvas cerradas. Si I es un intervalo finito I = [a, b] entonces los puntos r(a) y r(b) se llaman extremos de la curva; r(a) es el punto inicial y r(b) es punto final de la parametrización. Cuando r(a) = r(b) se dice que la curva es cerrada. Ejemplos de curvas en el espacio. (1) La recta que pasa por el punto P = (a, b, c) y tiene como vector director u = (u, v, w) puede representarse en forma paramétrica mediante r(t) = P + t u x(t) = a + tu, y(t) = b + tv, z(t) = c + tw (t R). (2) El segmento recto cuyos punto inicial es A = (a 1, a 2, a 3 ) y cuyo punto final es B = (b 1, b 2, b 3 ) puede representarse en forma paramétrica mediante es decir, r(t) = A + t(b A) = (1 t)a + tb, para 0 t 1, x(t) = a 1 + t(b 1 a 1 ) = (1 t)a 1 + tb 1, y(t) = a 2 + t(b 2 a 2 ) = (1 t)a 2 + tb 2, z(t) = a 3 + t(b 3 a 3 ) = (1 t)a 3 + tb 3.

3 (3) La hélice circular recta viene dada por la parametrización 5. Curvas 85 r(t) = ( a cos(t), a sen(t), bt ), con t [t 0, t 1 ], donde a es el radio del cilindro en el que se va enrollando la hélice y h = 2πb es la distancia vertical entre las espiras, llamada paso de la hélice. Hélice circular recta. (4) Si tenemos la proyección de una curva sobre el plano XY, su planta, dada como una función y = f(x) para x [a, b], y su proyección sobre el plano XZ, su perfil, dada como una función z = g(x) para x [a, b], entonces podemos parametrizar la curva usando x como parámetro, de manera que r(x) = ( x, f(x), g(x) ) con x [a, b]. Planta (rojo), perfil (azul) y curva (violeta). (5) Una curva plana ( x(t), y(t) ) de las estudiadas en la Lección 1 puede ser vista como una curva parametrizada en espacio sin más que poner z(t) = 0, es decir, tomando r(t) = ( x(t), y(t), 0 ). (6) La parametrización r 1 : t [0, 1] r 1 (t) = (t, t, t) representa el segmento rectilíneo con extremos A = (0, 0, 0) y B = (1, 1, 1) recorrido desde A hasta B. Sin embargo, la parametrización dada por r 2 : u [0, 1] r 2 (u) = (1 u, 1 u, 1 u) representa el mismo segmento pero lo recorre en sentido inverso. Es importante saber reconocer cuándo dos parametrizaciones de una misma curva la recorren en el mismo sentido o no. (7) La parametrización r 1 : t [0, 2π] r 1 (t) = ( cos(t), sen(t), 0 ) representa la circunferencia unidad del plano XY como una curva cerrada recorrida en el sentido positivo. Sin embargo, la parametrización dada por r 2 : u [0, 1] r 2 (u) = ( cos(2πu), sen(2πu), 0 ) también la representa pero la recorre en el sentido negativo. En los Teoremas de Green y Stokes que se estudiarán en la asignatura de Matemáticas III se verá la importancia de saber reconocer la orientación con la que se recorre una curva cerrada.

4 86 Matemáticas II GITI ( ) Cambio de parámetro. Los dos últimos ejemplos muestran que una misma curva puede representarse mediante distintas parametrizaciones. Si tenemos dos parametrizaciones de una misma curva, digamos r 1 (t) con t [a, b] y r 2 (u) con u [c, d], entonces podemos establecer la relación que liga cada valor del parámetro t con el valor del parámetro u que corresponde al mismo punto de la curva: P = r 1 (t) = r 2 (u). Esta relación define la función que a cada t [a, b] le asigna el correspondiente u = u(t) [c, d] que se llama cambio de parámetro; naturalmente, la inversa de esta función es el cambio de parámetro que a cada u [c, d] le asigna el correspondiente t = t(u) [a, b]. Salvo la orientación, la mayoría de los conceptos que vamos a definir no dependen de la parametrización elegida. Orientación. Los ejemplos anteriores muestran que distintas parametrizaciones de una misma curva pueden recorrerla en el mismo sentido o en sentido contrario. Diremos que dos parametrizaciones de una misma curva C, r 1 (t) con t [a, b] y r 2 (u) con u [c, d], definen la misma orientación o que la recorren en el mismo sentido cuando se verifica que los extremos inicial y final de r 1 y r 2 coinciden: r 1 (a) = r 2 (c) y r 1 (b) = r 2 (d). Por el contrario, si los extremos inicial y final de r 1 y r 2 están intercambiados: r 1 (a) = r 2 (d) y r 1 (b) = r 2 (c), se dice entonces que r 1 y r 2 definen sobre la curva orientaciones opuestas. Esta definición no basta para curvas cerradas ya que en una curva cerrada los extremos coinciden en un mismo punto L. Cuando la curva es cerrada, fijamos dos puntos en la curva M, N distintos del extremo. Diremos que las dos parametrizaciones definen sobre C la misma orientación, o que la recorren en el mismo sentido, cuando, al partir de L como extremo inicial, ambas parametrizaciones pasan antes por M que por N, o bien ambas pasan antes por N que por M. Orientación en una curva cerrada. En el caso de curvas cerradas planas hay otras formas de estudiar la orientación. Si C es una curva cerrada plana que no tiene lazos, entonces se dice que C es una curva de Jordan. Diremos que una parametrización recorre una curva de Jordan en sentido positivo cuando la recorre en sentido antihorario, es decir, contrario al de las agujas de un reloj. Si llamamos R a la región interior de C, entonces cuando recorremos la curva en sentido positivo, dejamos la región interior a la izquierda. La función cambio de parámetro es creciente cuando ambas parametrizaciones definen la misma orientación y es decreciente cuando definen orientaciones distintas. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1 Ejercicio 1. Encuentra una parametrización de las siguientes curvas. (1) El segmento que va desde el origen hasta el punto (x, y, z). (2) El segmento que va desde el punto ( 1, 2, 3) hasta el punto (0, 2, 1). (3) La recta dada por la intersección de los planos x + 2y + 3z = 0 y 2x y = 2. (4) La circunferencia de centro (1, 3, 1) y radio 4 situada en el plano z = 4. (5) La hélice circular recta de radio 2 y paso 4 que se va enrrollando en el cilindro vertical cuyo eje es la recta x = y = 2.

5 5. Curvas 87 Ejercicio 2. Encuentra una parametrización de las siguientes curvas dadas como intersección de dos cuádricas y utiliza los programas de dibujo que se recomiendan para hacer su gráfica. Para este tipo de curvas se recomienda el siguiente procedimiento: (i) determinar su proyección sobre el plano XY (u otro de los planos coordenados) eliminando la variable z entre las ecuaciones de las cuádricas, (ii) hallar una parametrización (x(t), y(t)) de la proyección y (iii) calcular z(t) a partir de alguna de las ecuaciones de las cuádricas. (1) La circunferencia dada por la intersección del paraboloide z = x 2 + y 2 con el plano z = 16. (2) La elipse dada por la intersección del cilindro de ecuación x 2 +y 2 = y con el plano z+2y = 4. (3) La circunferencia dada por la intersección de la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 con el plano x+y = 2. (4) La intersección de x = 1 z 2 con y = z 2. (5) La intersección de (x 1) 2 + y 2 = z 2 con x 2 + y 2 + z 2 = 1 en el octante positivo (la región del espacio dada por x 0, y 0, z 0). (6) La intersección de x 2 + y 2 + z 2 = 9 con y + z = 4. (7) La intersección del cilindro 2y = x 2 + y 2 con el paraboloide z = x 2 + y 2. Ejercicio 3. La curva de Viviani es la curva en forma de 8 doblado dada por la intersección de una esfera con un cilindro circular que pasa por su centro y al que es tangente. En coordenadas cartesianas puede definirse como la curva intersección del cilindro de ecuación (x a) 2 + y 2 = a 2 con la superficie esférica de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2. Halla una parametrización de la mitad de la curva de Viviani en la que z 0. La curva de Viviani. Ejercicio 5. Determina las funciones que dan los cambios de parámetro en las curvas de los Ejemplos 6 y 7 de la página 86. Ejercicio 6. Determina las funciones que dan los cambios de parámetro cuando parametrizamos la circunferencia x 2 +y 2 = 2y en coordenadas polares usuales y en coordenadas polares con respecto a su centro. Ejercicio 7. Describe las orientaciones de las curvas dadas en los Ejercicios 1 y 2 anteriores. Ejercicio 8. En cada uno de los siguientes casos se obtiene una curva al cortar una cuádrica con los planos coordenados en el octante positivo. En cada caso, halla una parametrización de los tres arcos que la componen, indicando su orientación. (1) La esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25. (2) El paraboloide z = 8 4x 2 y 2. (3) El elipsoide x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 4. (4) La cara inferior del cono (z 1) 2 = x 2 + y 2.

6 88 Matemáticas II GITI ( ) 2. VECTORES TANGENTES Y NORMALES Recta tangente. Sea C una curva parametrizada por una función r(t) con t I. Se dice que un punto P = r(t 0 ) de C es regular cuando r es derivable en t 0, con derivada r (t) continua en dicho punto y r (t 0 ) 0, y se define la recta tangente a la curva C en el punto P como la recta que pasa por P y tiene como vector director r (t 0 ), que se llama vector tangente a la curva en P. Recta tangente a una curva parametrizada. Puede probarse que esta definición coincide con la definición habitual de la recta tangente como el límite, cuando Q se mueve sobre la curva tendiendo a P, de las rectas que pasan por P y Q. Cuando todos los puntos de la curva son regulares, se dice que la parametrización es regular (en otros textos se emplean las palabras lisa o suave). Si el intervalo I puede descomponerse en una cantidad finita de subintervalos en cada uno de los cuales la parametrización es regular, entonces se dice que la parametrización es regular a trozos, es lo que ocurre, por ejemplo, cuando tenemos un polígono o una curva compuesta por tramos que se parametrizan de distinta forma. En los puntos excepcionales P = r(t 0 ) en los que r no es derivable o en los que r (t 0 ) = 0, la noción de recta tangente puede perder su significado ya que en tales puntos la tangente puede no existir o no estar definida en forma única; ejemplos típicos son los picos o esquinas (como los vértices de un cuadrado o el origen para la cardioide). Vector tangente unitario. Sea C la curva dada por una parametrización regular r(t) con t I. Se define el vector tangente unitario a C en un punto P = r(t) como T(t) = r (t)/ r (t). Vector normal y recta normal. Si r es dos veces derivable entonces, derivando en T(t) 2 = 1, se deduce que 2 T(t) T (t) = 0, o sea, T (t) es ortogonal al vector tangente T(t). El vector unitario en la dirección de T (t) (si éste no es cero) se llama vector normal (a veces, vector normal principal) en el punto P = r(t) y viene dado por N(t) = T (t)/ T (t). En este caso, la recta que pasa por P y tiene como vector director N(t) se llama recta normal de la curva en P. Si r 1 y r 2 son dos parametrizaciones regulares de una misma curva que tienen la misma orientación, entonces ambas definen los mismos vectores unitarios tangentes y normales en cada punto; por el contrario, si tienen distinta orientación, entonces definen vectores tangentes unitarios opuestos. Plano osculador. El plano que pasa por P y tiene como vectores directores T(t) y N(t) se llama plano osculador a la curva en P y, en cierta forma, es el que mejor se aproxima a la curva; de hecho, si la curva está contenida en un plano de R 3, entonces ése es su plano osculador. Cuando la curva representa la trayectoria de una partícula desplazándose en el espacio tridimiensional, el plano osculador coincide con el plano que en cada instante contiene la aceleración y la velocidad (véase el Ejercicio 6). En particular, el plano osculador también puede construirse como el plano que pasa por P y tiene como vectores directores r (t) y r (t) si éstos son independientes.

7 5. Curvas 89 Triedro de Frenet. Si r es una parametrización regular dos veces derivable de una curva en R 3, entonces a los vectores unitarios T(t) y N(t) les podemos añadir un tercer vector unitario, su producto vectorial B(t) = T(t) N(t), { } llamado vector binormal, de manera que T(t), N(t), B(t) forman una base ortonormal de R 3. Esta base se conoce como triedro de Frenet y se emplea en las aplicaciones mecánicas. El vector binormal B(t) es perpendicular al plano osculador y, por tamto, es constante cuando la curva es plana. Triedro de Frenet ( T rojo, N verde, B azul) y plano osculador. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 2 Ejercicio 1. Halla las rectas tangente y normal a las siguientes curvas en el punto P indicado: (1) r(t) = (cos(t), sen(t), t) y P = (1, 0, 0). (2) r(t) = (t 2, t 3, t) y P = (1, 1, 1). (3) r(t) = (1 t 2, t 2, t) y P = (0, 1, 1). Ejercicio 2. Sea C la curva dada por la intersección del paraboloide z = x 2 + y 2 con el plano z = 2y. Halla una parametrización de C y la recta tangente a C en el punto P = ( 1, 1, 2). Ejercicio 3. Considera la curva C dada por las ecuaciones 4x 2 + (y 1) 2 = 1 y 2x + y z = 1. Halla una parametrización de C y la ecuación de la recta tangente a C en el punto P = (0, 2, 1). Ejercicio 4. Halla una parametrización de la curva que se obtiene como la intersección de la superficie esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 con el cono z 2 = 4 ( x 2 + (y 1) 2) y encuentra, utilizando la parametrización, la recta tangente a dicha curva en el punto P = (0, 1.6, 1.2). Ejercicio 5. Comprueba que las siguientes curvas dadas en el plano z = 0 pasan por el origen y estudia, en cada caso, si dicho punto es regular y si existe la recta tangente. (1) La gráfica de la función y = x. (2) La cardioide de ecuación r = 1 cos(θ) (3) La curva parametrizada por r(t) = (t 2, t 3 ) para 1 t 1. (4) La curva dada por y = signo(x) x. Ejercicio 6. Supongamos que r(t) es una función regular y dos veces derivable que representa la posición de un móvil en función del tiempo. Prueba que en cada punto de la trayectoria los vectores velocidad v(t) = r (t) y aceleración a(t) = r (t) están en el plano osculador.

8 90 Matemáticas II GITI ( ) Ejercicio 7. El paraboloide z + 5 = 2 ( x 2 + y 2) corta a la esfera x 2 + y 2 + z 2 circunferencias C 1 y C 2 = 4 en dos El paraboloide y la esfera. (1) Determina parametrizaciones de C 1 y de C 2. (2) Comprueba que el punto P = ( 6/2, 6/2, 1 ) pertenece a una de las circunferencias y determina el correspondiente triedro de Frenet de dicha curva en P. (3) Comprueba que el punto Q = ( 7/2, 0, 3/2 ) pertenece a la otra circunferencia y determina la recta tangente a dicha curva en Q. Ejercicio 8. Sea C la hélice cónica parametrizada por r(t) = (t cos(t), t sen(t), 2t) para t > 0. La hélice y su proyección. (1) Comprueba que dicha curva se encuentra sobre la superficie del cono z 2 = 4(x 2 + y 2 ). (2) Determina si las rectas tangentes a C en los puntos r(1) y r(1 + 2π) son paralelas. (3) Prueba que la proyección de la curva C en el plano XY es la espiral dada por la ecuación en coordenadas polares r(θ) = θ con θ > 0. (4) Calcula, con tres cifras decimales, el primer punto de la espiral r(θ) = θ donde la tangente es vertical. Para ello, comprueba que se cumplen las condiciones del Teorema de Convergencia Global y utiliza el método de Newton en el intervalo [π/4, π/3]. Ejercicio 9. Halla una parametrización de la curva C que se obtiene al cortar el hemisferio norte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 con el hiperboloide z 2 = x 2 4x + y 2 y determina la recta tangente a C en el punto P = ( 1/2, 3 3/2, 3).

9 5. Curvas 91 Ejercicio 10. (1) Halla una parametrización de la curva C que se obtiene al cortar el paraboloide z = 2 x 2 y 2 con el cilindro x 2 + y 2 = 2y. (2) Calcula un vector tangente y el plano osculador a dicha curva en el punto P = ( 3/2, 1/2, 1). (3) Dibuja el punto y el vector tangente en la figura. Ejercicio 11. Halla la expresión de la recta tangente en cada punto de la curva de Viviani. Ejercicio 12. Consideremos el punto P = ( 2, 0, 1) de la hélice circular recta dada por la parametrización r(t) = ( 2 cos(t), 2 sen(t), t/π ) con t [0, 2π]. Halla el triedro de Frenet y la ecuación del plano osculador a la hélice en dicho punto. Ejercicio 13. Consideremos el punto P = (3, 2, 0) de la circunferencia dada en el espacio por la parametrización r(t) = ( 3, 2 sen(t), 2 cos(t) ) con t [0, 2π]. Halla el triedro de Frenet y la ecuación del plano osculador a la circunferencia en dicho punto. 3. LONGITUD DE UNA CURVA. CURVATURA Y TORSIÓN Longitud de una curva parametrizada. Sea C la curva dada en R 3 por una parametrización regular a trozos r(t) con t [a, b]. Entonces, la longitud de C viene dada por la integral longitud de C = b a r (t) dt = b a [x (t) ] 2 + [ y (t) ] 2 + [ z (t) ] 2 dt, donde representa la norma euclídea o, en otros términos, el módulo del vector. Si tenemos una curva en R 2, prescindimos de la coordenada z y la longitud viene dada entonces por longitud de C = b a [x (t) ] 2 + [ y (t) ] 2 dt. Esta definición se justifica aproximando la curva mediante poligonales inscritas en ella. Al considerar las longitudes de estas poligonales se obtiene una suma de Riemann que corresponde a la integral anterior. Poligonal que aproxima a una espiral.

10 92 Matemáticas II GITI ( ) Longitud de una curva en coordenadas cartesianas. Supongamos que tenemos una curva C de ecuación y = f(x), donde f: [a, b] R es una función con derivada continua. Entonces la longitud de la curva viene dada por la integral b longitud de C = 1 + [ f (x) ] 2 dx. a Longitud de una curva en coordenadas polares. Sea r = r(θ) la ecuación de una curva C en coordenadas polares y supongamos que r(θ) tiene derivada continua en el intervalo cerrado [α, β]. Entonces la longitud de la curva es longitud de C = β α [r(θ)]2 + [r (θ)] 2 dθ Comentarios. (1) Hemos visto que una misma curva puede venir dada por parametrizaciones distintas, así que deberíamos asegurarnos de que la longitud, que se obtiene como el valor de una integral que depende de la parametrización, es la misma cualquiera que sea la parametrización elegida. Esto se puede hacer usando el teorema del cambio de variable para integrales. (2) Salvo en algunos casos muy simples, las integrales que dan lugar el cálculo de la longitud de una curva no admiten primitivas manejables, por lo que hay que acudir a métodos numéricos para calcularlas. El caso más notable es el de la longitud de una elipse ( a cos(t), b sen(t) ) con t [0, 2π], cuya longitud viene dada por una integral L = 2π 0 2π a2 sen 2 (t) + b 2 cos 2 (t) dt = b2 + (a 2 b 2 ) sen 2 (t) dt cuyo integrando no admite una primitiva expresable como una función elemental si a b. Estas integrales se llaman integrales elípticas. Parametrización por la longitud de arco. La posibilidad de medir longitudes a lo largo de una curva proporciona un parámetro natural definido geométricamente al cual pueden ser referidos los puntos P de la curva. Este parámetro es la longitud de la porción de la curva comprendida entre el punto inicial y el punto P. Sea C la curva dada por una parametrización regular r: [a, b] R 3 y sea L su longitud. La función s: t [a, b] s(t): = 0 t a r (u) du se llama función longitud de arco de la curva y tiene la siguiente interpretación geométrica: Si P = r(t) es un punto de la curva, entonces s(t) es la longitud del trozo de curva comprendido entre su extremo A = r(a) y P. Puesto que la parametrización es regular, tenemos que s es una función derivable, con derivada s (t) = r (t) = 0, que transforma [a, b] en todo [0, L]; es decir, podemos ver s como un cambio de parámetro. Si usamos s = s(t) como nuevo parámetro, obtenemos entonces la parametrización r n dada por r n (s) = r(t) siendo s = s(t) [0, L], se llama parametrización natural de la curva. Cuando se usa la parametrización natural, decir que P = r n (s) significa que el punto P es aquel que dista s unidades, medidas a lo largo de la curva, desde el punto inicial A = r n (0).

11 5. Curvas 93 Curvatura. Cuando trabajamos con la parametrización natural r n la función longitud de arco cumple s = s 0 r n(u) du así que, derivando, obtenemos r n(s) = 1 para todo s [0, L]. En otras palabras, la parametrización natural tiene la propiedad de que su derivada nos proporciona directamente el vector tangente unitario T(s) = r n(s); no hace falta normalizar. Además, como vimos antes, si r n tiene derivada segunda continua, entonces el vector T (s) = r n (s) es perpendicular al vector tangente unitario T(s). Si definimos κ(s) = T (s) 0, entonces el vector unitario en la dirección de T (s), o sea, el vector normal principal, es N(s) = 1 T κ(s) (s). El valor κ(s) se llama curvatura de la curva en el punto P = r n (s). La definición κ(s) = T (s) nos dice que la curvatura es la velocidad de cambio del vector tangente unitario por unidad de longitud, cambio que solo es de dirección, no de módulo, así que la curvatura nos permite cuantificar el concepto familiar de curva abierta (curvatura pequeña) o curva cerrada (curvatura grande); es decir de cuánto de curva es una curva. Es fácil comprobar que una recta tiene curvatura cero y que una circunferencia de radio r tiene curvatura constante igual a 1/r Suele ser complicado trabajar con el parámetro longitud de arco. Si r(t) es una parametrización regular de una curva, entonces puede probarse (no es fácil) que la curvatura viene dada por κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3. Radio de curvatura. Supongamos que T (s) no es cero en un punto P de la curva. Sobre el plano osculador, el que contiene a las rectas tangente y normal, trazamos la circunferencia con centro en P + N(s)/κ(s) que pasa por P, de manera que esa circunferencia tiene radio 1/κ(s). Entonces esta circunferencia es tangente a la curva en P y tiene la misma curvatura. Por ello R(s) = 1/κ(s) se llama radio de curvatura de la curva en P. Radio de curvatura R y circunferencia tangente. El que el radio de curvatura sea menor o mayor nos indica si la curva es muy cerrada o muy abierta en P. Las rectas tienen curvatura cero y, por tanto, radio de curvatura infinito; toda circunferencia tiene radio de curvatura constante e igual a su radio. Radios de curvatura en diversos puntos.

12 94 Matemáticas II GITI ( ) La curvatura en el caso especial de una curva plana. Cuando tenemos la parametrización natural de una curva plana r n (s) = (x(s), y(s)), la variación del vector tangente T(s) puede verse, simplemente, como la variación del ángulo ϕ(s) que forma T(s) con la horizontal ya que, si escribimos T(s) = ( cos(ϕ(s)), sen(ϕ(s)) ), entonces T (s) = ( ϕ (s) sen(ϕ(s)), ϕ (s) cos(ϕ(s)) ) y, por tanto, la curvatura es κ(s) = T (s) = ϕ (s). Es decir, la curvatura es precisamente, el valor absoluto de la tasa de variación ϕ (s) del ángulo ϕ(s) con respecto a la longitud de arco. El ángulo ϕ(s) que forma T(s) con la horizontal. Si la curva viene dada por una parametrización regular (x(t), y(t)), entonces puede probarse que la curvatura es κ(t) = x (t)y (t) x (t)y (t) [ (x (t)) 2 + (y (t)) 2] 3/2. Esta fórmula para una curva dada en forma explícita y = f(x) queda κ(x) = f (x) [ 1 + (f (x)) 2] 3/2. La curvatura con signo de una curva plana. Si, siguiendo con el caso de curvas planas, no tomamos valor absoluto y consideramos k(s) = ϕ (s), obtenemos la noción de curvatura con signo, que solo tiene sentido para curvas planas. Cuando la curva viene dada por una parametrización regular (x(t), y(t)), entonces la curvatura es k(t) = x (t)y (t) x (t)y (t) [ (x (t)) 2 + (y (t)) 2] 3/2. Esta fórmula para una curva dada en forma explícita y = f(x) queda k(x) = f (x) [ 1 + (f (x)) 2] 3/2. La información adicional que proporciona el signo es que nos permite saber hacia dónde se dobla la curva en el punto, de manera que si k(s) > 0 y nos movemos en la dirección del vector tangente, entonces la curva queda a la izquierda, mientras que si k(s) < 0 entonces la curva queda a la derecha. En particular, en el caso de una curva dada en forma explícita y = f(x), la curvatura κ(x) = f (x) [ 1 + (f (x)) 2] 3/2 es positiva si la curva es convexa y negativa si es cóncava.

13 5. Curvas 95 Cómo calcular la parametrización a partir de la curvatura. En el caso de curvas planas es fácil determinar la parametrización a partir de la curvatura dada en función de la longitud de arco. Para ello, observemos que si tenemos la curvatura con signo k(s) = ϕ (s), para s en un intervalo I, entonces ϕ(s) = k(s) ds. Como T(s) = ( cos(ϕ(s)), sen(ϕ(s)) ) = r n(s), tenemos ( r n (s) = cos(ϕ(s)) ds, ) sen(ϕ(s)) ds. Ejemplos. Veamos un par de casos simples. (1) Si la curvatura es nula, κ(s) = k(s) = 0, entonces ϕ(s) = ϕ 0 constante y, tras integrar, tenemos la recta r n (s) = (x 0 + s cos(ϕ 0 ), y 0 + s sen(ϕ 0 )). (2) Si la curvatura es constante κ(s) = k(s) = k 0, tenemos ϕ(s) = k 0 s+ϕ 0, con lo que, integrando, tenemos la circunferencia de radio 1/k 0 dada por r n (s) = ( a sen(k 0 s + ϕ 0 ), b 0 1 ) cos(k 0 s + ϕ 0 ). k 0 k 0 Si k 0 > 0, entonces el radio es 1/k 0 y la circunferencia se recorre en sentido positivo, mientras que si k 0 < 0, el radio es 1/k 0 y la circunferencia se recorre en sentido negativo. La clotoide, una curva en el BOE. No es frecuente que el Boletín Oficial del Estado (BOE) incluya cuestiones relativas a la geometría de curvas. Una excepción significativa es la Orden del Ministerio de Fomento FOM/273/2016, de 19 de febrero de 2016 (BOE del 4 de marzo), por la que se aprueba la Norma 3.1 -IC Trazado, de la Instrucción de Carreteras. En el apartado 4.4. Curvas de Acuerdo de dicha norma se establece, al comienzo, que Las curvas de acuerdo (o curvas de transición) tienen por objeto evitar las discontinuidades en la curvatura del trazado, por lo que, en su diseño deberán proporcionar las mismas condiciones de comodidad y seguridad que el resto de los elementos del trazado [ ] Se adoptará en todos los casos como forma de la curva de acuerdo una clotoide, cuya ecuación intrínseca es R L = A 2, siendo R el radio de curvatura en un punto cualquiera, L la longitud de la curva entre su punto de inflexión (R = ) y el punto de radio R y A es el parámetro de la clotoide, característico de la misma. Curva de transición (en rojo) entre una recta y una circunferencia. Por qué todo esto? El problema es que al trazar una curva en un extremo de un tramo recto no es seguro ni cómodo utilizar directamente un arco de circunferencia tangente a la recta. La razón es que si un móvil de masa m pasa bruscamente de una recta, que tiene curvatura 0, a una circunferencia, que tiene curvatura constante, esto tiene consecuencias sobre la fuerza centrífuga, que viene dada por mv/r 2, donde v es la velocidad y R el radio de curvatura; la fuerza centrífuga

14 96 Matemáticas II GITI ( ) en el punto de inicio de la curva es discontinua y el móvil experimenta una sacudida. Observemos, en particular, que cuanto menor sea el radio de curvatura, mayor será la fuerza centrífuga, es decir, la fuerza centrífuga es menor en una curva más abierta que en otra más cerrada. Las clotoides son curvas cuya curvatura crece de manera proporcional a la distancia recorrida sobre ella, ya que su ecuación característica se puede escribir como κ(s) = k(s) = s/a 2, siendo s la longitud de arco (s = 0 en el punto inicial de la clotoide, que es el punto en el que enlaza con la recta). Ajustando el parámetro A de forma que en el punto de unión de la clotoide con un arco de circunferencia la curvatura de la clotoide sea igual a la de dicha circunferencia, obtenemos una transición entre la recta y la circunferencia que permite al móvil adaptarse de forma suave al giro. Clotoide para s 0. Suponiendo que la recta es el semieje x 0 y que el punto de enlace de la clotoide con la recta es el origen de coordenadas, de manera que k(0) = 0 y ϕ(0) = 0, a partir de ϕ (s) = k(s) = s/a 2, obtenemos ϕ(s) = s 2 /2A 2, con lo que, como hemos visto antes, la parametrización natural de la clotoide queda x(s) = s 0 cos(u 2 /2A 2 ) du, y(s) = s 0 sen(u 2 /2A 2 ) du. Estas integrales, cuyos integrandos son otros ejemplos de función que no admite primitiva expresable mediante funciones elementales, son las integrales de Fresnel vistas en el Ejercicio 4 de la Sección 3 de la Lección 4. Si queremos hallar una curva de transición entre dos arcos de circunferencia, lo que se puede hacer, trabajando de forma similar, es buscar una cuya curvatura venga dada, en función del parámetro longitud de arco s, por κ(s) = as + b (véase el Ejercicio 20). Torsión. Volviendo al caso de curvas en el espacio tridimensional, hemos visto que el vector binormal B(s) es perpendicular al plano osculador, de manera que si la curva es plana, entonces B(s) es constante y B (s) = 0. En consecuencia, si B (s) no es nulo, su tamaño B (s) nos indica en qué grado la curva deja de ser plana en el punto. Si derivamos la igualdad B(s) = T(s) N(s), obtenemos que B (s) = T (s) N(s)+ T(s) N (s). Como T (s) y N(s) son paralelos, nos queda B (s) = T(s) N (s) y, por tanto, B (s) es ortogonal a T(s). Por otro lado, derivando B (s) B (s) = 1 obtenemos que B (s) y B(s) son ortogonales. En consecuencia, B (s) es paralelo a N(s) y podemos escribir B (s) = τ(s) N(s) para un cierto valor τ(s). Puesto que τ(s) = B (s) y, como hemos visto, esta cantidad nos indica en qué grado la curva deja de ser plana en el punto, el valor τ(s) se llama torsión de la curva en el punto.

15 5. Curvas 97 Haciendo unos cálculos similares para determinar N (s) en función del triedro de Frenet, puede probarse que se dan las siguientes relaciones T (s) = κ(s) N(s) N (s) = κ(s) T(s) τ(s) B(s) B (s) = τ(s) N(s) que se llaman ecuaciones de Serret-Frenet de la curva. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3 Ejercicio 1. Calcula la longitud de la hélice circular r(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 6t) con t [0, 4π]. Ejercicio 2. Calcula la longitud de la cicloide r(t) = (rt r sen(t), r r cos(t)) para t [0, 2π]. Ejercicio 3. Calcula la longitud de la parábola semicúbica y = x 3 para 0 x 2. Ejercicio 4. Calcula la longitud del arco de la parábola y = x 2 para el tramo 0 x 2. Ejercicio 5. Calcula la longitud de la catenaria de ecuación y = ex + e x 2 para 1 x 1. Ejercicio 6. Calcula la longitud de la curva y = log(cos(x)) para el tramo 0 x π/3. Ejercicio 7. Calcula la longitud de la espiral de Arquímedes r(θ) = aθ con θ [0, 4π]. Ejercicio 8. Calcula la longitud de la curva C dada en coordenadas polares por r = sen 2 (θ), usando la regla del trapecio con cuatro trapecios para aproximar la correspondiente integral. Ejercicio 9. Calcula la longitud de la espiral logarítmica r(θ) = ae bθ con θ [0, 4π]. Ejercicio 10. Dada la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = 1 cos(θ) con θ [0, 2π], determina el área de la región que encierra y su longitud. Ejercicio 11. Calcula la longitud de la curva dada por r(t) = ( t sen(t), t cos(t) ) con 0 t 2π. Ejercicio 12. Sea C la curva de corte entre el cilindro x 2 + y 2 = 1 y el cilindro xz = 1 con z 0. (1) Construye una parametrización de la curva C. (2) Halla la ecuación de la recta tangente a C y la curvatura de C en el punto P = (1, 0, 1). (3) Es finita la longitud de C? Ejercicio 13. Calcula aproximadamente la longitud del arco de la curva de ecuación y = x 3 comprendido entre los puntos (0, 0) y (1, 1) usando la regla del trapecio con 4 trapecios Ejercicio 14. Calcula la longitud aproximada de cada una de las siguientes curvas empleando el polinomio de Maclaurin de grado 4 del integrando y el método de los trapecios con 4 trapecios. (1) La elipse x 2 /25 + y 2 /16 = 1. (2) La astroide x 2/3 + y 2/3 = 1. (3) La intersección del cilindro x 2 x + y 2 = 0 con la esfera unidad. 3 (4) La elipse r = con θ [0, 2π]. 2 + cos(θ)

16 98 Matemáticas II GITI ( ) Ejercicio 15. Halla una parametrización de la curva dada por la intersección de la superficie z = x 3 +y 2 con la superficie x 2 +4y 2 = 4 en el octante positivo y determina la longitud aproximada de dicha curva usando el método de los trapecios con 4 trapecios. Ejercicio 16. La forma de La Tierra es un elipsoide de revolución en el que el radio ecuatorial es km el radio polar es km. Determina la longitud aproximada del cuadrante de un meridiano terrestre usando, para la integración, coordenadas cartesianas y el polinomio de Maclaurin de grado 10. Ejercicio 17. Determina la parametrización natural de las siguientes curvas. (1) Un segmento en el espacio R 3. (2) Una circunferencia en el plano R 2. (3) Una hélice circular recta. (4) Una catenaria. (5) Una cicloide. (6) Una parábola. Ejercicio 18. Sea C la curva definida en el espacio por la intersección de los paraboloides elípticos z = 2 (x 2 + y 2 ) y z = x 2 /3 + 2 (y 1) 2. Halla una parametrización de la curva C y construye su recta tangente en el punto P = ( 3/2, 1, 1/4 ). Sea ahora Ĉ la proyección de C sobre el plano XY. Calcula la curvatura de Ĉ en el punto Q = ( 3/2, 1 ) Ejercicio 19. Considera la curva C de intersección entre el paraboloide z 2 = (x 2 + y 2 )/2 y el cilindro x 2 + (y 1) 2 = 1. (1) Determina una parametrización de C. (2) Encuentra la recta tangente a C en el punto P = (1, 1, 1). (3) Comprueba que C está contenida en el plano y + z = 2. (4) Encuentra el plano osculador a C en el punto P P = (1, 1, 1). (5) Halla la curvatura en un punto genérico de C. Ejercicio 20. Determina el radio de curvatura de la curva plana y = log ( cos(x) ) en función de x. Ejercicio 21. Calcula de forma aproximada la longitud del tramo de la elipse 4x 2 + y 2 = 4 con 0 x 0.5 utilizando, para aproximar la integral correspondiente, el polinomio de Maclaurin de grado 2 del integrando. Ejercicio 22. Calcula la longitud de la curva parametrizada por r(t) = ( t sen(t), t cos(t), 2t 2) con 0 t 2π. Ejercicio 23. Sea C la cicloide parametrizada por r(t) = ( t sen(t), 1 cos(t) ) con 0 t 2π. Calcula los siguientes elementos: (1) El parámetro longitud de arco s en función de t. (2) La longitud de la cicloide al cabo de dos tercios de giro. (3) La curvatura κ(t). Ejercicio 24. Calcula T, N y κ para las siguientes curvas parametrizadas planas: (1) r (t) = ( cos 3 (t), sen 3 (t) ). (2) r (t) = (e t cos(t), e t sen(t)). (3) r (t) = (cos(t) + t sen(t), sen(t) t cos(t)).

17 5. Curvas 99 Ejercicio 25. Calcula el triedro de Frenet, la curvatura y la torsión para las siguientes curvas parametrizadas en el espacio: (1) r (t) = (6 sen(2t), 6 cos(2t), 5t). (2) r (t) = (e t cos(t), e t sen(t), e t ). (3) r (t) = (3 cosh(2t), 3 sinh(2t), 6t). Ejercicio 26. Se quiere construir la clotoide de curvatura κ(s) = s/a 2 que, desde el origen, enlace el segmento horizontal [ 2, 0] con una circunferencia de radio 1 de manera que en el punto de unión de la clotoide y la circunferencia la inclinación de la tangente sea π/4 (como en el gráfico de la página 96). (1) Calcula el valor de A y la longitud total L de la clotoide. (2) Calcula el punto final de la clotoide usando algún método de integración numérica Ejercicio 27. Se quiere construir la clotoide de curvatura κ(s) = s/a 2 que, desde el origen, enlace el segmento horizontal [ 4, 0] con una circunferencia de radio 10 de manera que en el punto de unión de la clotoide y la circunferencia la inclinación de la tangente sea π/6 (como en el gráfico de la página 96). (1) Calcula el valor de A y la longitud total L de la clotoide. (2) Calcula los cinco puntos de la clotoide que, junto con el origen, la dividen en cinco partes de la misma longitud usando algún método de integración numérica Ejercicio 28. Se quiere construir una curva de transición entre dos arcos de circunferencia, el primero de radio r y el segundo de radio R, de manera que en los puntos inicial y final de dicha curva, su curvatura coincida con la de la circunferencia respectiva. Para ello buscamos una curva cuya curvatura venga dada, en función del parámetro longitud de arco s, por κ(s) = as + b con 0 s L. Determina a y b en función de r, R y L y construye la parametrización ( x(s), y(s) ) trabajando análogamente a como se hace para la clotoide. Transición entre dos circunferencias. Ejercicio 29. La parametrización natural de una clotoide de longitud L = 5 es x(s) = s 0 cos(u 2 /100) du y(s) = s 0 sen(u 2 /100) du, con 0 s 5. (1) Calcula la abscisa de su punto final aproximando el valor de la integral mediante el método de los trapecios con n = 5 trapecios. (2) Calcula la ordenada de su punto final aproximando el valor de la integral mediante el polinomio de Maclaurin de grado 6 del integrando. (3) Halla la ecuación de la recta tangente, el radio de curvatura y el centro de curvatura de la clotoide en su punto final.

18 100 Matemáticas II GITI ( ) Ejercicio 30. Se quiere construir la clotoide (de color malva en la figura inferior) de curvatura κ(s) = s/a 2 y longitud L = 20 que, desde el origen O, enlace el segmento horizontal [ 10, 0] (en gris) con una circunferencia de centro C y radio R = 10, siendo P el punto de enlace entre la clotoide y la circunferencia. (1) Calcula la constante A de la clotoide. (2) Halla la parametrización de la clotoide con el parámetro longitud de arco s. (3) Halla las coordenadas del punto P de la siguiente manera: (i) Calcula la abscisa de P aproximando el valor de la integral mediante el polinomio de Maclaurin de grado 8 del integrando. (ii) Calcula la ordenada de P aproximando el valor de la integral mediante el método de los trapecios con n = 5 trapecios. (4) Calcula el ángulo θ que mide la inclinación de la tangente t en el punto P. (5) Halla las coordenadas de C, el centro de la circunferencia. ALGUNAS NOTAS HISTÓRICAS. Sobre las curvas parametrizadas. A diferencia de lo ocurrido con áreas y volúmenes, son muy pocas las curvas cuya longitud fuera conocida por los matemáticos anteriores a la invención del cálculo infinitesimal, prcticamente la rectas y los arcos de circunferencias desde la antigüedad y, ya a mediados del siglo xvii, la cicloide, cuya longitud fue obtenida, independientemente, por Gilles de Roverbal y Christopher Wren. Son los propios Isaac Newton y Gottfired Leibniz quienes establecen las fórmulas para hallar la longitud de una curva de ecuación y = f(x) y las aplican a numerosos ejemplos. Como ya dijimos en la Lección 1, la extensión del uso de representar curvas (y superficies) mediante coordenadas paramétricas se debe a Leonhard Euler y Carl F. Gauss, quienes establecieron que las coordenadas paramétricas tienen la ventaja de ser intrínsecas, ya que pueden hacerse independientes de unos ejes externos, como los cartesianos, y basarse en un sistema de referencia que puede ser incluido en el propio objeto. Más precisamente, fue Euler quien, en 1736, introdujo las nociones de longitud de arco y radio de curvatura como coordenadas intrínsecas de una curva plana, en el sentido de que es posible construir la curva conociendo ambas. También debemos a Euler la definición de curvatura de una curva plana como la velocidad de variación del ángulo que forma su tangente con la horizontal. Fueron matemáticos franceses del siglo xix, principalmente Gaspard Monge, Augustin Cauchy, Jean F. Frenet, Joseph Serret y Camille Jordan, quienes sistematizaron estas ideas y dieron lugar a la teoría de curvas paramétricas. Señalemos, como curiosidad, que un cálculo similar al propuesto en el Ejercicio 16, fue desarrollado en 1748 por el científico y navegante español, introductor del cálculo infinitesimal en España, Jorge Juan de Santacilla. Sobre la clotoide. La clotoide parece haber sido descubierta en varios contextos completemante distintos. En primer lugar, por Leonhard Euler, que resolvió el problema planteado por Jacques Bernoulli en el marco de las teoría de la elasticidad, de hallar las ecuaciones de la curva en la que la longitud de arco y la curvatura estuvieran en relación lineal. También por los franceses Augustin Fresnel, para calcular la difracción de la luz, y Alfred Marie Cornu que utilizó esta curva en el diseño de un aparato para medir la intensidad de la luz. En 1890, el ingeniero estadounidense Arthur Talbot la propuso como la forma ideal de la curva de transición que conecta dos tramos

19 5. Curvas 101 de vía de curvaturas dadas en un ferrocarril. El que la curvatura aumente con la distancia recorrida hace que la clotoide tenga forma espiral, por lo que también es conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu. Puedes ver la historia de la clotoide, así como muchas otras características interesantes puedes consultar en la página de enseñanza virtual de la asignatura las referencias de Blanch, Checa y Marín y Levien que se citan. Bibliografía L. Blanch, E. Checa y J. Marín, Una aproximación a la curva de transición Clotoide vista desde Mathematica, Modelling in Science Education and Learning 6 (2013). R. Levien, The Euler spiral: a mathematical history, Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California at Berkeley, Technical Report No. UCB/EECS (2008). G.L. Bradley y K.J. Smith, Cálculo, vol. 2, Capítulos 9 y 11. R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Cálculo, vol. 2, Capítulos 9 y 11. G.B. Thomas, Jr., Cálculo de una variable, Capítulo 11. G.B. Thomas, Jr., Cálculo de varias variables, Capítulo 13. Páginas web de interés para el dibujo de curvas en coordenadas paramétricas: bkaskosz/flashmo/parcur/